（应用数学专业论文）隐含波动率的函数型数据分析.pdf

摘要 证券市场中期权投资者通常根据隐含波动率报价，有些人甚至把“期权交 易 称为“波动率交易”，可见隐含波动率在期权市场交易实践中具有十分重要 的作用。经验研究表明，根据b l a c k s c h o l e s 期权定价公式求得的一系列离散 隐含波动率值并刁 k ，期权买方将会选择执行期权，即以k 的价格获得价值为品的资产，因而买方得到的收益是爵一k 。若s t l 时称为实值期权，表示时刻r 执行获得正的收益；m 1 时称为虚值期 权，表示在时刻，收益为负；m = 1 时称为平值期权，即不赔不赚。看跌期权 则正好相反。 2 1 2 影响期权价格的因素 期权价格是由内涵价值和时间价值两部分决定的，即期权价格= 内涵价 值+ 时间价值。内涵价值是指立即执行期权合约时可获取的利润。对于看涨 期权来说，内涵价值为执行价格低于标的物价格的差额；对于看跌期权来说， 内涵价值为执行价格高于标的物价格的差额。时间价值是指期权有效期内标 的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所蕴含的价值。一般来说， 在其它条件一定的情况下，到期时间越长，标的资产价格波动越大，期权的 时间价值越大。 我们知道，到期日当天的期权价格由内涵价值( 执行价格和标的物价格 的差) 来决定，但在到期日以前影响期权价格的因素却有很多，想要确定期 权价格就必须了解这些因素。当不考虑预期红利支付时，共有五个重要因素： 标的物价格、期权执行价格、标的物的价格波动率、距到期日的剩余时间、 6 武汉理一【：大学硕士学位论文 无风险利率。它们之间的关系可用下图表示： 圈 图1 1 期权价格的影响 夭1 素 我们现在简要分析一下这几个因素是怎样影响期权价格的： 一、标的物价格 我们知道，看涨期权是以某一特定价格买入一定数量标的物的权利，因 为执行价格是一定的，如果标的物价格上升，标的物价格和执行价格的差， 即看涨期权的内涵价值就会增加，在不考虑时间价值的情况下，看涨期权的 价值也就随着增加；同理，因为看跌期权是以某一特定价格卖出一定数量标 的物的权利，执行价不会变，所以标的物价格越低，执行价格和标的物价格 的差，即看跌期权的内涵价值就会越高，看跌期权的价值也会增加。 二、执行价格 对于看涨期权，执行价越高，买方盈利的可能性越小，所以此时看涨期 权会相对便宜，相反执行价越低看涨期权会越贵。 同理分析看跌期权，执行价越高，买方盈利的可能性越大，所以此时看 跌期权会相对较贵，执行价低则会比较便宜。 三、标的物的价格波动率 无论看涨期权还是看跌期权，当标的物的价格波动率增大时期权的价值 会随之增加。我们知道，期权的损益是不对称的，波动率越大意味着买方可 能获利的概率越大，当然买方面临损失的概率也相应增大，但是因为买方面 临的最大损失就是期权的权利金，风险已经被锁定，而如果标的物价格向买 方有利的方向波动，获利却是不断增加的，所以波动率对期权的价值产生正 的影响。 四、距到期目的剩余时间 在其它条件相同的情况下剩余时间多的期权会比剩余时间少的期权价格 7 武汉理l ：大学硕十学位论文 高。这是因为距到期日的剩余时间越多，标的物就越有充分的时间向买家有 利的方向变动，随着到期日的临近，发生变动的机率也会减小，时间价值也 就会逐渐减少。但时间价值的减少速度与剩余时问的减少并不成比例，在距 离到期同还有很多天时，时间价值的减少是相当缓慢的，而当距到期日没有 几天的时候时间价值的减少速度会变得非常快。 五、无风险利率 无风险利率是指期权交易中的机会成本( o p p o r t u n i t yc o s t ) 。我们来看一 下买入看涨期权和买入标的资产的区别。如果买入了看涨期权，只要先付权 利金后付款就可以，而买入现货要马上付款。也就是说相对于买入现货来说， 买入看涨期权具有延迟付款的效果，那么利率越高对看涨期权的买方来说也 就越有利，即随着利率的增加，看涨期权的价格随之增加。而买入看跌期权 要比买入现货晚收到货款，所以看跌期权的价格随利率增加而减少。 