（基础数学专业论文）格点空间上的变分复形.pdf

河南人学硕十学位论文 摘要 本文运用非交换微分运算，模仿【1 中的连续变分复形，在格点空问上引入变 分复形并使用代数拓扑的方法证明它的f 合性。 文章首先定义差分复形，通过构造同伦映射得出其正合性，这正是p o i n c a r 6 引 理的一个离散形式。然后以此为起点，定义离散的水平复形、垂直复形、垂直泛函 复形，最后用离散的e u k r 算子把水平复形和垂直泛函复形粘接起来得到离散变分 复形。整个变分复形的正合性也逐步得到证明。 差分复形的同伦算子是文章的一个重要结果；为证明水平复形的正合性而构造 的高阶欧拉算子、全内积公式和全同伦算子是本文最重要的结果：文章还给出了用 变分复形判断离散e u k r l a g r a n g e 方程及求拉氏量的方法。 关键词：格点空间，非交换微分运算，正合性，同伦映射，离散变分复形 河南人学硕十学位论文 a b s t r a c t u s i n gn o n c o m m u t a t i v ed i 雎r e n t i a lc a j c u l l l s ( n c d c ) ，w ei n t r o d u c ev a r i a t i o n a l n 1 _ p l e xo nl a t t i c eb yi m i t a t i n gt h ec o n t i n u o u sv a r i a t i o n a lc o m p l e xi n 【1 】a n dp r o v ei t s 旺a c t - 心su s i n gm e t h o d sf r o m 以g b r a i ct o p o l o g 弘 i n t h i sp a p e r ，6 r s t ，ad i 雎r e j l c ec o m p l e xi sd 曲n e da n di sp r o v e dt ob e1 0 c a u ye x a c t b yc o n s t r u c t i n gh o m o t o p ym a p s ，w h i c hi sad i s c r e t ea n o l o g u eo fp o i c 珊咯l e m m a t h e n u s i n gt h i sr e s u l ta sas t a r t - p o i n t ，d i s c r e t eh o r i z o n t a lc o m p l e x ，v e r t i c a lc o l p l e 】【，、r e r t i c a l f u n c t i o n a lc o m p l e xa r ed e 矗n e d c o s e q u e n t l yad i s c r e t ev a r i a t i o n a lc o m p l 既i 8c 0 s t r u c t e d b yp a t c h i n gt o g e t h e rt h eh o r i z o n t a lc o m p l e xa n df u n c t i o n a lc o m p l e xw i t hd i s c r e t eb 【l l e r o p e r a t o r m e a n w h i k ，t h ee x a c t e s so “h ew h o l ev a r i a t i o n a lc o m p l e xi sp r 0 v e ds t a g eb y s t a g e t h eh o m o t o p yo p e r a t o ro fd i f f e r e n c ec o m p l e xi sa ni m p o r t a n tr e s l l l t t h eh i g h e r e u k ro p e r a t o r s ，t h et o t a li n e rp r o d u c ta _ n dt h et o t a lh o m o t o p yo p e r a t o rc o n s t r u c t e df o r p r o v i gt h ee x a c t n e s so ft h eh o r i z o n t a lc o m p l e xa 聃t h em o s ti m p o r t a n tr e s u i t so ft h i s t h e s i s m o r e o v e r ，t h et e c h i q u e so fd e t e c t i n gw h e nag i v e ns y s t e mo fp e si s 曲c r e t e e u l e 卜l a g r a n g es y s t e ma n do b t a i n i n gl a g r a n 舀a n sa r ep r e s e n t e d k e yw b r d s ：l a t t i c e ，n o n c o m m u t a t i v ed i f f b r e t i a lc a k u l l l s ，e x a c t e s s ，h o m o t o p ym a p s d i s c r e t e 、m i a t i o 甜c o m p k x i i 论文的要求，即。