（应用数学专业论文）几类传染病模型的持久性与稳定性.pdf

g l o b a ls t a b i l i t ya n dr e s i s t a n c ef o rt h r e ei n f e c t i o u sd i s e a s e s m o d e l s b y j u nl i b s ( l a n z h o uu n i v e r s i t y ) 2 0 0 4 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q m r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s i nt h e l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u oh a i - f e n g m a y , 2 0 1 1 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：鹰磊 日期：如，年6 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本 人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中国科学技 术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会 公众提供信息服务 作者签名：专办 剔程名榭啐 日期：，年多月7 日 醐：则年6 月7 日 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章绪论 1 1 1 课题研究背景 1 1 2 预备知识 3 第二章一类具有免疫和治疗的弓形虫病模型的一致持续生存 7 2 1 引言 7 2 2 系统的平衡点 8 2 3 平衡点分析 9 2 3 1 无病平衡点 9 2 3 2 流行病平衡点1 1 2 4 数值模拟1 3 第三章具有双时滞的耐药菌形成模型的全局稳定性 1 5 3 1 引言1 5 3 2 平衡点和局部稳定性1 6 3 2 1 无病平衡点的局部稳定性及不稳定性1 6 3 2 2 流行病平衡点的局部稳定性1 7 3 3 全局稳定性1 9 3 3 1 无病平衡点的全局稳定性1 9 3 3 2 流行病平衡点的全局稳定性1 9 3 4 数值模拟2 1 第四章 一类孕妇和胎儿耐药性模型的持久性 2 4 4 1 引言2 4 4 2 模型分析2 5 4 2 1解的正性和有界性2 5 4 2 2 无病平衡点的稳定性2 7 4 3 一致持久性3 0 4 4 敏感度分析3 2 4 5 讨论3 3 参考文献 3 7 4 致谢 附录 4 1 4 2 摘要 由于在人群中进行传染病实验是不道德和不切实际的，这就使得使利用模型通过 理论分析和计算机模拟来进行所需的实验显得格外重要而在建立传染病动力学模型 时，通常考虑的是确定性模型，即用差分，微分，积分或者泛函微分方程等所描述的具 有确定参数的模型，它们在一定程度上能近似的反映现象本文首先研究了一类由猫 作为媒介使得人感染的弓形虫病模型的持续生存性，接着研究了一类具有时滞的耐药 菌形成模型的全局稳定性，最后对一类孕妇由于食用了含有抗生素的食物导致胎儿患 有先天性耐药菌感染的模型，并给出了数值模拟 第一章，主要介绍了生物数学的研究背景，现状及常用的理论工具阐述了本文 所研究模型的背景，给出了本文研究所需的一些预备知识 第二章，研究了一类猫种群同时具有免疫和治疗的弓形虫病数学模型，得到了弓 形虫病流行的阈值条件，并利用一致持续生存定理得到了弓形虫病是一致持续生存 性同时利用数值模拟说明结论的正确性，并对该传染病提出了一些可供参考的防治 策略 第三章，研究了一类具有双时滞的耐药菌形成模型的全局稳定性，得到了体内存 在耐药菌的阈值条件通过构造l i a p u n o v 泛函证明了流行病平衡点是全局渐进稳定 的，同时利用数值模拟验证了分析的结果 第四章，研究了一类孕妇和胎儿同时被耐药菌和非耐药菌感染的数学模型，分析 证明包括正性，有界性，无病平衡点的全局稳定性以及细菌的持续生存数值模拟的结 果表明，胎儿体内的耐药菌是来源于母亲 关键词：传染病；稳定性；时滞；一致持续生存；耐药性；抗生素；基本再生数 a b s t r a c t i ti si m m o r a la n du n r e a l i s t i ct od oe x p e r i m e n t so f i n f e c t i o n sd i e a s e si nt h ec r o w d s ou s i n gm o d e la n a l y s i sa n dc o m p u t e rs i m u l a t i o nf o re x p e r i m e n t si sv e r yi m p o r t a n t b u tw eu s u a l l yc o n s i d e rt h ed e t e r m i n i s t i cm o d e l ，t h a ti st h em o d e lw h i c hd e s c r i b e t h ec e r t a i np a r a m e t e r sb yd i f f e r e n c e ，d i f f e r e n t i a l ，i n t e g r a lo rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 。w h e ne s t a b l i s ht h ei n f e c t i o u sd i e a s e sm o d e l s t oac e r t a i ne x t e n t ，t h e yc a n r e f l e c tp h e n o m e n o na p p r o x i m a t e l y i nt h i st h e s i s ，am a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h et r a n s - m i s s i o no ft o x o p l a s m o s i sd i s e a s ei nh u m a na n dc a tp o p u l a t i o n sw i t hv a c c i n a t i o na n d t r e a t m e n ti sp r o p o s e da n da n a l y z e d t h e n ，w ec o n s i d e rt h es t a b i l i t ya n du n i f o r m l y p e r s i s t e n to fam o d e lf o rt h ef o r m a t i o no fr e s i s t a n tb a c t e r i aw i t hd o u b l ed e l a y s a t l a s t ，am o d e la b o u tp r e g n a n tw o m a na n df e t u si n f e c t e db o t hb ys u s c e p t i b l eb a c t e r i a a n dr e s i s t a n tb a c t e r i ai sp r e s e n t e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i sa r e a l s oc o n d u c t e dt oc o n f i r ma n de x t e n dt h ea n a l y t i cr e s u l t s i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n ts i t u a t i o no f t h es u b j e c t ，a n dg i v es o m et h e o r e t i c a lt o o l sa n dp r e l i m i n a r i e ss e r v i n gt h ed i s c u s s i o n i nt h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，am a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h et r a n s m i s s i o no ft o x o p l a s m o s i sd i s - e a s ei nh u m a