（应用数学专业论文）域f3上三次和四次剩余码的研究.pdf

1 引 t 、 l ， i 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果 对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：薹篡耻指导教师签名：垃 签名日期： a o t 1 年，月日 一一l ， 4 ， ( ， 徨 - 辽宁师范大学硕+ 学位论文 摘要 循环码是一类非常重要的线性码。它们建立在严格的代数理论基础上，因而具有较 强的纠错和检错能力，在实践中具有重要作用。迄今为止，已有大量文献对编码理论进 行研究，而其中剩余码是一类具有好的性质的循环码，在这方面也有大量的文献进行研 究。高次剩余码的生成多项式是x ”一1 的因子。当力很大时，在有限域e 上分解矿一1 是 1 十分困难的。m a c w i l lj a m s 和s l o a n e 通过幂等生成元来定义剩余码。如果能够确定高 次剩余码幂等生成元，就可以确定高次剩余码而不用分解，一1 。因而在研究高次剩余码 时，确定幂等生成元具有重要的意义。本文首先定义只上的三次剩余码和四次剩余码， 研究了只上的三次，四次剩余码的性质和幂等生成元，给出了幂等生成元的具体形式。 本硕士论文分四部分： 第一部分：介绍了剩余码的研究概述以及本文的主要工作。 第二部分：给出本文的一些预备知识，包括：剩余码，幂等生成元等的相关知识。 第三部分：首先研究了域e 上的三次剩余码的性质，然后研究了e 上的三次剩余 码c o ，q ，g ，c o ，c t ，c z 和它的幂等生成元，给出了幂等生成元集的具体表达形式，并举出 一个例子加以说明。 第四部分：首先研究了域只上的四次剩余码的性质，然后研究了e 上的四次剩余 码c 0 ，q ，c 2 ，c 3 ，c o ，c - ，c z ，c ，和它的幂等生成元，给出了幂等生成元集的具体表达形式， 并举出一个例子加以说明。 关键词：循环码；剩余码；幂等生成元 _ j 7 j 2 i ， l i - 0 nc u b i ca n dq u a r t i cr e s i d u ec o d e s o v e rt h ef i e l de a b s t r a c t c v d i cc o d e sa r ev e r yi m p o r t a n tl i n e a rc o d e s t h e y a r eb u i l to nt h eb a s l so fs t r i c t a l g e b r a i ct h e o r y c y c l i cc o d e sh a v eas t r o n g e r r o rc o r r e c t i o na n de r r o rd e t e c t i o nc 印a b l l l t t e s 肌dp 1 ：l ya ni m p o r t a n tr o l ei np r a c t i e e s of a r ，t h e r ea r ea l o to fr e 向c e sa b o u tc y c l l cc o d e s r e s i d u ec o d e sa r ec y c l i cc o d e sw h i c hh a v eg o o dc h a r a c t e r s t h e r ea r e al a r g en u r n b c ro t r e f e r e i l c e st 0s t u d yr e s i d u ec o d e s g e n e r a t i n gp o l y n o m i a l so fh i g h - o r d e rr e s l d u e c o d e sa r e f a c t o r so f 一1 w 1 1 e i l 拧i sv e r yl a r g e ，i ti sv e r yd i f f i c u l t t od e c o m p o s eo fx n - 1o v e rt h e f i n i t ef i e l d 只m a c w i l l i a m sa n ds l o a n ed e f i n er e s i d u ec o d e si n t h e i rb o o kw l t l lg 铋e r a t i n g i d l 弧p o 吼t s i fw ed e t e r m i n eg e n e r a t i n gi d e m p o t e n t s o ft h eh i g h o r d e rr e s l d u ec o d e s ， h i g h o r d e rr e s i d u ec o d e sc a l lb ed e t e r m i n e dw i t h o md e c o m p o s i t i o n ，一1 0 v 盯t h e 觚t e f i e l d t h u si ti si m p o r t 觚tt od e t e r m i n eg e n e r a t i n gi d e m p o t e n t s w h e nw es t u d yh 1 曲。