（应用数学专业论文）具固定时刻脉冲的泛函微分系统稳定性理论.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的 学位或证书使用过的材料。- 9 我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：砜施耀 导师签字： 签字日期：2 0 0 4d 手- 4 月“日签字目期：2 0 0 4仁月改毛 ， 二缈掉? 执。 秽 矧盘文蛩嚣 具固定时刻脉冲的泛函微分系统稳定性理论 孙晓辉 ( 山东师范大学数学系，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 在本章中，我们主要研究具有界滞量的脉冲泛函微分系统 z ( t ) = f ( t ，钆) ，t n ， z ( t ) = x ( t 一) 十矗( z ( t 一) ) ，t = t k ， ( 1 ) 。o = 币o ，t o r 十， 其中x t ( p ) = x ( t + p ) ，0 一r ，o 】 和具无穷延滞的脉冲泛函微分系统 ) = f ( t ，现) ，t ， = x ( t 一) 十“( z ( t 一) ) ，t = 吼， ( 4 ) = 妒o ，t o r + ， 其中x t ( s ) = x ( t + s ) ，t t 4 a 一，a 可以是一o 。，8 a ，o 】 得出了系统( 1 ) 的稳定性及系统( 4 ) 的稳定性和有界性结论 在研究脉冲泛函微分系统稳定性时，l y a p u n o v 函数方法和r a z u m i k h i n 技巧是 非常有效的但是选取适当的l y a p u n o v 函数有一定的难度文 1 1 1 2 中提出用适 当的锥来代替向量l y a p u n o v 函数方法中的标准锥r 华，在采用了锥值l y a p u n o v 函 数后，不仅推广了原有的结果，而且在应用上有明显的便利另外文 1 5 中提出一 种新的方法，即部分变元的l y a p u n o v 方法这种部分l y a p u n o v 函数中只含有自变 量。的部分变元，满足的条件较少，比较容易构造基于上述思想，本文将采用上 述方法来研究上述两系统的解的性质全文分为三章 在第一章中，首先我们给出锥的定义，在锥上定义序关系然后介绍了锥值 l y a p u n o v 函数的概念及其沿系统( 1 ) 的解的导数定义在用向量l y a p u n o v 函数方 法来得出比较结果时，总是要求比较系统有拟单调非减性但具有稳定性的比较系 统却不一定满足拟单调性质当我们用适当的锥来代替标准锥矗2 后，对比较系统 降低了这一要求，具有明显的优越性本章中我们利用锥值l y a p u n o v 函数方法首 先给出了两个引理，并由引理得出一个( h o ， ) 一一致稳定的比较定理然后得到若 干关于两个测度的一致稳定，一致渐近稳定的直接结果本章的结果是对原有的结 2 论的攘广+ 在用予判断时更有效黩范围更广在本章的最麓举铡说明了懋璎的应用 陵。 在第二章中，我们主要用部分l y a p u n o v 峭数和r a z u m i k h i n 技巧来研究具无穷 延滞的脉冲泛函微分系统( 4 ) 的稳定性因为具无穷延滞的系统与具有界滞量的系 统农 舞究黠有本凑豹不曩，这藏搜褥鼹系统4 ) 懿稳定瞧黪疆究更复杂特嚣l 是v 函数的选取毙较圈难所以用郡分l y a p u n o v 函数相对要漭痨在本章申我们稍露 这种方法得到系统( 4 ) 的零解的一致稳定，一致渐近稳定的若干结果述利用两族 部分l y a p u n o v 函数得出了系统( 4 ) 的全局一致渐近稳定燃结果本章的最后给出 一令铡予量荛暖了终沦翡实震淫。 在第三章中，我们主要和用l y a p u n o v 函数和r a z u m i k h i n 技巧相缩合的方法来 研究具无穷延滞的脉冲泛函微分系统( 4 ) 的关千两个测度的有界性，并得到了有界 蛙粒一些结果，魄麓系统( 4 ) 的( 幻，一一致鸯界性，( h 0 ，h ) - 一致最终露器性等。 需臻斑的是在定瑷3 3 3 农定瑷3 3 4 中，l y a p u n o v 蘧数漤系统( 4 的辩豹导数可 以放宽，不再仅仅局限于常负或定负在本章最后同样给出个例子来验证结果的 有效性 荧键调：豫跨泛运羧分系缓，毒雾游鬃，无穷延涝，键篷l y a p u n o v 丞数， r a z u m i k h i n 技巧，稳定性，省界性，两个测度 分类号：0 1 7 5 2 1 3 s t a b i l i t yt h e o r yf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m s w i t hi m p u l s e sa tf i x e dt i m e s s u nx i a o h u i d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys t a b i l i t yf o ri m p u l s i v ef o u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t h f i n i t ed e l a ya sf o l l o w l 一( t ) = ，( t ，轨) ，t r k ， 。( f ) = z ( o 一) + 厶扫p 一) ) ，t = ， ( 1 ) io 亡0= 咖o ，t o _ r + ， w h e r e x t ( o ) = x ( t + 日) ，口【一r ，o - a n dw ea l s os t u d y s t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s sf o ri m p u l s i v ef o u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m w i t hi n f i n i t ed e l a ya 8f o l l o w iz ( t ) = f ( t ，吼) ，t n ， z ( t ) = ( t 一) + 矗( 。