（光学专业论文）正交量子态的局域区分问题.pdf

摘要 摘要 量子信息学是一门新兴的交叉学科，是量子力学，数学，信息和计算机科学 等多学科的交叉。近年来，量子信息学自身的蓬勃发展，带动了诸多相关学科的 进步。在量子信息中，有一类基本的问题和经典信息学大相径庭，那就是量子态 的识别问题。在微观量子条件下，薛定谔方程的解审问，也就是希尔伯特率问， 存希! 态叠加原理，使得4 i 同系统所处的量子态未必正交，从而带来量子系统不可 识别，不可复制等一系列违背以往既定认识的问题；但在宏观经典情形下，由于 宏观系统所处的环境极其嘈杂，系统不停地受到外界的探测，无法保持在相干叠 加态上，所以物体所处的状态是天然正交的，可以确定区分。事实上，即使一个 多粒子量子系统处于一组正交量子态中的个，但操作只被允许作j l j 在各个局域 的粒子上，粒子问可以有经典信息传送( l o c c ) ，这时由于量子关联的存在， 我们也未必能断定多粒子量子系统处于哪个量子态，这就是e 交量子态的局域区 分问题，是量子信息学，也是量子力学的一个基本问题。对其深入研究，有助于 对量子信道容量，最子信息提取，量子非定域性等一些基本问题的深刻理解。 这篇论文主要从量了态的施密特数 = ；发，对正交量了态的局域区分问题进行 了探讨，主要结论如下： i 将正交量子态的局域区分问题和群s u ( n ) 的生成元联系起来。由此我们 得到一个局域态区分的必要条件，通过这个必要条件，可以系统的分析多体正交 态的局域区分问题。 i i 给出了一组多粒子正交量子态可以被局域投影测量和经典通讯( l p c c ) 手段区分的必要条件。如果一组多粒子正交量子态可以被l p c c 区分，那么这组 量了态的施密特数之和必然小于量予态所处空间的维数。但这个必要条件不可以 推广到一般的局域操作和经典通讯( l o c c ) 情况。 i i f 子空间的不卅。局域区分是指子空问的所有正交基都是l o c c 不纠+ 区分 的。w a t r o u s 等人在0 5 年证明了在n q n ( n 3 ) 空问一i ，最大纠缠态的正交补 空问是局域不可区分的。我们采用新的证明方法获得了更般性的结果：证明了 在m n ( m ，n 3 ) 空间中，任何秩为3 的最大纠缠态的正交补空间是局域不 摘要 可区分的，又进一步证明在m o n ( m ，n 4 ) 空间中，任何秩为4 的纠缠态的 正交补空间是局域不可区分的。从而，w a t r o u s 等人证明的子空间是我们结果的 一个子类。 i v 在i i 中给出了以总施密特数为判据的必要条件，但允许的操作被限制 为l p c c 。现在我们考虑对被区分的量子态加以限制，这时允许的操作为一般的 l o c c 。当一个量子系统处于一组正交的2 n l 量子态中的一个，而这些量子态 属于个两粒子系统，其中个粒子是q u b i t 系统，另一个是1 1 维系统。我们给 出了一个充分必要条件来判别量子系统是否能被确定状态，那就是，被区分量子 态的总施密特数之和必须小于态所在空间的维数2 n ，也就是2 n l 态中至多只 有一个纠缠态。 关键词：量子信息正交态子空间局域区分 1 1 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o n s c i e n c ei san e wa n dd e v e l o p i n g i n t e r d i s c i p l i n e ，w h i c h i n c l u d e sq u a n t u mm e c h a n i c s ，m a t h e m a t i c s ，i n f o r m a t i c s ，c o m p u t e rs c i e n c ea n ds oo n i t sf l o u r i s h i n gd e v e l o p m e n tp r o m o t e so t h e rr e l a t i v ed i s c i p l i n e si nr e c e n ty e a r s i n q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，t h e r e i sas e r i e so fb a s i ci s s u e sc o m p l e t e l yd i f f e r e n tf r o m c l a s s i c a li n f o r m a t i c s ，o n eo fw h i c hi sa b o u tl o c a ld i s t i n g u i s h a b i l i t yo fas e to f o r t h o g o n a lq u a n t u ms t a t e s a sw ek n o w , u n d e rm i c r oq u a n t u mc o n d i t i o n s ，t h es o l u t i o ns p a c eo fs