（应用数学专业论文）具有弱正规结构的一类banach空间.pdf

哈尔滨理- t 大学理学硕 ：学位论文 具有弱正规结构的一类b a n a c h 空间 摘要 为了研究b a n a c h 空间的不动点性质，人们引入了许多b a n a c h 空间的几 何性质本文主要对一般b a n a c h 空间的若干凸性及其相关的性质进行了讨 论，并将相关性质在o r l i c z 空间进行刻画全文共分四个部分，主要工作 总结如下： 首先，回顾b a n a c h 空间理论的发展过程，列出了与本文有关的概念和 性质，并展示了本文各部分所讨论的内容，背景和意义 本文第二部分讨论了平均凸性与某些重要的b a n a c h 空间几何性质的关 系证明了平均弱局部一致凸的b a n a c h 空间具有( w m ) 性质：以及平均 一致凸的b a n a c h 空间具有b a n a c h s a k s 性质：弱序列完备的平均弱一致凸 的b a n a c h 空间是自反的：同时也证明了平均一致凸的b a n a c h 空间具有正规 结构 本文第三部分讨论了b a n a c h 空间的弱( 卢) 性质众所周知，( 卢) 性质是 很重要的一个几何性质它在不动点理论中起着重要的作用文中引入了一 个新的性质弱( ) 性质进而讨论其相关性质及与其它已知性质之间的关 系证明了弱( ) 性质蕴含弱正规结构和弱b a n a c h s a k s 性质本部分还讨 论了o r l i c z 序列空间中的弱( ) 性质证明了么t o ) 具有弱( ) 性质的充要条 件是西反且甲反 本文第四部分讨论了o r l i c z 序列空间的s c h u r 性质以及m u s i e l a k o r l i c z 序列空间中的弱收敛序列系数证明了具有s e m i f a t o u 性质的k 6 t h e 序列 空间x 具有s c h u r 性质的充要条件是x 具有弱s c h u r 性质同时也给出了 m u s i e l a k o r l i c z 序列空问弱收敛序列系数的计算公式 关键词m u s i e l a k o r l i c z 序列空间；平均一致凸；( ) 性质；正规结构； b a n a c h s a k s 性质 哈尔滨理丁大学理学硕卜学位论文 s o m eb a n a c hs p a c e sw i t hw e a k l y n o r m a ls t r u c t u r e a b s t r a c t t os t u d yt h ef i x e dp o i n tp r o p e r t yi nb a n a c hs p a c e s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n s h a v ei n t r o d u c e dm a n yg e o m e t r i cp r o p e r t i e s i nt h i sp a p e r , w ep a i do u rm a i n a t t e n t i o nt od i s c u s ss o m ec o n v e x i t i e sa n dr e l a t e dp r o p e r t i e si ng e n e r a lb a n a c h s p a c e s m o r e o v e r , c r i t e r i o no fs o m er e l a t e dp r o p e r t i e sw e r ea t t a i n e di no r l i c z s p a c e s t h ec o n t e n to ft h i sp a p e rh a sf o u rp a r t sa n dm a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ： f i r s t ，w er e c a l l e dt h ed e v e l o p m e n th i s t o r yo nt h e o r yo fb a n a c hs p a c e s m e a n w h i l e ，w eg i v e ns o m er e l a t e dd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e s w ea l s os h o w e dt h e c o n t e x tb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c ei n v o l v e di nt h i sp a p e r s e