（测试计量技术及仪器专业论文）波导无源器件的模式匹配法研究.pdf

摘要 本文应用模式匹配法( 蚴1 ) 分析波导结构中的一些不连续性问题，并结合滤 波器设计理论，设计了几种结构的带通滤波器 采用模式匹配法对圆波导、矩形波导、圆波导与矩形波导连接结构中若干不 连续性基本单元进行了分析。以圆波导同轴对称阶梯为例，匹配不连续性处的横 向电场和磁场，推导出了具有通用性的各散射参数表达式，以及膜片基本单元的 散射矩阵公式。对于非同轴不对称圆波导阶梯、矩形波导以及矩形波导与圆波导 连接结构形式的不连续性分析，先确定其中的本征函数和归一化系数，然后按照 前面通用的公式求出相应的散射矩阵。在这些研究中，以圆波导与矩形波导连接 结构的分析较为复杂。这是由于圆波导与矩形波导的坐标不统一，为了方便分析， 必须根据连接结构形式进行相应的坐标转换。在分析大矩形波导与小圆波导的连 接结构中，将矩形波导中的直角坐标转换成圆波导中极坐标进行分析。相应的在 分析大圆波导与小矩形波导的连接结 勾中，将圆波导中的极坐标转换成矩形波导 中的直角坐标进行分析。 最后结合微波滤波器的设计理论设计了几种带通滤波器，给出了模式匹配法 和h f s s 的仿真比较，结果表明仿真数据和模式匹配法所得数据吻合很好。 关键词：波导不连续性模式匹配广义散射矩阵微波滤波器 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，s o m ed i s c o n t i n u i t i e so fw a v e g n i d es t r u c t u r ea l ea n a l y z e d b a s e do n m o d em a t c h i n gm e t h o da n dm i c r o w a v ef i l t e rd e s i g nt h e o r y , s e v e r a lb a n d - p a s sf i l t e r s w i t hd i f f e r e n td i s c o n t i n u i t ys t r u c t u r e sa r ed e s i g n e d f i r s to fa l l ，as e r i e so fk e yb l o c k sa r ea n a l y z e db ym o d em a t c h i n gm e t h o d t h e g e n e r a le x p r e s s i o n so ft h ec o u p l i n gm a t r i xa n ds c a t t e r i n gm a t r i xa r eg i v e nb ya n a l y z i n g t h ed i s c o n t i n u i t yu n i to fac o a x i a la n ds y m m e t r i c a lc i r c u l a rw a v e g u i d es t e p f o rc e r t a i n d i s c o n t i n u i t i e si n u n s y m m e t r i c a l c i r c u l a r w a v e g u i d es t e p ，r e c t a n g u l a r - t o - c i r c u l a r w a v e g u i d ej u n c t i o n s ，c o u p l i n gm a t r i xa n ds c a t t e r i n gm a t r i xc a nb ed i r e c t l yo b t a i n e d p r o v i d e dt h ee i g e n f u n c t i o na n dp o w e rn o r m a l i z a t i o nc o e f f i c i e n ta r eg i v e n a m o n gt h e s e ， t h ea n a l y s i so fr e c t a n g u l a r - t o - c i r c u l a rw a v e g u i d ej u n c t i o nd i s c o n t i n u i t yi st h em o s t c o m p l i c a t e dd u et ot h ei n h o m o g e n e o u sc o o r d i n a t ei sa d o p t e d t h ec o o r d i n a t em u s tb e c o n v e t t e dt ot h ec o n v e n i e n to r ei nt e r m so ft h ej u n c t i o ns t r u c t u r e 。 