人大版《精算模型(第3版)》习题解答

第一章习题答案

1、参数。=1/a的指数分布

2、48

3、0.00888889

4、34.29,72.83

5、99499

6、49980.76

7、97.5

8、3996,5605

9、974.567

10、(1)4趋于有比,2更多的正数阶矩。

(2)两个概率密度函数的比值汇/与会趋于无穷。

(3)4的危险力函数比4的危险力函数增长速度更快。

(4)储的平均剩余寿命比乙的平均剩余寿命增长更快

11、Loglogistic分布只有正数阶矩，而伽马分布都有，所以Loglogistic分布与伽马分布

有更厚的尾部。。

Paralogistic分布只有正数阶矩，而对数正态分布都有，所以Paralogistic分布比对数正

态分布有更厚的尾部。

逆指数分布没有A21的k阶矩，而指数分布都有，所以逆指数分布与指数分布有更厚的

尾部。。

12、

证明：单参数帕累托分布的危险力函数用下面的公式很容易计算，

即，

InS(x)=a(in8-Inx)

dInS(x)2

dxx

这是一个递减的函数。对于伽马分布，注意到

1力」："(x+y)力

〃(““X)小)’

因此当y给定时，若〃x+y)//(x)对于x递增，则l/〃(x)对于x递增，也就是说，随机

变量的危险率函数是递减的。对于参数a=2,8=500的伽马分布，

〃x+y)(x+y-e®楸(y\

因此〃(x)对于x是严格递增的,这是一个薄尾分布。

第一章习题解答

1.X服从一个参数为a和。的双参数帕累托分布，已知:

（v\

y=In-+1

I。J

求卜的分布。

解：

（X

y=I1n-F1

I。）

x=6伫-1)

耳⑺=G(。(，-1))

[6+8(/—/

=1-丁⑷

所以y的分布是一个参数。=1/。的指数分布

2.已知：（1）X服从均值为2的指数分布；（2）Y=T1-5；计算后［丫2］

解:使用L=矛5的代换来计算指数分布的三阶距更为简单。

=3!^=6值)=48

3.X服从一个参数为a=2.5和。=10的伽马分布。V=1/1，计算上ir（Y）

解：我们来计算£田和外片］,或者少［『］和£［『］,注意到TABLE中用于伽马分

布整数阶距计算的公式少［才［=6"（a+A-1）a。这个公式值提供了当左是一个正

整数的情况，所以不能够用来计算T和-2阶矩。由此，我们必须使用TABLE中更为一般化

的公式，

ekv(«+A)

31=r«

对于A=-1,即为

£E="？犷)=Unj

因为「(a)=(a--1),对于女=-2,

1

E

(«-1)(«-2)

所以,

11

=0.00888889

102(1.5)(0.5)110(1.5),

4.损失服从一个均值为10和方差为300的帕累托分布。计算风险水平为95%和99%时的

VaR,

解：设X为损失变量，我们通过他的两阶矩来计算参数a和6,

e

10

a—1

2铲

=400

(a-1)(a-2)

用第一个公式除以第二个，得

2（a-1）

—------L=4,a=3

a-2

将上述结果带入一阶矩的式子，得。=20,帕累托分布的95%分位数满足S（x）=0.05

e

S(x)Y0.05

e+x)

VaR0、=x=34.29

n0.95

类似的，99%的分位数满足S（x）=0.01

VaRun.y0y。=x=72.83

5.损失服从一个e=looo的指数分布，计算99%的在险价值

解：我们设99%分位数的在险价值为X,贝I」，

「looo/*=0.99,x=99499

6.某家保险公司的理赔损失服从一个由两个占同样比重的帕累托分布组成的混合分布，第

一个帕累托分布的参数a=1、。=1000,第二个帕累托分布的参数a=2、

e=woo,计算这个混合分布99%分位数的在险价值。

解：我们需要计算99%的在险价值，这个混合分布的生存函数是两个生存函数的加权平均数,

在分布函数为0.99是生存函数为0.01,设x为99%的分位数,

r1000f1000

S(x)=0.5+0.5=0.01

J000+x,J000+x.