c o n d ，w es t u d i e d t h er e l a t i o n sb e t w e e na v e r a g ec o n v e x i t ya n ds o m e i m p o r t a n tg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fb a n a c hs p a c e s w eh a v ep r o v e d t h a tab a n a c h s p a c ew i t hw e a k l ya v e r a g el o c a l l yu n i f o r mc o n v e x i t yh a s ( w m ) p r o p e r t y a b a n a c hs p a c ew i t h a v e r a g eu n i f o r mc o n v e x i t yh a s b a n a c h s a k sp r o p e r t y a b a n a c hs p a c ei sr e f l e x i v ei fi ti sw e a k l ys e q u e n c ec o m p l e t ea n dw e a k l ya v e r a g e u n i f o r mc o n v e x i t y i nt h es a m et i m e ，w eh a v ep r o v e dt h a tab a n a c hs p a c ew i t h a v e r a g eu n if o r mc o n v e x i t yh a sn o r m a ls t r u c t u r e t h i r d ，w et a l k e da b o u tt h ew e a k ( 户) p r o p e r t yo fb a n a c hs p a c e s a sw ea l l k n o w n ，( ) p r o p e r t yi s av e r y i m p o r t a n tg e o m e t r i c p r o p e r t yb e c a u s et h a tt h e p r o p e r t yi sc l o s e rw i t ht h ef i x e dp o i n tp r o p e r t y i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c e da n e wp r o p e r t y , n a m e l yw e a k ( ) p r o p e r t y w eh a v es t u d i e ds o m er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nw e a k ( ) p r o p e r t ya n ds o m eo t h e rg e o m e t r i cp r o p e r t i e s w ep r o v e d t h a tw e a k ( ) p r o p e r t yi m p l i e sw e a k l yn o r m a ls t r u c t u r e i nt h i sp a r t ，w ea l s o s t u d i e dt h ew e a k ( p ) p r o p e r t yi no r l i c zs e q u e n c es p a c e s w eh a v ep r o v e dt h a t 如( 瞄) h a sw e a k ( ) p r o p e r t y i fa n do n l yi f 乏a n d 甲疋 l a s t ，w es t u d i e ds c h u rp r o p e r t yi n o r l i c z s e q u e n c es p a c e s a n dw e a k l y c o n v e r g e n tc o e f f i c i e n ti nm u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e s w eh a v ep r o v e d i i 哈尔滨理t 人学理学硕f j 学位论文 t h a tk 6 t h es e q u e n c es p a c ew i t hs e m i f a t o up r o p e r t yh a ss c h u rp r o p e r t yi fa n d o n l yi fi th a sw e