用表1 1 来综合反应各因素对期权价格的影响【1 8 】( 这里假设各个影响因 素都上升) ： 表1 - 1各因素对期权价格的影响 影响因素看涨期权看跌期权 标的物价格上升下降 执行价格下降上升 标的物价格波动率上升上升 距到期日的剩余时间上升上升 无风险利率上升下降 从以上的分析可知，标的物价格和执行价格是决定期权价格的重要因素， 它们决定一个期权是实值期权、虚值期权还是平值期权；价格波动率是十分 关键的因子，也是最难预测的，事实上其他因子都可以很方便的观测到，做 期权的实质就是做波动率；距到期日的剩余时间也对期权价格有着影响，表 现为时间越长，权利金越高。因为到期时间越长，期权内涵价值和时间价值 越高；无风险利率对期权价格的影响较为复杂。利率的变化，影响期权合约 标的资产的预期价格和期权的持有成本。以利率上升为例，会增加市场对资 产的价格预期，从而造成看涨期权的价格上升，看跌期权的价格下跌。同时， 却会增加期权的持有成本，从而造成期权的价格下跌。一般认为，前者的影 响占据主导地位。 2 2b s 期权定价模型 1 9 7 3 年，美国著名的金融数学家f i s h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 2 】发表了 关于期权定价的开创性论文期权定价及公司债务。文中在一定的假设条件 武汉理，l 人学硕十学位论文 下，利用无套利原理和i t o 公式推导出了著名的b l a c k s c h o l e s 模型。该模型 是期权定价发展史上的里程碑，它为期权乃至其他未定价权益的定价打下了 坚实的基础，使得原本空洞的期权定价在理论上有了依据。 b l a c k s c h o l e s 假定股票市场和期权市场符合下面的理想条件： ( 1 ) 股票价格是连续的，且服从对数j 下态分布； ( 2 ) 无风险利率是常数且对所有到期日都相同； ( 3 ) 有效期内股票无红利支付； ( 4 ) 只适用于欧式期权，即期权只能在合约的到期日才能被执行。美式 期权由于可以在到期日之前的任何时间执行，因此使期权成为实值期权的可 能性大了很多，很难估计其价格： ( 5 ) 买卖股票或期权无交易成本和税收的限制； ( 6 ) 卖空没有限制； ( 7 ) 交易是连续的； ( 8 ) 不存在无风险套利机会。 基于上述假定，b l a c k s c h o l e s 经过严密的数学推导，给出了不支付红利 下的欧式看涨期权定价公式： c = s n ( d 1 ) 一缸叫n ( d 2 ) ( 2 1 ) d l = l n ( s k ) + ( r 。：+ ：o ：2 ：。2 ) ( t - t 一) o - 4 t t d2：一ln(sk)+(r-o-22)(t-t)：dl一盯fi a 4 t - t 其中，c 为欧式看涨期权的价格，s 为股票现价，k 为期权的执行价格，厂为 无风险利率，r 为到期日，f 为当前时刻，t t 为期权距到期日的时间，o - 为 股票价格的波动率，( ) 为均值0 ，标准差1 的累积正态分布概率函数。 根据无套利原理，看涨期权和看跌期权之间存在一个平价关系： c + k 毒一7 r 一，) = p + s ( 2 2 ) 这就是欧式看涨和看跌期权之间的平价( p a r i t y ) 公式，其中p 为欧式看跌 期权的价格。如果平价关系不成立，就存在套利行为，套利活动最终会使市 场回到平价状态。 那么我们可以根据欧式看涨期权定价公式( 2 。1 ) 和平价公式( 2 2 ) 推导出 欧式看跌期权的定价公式： p = k e l 卜( d2 ) 一s n ( 一d 1 ) ( 2 - 3 ) 其中各变量与式( 2 1 ) 中的变量含义相同。 9 武汉理：1 二大学硕十学位论文 2 3b s 隐含波动率 2 3 1 波动率产生原因 波动率( v o l a t i l i t y ) 是衡量标的物价格波动幅度的指标，一般定义为标 的物收益率的标准方差。关于股票价格产生波动的原因有两种不同的看法： 一种认为由于股票未来收益的新消息的随机性而产生；另一种认为波动是由 交易本身产生的。那么，就有了这样一个问题：交易所开市和闭市时，股票 的波动率是否相同? f a m a 和k f r e n c h 用实际数据检验了这个问题。他们收集了很长一段时 间内股票的每日收盘价格，做了以下计算p j ： 1 ) 相邻两个交易日股票价格收益率的方差，不包括非交易日之间的收 益率； 2 ) 以周五和周一股票收盘价格计算收益率，并计算该组收益率的方差。 如果交易日和非交易日的波动率相同，则情况2 的方差应该是情况l 的 3 倍。