o r d e r r e s i d u ec o d e s 1 l l i s 也e s i s 觚td e 鼢c u b i ca n dq u a r t i c r e s i d u ec o d e so v e rt h ef i n i t e1 1 i e l d 匕， a i l dm e n 咖e 唧r e s s i o n so fg e n e r a t i n gi d e m p o t e n t so f c u b i ca n dq u a r t i cr e s l d u ec o d e so v e r t h ef i n i t ef i e l d 只 骶僦哪砷m 1 8 u l t sa b o u tr e s i d u ec o d e so verfin i t e 觥r s t p a r tw e r e v i e ws o m er e s e a r c hr e s u l t u tr e h lm e 。“一 e 距d i 咖d u c e m e m a i n c 删。璐i i l “s 雠s i s h lm cs e c 0 n dp a r tw eg i v es o m ep r e l i m i n a r i e sa b o u tt h er e s i d u ec o d e sa n dg e n e r a t m g i d e m p o t e n t 孟m e 1 i r dp a r tw es 砌yt h ec u b i cr e s i d u ea n dt h e i rg e n e r a t i n gi d e m p o t e n t s 0 v 盯也c f i n i t ef i e l d 只，a n dg i v ee x p r e s s i o n so fg e n e r a t i n gi d e m p o t e n t so f c u b i cr e s i d u ec o d e so v e r m ef i 疵ef i e l d 只a ne x a m p l eh a sb e e ng i v e n f o ri l l u s t r a t i n gt h e 廿1 e 0 够 f 砌l vi i lm ef 0 1 1 m lp a r tw es t u d y t h e q u a r t i cr e s i d u e c o d e sa n dt h e i rg 肌酬m g i d e m p o t 础o v e rt h e f i n i t ef i e l de ，a n dg i v ee x p r e s s i o n so fg e n e r a t i n gi d e m p o 饥t s 0 t q 删c r e s i d u ec o d e so v e l t h ef i n i t ef i e l de a ne x a m p l eh a sb e e ng i v e n f o ri l l u s t r a t i n gt h e t h e o r y k e yw o r d s ：c y c l i cc o d e ；r e s i d u e c o d e ；g e n e r a t i n gi d e m p o t 咄 一i i ； 二| 叮 一 j - f 辽宁师范人学硕十学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 绪论1 1 1 剩余码的研究概述1 1 2 本文主要工作1 2 预备知识4 3 域只上的三次剩余码7 3 1 域只上的三次剩余码的性质7 3 2 域只上的三次剩余码的幂等生成元集8 4 域e 上的四次剩余码1 3 4 1 域只上的四次剩余码的性质1 3 4 2 域只上的四次剩余码的幂等生成元集1 4 结论2 1 参考文献2 2 攻读硕士学位期间发表学术论文情况2 4 致谢2 5 i i 彳 l 辽宁师范大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 研究概述 在文献 1 里的第六章中用码的生成多项式和码的幂等生成元两种方法定义了域e 上的二次剩余码，并证明了两者是等价的。