（基础数学专业论文）孤立子方程的darboux变换和代数几何解.pdf

中文摘要 捅要 本文主要研究一些有物理意义的孤立子方程的d a r b o u x 变换和代数几何解， 共分为三章： 在第一章中，我们简单综述了孤立子的产生和发展过程，特别是，孤立子理论 中的d a r b o u x 变换和代数几何方法的研究状况 在第二章中，我们从一些特定的谱问题出发，导出了著名的h e i s e n b e r g 方程 族、b o i t i p e m p i n e l l i t u ( b e t ) 方程族和t b 方程族进一步构造了这些方程族的 d r a b o u x 变换和多孤子解另外，借助于b p t 方程族的d a r b o u x 变换，我们构造出 了t b 方程族的d a r b o u x 变换和多孤子解 在第三章中，我们从d i r a e 谱问题出发，导出了非线性d i r a c 方程族利用分 离变量方法将非线性d i m e 方程族分解成为相容的常微分方程组引入椭圆变量， 并应用r i e m m m 面和代数曲线的理论，给出构造a b e l j a c o b i 坐标和拉直流的方 法最后利用r i e m a n n j a c o b i 反演技巧构造了线性d i r a c 方程由t h e t a 函数表示的 代数几何解另外，我们还提出一个新的离散谱问题由此导出一个离散方程族， 并构造出与这个方程族相关的一些2 + 1 维微分差分方程最后通过与求解d i r a e 方程族类似的方法，我们求出了这些2 + l 维微分差分方程的代数几何解 关键词：h e i s e n b e r g 方程族，b p t 方程族，t b 方程族，d i r a c 方程族，d a r b o u x 变换，n 孤子解，2 + l 维微分差分方程族，r i e m a n n j a c o b i 反演技巧，代数几何解 中图分类号：0 1 7 5 2 9 l l i 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lc o n s i d e rt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n dt h ea l g e b r o g e o m e t r i cs o l u t i o n sf o rs o m es o l i t o ne q u a t i o n so fp h y s i c a li n t e r e s t t h eo u t l i n eo f 血i st h e s i si sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ew i l lg i v eas i m p l ei n t r o d u c t i o no f t h eo r i g i n a t i o na n dd e v e l o p m e n t o ft h es o l i t o nt h e o r y w ew i l le s p e c i a l l yi n t r o d u c et h er e s e a r c hs t a t u so ft h ed a r b o u x t r a n s f o r m a t i o na n da l g e b r o g e o m e t r i cm e t h o d i nc h a p t e r2 ，s t a r t i n gf r o ms o m es p e c i a lp r o b l e m s ，w ed e r i v et h ew e l l - k n o w h e i s e n b e r gh i e r a r c h y , b o i t i p e m p i n e l l i t u ( b p t ) h i e r a r c h ya n d t bh i e r a r c h y t h ed a r - b o u xt r a n s f o r m a t i o n sa n dn s o l i t o ns o l u t i o n sa r ec o n s t r u c t e df o rh e i s e n b e r gh i e r a r c h y a n db p th i e r a r c h y f u r t h e r , w i t ht h eh e l po f 也ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o r 也eb p t h i e r a r c h y , w ec o n s t r u c tt h ed e e pd a r b o u x 缸j a n s f o r m a t i o na