b yc o m b i n i n gm i c r o w a v ef i l t e rt h e o r yw i t hn u m e r i c a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d ， s e v e r a lb a n d p a s sf i l t e r sa r ed e s i g n e d t h er e s u l t so fm m m a g r e ew e l lw i t ht h a to f h f s s k e y w o r d ：w a v e g u i d ed i s c o n t i n u i t i e s m o d em a t c h i n g g e n e r a l i z e ds - p a r a m e t e r m a t r i xm i c r o w a v ef i l t e r 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果：也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：酞幽 日期 丑：! 竺 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名：日期! 墨! ：! 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文研究的背景和意义 波导无源器件是现代通信系统中一个极其重要的部分，尤其是在太空通信中 一些要求低损耗和高功率容量的应用。典型的波导无源器件有滤波器，双工器或 者多工器、耦合器、相移器与谐振器等等。这类器件在微波、毫米波通信、微波 导航、制导、遥测遥控，卫星通信以及军事电子对抗领域的需求量不断增大。因 此，研制高性能、小体积的无源器件，缩短无源器件设计周期，是目前微波、毫 米波通信领域的关键环节之一。 波导无源器件的传统设计方法通常是以等效电路模型【1 l 为基础来分析波导的 各种不连续性。二战期间，著名的麻省理工学院( m i t ) 的辐射实验室的成员们的研 究使得波导结和不连续性这种等效电路模型的电磁场分析有了重大的进展i z j 。 m r r 所完成的该理论工作无疑是一伟大的成就。利用这种等效电路模型，工程设 计人员通过简单的计算就可以解决复杂的电磁场问题。大量的对各种的波导和波 导不连续性【3 l 书1 的单模等效电路的网络描述可以在波导手册1 6 】中找到。许多这样 的等效电路模型直到现在仍然被运用，而且仍然在讨论波导不连续性的文章中作 为参考。但是利用该方法在设计时假设波导中只有主模工作。实际上波导中除了 主模以外，在不连续处还会产生高次模。忽略高次模的影响可能会使理论结果与 实验结果之间产生严重的不一致。当不连续性之间的距离不是足够大的时候，高 次模就会相互激励和耦合，试验结果偏离理论结果的现象就会非常明显。等效电 路法设计的器件精度不高，器件的一致性难以保证。在研制的过程中需要大量的 试验和人工调试，但是随着微波器件的需求日益增大，传统的设计方法并不经济。 并且在毫米波段，波导器件的尺寸非常小，人工调试几乎是不可能的。随着计算 机的发展，波导无源器件通过优化方法的全波分析和设计成为可能。在全波分析 中，因为考虑了波导结构中相互作用的高次模，从而大大提高了设计的精度。这 种方法在研制高性能、小体积的无源器件，减少研制成本、缩短无源器件设计周 期起到了非常重要的作用。 现代高速计算机的出现允许工程人员用简单的方法解决复杂的电磁场问题。 基于场理论的电磁场全波分析方法出现了，这些数值方法根据解场方程的方法可 以分为空间域。模式域，时问域等类型。如有限差分法( f d m ) 1 7 j ，有限元法( f e m ) 闱 为空间域方法；模式匹配法( m m m ) 和矩量法( m o m ) 1 9 】为模式域方法；时域有限差 分法( f d l 巾) 【l o 】和传输线法f n m ) 【1 l j 为时间域和空间域结合的方法，这些方法都有 2 波导无源器件的模式匹配法研究 自己最适合的结构。特别要提到的是基于有限元法的商用软件h f s s 也可用于微 波无源器件设计。该软件功能强大，最大的优点和特色是可以分析任意的几何结 构。这一点是模式匹配法所不具备的。但当所研究的无源器件具有规则几何结构 时( 实际应用中大部分微波无源器件的几何结构都是规则的) ，模式匹配法在计算 时间和精度方面具有十分明显的优势。尤其是器件几何结构复杂，包含的不连续 性很多时，h f s s 中所需划分的有限元网格数大幅增加，求解过程十分缓慢，而且 难以获得所需要的精度。模式匹配法的计算时间主要受所考虑模式数目的影响， 器件的复杂度带来的影响相对小的多。另外模式匹配法结合一些优化方法，如单 纯形法【1 2 1 、罚函数法、遗传算法等，对一些无源器件的进行优化设计，在时间消 耗上也比h f s s 少得多。 1 2 模式匹配法的概述f 1 3 1 模式匹配分析方法或者称模式匹配法1 1 4 】【1 5 l 是基于场理论的数值技术，是属于 边值问题的最常用方法之一。