c h r o d i n g e r e q u a t i o nb e l o n g st oh i l b e r ts p a c ec h a r a c t e r i z e db yt h es u p e r p o s i t i o np r i n c i p l e t h e p r i n c i p l em a k e si tp o s s i b l et h a tq u a n t u ms t a t e sd e s c r i b i n gd i f f e r e n tq u a n t u ms y s t e m s a r en o to r t h o g o n a l ，w h i c ha c c o r d i n g l yb r i n g sas e r i e so fp r o b l e m sv i o l a t i n go u r e s t a b l i s h e d c o g n i t i o ns u c h a sl o c a l i n d i s t i n g u i s h a b i l i t y a n dq u a n t u mn o n c l o n i n g h o w e v e r , u n d e rm a c r oc l a s s i c a lc o n d i t i o n s ，a se x t r e m e l yn o i s ye n v i r o n m e n ta r o u n d m a c r o s c o p i cs y s t e m s ，s y s t e m sa r ec o n t i n u a l l ym e a s u r e db yt h es u r r o u n d i n ga n dc a n 。t k e e pt h e m s e l v e si nc o h e r e n ts u p e r p o s i t i o ns t a t e s t h u s ，t h es t a t e sd e s c r i b i n gt h e s e s y s t e m s a r en a t u r a l l yo r t h o g o n a la n dp e r f e c t l yd i s t i n g u i s h a b l e i nf a c t ，w ec a n t d e t e r m i n ei nw h i c hq u a n t u ms t a t eam u l t i p a r t i c l eq u a n t u ms y s t e mi sw h e ni t ss t a t e b e l o n g s t oas e to fo r t h o g o n a ls t a t e sb u to n l yl o c a l o p e r a t i o n s a n dc l a s s i c a l c o m m u n i c a t i o n ( l o c c ) a r ea l l o w e d t h i si s l o c a ld i s t i n g u i s h a b i l i t yo fo a h o g o n a l q u a n t u ms t a t e s ，w h i c h i sab a s i cp r o b l e mi n q u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u m m e c h a n i c s b yi n t e n s i v es t u d yo f t h i sp r o b l e m ，w ec a ng e tab e t t e ru n d e r s t a n d i n ga b o u t q u a n t u mc h a n n e lc a p a c i t y ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ne x t r a c t i o n ，q u a n t u mn o n l o c a l i t ya n ds o o n 。 