研究了域e 上的二次剩余码的性质，讨论了4 种二次剩余码之间的关系，给出了4 种剩余码的生成幂等多项式；首次文献 2 系统介绍 了有限域e ，只上的二次剩余码，通过幂等生成元来定义二次剩余码，分别研究了它们的 性质，给出了幂等生成元的具体形式，指出了4 个幂等生成元之间的关系；在文献 3 一1 2 更加具体地研究了二次剩余码，研究了一些特定的二次剩余码的性质和幂等生成元；在 文献 1 3 中通过g r a y 映射把一些具有良好纠错能力的非线性码与z 4 上的线性码建立了 联系的方法进一步对更一般的环乙。上的循环码进行研究，定义了z ，。上一类特殊的二次 剩余码，证明了它的存在性及个数，并且证明了它与域上的二次剩余码有类似的性质。文 献 1 4 - 1 5 在有限域e 上研究高次剩余码，通过码的生成多项式来定义剩余码，给出了 剩余码的码字重量、极小汉明距离的范围和幂等生成元的形式；文献 1 6 在有限域e 上 研究三次剩余码，通过某个奇素数p ，给出了判断2 是m o dp 的三次剩余的一个引理，由 这个引理，定义了有限域只上的6 种三次剩余码：研究了6 种三次剩余码之间的关系， 得出了三次剩余码的码长、重量特征和极小汉明距离范围，最后给出了三次剩余码的 对偶码的生成多项式，并且指出了一种求得幂等生成元的方法：文献 1 7 在有限域e 上 研究了四次剩余码，文章中对于给定的奇素数p ，定义了只上码长为p 的8 种四次剩余 码，研究了这8 种四次四次剩余码之间的关系，给出了四次剩余码的码字重量、极小汉明 距离的一些比较好的性质，给出了这样的四次剩余码的幂等生成元和对偶码的生成多项 式。 1 2 本文主要工作 通过幂等生成元定义了只上的三次剩余码，四次剩余码，研究了e 上的三次，四 次剩余码的性质和幂等生成元，给出了幂等生成元集的具体形式。在研究三次剩余码时， 取p = 6 1 这个例子加以说明，在研究四次剩余码时，取p = 1 3 这个例子加以说明。在第 二章中，主要给出本文的一些预备知识，包括：剩余码，幂等生成元等的相关知识。在 第三章中，首先研究了域只上的三次剩余码的性质，然后研究了e 上的三次剩余码 c o ，g ，g ，c 0r c 。，c 2 和它的幂等生成元，给出了幂等生成元集的具体表达形式，并举出一 域只上三次和四次剩余码的研究 个例子加以说明。在第四章中，首先研究了域e 上的四次剩余码的性质，然后研究了只 上的四次剩余码g ，q ，c 2 ，g ，c o ，c - ，c 2 ，c ，和它的幂等生成元，给出了幂等生成元集的具 体表达形式，并举出个例子加以说明。主要结果如下： 定理3 2 1 ：设c o ，g ，c 2 ，c o ，c - ，c z 是巧上长为p 的三次剩余码，则： ( 1 ) c o ，c l ，c 2 的幂等生成元集为： 嘞+ 1 + q ( 工) ，a o + 1 + q ( z ) ，a o + 1 + q 2 ( z ) ) 或 口o + 1 一q ( x ) 一q l ( x ) ，d o + i - q l ( x ) 一q 2 ( 刁，+ 1 一q ( x ) 一q ( 石) ) 或 口o + l 一岛( x ) + g ( x ) + q 2 ( z ) ，a o + l + g ( x ) 一q l ( 工) + q 2 ( 工) ，a o + 1 + 岛( d + g ( x ) 一q 2 ( x ) ( 2 ) 一c o ，一c l ，一c 2 的幂等生成元集为： + q ( x ) ，口0 + q l ( x ) ，+ q 2 ( x ) ) 或 一q ( x ) 一q 2 ( 工) ，a o q ( 刁一蜴( 工) ，一q ( x ) - o , ( x ) ) 或 口0 + q ( 工) + g ( x ) 一q ( x ) ，口o + q l ( x ) + q ( x ) - 9 _ 0 ( 曲，d o + q ( 工) + q 2 ( x ) - q , ( 工) ) 其中口o ：磐半( m o d 3 ) j 定理4 2 1 ：设c o ，c l ，c 2 ，c o ，c - ，c 2 是e 上长为p 的四次剩余码，则： ( 1 ) 当p = 1 2 t + l 时，q ，q ，c 2 的幂等生成元集为： 1 + q 3 ( 功，l + q ( 曲，l + g ( 功，1 + q 2 ( 功) 或 1 + 2 蜴( 功+ 2 9 ( 石) + 2 q ( 曲+ q 3 ( 石) ，1 + q ( 工) + 2 q ( 砷+ 2 q 2 ( 功+ 2 q 3 ( x ) ， 1 + 2 q ( 功+ q i ( 功+ 2 q 2 ( 功+ 2 q 3 ( 功，1 + 2 q ( z ) + 2 q ( 功+ q ( 曲+ 2 q ( 砷) 或 1 + 2 q ( 力+ q ( x ) + q 3 ( 功，1 + q ( 功+ 2 q 2 ( x ) + q ( 功，1 + q ( 功+ q ( 功+ 2 q 3 ( 功， 1 + 2 q ( 曲+ g ( 功+ q 2 ( 曲) 