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太原理工大学硕士研究生学位论文 振动筛局部结构损伤检测方法的研究 摘要 自同步直线振动筛振动强度大，结构简单，而且噪音较低， 因此在煤炭洗选行业广泛使用。振动筛工作环境恶劣，受力复杂， 不仅受到振动荷载，还受到冲击荷载的作用，从而引起疲劳损伤 的累积产生裂纹。结构上裂纹的产生与扩展改变了结构的动力特 性，大大影响结构系统的正常工作，严重时可能造成无法估量的 后果。为了避免这种现象的发生，一旦有裂纹出现时，就需要及 时而准确地检测和诊断出来。 本文运用模态分析理论，研究了振动筛局部结构损伤的监测 方法。即将静力问题视为动力问题的特例，将动力问题分解为各 阶模态下的静力问题，实现静动力问题的统一的理论。主要是以 振动筛下横梁为例，研究振动筛局部结构损伤识别技术，并且分 析了振动筛局部结构故障产生的原因，预测了可能发生破坏的部 位、性质。 本文根据动力学理论讨论了振动筛的工作机理和基本性能， 介绍了模态分析理论和实验模态方法。用m s c 公司的p a t r a n 、 n a s t r a n 软件建立并计算了下横梁的有限元模型，在计算下横梁 模态参数的过程中讨论了以下几个问题：网格划分的数量不同对 计算结果的影响；不同形状的网格在不同位置对计算结果的影 i 太原理工大学硕士研究生学位论文 响。本文还计算了不同位置，不同深度的裂纹对下横梁模态参数 的影响。结果表明裂纹对固有频率有明显影响，但对模态振型影 响不大。根据模态分析理论和有限元方法计算的结果提出了通过 测量分析模态频率的变化来检测下横梁结构损伤的方法，并做了 实验来验证该方法。 根据振动筛的模态振型确定了下横梁结构损伤在线测试实 验中加速度传感器的安装位置。通过对在线测试实验得到的数据 进行分析，从而得出了下横梁存在裂纹的判断。 实验结果表明，以上判断与现实情况完全符合，说明通过测 量模态频率的变化来判断振动筛下横梁结构损伤的方法是可行 的。 关键词：振动筛，损伤识别，振动测试，有限元分析，模态分析 太原理工大学硕士研究生学位论文 r e s e a r c ho nt h ed a m a g ed e t e c t i o nn p j h o do f p a r t i a ls t r u c t u r eo fv i b r a t i n gs c r e e n a b s t r a c t s e l f - s y n c h r o n i z i n gl i n e a rv i b r a t i n gs c r e e nn o to n l yh a sb i gi n t e n s i t y o fv i b r a t i o n ，s i m p l es t r u c t u r e ，b u ta l s oh a sl o w e rn o i s e ，i ti sa p p l i e dt o c o a lp r o f e s s i o n t h es c r e e nw h i c hw o r k i n gc o n d i t i o ni sb a d ，s t r e s si s c o m p l e x ，n o to n l yr e c e i v e st h ev i b r a t i o nl o a d ，b u ta l s o r e c e i v e st h e i m p a c tl o a d ，t h u sc a u s e st h ef a t i g u ed a m a g ea c c u m u l a t i o nt op r o d u c et h e c r a c k t h ep r o d u c t i o na n de x p a n s i o no ft h ec r a c kc h a n g e st h ed y n a m i c p e r f o r m a n c eo ft h es y s t e m ，g r e a t l ya f f e c t si t sn o r m a lw o r k ，i ti ss e r i o u s w h e nt h ec o n s e q u e n c ew h i c hi su n a b l et oe s t i m a t ei sc r e a t e d i no r d e rt o a v o i dt h i sk i n do fp h e n o m e n o n ，o n c et h ec r a c ka p p e a r s ，w es h o u l d a c c u r a t e l ye x a m i n ea n dd i a g n o s ei t b a s e do l lm o d a la n a l y s i st h e o r y , t h et h e s i sr e s e a r c h e st h ec r a c k m o n i t o r i n gm e t h o dt ot h