i nt h i sg r a d u a t i o nt h e s i s ，w es t u d yt h i sp r o b l e mi nt e r m so fs c h m i d tr a n k sa n dg e ts o m eu s e f u l c o n e l u s i o n sa sf o l l o w s i w ea s s o c i a t et h i sp r o b l e mw i t ht h eg e n e r a t o ro fg r o u ps u ( n ) ，f r o mw h i c hw eg e ta i i i a b s t r a e t n e c e s s a r yc o n d i t i o no fl o c a ld i s t i n g u i s h a b i l i t y a c c o r d i n gt ot h i sc o n d i t i o n ，w ec a n s y s t e m a t i c a l l ya n a l y z eh o w t ol o c a l l yd i s t i n g u i s has e to f m u l t i p a r t i t eo r t h o g o n a ls t a t e s i i i n s t e a do fl o c c ，w ec o n s i d e rl o c a l p r o j e c t i v em e a s u r e m e n ta n dc l a s s i c a l c o m m u n i c a t i o n ( l p c c ) w h e na l l o w e do p e r a t i o n sa r ec o n f i n e dw i t hl p c c ，w eg e tt h e n e c e s s a r yc o n d i t i o n t h a ti fas e t m u l t i p a r t i t eo r t h o g o n a lq u a n t u ms t a t e s c a nb e d i s t i n g u i s h e db yl p c c ，t h e nt h es u mo fs c h m i d tr a n k so ft h e s es t a t e ss h o u l db el e s s t h a nt h et o t a ld i m e n s i o no ft h eh i l b e r ts p a c ei nw h i c ht h es t a t e sb e l o n gt o b u t ，t h i s n e c e s s a r yc o n d i t i o nc a n tb eg e n e r a l i z e dt ol o c c c o n d i t i o n i i i l o c a li n d i s t i n g u i s h a b i l i t yo fas u b s p a c em e a n sa l lo r t h o g o n a lb a s e si nt h i s s u b s p a c ea r el o c a l l yi n d i s t i n g u i s h a b i e w a t r o u se ta i f i r s tp r o v e dt h a t i nah i l b e r t s p a c enon ( n 3 ) ，t h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n to ft h es p a c es p a n n e db yt h em a x i m a ll y e n t a n g l e ds t a t ei sl o c a l l yi n d i s t i n g u i s h a b l e i nt h i st h e s i s ，w et a k ea d v a n t a g eo fan e w m e t h o da n do b t a i nm o r eg e n e r a lc o n c l u s i o n so nt h i st o p i c w ep r o v e dt h a ti nam 固n ( m ，n 3 ) h i l b e r ts p a c e t h eo r t h o g o n a lc o m p l e m e n to ft h es p a c es p a n n e db ya s c h m i d tr a n k 3m a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t ei s l o c a l l yi n d i s t i n g u i s h a b l e w ef u r t h e r d e m o n s t r a t et h a t ，w h e nb o t hp a r t i e s d i m e n s i o n sa r eg r e a t e rt h a nt h r e e ，t h eo r t h o g o n a l c o m p l e m e n to ft h es p a c es p a n n e db ya n ye n t a n g l e ds t a t ew h o s es c h m i d tr a n ki s