或 1 + q ( 力+ q 2 ( 功+ 2 q 3 ( 功，l + 2 q ( 功+ q 2 ( 功+ q ( 功，1 + q ( 力+ 2 q l ( 功+ q ( 工) ， l + q ( 曲+ g ( 曲+ 2 q ( 功) 或 1 + q ( 力+ 2 q 2 ( 功+ q ( 功，1 + q ( 曲+ q 2 ( 力+ 2 q 3 ( 曲，l + 2 q o ( 曲+ q ( 功+ q 3 ( 功， 1 + 9 _ 0 ( x ) + 2 9 ( 功+ q ( 功) 或 1 + 2 q 2 ( x ) + 2 q ( 工) ，1 + 2 q ( 工) + 2 q 3 ( 功，1 + 2 q ( 曲+ 2 q ( x ) ，1 + 2 q ( 功+ 2 q 2 ( 功) ( 2 ) 当p = 1 2 t + 5 时，g ，q ，c 2 的幂等生成元集为： 仁+ 9 _ 0 ( x ) + 幺( x ) + q 2 ( 曲+ 2 q 3 ( x ) ，2 + 2 q o ( x ) + q l ( 力+ q 2 ( x ) + q 3 ( x ) ，2 + 9 _ 0 ( x ) + - 2 - 辽宁师范大学硕士学位论文 2 q l ( x ) + q 2 ( x ) + g ( x ) ，2 + q o ( x ) + q l ( 工) + 2 皱( x ) + q ( 功) 或 2 + 2 q 3 ( x ) ，2 + 2 q o ( 石) ，2 + 2 q l ( z ) ，2 + 2 q 2 ( x ) ) 或 2 + q o ( 石) + 2 q ( 功+ 2 q 3 ( 功，2 + 2 绋( 力+ q l ( x ) + 2 q 3 ( 功，2 + 2 q o ( x ) + 2 q l ( x ) + q ( x ) ，2 + 2 q l ( 功+ 2 q 2 ( x ) + 0 3 ( x ) ) 或 2 + q 0 ( x ) + 2 q ( 力+ 2 q 2 ( 功，2 + q l ( 功+ 2 q ( x ) + 2 蜴( 功，2 + 2 q o ( 工) + q 2 ( x ) + 2 q 3 ( 工) ，2 + 2 q o ( 功+ 2 9 ( z ) + q 3 ( x ) ) 或 2 + q o ( 曲+ 2 q l ( 功+ 2 q 3 ( 工) ，2 + 2 q o ( x ) + q l ( x ) + 2 q 2 ( 力，2 + 2q l ( 工) + q ( x ) + 2 q 3 ( x ) ，2 + 2 q 0 ( x ) + 2 q 2 ( x ) + q 3 ( x ) ) 或 2 + q o ( z ) + q l ( 功，2 + q i ( x ) + 幺( x ) ，2 + q ( 功+ q 3 ( 石) ，2 + q ( 功+ q 3 ( x ) ) ( 3 ) c o ，c l ，c 2 的幂等生成元集为： 2 q o ( x ) + 2 q 1 ( 功+ 2 q 2 ( 石) ，2 q l ( 工) + 2 q 2 ( 力+ 2 q 3 ( 功，2 q o ( x ) + 2 q 2 ( 石) + 2 9 ( 石) ，2 q 0 ( 曲+ 2 q ( 工) + 2 q 3 ( 功) 或 q 0 ( x ) + q l ( x ) + q ( 曲，q l ( 工) + q 2 ( x ) + q ( x ) ，q 0 ( 工) + q 2 ( x ) + q 3 ( 功 q 0 ( 力+ q l ( 功+ q ( 工) ) 或 2 q 0 ( 曲+ g ( 功，2 9 ( 功+ q o ) ，2 皱( 功+ g ( 砷，蜴( 功+ 2 q ( 力) 或 2 0 0 ( x ) + q ( x ) ，2 q , ( x ) + q o ( x ) ，2 q 2 ( 工) + q l ( x ) ，2 q 3 ( x + q 2 ( 工) ) 或 2 q o ( 功+ q 2 ( 功，2 q ( x ) + q 3 ( x ) ，2 q 2 ( 功+ q 0 ( 功，2 0 3 0 + g ( 力) 或 2 q o ( x ) + 2 q ( 力+ q 2 ( 力+ q 3 ( 力，q o ( 功+ 2 9 ( x ) + 2 q 2 ( 功+ q 3 ( x ) ， q 0 ( 功+ q ( x ) + 2 q 2 ( x ) + 2 q 3 ( x ) ，2 q o ( 功+ q l ( x ) + q 2 ( 功+ 2 q 3 ( 工) ) - 3 - 域只上三次和四次剩余码的研究 2 预备知识 定义2 1n 5 1 ：如果方程x 名3 ( m o d p ) 有解，则称3 是模p 的一个t 次剩余。 o - 1 引理2 1 【1 5 】：设f0 1 ) ，则3 是模p 的一个f 次剩余。3 - - 7 - - l ( m o d p ) 。 以下假设p 是奇素数，t 是正整数并且，10 1 ) ，3 是模p 的一个t 次剩余。