为了方便，设y=1000/(1000+x),

0.5y2+0.5y=0.01

-1+Jl+0.08mnciIZOA

y=-----------------0.01961524

2

因为y必须为正数，所以我们拒绝了方程的负数解。

1000

=0.01961524

1000+x

1000

-1000=49980.76

0.01961524

7.才是一个在[0,100]上的均匀分布，计算”叫.95(才)

解：我们通过方程的方式来解决，对于4，lOOpth的分位数为100。所以,

f100y故

50-45.125

TVaR.95田=-....=97.5

。.95V)1-0.950705

然而，这个结果是很直观的，对于在一个给定的均匀分布95和100之间的条件期望就是它

的中间点。

8.X服从一个均值为1000的指数分布，计算7后勺95(4)和7%或).99(刀。

解：使用公式，

TVaR^=1000(1-In0.05)=3996

1000

95=(1~In0.01)=5605

9.X是一个用来表示损失的随机变量。X服从一个参数为。=1000,a=2,6=1

的贝塔分布。计算7侬勺go(1)。

解:这个贝塔分布的密度函数为/'(x)=2x/1000)0WxW1000。首先我们计算90%

的分位数，

尸(才)=L-]=0.9,x=100075??

I，J1000211000J

超出x=iooo®3的部分为,

1000Q2j

(l-p)^0.90(J)=jW=97.4567

除以1—p=0.1,我们得到974.567o

同样的结果可以通过方程解出，

整合可得，

3/2

'r2000(1-0.9

(1-P)TVaR^(J)=1000J6力=——-------

0.93

io.对于服从分布£,概率密度函数为4的随机变量储与服从分布“，概率密度函数为《

的随机变量"2,如何判断两种分布的尾部。

解：(1)4趋于有比/更多的正数阶矩。

(2)两个概率密度函数的比值£/与会趋于无穷。

(3)占的危险力函数比42的危险力函数增长速度更快。

(4)4的平均剩余寿命比4的平均剩余寿命增长更快

11.使用合适的指标比较下列分布的尾部：(1)Loglogistic分布与伽马分布;

(2)Paralogistic分布与对数正态分布(3)逆指数分布与指数分布

解：Loglogistic分布只有正数阶矩，而伽马分布都有，所以Loglogistic分布与伽马分布

有更厚的尾部。。

Paralogistic分布只有正数阶矩，而对数正态分布都有，所以Paralogistic分布比对数正

态分布有更厚的尾部。

逆指数分布没有A21的k阶矩，而指数分布都有，所以逆指数分布与指数分布有更厚的

尾部。。

12.已知才的密度函数为f(x)=500000//，x>500(参数a=2的单

参数帕累托分布)，V的密度函数为g(y),g(y)=ye-"5oo/250000(参数

a=2,Q=500的伽马分布)。证明基于危险力检验，X比V厚尾。

解：单参数帕累托分布的危险力函数用下面的公式很容易计算，

/、dInS(x)

即,

InS(x)=a(inInx)

dInS(x)_2

dxx

这是一个递减的函数。对于伽马分布，注意到

1力J：/(x+y)力

力(X)/(X)“X)'

因此当y给定时，若/(x+y)//(x)对于X递增，则l/〃(x)对于X递增，也就是说，随机

变量的危险率函数是递减的。对于参数a=2,6=500的伽马分布，

〃中)_--讶中9r

/(x)-Xa-'e-xiex)'

因此〃(x)对于X是严格递增的,这是一个薄尾分布。

第二章习题答案

1、4%

2、0.099

3、12.5

4、35,50%,52.5

5、1.435

6、119.71

7、1.115

8、58.3

9、324,5.82%

10、1.94

11、0.436

12、0.8

13、6

14、0

15、990944

16、0.13

17、2000

18、0.625

19、175

20、

(X-40)+-0.25(X-60)+-0.75(X-80)+

=X-(XA40)-0.25[X-(XA60)]-0.75[X-(XA80)]

=0.75(XA80)+0.25(XA60)-(XA40)

第二章习题解答

1、假设某险种在2019年的实际损失额服从离散分布，P(X=1()00%)=1/6,%=1,,6。

保单上规定每次损失的免赔额为1500元。假设2019-2020年的通货膨胀率为5%,2020

年的免赔额提高为1600元，求2020年的每次赔偿的理赔额期望是多少。与2019年相

比，增长率是多少？

解答：由X的分布计算得到：

E(X)=/+2+3+4+5+6)x1000=3500

£(XA1500)=-X1000+-X1500=1416.667

66

1<八八八51600一”LCC

=—x10004—x----=1436.508

661.05

2019年的每次事故的理赔额期望为

E(X)-E(X/U500)3500-1416.667

02009)(0==2500

1-7^(1500)