g r e a t e rt h a nt h r e e h a sn o l o c a l l yd i s t i n g u i s h a b l eo r t h o n o r m a lb a s e s t h e r e f o r e ， w a t r o u s ss u b s p a c ei sj u s tas u b c l a s si no u rr e s u l t s i v i ni i w ec o n f i n ea l l o w e do p e r a t i o nw i t hl p c ca n dg e tan e c e s s a r yc o n d i t i o no f l o c a ld i s t i n g u i s h a b i l i t yi nt e r m so fs c h m i d tr a n k s n o w ，w ec o n f i n e dt h en u m b e ro f o r t h o g o n a ls t a t e sa n da l l o w e do p e r a t i o ni sl o c c w h e naq u a n t u ms y s t e mb e l o n g st o o n eo fas e to f2 n 一1o r t h o g o n a ls t a t e si nah i l b e r ts p a c e2 n ，w eg e tas u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nt od e t e r m i n el o c a ld i s t i n g u i s h a b i l i t y ，t h a ti s ，t h es u mo fs c h m i d t r a n k so ft h e s es t a t e ss h o u l db el e s st h a n2 n ，w h i c hm e a n sa tm o s to n eo ft h e2 n 1 s t a t e si se n t a n g l e d k e y w o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，o r t h o g o n a ls t a t e s ，s u b s p a c e ，l o c a ld i s t i n g u i s h a b i l i t y 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 第一章背景知识 第一章背景知识 如果要评选物理学发展史上最伟大的那些年代，那么有两个时期一定会入 选：1 7 世纪末和2 0 世纪初。前者以牛顿自然哲学之数学原理的出版为标志， 宣告了现代经典物理课学的正式创立；而后者则为我们带来了相对论和量子论， 并最彻底地推翻和重建了整个物理学体系。其中，量子论的出现彻底改变了1 丝界 的面貌，它比历史上任何一种理论都引发了更多的技术革命。核能、计算机技术、 新材料、能源技术、信息技术等等，都在根本上和量子论密切相关。牵强一点说， 如果没有量子力学，也就没有欧洲粒子物理中心( c e r n ) ，而没有c e r n ，也就 没有、棚州服务，更加没有划时代的网络革命。 量子理论诞生后不久，信息理论由c l a u d es h a n n o n ( 19 4 8 ) 为了分析通讯方法 的效率问题而发展起来【l 】。1 9 4 8 年，美国工程师s h a n n o n 发表了“通信的数学 理论”的文章，给信息以定量的科学描述，标志着信息论作为一门科学的建立。 信息论研究信息的本质，信息的产生，信息存储和传输，信息编码，译码：传输 信道对信息传输有效性、可靠性的影响；在噪声信道中如何保证信息传输质量等 问题。 通常我们把宾西法尼亚大学1 9 4 6 年的那台e n i a c 看成世界上的一台电子计 算机，不过，随着各人对“计算机”这个概念定义不同，人们也经常提到德国人 k o n r a dz u s e1 9 4 1 年建造的z 3 ，伊阿华州立大学在二战时建造的a b c ( a t a n n s o f f b e r r yc o m p u t e r ) ，或者图灵小组为了破解德国密码而建造的c o l l o s u s 。不管是 庞大的早期计算机，还是现在的p c ，它们都可以简化成这样一种机器：它每次 读入一个输入，并且视自己当时内存的不同，按照事先编妤的一个规则表做出相 应的操作：这操作可以是写入输出，或者是改变内存，或者干脆什么都不做乃至 停机。关键是，机器的输入和输出可以无限多，但它的内存和规则表必须是有限 的。这个模型其实也就是一切计算机的原型，由现代计算机的奠基人之一a l a n t u r i n g 提出，也称作“图灵机”( t h et u r i n gm a c h i n e ) 。 