a ks c h u rp r o p e r t y a n dw eg a v et h ef o r m u l ao fw e a k l y c o n v e r g e n tc o e f f i c i e n ti nm u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e s k e y w o r d s m u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e s ；a v e r a g eu n if o r mc o n v e x i t y ；( p ) p r o p e r t y ；n o r m a ls t r u c t u r e ；b a n a c h s a k sp r o p e r t y i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文具有弱正规结构的一类b a n a c h 空间，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研 究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或 撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：楔l 面匆l 日期：删年罗月7 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 具有弱正规结构的一类b a n a c h 空间系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士 学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大 学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理 工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：、 同覆日期：2 0 0 6 年岁月7 日 新躲诖幻吼诽圳j 7 日 哈尔滨理t 大学理学硕 ：学位论文 第1 章绪论 1 1 本课题的学术背景及其理论与实际意义 b a n a c h 空间几何理论是泛函分析的一个重要研究方向，它是自然科学领域 中多种学科的理论基础和重要工具，一向以高度的抽象性和应用的广泛性著称 由于理论和应用的发展需要，近年来它受到人们普遍重视并得到蓬勃发展，人 们已经成功地将其应用到了概率论、调和分析、微分方程等学科 各种凸性和光滑性的研究与最佳逼近、不动点理论密切联系在一起1 9 6 5 年，w a k i r k 证明非扩张映像的不动点存在与空间的一种叫正规结构的几何性 质有关随之，人们又进一步探讨使非扩张映像的不动点存在的各种有关的空 问几何结构，引入具有各种性质的b a n a c h 空间促使b a n a c h 空问的理论进一 步发展 1 2 国内外文献综述 自从1 9 3 2 年波兰著名数学家s b a n a c h 的著作t h e o r i d e so p e r a t i o n s l i n e a i r e s 出版之后，人们开始了b a n a c h 空间理论的系统研究1 9 3 7 年， j a c l a r k s o n 首先引入了一致凸b a n a c h 空间的概念c l a r k s o n 开创了从b a n a c h 空间单位球的几何结构出发来研究b a n a c h 空间性质的方法上个世纪6 0 年代 以来，b a n a c h 空间理论，包括它的几何理论，取得迅速的发展许多著名的古 典问题得到了解决，同时许多数学家证明了有关b a n a e h 空间的重要定理例 如，a c j a m e s 花费了2 0 年的时间，于1 9 7 2 年以较简单的方法证明了b a n a c h 空问自反的充要条件为每个连续线性泛函达到它的范数还有从支撑点和端点 的思想出发来刻划线性泛函性态的b i s h o p p h e l p s 定理、k r e i n m i l m a n 定理以 及c h o q u e t 定理等此外，人们还根据其它数学学科的需要，从各个不同的角 度出发对b a n a c h 空间进行深入研究，促使b a n a c h 空间理论( 包括它的几何理 论) 的面貌日新月异地变化 1 9 3 2 年o r l i c z 给出了o r l i c z 空间的定义日本数学家n a k a n o z a i 在1 9 5 0 年引进了模范数，并对模空间的一般理论进行了深入的研究，发展了以o r l i c z 