( t 一) ) ，t = n ， ( 4 ) iz 幻= 讥，t o 兄+ ， w h e r ex t ( s ) = x ( t + s ) ，t t + a 一。，ac a nb e 一。，s 陋，o i ti sa ne f f e c t i v et o o lf o rl y a p u n o vf u n c t i o n sc o u p l e dw i t hr a z u m i k h i nt e c h n i q u e t oi n v e s t i g a t et h es t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s b u ti ti s d i f f i c u l tt oc o n s t r u c ta p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n s i n 1 1 1 2 ，t h e yg i v ean e wi d e a t h a tc h o o s eas u i t a b l ec o n eo t h e rt h a n 且王t ow o r ki nag i v e ns i t u a t i o n b yu s i n gc o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n s ，w eg e n e r a l i z es o m eo ft h ee a r l i e rr e s u l t s a tt h es a m et i m e ，a n e w a p p r o a c hi s i n t r o d u c e di n 2 5 ，t h a ti s ，t h ep r o p e r t i e so ft r i v i a ls o l u t i o no fs y s t e m ( 1 ) a n d ( 4 ) c a nb ei n v e s t i g a t e db ym e a n so fs e v e r a ll y a p u n o vf u n c t i o n si n c l u d i n gp a r t i a l c o m p o n e n t s ，w h e r ee v e r yl y a p u n o vf u n c t i o n ss a t i s f i e sw e a k e rc o n d i t i o n sa n di s e a s i e rt o c o n s t r u c t b a s eo nt h e e i d e a s ，w ee m p l o ya b o v em e t h o d s t os t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h e s o l u t i o n so ft h es y s t e m s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ef i r s t l yg i v et h ed e f i n a t i o no ft h ec o n ea n dt h eo r d e rr e l a t i o n o nt h ec o n e t h e nw ei n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no fc o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n sa n d i t sd e r i v a t i v ea l o n gt h es o l u t i o no fs y s t e m ( 1 ) t h e r ei st h er e q u i r e m e n to fq u a s i m o n o - t o n en o n d e c r e a s i n gp r o p e r t yo ft h ec o m p a r i s o ns y s t e mi nl y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d 4 h o w e v e r l i ti s n o tn e c e s s a r y b yu s i n gc o n e v a l u e d l y a p u n o vf u n c t i o n s ，w em a k et h e m e t h o dm o r eu s e f u l i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s t l yg i v et w ol e m m a sf r o n lw h i c hw eg e tt h e c o m p a r i s o nc r i t e r i ao f ( h 0 ，h ) - u n i f o r ms t a b i l i t y t h e nw ea l s og e tt h ed i r e c tr e s u l t so f t h eu n i f o r m s t a b i l i t ya n du n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e s t h e r e s u l t si nt h i sc h a p t e ri m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m