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曲阜师范大学硕士学位论文 三阶非线性脉冲微分方程边值问题解的存在性 摘要 脉冲微分方程的理论是描述在某些时刻具有突然变化的过程具有这种特性 的过程是经常地在自然界出现的，特别是在如下现象的研究中，如：物理学，化 学工程技术，人口动态分布，生物科技和经济学脉冲微分方程理论已经变成非 常重要的研究领域，而且比我们现有的其他微分方程理论要丰富很多，因其能很 好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重 视但现有的脉冲微分方程大多研究周期边值或二阶的问题，本文通过应用锥中 的不动点理论并基于先验估计，上下解，迭代等方法，得到一类三阶脉冲微分方 程的正解，取得较新的结果全文共分三章 第一章讨论了下面带有脉冲项的三阶边值问题： ( ) ) ，t 以t 札， 死0 ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，礼， ( 1 1 ) ( 1 ) = 0 ， 这里j = 【0 ，1 ，c ( j 冗+ ，冗+ ) ，如g ( r + ，冗+ ) ，r + = f o ，+ 。o ) ，t 忌( 七= 1 ，2 ，仃) 满足0 t z t 2 九 t n 1 ，x u ”l 扛“= u t ( t 吉) 一( 蝠) ，其中“( 吉) ， 陈) 分别代表他) 在t = 的右极限和左极限首先通过计算得到格林函数， 然后利用它特别的性质，构建一个适当的锥，再应用锥拉伸压缩不动点定理得到 正解的存在性定理 第二章讨论了下列非线性三阶脉冲边值问题的正解： ，0 t l ， ，竹， ( 2 1 ) ) = 0 在对f ( t ，t ( t ) ，口他) ，t ( t ) ) 必要的假设下，通过利用k r a s n o s e l s k i i s 锥拉伸压缩不动 点定理我们得到边值问题正解的存在性定理，并且通过一个例子来说明我们的主 要结果的应用 t i、j 弛 嘞 f f 亿吨 m 酣归他越 | i l 以 l i 肛 七 十 l 矿 州“班靠m 议 l l i i t k r 地 吨 一 ： 卜 l ； d硷 曲阜师范大学硕士学位论文 f 一缸胛( t ) = j p ( t ，u ) ，u i ( ) ，。t t l ( ) ) ；t zt t 南， 让( o ) = u ( 7 7 1 ) ，( o ) = ( 7 7 1 ) ，u ( o ) = ( 7 7 1 ) ， ( 3 1 ) 【u ( t ) = 毋( 珏( 乱) ) ，u ( t 7 ) = ( ( 如) ) ，( 才) = ( ( 如) ) ， 这里，：【0 ，2 7 r 1 r 3 一兄是l l c a r a t h e o d o r y 函数， 吼，和磕是实值函数，且 t i ( o ，2 丌) ( 1 = 1 ，2 ，m ) 满足0 = t o t l t 2 t k t i n + 1 2 2 7 r ， 田1 ( t l ，t 2 】我们的研究是基于先验估计，上下解，迭代等方法 关键词：三阶；脉冲边值问题；正解存在性；全连续；不动点定埋； 周期解；先验估计；上下解；a s c o l ia r z e l a 定理 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s en a t u r a l l yi nt h ed e s c r i p t i o no fp h y s i c a l a n db i o l o g i c a lp h e n o m e n at h a ta r es u b j e c t e dt oi n s t a n t a n e o u sc h a n g e sa ts o m e t i m ei n s t a n t sc a l l e dm o m e n t s f o rag o o da c c o u n to nt h i st h e o r y w h i c hh a ss e e n as i g n i f i c a n td e v e l o p m e n to v e rt h ep a s td e c a d e sn o n i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m sf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v er e c e i v e dag r e a td e a l o fa t t e n t i o n h o w e v e r ，v e r yf e wp a p e r sh a v eb e e nd e v o t e dt ot h es t u d yo fh i g h e r o r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nf a c t ，v