「I

2020年的每次事故的理赔额期望为

1.05E(X)—E[X人然

1.05(3500-1436.508)

戌°⑼(丫)——-------：--------L=2600

16001-i

l-Fx

L056

E(20l0)(y)_2600

E(2oo9)(y)-25OO

故增长率为4%

2、假设某险种的实际损失额X的分布函数为/(x)=().()4xe<2，，%>0。已知免赔额为30,

求每次损失事故中的平均赔付额E(一)。

解答：

【方法一】

由X的密度函数知，X服从参数c=2,8=5的伽马分布。

E(X)=5x2=10

由伽马分布的性质知

E（XA30）=2X5F（3;6）+30[1-F（2;6）]

其中

2ap*

“3;6）=1—1—250

j=0J-

F（2;6）=l-（1+6）6飞=1-71

故

£（XA30）=2x5F（3;6）+30[l-r（2;6）]=10-40^

又

G（30）=r（2;6）=l—7e«

故每次损失事件赔付额的期望为

£（片）=E（X）-£（X△30）=10-（10-40^）=40l=0.099

【方法二】

若不熟悉伽马函数的性质，则先计算

F（x）=[0.04xe~°-2xdx=l-（0.2x+l>-°'2v

Jo

E（X人30）=^°（1-F（x））^k0.2xe^2xdx+^e^2xdx=10-40e-6

故每次损失事件赔付额的期望为

£（/*）=£（X）-E（XA30）=10-（10-40^）=4（^=0.099

3、设某险种的实际损失额为才，E(X)=500。当免赔额为d时，投保人的损失消失率为:

E[X^d]

LER（d）=

E[X]

当d=200时，己知LE/?（200）=25%且P（X<200）=0.4。求E（X|X<200）。

解答:

£（XA200）及E（X）=500得

由L£/?（200）

E（X）、'

E（XA200）=125

又因为

E[XA200]=E[X△2001X〉200]P(X>200)+£[XA200|X<200]P(X<200)

=0.6£[XA200|X>200]+0.4£[XA200|X<200]

=0.6x200+0.4E(X|X<200)

=125

E(X|X4200)=12.5

4、假设某险种的实际损失额的分布满足下面的性质:

X

F(x)E(XAX)

50.53

100.66

150.71.7

22.50.89.5

32.50.911

00120

(1)已知免赔额为10,求理赔额的期望。

(2)现将免赔额提高到使得P(X>d)=0.5xP(X〉10),求理赔额提高的比例。

(3)若明年的通货膨胀率为50%,免赔额为15,求理赔额的期望。

解答：(1)由表中的数据得

E(X)=E(XA8)=2O

E(XA10)=6

&(10)=0.6

故理赔额的期望为

E(X)—E(X/U0)=14=35

%)1-&00)

(2)因尸(X>10)=().4,故

P(X>d)=0.2,即d=22.5

尸修「£”)-£(*人22.5)20-9.5

(l-^(22.5)~1-0.8一'

理赔额提高比例：空—1=50%

35

(3)若明年的通货膨胀率为50%,则明年理赔额的期望等于

20-E（XA^!）

E（X）-E（XA10）

E（y）=i.5=1.5x—=52.5

1-尸（竺）i-KO。）0.4

1.5

5、已知某险种的实际损失额的分布为对数正态分布，〃=5和b=2,每年平均有10起损

失事件发生。已知今年免赔额为1500元。若明年的通货膨胀为20%,免赔额保持不变。

明年平均将会有多少起理赔事件发生？

解答：

由题意知lnX~N（5,22）,则

P（1.2X>1500）=P（lnX>lnl500-In1.2）

_//lnX-5〉lnl500-lnl.2-5

一1~2->2-

=P[N（0,l）>1.065]

=1-0（1.065）

=0.1435

故

E（7V）=O.1435xlO=1.435

6、假设某保险的损失额服从指数分布:

fxM

150

保单规定免赔额为100元，赔偿限额为1000元，比例分担系数为0.8。计算风丫）和E（y*）

解答：

X的分布函数为/面，由公式

E（X/\d）=J：（I—尸（x））心=150（1—/瓦）

得

E（X△100）=150“—J%。）=72.987

E（XA1000）=150（1—e'"%5o）=149809

故每次损失事件的实际平均赔付额

E（y*）=a[E（XA1000）-E（XA100）]=0.8（149.809-72.987）=61.46

每次赔偿事件的实际平均理赔额

W)61.46

119.71

E")=i-fx(ioo)