量子信息科学事实上就是将量子力学，经典信息学和计算机科学结合起来的 交叉学科。它包含量了信息和量子计算两大部分。量予信息一般包括：量了通信 第一章背景知识 【2 】，量子密码【3 】【4 】，量子纠缠【5 】等一系列量子力学和信息论相结合的课题；量 子计算通常指的是：实现量子计算机【6 】的各种理论模型和实验方案。 这篇论文讨论的课题属于量子信息的一个基本分支：关于多体量子态的识别 问题【7 】。它在量了信息和量子计算中都有着重要的应用。例如，在信息的秘密 共享，量子信道的经典窖量等等领域都起着至关重要的作用。在正式介绍态识别 问题之前，本章先介绍下量子信息科学的一些基本概念。 1 1 量子态 量子力学第一公设：量子系统的态由h i l b e r t 空间的矢量完全描述 h i l b e r t 空间的数学定义【8 】： 群( g r o u p ) ：对于若干元素构成的几个g ，定义一种二元运算，记为“， 若g 在“运算下满足以下条件： ( 1 ) 封闭性 对任意x ，y g ，x 木y g ( 2 ) 结合性 对任意x ，y ，z g ，( x 宰y ) 木z = x 宰( y 掌z ) ( 3 ) 存在单位元 对任意x cg ，存存e e g , 使得e * x = x * e = x ( 4 ) 存在逆元 对任- x g ，都存有逆元x 一1 g ，使得x * x = x 一幸x = e ， 则称g 为一个定义在运算“串”下的群。 域( f i e l d ) ：若非空集合f 满足条件： ( 1 ) 在加法运算下构成个可交换群 ( 2 ) 对于乘法运算，f 中全体非零元素构成可交换群 ( 3 ) 对于加法和乘法运算满足分配律。 则称f 为一个域。 第一章背景知识 矢量空间( v e c t o rs p a c e ) ：对于一组元素的集合l ，若对任意掰，1 ，a ，b f ， a ( u + v ) = a u + a v l ( 口+ 6 ) m = a u + b u 三 a ( b u ) = ( a b ) u ， 则称l 为域ft 的矢量空间。 内积空间( i n n e r - - p r o d u c ts p a c e ) ：定义了内积的矢量空问称为内积空间。 内积定义为一种映射：对于每一对元素甜，v 三，都有域f 中的一个数与之对应， 记为( 甜，v ) ，称为u 和v 的内积，具有性质 ( u ，甜) 0( 1 2 ) ( “，v ) = ( v ，“) + ( w ，a u + 6 v ) = a ( w ，材) + 6 ( w ，v ) ， “表示取复共轭。 c a u c h y 序列：称序列c i ，c 2 ，c n ，为c a u c h y 序列，若对任意小正数占都, - j - 以找到一个正整数n ，使得对于任意两个整数甩 n 和m n 都有lc 。一c 。i 和li ( 10 表示自旋向上的态，ll 表 示自旋向下的态) 。量子比特物理实现的另一个重要的双态系统是光子。在量子 光学中，二次量子化的光场或一般电磁场由一系列光子组成。光子的能量e 和动 量p 通过p l a n c k 常数h 分别和光场的圆频率和波矢k 联系着： e ：j l 戤尸：触。 ( 1 3 ) 光子的静止质量为零：运动速度为光速c ；光子沿波矢方向由自旋角动量h ，对 应着经典电磁波的左旋极化波和右旋极化波。左旋极化和右旋极化两种光子态， 分别用ll 和l 尺 表示，前者沿波矢方向自旋角动量投影为壳，后者为一h 。光 子可以处在ll 和ir 的叠加态： i z = 去( 月 一m l 4 叫 = 击舭 + i 纠， a 5 分别表示光子沿x 方向和y 方向的两种线性极化态( 这里假设光沿z 方向传播) 。 上面介绍的是两种典型的实现量子比特的物理系统。事实上，还有很多可以等效 4 第一章背景知识 近似为二能级的物理体系，它们都可以作为量子比特，这里就不一一赘述了。 数学上，一个量子比特的两个基矢态实际上张成一个二维h i l b e n 审问。若 以10 和l1 为基矢，量子比特可记为： i = 口10 + p l1 ，ia 1 2 + l 1 2 = 1 ， ( 1 6 ) 口，为复数。显然，l 由四个实参量决定，但考虑iy 的归一性，i 可由 三个实参量决定，因此i 可改写为： i 少 = e 咿( c 。s 0 ：z + d 9 s i n - 0 ，2i l ) ， ( 1 7 ) 其中乃翻伊为实数。一般情况下，作为整体相位的p 咿可以不用考虑，这样i 少 可以由两个实参数决定，所以l i f ， 重新改写为： 眇= c o s 扣 矶i n 詈l l ( 1 8 ) 从上面的形式可以看出，i i c ， 可由单位球的球面上的一个点来表示 9 1 0 ，如 下图所示： 0 ) ? 八 i 芦： 厶= ； 、_ r x ： 一 第一章背景知识 图1 1 ：量子比特的b l o c h 球表示 这个单位球一般被称为b l o c h 球。量子比特的这种可视化的表示，为我们研究量 子信息和量子计算提供了便利。 