设p 为有限域 c 的本原元，令 r = 膻耳ik z ，r i - k , 船l 耳i 七z ，r 一= p 州f _ 1 ) 耳l 尼z 。 设m 是使3 ”= l ( m o d p ) 成立的最小正整数( 即m 是3 m o d p 的阶) ，又设口只且口是p 次本原单位根，则 g o = 兀b 一口而) ，g l g ) = 兀b 一口n ) g f - l g ) = 兀g 一口。- ) 。 吩e 凡，l e 焉 i e 焉一1 引理2 2 1 5 1 ：毋g ) = 兀b 一口。j e b 】，对= 0 , 1 ，2 ，f 一1 都成立，且石p - l = ( x - 1 ) r j e r , g o g ) g 。g ) g h g ) 。 定义2 2n 5 1 ：环e 【x 】( r - 1 ) 中分别由多项式g 。g ) ，& 一，g ) ，g 一1 k 。g ) ， g 一1 ) g f 一。g ) 生成的循环码称为f 次剩余码，分别记为c o ，q ，乙，石h 。 引理2 3n 5 1 ：c o ，q l 相互等价，c o ，一，c 卜l 相互等价。 定义2 3 【1 1 ：设p 是奇素数，若p g ) e w g p 一1 ) 满足：p g ) 2m e ( x x m 0 4 x p 1 ) ) 则称 p 为e w b ，一1 ) 的幂等元，能生成循环码的幂等元p 称为幂等生成元。 定义2 4 ：设c 是有限域上长为以的循环码，又设口是的扩域上刀次本原单位根， z = if r ) 是c 的根集合，则称z 是c 的定义集。 显然f 次剩余码c ，和。的定义集分别是尺，和r ，= o ) u r ，。 定义2 5 2 1 ：设6 是整数并且( 6 ， ) = 1 ，定义映射： 讹- i b ( m o d n ) ，f o ，1 ，万一1 ) ，将此定义延伸到乞【石】( 矿一1 ) 使得 厂( 功以- f ( x 6 ) ( m o d x - 1 ) ，厂( 功【x 】( r 一1 ) 。 引理2 4 嘲：设c 是有限域上长为以并且以t 为定义集的循环码，b 是整数并且 ( 6 ，甩) = l ，6 _ 1 是6 模，l 的乘法逆，贝l jb - 1 t ( m o d n ) 是循环码c a b 的定义集。 一 辽宁师范大学硕士学位论文 引理2 5 2 1 ：设p g ) 是循环码c 的幂等生成元，则e ( x ) 1 4 是循环码c 心的幂等生成元。 引理2 6 吲：设p ( 工) 为偶重量f 次剩余码的幂等生成元，则 p ( x ) = + 口x + a ：石2 + + 口，一。矿一，并且在同一个分圆陪集里的素数相同，则 e ( x ) - a 0 + 口i q o ( 石) + 口2q l ( x ) + + q q l ( z ) 令c o ( x ) - x 啊，q l g ) = e x ，q ，g ) = ，则 q ( 工) + q l ( x ) + + q 一。( x ) = x + 石2 + + 石，一= ，( 石) 一1 引理2 7 ：设e ( x ) 是t 次剩余码c 的幂等生成元，则e ( x ) - - a + q q ( x ) ，其中 口，口卜l e ，i = 0 , 1 ，f 一1 。 证明：因为e ( x ) 是t 次剩余码c 的幂等生成元，则c 的定义集为某个r 或r ，_ o ) u 局。 由于每个r 都是分圆陪集之并，故可设尽= q ，u g ：u u ，其中g 都是分圆陪集。 由r ou 墨u ur l = 1 ，2 ，刀一1 ) 和引理2 6 可设 p g ) = 口+ | 口i l ，+ + 口n ，i 因为r ：易州耳i 后z ) ，故不妨设g 。= ，2 p ， 如果q = 州，2 p 纠，j ，则取j = p 矿e r o ，于是蚂= q 从而 p g 如= 口+ t - i ii+互，=a+善t-ialli-o f e c a l一乏，+ p g 如= 口+ + + 口n ，l = a + h ，+ i r e 气 = 0 厢勺 又因为d - l ( m o d p ) ：p 川矿= p 班民，所以d - 1 r i = r ，d 一尺，_ r t 。 由引理2 4 ，可知c 与c 乜具有相同的定义集，因此c = c 。 又由引理2 5 ，可知e g 心是c 儿的幂等生成元，故p g ) = p g 城m o d x ，- 1 ) 由此可得口n = 口矿，因此p g ) = 口+ 口，q g ) 。 引理2 8 ：若；。g ) 是f 次剩余码石。的幂等生成元，则g ) = 磊g ) + 一是c 0 的幂等生成 元。 证明：设口是p 次本原单位根，当i r o ，j f 诺时，因为印b ) 是f 次剩余码c o 的幂等生 域只上三次和四次剩余码的研究 成元，所以；。0 。) = o , e 。