ep a r t i a ls t r u c t u r eo fs c r e e n r e g a r d i n gt h es t a t i c p r o b l e ma st h es p e c i a lc a s eo f t h ed y n a m i c a lp r o b l e m ，w ec a nd e c o m p o s e t h ed y n a m i c a lp r o b l e mi n t os t a t i cp r o b l e mu n d e rv a r i o u ss t e p sm o d a l s a n ds oc a nu n i f yt h es t a t i cp r o b l e ma n dt h ed y n a m i cp r o b l e m b a s e do n t h ea b o v et h e o r yt h et h e s i st a k e st h el o w e rc r o s s b e a ma sa ne x a m p l e ， l l ：i 太原理工大学硕士研究生学位论文 a n a l y z e st h ed a m a g er e a s o no ft h ep a r t i a l s t r u c t u r eo fs c r e e n ，a n d f o r e c a s t st h ep o s s i b l ed a m a g es p o ta n dt h ed a m a g ec h a r a c t e ro fs c r e e ni n i t sw o r k i n gc o n d i t i o n t h et h e s i sd i s c u s s e st h es c r e e nw o r km e c h a n i s ma n di t sb a s i c p e r f o r m a n c eb a s e do nt h ed y n a m i c st h e o r y a n dt h e ni n t r o d u c e st h e m o d a la n a l y s i st h e o r ya n dt h ee x p e r i m e n t a lm o d a lm e t h o d w i t hm s c c o r p o r a t i o n sp a t r a n , n a s 打a ns o f t w a r et h ea u t h o re s t a b l i s h e sa n d c a l c u l a t e st h ef i n i t ee l e m e n tm o d e lo ft h el o w e rc r o s s b e a m d u r i n gt h e p r o c e s so fc a l c u l a t i o nt h et h e s i sd i s c u s s e sf o l l o w i n gs e v e r a li s s u e s ：t h e e f f e c to fd i f f e r e n t 鲥dq u a n t i t yt ot h ec o m p u t i n gr e s u l t ；t h ei n f l u e n c eo f d i f f e r e n t 鲥ds h a p ei nd i f f e r e n tl o c a t i o nt ot h ec o m p u t i n gr e s u l t t h e t h e s i sa l s oc a l c u l a t e st h ei n f l u e n c eo ft h ed i f f e r e n tp o s i t i o n ，d i f f e r e n t d e p t hc r a c kt o l o w e rc r o s s b e a mn a t u r a l f r e q u e n c y , a n dt h er e s u l t , i n d i c a t e st h a tt h ec r a c kh a st h eo b v i o u si n f l u e n c et ot h en a t u r a lf r e q u e n c y , b u th a sn o tt h eo b v i o u si n f l u e n c et ot h ev i b r a t i o nm o d a l i t y a c c o r d i n gt o t h em o d a la n a l y s i st h e o r ya n dt h ec o m p u t i n gr e s u l to ft h ef i n i t ee l e m e n t t h et h e s i st h e nd e s i g n st