1 2 2 量子纠缠态 量子信息和经典信息的显著区别之一就是在量子信息中引入了纠缠 ( e n t a n g l e m e n t ，一般可认为是多粒子系统量子态的线性叠加) 的概念。量子信 息传输的典型模式是b e n n e t t 等人在1 9 9 3 年提出的量子隐形传态 2 ( t e l e p o r t a t i o n ) ，而这种模式是以存在最大纠缠的e p r 对 5 为前提的；著名 的s h o r 算法 1 1 更是充分地利用了纠缠态的线性叠加性质；利用量子纠缠也可 以建立量子密码；量子纠错码也依赖于纠缠。因此量子纠缠态在量子信息中处于 核心的地位，近来，量子纠缠在多体系统的数理问题的研究中显示出巨大的威力： 量予纠缠可以揭示多体系统的相变特征 1 2 ；利用量子纠缠的特性可以构造新的 多体系统的计算方法 1 3 - 1 4 ，总之，量子纠缠的任何进展都会对量子信息和数 学物理产生重要的影响。 纠缠是多体( 包括两体) 系统才有的概念，这可从纠缠本身的定义中看到：如 果多体量子态不能写成下面的形式e 1 5 ： 风2 t ，。= e p l 圆p 2 圆圆辟”， ( 1 9 ) 其中卑 - 0 ，p = l ；为第k 个粒子的量子态，则量子态岛厶棚为纠缠态，反 之则为可分态。 给定一个任意的量子态，问量子态是否有纠缠? 紧接着，下一个问题是一个 有纠缠的量予态到底含有多少纠缠? 前者为纠缠判定问题，后者为纠缠度量问 题。 然而无论是纠缠态的判定还是纠缠态的度量，我们直到现在仍知之甚少。到 日前为止，我们埘纠缠态的了解还仪仪停留在两体的情况。事实上，即便是两体 情况，依然还有一些问题没有获得最终的解决。对于多体( 三体和三体以上) 纠 缠态的判定和度量问题，虽然在近年来取得了一定的进展，但仍然是一个充满未 6 第一章背景知识 知的领域。 纠缠判定：对简单的两体情况，在纠缠判据方面，已经有一些有意义的结论。 p e r e s - h o r o d e c k i 判据 1 6 - 1 8 ：一个量子态p 若是可分的，则其在部分转 置( p a r t i a lt r a n s p o s i t i o n ，p t ，对应的物理意义是对子系统做时间反演) 操 作下保持正定。部分转置正定这个条件对于2 2 ，2 3 的系统是充分必要的，但 在一般情况下，它是必要但不充分的。这个判据的最大优点是具有很强的操作性。 e n t a n g l e m e n tw i t n e s s 判据 1 9 - 2 2 ：可分态集合是凸集，而在一个点和一 个凸集之间，总存在一个超平面将其分开。所谓e n t a n g l e m e n tw i t n e s s 就是这 个将量子态和可分态凸集分开的超平面。根据凸性，若一个给定的量了态是纠缠 的，则这个超平而一定存在，所以对每个量子态，都可以找到一个超平而对它的 纠缠进行判定。简单来说，若量子态p 是纠缠的，则一定存在一个厄米算子w ， 使得t r ( w c r ) 0 ( 其中盯为任意可分量子态) ，但乃( 坳) 0 ，这时我们称厄米 算子w 为e n t a n g l e m e n tw i t n e s s 。这个判据的操作性同样也很强，但不同的纠缠 目击算符只能区分特定的纠缠态，而构造所有的纠缠目击算符还没有系统化的方 法。 另外还有一些纯数学的纠缠判据，这里不一一赘述了。 纠缠度量：如果一个量e 能作为纠缠的度量，那么，它必须具有下面几个性 质 2 3 - 2 7 ： 1 对任意量子态p ，必须有e ( p ) 0 ，而对于可分态p 有：z ( p ) = 0 。 2 对量子态j d 做任意的局域么正操作，不改变它的纠缠度，以两体为例，即： e ( p ) = e ( u o u 占p u 一+ u 口+ ) ( 1 1 0 ) 3 在l o c c 操作下，纠缠e ( p ) 的期望值是不增的( 单调性和凸性) 。 4 直积态的纠缠度是可加的，即： e ( | ) l ) ) = e ( | ) ) + e ( | ) ) ( 1 1 1 ) 就两体纯态而言，纠缠度量问题已经完伞解决了。它可以用其中一个粒子的 约化密度矩阵的y o nn e u m a n n 熵： 第一章背景知识 s ( n ) = 一nl 0 9 2p s ( 1 1 2 ) ， 来度量，其中n = 巩n 厅，它的所有本征值为 只 。应当指出，这个度量与选取 哪个粒子来计算无关，这个可以从两体纯态的s c h m i d t 分解中得出。 尽管两体纯态的纠缠度量已经圆满解决，但对于混态的情况，这仍然是一个 很严峻的挑战。对于混态，人们已经提出了多种度量方案，虽然都有成功之处， 但同时存在一些问题。下面介绍几种有代表性的纠缠度量。 生成纠缠( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) ：通过l o c c 操作，为制备纠缠态以b 所消耗的最少b e l l 态。在渐进等价下，假设制备以。