诃南大学有双向躅家瞬书馆、张研信息机构、数 据收集机构和本校凰书馆等键供喾位论走。s 娥质文本和电子文 本) 皑供公众检索、奎阅0 。疼表授撅河谪大学出于宣扬、展览学 校学术发展和进行学术交流等目的，可以采取影印、缩印、扫描 和拷贝等复制手段保存、汇编学位论文( 甄质文本和电子文本) 。 ( 涉及保密内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得者( 学位论文作者) 签名：闶慧倩 往童：诘在相应的t 口”内划t ”。 秒辟月9 日 河南人学硕十学位论文 弓口 0 1变分复形的历史 1 6 9 6 年，j o h a n nb e r n o u l l i 向全欧洲数学家挑战，提出了一个难题：“设在垂直平 面内有两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问 沿着什么曲线下滑，时间最短? ” 这就是著名的“晟速降线问题”。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同， 它是要求出一个未知函数( 曲线) ，来满足已知条件。这问题的新颖和别出心裁引起 了很多人的兴趣，l h o s p i t a l ，j a c o bb e r n o u l l i ，l e i b n i z ，n e w t o n 等人都得到了解答。在现 实中很多现象都可以表达为类似的泛函极值问题，后来，e u l e r 和l a g r a n g e 找到了 这一类问题的普遍解法，并得出了使泛函取得极值的必要条件一一e u i e r l a g r a n g e 方程。1 7 4 4 年，欧拉的寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法一书出版，这 是变分学史上的罩程碑，它标志着变分法( 参看【1 2 1 8 ) 作为一个新的数学分析的 诞生，从而确立了数学的一个新分支一一变分学。在变分学中，把这类求泛函极值 的问题称为变分问题。 变分问题的逆问题在历史上是很有趣的。1 8 8 7 年，h e l m h o l t z 首先提出：什么样 的微分方程是某个变分问题的e u l e r l a g r a n 聆方程? 并且给出了单个二阶常微分方 程情形下的必要条件。e u l e r 和l a g r a n g e 找到了这一类问题的普遍解法，并得出了 使泛函取得极值的必要条件一一e u l e r _ l a g r a n g e 方程。e u l e r 和l a g r a n g e 找到了这 一类问题的普遍解法，并得出了使泛函取得极值的必要条件一一e u l e r _ l a g r a l l g e 方 程。m a 社r 把h e l n l h o l t z 的条件推广到含有一个独立变量和几个依赖变量的一阶拉氏 量的情况。h i r s c h 把这些结论推广到要么含有一个独立变量和几个依赖变量，要么含 有两个或三个独立变量和一个依赖变量的拉氏量。h i r s c h ，v o l t e r r a ，d o u g l ，a n d e r s o n 等人更深入的研究了这一方面的相关问题。a n d e r s o n ，d u c h a m p ，h e n n e a l l c 提出并研 究了更一般的变分法之逆问题：一个微分方程组什么时候等价于一个e u l e r - l a g r g e 方程组? 这个问题到现在还没有完全解决。 1 河南人学硕十学伉论文 2 0 世纪7 0 年代初，变分法的逆问题被看作变分复形的一部分，更一般地，被看 作变分双复形( 3 】 【4 】) 的一部分。变分双复形在变分法的几何理论中扮演着重要的 角色。d e d e c k e r 在关于“代数拓扑在变分法中的应用”的著作中首次出现了变分复形 的痕迹。变分复形的概念最初明确出现是在v i n o g r a d o v l 9 7 7 年的著作 1 4 】中，他在 这篇文章中用代数拓扑的方法证明了复形的正合性。