般面言，当待分析的几何结构能确认是由两个或 多个区域构成的结也叫不连续性，而每个区域又属于某个可分离变量的坐标系时， 就可以用模式匹配法。也就是说，在每一个区域都存在一组有明确定义的麦克斯 韦方程的解，也可以成为模式。这些解满足所定义的边界条件，但在不连续性处 除外。当解的序列是正交时，就成为规范模式。 模式匹配法的第一步就是需要在各个区域用各自的规范模式展开未知场 1 1 6 1 1 1 r l 。由于规范模式的变分形式是已知的，问题就归结为确定多个区域展开场的 模式的系数。该问题属于典型的半解析数值方法，即以解析方式展开场，而以数 值方式求解展开场的系数。考虑到规范模式的正交性，这个过程最终可得到一组 关于模式展开系数的无限维的线性方程组。由于仅在极少数情况下才能获得这类 无穷维方程组的精确解，一般无法得到该无限维方程组的解，人们不得不诸于近 似方法数值求解。如截断技术或迭代技术。解的准确程度必须认真验证，因为模 式匹配本身存在着相对收敛的问题。 最早利用波导的传输特性进行能量或信号的传输，研究的是均匀波导传输线 问题，在定义了模式之后，和般的t f a j 传输线的分析方法是类似的。当进行能 量传输时，很自然需要了解何处的场强最大。这在均匀波导中可以很好地解决。 然而，当存在加工缺陷或者需要两个波导段对接时，总会带来一定的不连续性。 这样电磁场可能产生奇异点，影响能量传输或信号的电平、色散等特性，因此， 有必要弄清不连续性处电磁场的特性。常规的模式匹配法是基于变分法而形成的。 因为利用模式的概念，在一定假设条件下( 如金属膜片厚度假设) ，可以采用半解 析的方法处理问题。 第一章绪论 3 较早发展模式匹配法的是2 0 世纪6 0 年代a w e x l e r 的工作f 1 2 j 。m i t l r a 和l e e 较为详细地论述了模式匹配法i 堋。但其后的数年内发展并不快。 最具影响力的波导模式匹配解决法来源于k o n i s h i 与u e n a k a d a 的工作，他们 提出了矩形金属波导平面滤波器结构并最早将该方法成功用于金属波导e 面膜片 滤波器的设计【1 9 1 ，并由陈亿元和s h i l l 等人发展完善了求解方法，并形成了专著l 嘲。 沿着这一主线有许多研究工作，极大地推动了模式匹配法的发展。对于波导滤波 器的发展贡献很大。他们所依据的基本数学思想是采用r a y l e i g h r 娩变分法， 通过模式匹配即切向电磁场连续可以获得表达场的一组范函表达式，通过求解该 范函的最小值可以获得待求解的电磁场进而获得等效电路参数。 另一个主线是利用广义散射矩阵法( g s m ) 求解波导不连续性问题，以 b o r n e m a n n l 2 0 1 ，a r n d t l 2 1 1 - 2 6 1 等人为代表，用适用于多模网络的广义散射矩阵法给 出了求解各种金属波导不连续性的统一的、形式简洁的算法，也已形成专著出版 1 2 7 1 。g s m 法是求解多分叉波导不连续性如双膜片、多膜片插入波导的有力方法 1 2 8 1 。尽管需要进行高阶矩阵的求逆，但随着计算机技术的发展，计算能力的提高 可以减轻这个影响。而且方程的形式十分简洁对称。此外，该方法当然还可以计 算高次模的散射参数，能帮助更多地了解场的分布与构成。 模式匹配法是基于采用边界匹配的手段达到对待解区域的电磁场求解的目 的。一般而言，转化为求解有限边界上的电磁场，相对来说简单一些。点匹配法 就是其中的一种典型方法。其核心思想是，在有限的点上，令近似解与真实解相 等，从而来保证近似的准确性。如矩量法、有限元法等，都是在一定的小范围内 满足连续与匹配的条件。同样，在这类方法中，准确性和收敛性与基函数的选取 有很大的关系。 按照常规的标准模式求解矩形波导问题时，会遇到正交三角函数序列的展开。 其内积十分简单。可用简单函数来表达。近年来，为了解决模式匹配法的相对收 敛闯题1 1 3 0 1 ，人们采用了一系列变形的三角函数来展开不连续性处的电磁场，而 这些变形三角函数的内积通常需要用特殊函数表达，例如分数阶的b e s s e l 函数 1 3 1 ) 1 3 2 1 、g e g e n b a u e r 多项式等。甚至在某些情况下，内积只能通过数值积分获得。 由于采用了这些能反映不连续处的场的物理本质特性的基函数，仅仅需要一个或 几个基函数即可保证快速收敛并获得较为准确的解。所以，即使由数值积分获得 上述内积，考虑到计算机技术的发展水平和前景，也不会给计算造成太大的负担。 因而收到了广泛的关注。 另外，也有人尝试采用基于模式匹配法的混合方法求解不连续性问题，如傅 立叶变换结合模式匹配法、边缘元与模式匹配的结合、模式匹配法与直线法的结 合、电路或网络理论结合模式匹配分析复杂结构等，说明该方法仍然是一种有效 的、不断发展的方法。 4 波导无源器件的模式匹配法研究 在模式匹配法不断吸收别的方法的优点的同时，一些在模式匹配法中发展起 来的技术也在向其他方法扩展。例如在有限元方面，也有相应的采用高阶的基函 数的趋势；采用适于边界的基函数的边缘元方法就是为适应特殊边界区域而出现 的。