7、某险种保单在2019年的损失额X满足下面的分布性质：

E(X人d)=-0.025/+1.4751-2.25,J=10,11,12,...,26

假设2020的保单损失额比2019年提高10%。保单规定赔偿高于免赔额11的全部损失，

最高的赔偿金额为11。计算2020年的平均理赔额与2019年平均理赔额之比。

解答：

设X表示2019年的损失额，Y表示2020年的每张保单的赔付额。由保单规定赔偿

高于免赔额11的全部损失，最高的赔偿金额为11知

0,X<11

y=<X-ll,11<X<22=(XA22)—(XAll)

11,X>22

则

£(r)=E(XA22)-E(XA11)

=(-0.025x222+1.475x22-2.25)-(-0.025xlI2+1.475xll-2.25)

=(18.10-10.95)

=7.15

在2020年，由于2020的保单损失额比2019年提高10%,但免赔额和最高赔偿金

额没有变化，因此2020年的保单赔付额可以表示为

'0,

y=<1.1X-11,11<1.1X<22=1.1[(XA20)-(XA10)J

11,1.1X>22

£(y)=l.l[E(XA20)-E(XA10)]

=l.l[(-0.025x202+1.475x20-2.25)-(0.025xlO2+1.475x10-2.25)]

=1.1(17.25-10)

=7.975

因此，2020年的每张保单的平均赔付额与2019年的平均赔付额之比为龚=1.115

7.15

8、设某险种一张保单的实际损失的分布函数为：

/(%)=0.02(1-q+qx0.02x)e,°2',x>0

假设保单规定免赔额为100,则理赔额的期望为200o若免赔额提高到200,理赔额的期望

等于多少？

解答：

由损失的分布密度函数知，X的分布由指数分布和伽马分布混合而成的分布，即

f(x)=(1-4)(0.02-°°2，)+q(0.022

X的分布函数为

Hx)=1/(y)dy=1—(1-—q(0.02x+1)/必

*0

对于免赔额d,理赔额Y=X-d|X〉d的分布密度函数为

0.02(1-g+q0.02(x+初产仔？x>0

(1-q)e-002d+q(0.02d+l)e^02d

0.02(1-q+q0.02(x+4))6~°皿

(1—q)+q(0.02d+1)

1-4+0.02“O0213,+/r\fv*)\2、.c-0.02x

(0.02)xe

(l-q)+q(0.02d+l)-(l—q)+q(0.02d+l)

Y的分布由指数分布和伽马分布混合而成的分布。当d=100时,

\+q\+q

解得q=l/4

当d=100时，有

E(K)=―1-"°皿"—50+--------4----------100

(1—q)+q(0.02d+1)(1一q)+q(0.02d+1)

1—g+2q

l+2(7l+2q

9、设某险种在2019年的每份保单损失为X,对OWdVIOOO,有下列关系式成立:

E[XAd]=(200(W-d2)/2000

若保单规定保险人支付损失超过100元部分的80%,保单限额为1000元。

(1)每张保单的平均赔付额是多少。

(2)假设2020年该险种的每份保单损失提高5%,每份保单的平均支付额相应提高多大比

例。

解答：

(1)设片表示保单的赔付额，由题意得,

0x<100

y*=<0.8(x-100)100<x<1000

0.8x900=720x>1000

故

E(y*)=0.8E[(1000AX)-(XA100)]

=0.8[E(1000AX)-E(^A100)]

=0.8(500-95)

=324

(2)2020年赔付额的期望为

E[^010)]=0.8E[(1000A1.05x)-(1.05A:A100)]

S]

=0.84(498.866-90.703)

=342.857

与2019年相比提高的比例为

342.857-324

x100%=5.82%

324

10、己知如下条件：

(1)损失服从对数正态分布，参数为〃=5,。=2；

(2)免赔额为1000；

(3)每年预计的损失次数为10次；

(4)损失次数与个体损失额互相独立。

如果所有的个体损失额都提高20%而免赔额不变，求每年超过免赔额的平均损失次数。

解答：设损失额为X,则InX服从参数〃=5,b=2的正态分布.故

P(1.2x>1000)=P(lnx+In1.2>In1000)

=P(lnx>lnl000-lnl.2)

_(Inx—5〉InlOOO—lnl.2-5

-I-2->

=1,-不nn—nl000—2l—nl.2—5J)

=1一①(0.863)