n l c z y j e w ，k u p e r s h m i d t ，7 i 址咄， a n d e r s o n ，d u c h a m p ，o l v e r ，g e i ，f a n d ，d i “等人在这一领域做了大量的工作，得出许多 重要结论。近年来，i a n d e r s o n 关于变分复形f 合性的新的证明方法被普遍接受，他 构造的水平复形的同伦算子大大简化了t a k e n s ( ( 1 5 ) ，a n d e r s o n 和d u c h a m p ( 【1 6 】) 关 于水平复形正合性的计算性证明。高阶e u k r 算子最早出现在k r u s k a l ，m i l l r a ，g a r d 盯 和z a b l l s k y 关于k o r t e w e g - d ev r i e s 方程的文章( 【1 7 ) 中，后来逐渐被a l d e r s l e y ( 19 ) ， g a l i n d o 和m a r t i n e z a l o i l s o ( 【2 0 】) ，o l v e r ( 2 1 ) 等人加以改进。 0 2 变分复形的结构，陛质和应用 对于一个由一系列向量空间和线性映射组成的序列 一a 一。乌a 鸟a + 。驾 如果对每个i ，都有映射盈的像包含在相继映射6 州的核里，即巩+ 1o 也= 0 ， 那么这个序列连同这些映射就称为一个复形。 如果对每个i ，都有映射文的像j 下好是其相继映射也+ l 的核，即i m 民= k e r 氐+ l ， 就称这个复形是正合的。 关于连续变分复形的详细内容请参考 1 】，这罩只作简要描述。 连续变分复形由两部分构成： ( 1 ) 前半部分是水平复形。 在p 维欧氏空间舻中，微分r 一形式空自j 记为，若u a r ，则u 可表示为 u= ，( z ) 出。1 如” 出“ 。t 。2 - 2 河南人学硕十学位论文 其中，( z ) 是依赖于z 的光滑函数。= ( 。1 ，一，扩) 。 外微分算子d ：a r _ + + l 定义为 幽= 塞鼍争如 出。- 出“ 女= 1i l 2 - ( 1 7 d 满足d 2 = 0 和d u 7 ) = 幽 u + ( 一1 ) 4 8 9 “u 山。 从而有d e r h m 复形 。一r ja o 与a l 与a 2 二与“与。 并通过构造同伦算子的方法说明它在星形区域上是正合的。 这里的系数函数，( 。) 仅依赖于独立变量z ，若把系数函数改为不仅和独立变 量。有关，还和依赖变量“( z ) 及其各阶偏导有关的光滑函数，记为p u 将得到全 微分形式和相应复形： o _ rja o 与a 1 与a 2 与与” 称为水平复形，并通过高阶欧拉算子构造全同伦算子从而得出其f 合性。 ( 2 ) 后半部分是垂直泛函复形。 把依赖变量和它们的各阶偏导当作互相独立的变量，把独立变量看作参数定 义垂直微分形式。例如垂直r 形式可表示为 垂直外微分彳定义为 o = 日m 小t z d “舅 j o 意。磊丢鬻必胁私，z 接下来有垂直复形 且它是正合的。 五。三j 【- 三天z 3 河南人学硕十学位论文 我们称p 维空问的两个垂直r 形式是等价的，如果它们相差一个全散度，即 p o 一筇甘。一筇= d i ”手= d 。若，磊天 t = l 这里d i 表示关于独立变量一的全微分。 等价类的集合称为泛函r 形式空间，记为 a ：= 五7 垂直外微分自然的在等价类上诱导出一个映射变分微分， j ：a r _ + a ：+ 1 然后有垂直泛函复形 a 0 上a ! 上雎二 它也是正合的。 那么p 维空间的变分复形就是 。一r 与a 0 与a 1 与与”三a ：与a 2 二 其中e 为e u l e r l a n g r a n g e 算子，它可以通过先用垂直外微分彳作用再用”投影到 等价类得到，第一个d 称为h e l m h o l t z 算子。 星形区域上的变分复形是正合的。 变分复形在三个特殊阶段的平台性可以明确的表述为： ( 1 ) h e l m h 0 1 t z 算子作用在一个式子p 上是。当且仅当p 是一个e u l e r l a 擎a g e 表达式( 存在拉氏量三使e l = p ) ，p = o 就是一个e u k r l a g r a n g e 方程。并且由 e l = p 和同伦算子可求出拉氏量l 。 ( 2 ) 一个式子，在e u l 盯- l a g r a n g e 算子下的像是。当且仅当，是一个全散度， 由此结果可以用同伦算子来构造数量的守恒律( 1 1 、f 7 1 、f 8 1 ) 。 ( 3 ) 一个式子是零散度即平凡的守恒律当且仅当它可以表示为全旋度。 4 河南人学硕十学位论文 这三个结论是人们在研究微分方程的对称和午匣律时得到的，f 是这三个基本 结论激发了人们去考虑变分复形。尽管每个结果都可以独立地证明，但变分复形用 一个主题把它们统一了起来而且整个复形的_ i _ f 合性的证明并不是很困难。 