f a m a 的实证结果表明情况2 的方差只比情况1 的方差高出了2 2 ； f r e n c h 的结果也是同样的，他的结果是高出1 9 。这些结果意味着波动率在 交易所开市的时候比闭市时要大的多。那么唯一合理的解释就是波动率主要 是由于交易本身造成的。 2 3 2b s 隐含波动率的函数性 b l a c k s c h o l e s 期权定价公式中唯一不能直接观测的参数是股票价格的波 动率。从上文的讨论可知，波动率是决定期权价格的重要影响因素。一个期 权职业投资者对波动率的关注往往高于对期权价格本身的关注，波动率是指 导期权投资者进行交易的重要指标，有些人甚至把“期权交易”称为“波动 率交易”【3 】。所以要想在期权投资中获利，应该学会使用波动率进行交易。 通常采用历史波动率作为对实际波动率的一个近似，即用过去的股票价 格数据计算得到。依据是认为股票价格的变化趋势是从过去延续到未来，或 者认为这种变化趋势存在某种周期性规律。然而这个依据显然与事实不符， 因为股票价格的变化是一个随机过程，当市场价格波动较大时，“历史 无法 代表“未来 ，所以历史波动率法大大降低了模型的有效性。 隐含波动率( i m p l i e dv o l a t i l i t y ) 由l a t a n e 和r e n d l e m a n 在1 9 7 6 年首次提 出( 3 】，基本原理是：根据b l a c k s c h o l e s 期权定价公式从期权价格倒推出市场 波动率。从理论上讲要获得隐含波动率并不困难，由于b l a c k s c h o l e s 期权定 价模型给出了期权价格c 与五个基本参数( s ，k ，f ，仃) 之间的定量关系，只要 l o 武汉理工大学硕十学位论文 将( s ，k ，t ，) 及期权的实际市场价格e 作为己知量代入模型就可以从中解出 唯一的未知量盯，这就是隐含波动率。通过这个计算过程，我们了解到隐含 波动率是市场中期权价格蕴含的波动率，反映的是市场对股票价格波动率的 看法，故在期权投资中有重要指导作用。 按照b l a c k s c h o l e s 期权定价公式的假设，波动率在期权有效期内为常 数，因此由基于同一个标的资产的不同期权计算出来的隐含波动率是相同的， 即隐含波动率与执行价和到期日无关。但事实并非如此，越来越多的实践表 明，b l a c k s c h o l e s 期权定价公式中关于波动率是常数的假设是不合理的，由 不同执行价格和不同到期日的( k ，丁) 期权得到的隐含波动率仃是不同的。当 固定到期日丁时，隐含波动率会随着执行价格k 变化，一般有以下两种典型 图像：“波动率微笑或“波动率偏斜”曲线；当固定执行价格k 时，不同 到期日丁所对应的隐含波动率也不一样，表现出波动率有期限结构的特征。 这是一种客观存在，而非市场偶然性错误定价的结果。若将两者综合考虑， 则某一天f 的隐含波动率事实上是一个二元曲面函数： 吒：( k ，f ) 专o t ( k ，f ) 其中，f = t t 为距到期日的剩余时问，称为存续期。 下一章节我们将通过具体的方法来刻画隐含波动率的函数特性，进而为 函数型数据分析做准备。 武汉理i ：大学硕士学位论文 第3 章隐含波动率曲面的非参数估计 金融市场的数据通常具有函数型特征。“函数型”指的是数据的本质结构， 即离散数据原本就有曲线或曲面函数的特征，实际上函数型数据通常是在离散 的情形下观测记录的( 1 7 】。市场数据显示，根据b l a c k s c h o l e s 期权定价公式求 得的一系列隐含波动率值盯具有函数型特征，即对于某一天的市场报价，当固 定存续期f 时，盯呈现曲线的形态；不固定f 时，盯呈现曲面的形态。这些曲 线或曲面可以当作函数型数据，将它们光滑化后就可以运用函数型数据分析的 方法作进一步研究。本章的工作是运用具体的方法来拟合出隐含波动率曲线或 曲面，即构造函数型数据。 对于一个随机样本( ，z ) ，待1 ，t ，假设有如下回归模型： z = x ( t i ) + 毛 ( 3 1 ) 其中，x ( ) 是一个未知的回归函数，岛表示第i 个测量误差，且独立同分布， e ( 毛) = 0 ，v a r ( g i ) = 仃2 ( ) 。 我们的目的是建立某种拟合标准，估计回归函数x ( ) 。