h e e x p e r i m e n t a lp l a n ，w h i c h e s t i m a t e st h e s t r u c t u r ed a m a g eo fl o w e rc r o s s b e a mb ym e a s u r i n gt h ec h a n g eo fm o d a l f r e q u e n c y b yt h em o d a lp a r a m e t e rm e a s u r e m e n te x p e r i m e n t , t h et h e s i so b t a i n s t h es c r e e nm o d a lf r e q u e n c ya n dt h ev i b r a t i o nm o d a l i t y , a n db yr e f e r i n gt o t h ef i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sr e s u l tt h et h e s i sf i n d st h a tt h ec r o s s b e a m i v 太原理丁大学硕七研究生学位论文 u s u a l l yw o r k sa tt h el o w 丹e q u e n c y i ne x p e r i m e n t , t h et h e s i sf i n d st h a t t h e r ei sn oo b v i o u sd i s t o r t i o no c c u r e dt ot h el o w e rc r o s s b e a m ，t h e r e f o r e t h e r ei s l i t t l ep o s s i b i l i t yt h a tt h el o w e rc r o s s b e a ma p p e a rc r a c k ，b u tt h e r e i so b v i o u sd i s t o r t i o no c c u r e dt ot h eb a n do fs c r e e n ，t h e r e f o r ei ti s n e c e s s a r yt oe n h a n c et h er i g i d i t yo ft h eb a n do fs c r e e nt or e s i s td i s t o r t i o n a n dp r o l o n gt h es e r v i c el i f e a c c o r d i n g t ot h ev i b r a t i o n m o d a l i t y t h et h e s i s d e s i g n st h e i n s t a l l a t i o np o s i t i o n so fa c c e l e r o m e t e r si nt h el o w e rc r o s s b e a mc o n s t r u c t d a m a g eo n l i n em e a s u r e m e n te x p e r i m e n t t h e nb yr e l a t i v i t ya n a l y s i st o t h em e a s u r e dd a t at h et h e s i se s t i m a t e st h a tt h e r ei sc r a c ki nl o w e r c r o s s b e a mo rn o t t h ee x p e r i m e n tr e s u l t p e r f o r m st h a t t h ea b o v ee s t i m a t i o ni s c o i n c i d e n tw i t ht h ea c t u a lf a c t s a n di tv e r i f i e st h a ti t i sf e a s i b l et o e s t i m a t et h el o w e rc r o s s b e a ms t r u c t u i ed a m a g eo fs c r e e nb ym e a s u r i n g t h ec h a n g eo f m o d a lf r e q u e n c yo f t h el o w e rc r o s s b e a m k e yw o r d s ：v i b r a t i o ns c r e e n ，d a m a g e d e t e c t i o n ，f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s ，v i b r a t i o nm e a s u r e m e n tm o d a la n a l y s i s v 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：圣蟹日期：卯f2 7 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名： 导师签名： 至猪 鱼亟蕉日期：照：盟： 太原理工大学硕士研究生学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 振动筛分机械目前已广泛应用于采矿、冶金、煤炭、石油化工、水利 电力、轻工、建筑、交通运输和铁道等工业部门中本文所涉及的是一种 自同步直线振动筛，它是一种大型振动设备，主要应用在煤炭行业。 