e r yl i t t l ei sk n o w nt h ec a s eo f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h i r do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti s o u ra i mi nt h i sp a p e rt op r e s e n tas e l f - c o n t a i n e dc o n t r i b u t i o nt ot h i si m p o r t a n t a r e a w es h a l li n t r o d u c e ! k ) m ea u x i l i a r yf u n c t i o n st h a tw i l lp l a y a l lf u n d a m e n t a l r o l ei no u ra n a l y s i s w ep r o v i d es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h a tn o n l i n e a r i t ya n d t h ei m p u l s ef u n c t i o n st h a tg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n es o l u t i o n o u r a p p r o a c hi sb a s e do i lap r i o r ie s t i m a t e s ，t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s c o m b i n e dw i t ha ni t e r a t i v et e c h n i q u ea n df i x e dp o i n tt h e o r e m ，w h i c hi sn o tn e e - e s s a r i l ym o n o t o n e t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s t h et h e s i si sd i v i d e di n t o t h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e rl ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gt h i r d o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m w i t hi m p u l s ee f f e c t s ( 1 ：1 ) w h e r ej = 【0 ，1 1 ，c ( j 冗+ ，r + ) ，厶c ( n + ，r + ) ，r + = 0 ，+ 。) ，t ；( 七= 1 ，2 ，n ) a r ef i x e dp o i n t sw i t h0 t x t 2 t k k 1 ，a u ：k = ( j ) 一u ( t i ) ，w h e r eu ( t 吉) a n du ( t i ) r e p r e s e n tt h er i g h t h a n dl i m i ta n d l e f t h a n dl i m i to f “( t ) a to = 如r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o b l e mo fe x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r t h en o n l i n e a rt h i r do r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ： ( 2 1 ) 一， * 心 z b q块讯m 删址一 m = i i 咄 卜k = 骖唧“ 0 m o i | 仉幺” = l 弋 l l 敛 恸皓坼 k 卜 九0 0协似 矾“m 力k 0 以l i i i t i 、j 泖 + i i h i l d w 一“” 珏 _ u ，、。