变分复形是研究拉氏场论的理论工具，用它可以判断一个方程组是否e u k r l a g r 她g e 方程组若是，还可求出相应拉氏量；有了变分复形及其同伦算子，可以 系统地构造微分方程的守恒律；变分复形还为读者更深入的研究最近关于流形上的 变分法的几何理论做出了充分准备。 0 3研究离散变分复形的必要眭和方法 偏微分方程是描述客观世界数量关系的一种重要的数学方法，大量的工程、科 学、技术和生产问题都被归结为偏微分方程的定解问题。在电子数字计算机出现以 前，主要是用解析方法近似求解，即用级数、含参变量的积分、特殊函数等手段求 解，然后再给出其近似解析式。解析方法对方程类型和求解区域有较大的限制，并 且不能直接给出近似解的数值，而绝大多数实际问题，方程和区域都十分复杂，因 而解析方法在应用上有很大的局限性，从而激发了数学家们对偏微分方程数值方法 的研究，差分方法应运而生，它来源于n e w t o n 、e u l e r 以差商代替导数的思想。电子 数字计算机的出现，使差分方法得到了迅速发展，这种方法容易适应各种类型的微 分方程。 在运用有限差分逼近的数值方法解方程时，从p d e s 的几何结构可以得到许 多有用的信息，这些信息对解有约束作用，因此可以把几何结构和数值解法结合 起来。d a r n o l d 在6 1 中指出：许多文献表明，如果数值格式仅从量上接近原来的 p d e ，那对保持稳定性是不够的离散微分复形的正合性及其和与此p d e 相 关的微分复形的关系是建立数值方法稳定性的关键工具。为了得到更好的稳定的数 值结构，考虑离散格式下的正合变分复形将很有意义；离散变分复形可以用来寻找 偏差分方程( p e 8 ) 的几何物理性质，主要是对称性和守恒律( 7 8 】) ：可以判断 p e 8 是否离散的e u l e r l a g r a n g e 方程组及求相应拉氏量。尽管离散空间上没有可 5 河南人学硕十学侍论文 微结构从而不可能有和连续变分复形一样的结构和性质，但是离散变分复形却有着 和连续情形惊人类似的一系列定理。 由于差分没有通常的莱布尼兹法则，为了研究差分离散格式的变分复形，我们 自然地要运用非交换微分运算( n c d c ) ( 【2 】【1 3 】) ，而且这样做很有意义。类似 1 】中 连续变分复形的构造，我们分三步定义离散变分复形。 第一章先给出格点及格点上的微分形式和外微分算子的定义。然后构造差分复 形，最后证明其f 合性。 第二章首先在差分复形中加入依赖变量定义出离散的全微分形式，然后给出水 平复形及其拓扑性质：接下来构造离散的垂直复形，得出其正合性，再把垂直复形 投影到等价类得到垂直泛函复形并证明垂直泛函复形的j 下合性。 第三章我们把水平复形和垂直泛函复形用一个算子粘接在一起，这就得到整个 离散的变分复形。然后我们证明粘接处的正合性，并补充水平复形正合性的证明。 最后给出离散变分复形的一点应用。 第四章是本文的结束语，对文章进行总结，并对以后的研究方向做了展望。 6 第一章离散微分形式和差分复形 本章我们先介绍离散空间上的微分形式和外微分算子的基本概念，然后在离散 空间上给出复形结构并得出其拓扑性质。 1 _ 1格点空间和平移映射 我们考虑p 维欧氏空间钟的一个点集x 。 = z n i 礼z p ，z n r 9 = ( 。：。，z ：。，嘏，) l n 。五z ：，r ，i = l ，2 ，p 为表示方便，令 n 。：= 石：。，n 。+ 1 = 石：。+ l 那么墨可以简单表示为 x j = n i n z 9 ) = ( n 1 ，n 2 ，一，) i n 。z ，i = 1 ，2 ，- p ( 1 1 1 ) 定义1 1 1 欧氏空间彤的点集墨。中的点称为格点。 定义在格点坐标n 上的所有函数构成一个代数，我们把它记为日。在格点上可 以定义平移映射： 乳：n 。时n 。+ 巧：，七= 1 ，2 ，- - p ； 这里畦是k r o n e c k e r 符号。令l 女= ( o ，o ，1 ，o ，o ) 表示只有第k 个分量为1 其 他分量均为零的p 维数组，那么有 每个平移映射的作用可以自然的延拓到b 中的任一函数。 定义1 1 28 上的平移映射为： s k ：8 _ 8 7 河南人学硕十学1 _ i ) ：论文 瓯：，( n ) 卜，( n + l k )( 1 1 2 ) 根据定义易知平移映射可交换，即瓯s = 马瓯，并且每个平移映射都是8 上 的代数同态： & ，( n ) 9 ( m ) = ，( n + l ) g ( m + 1 ) = & ，( n ) 乳伯( m ) 定义1 1 3 两个格点m ，n 称为相邻的，如果存在乳使得瓯m = n 或者 - n = m 。 定义1 1 4 欧氏空间彤的点集被称为格点空间，如果对于点集中的 任意格点，都存在点集中的其他格点与之相邻。