一般来讲，边界处的场变化较大，因此，设法让边界匹配或良好收敛，对于 全局来说有较大的影响。 波导无源器件结构中的不连续性可以用广义散射矩阵或广义导纳矩阵p 3 l 来 表征。它们都是使不连续面上的切向电场和磁场分别匹配然后进行推导求出广义 网络矩阵。另外还有不用电场和磁场在不连续处的匹配而用复功率守恒的方法使 电磁场和复功率连续进行推导的，叫做复功率守恒法。然而这仅仅在于推导广义 散射矩阵的方法不同，实际用来编程的方程与广义散射矩阵法是完全一样的。使 用广义导纳矩阵的好处是运算量小，仿真速度快。但它们有一个缺点，如果波导 段长度落在任一传播模式的半波长附近，则模式匹配法的解呈现出不稳定性。在 这种情况下，矩阵中的元素可能超出计算机的数值极限1 2 0 l 。因此模式匹配法研究 中采用最多的是广义散射矩阵。模式匹配法的一个缺点是解的收敛特性决定于模 式数量，通常可以在优化时使用较少的模式数而在最后验证分析时使用较多的模 式数。 模式匹配法的优势是在分析具有规则几何结构的微波器件时精度高，速度快， 其不足之处在于难以分析结构任意的不连续性，而有限元法等数值方法在任意结 构不连续性分析方面优点突出。近几年来，研究者们逐渐将兴趣投入到模式匹配 法与其他方法的结合上，并取得了成功的研究成果。可以预见，未来模式匹配法 的研究必将更加广泛和深入。 1 3 本论文的主要工作 本文对圆波导、矩形波导、圆波导与矩形波导之问的高精度模式匹配法电磁 仿真进行了系统研究。系统地研究了圆波导、矩形波导、圆波导与矩形波导连接 的各种结构的若干常用不连续性的模式匹配分析方法。在模式分析的基础上，使 用f o r t r a n 语言编写了波导不连续性的分析程序和波导滤波器的设计程序。 该程序与商用有限元软件h f s s 比较，在分析复杂结构时，本文程序精度高，运 算速度快。 全文共五章。第一章主要介绍论文研究的背景和意义，模式匹配法的概述以 及本文的主要工作。第二章讲述模式匹配法与广义散射矩阵，简单介绍了模式匹 配法的直观原理和数学原理，介绍了波导的模式展开形式及其特性以及介绍了广 义散射矩阵的定义及特性。第三章是对圆波导，主要是对同轴对称圆波导阶梯、 非同轴不对称圆波导阶梯的不连续性的分析。第四章是对圆波导与矩形波导连接 第一章绪论 5 的各种结构进行不连续性分析。其中主要的工作是在对不连续性两侧的场进行归 一化的基础上，求解模式之问的耦合系数，得到各自不连续性的广义散射矩阵。 第五章为基于模式匹配法的分析，结合以切比雪夫低通原型和阶梯阻抗原型来设 计滤波器，获得滤波器的尺寸。 第二章模式匹配法与广义散射矩阵 7 第二章模式匹配法与广义散射矩阵 2 1 模式匹配法的基本原理 模式匹配法又叫场分量匹配法，是一种比较直观、物理概念清楚而又实用的 方法。它常用来分析带有边界条件的波导问题。对于复杂的结构，可以将其分解 为许多简单的区域，在每个区域( 除了边界条件) 都能找到满足麦克斯韦方程的 模式方程。每个区域内都可以用一系列已知模式函数展开，应用边界条件可以解 出展开系数。这种方法不仅实用而且其中许多概念和技巧在其他方法中也要用到， 因此是十分重要的。 为使问题一般起见，先研究如图2 1 所示的波导不连续性。它是一个二端口 波导元件，在平面上有不连续性，两边都是均匀波导。这样的问题包括了一类波 导元件，例如阶梯波导，不同波导之间的连接接头等等。 i ii 。+ z 厂一 z = o 图2 1 波导不连续的例子 首先研究最常用的实际情况，设两边波导都只能传输基波，其他高次型波都 是消失波。对于有多个波型传播的情况也不能将上述情况加以推广。我们还假设 波导壁都是理想导体，波导中介质是无耗的。两边波导都延伸到无穷远或为有限 长，但端接匹配负载，即终端不会有反射波。如果要确定z = o 处不连续性对基波 传输影响的等效网络，则可通过求出不连续性的散射矩阵来确定。 模式匹配法有以下几个特点。 1 ) 从理论上讲，当波导两边模数n 和m 趋于无限大时，可得问题的严格解。 事实上，除个别形式的无穷联立方程组可得解外，一般情况都无法得解。但是， 只要取n 和m 足够大，原则上总可以得到所要求准确度得近似解。当然，这要以 增加计算时间和需要更大的计算机容量为代价。实际计算中，m 和n 只取有限值， 究竟取多大合适，可根据所要求的准确度利用收敛实验来确定。也就是说，用增 加m 和n 来看解的收敛速度。当取m 个模的结果与m + 1 个模的结果之差的绝对值 小于要求的误差时，我们即认为所取模数合适了。 8 波导无源器件的模式匹配法研究 2 ) 在通常情况下，模式匹配法都归结为线性联立方程组，这可以采用数值计 算方法解，所以特别使用于计算机上进行数值计算。 3 ) 它可以推广到多个不连续性的组合情况。例如图2 2 所示的不连续性的基 本单元 丁一 ： i i ! i ； 1 i ! 口 z - - oz - - t 图2 2 不连续性的基本单元 当l 足够长时，以致两个不连续性处z = o 和z = t 各自所激励起的高次模再到 达另一个不连续性处己衰减到很小而可以忽略时，也即两不连续性之间的高次模 耦合可以忽略时，我们可以将他们看成两个独立的不连续性来求。 