具体来说，有两种 可行的方法：参数估计和非参数估计。但是由于参数估计中，通常需要知道回 归曲线的具体分布形式，实际中很难满足这一条件，因此我们采用非参数估计 方法。相比之下，非参数方法只需假定曲线的光滑性，更加灵活。此外，非参数 方法可以运用到不同形式的波动率模型中，因而其使用范围更大。许多实践证 明非参数估计是经济数学模型中拟合效果较好的，对于预测有很好的效果1 9 ，2 0 1 。 3 1 非参数估计方法 非参数估计的基本方法有核函数法、最近邻函数法、样条函数法等等【2 0 1 。 这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于i 的线性组 合的某种权函数。也就是说，回归函数x ( t ) 的估计x ( t ) 总可以表为下述形式： 盒( f ) ：twf(f)z(3-2) 其中 w ( f ) ) 称为权函数，且一般都满足以下条件： ， ( f ) 0 ，w i ( t ) = l ( 3 3 ) i = l 1 2 武汉理一f 大学硕十学位论文 我们这里主要介绍两种常用的将离散数据表示为光滑曲线或曲面的非参数 方法：局部多项式估计，基函数展开。 3 1 1 局部多项式估计 局部多项式估计不论在理论上还是在应用中都是一个很吸引人的方法。与 其它常用的核估计方法相比，n w 核估计会导致意想不到的偏差，g a s s e r - m u l l e r 估计在处理随机设计模型时会产生很大的偏差，而局部多项式估计没有这样的 缺陷。除此之外，局部多项式估计还有如下优点：首先，它可以应用到各种设 计模型中，不论是随机的还是固定的，高度密集还是均匀设计的都可行；其次， 它没有边界影响，这是与其它方法的一个显著的区别，正是由于这一优点，局 部多项式估计在处理多维问题时，在边界附近的数据点可以忽略；另外局部多 项式估计还有很好的极小极大效率( m i n i m a xe f f i c i e n c y ) 性质。 局部多项式估计的基本思想是泰勒展开( t a y l o re x p a n s i o n ) 2 0 】。假设x ( f ) 在t = 处有( p + 1 ) 阶连续导，那么回归函数( f ) 在点t i 处的p 阶泰勒展开式为： x ( t ) 彳( t ) + x 1 ( ) o 一) + + l - x 力( t ) ( ，一t ) ， ( 3 - 4 ) p ： 上式的估计误差次数为o 一) p ”，其中工d 表示x ( f ) 的阶导数，歹= l ，p 。 运用加权最小二乘法( w l s ) 对( 3 4 ) 式进行局部多项式拟合，就可以得到 x ( t ) 在t = t 附近的估计值。 由此，我们推广到一般，回归函数x ( t ) 在点t 的估计可以通过如下最优标 准给出： 多( f p ，k ) = a r g 蚵n p 喜 r 一屁一屈( t - t ) 一一纬( - t 瑚2 k ( 字) ( 3 - 5 ) 其中权函数r ( ) 是核函数，因子h 是控制f 局部邻域大小的量，称为带宽。 比较式( 3 4 ) 和式( 3 5 ) ，得到 ( y ) 孱：盒( f ) ，展：兰i q ，1 ，：1 ，2 ，p 显然，x ( t ) 是回归函数在点f 的估计值，x ( t ) 是回归函数的v 阶导估计值。 从这个过程可以看出，通过局部多项式估计，我们不仅得到了回归函数的估计 值，也得到了它的导数的估计值，这是局部多项式估计的一大优点。 武汉理j l j 大学硕士学位论文 当p = 0 时，由( 3 5 ) 式知x ( f ) 可以如下估计： _ x h ( ，) =喜w 等 圭i r ( 等) r ( 寻 = l ( 3 6 ) 这个估计称为n a d a r a y a w a t s o n ( n w ) 核估计，显然n w 核估计是局部 多项式估计的一个特例。对照权函数线性模型( 3 2 ) 式，n w 核估计的权为： wm 一 r - r 、盟h 、 以力2 殍 k ( 罕) 对于回归函数石( ) 的局部多项式估计，有三个重要的量需要加以说明： 核函数( f ) 、带宽h 的选择和多项式的次数p 。 ( 一) 核函数彭( - ) 的选取 核函数通常满足对称性及f x ( t ) d t = 1 ，采用在原点有单峰的密度函数。