n dt h en s o l i t o ns o l u t i o n s f o rt h et bh i e r a r c h y i nc h a p t e r3 ，b a s e do nt h ed i r a cs p e c t m lp r o b l e m ，w ed e r i v et h en o n l i n e a rd k a ch i - e r a r c h y w i t ht h eh e l po f t h ev a r i a b l es e p a r a t i o nm e t h o dt h ed i r a ch i e r a r c h ya r ed e c o m 。 p o s e di n t os y s t e m so fc o m p a t i b l eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ah y p e r e l l i p f i cp i e 。 m a n ns u r f a c ea n da b e l j a c o b ic o o r d i n a t e sa r ei n t r o d u c e dt os t r a i g h t e nt h ea s s o c i a t e d f l o w , f r o mw h i c ht h ea l g e b r o - g e o m e t r i cs o l u t i o n so ft h ed i r a cs y s t e m sa r ec o n s t r u c t e d i nt e r m so f t h er i e m a n nm e t af u n c t i o n sb ys t a n d a r dj a c o b ii n v e r s i o nt e c h n i q u e ad i s c r e t es p e c t r a lp r o b l e mw i l la l s ob ep r o p o s e d ，f r o mw h i c had i s c r e t eh i e r a r c h yi sd e r i v e d s o m e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n sr e l a t e dt ot h eh i e r a r c h ya r e c o n s t r u c t e d b yu s i n gas i m i l a rm e t h o do ft h ed i m es y s t e m s ，t h ea l g e b r o g e o m e t r i c s o l u t i o n sf o rt h e s ef 2 + 1 1 一d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：h e i s e n b e r gh i e r a r c h y , b p th i e r a r c h y , t bh i e r a r c h y , d i r a ch i e r a r c h y , d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，n s o l i t o ns o l u t i o n ，( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a l d i f f e r e n c e e q u a t i o n s ，p d e m a n n - j a c o b ii n v e r s i o nt e c h n i q u e ，a l g e b r o g e o m e t r i cs o l u t i o n c l a s s i f i c a t i o nc o d e ：0 1 7 5 2 9 一 第一章绪论 1 1 论文选题背景 第一章绪论 孤立子的发现应追溯到1 8 3 4 年英国著名科学家s c o t cr u s s e l l 偶然观察到了 一种奇妙的水波 1 ，这种水波在行进的过程中形状与速度在较长的时间内无明 显变化他将这种水波命名为“孤立波”当时r u s s e l l 并未能成功地给出令人信 服的数学证明他向英国皇家科学院提交的报告引起物理学界的激烈争论直到 1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev f i e s 在对孤波进行全面分析 后指出这种波可近似为小振幅的长波，并以此建立了浅水波运动方程【2 鲁= 候籀2 + 互硒0 2 7 l ( 1 ) 一卜等 其中叩为波面高度，h 为水深，9 为重力加速度，p 是水的密度，a 是与水的匀速流 动有关的小常数，t 是水的表面张力此后k o r t e w e g 和d ev f i e s 利用行波法求出 了与r u s s e l l 描述一致的孤波解，从而在理论上证实了这种波的存在通过变换， 方程f 1 11 ) 可写成如下的标准形式 让t + z z + 6 u u 。