eo ft h ee a r f i e rf o u n d i n g s ，a n dt h e y a r en o to n l ye f f e c t i v eb u ts u i t a b l ef o rm a n y a p p l i c a t i o n s f i n a l l yw eg i v ea ne x a m p l et o i l l u s t r a t et h ea d v a n t a g e so fo u rr e s u l t s i nc h a p t e rt w o ，w em a i n l ys t u d yt h es t a b i l i t yp r o p e r t i e so ft h es y s t e m ( 4 ) b yt h e m e t h o do fs e v e r a ll y a p u n o vf u n c t i o n si n c l u d i n gp a r t i a lc o m p o n e n t sc o u p l e dw i t hr a z u - m i k h i nt e c h n i q u e b e c a u s et h e r ei s g r e a t l yd i f f e r e n tb e t w e e nt h es y s t e mw i t hi n f i n i t e d e l a ya n d t h es y s t e mw i t hf i n i t ed e l a y , t h u st h el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o di sm o r ec o m - p l i c a t e dt os t u d yt h es y s t e m ( 4 ) e s p e t i a l l yi t i sd i f f i c u l tt oc o n s t r u c tt h el y a p u n o v f u n c t i o ns oi ti sm o r ee a s i e rb yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n si n c l u d i n gp a r t i a lc o m p o - n e n t s i nt h i sc h a p t e r ，w e g e ts o m e r e s u l t so fu n i f o r ms t a b i l i t ya n du n i f o r m l ya s y m p t o t i c s t a b i l i t yo ft h et r i v i a ls o l u t i o n so fs y s t e m ( 4 ) w j a l s og e tt h eg l o b a l l yu n i f o r m l ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yb yu s i n gt w of a m i l i e so fl y a p u n o vf u n c t i o n si n c l u d i n gp a r t i a lc o m p o n e n t s m o r e o v e r ，a ne x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e m si nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s sp r o p e r t i e si nt e r m so ft w om e a s u r e s o fs y s t e m ( 4 ) b yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n sc o u p l e dw i t hr a z u m i k h i nt e c h n i q u e ，a n d g e ts o m er e s u l t ss u c ha s ( h 0 ，h ) - u n i f o r mb o u n d e d n e s sa n d ( h 0 ，h ) - u n i f o r m l yu l t i m a t e b o u n d e d n e s s i nt h e o r e m3 3 3a n dt h e o r e m3 3 4 t h ed e r i v a t i v eo fl y a p u n o vf l m c t i o n a l o n gt r a j e c t o r i e so f s y s t e m ( 4 ) d o e s n tn e e d t ob e r e q u i r e d t ob e n e g a t i v ed e f i n i t e f i n a l l y w ea l s og i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h et h e o r e m s k e y w o r d s ：i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ， f i n i t ed e l a y ，i n f i n i t ed e l a y , c o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n ，r a z u m i k h i nt e c h n i q u e ， s t a b i l i t y ， b o u n d - e