空间为特例的模半序空间理论，其成果集中收集在他写的模半序线性空间 哈尔滨理工人学理学硕卜学位论文 一书中1 9 5 5 年，w a l u x e m b u r g 在他的博士论文中为o r l i c z 空间引入等价的 l u x e m b u r g 范数【4 1 ，并对o r l i c z 空间性质进行了深入的讨论，极大地推进了空 间理论的研究与此同时，m a k r a s n o s e l s k i i 和y a b r u t i c k i i 为了求解非线性 分析若干问题，系统的研究了由不满足疋条件的o r l i c z 函数生成的o r l i c z 空间， 并于1 9 5 8 年出版了第一本关于o r l i c z 空问理论的专著凸函数与o r l i c z 空 间，并总结了以前特别是他们本人的工作，这一专著的出版标志着o r l i c z 空 间理论已基本形成 上个世纪7 0 年代，j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i f i 用空间引入常数的方法对 o r l i c z 序列空间的基和同构问题进行了一系列的讨论，得到了许多重要的结果 之后，波兰的数学工作者进一步研究了模空间的一般理论和o r l i c z 空间的几何 结构 上个世纪8 0 年代以来，在所有从事o r l i c z 空间研究的数学工作者的共同 努力下，使o r l i c z 空间理论特别是几何理论得到了长足发展值得一提的是吴 丛j 圻，王廷辅两位先生的( ( o r l i c z 空间及应用i s ，吴丛圻，王廷辅，陈述涛 和王玉文的( ( o r l i c z 空间几何理论1 6 ，以及陈述涛的( ( g e o m e t r yo fo r l i c z s p a c e s ) ) 这三部专著的相继问世，极大地丰富了o r l i c z 空间理论特别是几何理 论，使之更加完善、更加系统，也使哈尔滨成为o r l i c z 空间的研究中心之一 同时，它的应用范围也不断扩大，已渗透到了积分方程、偏微分方程以及逼近 论、概率论和控制论等许多数学分支 由于生成函数的复杂性，m u s i e l a k o r l i c z 空间几何性质的讨论还有待于深 入和发展 1 3 本研究课题的来源及主要研究内容 本课题来源于指导教师的国家自然科学基金项目和本人承担的黑龙江省研 究生创新基金项目 本文主要研究了具有弱正规结构的一类b a n a c h 空间：同时对o r l i c z 序列 空间的若干与不动点有关的几何性质进行了讨论，给出它们的简明判据及其间 的内在联系具体研究内容如下： 一b a n a c h 空间的平均凸性 自从1 9 3 6 年m i l m a n 引入了严格凸，1 9 3 7 年c l a r k s o n 引入了一致凸概念 以来，b a n a c h 空间几何理论得到了广泛、深入地研究，特别是1 9 6 5 年 哈尔滨理t 大学理学硕 ：学位论文 w a k i r k 证明了具有正规结构的b a n a c h 空间具有不动点性质以来，b a n a c h 空 间理论在逼近论、控制论、不动点理论、积分方程，调和分析等众多领域都有 了重要的应用，为应用学科展示出了广阔的前景 众所周知，一致凸的b a n a c h 空间蕴含b a n a c h - s a k s 性质而b a n a c h s a k s 性质又是b a n a c h 空间理论中的重要性质1 9 9 5 年白国仲引入了平均一致凸的 概念并证明了具有平均一致凸的b a n a c h 空间是自反的且具有可逼近性质从 那时起，有很多人相继引入了平均( 弱) 局部一致凸、平均强暴露点等诸多 平均凸性，并研究了它们之间的关系 二b a n a c h 空间的弱( ) 性质 r o l e w i c z 引入了( ) 性质，d k u t z a r o v a e m a l u t a s 。p r u s 证明了具有( ) 性 质的b a n a c h 空间的对偶空间具有正规结构崔云安，h u d z i k 证明了具有( ) 性质的b a n a c h 空间不但其自身具有b a n a c h s a k s 性质而且其对偶空间也具有 b a n a c h s a k s 性质本文将引入一个新的几何性质弱( ) 性质，并讨论弱 ( ) 性质与某些重要的几何性质之间的关系，同时给出了o r l i c z 序列空间具有 弱( ) 性质的等价条件 三m u s i e l a k o r l i c z 序列空间中的弱序列收敛系数 1 9 8 2 年，b y n u m 在讨论空间具有正规结构性质时引入了弱序列收敛系数， 并证明了若b a n a c h 空间的w c s ( x ) 1 ，则该空间具有弱正规结构，从而具有 弱不动点性质1 9 9 7 年，张广禄证明了b a n a c h 空间的弱序列收敛系数 w c s ( x ) - - i n f 江( 协。 ) ： 以) c 7 s ( x ) ，与o 1 9 9 9 年，王廷辅和崔云安两位教授给出了 o r l i c z 序列空间弱收敛序列系数的计算公式本文将该结果推广到m u s i e l a k - o r l i c z 序列空间中 哈尔演理丁大学理学硕卜学位论文 1 4 预备知识 本文记及尺分别为自然数集与实数集：厶为实序列空间以x 表示 b a n a c h 空间，s ( x ) ，b ( x ) 分别为x 的单位球面和单位球，x 为石的对偶空 间 定义1 4 1 映射：r 一 o ，0 0 ) 是0 r l i c z 函数，如果满足： ( 1 ) b ) 0 ，( o ) = 0 ： ( 2 ) 偶函数； ( 3 ) 凸函数： ( 4 ) 不恒等于零 定义1 4 2o r l i c z 序列空间是指线性集 k = x ，。：l ( 既) = ( 蹦( 啪 0 l i = 1 j h m ： x z 。：l ( c x ) ：呈( 戗( f ) ) o ， l i = 1 j 被赋予l u x e m b u r g 范数：i lzi i = i n f t 占 0 ：i 。( 三) 1 或者 i占j o r l i c z 范数：i i x l l 0 = i n f t l ( 1 + i o ( 缸) ) ：k 0 形成的b a n a c h 空间为了方便起见， l i 我们记如，如。分别为赋予l u x e m b u r g 范数和o r l i c z 范数的o r l i c z 序列空间或 m u s i e l a k o r l i c z 序列空间 对于每一个o r l i c z 函数，我们定义它的余函数： 甲：r 寸 0 ，o o ) ，w ( v ) = s u p ui1 ，l - o ( u ) 对每一个v r 定义1 4 3 吲我们称o r l i c z 函数满足以条件，如果存在常数尼2 及 u o 0 满足 0 。) o ，中( 2 “) 腼0 ) ，l “i 0 ，使得0 ，( “，) 1 引理2 2 1 b a n a e h 空间x 是平均一致凸的，若对任意的扛。) cs ( x ) 满 足l l 半忪1 一毗则艟扎卜劬“咖歹l j 哈尔滨理_ t 人学理学硕h 学位论文 定理2 2 1 看b a n a c h 至1 日j 爿是半均一毁凸的，则x 是目及的 证明：对任意的厂s + ) ，存在b 。 cs ( x ) ，满足厂g 。) 专1 即对任意 m e o ，存在，当m ，甩 时，有厂( ) l 一鲁，厂( 毛) l 一号，从而 2 - 6 是国咖列，故存在j x ，使得 丢喜一工，对上述厂，有厂( 去喜以) = i 荟n 厂k ) 一厂g ) ，由s t 。l z 公式 得g ) = 1 ，再由 a m e s 定理知，x 是自反的 定理2 2 2b a n a c h 空间x 是平均弱局部一致凸的，则x 具有( w m ) 性 质， 证明：对任意的扛。) cs ( ) ，z s ) ，i i 益# i i 专1o o o ) ，因为x 是平 均弱局部一致凸的，所以有吉喜矗x ( 玎专) ，故对于厂s 伍) ，且 几) - 1 ，满足以挚- - 争f ( x ) 刮x i i - 1 劝瓜) 1 g = 1 ，2 ，3 ，) ，因 此有 厂k ) 一1n 一) ，即x 具有( w m ) 性质 定义2 2 3x 是b a n a c h 空间，如果对任意的扛。jcx ，x x ，当 慨| l 寸，x 。山x 时，有矗一x ，则称x 具有h 性质 定理2 2 3b a n a c h 空间x 是局部一致凸的充要条件是x 是平均局部一致 凸的且具有h 性质 证明：必要性，由定义易知l u c j a l u c ； 下证x 具有h 性质： 对任意的扛。) cs ( x b s ( x ) ，且山x ，则对于f s ( x ) ，且 哈尔滨理丁大学理学硕十学位论文 厂g ) = l ，有厂g 。) 一厂g ) ，于是2 卜i f ( x 。) + 厂g 】慨+ x | | x ； i ；l ( i i ) 若口 o ，不妨设酣砷l j 可惭，南酣对为 x 是平均一致凸的，故x 是自反的 因此，若存在o 0 2 ，满足k + z 。0 n ，使得 占。 i ip 。+ g 。1 1 - 1 o ( p 。) + 兀q 。) l _ iy o ( z 。) + 兀( z 。) l 2 故p 。+ q 。l f 一2 ，因为x 是平均弱一致凸的，所以有 三(p。-q。)与ok鲁“” 从而对上述厂，有 。卜厂( 去喜c p i q g l ，) = 去喜( p 。) 