我们把整个钟离散得到的格点空 间记为胪。如果对于格点空间中任意两个相邻的格点m m 都存在常数g ，使得 则此格点空间称为正规格点空间。 本文我们只在正规格点空间p 上考虑，并令g = l 。 定义1 1 57 是格点空间p 的有限子集，n o = ( n 5 ，n 3 ) ，n = ( n 1 ，矿) 是 t 中不同的两个格点，如果r 是由所有满足 礼5 m 。n ，i = l ，2 ，p 的格点m 构成的，则称t 为一个方体，记为t ( n o ，n ) 。 1 2 格点上的微分形式和外微分算子 对于格点空间驴和平移算子鼠，= 1 ，2 ，p ，令 女：= ( 瓯一i d ) ， 其中i d 为恒等算子，即 女，( n ) = ( & 一i d ) ，( n ) = ，( n + l ) 一，( n ) 8 河南人学硕十学位论文 那么我们就可以定义8 上的向量场空阃 y ：= s p o n k ，七= 1 ，2 ，p 然后定义t 的对偶算子x l ，满足 x f ( ) = 6 2 那么唧n 一) ，f = l ，2 ，p 构成v 的对偶空间，称为v 上的1 形式空间，记为 0 1 ( 妒) 或p n l 。 接着我们定义r 形式空间阱( p ) 。若u n ( ) ，则u 可表示为 u = 几。 i i 1 2 h x 蚌 记 q ( ) = o q 。( ) 仁0 ，l ，一，p 其中q o ( 口) = 层，那么可知q + ( ) 关于加法、数乘和外积构成一个分次代数。 定义1 2 1 平移映射鼠对n + ( 妒) 中元的作用定义为n 别结合 知 瓯( x t ) = f ( 1 2 1 ) 瓯( 玎 u ) = 瓯( 叩) 瓯( u ) ，仉u n 4 ( 工p ) ( 1 2 2 ) 定义1 2 2 如果q 7 ( 驴) ，那么定义它上面的外微分运算d 为 d ：n ( l ) n 7 + 1 ( l 9 ) p 咖= t m 。，。( n ) x 七 0 1 0 2 x “( 1 - 2 3 ) e = lt l ( 幻 z 7 特j q 地d x = o 。 9 河南人学顾十学位论文 在格点空间上，系数函数，和妒不能交换，但有 妒，= ( 乳，) 妒 ( 1 2 4 ) 称为非交换性，从而本文中的微分运算称为非交换微分运算( n c d c ) ( 【2 ) 。 由外积“ ”的性质妒 x f = ( 一1 ) x f 妒和( 1 2 4 ) 式我们得到以下定理： 定理1 2 3 外微分d 满足 ( 1 ) d ，( ) = u ( ，) ，”k ，q o ( 驴) ( 2 ) d 2 = o ， ( 1 2 5 ) ( 3 ) d ( u u ) = 6 b w 7 + ( 一1 ) 如9 “u d u 证明：( 1 ) 只需证对y 的基成立即可。不妨设”= 。，则 p 珂( i ) = 女，x 。( 。) = 。，= u ( ，) ( 2 ) 由d 的线性，只需证对单项式成立即可。令u = ，( n ) t 1 x 。： x 矗，则 p d 2 ) = d ( j ，( n ) f 1 x 2 2 ) ( 矗) ；“ 最后一个等号根据& 的可交换性。又 p d 2 ) = j k ，( n ) 妒 x 1 1 x 。2 x “ 2 ： = 一岛趣，( n ) 妒 r r 1 x 。2 t 矿 最后一个等号根据( a ) ，两式比较立得 d 2 ) = 0 ( 3 ) 由d 的线性，只需对单项式证明即可。 1 0 x x y x x x x 七 七 x x n n ，j，j 弩肛 河南人学硕 ：学位论文 令u = ，( n ) x 2 1 x 。2 ) ( 2 r = ，( n ) ) ( ，u = g ( n ) ) ( j 1 2 - x 如= 9 ( n ) x j 贝0 d ( u u ，) = d ( ，( 仃) 。吨“9 ( 住) x 1 x 。) p = ( ，m + l k ) s 。t 2 - t ，9 m + l t ) 一，( n ) s 。”* 9 ( n ) ) x 。 x 。 女= l p = ( ，( n + l k ) & 。1 2 。g ( n + 1 k ) 一，( n ) s 。1 2 。，g m + 1 女) + ，( n ) 最。 。g ( n + l t ) 一，m ) s m t ， g ( n ) ) x 七 x 。 x j = k ，m ) 鼠。口。，g ( n + l 女) x 。 x 7 7 + ，( n ) t & 。 m ，9 ) 妒 x 7 ) ( 7 = l= i pp = 女，( n ) x 。 x 。 9 坼) x 。+ ( 一1 ) 如“，( n ) x 。 女g ( n ) 妒 x 。 e = l女= 1 = a 叫+ ( 一1 ) 出9 。