_， 堕呈堕堇奎堂堡主堂焦鲨塞 b yu s i n gk r a s n o s e l s k i i sf i x e d p o i n tt h e o r e mo fc o n e ，w ee s t a b l i s hv a r i o u sr e s u l t s o nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u n d e rv a t i o u sa s s u m p t i o n so nf ( t ，u ( t ) ，u i ( t ) ，u ( t ) ) ，w eg i v et h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v e s o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w es t u d ym a i n l yt h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r n o n l i n e a rt h i r do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss u b j e c t e dt oi m p u l s i v ee f f e c t s ： ( 3 1 ) w h e r ef ：【0 ，2 7 r 1xr 3 一ri sa l k c a r a t h e o d o r yf u n c t i o n ，吼，乜a n d a r eg i v e nr e a l v a l u e df u n c t i o n s ，a n d 蠡( 0 ，2 7 r ) ( i = 1 ，2 ，m ) ，s u c ht h a t0 = t o t 1 t 2 t m + 1 = 2 7 r ，叼1 ( t 1 ，t 2 w ep r o v i d es u 凰c i e n tc o n d i t i o n s o nt h en o n l i n e a r i t ya n dt h ei m p u l s ef u n c t i o n st h a tg u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo f a tl e a s to n ep e r i o d i cs o l u t i o n 。o u ra p p r o a c hi sb a s e do nap r i o r ie s t i m a t e s ，t h e m e t h o do fu p p e ra n d1 0 w e rs o l u t i o n sc o m b i n e dw i t ha ni t e r a t i v et e c h n i q u e k e y w o r d s ：t h i r do r d e r ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hi m p u l s ee f f e c t s ；p o s - i t i v es o l u t i o n ；c o m p l e t e l yc o n t i n u o u s ；f i x e d - p o i n tt h e o r e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ； p r i o r ie s t i m a t e s ；l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ；a s c o l ia r z e l at h e o r e m ，”岛州n = 他喇n m ，l 叫 气陬嘶垆“锄删岫忙 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明；此处所提交的硕士论文三阶非线性脉冲微分方程边值问题 解的存在性，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进 行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研 究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的 方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：曲甲；智日期：知7 车目日 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 三阶非线性脉冲微分方程边值问题解的存在性系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜 师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲 阜师范大学关于保存，使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论 文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以 采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名；锄砑日期：研辜绸日 导师签名。