一妻喜厂( g 。) 即对任意的占 。，有巨喜。) 一妻喜厂( g 。j 0 ，满足对于x ，y s 伍) ，不等式i l 去g + y ) i i g ( 3 1 ) 定义3 1 2b a n a c h 空间x 被称为是具有弱b a n a c h s a k s 性质，如果对于 每一个弱零序列扛。) cx ，都存在一个子列 z 。) ，它的算术平均值序列 ! ( z 。+ z ：+ z 。) 依范数收敛 l nj 众所周知，具有b a n a c h s a k s 性质的b a n a c h 空间x 是自反的【j 3 】，反之不 真k a k u t a n i 证明了任意的一致凸的b a n a c h 空间x 都具有b a n a c h s a k s 性质 【1 4 j 他还证明了如果x 是自反的b a n a c h 空间而且存在0 ( o ，2 ) ，满足对于每 一个弱收敛于零的序列扛。) cs ( x ) ，都存在以。，以：n ，满2 ：1 1z + 吒：i i 0 ，有 s e p ( x 。) = i n f l lx 。一_ x 。1 1 ：n ，玎 占 定义3 1 4b a n a c h 空间x 称为是接近一致凸的( n u c ) ，如果对于每一 个占 0 ，存在万( o ，1 ) ，满足对于每一个序列p 。 cb ( x ) ，j 印g 。) 占，我们 有 c d n v ( z 。) ) n0 6 泗( x ) 矽 按照【1 5 1 ，对于任意的x 仨s ( x ) ，由x 决定的d r o p 是下述集合 哈尔滨理t 人学理学硕 学位论文 d g ，召( x ) ) = c o n v ( x u 曰( x ” 定义3 1 5b a n a c h 空间x 具有d r o p 性质( d ) ，如果对于每一个与曰( x ) 不相交的闭集c 来说，都存在x c ，使得 d ( x ，b ( x ) ) nc = z r o l e w i c z 证明了如果b a n a c h 空间x 具有d r o p 性质，那么x 是自反的 3 】 对于任意的子集ccx ，我们记a ( c ) 为它的非紧k u r a t o w s m 测度，即满 足c 的直径小于占的有限覆盖的所有占的下确界 g o e b e l 和s e k o w s k i 拓展了一致凸【j 6 】的定义，他们用一个与非紧 k u r a t o w s k i 测度有关的条件代替了条件( 3 - 1 ) ，那就是，b a n a c h 空间x 中 的范数l 是一致凸的( a u c ) ，如果对于任意的占 0 ，存在万 0 ，使得 对于每一个凸集e c b ( x ) ，都有口陋) 占，那么我们有 i n f i f 石l l ：工e ) 0 ， 存在万 0 ，使得 a ( d ( x ，8 ( x ”b ” 这里1 l l 工| i 0 ，存在0 万 0 ，满足对于每一个x b ( x ) 及 x 。) cb ( x ) ，且s e p ( x 。) g ， 都存在一个指数k ，使得 削卜 哈尔演理t 人学理学硕j ：学位论文 3 2b a n a c h 空间的弱) 性质 我们引入一个新的概念弱) 性质 定义3 2 1b a n a c h 空间x 称为具有弱够) 性质，如果对于任意的g 0 ， 存在艿 0 ，满足对于任意的x 召似) 及任何一个弱c a u c h y 列 吒) cs ( x ) ，且 s e p ( x 。) s ，都存在一个自然数尼n ，使得 l 降卜万 定理3 2 1b a n a c h 空间x 具有) 性质的充分必要条件是x 是自反的且具 有弱) 性质 证明：只须证明充分性因为b a n a c h 空间具有弱) 性质，故对于任意的 s 0 ，存在6 0 ，满足对于f t 意的x 日似) 及任何一个弱c a u c h y 列 协。 cb 悸) ，_ 且s e p ( x 。) 占，都存在一个自然数尼n ，使得 降卜万 又b a n a c h 空间x 是自反的，存在 矗 的一个子列，不妨记为其本身，满足其 为弱收敛序列，故为弱c a u c h y 列，因此存在一个自然数k n ，使得 h 卜 证明：对于定义中的s ，万 0 ，：gx 。山x ， ) c 曰) ，_ l f l s e p ( x 。) 占， 则有 i i x l l ! i m i i 半料一艿 一 二 故彳具有u k k 性质 推论3 2 1 若b a n a c h 空间x 具有弱) 性质，则x 具有弱正规结构，从 而具有不动点性质 证明：由定理3 2 2 知x 具有u k k 性质，设ccx 为w 紧闭凸集，则c 哈尔滨理t 大学理学硕卜学位论文 关于自身的c h e b y s h e v 中心a 是非空紧凸集n 7 1 因此么cc ，故c 关于自身的 c h e b y s h e v 半径r o o ，使得 l 降| l 三因为疋，故存在4 o ，使得 “班4 再利用哦存在非，满足隆m 卜注意到： 忙。