a t ) g ：0 ，从而 0 ) = 磊0 ) + ( 1 + 口- + + 口t ( 矿) ) ：0 ， 0 ，) = 苫。q ，) + ( 1 + 口，+ + 口，( 一) ) o 容易验证露g ) 兰g 。d x p - 1 ) 。 又因为e o o ) = p - ( m o d 3 ) ，所以g ) = 磊g ) + ( 1 + 石+ + x p t ) 。 定义2 6 ：设0 j ( k j ( f ( x ) ) = a o + 艺q 办( 厂( 砌= + q = m 7 ) r j l 理2 9 ：口是毋( 力u = o ，1 ，2 ) 的根的充分必要条件是：t 2 厂1 是g ，( 一) 的根，并且二者次 数相同。 引理2 1 0 ：如果m 上循环码百，虿以( z ) ，q ( x ) 为幂等生成元，以岛( 工) ，蜀( x ) 为生 成多项式，则 ( 1 ) c or 、c l 有生成多项式 一1 ) g o ( x ) ， 一1 ) g 。( 工) 】，有幂等生成元为( x ) q ( x ) ； ( 2 ) 一g + 一q 有生成多项式( o 一1 ) g o ( x ) ，o 一1 ) g 。( x ) ) ，有幂等生成元为 ( 力+ q ( x ) - ( 工) q ( 力。 - j j 辽j 2 师范大学硕士学位论文 3 域互上三次剩余码 3 1 域只上的三次剩余码的性质 以下假设p ，g 是不同的素数并9 1 p 兰l ( m o d 3 ) 定理3 1 1 ：g 是模p 的三次剩余，则g 。( x ) ，g 。( x ) ，g ：( x ) c 石 。 证明：设g o ( x ) c 【x 】，设是甄( 功的根，口是本原元，则存在k ，使得 = 口龟，p q = 位嘞) 9 = 口勺，+ 砧= 口矿，贝, uq r o = r ，同理识= r ，识= r ，即r ，r t ，足分别 是f q _ 1 2m o d p 的不相连的分圆陪集之并，即g o ( x ) ，g 。( x ) ，g ：( 力分别是一中某些元极小多 项式的乘积，口是g ，( 功的一个根，则口矿也是g ，( z ) 的一个根，由韦达定理知，g ，( 曲的 每项系数的g 次幂等于它自身从而在【卅中。 定理3 1 2 ：令p 是奇素数，则 ( 1 ) 码c o ，q ，c 2 相互等价，码g ，q ，g 也相互等价； ( 2 ) 码c 0 ，c l ，c 2 是维数为玺岩，码瓦，瓦虿是维数为垒字的码； ( 3 ) 如果c 0 ( 力是由( g o ( x ) ) 生成的码字，并且c o ( 1 ) o ，r e ( c o ) = d ，则d p 。 证明：( 1 ) 设口( 功 则有j l l ( x ) 巧 x 】，口( 功= 岛( 工) j i l ( 曲。若是g o ( x ) 的任 意一个根，取定t 墨，则口时是g 。( x ) 的一个根，从而g ( z ) l 口( ) ，所以口( ) 。 由定义2 6 ，知红( 口( x ) ) = 口( 一) 是从 到 中的单映射，并且 ， 都是有限集，则红是双射，从而 ， 是等价的。 同理 ， 是等价的，则 ， ， 也 是等价的。 ( 2 ) 毋g ) = 1 - i ( x 一口。) e m ( = o ，1 ，2 ) ，且口是p 次本原单位根g g ) 的最高次数是 r l e r j 导 ，所以码g ，q ，c 2 的维数为垒岩，( x - 1 ) g ，( x ) = o 1 ) r i ( x 一口，：，) e 【x 】 0 j r i 皂r | ( j ：o ，1 ，2 ) 它的最高次数是芝 + 1 ，码巧，瓦巧都是长为p ，维数为垒的码。 ( 3 ) 由于c o o ) 0 ，则g ( 1 ) 不能被x - 1 整数，s r ，t r ，c o ( ，) ， c o ( ) ，显然c o ( ，) ，g ( ) 也不能被x 一1 整数，从而得到c o ( x ) c o ( ，) 域e 上三次和四次剩余码的研究 g ( ) 是醌( x ) g 。( 功( 功= l + x 2 + + ，1 的倍数。由( c o ) = d 可知，c o ( x ) c o ( ，) c 0 ( 一) 至多有d 3 个非零系数，因此d 3 p ，从而d p 。 定理3 1 3 ：e 上的循环码c o ( x ) 是由( 岛( 功) 生成的码字，如果歹墨，则厂1 墨。 证明：取j 墨，岛( 工) 以= g o ( x j ) ，j = p 3 k + l , p r l = 1 =p一1一+1)=3掣一3k一3+1=3(掣一k一1)+1t p1 ( 3 k 1k1 = 一一十1 ) = 3 ! 二一一3 += 3 ( ! 二一 一1 ) + j) j 一= p ，因为p j = p p 3 “1 = p 广1 = 1 ，所以j - 1 墨。 