随着我国经济的快速发展，越来越多的洗煤厂建立起来，煤炭深加工 技术得到推广和应用自同步直线振动筛不仅振动强度大，分选效果好， 而且结构简化，噪音较低。因此受到煤炭洗选企业的广泛欢迎，创造了可 观的社会效益和经济效益。然而，国内企业使用的同类设备中，国产的不 多，大部分企业使用的是进口设备。国产自同步直线振动筛在功能、效率、 使用寿命以及对环境影响等方面与进口设备相比都有很大差距，尤其设备 的使用寿命比国外产品低几倍，甚至十几倍【l 】。 。 为了提高国产振动筛的使用寿命，一方面要提高设备的设计生产水 平，另一方面要实现结构损伤的早期识别，及时采取必要的措施，防止损 伤的进一步发展。大型振动筛的结构复杂，生产环境恶劣，振动筛各构件 受力复杂，不仅要承受激振器产生的激振力、还要承受物料在筛面上运动 的作用力等。产生的故障形式有很多，主要是疲劳损伤累积产生裂纹，有 下横梁断裂、两侧筛帮开裂、排料口横梁及前筛帮开裂等。下横梁断裂是 振动筛经常发生的故障之一，如果在它断裂之前能诊断出它是否出现裂 纹，这样在日常检修时及时换掉产生裂纹的横梁，就可以避免停产，减少 经济损失。 1 。2 国内外结构损伤识别技术的发展概况 结构中的损伤也可定义为“结构在服务期内其承载能力的下降” 2 - 3 】。 承载能力的下降通常是由结构构件内部或构件之间出现损伤而引起的。结 构原有形态的破坏，即结构损伤在物理状态空间表现为刚度降低、柔度增 太原理工大学硕士研究生学位论文 大；在模态状态空间表现为固有频率的变化。 结构损伤的检测方法从大类来看，可分为有损检测和无损检测有损 检测方法用的比较少，主要应用于故障解剖，以便详细研究损伤的产生及 形成机理。有损检测主要应用在科研领域。无损检测应用的领域比较多， 具体的方法也比较多，大体可分为直接检测和间接检测。直接检测不能实 时、在线、全局地对结构进行监测，只能用于静态测试。但是直接测试法 使用的仪器少，成本低，操作简便，结果准确可靠。间接测试是一种动态 测试方法，能够实时、在线监测正在运行的设备，为人们所重视。其中结 构损伤在线检测是在实际应用中对结构或设备进行长期监测，以实时、动 态地了解结构性能及运行情况，对结构安全性做出及时评估【4 1 。 近年来国际和国内都出现了针对重要工程结构的长期在线监测系统。 长期在线监测系统是由永久性安装在结构上的传感器和数据采集输出等 软硬件设备组成的系统，它极大地推动了损伤检测和损伤识别技术的发 展。长期在线监测系统以结构的荷载、环境、响应等为监测对象，可实时 地对结构的健康状态做出评价。例如：美国人在佛罗里达州的s u n s h i n e s k y w a yb r i d g e 桥上安装了5 0 0 多个传感器，可以通过近距离及远距离两 种方式，采集桥梁各阶段的位移、应变、温度等信息，并通过这些信息分 析结构及材料随时间变化的规律【5 1 。丹麦人在主跨1 6 2 4 m 的g r e a t b e l te a s t 悬索桥上安装了长期在线监测系统，并己开始尝试把极端记录与正常记录 分开处理，以期减小数据存量【6 】。在这方面，我国也做了一些有益的尝试， 有些重要工程在施工阶段就考虑并安装了为将来长期在线监测用的传感 器，电缆等设备。 周毅【7 】提出了基于模态参数的工程结构损伤识别方法，他应用有限元 程序进行模态分析和频响分析，得到在不同损伤度的条件下车轮对局部模 态频率和振幅幅值的变化趋势。提出基于频率移动和模态振型变化来判断 结构损伤。 林富生【8 】采用j e f f c o t t 转子的开闭裂纹及方波模型，建立了处于机动飞 行状态的飞机内裂纹转子系统的运动方程。运用四阶r u n g e k u t t a 数值法 研究了飞机突然加速对裂纹转子瞬态响应的影响，特别是对转子系统4 种 2 太原理工大学硕士研究生学位论文 不同形态响应的影响。无论飞机突加速运动前转子系统处于周期1 、多周 期、拟周期还是浑沌状态，飞机加速后裂纹转子系统的非线性性态都会发生 变化，而且转子振幅会急剧增加然后逐渐下降。当飞机倾角变化较大时，系 统会出现多种非线性形态。 h a nqk t 9 1 提出了有限元模态扩展的计算方法，能通过少量传感器所 测得的振动量来推测转子其他各节点位置的振动量。以解决在实际生产中 测量振动信号的传感器只能安装在轴承附近及少数特殊部位的难题。 h u a n g 1 0 1 等人提出经验模态分解的方法，并且说明了固有模态函数分 解为一组固有模态函数的条件为不同信号的分离提供了另一个途径。