睾付褒醐舢7 e 夕 第一章三阶脉冲微分方程两点边值问题的正解 1 1 引言 脉冲微分方程的理论是描述在某些时刻具有突然变化的过程具有这种特性 的过程是在自然界经常地出现的，特别是在如下现象的研究中，如；物理学，化学 工程技术，人口动态分布，生物科技和经济学对于在尼。中的脉冲微分方程的 基本理论的介绍，我们可以参考 1 3 】和它们的参考文献脉冲微分方程理论已经 变成非常重要的研究领域，而且比我们现有的其他微分方程理论要丰富很多( 可 参考f 4 - 1 1 和它们的参考文献) 现有的脉冲微分方程大多研究周期边值或二阶的 问题，也有不少作者研究了三阶边值问题的解，而且研究结果在建筑和应用科学 中得到了很好的应用最近，在不含脉冲项的情况下，a l e xp p a l a m i d e s ( 4 1 】利 用锥拉伸压缩不动点定理讨论了下面三阶三点边值问题： iu m ( t ) = a ( t ) f ( t ，钆( t ) ) ，0 t 1 ， i “( o ) = u ( 1 ) = ( ? 7 ) = 0 ， 其中7 7 ( 装，1 ) 在 4 1 】的基础上，我们加上脉冲项来研究，通过计算证明g i e e n 函数的性质，构造一个特殊的锥，再应用锥中的不动点理论得到了下述三阶脉冲 微分方程的正解 lu l ( t ) = s ( t ，“( t ) ) ，t zt t k ， 一 括坟= i k ( u ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ，死， ( 1 1 ) l 钍( o ) = u ( 1 ) = 让( 1 ) = 0 ， 这里，= 【0 ，1 】，f c ( j r + ，矿) ，厶c ( 舻，冗+ ) ，肘= 【0 ，+ 。) ，t k ( k = 1 ，2 ，n ) 满足0 t z t 2 t k t n 0 ，t 【0 ，1 1 为了建立问题( 1 1 ) 正解的存在性，我们给出下面假设： ( 厶1 ) f c ( j r + ，j 矿) ，厶c ( r + ，r + ) 。 引理1 2 1 茁p c 2 【0 ，l 】n c ( ，) 是问题( 1 1 ) 的解当且仅当z 是下列脉冲 积分方程的解： 乱( t ) = g ( t ，s ) ，( s ，u ( s ) ) 如+ c ( t ，t k ) 厶( u ( t ) ) ， ( 1 2 1 ) j 0_ ； 其中 g ( 允s ) = 互1 1 t ( ( 1 2 一s - 幻s s 。2 ，- 。t ) , s o 亡t 1 s s 1 证首先没z p c 2 o ，1 】是问题( 1 1 ) 的解积分( 1 1 ) 得 t u r n ( 岫= 办s 州s 眦 而对t ( t k ，t k + i 】有 u 删( 8 ) d s = u ( t 1 ) 一7 ( o ) + t t i i ( t 2 ) 一u l l ( t l + ) 十 + 札( t k ) 一u i i k , 。- 七 t - 一1 ) + t ( t ) 一7 吉) ) = 让( t ) 一( o ) + 氕( u ( t k ) ) ， 从而 钍萨( o ) 十。厶( u ( 七) ) + zm 删) 豳 ( 1 删 o 札 t 。” 2 曲阜师范大学硕士学位论文 - _ _ - _ _ _ - i _ - _ _ - - _ - _ _ - ， _ _ - _ - h _ - _ - _ _ _ _ _ h _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ - 一 再积分可得 以归州。m ，( 0 ”o o 聪昧溅如+ z 。东。嫩枷幽， 而 故 。z 5 ，( 毒，让( ) ) 武幽= z 。一s ) ，( s ，弘( s ) ) d s ， z 。丕。叫啡。 = f o a o d s + t 2 1 1 ( 札 - ) ) 如+ f t ，。, t 3 【厶( u ( t ，) ) + 岛( u ( 亡。) ) 】d ；十 ， + 厶 ( t 1 ) ) + j 1 2 ( u ( t 2 ) ) + + i a ( u ( t k ) ) d s 。，t t = i k ( u ( t k ) ) ( t t k ) ， o t k e 缸俅) = u ，( 0 ) + ( o ) 抖z ( t - s ) f ( 刚( s ) ) d s + ，t 再次积分得 又 u ) = “( 。) + u 7 ( o ) + ( 。) 萼+ j o z 3 ( s 一) ， ，u ) ) 诞d s u ( 亡) = “( o ) + u 7 ( o ) + ( o ) 苦+( s 一) ， ，u ) ) 诞d s + z 。o t k s 狮) ) ( 川汹 o f 0 5 ( s 叫胀，昧) ) 必如= 互1 小_ s ) 2 m ，u ( s ) ) 旭 z 。o t k s 嫩枷( 川汕 = 厶( u ( 如) ) 主( t “) 2 ， o t k t 从而 阳( 0 ) m 州，( 0 ) 曩小钔( s 吣) ) d s 十。聂。