模式匹配法的数学基础是正交函数的展开。正交级数的类型根据具体情况而 定，可以是三角函数( 直角坐标系) ，也可以是贝塞尔函数和纽曼函数( 柱坐标系) 。 一旦求得了展开系数，就可以计算场的分布。下面从数学角度来说明。 设有周期分别为和2 ( x 2 一而) 的两个周期波形i , ( x ) t x o , x o d 及 ，2 g j k ，z ： c 【0 ，d 。且当x b 。，屯】时，l d - ，2 ( d 。 f t ( x ) 用傅立叶级数表示为： 删一扣蛔( 2 - 1 ) 上式子同时乘以s m ( 詈x ) ，并在 o 两】上积分可得： r s i n 【m 知1 r ，z p g k - 薹n f s m ( 詈x ) s 诅( 詈x 卜( 2 - 2 ) 根据三角函数的正交性可得，当m n 时，上式右边的积分为0 ，否则为要， 因此： 苕咖陪x 卜g m ( 2 - 3 ) 在k ，屯】上： 第二章模式匹配法与广义散射矩阵 9 删一删一薹蛐( 告- 乒 结合( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式，系数可以表达为： - 云妻阢r 血( 詈x ) s 妯( 三扛一而产 q 甸 系数可以类似地求得： - 矗薹a m r s i l l ( - - 轰b 一而9 s 缸( 詈x 卜 q 。d 对上两式的无穷级数进行截断 ”詈耋钆r s m 睁h 轰b - 产 仁乃 钆一去缸j i x l 2 咖( 告h ) ) 咖降卜 弘 并记 a - l a 。，4 2 ，4 虬j ( 2 - 9 a ) 【6 】b 。，6 ：，6 ，。j ( 2 9 b ) 则有 k 】一曲1 6 】( 2 - 1 0 a ) 嘲一曲r 【口】( 2 - 1 0 b ) 其中a 为 lx n b 的矩阵，其矩阵元素 4 。琴咖咖( 轰h ) 卜 于是求出了【4 却西】的关系。 电场和磁场的切向分量在不连续面上的匹配基本与此类似，只不过电场或者 磁场是用它们对应的本征函数来展开的，他们的本征函数也构成一个正交函数系。 以后的论述中将会发现，式( 2 5 ) ，( 2 6 ) 基本上对应电场和磁场的切向分量在不连 续面的匹配条件。 波导无源器件的模式匹配法研究 2 2 波导中的电磁场的模式展开 假设波导边界为理想电导体，中空或者填充均匀先行介质，按惯例选择z 轴 为参考纵向，如图( 2 3 ) 所示。 数 图2 3 均匀导波系统 从麦克斯韦方程组可以得出，横向电场和磁场可以表示为一些正交函数的级 丘o ，y ，z ) 一巨。 ，y ，z ) 锱 ( 2 - 1 2 ) 膏，似) ，z ) - 詹，o ，y ，z ) ( 2 1 3 ) 而 其中丘。，豆。分别为第1 1 1 个模式的横向电场和磁场，x ，y 为横向坐标。所有的 模式可以分成两大类：e i - 0 ，h ：- 0 的横电模f r e ) 或者h 模和t 一0 ，h ：一0 的横磁模( t m ) 或者e 模。横向场可以写成 丘- 圪( z ) 毛o ，y )( 2 - 1 4 ) 詹，。一，。0 ) 矗o ，y )( 2 1 5 ) 其中圪和，。满足电报方程，可以写为 g ) - v 2 * 肌+ p ：e 肌。( 2 1 6 ) ，。q ) - ，：p 。a = 。+ c e 肌。( 2 1 7 ) 这里的横幅度和，。可以解释为第m 个模式的等效电压和电流。嘭和k 为正向 和反向电压的幅度，e 和c 为正向和反向电流的幅度。对应的特性阻抗为 毛- 若一等 8 ) 第二章模式匹配法与广义散射矩阵 这个特性阻抗是可以任意选择的。 横向场矢量瓦和瓦可以由波导横截面的本征值问题的解获得，在横截面s 上有： v ；瓦，+ 七乙疋，- 0 ( 2 - 1 9 ) 在s 的边界c 上满足边界条件： 鲁一仉对礁( 2 - 2 锄 = 0 ， 对? m 模。 其中镌是第m 个模式的本征值，兰是沿边界c 的外法向的偏微分。一旦标量本 征函数t 。求出，就可以计算横向场分量 毛- k 乏乙誓篡 凶 瓦- 竺苎t 毛( 2 2 2 ) 其中兄为z 方向的单位矢量， 仉一 琵三：? 仉为第m 个模式的波阻抗，以一2 f 一七三一为相位常数。当- q 。时凡= o ， 吐。鲁( 2 2 4 ) 称为截止频率，当珊t 啡，时，成为纯虚数， ，卢。- c r 。一七乙一2 肛f ( 2 2 5 ) 称为衰减常数，这时模式波阻抗也变为纯虚数，该模式称为渐消模式。由 丘，o ，y ，z ) 一o 名e 以+ k p + 矾2 茂y )( 2 2 6 ) 詹。， ，y ，z ) 一孵g 一脚一e + 雠埏己 ，y )( 2 勿 ，：矗 波导无源器件的模式匹配法研究 抗相等： z c i - 叩；月 则有 瓦- t 毛 特性阻抗归一化： z 。- 1 则有 瓦上t 瓦 l | z 4 纵向电场和磁场分量则分别表示为只含有t m 和t e 项的级数： e - 一，叩荟7 m o 弘：一 ：一一j 妻v m ( z ) h 。