该 方法基于信号的局部特征时间尺度，可把信号分解为若干个固有模态函数 ( i m f ) 之和。分解出的各个i m f 分量突出了数据的局部特征，对其进行分析 可以更准确有效地把握原数据的特征信息由于每一个i m f 所包含的频率 成分不仅仅与采样频率有关，而且更为重要地是它还随着信号本身的变化 而变化，因此e m d 方法是一种自适应的信号分析方法，它从根本上摆脱了 傅里叶变换的局限性，具有很高的信嗓比，非常适用于非平稳非线性过程。 汤凯f 1 1 】提出了一种基于人工神经网络的复杂结构模态匹配方法。该方 法能够准确匹配复杂结构模态向量，同时可以有效消除由于实验模态测量 中测点不足、测点布置不当、测量不准确等因素导致的实验模态向量间的 空间混叠影响。冯俊婷【1 2 1 利用小波原理对核反应堆的钠泵进行故障诊断， 分别对碰摩、轴不对中、两个泵转速不平衡、松动和轴裂纹等所致故障进 行识别经过仿真实验证明了此方法的可行性。 结构损伤识别也可简称为结构故障诊断，结构损伤识别技术主要有： 基于模态特性变化的损伤识别方法、基于神经网络与遗传算法的损伤识别 法、小波分析在结构损伤识别中的应用等。尽管有各种不同的损伤识别方 法和分类，但是应用最广泛的还是基于振动分析的研究结构模态特性变化 的损伤识别方法。 1 3 基于模态特性变化故障诊断的基本方法 基于模态特性变化故障诊断的基本方法有1 3 】：结构固有频率变化的损 3 太原理工大学硕士研究生学位论文 伤识别技术、结构振型变化的损伤识别技术、结构柔度变化的结构损伤识 别方法、能量变化的结构损伤识别方法、刚度变化的损伤识别技术、传递 函数( 频响函数) 变化的损伤识别技术等。 结构固有频率变化的损伤识别技术的原理是：固有频率是从整体上描 述结构固有特性的，且易于测量。当结构的局部出现损伤时，结构的刚度 就要降低，结构的固有频率也会发生变化1 1 4 。 结构振型变化的损伤识别技术【“】：相对结构固有频率而言，结构的固 有振型包含了更多的损伤信息，特别是对结构损伤进行定位。主要方法有： 模态置信度判据法、模态正交法、振型曲率法、振型变化图形法等。 结构柔度变化的结构损伤识别方法【1 6 】：结构一旦发生损伤则意味着结 构刚度的降低，结构的柔度将增大。主要是用柔度矩阵的变化来识别结构 的损伤。 能量变化的结构损伤识别方法【1 7 j ：用模态参数表达能量，通过能量的 变化量，能量的传递比等判断结构的损伤。 刚度变化的损伤识别技术埽】：就是用刚度矩阵判断结构的损伤。尤其 结构发生较大的损伤时，其刚度将发生显著的变化。 传递函数( 频响函数) 变化的损伤识别技术【1 9 】：频响函数( 传递函数) 是 结构输入信号和输出信号的傅立叶变换( 拉普拉斯变换) 之比，结构频响函 数( 传递函数) 包含了结构物理参数的所有信息，结构损伤的类型和位置唯 一地决定了频响函数( 传递函数) 的变化。 本文研究的振动筛局部结构损伤诊断就是基于模态特性变化的故障 诊断。该方法一般是先选取能够体现结构损伤出现的模态特性量( 如：固有 频率、结构振型等) 作为观测量，通过观测这些量的变化去判断结构是否出 现损伤和损伤的位置。 1 4 本论文的主要工作 本文主要是以振动筛下横梁为例，研究振动筛局部结构损伤识别技 术。首先进行理论模态分析，运用有限元方法建立下横梁的数学模型，在 模型中模拟损伤，选择能够体现下横梁结构损伤的模态特性量。然后根据 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 实验模态分析理论，结合有限元分析结果，制定下横梁结构损伤的检测方 案，并在实验中检验该方案是否可行。 具体做的工作如下： 第一章绪论。介绍课题研究的意义和结构损伤识别的主要方法，确定振动 筛局部结构损伤诊断的思路和方法，为全文的研究奠定基础。 第二章振动筛的动力学分析。依据动力学理论建立了振动筛的动力 学模型，分析振动筛的工作原理和受力情况。然后依据振动学理论建立系 统的振动方程。 第三章基于模态分析结构损伤识别的理论基础。分别介绍了理论模 态分析和实验模态分析理论，分析比较了实验模态分析的几种方法，选择 了适合振动筛局部结构损伤诊断韵实验方法。 第四章振动筛下横梁有限元分析。介绍了有限元分析理论和应用软 件，分别研究了网格划分和裂纹对下横梁模态参数的影响。其中裂纹分为 不同深度和不同位置的情况分别进行了讨论。结果表明裂纹对模态频率有 明显影响，对模态振型影响不大，所以选择模态频率作为能够体现下横梁 结构损伤的模态特性量。 第五章振动筛局部损伤检测实例本章分为两部分，在模态参数测 量实验中，测得振动筛的模态频率和模态振型。分析了振动筛局部结构故 障产生的原因，并且预测了可能发生破坏的部位、性质。结合有限元的分 析结果，根据实际情况，确定了在线测量实验中加速度传感器的坐标。在 线测试实验中，验证了根据频率的变化判断振动筛局部损伤的方法。 第六章全文总结 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章振动筛的动力学分析 2 1 动力学理论基础 2 1 1 描述机械系统振动的线性化数学模型1 2 0 l 在机械故障诊断领域，系统的动力学模型被用来定量和定性阐明真实 系统由于故障激励产生的各种异常振动现象。