蝴枷扣钓2 3 第一章 三阶脉冲微分方程两点边值问题的正解 凼此，由“( o ) = 乱【1 j = 0 ， i t ”( 1 ) = 0 司得 ( ? ) = 一z ，( s ，u ( s ) ) d s o t k ，厶( u * ) ) ， ( 1 2 3 ) 以0 ) _ i 0 1 ( 2 s 。) ，( 删肼互1 。蒹，嫩珈一a 。 所以 心) = i i o s 2 ( 1 叫m ，u ( s ) ) 幽十互1z 1 ( 2 s - s 2 - t ) 州s ，小) ) 如 + 厶 ( 靠) ) 去( 1 - t ) t 2 + 厶 o 缸) ) 去( 2 t 七一t 2 一t ) t 0 “ t 。 c 奴 l 。 2 z 嘶吣) ) d s + 善晰肌( u ( ) 另一方面，若i t 是( 1 2 1 ) 的解，直接求导，对于t t k u 印) = g - ( 亡，s ) 弛，乱( s ) ) d s + g ，( t ) 厶( u ( 枞 ，0：= ； u ”( t ) = g 2 ( t ，8 ) f ( s ，u ( s ) ) 如+ g 。( 七) 厶( u ( 枞 ，0 t - - 。i 其中 g m 一= 虿1b 2 s - s 2 峨- 2 t ! 翟g g 2 ，s ) ： 一1 o 。s 1 【u ，0s 8stsl 。 因此 u n ( t ) = f ( t ，u ( ) ) 明显 a u i 矧。= 矗( u ( 如) ) 七= 1 ，2 ，n ， u ( o ) = u ( 1 ) = u ( 1 ) = 0 引理1 2 2 若( 肌) 成立，则问题( 1 1 ) 的解让满足乱( t ) 0 ，t j ，而且 u 在f 0 ，1 1 上是凹的 4 曲阜师范大学硕士学位论文 证设u 是问题( 1 1 ) 的解对t ，s f 0 ，1 】，当s t 时，g ( t ，8 ) = ；( 1 - t ) s 2 o 当s t 时，若g ( t ，s ) = ( 2 s t s 2 ) t 0 ，则有2 s s 2 一t 0 ，从而 t s 1 一 r 习，即t 0 矛盾因此a ( t ，s ) = j ( 2 s t s 2 ) t 0 再由 f ( s ，让( s ) ) ，厶的非负性可得u ( t ) 0 下证u ( t ) 在【0 , 1 】上是凹的。由( 1 2 2 ) ，( 1 2 3 ) 可得 ，1 乱( t ) = 一! ，( s ，u ( s ) ) d s 一厶( 钆( 枞 。t 0 ，使得厂和矗满足下列条件： ( 二k ) ，( o ，u ) 三，厶( u ) i ，( ，u ) 【0 ，1 】【0 ，7 1 ； ( h a ) f ( t ，u ) 暑，( t ，u ) 囟，g 】 6 m i n 九) ，九( g ) ) ，捌，其中h ( t ) ：= ：= 等曼，a = 1 + 礼，b = 刍( 9 3 一矿) 则方程( 1 1 ) 至少有一个正解。 证设t 由( 1 2 4 ) 定义，则由引理1 2 5t ：k k 全连续，首先 l i t u i ! p c 。l l u l l p 萨，乜k n a q l ，q 1 = u p c 2 o ，1 】：l l u l ：p 伊 0 ，使得驾产 去，型r 盟 击，从 而有0 y ( t ，札) y ( o ，r ) 苦 uu 于是由定理1 3 1 可得结论成立 1 4 例子 考虑f 列边值问题 一她砺1 卿, t ej t 舢： p 碣= 南厄 【u ( o ) ：钆( 1 ) ：让，( 1 ) ：o 我们可以把它看成边值问题( 1 1 ) 的形式其中t 1 = ，f ( t ，u ) = 影虱万f r 二， o ( t ) = 击，厶( 乱) = 硒1 以，p = ，q = 2 由定理1 3 2 易知，上述问题有一正 9 第二章非线性三阶脉冲边值问题微分方程的正解 2 1 引言 脉冲微分方程的理论是描述在某些时刻具有突然变化的过程具有这种杼睦 的过程是经常地自然地出现的，特别是在如下现象的研究中，如：物理学，化学 工程技术，人口动态分布，生物科技和经济学中，对于在酽中的脉冲微分方程 的基本理论的介绍，我们可以参考 1 - 3 】和它们的参考文献脉冲微分方程理论已 经变成非常重要的研究领域而且比我们现有的其他微分方程理论要丰富很多( 可 参考【4 - 1 1 】和它们的参考文献) 现有的脉冲微分方程大多研究周期边值或二阶的 问题，也有不少作者研究了三阶边值问题的解，而且研究结果在建筑和应用科学 中得到了很好的应用最近，m o u s t a f ae 1 - s h a h e d 【4 2 】研究了下面三阶微分方程 的正解， ， l 删( t ) + a a ( t ) f ( u ( t ) ) = 0 ，0 0 ，c ( j r ，矿) ，厶c ( 矿，舻) ，r + = o ，+ 。) ，t k ( k = 1 ，2 ，n ) ( 其中扎是固定的正整数) 0 t l t 2 t k t n 1 ，a u l 扭“= ( t 吉) 一( t i ) ，其中( t 者) ，( 坛) 分别代表( t ) 在t = t k 的右极限和左极限 2 2 预备知识 记j = j t l ，t 2 ，k ，令 p c 2 o ，1 】= ( z c 1 【o ，1 】：z c ( t k ，t k + 1 ) ，z ( t i ) = z o 七) ，弓z ( t 2 ) ，岛= l ，2 ，m ) 则( p c 2 【o ，1 】，| 1 l p c ：) 是一个实的b a n a c h 空间，其中 l l 。