= 0( 1 1 2 ) 为了纪念两位荷兰科学家对孤波作出的贡献，人们将( 1 1 1 ) 或( 1 1 2 ) 称为k d v 方程 1 9 6 5 年，美国物理学家k r u s k a l 和z a b u s k y 3 利用先进的计算机技术通过数 值计算详细研究了k d v 方程两波相互作用的全过程通过对作用前后所得数据 进行分析后，他们发现孤波的形状和速度保持不变，而且还具有弹性散射的性质 他们把这些特殊的波称为“孤立子”k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作是孤立 子理论发展史中的一个重要里程碑，他们所揭示的孤立波的本质，已被普遍接受 从此一个研究非线性发展方程与孤立子的热潮在学术界蓬勃的开展起来 随着孤立子理论研究的深入，大批具有孤子解的非线性方程在物理学的各领 域不断被揭示出来其中包括等离子体中的非线性s c h r 6 d i n g e r 方程、振子运动 第一章绪论 的t o d a 链方程、二维流体的k p 方程等研究的结果表明，这些方程具有许多共 同的性质例如它们都存在l a x 对和无穷守恒律，都存在等谱流和非等谱流，且 相关的等谱方程族构成无穷维h a m i l t o n 系统等此外，在这一时期求解技术也取 得了长足的发展，产生了反散射变换法 4 _ 1 4 】、d a r b o u x 变换法 1 5 _ 5 0 、h i r o t a 双线性导数法【5 1 _ 6 1 、代数几何解法【6 2 8 7 、约束流方法 8 8 、p f a f f i a n 技术 【8 9 - 9 0 等多种方法，而且还不断有新的方法出现每一种方法都产生了很丰富 的数学理论现在孤立子理论已经形成了自己独特的理论框架和研究方法，几乎 在科学研究的各个领域都能看到它的踪迹鉴于本文所涉及的内容，我们仅对 d a r b o u x 变换和代数几何解的发展历史和研究现状做较详细的概述 d a r b o u x 变换是种构造孤立子方程显式解的有效方法，其实质上是一种特 殊的规范变换构造d a r b o u x 变换的关键在于寻找一种规范变换使得相应的l a x 对保持不变，在这方面已经发展了很多技巧并应用于各种类型的方程的求解随 着孤立子理论的发展，d a r b o u x 变换愈来愈受到人们的重视 最原始的d a r b o u x 变换是由g d a r b o u x 在1 8 8 2 年提出的f 1 5 d a r b o u x 研究 了一维s c h r s d i n g e r 方程的特征值问题 一。一u ( z ) 咖= a ( 1 1 3 ) 他发现了下面的事实：设u ( x ) 和( z ，a ) 是满足( 1 1 3 ) 的两个函数，对任意给定 的常数a o ，令f ( x ) = 咖( z ，a o ) ，则由 “7 = u + 2 ( 1 n ，) 咖7 ( z ，a ) = 。( 。，a ) 一争( z ，a ) 1 1 4 所定义的函数，一定满足和( 1 1 3 ) 同样形式的方程这样变换( 1 1 4 ) 就将满 足( 1 1 3 ) 的一组函数( “，咖) 变换为满足同一方程的另一组函数( u 7 ，妒，) 这就是最 原始的d a r b o u x 变换 上世纪6 0 年代，人们发现k d v 方程与上述s c h r s d i n g e r 方程有着密切的联 系具体来说，k d v 方程是关于的线性方程组 老兹竺6 u 妒。一3 u 。妒 ， 【妒t = 一4 c 勉。一 。一。妒 、7 2 第一章绪论 ( 称为k d v 方程的l a x 对) 的可积条件进一步的研究【1 6 发现d a r b o u x 变换 ( 1 1 4 ) 也适用于k d v 方程这个变换中的函数还依赖于t ，它不但保持( 1 1 5 ) 中 的第一式形式不变，而且，7 ) 还满足( 1 1 5 ) 的第二式因而“7 满足( 1 1 5 ) 的 可积条件，即也是k d v 方程的解这就为构造k d v 方程的新解提供了非常好 的方法 m w a d a f i 等人将d a r b o u x 变换的方法推广到了m k d v 、s i n e g o r d o n 等方 程 1 7 vb m a t v e e v 和m a s a l l e 等人引入了积分算子形式的d a r b o u x 变换 【1 8 r o g e r s 等人研究了d a r b o u x 变换在几何学方面的应用 1 9 1 9 8 6 年，我国著名数学家谷超豪院士从d a r b o u