核 密度估计的实质是对样本点施加不同的权数，该估计利用数据点到f 的距离 f 一来决定在估计点，的密度时起的作用，离，越近的点加权越大。实际应用 中核函数k ( ) 的选取并不是关键的，通常有以下四种： 均匀核k ) ：, 1 u l - 1 【o ，兵他 二次方核r ) ：三( 1 一“2 ) ，i “i 1 【o ，其他 四次方核r 似) ： -若(1-15 甜2 ) 2 ， “| 0 v a r ( s ) v a r ( t ) 那么对于函数样本集蕾( f ) ，i = 1 ，2 n ，t j ，我们可以直接定义( f ) ， v a r ( t ) ，c o v ( s ，t ) 和c o r r ( s ，t ) 如下： 鄹，兰专喜枷饨， 武汉理工大学硕十学1 _ 7 ：论文 1 n v a r ( f ) 2 击a , 一a i = i 一( f ) 一牙( f ) ) 2 ，f ， 己吣，f ) = 而i 善n 誓一元州旷j ) ，s , t j “ 。、 c o v ( s ，f ) co r r ( s ，f ) = 产= = = = 兰兰 、 p a r ( s ) v a r ( t ) 事实上，所有多元方法都可以转移到f d a 中来：基本的描述统计量，回归 模型( 线性，广义，) ，主成份分析，典型分析等。我们这里主要关注的是函 数型主成份分析( f p c a ) ，它比多元中的主成份分析更加有效，实践中f p c a 通常是描述随机函数分布的唯一方法。 4 4 函数型主成份分析 4 4 1k l 变换的基本原理 主成份分析的基础是k a r h u n e n l o e v e 变换( 简称k l 变换) ，是一种常用 的正交变换。通过高维函数空间k - l 变换可以得到一组正交基，保留部分正交 基生成低维子空间，保留的正交基就被称为“主成份”，利用这组主成份的线性 组合可以描述原函数。同样，f p c a 的理论基础也是k - l 变换，下面我们对k l 变换作一个简单介绍。 对于一个刀维随机变量x ，彳可以用一个基向量的加权和来表示： l x = 口i 办 其中：口，为权系数，办为基向量。 取基向量为正交向量，即 谚r 办= 三：i ； 令 = ( 识，欢，九) ，口= ( 口。，口2 ，口。) r 则由正交向量构成，是正交矩阵，即 7 ：i 那么 听= i x 我们希望向量口的各个分量间互不相关，那么如何保证其互不相关呢? 这 武汉理一r 大学硕士学位论文 取决于选取的正交向量集 ， 。 设随机向量的总体自相关矩阵为 r ：e lx 7 x lj 我们得到 r = e x7 x = e o o t a v = o e a a r ， 要求向量a 的各个分量互不相关，即满足下列关系 e e 口j o c k = 台歹嚣 写戍矩阵的形式是： 则 五0 久j - 0 九， r = 中a ， = a 将上式两边右乘，得 r o ：o 人由r 因为是正交矩阵，得到 尺= 人 即 r o = t ，( y = l ，2 ，玎) 式中，见，是x 的自相关矩阵尺的特征值，i 是对应特征向量。因为r 是 实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量应正交。 由上述过程可以看出k l 变换实质就是建立一个新的坐标系，将一个物体 主轴沿特征矢量对齐的旋转变换，这个变换解除了原有数据向量各分量之间的 相关性，从而去掉那些信息较少的坐标系最终达到降维的目的。 同样，我们可以将个随机函数x ( t 1 的k - l 展开表示如下： x ( f ) = ( f ) + f r r r ( 4 3 ) ，；l 其中， 因子载荷，= ，且有e ( ，) = 0 ，e ( ，2 ) = 乃， e ( ，丘) = 0 ( ，尼) 。 很显然，上k l 展开描述了一个随机函数的分布，我们可以通过分析特征 2 7 武汉理_ t 大学硕七学位论文 函数以和因子载荷，的结构进而分析随机函数x ( t ) 的分布结构。 在f p c a 中，k l 变换的“最佳经验基”性质是非常重要的。 的正交基函数h ，匕，屹，令平方和误差的均值为： 工 p ( 嵋，吃，吃) = e ( f | x 一一 1 1 2 ) ，= l 对于任意 ( 4 - 4 ) 设咋= 所，最小化( 4 4 ) 则得到三个最佳基，即为前三