=0.194

故每年超过免赔额的平均损失次数为

E(N)=0.194x10=1.94

11、损失额服从威布尔分布，参数7=2,。未知。一个保险人设定保险限额为100元。已

知50%的损失事件的损失低于限额100元。但由于通货膨胀，所有损失额上升10%,求损失

额仍低于100元的损失事件的百分比。

解答：G(100)=l—eY°°@2=05.6=120

经过10%的通涨，y=l.IX,K(100)=工(詈)=1—e-a°°"32)2=0436。

我们可知道经过比例变换，V仍服从参数7=2,9=132的威布尔分布。

12、己知(1)损失服从指数分布；(2)今年的损失消失率/欧为70%；(3)明年的免赔额是

今年的免赔额的4/3,求明年的损失消失率LER。

解答：假设E[X]=①根据指数分布的分布可知£[X/\d]=6(1—0-"').则今年的

LER=*1=如户—因此小心

明年免赔额为4d/3,但X的分布不变，因此明年的

aXA4d/3]

LER==1一(0.3严=0.8

E[X]0

13、已知随机变量X：P(X=3)=P(X=12)=0.5和仇〃(X)]=3,求d。

解答：已知X的取值都23,于是

0X<d,p=0.5

"(X)=>tE[l(X)]=(12-JX0.5)=3-d=6

i2-dX>d,p=0.5d

14、损失服从均值为100的指数分布，一个保险人正考虑以下两种保险：

(1)免赔额为20；

(2)免赔额为50；

保险人对每一种保险分别计算了理赔额的偏度系数，分别为q和C2,则比J低百分之多少？

解答：已知指数分布<0)=,"血，以及分布工(x)=l-e7冶。因此X'的密度为

0

fx(y+d)上------^0->ie,可以看出也是均值为。的指数分布，和

&(>')=e

l-K(d)1_(一°

免赔额无关，因此q=C2,答案为0.

15、损失服从均值为1000的指数分布，某保险公司设免赔额为100。求赔付额片的方差.

解答：要求片=(X-1OO)+的方差，即司»］-(4匕2］-。对于一个指数分布，由于无记

忆性，理赔额丫"也是服从均值为9=1000的指数分布。同时我们也知道

仇(X—〃)+]

E[YL]=E[X-d\X>d]=

P(X>d)

和仇4]=E[(x-d)2\x>d]=

因此,由a％]=。和仇岩]=2。2可得顼yj=E[(X—d)+]=EU；]*P(X>d)=

3ed,e

E[Y^]=E[(X-d)l]*P(X>d)^2e2ed'°.由题中8=1000和d=100,我们有

22,00/1000,o,/l,,02

Var(YL(£[7；])=2(1000)e--(lOOO^*°)=990944

16、假设损失随机变量X服从均匀分布U［0,80］,现有两种类型的保险单:

(1)免赔额为10,收取保费为每份保单平均赔付额加上14.6；

(2)全额赔付,收取保费为(1+))。

两个险种所收保费相同，求女。

「

［80(x-10)(1/80)公+14.6=45.225=40(1+Qf%=0.13

解答：J1°

17、一位保险人发现，对于某一种保单，当损失额大于1000时，超过1000的平均损失额为500。

保险人假设损失服从［0,C］的均匀分布，其中01000。求C。

解答：若损失X服从［0,C］的均匀分布，则条件密度

/(x)

f(x|X>1000)=-----———=l/(c-1000),(1000<x<C),这说

P[X>100J(c-1000)/C

C-1000令中二5。。可得

明条件密度是［0,01000］上的均匀分布，均值为

2

02000.

18、2019年的损失服从a=2和6=5的帕雷托分布。2020年损失比2019年总体上升20%。一

份保单免赔额为10o求2010年的损失消失率LERo

解答：设X为2009年的损失随机变量，则2010年损失为1.2X。2010年的

IN1.2£[XA-]£[XA-]

LER=E[LO2VX/U0]=1.2=L2

,£[%]=—=5,

E[1.2X]1.2£[X]E[X]2-1

EfXA—1=-^-—)2-1]=3.125.因此LER=3.125/5=0.625.