的n 份拷贝需要k 个b e l l 态，则生成纠缠定义可表示为： 睇( n 占) = l i m 篮， ( 1 1 3 ) 一n 另一方面，生成纠缠还可定义为： e f ( p a 占) = l i r a 只s ( 屏) ， ( 1 1 4 ) 其中s ( p ) 为v o nn e u m a n n 熵，而此处的最小值是在量子态以矗的所有实现上来取。 蒸馏纠缠( d i s t i l l a t i o no fe n t a n g l e m e n t ) ：通过l o c c 操作，可以从“b 中提取的最大b e l l 态数目。仍从渐进等价的角度来看，若从n 份以b 的拷贝中 可提取k 个b e l l 态，则蒸馏纠缠可表示为： 沪熙等。 q 1 5 生成纠缠和蒸馏纠缠都具有鲜明的物理意义，而它们的缺点是难以计算，可 操作性不强。生成纠缠和蒸馏纠缠也不是完全独立的，它们在数值上有关系： 研e o 。更进一步，h o r o d e c k i 等人还证明了，任何一个满足前面所提要求的 纠缠度e ( p ) 必须满足： ( p ) e ( j d ) 睇( p ) 。 ( 1 1 6 ) 从这个意义上来说，这罩给出的两个定义在纠缠度量中起着上下限的作用。若考 第一章背景知识 虑纯态的情况，则有f 回的结果： e r ( p a 8 ) = e d ( p a 日) = s ( n ( 8 ) ) ， ( 1 1 7 ) 这从另一个角度看到了纯态纠缠度量定义的合理性。 由于e d 的获取依赖于最佳的纠缠纯化方案，而到目前为止，最佳纠缠纯化 方案尚未找到。因此，在绝大多数情况下，我们仅能给出既的一卜限。 然而，对生成纠缠，w o o t t e r s 2 8 给出了2 2 系统生成纠缠的解析求法。 如果定义量c ( c o n c u r r e n c e ) ： c ( p ) = m a x 0 ， 一五一磊一五) ， ( 1 1 8 ) ( 其中五( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是按降序排列的算符r 三动万的本征值，而 声= o y q p 。o y q ) 则此系统的生成纠缠可表示为： 睇叫筚) ， q 1 9 其中厅( x ) = - x l 0 9 2x - ( 1 - x ) l 0 9 2 0 - x ) 。 基于距离的纠缠度量：若将两体量子系统所有量子态集t 分成两个不相交 的了集：包含所有可分态的予集r 和所有纠缠态的予集e = t r 。这里的t 和 r 都是凸集。一个量子态的纠缠度由此可定义为： e ( = m 删i n d ( o i i p ) ， ( 1 2 0 ) 其中，d 表示两个密度矩阵之间的距离度量。这里的纠缠度可以看作为密度矩阵 仃与非纠缠态集合的最小距离。 v e d r a l 考虑了两种距离度量，种是v o nn e u m a n n 相对熵度量，记为： s ( 盯ip ) = t r c r l n ( t r l p ) ； ( 1 2 1 ) 另一种距离度量是b u r e s 矩阵： d ( o i i 力= 2 2 r r 届扫) 。 ( 1 2 2 ) 对于前一种度量，它有明确的物理意义和经典对应，它表征的是区分两个量 子态的困难程度，具有以下一些简单的性质： 1 么正变换不变性： 9 第一章背景知识 s ( a i p ) = s ( u c r u + l u p u + ) 。 ( 1 2 3 ) 2 部分求迹操作下非增： s ( t r , o l t r p p ) _ s ( c r l 尸) ， ( 1 2 4 ) 其中t r 为部分求迹。 3 可加性： s ( q 吒ib 岛) = s ( qlp , ) + s ( c r 2i 岛) 。 ( 1 2 5 ) 而月可以证明，这种基，y - v o nn e u m a n n 相对熵距离定义的纠缠度，在纯态情况 下可以约化到v o nn e u m a n n 熵，同时这种度量还给出了蒸馏纠缠的一个上限。 这种定义的不足之处在于它缺乏可操作性；但它也有其它纠缠度所不具备的优 点：即，相对熵纠缠不依赖于粒子的个数。 n e g a t i v i t y 度量：这利- 由v i d a l 和w e m e r 提出的纠缠度量是最容易计算的， 被定义为： ( p ) = ( i ip r 卜1 ) 2 ， ( 1 2 6 ) 其中p7 。指两体密度矩阵的部分转置矩阵，i ll l 指对矩阵本征值的绝对值求和) a 另一个与之相关的定义是所谓的l o g a r i t h m i cn e g a t i v i t y ： 风= l o g ：i 桫l l 。 ( 1 2 7 ) 它们对于l o c c 操作都是单调的，后者还是一个可加量。它们的不足之处是对 于所有的束缚纠缠的情况( 所谓束缚纠缠就是在l o c c 操作下蒸馏纠缠为0 ) ， 它的结果都为0 。严格来讲，n e g a t i v i t y 并不能称为一个有效的纠缠度量。 上面是就两体混态，提出的部分有代表性的纠缠度量，它们各有优点和缺点。 对于纠缠度量，人们还没有达成共识，哪一种更适合，但人们总希望能找到一个 既有物理意义，又便于计算的纠缠度量。 