x 阵出发构造了k d v 族及 a k n s 梯队的b a c k l u n d 变换，从而解决了诸多方程族的b 舀c k l u n d 变换问题，并以 此得出了具有更完整形式的可换性定理【2 0 1 9 0 年代后，谷超豪院士、胡和生院 士和周子翔教授还将d a r b o u x 变换推广到了2 个和多个空间变量的情形，并且把 d a r b o u x 变换应用于一系列的几何问题2 1 - 3 1 李翊神教授【3 2 3 4 和范恩贵教授 3 5 _ 4 0 也在d a r b o u x 变换方面做了大量 的工作 刘清平教授研究了超对称孤立子方程族的d a r b o u x 变换问题，建立了超对称 k d v 、超对称k p 等方程族的d a r b o u x 变换 4 1 _ 4 2 曾云波教授研究了有白容源的孤立子方程的d a r b o u x 变换问题，构造出了有 自容源的k a u p - n e w e l l 、a k n s 、k d v 等方程族的各种类型的解 4 3 _ 4 5 】 对称群是孤立子理论中一个非常重要的研究课题孤立子方程的对称群与其 d a r b o u x 变换之间有着非常紧密的联系在这个方面，楼森岳教授做了许多非常重 要的工作 4 6 - 4 8 现在，d a r b o u x 变换的理论还在进一步发展中，各种构造d a r b o u x 变换的新的 技巧也在不断地出现 上世纪7 0 年代中期，k d v 方程的有限带势解开始引起人们的研究兴趣，这种 解也被称为拟周期解或代数几何解代数几何解一方面可以被看成是经典的孤立 子解或有理函数解的自然推广，另一方面它还可以被用来近似更加一般的解，所 以它引起了人们极大的研究兴趣 对孤立子方程代数几何解的研究起源于孤立子方程具有周期初值的c a u c h y 问题的求解众所周知，具有周期势函数u ( z ) 的s c h r 6 d i n g e r 算子具有区域状的谱 分布，即它是由一系列区间 j 乃k + t ，岛k + 2 】，k = 0 ，1 ，- 构成如果k 是有限数，那 么相应的势函数就称为有限带势函数 第一章绪论 n o v i k o v 、l a x 和m a r c h e n k o 等人从有限带势函数的角度对k d v 方程进行了 研究 6 2 6 4 他们发现所有的有限带势函数“( z ) 都是某个高次稳态k d v 方程的 解d u b r o v i n 、i t s 和m a t v e e v 等人【6 5 4 8 】将求解有限带势函数的问题化为了某 个二层紧致r i e m a n n 面r 上的j a c o b i 反演问题，并对这个的j a c o b i 反演问题进行 了精确求解，从而得到了用r i e m a n n t h e t a 函数表示的u ( z ) 的精确表达式 滚匙豢麓舢。 ， 日) = e 。p ；( b 七，) + ( p ，) ， p c 9 、7 如果在( 1 1 6 ) 中取d = d ( o ) + w t ，那么“( z ，t ) 就是k d v 方程的解这样的解称 为k d v 方程的有限带势解或代数几何解 d u r b r o v i n 、l a x 、i t s 、m a t v e e v 等人所开创的求解孤立子方程的代数几何方 法很快就被应用于n l s 方程、s i n e g o r d o n 方程、k a u p b o u s s i n e s q 方程等一大 类孤立子方程的求解f 6 9 - 7 1 ( 1 3 1 ) 式虽然给出了k d v 方程代数几何解的精确表达式，但事实上这种类 型的解依赖于紧致r i e m a n n 面r 这个参数这就使得我们难以对代数几何解的性 质进行研究，也限制了代数几何解在实际中的应用b o b e i l k o 等通过数值计算的 方法对代数几何解进行了研究7 2 1 g e s z t e s y 和r a t n a s e e l a n 等提出了一种通过代 数的途径来构造代数几何解的方法7 3 周汝光教授、乔志军教授、曹策问教授、耿献国教授等提出了一种通过 l a x 对非线性化 7 4 或分离变量法来构造孤立子方程代数几何解的方法他们 求解的程序大致如下：首先通过l a x 对的非线性化或变量分离的办法将孤立 子方程族分解为相容的常微分方程或相容的常微分方程和离散流的演化借助 特征函数所满足l a x 方程的解矩阵，合适地引入椭圆变量，由此给出孤立子方 程与相容的常微分方程之间的直接的关系应用r i e m a r m 面和代数曲线的理论， 给出构造a b e l j a c o b i 坐标和拉直各种流( 连续流和离散流) 的方法最后利用 r i e m a n n - j a c o b i 反演的方法最终生成由t h e t a 函数所给出的显式解这种方法已被 成功地应用于求解各类1 + 1 维，2 + 1 维孤立子方程和微分差分方程的代数几何 解7 5 