1.22-110「

1.2

19、损失X服从帕雷托分布，参数a=2,。未知。

已知：E[X-100|X>100]=|£[%-50|X>50]；求£[X-150|X>150]。

解答：帕雷托分布为F(x)=l-f—1_和目x]=一岂，

U+(?JU+6»Ja-1

f\

以及讥XAC]=——,因为a=2。

a-\

因此

E[X]-E[XAIOO][16+100J

…OIX"空瑞1

I-F(IOO)"(eV

1/9+100J

，最后化简为100+6。同理，£[X—50|X>50]=50+8。由已知条件100+6=(5/3)

(50+6),因此6=25。£[X-150|X〉150]=150+25=175。

20、一份保单对损失额X的免赔额为40。保单还有以下条件：若损失位于区间(40,60],则

赔偿40以上的部分；若损失在(60,80],赔偿20加上超过60部分的75机若损失超过80,

则赔偿35。假设均匀分布X服从U[0,100],求一个合适的“，用E[X]和E[XA〃]表示赔付

额。

0X<40

X—4040<X<600XV40

解答：由题知丫'=<(X—40)+={

20+0.75(%-60)60<X<80+X-40X>40

35X〉80

对于X<60成立。如果我们减去0.25(X-60)+,

0X<40

有(*一40)+—0.25(乂-60)+=«X—4040<X<60

(X-40)-0.25(X-60)=20+0.75(X-60)X>60

如果减去0.75(X—8())+,我们有

(X-40)+-0.25(X-60)+-0.75(X-80)+

0X<40

X-4040<X<60

这就是赔付额

20+0.75(%-60)60<X<80

20+0.75(X—60)—0.75(X-80)=35X>80

因此

(X-40)+-0.25(X-60)+-0.75(X-80)+

=X—(X△40)—0.25[X-(XA60)]-0.75[X—(XA80)]

=0.75(XA80)+0.25(XA60)-(XA40)

第三章习题答案

1、0.4695

2、0.29

3、0.938

4、〃=2,尸=1.536的负二项分布

5、0.449

6、0.0165B-L平均来说，每六十年会出现一年中有4张或以上的保单会发生损失

60

7、7

8、2.4

9、90(E⑸=30,Var(S)=60)

11、0.26412

12、5/3

第三章习题解答

1、已知lp(O<p<l),N服从几何分布，且P(N=O)=p,如果P服从［0.5,0.9］上的均匀分

布，求E(N)。

解答：几何分布的均值满足E(N)=V=匕"，其中p服从U[O.5,0.9]

PP

则E(N)=「：7x-^dp=3x(Inp—p琛=0.4695

2、对于一个离散分布，有如下特征：

(1)〃£=C(1+7)0T#=1,2,3...

K

(2)〃()=0.5

求Co

解答：已知'=c(l+■!■)«=1,2,3…即对于(。功,0)分布满足2=＞工0,可判断分布为

Pk-\k

负二项分布，a---,b-―—皿，且a=b,则r=2

1+41+0

Po=(1+夕)-2=0.5,解得£=0.414,c=-^―=0.29

3、假设经过旅馆的汽车的数量服从泊松分布，每个小时有20辆汽车经过旅馆，其中30%是

卡车，请计算从下午12点到下午1点间至少有3辆卡车经过旅馆的概率。

解答：经过旅馆卡车数满足参数为入=20*0.3=6的泊松分布满足

乃

Pk=P(N=K)=e"—,k=1,2,3…,2>0

k!

则，在一个小时内至少三辆卡车经过旅馆的概率为

P=P(NZ3)=l-P(N=0)—P(N=l)-P(N=2)=l-eF-e-6xi-eFx王

=0.938

4、假设某险种的损失X服从帕雷托分布，。=3,8=1()0()即/(刈=上出］。若保单

(x+1000)

规定免赔额为250元。假设损失次数N服从负二项分布，r=2,4=3,求理赔次数的

分布。

100()3

解答：设理赔次数为N*。由已知损失额X的分布函数为尸（x）=l-

(x+1000)3

因此索赔的概率为y=P（X>250）=0.512。

则N*的分布为，舄（）={1_3[[1+0.512（-1）[-1『=[1_1.536（-1）「

由上可知，理赔次数服从r=2,4=1.536的负二项分布。

5、一群人被等分为两个等级的驾驶员。每个驾驶员发生事故的次数服从泊松分布。对于等

级一的驾驶员，期望事故次数服从U[0.2,1],对于等级二的驾驶员，期望事故次数服从

U[0.4,2],从这群人里随机抽取一人，求这个人发生事故次数为0的概率。

解答：P[N=0]=P[N=01等级一]XP[等级一]+P[N=01等级二]XP[等级二]

P[N=01等级一]=J；P[N=01等级一,0力(2)4/1=J：e"点〃1