1 2 力学量算符和密度矩阵 在经典物理中，粒子的运动状态可以用坐标和动量描述。当粒子的运动状态 l o 第一章背景知识 确定后，粒子的坐标和动量可以同时确定。其它力学量( 如：角动量，能量) 可 以表示为坐标和动量的函数，或者说，表示为粒子运动状态的函数。这些力学量 取值可直接测量得出。 而在量子力学中，粒子的状态用波函数来描述。当粒子的波函数确定后，粒 子的坐标和动量不能同时取确定值。力学量取值和粒子的状态之间没有经典物理 中那样直接的、单值决定的函数关系。那么在量子力学中如何表示力学量，如何 预言对量子系统测量时力学量的取值? 量子力学第二公设：量子力学中，每一个力学量f 都用一个线性厄米算子户 来表示 算符户满足条件： 户( c j l ) + c 2 l y ：) ) = c j 户j ) + c 2 户j ) ， ( 1 2 8 ) 则称户线性算子，其中c 1c 2 是两个复常数。 算符户的厄米共轭算子等于自身，即： f + = f ， 则称户为厄米算子，其中厄米共轭是指：转置+ 复共轭。 ( 1 2 9 ) 在线性代数中，每个线性厄米算予对应于一个矩阵，每个相应的矩阵的本征 值都为实数。 在第一节中，量子力学第一公设引入h i l b e r t 态矢量来描述量子系统，这在 明确知道系统状态的情况下非常方便，但在实际过程中，有时并不完全知道系统 的全部信息，密度矩阵方法为这种一般情形的统计描述提供了方便的工具。 假定要考察的量子系统以概率只处于量子态1 ) 上，这时可用下面的密度矩 阵来描述这一系统的状态： p = 只l ，) ( 沙，i 。 ( 1 3 0 ) 若将密度矩阵看作密度算子，它也是线性厄米算子，但与力学量算子不同的 是，必须满足两个限定条件： 第一章背景知识 1 迹条件： t r ( p ) = 1 ： ( 1 3 1 ) 2 半正定性：是半正定的，也就是p 的本征值是非负的。 由上面的描述可知，第一公设所描述的态矢量( 纯态) 在密度矩阵表示中对 应于p 的秩( 一个算子的秩定义为其非零本征值的数目) 为1 ，对于秩大于1 的状 态，称之为混态。立刻可以得到混态的判定条件为： r r ( p 2 ) 展开，e 是展开系数， i ) = em ， ( 1 3 4 ) c n = ( l y ) ， ( 1 3 5 ) 则测量结果为兀的几率为l 已1 2 具体说来，量子测量是一系列作用在态空间上的操作，在形式上可以用一组 完备的算符集 帆) 来表示，即： 坂+ 帆= ， ( 1 3 6 ) 其叶l 标记m 为测量仪器给出的测量结果。若初态为i y ) ，测量给出结果n l ，则测 量后的态为： 相应的成功概率为： m 。i y ) p ( 朋) = ( 少l 帆+ 肋_ l ) 。 ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 测量公设是量子力学中最让人困惑的公设。对于量子态在测量后瞬时塌缩的行 为，人们试图寻找一个更为合理的解释，如何从整体酉变换角度( 将测董期间和 被测量系统看成孤立系统) 来理解测量公设的研究一直在进行，然而到目前为止 仍有诸多分歧。实际中人们经常考虑的测量为两种：一种称为投影测量，也称为 冯诺伊曼测量( v o nn e u m a n n 测量) ；另一种称为正定算符值测量( p o v m 测量) 。 投影测量中，测量算符可用一个线性厄米算符m 来表示， m = 川己， ( 1 3 9 ) 其中已为m 本征空间的投影算符，满足： 只只= 既兄， ( 1 4 0 ) 只= ， ( 1 4 1 ) m 为相应的本征值。若测量结果为i t i ，则测量后，量子系统处于m 的本征态上， 第一章背景知识 为： 相应的成功概率为：( 沙l e i y ) 。 只l 妙) 丽 ( 1 4 2 ) p o v m 测量在某种意义上是投影测量的自然推广，测量算符表示为： m = m e ( 1 4 3 ) 其中既为般的非负定算符，满足： 既= 帆+ 坂= ，。( 1 4 4 ) 当e 为投影算符时，p o v m 测量对应于投影测量。在具体实现上，n e u m a r k 定 理指出，p o v m 测量可以看成是扩展空间中进行的投影测量，当我们局限在其 中一个子系统中考察这种测量时，要用p o v m 测量来描述。 1 4 量子演化 量子力学不仅描述微观系统的状态，而且期望了解微观系统的状态变化过 程，从而有效地控制、利用量子现象。 量子力学第四公设：量子系统的状态随时间的演化遵 火s c h r 6 d i n g e r 方程， 其中疗为系统的h a m i l t o n i a n 访掣：疗ot 求 s c h r 6 d i n g e r 方程，可知量子系统的演化实际上是么正演化。演化算子 的幺正性保证了量子系统的总几率不变，而且要求量子计算中的一切逻辑操作必 须为幺正操作且可逆。 1 4 第一章背景知识 上面描述的是，完全封闭量子系统的演化。考虑实际情况，量子系统的演化 可用超算符( k r a u s 算符) 来描述： e ( p ) = 巨群，f 巨= ， ( 1 4