8 7 一d 一 第一章绪论 1 2 论文主要工作 1 从h e i s e n b e r g 谱问题出发，导出h e i s e n b e r g 方程族，并进一步构造该方程 族的d a r b o u x 变换和多孤子解 2 从b o i t i p e m p i n e l l i t u ( b p t ) 谱问题出发，导出了b p t 方程族，并进一步构 造了方程族的d a r b o u x 变换和多孤子解 3 利用约化技巧，将b p t 方程族及其d a r b o u x 变换约化为相应的t b 方程族 及其d a r b o u x 变换 4 利用分离变量和r i e m a n n j a c o b i 反演的方法构造了d i r a c 方程的代数几何 解 5 从一个离散谱问题出发，导出了一个离散方程族，构造出一些2 + 1 维微分 差分方程最后利用分离变量法，构造了这些微分差分方程的代数几何解 一5 第二章d a r b o u x 变换及其应用 第二章d a r b o u x 变换及其应用 本章中，我们将从些特定的谱问题出发，导出著名的h e i s e n b e r g 方程 族、b o i t i p e m p i n e l l i t u ( b p t ) 方程族和t b 方程族进一步我们构造了h e i s e n b e r g 方程族和b p t 方程族的d r a b o u x 变换和多孤立子解另外，借助于b p t 方程 族的d a r b o u x 变换，我们构造出了t b 方程族的d a r b o u x 变换 2 1 h e i s e n b e r g 方程族的d a r b o u x 变换和多孤子解 从上世纪7 0 年代中期开始，连续的h e i s e n b e r g 自旋链方程引起了人们的研 究兴趣【9 l _ 9 6 】j t j o n 和j w r w h t 得到了各向同性h e i s e n b e r g 方程单孤子解的 表达式 9 3 t a k h t a j a n 通过反散射的方法研究了h e i s e n b e r g 自旋链方程并得到了 它的l a x 表示 9 4 陈登远教授和李翊神教授给出了高次h e i s e n b e r g 自旋链方程， 并证明了这些方程与a k n s 方程族的等价性【9 5 乔志军教授利用谱问题非线性 化的方法得到了高次h e i s e n b e r g 自旋链方程的有限维h a m i l t o n i a n 结构及其对合 解【9 6 在本节中，我们将构造出h e i s e n b e r g 方程族的d a r b o u x 变换和多孤子解 2 1 1 h e i s e n b e r g 方程族 为导出h e i s e n b e r g 方程族，我们考虑如下的h e i s e n b e r g 谱问题 也枷= 删= ( 吉笔) 妒乩 眨， 我们构造( 2 1 1 ) 的辅助谱问题如下 讥= y ( ”) 妒 通过求解( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的相容条件，我们可以得到如下的零曲率方程 阢。一吃“+ 阢y = 0 ( 2 ，1 2 ) ( 2 1 3 ) 将( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 代入( 2 1 3 ) 中，我们可以得到上述零曲率方程等价于如下的 6 + “ 至 、 瞄瞄瞄瞄 ，一 。脚 = + “ ” 。脚 = n 矿 一蔓三蔓里坐! 坚銮垫丛茎壁旦 递推关系 仉k k 巩= 0 ， k 一1 ，z = 矾k k 巩，1 n( 2 1 4 ) 巩t = k 。 我们选取晡= 一u ，咄= u ，堵= ，谚= u ，由( 2 1 4 ) 可知 一2 u u 警一钍( k 牛一k 0 ) ”( 嘴一睹) + 2 u 睹= 瞄”， 见( “睹+ ”瞄一瞄+ u 堵) = 型譬一型2 w 晚( 瞄+ 嗡) = 0 由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) ，我们可以证明 睹i ( 。) = ( 0 ，。) = 丢如瞄。1 i ( 。) _ ( 叩) = ( 丢) 。磷馏唧= o 嗡h 。) ： 去疋睹。1 “。m 。， = ( 去) , - q k i 。( 。o ) = ( 0 0 ) _ o ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 我们还需要假设喈h 。) ：( o ，。) = 喽i ( 。