在实际问题的处理中，为了 降低正问题和逆问题分析求解的理论难度，人们把诊断对象线性化，建立 线性化的振动微分方程。 设有f 个自由度的时不变集中质量机械系统，则可用拉格朗日方程一 般地导出系统的运动方程式，将其在参考运动邻近线性化，得到线性化的 振动微分方程： i m y ( t ) + + g ) 夕( t ) + 暇+ n ) y ( t ) = h ( 0 【y ( t o ) = y o ，y ( t o ) = y 。 ( 2 1 ) 其中，y ( t ) 为f x l 位移矢量 m 为f x f 惯性矩阵( 对一般机械系统，m 是非奇异的) d 为f x f 阻尼矩阵 g 为f x f 陀螺力矩阵( 描述不改变能量平衡的陀螺力) k 为保守的有势力 n 为非保守的有势力 h ( t ) 为f 1 激振矢量 令p = d + g ，q = k + n ，并由位移矢量y ( t ) 和速度矢量夕( t ) 构成状态矢量 x = ( t ) y 7 ( t ) ，夕( t ) t 则可得n = 2 f 维状态方程 6 ( 2 2 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 a ：l，! 一，乏。i ( 2 3 ) 肛【一m 。1 q m 4 一 心书 吣，2 a ， 状态方程( 2 - 2 ) 的优点在于，可以应用一般线性系统理论的各种结 论来加以研究，其中许多结论是近年来由控制系统理论和数学研究得到 的，而且状态方程也便于计算机编程求解。 2 1 2 线性系统振动理论1 2 1 j 1 无阻尼自由振动 图2 - 1 质量一弹簧系统 f i g 2 - im a s s s p r i n gv i b r a t i o n 简单的一些工程问题可简化为如图2 - i 所示的质量一弹簧系统。设质 量为m 韵物体在一个光滑平面上，不考虑阻尼，弹簧的质量忽略不计，它 产生的弹性恢复力与变形成正比，其刚度系数为k 。建立坐标系，原点取 在物体平衡位置。x 轴延弹簧轴线方向，依据牛顿运动定律可得物体自由振 动微分方程 m 2 + k x = o( 2 5 ) 设参数o 。= 万i ，化简可得单自由度无阻尼线性振动微分方程的标 准形式 茗+ d20 x=o(2-6) 设上式的解为x = e “，并代入公式( 2 - 6 ) ，得特征方程 2 + d2 0 = o ( 2 7 ) 解得特征方程的特征根五。：= i m 。，其中i 为虚数单位，i = 厅。于 是方程式( 2 - 6 ) 的通解为 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 x = c l e 。“。+ c 2 p 。o ， 2 有阻尼自由振动 ( 2 - 8 ) 图2 - 2 质量一弹簧一阻尼系统 f i g 2 - 2m a s s s p r i n g d a m pv i b r a t i o n 当考虑系统阻尼时，、可简化为如图2 2 所示的质量一弹簧一阻尼系统。 坐标系的原点仍设在物体的静平衡位置，设阻尼为粘性阻尼，它与物体的 运动速度为反比，则阻尼力可表达为 r = - c 孟 ( 2 9 ) 式中c 称为粘性阻尼系数。由牛顿运动定律可得质量一弹簧一阻尼系统 的自由振动微分方程 m 戈+ c i + k x = o( 2 一i 0 ) 设： 肾摆；2 赤2 盍 其中为阻尼比。由式( 2 - 1 0 ) 和( 2 - i 1 ) 得质量弹簧一阻尼系统标 准形式的自由振动微分方程 舅+ 2 o j + 0 2x = o( 2 1 2 ) 依据常微分方程理论，设上式的特解为x ：e “，代入式( 2 1 2 ) ，得特 征方程为： 2 + 2 ( 。o 九+ 簖= o ( 2 1 3 ) 其特征根分别为： 力1 2 = ( 一缈2 1 ) ( 1 ) 。 ( 2 1 4 ) 于是方程式( 2 - 1 2 ) 的通解为 8 太原理工大学硕士研究生学位论文 x ：c l e ( 一两，彩。，+ c ：e 一一唇巧，彩。t ( 2 - 1 5 ) 系数c 。和c 。e h 初始条件确定。 3 简谐激励的受迫振动 f ( t ) 图2 - 3 质量一弹簧一阻尼系统的受迫振动 f i g 2 - 3m a s s s p r i n g d a m pf o r c e dv i b r a t i o n 当物体在受到外力作用下产生振动时，可简化为图2 - 3 所示的质量一 弹簧一阻尼系统。设振动物体受到的外力为正弦力f ( ，f ， = f s i n 甜t ，其中 ，为激励幅值，d 为激励频率。坐标原点仍设在物体的静平衡位置，依牛 顿运动定律可得如下振动微分方程 m i + c 女+ k x = f s i n t( 2 - 1 6 ) 并令f = f m , 得标准形式的受追振动微分方程 鼍2 口聱+ o 乙x = f s i n o t ( 2 - 1 1 ) 式( 2 - 1 7 ) 是一个非齐次二阶常系数线性微分方程。依据常微分方程 理论，它的解由对应的齐次方程的通解x 。和自身的特解x 。组成其中通解 x ，称为暂态响应，代表有阻尼自由振动，对应于衰减的非往复运动或衰减 振动，由于阻尼的作用，它将随着时间的增加而趋于消失。