u 吐 1 3差分复形及其正合性 由定理1 2 3 ( 2 ) ，我们知道存在一个差分复形 o _ rj q o ( f ) 与n 1 ( ) 与与n 9 ( ) 与o ( 1 3 1 ) 这里t 是包含映射。 下面我们证明差分复形是f 合的。 为此我们先给出同伦映射与复形f 合性的关系。 定义1 3 1 已知 是一复形，若映射 使得 一a 一。马a 。乌a + 。驾 匝：a l a ； 皿+ 1 也+ 以一1 凰= 涮 1 1 ( 1 3 2 ) 河南大学硕士学位论文 对所有的i 都成立，那么凰称为同伦映射。 我们指出，若能构造出同伦映射，就能证明复形是f 合的( 对所有的i 都有 k e r 最= i m 也一1 ) 。事实上，由复形本身蕴含的文。盈一1 = o 可知 又若u 女e r 文，由 可知u i m 魂一l ，即 i ”l 也一l 七e r 最 凰+ l 喀( u ) + 也一t 凰( u ) = 以一l 凰( u ) = u ( 1 3 3 ) 南e r 民打n 蠡一卜 ( 1 3 4 ) 引理1 3 2r p o t n m r 印在胪上有紧支集的差分复形是正合的。即 七e r d l n r ( ，) = i ”1 d l n r 1 ( l ，) ， r = 1 ，2 ，p ； 七e r d l n o ( p ) = r ( 1 3 5 ) 为证明这个结论，我们只需构造此差分复形的一系列同伦映射。 首先我们引入内积的概念，这是对经典微分几何中向量场与微分形式内积的一 个形式的类比。 钊( ，( 。) p ， p 。 一。) ：f ( 一1 ) 一1 耳1 ，( n ) 1 x “1 x j ，i = 负， 、 0 ， i 血，f = 1 ，2 ，一，七 ( 1 3 6 ) 其中耳1 表示平移算子s 的逆，即可1 ：n n l 。 然后我们定义札：n 7 ( p ) q r _ 1 ( ) 为 n l 。( = ( 。j u ) k 女 ( 1 3 7 ) 女= 一 如果u q o ( l 9 ) ，那么m ( u ) = o ，i = o ，1 ，p 。例如， 1 2 x 一七n忆口 一 一一 = n 卢 + x y nnn口 河南走学硕士学位论文 定理1 3 3 设u ( 扩) 且u 有紧支集，那么 n p ( u ) = b ( u ) = ( p j u ) l 。一：k ， u n 7 ( l 9 ) ，r = o ，l ，- 一，p ( 1 3 8 ) “ 是复形n ( 扩) 的一个同伦算子。 例1 3 1 在l 2 上有紧支集的j 形式u = n ( n 1 ，n 2 ) x 1 + 卢( n 1 ，n 2 ) x 2 的同伦映射 为 n 2 ( u ) = 2 ( u ) = 卢( n 1 ，k 1 ) = 一。 可如下验证： 故 ( 幽) = 一卢( n 1 + 1 ，一1 ) x 1 + 卢( n 1 ，一1 ) x 1 + n ( n ，k ) x 1 = 一= 一o o= 一。 n 2 一a ( n 1 ，k 1 ) x 1 七= 一o o n 2n 2 砒( u ) = ( 毋一i d ) 声( n 1 ，女一1 ) x 1 + ( s 2 一i d ) 肛( n 1 ，k 一1 ) x 2 k = 一o 。 女= 一。 n 2n 2n 2 + l = 卢( n 1 + l ，女一1 ) x 1 一卢( n 1 ，一1 ) x 1 + 卢( n 1 ，一1 ) x 2 = 一o ok = 一。o女= 一 n 2 一卢( n 1 ，k 1 ) x 2 九( d ( j ) + d ( w ) o ( n 1 ，礼2 ) x 1 + 卢( n 1 ，n 2 ) x 2 h 2 + l 1 ) x 1 + 卢( n 1 3 卢( n 。，k 一1 ) x 2 2 竹n口+ 2 x l+ 2 n l n口一 2 x 2 nn 口 一 2 2 nl + 妒 一 ( 1 卢 = 山 口 一一 一 x 七竹a 舻 河南人学硕十学侮论文 例1 3 2 在三2 上有紧支集的2 形式u = ，( n ，) x 1 x 2 ( u ) 的同伦映射为 n 2 ( u ) = 2 ( u ) = 一，( n 1 ，k 1 ) x 1 女= 一o 。 此时幽= 0 ， ( 幽) = 0 ，故 【d u ) + d 【u )= d ( u ) n 2 = ( 岛一i d ) ，( n 1 ，女一1 ) x 1 x 2 七= 一o 。 n 2 + ln 2 = ，( n 1 ，女一1 ) x 1 x 2 一，( n 1 ，k 一1 ) x 1 x 2 下面给出定理1 3 3 的证明。 证明：( 1 ) r = o 时，令u = ，( n 1 ，n 2 ， p ( 山) + 饥( u ) = b ( ( s 一谢) ，( n 1 则 ( u ) = 0 ，因此 扩) f ) ，= 1 n p ( p j ( ，( n 1 ，n 2 ，+ 1 ) 一m 1 ，n 2 ，矿) ) x p ) i 舻：女 = 一。 