，。) ；( o ，o ) = 0 ( 1 n ) ，从而使得它们相 应的积分常数取为0 那么( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 就等价于 u 睹+ ”瞄一u 瞄，+ u 瞄，= 塑譬一型譬如， ( z - _ 9 ) 睹+ 瞄= 0 ( 2 1 1 0 ) 利用( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) ，我们就可以由蟛一1 计算出蟛通过直 一 一 第二章d a r b o u x 变换及其应用 接计算可得 谢) = ；( u + u ， 馏= ；v z 0 3 - - v 咄= ；- - u x c d ) 嗖= 互1 u + u 。 ) ， 馏= 一：( + ；u ( “。+ 啦) ) ，瞪) - ；( 。+ ；u ( 剐。+ u ：) ) ，( 2 _ 1 1 1 ) 喵) = 扣。+ ；山。+ u ：) ) 1 蟛) _ ；( + 互3 m 池+ u ：) ) 所以，与h e i s e n b e r g 谱问题( 2 1 1 ) 相关的孤子方程族就可以写为 = 喇 = 喇，n = 0 ，1 ，2 ( 2 1 1 2 ) 我们将( 2 1 1 2 ) 称为等谱的h e i s e n b e r g 方程族这是一族纯微分方程，其前两个非 平凡方程是 ? a t 。= ；( 眦如一u ) 。， ( 2 1 1 3 ) 仇。= j ( 。u 一 u 。) 。， 和 u 也= j ( u 。+ i “( u 。v x + ) ) 。 仇。= ( 。+ ；v ( u 。+ 谚) ) 。 2 1 2 h e i s e n b e r g 方程族的d a r b o u x 变换 d a r b o u x 变换实质上是l a x 对( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 的解的特殊规范变换 万也满足相应的l a x 对，即 砂= t 世 五= 驴五u = + t u ) t - 1 8 一 ( 2 1 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) ( 2 i 1 6 ) 第二章d a r b o u x 变换及其应用 五= 矿( “) 玩矿( ”) = ( 正+ t v ( n ) t 一1 将( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 交叉求导，我们可以得到 玩一诏“+ 厅，矿( “】= t ( u t 一眨“+ u y ( n 】) t 一1 ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) ( 2 1 1 8 ) 式意味着为使( 2 1 1 2 ) 在规范变换( 2 1 1 5 ) 后保持不变，我们需要驴，矿( n ) 具有与y ( “) 相同的形式同时，原来的势函数札， 将变为新的势函数面和石这 个过程可以持续地进行下去，而且通常我们将得到一系列的多孤子解我们可以 用如下的方法为h e i s e n b e r g 方程族建立d a r b o u x 变换 2 1 设趣是l a x 对( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 当a = 九( i = 1 ，2 ；九0 ) 时候的解我们构 造如下矩阵 h = ( h i ， 2 ) 由( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，我们有 然后我们构造 其中 容易证明 h z = u 1 h k ， 凰：妻k 日a n 一+ l ，a ：d i 叼( ha 2 ) 2 1 1 9 t = q 1 a q o ( 2 1 2 0 ) q o = - i , q t = 日a 一1 日一l = ( 三d b ) c z ，。， q 1 。= 日。a 一1 h 一日a 一1 h 一1 凰日= 巩一q 1 仉q i l 抛o = a d - b c = 去。 9 沈 l l 2 2 第二章d a r b o u x 变换及其应用 将( 2 1 2 0 ) 代入( 2 1 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) ，并利用( 2 1 1 9 ) ，我们可以得到 其中 u = 玩a ，洲= 玩 斟1 玩= q 。仉q i l ，玩= q 。q i l ( 2 1 2 4 ) 玩= q 1 v k q ? 1 一k 一1 q i l + 玩一1 q i l ，1 七礼，( 2 1 2 5 ) 下面我们将证明扩，矿( n ) 通过一定的变换后将和u ，y ( n ) 具有相同的形式 命题2 h 由( 2 1 2 4 ) 式定义的矩阵护具有和u 相同的形式，即 衫勘= ( 絮笔) + 一， 地e ， u ， ，u 和石，亩，西之间的变换由下式给出 乱= = 2 w a b + u a 2 一 b 2 a d b c ? 