特解x 。称为稳 态响应，对应于简谐激励下的持续周期振动。 4 任意周期激励的响应 当图2 - 3 所示质量一弹簧一阻尼系统受到任意的周期扰力f ( t ) 的作用， 设周期为t = 2nm ，将f ( t ) 展开为傅里叶级数形式： f ( t ) = f o + ( ac o s n c o t + b 。s i n n c o t ) n = l 9 太原理工大学硕士研究生学位论文 = f 。+ 只s i n ( n c o t + 8 。) n - l 式中 a 。= ；r 即) c 。s 行砌( n = 1 ，2 ，) b 。= ；r f i i l 珂础( n = 1 ，2 ，) = a r c t a n ( 老) f o - ；r f ( t ) d t f f 厢 根据叠加原理，系统振动微分方程为 mj + c 孟+ k x 2f o + 凡s i n ( n c o t + 8 ) n - 1 ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 式( 2 - 1 9 ) 为一系列二阶线性常微分方程之和，激励为一系列简谐力。 这一系列简谐力的频率为基频的整数倍。其中常量f 。仅影响静平衡位 置，可通过坐标平移消去。上式的特解( 即系统的稳态响应) 应为每一个 简谐力的响应之和。 单个简谐激励f s i n ( n 0t + o 。) 产生的稳态响应为 x n = b 。s i n ( n t + o 。一m 。) 式中 吁t a n 急 盱丽燕丽 可得周期激励的稳态响应为 x = es i n ( n c o t + o n 一纯) ( 2 2 0 ) ”z l l o 太原理工大学硕士研究生学位论文 5 非周期激励的响应 1 ) 脉冲激励的响应 单位脉冲力可用广义函数6 ( t ) 表示，6 为单位冲量，它仅在t = o 的极 小邻域( 一e ，e ) 内定义，其冲量为单位值，即 l i m l j ( t ) d t = 1 这时质量一弹簧一阻尼系统的运动微分方程为 m 膏+ c 膏+ k x = 6 ( t ) ( 2 2 1 ) 设初始条件为脉冲作用前物体的位移和速度均为零。在趋于零的时间 间隔内，位移来不及发生变化，但速度发生突变。将上式各项同乘以d t ， 有 m d 量= 6 ( t ) d t 将上式在区间( 一t ，e ) 内积分，得到脉冲激励后物体的速度增量为 1 m 。也就是说，原系统在y = o 时作用一单位冲量，其效果等价于在激励 x ( 0 ) = o，膏( 0 ) = 二 的作用下的振动。在小阻尼时，其响应为 h ( t ) = 士e - 锄s i n 国dt (2-22) m 国d h ( t ) 称为脉冲响应函数，表示系统t = o 的时域动态特性。 如果单位脉冲的作用时刻是t = t ，则有 h ( t _ t ) 2 去e - m 。( - 订s i n 引i t ) ( t t ) ( 2 _ 2 3 ) 如果在t = t 时刻受到冲量为i 。的冲力作用，系统响应可表示为 x ( t ) = i o h ( t - t )( t t ) ( 2 2 4 ) 2 ) 任意非周期激励的响应 质量一弹簧一阻尼系统在任意非周期力f ( t ) 作用下的运动微分方程为 i n 膏+ c 戈+ k x = f ( t )( 2 2 5 ) 激励力在t = t 至t = t + dt 的微小时问范围产生的脉冲冲量为 f ( t ) dt ，系统受此脉冲后获得速度增量f ( t ) dt m ，引起( t t ) 系 统的响应为d x ，d x 可由式( 2 2 4 ) 表达为 太原理工大学硕士研究生学位论文 d x = f ( t ) h ( t t ) dt( 2 2 6 ) 根据线性系统的叠加原理，系统对任意激励的响应等于序列中各个脉 冲的响应的总和，即 x ( t ) 2i f ( v ) h ( t f ) d f = 厂o ) + 而( f ) ( 2 2 7 ) 因此，可用脉冲响应与激励的卷积表示零初始条件下系统对任意激励 的响应。式( 2 2 7 ) 也称为杜汉梅尔积分。将式( 2 2 3 ) 代入上式，可得 x ( t 卜去f f ( o e - “) 。( t - t ) s i n c od “1 ) dt ( 2 _ 2 8 ) 卷积满足交换律，式( 2 - 2 7 ) 和( 2 - 2 8 ) 也可以写成另一种形式 x ( t ) 2j 肛蝴渺2 去f 肛呃伽s i n 钆小( 2 删) 因为利用了叠加原理，杜汉梅尔积分只能应用于线性系统。 2 2 直线振动筛动力分析 2 2 1 直线振动筛的工作原理 直线振动筛工作原理如图2 - 4 所示。激振器两铀上的偏心质量和偏心 距均相等，它们的对称轴，一，通过筛箱质心。两轴作同步反向回转时，每 一瞬时两轴上偏心质量所产生的离心惯性力，沿z z 方向的分力互相抵 消，而沿，一，方向的分力相互叠加，形成了单一的y y 方向简谐力。该 力作用在筛箱上，驱动筛箱作轨迹为直线的往复振动。