n p = ( ，j x p ( ，( n 1 ，舻， n p ( ，( n 1 ，n 2 ，女) 一，( n 。，n 2 ，女一1 ) ) k = 一。 1 4 p m 一 河南人学硕十学化论文 ( 2 ) r = p 时，令u = ，( n 1 ，n 2 ，一，n p ) 】( 。 ) ( 2 x p ，贝0 出d = o ，因此 危( 口幻) + 口( u )= d p ( u ) n p = d ( ( p j ，( n 1 ，n 2 ，扩) x 1 ) ( 2 p ) j 。嘲) = 一 n p = ( 品一 d ) ，( n 1 ，n 2 ，一1 ) x 1 x 2 妒 = 一o 。 n p + l n p = ，( n 1 ，n 2 ，一1 ) x 1 x 2 妒一，( n 1 ，n 2 女= 一o 。k = 一。 七一1 ) x 1 x 2 x 9 ( 3 ) o r p 时，若u ( 扩) ，那么u 可分为不含妒和含妒两部分的和，即 = “。( n 1 ，矿) f 1 x 。+ k 。p ( n 1 ，扩) x “ 1 bl l l r l p - x “一1 x p = u l 十叫2 对于u l ： i d ) “。( n 1 ，n 9 ) x “ x “ “ h ( d u l ) = h ( ( 品一i d ) ，。( n 1 ，扩) f f 1 x “) i l l ” = ( ( “。( n 。，扩+ 1 ) 一“。，( n 1 ，n p ) ) 妒 0 1 - x “) 3 。“。 = ( p j 妒( ， ，m 1 ，一，舻) 一 。，( n 1 ，一，一1 ) ) 0 1 七= 一o 。2 l l ， x h ) j n p = k 由于u 有紧支集，此式展开即u 。而 1 ) = 0 ，d 1 ) = 0 1 5 s ，赳 i i 如 x x 一七n 一七n 一 旷 = 河南人学硕十学位论文 故 ( 山1 ) + d ( ul ) = u 1 对于此： p 幽2 = ( 岛一i d ) “。，p ( n 1 ，扩) f 0 1 x 4 “ x p j = lt 1 h p p 一1 = ( 岛一t d ) ，i im 一，p ( n ，矿) 一 r 1 - ) ( “ 妒 j = l l i ( t r 一 p n p p 一1 ( 山2 ) = ( 一1 ) ( 岛一i d ) 缸。，p ( n 1 ，一1 ) p 0 1 t = 一 j = l t l 。 t r l p x 0 一l n p ) = ( 一1 ) 1 “。p ( n 1 ，一1 ) x 2 1 x 。1 k = 一l l r 一1 p pn p 砒( u 2 ) = ( s f d ) ( 一1 ) 1 k 。，( n 1 ，一1 ) 妒 x 1 j = l七= 一o o。l 一【 p x “一l 从而 ( 山2 ) + 砒( 眈) n p = ( 昂一i d ) ( 一1 ) 1 n 。w ( n 1 ，一1 ) 妒 0 1 x 。1 = 一。 。l i r 一1 p n p = ( 昂一i d ) “。( n 1 ，一1 ) r 1 - x “1 妒 ( d w ) + 砒( u ) = u 由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，定理对任意u n 7 ( 驴) ，r = o ，1 ，2 ，p 均成立。 推论1 3 4 方体t ( n o ，n ) 上的差分复形是正合的，即 删俐p ) = 删川( 护) ，兰1 ； ( 1 舢) 七e r 圳f 2 0 ( l p ) = r 1 6 印 卜 扛 吣埔即综 开展 第二章水平复形、垂直复形和垂直泛函复形 2 1水平复形 离散变分复形的前半部分是由离散全微分形式( 以下简称全微分形式) 构成的 水平复形，全微分形式和离散微分形式相似，主要差别在于：全微分形式的系数函 数是不仅和独立变量有关，还和依赖变量以及它们的偏差分有关的光滑函数： ，“n ，i u n ，l j u n ，) 记为，【u 。】o 其中n 是独立变量，向量u 。= ( u ：，u ：，u g ) 是依赖变量，这里u ：( = l ，2 ，g ) 是关于n 的函数；：u 。= u 。+ 【。一u 。，。j u 。= 。( j u 。) ，。全体这样的 函数构成一个代数，记为4 。平移算子在，阻。 上的作用如下： 5 k ，【u n 】= ，( n + 1 k ，让n + l i ，t “n + l b ，l ，j “n + l ，) ( 2 1 1 ) 定义2 1 1u 称为全微分r 形式，如果 u = m 。 l r f x 。2 - x “ ( 2 1 2 ) 0 1 ；， 全微分r 一形式的全体已为q r 。 记 n + = 0n 2 t = 0 ，l ，巾 这里n o = a ，那么可知n 关于加法、数乘和外积构成一个分次代数。 