( x ，y ) 其中 巳，争l 对t m 模 一譬l ，对t e 模 上面四式中叩、，形是煤质的波阻抗，而七，挪万是相应的波数。 2 3 波导正规模的特性 ( 2 一z s ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 佗一3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) 但一3 4 ) ( 2 3 5 ) 由前面的分析可知，波导中的t e 模和t m 模是麦克斯韦方程的两套独立解， 因此可以认为它们是波导的基本波型。这两套波型又包括无穷多个结构不同的模 式，彼此相互独立。它们可以单独存在，也可以同时并存。这一个个的模式称为 正规模。 在某些波导里，例如部分填充介质的矩形波导或圆波导里，一个t e 模或t m 模是不能独立存在的。在这种情况下，有时可以用其它的基本波型，如纵电( l s e ) 模和纵磁( l s m ) 模。但不论是什么波型，波导中的波型仍然可以看成是t e 和t m 模的叠加。波导正规模具有一些很重要的特性，即所谓对称性、正交完备性i 州。 第二章模式匹配法与广义散射矩阵 2 3 i 对称性 波导正规模的电场和磁场对时间和距离具有对称性和反对称性： ( 1 ) 正规模的电场和磁场波函数对时间t 分别为对称函数和反对称函数，即 有 e嘏兰2(2-36)h- h - t )：( ，f ) 一。( r ， 器二鬻， 日：( ，) - 一日：( r ) 式中，毛( r ，t ) 、h 。( r ，f ) 是时间为+ t 的场，e 2 ( ，f ) 、h 2 ( r ，f ) 是时间为一t 的场； 符号代表共轭复数。特性式( 2 3 7 ) 可根据麦克斯韦方程得到证明。 ( 2 ) 正规模的电场和磁场的波函数关于纵坐标z 的对称性；横向电场e 与纵 向磁场h ：是坐标z 的对称函数；横向磁场日，与纵向电场e ：是坐标z 的反对称函 数，即有 巨：0 ) 一e ，( 一z ) e z 2 ( z ) - - e z - ( 。) 但3 8 ) 日，2 ( z ) - - h n ( 一z ) 、 7 日：2 ( z ) 一h d ( 一z ) 式中，e 。g ) 、e ：，0 ) 、h 。( z ) 南i i h ：。0 ) 是沿+ z 方向传播的场；e ：0 ) 、e ：0 ) 、 h ，：( z ) 和：g ) 是沿一z 方向传播的场。 如果时间t 和传播时间同时变换符号，则电场和磁场应同时满足式( 2 3 6 ) 或 式( 2 - 3 7 ) 和式( 2 - 3 8 ) ，对称性则变为 e ：一跣 日。日 ( 2 3 9 ) e 。- 跣 、 h 2 h - 一h k 下标m 代表模式指数。 由式( 2 - 3 9 ) 可以看出，0 和日。必须式实数，否则左右两边不可能相等。因 此e 。和日。必然是相位相同；e 。和日。必然是虚数，否则左右两边不可能相等。 由此可知正规模的电场和磁场的横向分量或纵向分量相互同相，而横向分量与纵 向分量成9 0 。相位差。故对于正规模，e 。x h 。是传输能量。 ( 3 ) 对于消失模，不存在变换z 的符号问题，只有时间对称关系： 1 4 波导无源器件的模式匹配法研究 z m ( ，) 2 畦( ，) f 2 - 4 0 ) h 。( r ) - 一日二( r ) 、 可见e 是实数，而h 。是虚数，两者相位差9 0 。故对于消失模，以月l 不 是传输能量，而是虚功，是储能。 上述分析结果表明，正规模的对称性是麦克斯韦方程对称性和波导本身对称 性的必然结果。这种对称性在研究波导的不连续性问题是非常有用。 2 3 2 正交完备性 正交性是正规模的一种基本特性，有着重要的应用。在确定组成波导中的电 磁场各模式的系数时，例如由不连续性所产生的正规模的系数时等，都必须应用 正规模的正交特性。 矩形波导的本征函数是正弦和余弦函数。圆波导的本征函数是贝塞尔函数与 正弦、余弦函数。这些本征函数都具有正交性，由这些本征函数表征的矩形波导 和圆波导的正规模也就具有正交特性。一般而言，若以i 和j 代表两个特定的模 式，则波导正规模的正交性可以表示成如下形式： f ( h m ) 。( o ：) 。d s 一0 m - 雄，t e 模 f 2 4 1 ) r 但o ：) 。( e o ；) 。d s - 0 m - 竹，珊模 、 二 “日o 。) 。( 日m ) 。d s 一0 m n ，t e 或7 m 模 r 怛m ) 。俾m ) 。d s 一0 m 一厅，珏或跏模 、4 2 ) 4 f 2 肛o y ) 。饵。i r e ) 。d s 一0 m 一珂 蕊孑卜c e y ) 。d s ，o 小，玎 r 但) i 俾o 。) ，三d s 一0 f 一，珏或删模( 2 蜘 可知模式函数的正交性为 p 肌jxj j l 。e d s - 0 m - 厅 二 仁。i 沁一0m-n(2-45) f h 。h d s = 0 m 一栉 式中毛和元分别表示第m 模横向电场的模式函数和第n 模横向磁场的模式函 数。 