+ 刈0 艺g 。o ) + x g 谤，+ e og 。( f ) + x g 妣川 i l i = 1 i f f i i o + l 0 哈尔滨理丁大学理学硕f ：学位论文 | f 乇 l l x ( f 弘，+ l l i = 1x 。( f ，8 + | l f 未，o k ，8 l 喜x o k ，+ 芝i = 1 工。( f ，8 i i + 拿 l x + 工。瞧l l + 号 i f - 1 j 下面我们来估计l | 喜工o k + 喜z 。o - f l l k 2 丢喜g g + 三喜g 。g ”+ ，中 又甲岛，故存在6 c 叫，使得l 因此 l 再利用8 2 ，有 必要 2 x 月o ， + 2 o b k g ) + ，ox 。) 2 0 “g 酬 1 一瓯 扎( f ) i = i o + l 2 纠毫z x 胁， ， 一鲁l g 。o 。”一鲁鲁 o 和m n ，都有 ，中似m ) ：l 似。) ，根据皇盟o ( u 哼o ) ，可以找到一个正数 ，使得 丽1l 。) 0 ，存在x 。s ( f 暑) ，满足 i n r k 刚= 等如) 蚶占 1 9 哈尔滨理丁大学理学硕i ：学位论文 因此，对于任意的，凯f 鲁cl - 掣2 时，删 有舢蚺s k ) 1 一 取j r 的子集序列 ， ，满足国以( m ) = 0 0 ( f = l ，2 ，) ，。n 卅= m ) ， i n fn i - - q o ( 1 一) 及u m = n 令f = j ，z ，丘，) ， j ；1 定义 铲净= 1 , 2 , - - - ) 那么显然有i | 戈，i i o = 1 1x 。1 1 0 = 1 ( f = 1 , 2 ，) ，而且_ _ o ( f 一) 事实上，对于任意固定的y 及s 0 ，能够找到正数厶， 满足，甲以。y ) o ，满足 丽1l ) 0 ) ，因此存在i 。满足 从而有 丽i 0 。鹏，) - d ( 1 。) 一占= 2 一占o = 1 ，2 ，) ，因此得，：没有弱0 3 ) 性质， 产生矛盾 充分性，对任意的x s - 他) ，存在七， l ，满足 i i x l l o = 丢( 1 巩 。x ) ) 因为甲艿：，所以数m = s u p 承。：x s ( 0 ) ) 是有限的【6 j 令 m = i n f k 。：x s 似) ) ，, 贝l jm 1 事实上，如果历1 ，则存在一个序列i x 。 cs 阢) 和一个正实数序列取。 ， 满足七。专1o 一) ，且三( 1 + k g 。x 。) ) = l l 戈。i l 。：1 因此有l + l 。戈。) 一l 和! 鳃，。g 。x 。) = 0 根据疋，得! i m 。i ik 。瓦i i o - - 0 ， 即! i ，m 。l l z 。1 1 0 = o 与尼。- - + l ( n 专o o ) 矛盾 再次利用条件甲正，我们知( 见【z 2 1 ) ，存在p ( 0 ，1 ) ，使得当 哈尔滨理t 大学理学硕l j 学位论文 卟嵩卜i 1 ( 1 m 有 n “) s ( 1 一目n 0 ) ( 3 2 ) 对任意的j r o 5 阮) 和任意的占可分序列扛。= s ( t o ) ， i i i i o = - o + z o ( k x ) ) o = 0 , 1 纠2 ) 因为丽k o 羔，l ( f ) i 鲥l ( 1 ) ( f ) 及由疋，存在一个o 满 足对于任意的自然数川有 ( 吒吒( f ) ) 瓯。 因为岛，不失一般性，我们可以设毛只有有限个坐标不为0 记f 0 为其不为0 的坐标的最大值，则 引i 警h ( 警x 。) ) 警睢m k o k ( ( f ) 删) 心。( k o k ( ) ) ) 等( - + 去圭i = l 毗删+ 丧喜叱删 + k m o ( 1 一引，未，( 吒( i ) ) 1 + 1 一日民= 仃 1 对于不具有s c h u r 性质的b a n a c h 空间x 来说，弱序列收敛系数( 阮，( x ” 定义为： w c s ( x ) 疏f 嬲：k 纠 c 艉撇敛但不强收敛的蒯) 这里的彳( 扛，) ) 是渐近直径，即彳倍。) ) = 。l i m s u p | it - - x ji i ：i ，疗j ，( 扛f ) 是关 于c o ( x 册的相应的c h e b y s h e v 半径 1 9 9 5 年，g l z h a n g 得出下述结果：如果b a n a c h 空间x 不具有s c h u r 性 质，那么 w c s ( x ) = i n f a ( x ，) ) ：t s ( ) t 与o 4 2o r l i c z 序列