3 2 域e 上的三次剩余码的幂等生成元 对于有限域e 上的二次剩余码，如果( 工) ，q ( 石) 是二次剩余码的幂等生成元，我们有 这样的结论，即( x ) + q ( x ) = 1 - j ( x ) ，( 工) 心= q ( x ) ，那么有限域e 上的三次剩余 码是否也有类似的结论呢? 定理3 2 1 ：设q ，q ，c 2 ，c o ，c ，c 2 是e 上长为p 的三次剩余码，则： ( 1 ) c 0 ，q ，q 的幂等生成元集为： 口o + 1 + q ( x ) ，a o + 1 + q l ( x ) ，a o + 1 + q 2 ( z ) ) 或 口0 + l 一幺( x ) 一q ( z ) ，a o + i - q 。( z ) 一q 2 ( x ) ，+ 1 一q ( x ) 一q ( 工) ) 或 口o + 卜q ( x ) + q ( x ) + q 2 ( 功，a o + l + q ( x ) 一q l ( 工) + q 2 ( x ) ，a o + 1 + q ( 工) + q l ( 力一q 2 ( x ) ( 2 ) 一c o ，一c l ，一c 2 的幂等生成元集为： 口。一q ( 石) 一q ( z ) ，口0 一q ( x ) 一q ( 力，a o q ( x ) 一g ( x ) ) 或 a o + q ( 工) ，a o + q ( x ) ，a o + q 2 ( 工) ) 或 a o + q ( 石) + g ( x ) 一q 2 ( x ) ，a o + q ( x ) + q 2 ( 工) 一q ( z ) ，a o + q ( 石) + q 2 ( 石) 一q ( 石) ) 其中：掣半( m o d 3 ) j 证明：设q = ，由引理1 ，知c onq 的幂等生成元为e o ( x ) e , ( x ) ，又有 c onq = o 一1 ) g o ( x ) ，o 一1 ) g 。( 功 ) = ，则 c o n q n c , = 0 ) ，那么e o ( x ) e , ( x ) 乞( z ) = o 。 c o + c l 的幂等生成元为( z ) + q ( 刁一( x ) q ( z ) ，又有 百+ 百= 辽宁师范大学硕七学位论文 c o + c l + g 的幂等生成元为： ( 石) + q ( x ) 一e o ( x ) q ( x ) + e 2 ( x ) - ( e o ( x ) + q ( x ) - - e 0 ( x ) q ( x ) ) 乞( x ) = e o ( x ) + e i ( 石) + 乞( x ) - e o ( x ) q ( x ) - e o ( x ) e 2 ( x ) - e 。( x ) 乞( z ) = 1 一了( 工) 由弓i 理2 1 0 ，知( 工) + q ( x ) - e o ( x ) q ( 工) = 1 一j f ( 功 e o ( x ) + e 2 ( x ) - e o ( x ) e 2 ( x ) = l - j ( x ) e l ( x ) + e 2 ( z ) 一q ( x ) e 2 ( x ) = 1 - j ( x ) = 2 ( e o ( x ) + e l ( x ) + 乞( x ) ) 一( 石) q ( x ) 一( x ) 乞( x ) 一q ( 工) 乞( 工) = 6 ( 1 一( 力) = o j ( x ) 巳( x ) + e o ( x ) e ：( x ) + q ( x ) 乞( x ) = - ( e o ( x ) + q ( x ) + e 2 ( x ) ) j e o ( x ) + q ( x ) + 乞( x ) = j ( x ) - i 令q o g ) = x 啊q lg ) = 妒，q 2g ) = 石您，则 龟e 凡，l e 焉r 2 e r z q o ( x ) + q l ( z ) + q 2 ( 石) = x + x 2 + + x ，。1 = j ( x ) - i ，并且设e g ) 为偶重量三次剩余码的幂 等生成元，贝, l je ( x ) = + 口】q o ( x ) + a 2 q l ( x ) + a 3 q 2 ( x ) ，取墨，b = j ，则 e ( x ) i t b = 口o + 口l q l ( 工) + 口2 q 2 ( 工) + 口3 q 3 ( 石) p ( x ) 心心= 口o + 以。q 2 ( x ) + 口：q o ( x ) + 口，q l ( 工) = ，p ( x ) + p ( x ) 心+ e ( x ) i t d z , , = 3 a o + ( 口。+ 吒+ 口，) ( q l ( z ) + q ( x ) + q ( x ) ) - - ( a 。