d n e s s ，t w om e a s u r e s c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 2 l 5 第一章具有界滞量脉冲泛函微分系统稳定性定理 1 1引言 在自然科学与工程技术的研究中，许多现象的数学模型都可归结为脉冲泛函 微分方程由于其广泛的应用背景，对该系统的研究逐渐成为一个热点但由于该 系统的复杂性，文章f 1 - 3 1 中刚刚建立起基本理论目前，关于稳定性的结果还不 是很多( 参见【4 7 】) 在前面的文章中，主要的研究方法是向量l y a p u n o v 函数法与 r a z u m i k h i n 技巧结合这种方法虽然有效，但对条件要求很强特别在比较结果 中，要求比较系统的拟单调非减性但是具有稳定性的比较系统却不一定满足拟单 调性质，显然向量l y a p u n o v 函数法有其限制性为了克服这一困难，在文章 1 l 一 1 2 1 中提出用适当的锥来代替向量l y a p u n o v 函数方法中所用的标准锥冗罩在采用 了锥值l y a p u n o v 函数后，在应用上有明显的便利基于这种思想，本文将用锥值 l y a p u n o v 函数方法来研究具有界滞量的脉冲泛函微分方程的关于两个测度的稳定 性，得出了若干稳定性定理 考虑以下脉冲泛函微分系统 12预备知识 z ( t ) = f ( t ，z ) ，t ， z ( t ) = z 一) + 扛( t 一) ) ，t = 仉， ( 1 ) 茁 o = 讥，t o r + ， 其中，：r + xc h - r “， ：r “- + 冗“，t t ( 0 ) = z 0 十，0 【一r ，o 】， 中o c = g 【 一r ，o l ，r ”】，c h = 妒c ：i i 妒i l 丑) ， f f i p f | = m a x f l p ( 占) f ) ：一r 口o ) ，f 刮= m a x f 嗣f ：1 i n ，z r “，0 n 吨 ，1 i m = + o 。，令g k = 弘：t k l t o ) 对应于系统( 1 ) ，我们还要考虑比较系统： iw m ) = g ( t ， ) ，t ， 叫( t ) = 叫( t 一) + 以( t j ( t 一) ) = b ( 州( t 一) ) ，t = ， ( 2 ) 【w ( t o ) _ t o o ，t o 冗+ ， 其中9 c g k z ，舻 ，b k ( s ) 0 ，t o r + ，存在6 = d ( t o ，e ) 0 ，使当h o ( t o ，妒o ) 0 ，存在d = 6 ( t o ) 0 ，t = t ( t o ，e ) 0 使当 o ( t o ，妒o ) 0 ，使当q o ( w 0 ) 6 时，q ( t ， ( t ) ) 0t t o ，t t ) 且西( 1 ) = 0 因此，d 一面( t 1 ) o ( 9 ( t l ，w ( t l ，e ) ) + 叼一9 ( t l ，m ( t 1 ) ) ) i o ( 9 ( t l ，w ( h ，e ) ) 一9 ( t l ，r e ( t 1 ) ) ) 0 ， 矛盾所以( 1 , 3 1 ) 式成立，即定理结论成立 引理1 3 2 设以下条件成立 ( i ) 9 【g z ，r 列，n ，9 ( t ，) 在z 上拟单调不减，且系统( 2 ) 在z 上的最大 解为r ( t ) = r ( t ；t o ，o ) ； ( z ) b k ：z _ 五巩( ) = + 以( ”) = l ，2 ，在z 上单增； ( 协) 对n u ( o ) ， z ，极限，j 碍1 、g ( t ， ) 存在i ”卜+ 飞月j t 0 ，当q o ( w ) 0 ，使妒( p o ) p 当h ( t ，z ) p 时有b ( h ( t ，z ) ) sq v ( t ，) ； 当h o ( t ，z ) p 0 时有q o v ( t ，$ ) a ( h o ( t ，) ) ，a ，b 。k ； ( i v ) 对系统( 1 ) 的任意解z ( t ) ，当h ( t ，。( t ) ) p 时有 d v ( t ，z ( t ) ) ；9 ( t ，v ( t ，z ( t ) ) ) ，t 仉，= 1 ，2 一， y ( ，$ ( 曙) + 厶( z ( 百) ) ) s ：鼠( y ( 百，( 嘻) ) ) ，k = 1 ，2 ， 其中9 g g z ，r 华 ，9 ( t ，0 ) 兰0 且9 ( t ， ) 对所有t r 十在z 上关于w 拟单调 不减； 1 0 ( u ) p l p ，当h ( t 一，3 7 ) p 1 时有h ( t ，z 十x k ( x ) ) 0 ，“k ，使得 q o ( w ) 时，q ( w ) su ( q o ( ) ) ( 1 3 2 ) 对ve ：0 0 ，满足d 1 m i n ) 、，u - 1 ( 6 ( e ) ) ) ，使得q o ( w o ) 6 1 时有 q ( ( t ) ) b ( e ) ，t o o ，( 1 33 ) 其中 ( t ) = 伽( t ；o ，”o ) 是系统( 2 ) 在z 上的任意解 再由条件( i ) ，| q o k ，使h o ( t ，。) 0( 1 3 4 ) 选取”o = s u pv ( t o ，妒o ( s ) ) 及6 m i n p o ，a o ) ，其中o ( a o ) ，使得o ( 6 ) 6 1 ， - r _ s o 令h o ( t o ，妒o ) 6 ，贝0h o ( t o + 8 ，c q ( s ) ) h o ( t o ，妒o ) 6s 卜r ，0 且 ( t o + s ，x ( t o + s ) ) 妒( 6 ) q o ( p o ) p 由条件( 侧) 得： b ( h ( t o + s ，x ( t o + s ) ) ) sq y o o + 8 ，z ( t o + s ) ) 】u ( q o v ( t o + 5 ，z ( t o + 3 ) ) ) su ( n ( h 。