i l p g 2 = m a l l x l t 。，l l z ，l | 。，i i x l 。 ， 1 0 堕皇堕塾盔堂塑圭堂笪迨銮 这里，肛 k = s u p 。jf v ( t ) 1 引理2 2 1 。p c 2 o ，l ine 2 ( ) 是问题( 2 1 ) 的解当且仅当z 起下列脉冲 积分方程的解： 吣) = z 1g m 似胡幽+ 砉晰觚嘲) ， ( 2 2 1 ) 叩= 鬻謇鬻一t 1 ， i 1 啄丽十夏石而一下，o s ， 证我们首先设z p c 2 o ，1 f qc 2 ( ，) l u - n ( 2 1 ) 的解，积分得到 z 。( s ) 幽= 一z 。m ，u ( s ) ，u ，( s ) ，以s ) ) d s 正u ( s ) d 8 = 让( 1 ) 一铝( o ) + “”( 如) 一u ，7 ( t ) + ，0 、 、17 + “( 缸) 一乱( 啦1 ) + u o ) 一( 妄) ) = ( t ) 一( o ) + 厶( ( 颤) ) ， 邶) 利( 。) 纠( o ) t z 一o 礁，蛾，识跏蛐 一z 。乏。张( 训， z 小和蝴s = 。( t 叫邝，小) ，叭s ) ，以s ) ) 如， 第二章非线性三阶脉冲边值问题微分方程的正解 上。三。州绯。m s ：t 1o d s + 厂幻酬) d s + 厂b t 1 ( 1 1 ( 酬) + 如( 蛐) 】幽+ = ，uz 。钆( 。- ) ) d s + 上： 也( 。1 ) ) + 如( 。2 ) ) 】幽十 ，c + 厶( 乱( t 1 ) ) + 厶( 让( t 2 ) ) + + 厶( 仳( 如) ) 】如 ，“ = 厶( u ( t k ) ) + ( t - t k ) ， 于是 州= ，( 0 ) “，( o ) 一小- s ) 巾，乱( s ) ，u ，( s ) ，以枷d s 一i ( u ( t k ) ) ( t - - t k ) 又因为 z 。小卅玳似a 硪鼽以锄蜊s = 躲h ) 2 ，( s 吣加，( s ) ，u p ( s ) z 。 t k s 聊( 酬s “泓s = ( u ( t 。) ) 主( t 呐) 2 + + 厶( u ( 如) ) 主( 卜如) 2 = 矗( u ( t k ) ) 专( t t k ) 2 ， 则 以 1t - t u ( t ) = u ( o ) + 钆，( 0 ) ( 畴一主上( t - - 8 ) 2 m ，蹴u ，( s ) ，乱如 一疋( u ( t k ) ) 专( t 一“) 2 因此由u ( o ) = u 7 ( o ) = 0 ，q u 7 ( 1 ) + f l u ( 1 ) = 0 得 广 乱( t ) = a ( t ，s ) 厂( s ，让( s ) ，“7 ( s ) ，让( s ) ) d s + g ( 。，奴) 以( 让( k ) ) 。 另一方面，如果u 是( 2 2 1 ) 的解，对于t 如直接对( 2 2 1 ) 求导 u 静) _ g 。( ，s ) ，仳( s ) ，u ，( s ) ，u ( s ) ) 幽+ g t ：) ，k ( u ( ) ) ， 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 其中 因此 删= 1 g 2 圻( s ，吣n ，( s 加，( s 脚s + 砉g 。心埘她) ) ， 显然可得 ，、f 帮+ 南1 0 1 ， g 1 ( 如卜 爵- i - 群o l - i - 篡兰ql 口 口p r。力。二。二。二 以铀z = 掣+ 南o l 】0 g 2 ( s ，s ) _ 一 为了利用不动点定理，令p 1 = z c o ，1 1 ：z 是非负的，且l t x l l = z ( 1 ) ) ， k = ： u p c 2 o ，1 】n 只：“( t ) q ( t ) l l u l l 。，( t ) p ( t ) l l 廿川，u ( t ) p ( t ) l l u 0 0 。) 