2 u e d u c 2 + d 2 a d b c w ( a d + b c l + u a c v b d u 2 历= 百丁一 ( 2 1 2 7 ) 其中a ，b ，c ，d 由( 2 1 2 1 ) 决定变换：( 1 】 ， ，u ) 一( 万，石，石，面) 称为h e i s e n b e r g 方程族( 2 1 1 2 ) 的d a r b o u x 变换 证明：由( 2 1 2 4 ) 我们可以得到 玩= q 。巩q _ 1 = ( e a 日d ) ( 一v u ：) ( 三b d ) 。 1 一w ( a d + b c ) 一u a c + v b d 2 w a b + u a 2 一v b 2 = a d - b ci 一2 u c d u c 2 + 口d 2 u ( a d + b c ) + u a c u b dj 一1 0 第二章d a r b o t l x 变换及其应用 = ( 詈兰) 我们还有 石2 + 丽= 一d e t 玩= 一d e t q l d e t u l d e t q l l = 1 所以我们证明了通过变换( 2 1 2 7 ) ，移和u 具有相同的形式 口 下面我们将证明经( 2 1 1 5 ) 和( 2 1 2 7 ) 变换后，y ( “) 将和y ( “) 具有相同的形 式 命题2 2 ：由( 2 1 2 4 ) 式所定义的矩阵y ( “) 经( 2 1 1 5 ) 和( 2 1 2 7 ) 变换后，将和y ( “) 具有相同的形式 证明：因为y ( n ) = ：。k a n - k + l ，矿( n ) = 翟。玩a n - k “，所以我们只需证明玩 和k 在变换( 2 1 1 5 ) 和( 2 1 2 7 ) ( 0 墨哟下形式相同 首先，我们有 g o = 巩，v o = q 1 v o q i l = 巩 由命题2 1 ，我们可得和k 形式相同 再由( 2 1 3 ) 和( 2 1 1 8 ) ，我们可得 玩一宠8 + 扩，矿( ”】= 丁( 阢一曙“+ y ( “】) t = 0 ( 2 i 2 s ) 我们已经证明了驴和u 形式相同，所以试和k 满足相同形式的方程通过与小 节2 1 1 中类似的方法，我们可以证明磴k 奶：( o ，o ) = 踏b i ) ：( o ，o ) = 0 下面我 们只需证明瞄k i ) ：( o ，o ) = 磴k i ) ；( o ，o ) = 0 ( 1 南曼n ) 在下面的证明中，我们取瓯= 面h 司：( o ，o ) = 1 ( 证明对瓯= 一1 也成立) 当面= 0 ，石= 0 时，我们从( 2 1 2 7 ) 得到 钍=一竺里一，u=一!垒生，u=ad+bcad-bca d - b ca d - b c ( 2 1 2 9 )钍2 一 ”2 u2 【z 。l 2 圳 第二章d a r b o u x 变换及其应用 再由( 2 1 2 5 ) ，我们可得 所以我们有 矿i c a ，。= c 。，。，3 = ( 嚣；嚣；) 。，i ，：。，。， = q i v l q i l 一q i l + 讫q i ll ( i 固：( o ，o ， = q 1 v 1 - 1 一q i l 讫+ q i li ( d ，i ) ：( o ，o ) 硪硒) = ( 0 。) = 志 d + b c ) v 丑+ 肋吩一a c v 墨2 ，( z i 3 0 ) j ( 石，= ( 。= 一志 ( a d + b g ) 嵋+ b d 喝一a c v 曼 ( 2 1 3 1 ) 将( 2 1 2 9 ) 代入( 2 1 3 0 ) 和( 2 1 3 1 ) ，并在( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) 中取尼= 1 ，我们可以 得到 瑶1 怖) ：( o ，o ) = 谚，i ) ；( o ，o ) = 0 如果假设磷- 1 k 司：( 叩) = 0 ( 1 ksn ) 成立，并利用( 2 1 2 5 ) ，我们有 玩i c 证功= t 。，5 ( 嚣；舌v 警l ( k 2 ，) ) 。i ，司：。， = q i v k q i l 一k 一1 q i l + 玩一1 q i ：i ( ，i ) ：( o ，o ) 通过上式和( 2 1 2 9 ) ，我们可得 ( 2 1 3 2 ) 踏怖) - ( 叩) ：u 踏一；睹一；蜡一d v l i ( 1 k - 矿i ) _ 刁c 丁v i ( k 一- 1 ) ，( 2 1 3 3 ) 恼) _ ( 。 0 ) 一u 谨+ ；瞄+ ；瞄 b 睹一一a 谢 1 万= 矿 1 1 一，( 2 1 3 4 ) 一一2 a b v i ( ? 一b 2 k + a 2 k 竺 一口k 譬一1 + a k 管一” 。 怖) = ( 仉o ) 2 1 矿毫亨生一扔= 瓦 一_ 0 ， ( 2 1 3 5 ) 一1 2 第二章d a r b o u x 变换及其应用 吼谛) _ ( 叩) ：婴盟a 丝d - 巡b c一_dv2(1k而-1)+cvi(?