+ 口：+ 口，) ( q l ( x ) + q ( x ) + 或( x ) ) 又p ( x ) + p ( x ) 心+ e ( x ) 一u b p b = j ( x ) - i j ( 口l + a 2 + 如) ( q l ( 工) + q ( x ) + q o ( x ) ) = j ( 功一1 2 p 一1 ( 1 + x + x 2 + + x p - i ) - 1 因为3p - 1 ，p = 3 k + l 在e 中，( 3 k + l ，3 ) = 1 ，( 3 k + 1 ) l + 3 ( - k ) = 1 ，p = 1 ( 口l + 口2 + a 3 ) ( x + x 2 + + x p - 1 ) = 石+ + + z p q j q + 哆+ 吩= l o ：e ( 1 ) ：+ 口ll 民i + 口：i 足i + a 3i 恐l = a o + _ p - - 1 ( a 。+ a 2 + a 3 ) ：口o + 旦 j 口o ：磐半( m o d 3 ) 域e 上三次和四次剩余码的研究 a i + 口2 + 口3 = 1 ，则共有以下几种情况： ( 1 ) 当a i , a 2 ，a 3 其中有1 个为0 时， 第种情况，口l = o ，a 2 + a 3 = 1j 口2 = 码= 一1 e ( x ) = a o q ( x ) 一q 2 ( x ) e ( x ) t b = a o q ( x ) - q o ( x ) ； e ( 工) 心以= a o - q o ( x ) - o , ( x ) 幂等生成元集为： a o g ( x ) 一q ( z ) ，a o - o ：( x ) - v _ o ( x ) ，a o q ( 刁一q ( x ) ) 第种情况，a 2 = o , a l + a 3 = 1 j a i = 吩= 一1 e ( x ) = a o q 0 ( x ) 一q 2 ( z ) p ( 工) 乜= a o - o , ( x ) - q o ( x ) e ( x ) l t l , h , = a o - 0 2 ( x ) 一q ( z ) 幂等生成元集为： a o - q 。( x ) - q 2 ( x ) ，a o q ( x ) - o _ o ( x ) ，a o q ( z ) 一q ( z ) ) 第种情况，a 3 = o ，a l + 口2 = lja l = = 一1 p ( 力= a o q ( x ) 一q ( x ) e ( x ) l t b = a o g ( x ) 一q 2 ( x ) e ( x ) p l , p , = a o q ( x ) - o o ( x ) 幂等生成元集为： a o g ( x ) 一q 2 ( x ) ，a o q 2 ( x ) 一q ( z ) ，a o - e o ( x ) - e , ( x ) ) 所以当口，口：，a 3 其中有1 个为0 时，幂等生成元集为： a o - e l ( x ) - e ：( x ) ，a o q ( 力一q ( 力，a o - e o ( x ) 一g ( x ) ) ( 2 ) 当a l , a 2 ，a 3 其中有2 个为0 时， 第种情况，q = l ，a 2 + a 3 = o j 吃= a 3 = 0 p ( 工) = a o + 蜴( 工) e ( x ) p l , = a o + q ( 0 e ( x ) l u d t b = a o + q 2 ( 力 幂等生成元集为： a o + q ( 石) ，a o + q l ( 刁，a o + q ( x ) ) 第种情况，口2 - - 1 ，a i + 色= o j q - - a 3 = 0 辽宁师范大学硕士学位论文 e ( x ) = 口0 + q 1 ( 工) e c x ) t z b = 口o + q 2 ( 石) e ( x ) l z b z b = + q o ( x ) 幂等生成元集为： 口0 + q o ( x ) ，c 1 0 + q l ( 工) ，口。+ q 2 ( x ) ) 第种情况，口3 = 1 ，口i + 呸= o ja l = 口2 = o e ( x ) = a 。+ q 2 ( x ) ，e c x ) b - - a 。+ q o ( x ) e ( x ) 儿心= + q l ( x ) 幂等生成元集为： a o + q o ( 工) ，口o + q i ( 工) ，口o + q 2 ( x ) ) 所以当a i 口：，a 3 其中有2 个为0 时，幂等生成元集为： 口o + 骁( x ) ，a o + q l ( x ) ，a o + 幺( x ) ) ( 3 ) 当a l , a 2 ，a 3 其中没有0 时， 第种情况，a 3 = 一1 ，a l + 口2 = 一1 j 口2 = 1 ，a 3 = 1 e ( x ) = a o + q o ( x ) + q l ( x ) 一q ( 工) e ( x ) p b = 口o + q ( 工) + q 2 ( x ) 一q o ( x ) e ( x ) i z d z b = a 。+ q ( 工) + q o (