定义2 1 2 定义全微分映射d ：n r + n r + 1 为 d u = 。m ，山 “。 x 2 x x 。 x b ( 2 ，1 3 ) = 1i 1 0 2 一 o ， u = 巧 ( u ) + h ( 占u ) ) = 左( 小z 。p 削叫警 ( 2 3 9 ) 由于司酗的核由那些只依赖独立变量n 的函数组成，而按照我们以下所述，所 有这样的函数都等价于零，这就证明了复形在n ! 处的正合性。 河南人学硕十学位论文 要证，= ，( n ) j ，一o ，只需证方程 ，( n ) = 品9 9 ( 2 3 1 0 ) 对任给，都有一个解9 。为此，我们可以取g 在超平面 ( n 1 ，n ，妒) l 妒；一) 的值为。作为初值，那么对任给，从( 2 3 1 0 ) 式可以得到9 ( n 1 ，妒，n o 士1 ) 的 值。重复以上过程我们就能得到9 在整个俨上的值。 例2 3 2 ( 接上例) 为得到一个泛函口一形式q ，使其变分微分等于u ，我们用 同伦公式偿0 到，这时 眦一去地“n 忐 那么 q 刊u ) = z 1 川u a “n “+ ( 衄扩仙衄n ) 警 = ；( u n z u n + u ：+ ( 。u n ) 2 + u n z n ) 可以验证 曲= ；( z n d u n + 2 u n d “n + z n d “n + u n d 。“n + 2 z “n d z “n + n d z u n ) = ( 。u 。d u 。+ u 。d u 。+ “。d z u n + z u n d z u n ) 第三章离散变分复形 本章我们给出离散变分复形的定义和性质，并简单介绍一点应用。为叙述方便， 在p 维格点空间上，对多维指标t ，= ( j 。，如，n ) ，记歹= ( 五，元，品) ，这里面五 表示整数i ( 1 i p ) 在j 中出现的次数。例如p = 4 时，j = ( 1 ，1 ，1 ，2 ，4 ，4 ) ，这时k = 6 ， 那么了= ( 3 ，l ，0 ，2 ) 。 3 1离散的e u l e r 算子 为了得到离散变分复形，我们需要把水平复形和垂直泛函复形粘接起来，和连 续的情形一样，这可以通过e u l e r 算子e 来实现。离散的e u k r 算子k u p e r s h m i d 在 2 2 中已经推导过，他发现，和微分方程的e u l e r 算子一样，差分方程的e u l e r 算子 也可以通过n 6 c h e t 导数来定义： r 数组p 阻。 的f r 6 c h e t 导数是一个微分算子d _ p ： 4 - d p ( q ) = 芝l 。：。p u n + e q 阻n 1 】 ( 3 1 1 ) 这里q 【u 。 是a q 中任意元素，那么e u k r 算子就定义为： e ( p 阻。 ) = d ( 1 )( 3 1 _ 2 ) 这里d ；是d p 关于f 2 内积的伴随。这样，就得到对应依赖变量u ：( 1 osq ) 的 e u l e r 算子为： 玩= ( - ) ，。志， ( 3 1 3 ) 其中j = ( j 1 ，如，靠) ，s 一。= s 写五，$ 品，这里我们用s 表示( 筇1 ) 盂，1s 七p 。 例3 1 1p = q = l 时，若z 为自变量，那么眈f e r 算子为以下形式： e = 薹c 删，赤= 去也去地，2 忐 河南人。学硕卜。化沧文 若垂【】- l u 。 为一泛函，拉氏量三 u 。 _ ( ：u 。) 2 十2 u n ，那么 e ( l ) = 2 2 z s 一1 。n = o 就是该变分问题的眈f e r 工0 9 m n 9 e 方程。 定义3 1 1 眈f e r 算子对妒中元的作用定义为 g e ( ，x 1 ) ( ) = 毋( ，) d “： 3 2离散变分复形 ( 3 1 4 ) 引理3 2 1 不同于连续情形的血i 6 n 诂法则，对于差分算子，有如下形变l e 曲n 如 法则： 或者 这里，g a 。 证明： 即( 3 2 1 ) 式； 类似地， k l f g 、= k j s 的+ f - 耙9( 3 2 1 ) 9 r ，= k ( 筇1 9 ，) 一筇1 9 ， ( 3 2 2 ) ( ，9 ) = 瓯( ，9 ) 一，9 0 s k f 、s k g l s k g + s k g 一| tg = 0 s k f f 、s k 9 + | t s k g g 、 = k f s k g + k g l s i l g t 、= s k t s i l g 、一s i 、g f = g s k f g | + g f s ；、g l = g 0 s k 一f 、+ s k t s i 、9 、j s i l 9 = 9 k | + k s i 、g - | 河南人学硕十学位论文