第二章模式匹配法与广义散射矩阵 由于等效传输线是导波模式的理想模型，跟模式场量关联的功率流必须等于 相应的等效传输线关联的功率流，因此，模式函数的归一化条件 l 毛t x h - i 幽1 1 m l n 啪。专 一露 乒，袖- 鲁 m 一弹 ( 2 - 4 6 ) 由上式可以看出，三生必须是实正数。因为波阻抗仉在截止频率以下是纯虚数， 町一 在截止频率以上是实数，同样地，特性阻抗z ，。也是在截止频率以下是纯虚数， 在截止频率以上是实数。 由式( 2 1 2 ) 、( 2 - 1 3 ) 、( 2 - 1 4 ) 和( 2 - 1 5 ) 可知当波导中传输任意场时，所传输的总 功率为 蜀一1 2 r e t e 雪露+ 磁- 1 z r e 二 豆t 露? 铀 圭r 6 ，( 善瓦) x ( ；c ) 拙( 2 4 7 ) - 去r e 圪，：一t 础 由上式可以看出，波导中传输任意场时的总功率等于每个正规模所携带功率之总 和，而各模式之间没有能量耦合。 2 4广义散射矩阵 2 4 1 广义散射矩阵的定义 s 参数是描述网络各端口的归一化入射波和反射波之间关系的网络参数。对 图2 2 的n 端口微波网络，设进入网络的方向为入射波方向，离开网络的方向为 反射波方向，则各端口的归一化入射波和反射波的关系为： h 。j 专吼+ 钆( “8 ) k lk _ z o k a k b k 式中心和i i 为归一化电压和电流，吼和钆表示入射波和反射波。由此可得 波导无源器件的模式匹配法研究 用矩阵表示有： ”三“ 以一三“一) 陀- 4 9 ) k 】一妻 】+ 的 ， ( 2 - 5 0 ) m 一妻删一【f l 如果h 和之间是线性关系，显然 6 】与k 】之间也存在线性关系，并记为： b 】= s k 】 ( 2 5 1 ) 其中陋】即为广义散射矩阵( g s m ) 。 q 抚 4 2 6 2 4 村 k 网络 图2 4 n 端口网络 口_ + l k 。 4 m + 2 吒+ 2 4 4 钆 对波导不连续性，另一种描述方法就是用入射波向量 4 】和反射波向量m 来 表示波导中的场，满足式( 2 4 9 ) 。其中 叫鼬 叫黜 4j 一【口：，口；，口；j 瞳】。k ，醚，k 】 佗5 z ) ( 2 5 3 ) 其中v 为i 或l i ，表示两个不连续区域。 一个无耗网络的s 参数具有互易性和么正性。这些特性在微波电路特性的分 第二章模式匹配法与广义散射矩阵 析中有着重要的应用。叩： sis t s 7 s 一域s + s ；1 对于一个二端口微波网络，其s 参数的无耗互易性由式( 2 - 5 2 ) 可得： s 。1 2 + s 2 1 2 1 s 2 + s 1 2 2 1 而如果二端口微波网络l 、2 端口具有几何对称性。则有： s l i 一，s i 2 一s 2 l 这些特性对于模式匹配法在应用过程中的验证起到了非常重要的作用。 2 4 2 广义散射矩阵的级联 ( 2 - 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 - 5 6 ) 两个典型的二端口网络a 和b 级联，级联后形成新的二端口网络c ，如图2 3 所示。其散射矩阵的参量可由网络a 和b 的散射参量表示为： 图2 5 两个二端口网络的级联 s 矗- s 矗+ 5 鑫【，一s o s 乏j 。s 。b 。o ：a 。 篙撼落凳 c 2 奶 s 矗一s 刍p 一磷5 刍j _ 1 s 品 。 s 刍l s 乞+ s 刍l ，一s 矗s 乏j - 1 s 乏s 墨 实际应用中波导无源器件通常可以分解为一系列通用的基本单元，在分析波 导的不连续性时，只要求得了不连续性面上的广义散射矩阵，就可利用广义散射 矩阵级联技术求得基本单元的广义散射矩阵。 第三章圆波导不连续性分析 第三章圆波导不连续性分析 3 1 概述 圆形波导简称圆波导，是截面形状为圆形的空心金属管，如图3 1 所示，其 内壁半径为a 。圆波导只能传输t e 和t m 模，其加工方便，具有损耗小和双极化 特性。由一段圆波导构成的微波元件在微波技术中有很多用处，例如圆柱形谐振 腔、雷达发射机到雷达天线之间的旋转关节，微波管的输出窗、旋转式衰减器和 移项器等。 图3 1 圆形波导 在圆波导中式( 2 1 9 ) 可变为： m 砰阶p 争专鲁卜，- 。 ( 3 - 1 ) t e 模式的边界条件是在r = a 处，满足式( 2 2 0 ) 中的第一式，必须 ，：( 七。口) 一0 ( 3 - 2 a ) 此式为圆波导t e 模式的特征方程。其中以 。a ) 为m 阶贝塞尔函数的导数， 其变化曲线示于图3 2 ( b ) 。令j - 魄4 ) 的根为。，也就是。表示m 阶贝 塞尔函数导数为零的第n 个根，则有 j 二( ) 一o ( 3 2 b ) 因此得到t e 模式的截止波数 量m 一卫( h ，1 ，2 ，) ( 3 - 3 ) 2 0 波导无源器件的模武匹配法研究 。的值司以按f 式求得 一4 一百b + 3 一币c 万一丽d 其中 舢如+ 丢他) 三，“锄2 ，“7 8 2 + 8 2 b 一9 ， d 8 3 8 34 - 2 0 7 5 8 2 3 0 3 9 b4 - 3 5 3 7 进而可以得到t e 模的本征函数 k 吨l ( 争r ) 黝 式中q 。