-1)-0 ( 2 1 3 6 ) 利用( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 2 2 ) ，( 2 1 2 9 ) ，( 2 1 3 5 ) 和( 2 1 3 6 ) ，我们可以证明当面= 0 石= 0 时 以c 譬荨卜； u 。啦! ) 嵫1 ) 2 u2 u ( 2 1 3 7 ) 良( 型攀) - 1 。 u a a 矿2 ( 1 k x - 1 ) 一譬 ( 2 1 3 8 ) 又由于眩k 。) ：( 叩) = 0 ( 1 s n ) ，所以积分常数一定为0 ，即 燮a 鲨d - b c ：一u z v 2 ( k z - 1 ) 一掣峨( 2 1 3 9 ) 4 u 7 b 睹一一a 瞄一1 a d b c ：，u z y 2 ( l k z - 1 ) 一型型出， (2140，j 4w4 0 ； 、 将( 2 1 3 9 ) ，( 2 1 4 0 ) 代入( 2 1 3 3 ) ，( 2 1 3 4 ) 并利用( 2 1 8 ) 我们最终可以得到 跗砸m 叩，= u 睹，一；睹，一；瞄，+ 型掣一型4 w 出= 州z m ) k 护c o ，旷一u 瞄+ ；睹+ ；瞄l 啦! ) 啦! 4 u4 u d x = 0 ( 2 1 4 2 ) 所以我们证明了蹬旧司：( 叩) = 0 ( 1 k 礼) 我们证明了矿( n ) 和y ( n ) 满足相同的零曲率方程和相同的边界条件，所以它 们一定具有相同的形式 口 由命题2 1 和2 2 我们可以得到下述定理 定理2 1 ：h e i s e n b e r g 方程族( 2 1 1 2 ) 的一组解( u ， ，u ) 通过d a r b o u x 变换( 2 1 2 7 ) 后变为其一组新解( 面，石，西) ，其中a ，b ，e ，d 由( 2 1 2 1 ) 式给出 一1 3 第二章d a r b o u x 变换及其应用 2 1 3d a r b o u x 变换的应用 在本小节中，我们将利用d a r b o u x 变换( 2 1 1 5 ) 和( 2 1 2 7 ) 来构造h e i s e n b e r g 方程族( 2 1 1 2 ) 的多孤子解通常我们从( 2 1 1 2 ) 的一组特殊解出发来构造 d a r b o u x 变换我们首先选取“= 乱o ， = v 0 ，u = “o ，再设 p ( 籼硝= ( 甜鲥 协s ， 是l a x 对( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 当a = a p 和a = a 时的解那么我们可以通过如下 方法来构造( 2 1 1 2 ) 的多孤子解 首先，我们构造 扯泔，一= ( a 潍) q i l = 日( 1 ( a ( 1 ) 一1 ( 日( 1 ) 一( 2 1 4 4 ) 那么根据定理2 1 ，我们可以通过下式得到( 2 1 1 2 ) 的一组新解札1 ，”1 ，u l ( ：0 2 1 ) 卅- - ( m 。：) c 一 “s ， 利用( 2 1 1 5 ) ，( 2 1 2 0 ) 并通过一些计算，我们可以得到l a x 对( 2 i 1 ) 和( 2 1 2 ) 当 札= 札1 ， = u 1 ，u = u 1 和a = a ( 2 ，a 字时的一组新解该解可表示为 瓦( 2 ：c 2 器 跏 襄哗，九蚋 警哗， 蚋 襄畔， 抑 蟹： 一1 4 一 h h h 2租2 怛2 u 2 监攀盟攀 第二章d a r b o u x 变换及其应用 其中 我们构造 c 2 = 黼，字= “卅掣半 a 笋( a 乒一掣) a i l 幛，础】 i ，j = 1 ，2 牡渚鼽，= ( a 潍) q ( 2 = 日( 2 ( a ( 2 ) 一1 ( 日( 2 ) 一1 那么我们可以从下式得到( 2 1 1 2 ) 的一组新解u 2 ， 0 2 ，0 2 2 ( 刈v 2 2l 抛0 2 ) 趔( ：1 ：) ( 竹1 ( 2 1 4 6 ) q ( 2 ) q i l f u 。咖1 ( q i l ) 一t ( q p ) 一 ( 2 1 4 7 ) v o u o 如果我们已经作了n 一1 次d a r b o u x 变换，并且得到了( 2 1 1 2 ) 的解 u - 1 j “_ _ 1 ，那么我们可以将l a x 对( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 当u = u n 一1 ，u = v n - 1u = u 1 1a = a p ，a 时的解表示如下： 瓦，：c 书h 掣 南 弹 m p ， 旧，危p 】 m ( ， _ 1 ) 晰， 。1 砰b 畔- 1 ) 九畔- z ) ， 南允拶 南九鲁 南 譬。1 ( ， 】 ， 一1 5 一 ( i ， - 1 孵， 1 】 ? 】 i 1 1 ，危。1 笙三雯里生! 竖奎选墨基窒旦 其中 元： 我们构造 p = = ，即】 旧， i 1 】 【h ， c _ 1 】 噬，h (