当偏心质量块运转 到图中( a ) 和( c ) 的位置时，所产生的离心惯性力完全叠加，激振力达到最大 值；转到( b ) 和( d ) 的位置时，它们的离心惯性力完全抵消，激振力为零。 1 2 太原理_ 丁大学硕士研究生学位论文 。， 坤 钾 图2 - 4 直线振动筛工作原理图 f i g 2 - 4o p e r a t i n gp r i n c i p l ec h a r to fl i n e a rs c r e e n 设任意时刻t ，双不平衡重所处的位置如图中( e ) 所示， 产生的激振力随时间变化的函数关系式： , o r 2 e m 。r ( o 2 s i n e a t = mo f 2s i n w t = p s i n e a t 其中m 一一不平衡重的质量和，m = z m 。( k g ) ； p 一一不平衡重所产生的激振力幅值( n ) ； t 一一转动时间( s ) ； r 一一不平衡重质心回转半径( m ) ， 国一一不平衡重的回转角速度( 弧度秒) ， p ，在y 方向上的激振力( n ) ， m 。一一每个偏心块的质量( k g ) 由( 2 - 3 0 ) 可见，双轴惯性激振器作同步反向回转时， 力，此力通过筛箱的质心，使筛箱作定向往复直线振动。 1 3 则双不平衡重 ( 2 3 0 ) 产生定向简谐 太原理工大学硕士研究生学位论文 2 2 2 建立系统的振动方程 图2 5 直线振动筛的力学模型 f i g 2 5m e c h a n i c sm o d e lo ft h el i n e a rv i b r a t i n gs c r e e n 参照力学模型，当激振器工作时，作用在振动质体m 上的力是：激 振器产生的定向简谐力： p c o s g o t = r 9 0 2s i n g o t ( 2 3 1 ) 在此简谐力作用下，振动质体m 产生定向振动。系统振动时，筛箱、 弹簧相应地产生惯性力、弹簧力和阻尼力。 其中振动质体的惯性力大小与筛箱运动的加速度戈成正比，方向与加 速度方向相反，即： 一( m + m o ) 2 = - - ( m + m o ) a 9 0 2 s i n g o t( 2 3 2 ) 。 弹簧恢复力大小与筛箱运动位移成正比，方向与位移方向相反。 阻尼力包括弹簧的内阻力和一般阻力，其大小与筛箱运动的速度成正 比，方向与速度方向相反。 根据达朗贝尔原理，作用在振动质量m 上的合力应等于零，振动方 程为： 一( m + m 。) j + ( 一肛) + ( k ，) + p s i n g o t = 0 或 ( m + m o ) 譬+ 肛+ k ，2 p s i n g o t( 2 - 3 3 ) 式中 聊。一一激振器上偏心质量之总和； m 一一筛箱及随筛箱一起振动的质量和： 1 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 m = m l + k ，m 。 m 。一一筛面上物料的质量： ( 2 - 3 4 ) m 。一一筛箱及附件的实际质量： 叠、j 、x 一一分别为筛箱在x 坐标方向的位移、速度、加速度： k 。一一筛面上物料的结合系数，一般为k 。= 0 1 5 o 3 卢一一阻尼系数； k 一一弹簧刚度： p 一一激振器振力的幅值( p - - i f ( 0 2 ) ： 国一一激振器的回转角速度： r 一一激振器轴上偏心质量质心的回转半径： t 时间。 惯性振动筛在受迫振动条件下工作，自由振动部分由于阻尼很快衰 减，因此只考虑受迫振动，则上述微分方程的特解为： x = a s i n ( c o t 一口)( 2 - 3 5 ) 式中口一一由于阻尼力作用，位移滞后于激振力的相位差。 由上式求导，则筛箱运动的速度、加速度为： 膏= a c o s ( c o t - a ) ( 2 - 3 6 ) 主= a o 2s i n ( o ) t 一口)( 2 - 3 7 ) 式中的常数a 反映了筛箱在振动中偏离平衡位置的最大位置即振幅。 a = 了善竽兰1 ( 2 - 3 8 ) k f f + 聊) 2 式中 m 一一不平衡重质量和，m 2 位移滞后于激振力的相位角： 一t g - f 南， ( 2 q 9 ) 实际中由于阻尼力比较小，为了方便计算忽略阻尼力。则式( 2 - 3 9 ) 1 5 太原理工大学硕士研究生学位论文 可以写成： ( m + m f + k x = p s i n ( a ( 2 - 4 0 ) 其特解： x = a s i n ( 国t 一口1 ( 2 - 4 1 ) 速度、加速度： 戈= a c o s 6 9 t( 2 - 4 2 ) 童= a c 0 2 s i n c o t( 2 - 4 3 ) 于是振幅： 4 ： 翌! 竺： =( 2 - 4 4 ) k 一( m + 聊砌2 上式表示了直线振动筛的振幅和该振动系统各动力学因素之间的关 系。 当足一( m + 肌) 国2 = 0 时，a 趋于无穷大，振动系统处于共振状态，由此 可以求得该统的固有频率： ( 2 - 4 5 ) 为避免共振现象，工作频率国应远离系统固有频率，国一般取( - o 。的 3 7 倍。 本章小结： 根据动力学线性振动理论分析了振动筛的力学特性，并为进一步研究 模态分析理论打基础。