为归一化系数，x - 值为 1 o 8 o 6 0 4 o 2 o o 2 一o 4 一o 6 01 2 3 4567891 01 1 1 2 图3 2 ( a ) 贝塞尔函数变化曲线 ( 3 4 ) ( 3 - 5 ) 拓甄 l 第三章锄波导不连续性分析 o 8 o 6 o 4 o 2 o o 2 一o 4 一o 6 0 8 01234567891 01 1 1 2 x + 图3 2 ( b ) 贝塞尔函数导数变化曲线 图3 2 贝塞尔函数，。o ) 及其导数，：o ) 的变化曲线 t m 模式的边界条件是在r = 8 处，满足式( 2 2 0 ) 中的第二式，必须 - ，。 ，) 一0 ( 3 - 7 a ) 此式为圆波导t m 模式的特征方程。其中， 。a ) 为m 阶贝塞尔函数，其变化 曲线如图3 2 ( a ) 所示。令- ，。 。口) 的根为，也就是，表示m 阶贝塞尔 函数为零的第i i 个根，则有 j 。o 。) 一0 ( 3 - t b ) 由此得到t m 模式的截止波数 七一一= ! ! 芝0 - 1 , 2 ，”) ( 3 8 ) k 。的值可以按下式求得 ，- 4 一等( 1 + 夏可c + i 而2 d + 而丽e + ( 3 - 9 ) 其中 爿t 伽一i 1 + 知) 号, b - 4 m 2 , c 一7 b 一3 1 , d t 8 扭2 9 8 扭+ 3 7 7 9 ， e 。6 9 4 9 8 3 1 5 3 8 5 5 8 2 + 1 5 8 5 7 4 3 b 一6 2 7 7 2 3 7 从而可以得到t m 模的本征函数 波导无源器件的模式匹配法研究 - ( 等r 俨 c o s ( r o d ) 式中q o 为归一化系数t 其值可表示为 q - ( 3 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) 在圆波导中最常应用的波导波型有最低波型t e l 模和两个圆对称波型t e o ，模 与掰o 。模。 圆波导t e i ，模的临界波长最长，a 一3 4 1 a ，是圆波导的主模。由于疆。存在 极化简并，当圆波导出现椭圆度时，就会分裂处c o s # 和s i n # 模。所以一般情况下 不宜采用亚，模来传输微波能量和信号。 t m 。，模是圆波导的最低型横磁模，是圆波导的次主模，没有简并，其 丸一2 6 2 a 。t m 。，模场结构的特点有：电磁场沿驴方向不变化，场分布具有圆对 称性( 或轴对称性) ；电场相对集中在中心线附近，磁场则相对集中于波导壁附近。 由于t m 。模具有这些特点，所以特别适用于作天线扫描装置的旋转铰链的工作模 式。 t e o ，模是圆波导的高次模，其屯一1 6 4 a 。当传输功率一定时，t e o ，模随着频 率增高，损耗将减小，衰减常数变小。这一特性使t e 。模适用作毫米波长距离低 损耗传输与高q 值圆柱谐振腔的工作模式。由于该模式不是圆波导的最低模式， 因此采用t e 。模式作为工作模式时，应设法抑制其它模式。 3 2 同轴对称圆波导阶梯不连续性 在波导装置中的电磁场的表达式是满足导波装置特点的边界条件的麦克斯韦 方程组的解，对于均匀导波装置来说，通常有两种分析方法：纵向场法和赫兹矢 量法。本文采用前者，也就是由麦克斯韦方程组导出的电场e 和磁场h 所满足的 矢量赫姆霍兹方程。根据波导横截面的形状和尺寸沿电磁波传输方向不变的特点， 从e 和h 所满足的矢量赫姆霍兹方程中分离只含有电场或磁场纵向分量的标量赫 姆霍兹方程，应用导波的边界条件求出电场和磁场的纵向分量，再根据麦克斯韦 方程组给出的电场和磁场纵向分量与电场和磁场横向分量的关系求出电磁场全部 的横向分量。 同轴对称的圆波导阶梯如图3 3 所示，其在z = o 处存在不连续性。令z o 的区域为i 区，i 、i i 区同轴。假设t e 及t m 模式的下标分 一 再瓯 一l 第三章圃波导不连续性分析 ( ，力 z = o 图3 3 同轴对称圆波导阶梯 z 别为m 、m 。 。，并用p 来代表i i 区的一组坍 或历。n ，q 采代表i 区阴一组小 或埘。厅。由上节可知： 区w e 及t m 模式的本征函数 础四种p 蒯 ( 3 1 锄 一q 三_ ( 薏，川 s i n 。( m 知奶) ( 3 - 1 2 b ) 其中功率归一化系数q 嚣和璐分别为 ，医 驴i i 硒旒i p 咖蒜 p m ： 呓哪艟) 捌 砝础砖黜 其中归一化系数鱿和璐分别为 、匡 如撩 戤一蒹 产。： ( 3 - 1 2 d ) ( 3 1 3 a ) ( 3 1 3 b ) ( 3 - 1 3 c ) ( 3 1 3 d ) 波导无源器件的模武匹配法研究 至此，通过( 2 2 1 ) 式可以分别求出i 、i i 区t e 及t m 模的模式函数砧、砖， 砖、- 1 1 用反射波和入射波定义模式电压和模式电流，从而可求得各自的切向电 磁场分量： 彰艺艺压o + 碥