定义积分算子 ( t u ) ( ) = a ( t ，s ) m ，让( s ) ，钆如) ，u ( s ) ) 如+ a ( t ，t k ) i k ( u ( t k ) ) ( 2 2 2 ) 引理2 , 2 4t ( k ) ck 且t 是全连续的 证对于u k ，利用引理2 2 1 ，引理2 2 2 可得t u 0 ，t u p 驴 o ，1 】，及 t 绯) f og ( 1 ，彬( 3 ，小加，( s n ，( s 肭+ 喜g ( 1 峭嫩枷， 和 t 酢) 0 1m 风s ) ，( s ，吣n ，( 5 m 圳如+ 蔷t 1 酢顾蜘) ) j q ( t ) l l t u l l 类似可得 ( t 叫f o x g 1 ( s 啪帅，珏( s ) ( s ) 撕s ) ) d s + 砉g 心小肌( 删) ， 和 ( 酬小唰s i s ) 厂( s 删( s ) ，( s 舯s + 砉p 吼m 枷】 p ( t ) l l ( t u ) ，| | 通过声i 样方法，可得 ( 孔) ( t ) p ( 圳( 弛) 从而由a r z e l a - a s c o l i 定理可得t ：k k 是全连续的 1 4 - 堕皇塑堇盔邈堂垡迨塞 定义一些重要的常数 2 3 主要结果 昂= l i u - - - * 0 + p 掣，民：熙s u p 乱p 一t 戮m p 矗2 想s u p 掣，氏：熙s u p u q o + j o 。茂a u p 名2 恕s 即警掣，咒= 熙呻她掣 爿= 恕s u p 掣，咒。熙呻 “+ 础) 2 舞s u p 掣刖啦恕s 印掣 定理2 3 1 设f o ，凡，器，怒和无( 纠满足下列条件 ( 衄) r ：o ，而( 忌) = 0 ； ( 凰) 厶= 。o ，恐= 。o ，恐= 。 则方程( 2 1 ) 在p 中有一个正解 证设t 是由( 2 2 2 ) 定义的全连续算子 啦王篓证掣p 俨然f j p 掣ek f l o a - ，耻 “p c 2 0 ，g 2 吐 对于每一个u k n 施1 ，有 、 。”“ i t - l l 。= z 1g ( 1 ，s ) 厂( s ，也( s ) ，似，( 5 ) ，竹，( s j ) 幽+ 妻g ( 1 ，兹) 厶( 如) ) z 1 g ( 1 ，s ) ( 蜀+ ) 乱( s ) 如+ i f 珏| | o o l l 乱8 尸伊， 1 5 南= l n g ( 1 ，奴) ( 毛( 惫) 十) u 七) 七等1 0 0 掣 珏 川 十 奄 毛如q g n 柚 十 sd+ ，o f 曲 g 第二章菲线性三阶脉冲边值问题微分方程的正解 这里，我们令f 0 1g ( 1 ，s ) ( 昂+ e ) d s + 冬1v ( 1 ，如) ( 而( 七) + ) 1 队t 叫怯= 。蠹】if 0 1g 1 帕川s ) 7 以s ) ，删d s + 喜g 1 ( t 酬) i g 。( s ，s ) 厂( s ，u ( s ) ，u 7 ( s ) ，u ( s ) ) 如i + i g z ( 如，如) 厶( 乱( ) ) j 0 l 一1 i g l8 ，s ) ( 局+ e ) u ( s ) d s i + i g 1 ( t k ，如) ( 厶( 七) + e ) u ( t k ) l j 0厶二1 【i g l ( s ，s ) ( f 0 + e ) d s + l 芝二g 1 ( “，如) ( j i d ( 免) + e ) l 】 i u l l ，o= l i u l | 。 一 一 一 一 曲阜师范大学硕士学位论文 这里令詹g 1 ( 1 ，s ) ( f - 一e ) p ( s ) d s 1 1 l ( 删扣 o ig 2 ( s ) m m s n ，( s 小，( s 眦+ 喜蚴删) j 厂i j g 2 ，0 厂1 l g 2 ，o ，l l g 2 j o l l u ， s ( s ，u ( s ) ，让，( s ) ，u ( 圪一g ) ( s ) d s l ( 总一e ) p ( 8 ) d s ll l ( s ) ) 酬 仳 这里令l 詹g z ( 1 ，s ) ( 嚣一) p ( s ) i 1 因此| l t 让i l p ( 声 l u l l p c 口，缸k n a q l ， t u l p c ：i l u l p c 2 ，u k n a s z 2 故k r a s n o s e l s k i i 不动点定理的假设成立，从而t 有不动点乱kn ( 蕊q 1 ) ，显 然u 是边值问题( 2 1 ) 的正解 类似上面定理的证明，我们可得 定理2 3 2 设民，局，尼，硝和k ( 忌) 满足下面条件； ( 凰) 凡= 0 ，k ( 后) = o ； 忸4 ) o = o o 。琵= o o 。 3 = o o 则方程( 2 1 ) 在p 中有一个正解 考虑下列边值问题 2 4 例子 我们可以把它看成边值f 司题( 2 1 ) 的形式其中，( o ，u ) = 影可万再币眄瓦币f 习j 孓， t 1 2 ；，口( t ) = 一去- 五( ) ：玎1 f 厕，a = 1 ，卢= 1 因此利用定理3 2 ，即”e 是r - ，4 一- - 程 有解 1 7 西 。 一 牡 厄 州 俪上蚴枷 h矽气 i i 毛 巩 卜 k = ， d 蚶 “ 第三章三阶脉冲微分周期边值问题的解 3 1 引言 脉冲微分方程主要研究在某些时刻有瞬间变化的一些物理和生态现象，在过 去的研究中脉冲研究得到了很大发展感兴趣的读者可以参阅【1 2 1 其中二阶脉 冲微分方程已经得到足够的关注( 见文献 3 1 4 】 5 】 6 】 7 1 8 1 ) 也有不少作者研究了 三阶边值问题的解，而且研究结果在建筑和应用科学中得到了很好的应用，但应 值得更加注意的三阶脉冲边值问题却很少研究，最近j i a n l il i