( t o + s ，z ( t o + s ) ) ) ) u ( a ( h o ( t o ，币o ) ) ) u ( o ( 6 ) ) u ( 6 1 ) 6 ( e ) ， rss 0 ( 1 35 ) 所以h ( t ，z ( ) ) e ，t 【t o r ，t o 】 下面说明：当q ( 圳, 4 a ( t o ，d ) ) 6 ( e ) ，t o t t7 ( t7 可以是。) 时有 ( t ，z ( ) ) p ，t t o ，t ， 事实上，由h ( t ，( t ) ) e ，t 【t o r ，t o 】若| t 4 【t o ，t ， 使h ( t + ，z ( 矿) ) p ，则由( 口) 知，必有t o ( t o ，矿) ，使p 1 ( t o ，x ( t o ) ) t o ，使 q y o l ，。( t 1 ) ) 】= 6 ( e ) 且q v ( t ，z ( t ) ) 】 6 ( e ) ，t t o r ，t 1 ) 因为h ( t ，z ( t ) ) pt t o r ，t l 】，所以由条件( 伽) 及引理1 3 2 可得 v ( t ，( t ；t o ，讥) ) s ；r ( t ；t o ， o ) ，t 【t o r ，t 1 ， 其中r ( t ；t o o ) 是系统( 2 ) 的在z 上的最大解 再由0 的性质可得q v ( t ，。( t ) ) 1sq 【r ( t ；t o ， o ) 】i t t o r ，t 1 因此有 6 ( e ) = c 2 v ( t l ，g ( 1 ) ) q p ( f 1 ；o ，嘶) 】，( 1 3 7 ) 由h o ( t o ，妒o ) 6 ，可推知 q o ( o ) = q o s u pv ( t o ，妒o ( s ) ) 】s ( s u ph o ( t o + s ，妒0 0 ) ) ) 一! 畦ur ! s 二u sa ( h o ( t o ，妒d ) ) o ( 6 ) 占1 那么由系统( 2 ) 是( 0 0 ，q ) 一一致稳定的，有q ( r ( t ；t o ， o ) ) b ( e ) ，t t o 也即有q i r ( t l ；t o ，蛳) 】 6 ( e ) ，这与( 1 3 7 ) 矛盾 所以，( 1 3 6 ) 式成立 再根据条件( 捌) 得到b ( h ( t ，。( t ) ) ) sq v ( t ，z ( t ) ) b ( e ) ，t t o 即h ( t ，。( t ) ) 0 ，使o ( p o ) p ，当h ( t ，。) p 时有b ( h ( t ，z ) ) q v ( t ，$ ) ； 当h o ( t ，。) p 0 时有q o v ( t ，) a ( t ，h o ( ，。) ) ，b k ，a c k 且关于t 单增； ( i ) 对( 1 ) 的任意解z ( t ) ，当h ( t ，z ) p ，q v ( t + s ，。0 十s ) ) 1 q v ( t ，z ( t ) ) ，一r 8s 0 时有d + q v ( t ，。( t ) ) o ； ( ) 对vk z + ，当 ( t ，z ) p 时有q f y ( n ，+ “ ”i 曼q 矿( 7 i ，z ) j ； ( 。 ) jp l p ，当h ( t ，z ) p l 时有 ( 亡，z + 五( z ) ) p ， z + 则系统( 1 ) 是( o ， ) 一稳定的 证明：对v ：0 e m i n p ，p l ，a ) ，及vt o r + ，选取6 ，e ) m i n p o ， o ) ， 其中a ( t o ，a o ) sa ，并满足m 懿f “( 8 ( t o ，6 ) ) ，6 ( 妒( 硼) 6 ( e ) 1 2 令t o 一l ，) ，m 是某个正整数，且有h o ( t o ，妒o ) 6 时，则有 h o ( t o + s ，妒o ( s ) ) h o ( t o ，妒o ) 6 p o ，s 一r ，o 下证：当h o ( t o ，妒o ) 6 时有 h ( t ，z ( t ) ) e ，t t o ( 1 3 8 ) 为方便起见，记v ( t ) = v ( t ，。( t ) ) 。( t ) = 。( 如t o ，咖) 是( 1 ) 的解 下证： q 【矿( t ) 】墨u 扣( t o ，6 ) ) ，t t o ，7 h ) ， ( 1 3 - 9 ) 显然当h o ( o ，妒o ) 0 ， s 一r ，0 1 但是此时h ( z ( 如) ) e p ，所以由条件( i v ) 得d + q ( t 2 ) o ， 矛盾所以，( 1 3 9 ) 式成立 类似定理1 , 3 1 中证明可得，当t2t o 并且q i v ( t ) 】b ( e ) 时，有h ( t ，z ) 0 由上述证明可知， ( t 3 ，( t 3 ) ) p ，再由条件( 如) ，d + q 【y ( t 3 ) 】o 矛盾 所以( 1 3 1 0 ) 成立 由( ) ，q y ( + 1 ) sq 【v ( 7 磊十1 ) 1 u ( 0 ( t o ，6 ) ) 类似可证：q i v ( t ) 】t ( o ( t o ，) ，t t o 再由条件( i i i ) ，b ( ( t ，$ ) ) q 【y ( t ) 6 ( e ) ，t t o 所以 ( t ，$ ) 0 ，使n ( a o ) a ，其 中d 与a o 均与t o 无关，并满足m a x u ( o ( 6 ) ) 1 b ( 妒( 6 ) ) ) 墨b ( e ) 以下定理证明类似定 理1 3 2 证明，则可得系统( 1 ) 是( h o ， ) 一一致稳定的 定理1 3 4 若将定理1 3 2 中( u ) 改为： ( 口) 对vk z + ，当h ( t ，) p 时有印( ，。4 - 如( 。) ) 】s ( 1 + b k ) q v ( 百，。m b k 0