na n dc a tp o p u l a t i o n sw i t hv a c c i n a t i o na n dt r e a t m e n ti sp r o p o s e da n d a n a l y z e d q u a l i t a t i v ed y n a m i c so ft h em o d e l i sd e t e r m i n e db yt h eb a s i cr e p r o d u c t i o n n u m b e rr o t h e nw ep r o v et h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ed i s e a s e - f r e ee q u i l i b r i u mb yc o n - s t r u c t i n gl i a p u n o vf u n c t i o n sa n du n i f o r mp e r s i s t e n c eo ft o x o p l a s m o s i sd i s e a s e a t l a s t ，a ne x a m p l ei sg i v e nt oe x p l a i no u rc o n c l u s i o n s a tt h es a m et i m e ，s o m ec o n t r o l s t r a t e g i e st or e d u c et o x o p l a s m o s i sp r e v a l e n c ea r ea l s og i v e n i nc h a p t e r3 ，t h eg l o b a ls t a b i l i t yo fam a t h e m a t i c a lm o d e lw i t hd o u b l ed e l a y sf o r t h ef o r m a t i o no fr e s i s t a n tb a c t e r i ai sa n a l y z e d w ea l s oo b t a i nt h eb a s i cr e p r o d u c t i o n n u m b e r r 0 t h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo fe n d e m i ce q u i l i b r i u mi sp r o v e db y l i a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d a tt h es a m et i m e ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt o e x p l a i no u rc o n c l u s i o n s i nc h a p t e r4 ，am o d e la b o u tp r e g n a n tw o m a na n df e t u si n f e c t e db o t hb ys u s c e l - t i b l eb a c t e r i aa n dr e s i s t a n tb a c t e r i ai sp r e s e n t e d q u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h em o d e l a b o u tp o s i t i v i t y ，b o u n d e d n e s s ：g l o b 8 1s t a b i l i t ya n du n i f o r mp e r s i s t e n c ei sc a r r i e do u t a n a l y t i cr e s u l t ss h o wt h a ta n t i b i o t i ci n p u th a sp o t e n t i a li m p a c tf o rn e o n a t a ld r u gr e - s i s t a n c e n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i sa r ea l s oc o n d u c t e dt oc o n f i r m a n de x t e n dt h ea n a l y t i cr e s u l t s 兰州理工大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：i n f e c t i o u sd i s e a s e ；s t a b i l i t y ；d e l a y ；u n i f o r mp e r s i s t e n c e ；d r u g - r e s i s t a n c e ；a n t i b i o t i c ；b a s i cr e p r o d u c t i v en u m b e r 第一章绪论 1 1 课题研究背景 目前，对传染病的研究方法主要有四种：描述性研究、分析性研究、实验性研究 和理论性研究传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种重要方法他 是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规律，以及与之有关的 社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学形态的定 性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展 趋势，分析疾病流行的原因和关键冈素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们防制 决策提供理论基础和数量依据与传统的统计方法相比，动力学方法能更好地从疾病 的传播机理方面来反映流行规律，能使人们了解流行过程中的一些全局性态传染病 动力学与生物统计学以及计算机仿真等方法的相互结合、相辅相成，能使人们对传染 病流行规律的认识更加深入全面，能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实 际1 1 1 下面简述与本文直接相关的几个问题的研究现状，并结合它们介绍本文的主要 工作 近2 0 年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被应用于各种 各样的传染病问题这些数学模型大多是适用于各种传染病的一般规律的研究，也有 部分是针对诸如麻疹，疟疾，肺结核，性病，艾滋病等诸多具体的疾病从传染病的传 播机理上看，这些模型涉及接触传播，垂直传播，虫媒传播的不同的感染方式，是否考 虑疾病的潜伏期，对病人的隔离，因病或因接种而获得的免疫力以及免疫力的逐渐丧 失，是否可以忽略因病死亡率，不同种群之间的交叉感染，种群自身不同的增长规律， 以及种群的年龄结构，在空间迁移或扩散等因素对于不同的疾病和不同种群和环境， 根据出生、死亡、传播、患病、治愈等规律的不同，又可将模型分为线性、非线性、自 治、非自治等类型，而且同一类型的具体形式也会有所不同对这些模型的研究主要是 集中在解的正性，有界性，疾病的持续生存，平衡位置特别是导致地方病的平衡位置 和周期解的存在性和稳定性，再生数以及分支点的寻找等动力学形态【 2 0 0 5 年g c g o n z d l e z - p a r r a1 2 1 利用下面的五个方程描述了不同的参数对于弓 形虫病流行的影响，并对控制弓形虫病的流行提供了一些理论依据 瓯印) = p _ i l 瓯一觑瓯惫 i = 8 h s h 轰一1 h i 瓯心) = 饥厶一p g ( 1 1 ) s ：i 幻= 汪c p c i c 一8 e s c 蠢 ，c 他) = 皮& 惫一p 。p 。，c 1 几类传染病模型的持久性与稳定性 受文( 2 1 的启发，本文在第二章在系统( 1 1 ) 的基础上，根据弓形虫病的传播机制， 假设在猫种群进行免疫，并且对已经感染了弓形虫病的猫进行治疗；考虑到现在对弓 形虫疫苗的研究还不是很成熟，因此假设免疫和治疗后的猫种群，仍然会被再次感染 对于模型( 1 1 ) 进行了改进，重新定义了基本再生数，根据动力学知识得到了无病平 衡点全局渐进稳定的充分条件，利用一致持续生存定理得到了弓形虫病持续生存的充 分条件 另一方面，时滞是客观世界中普遍存在的现象，要准确描述时滞现象，就不可避免 地考虑时滞问题，泛函微分方程就是描述带有时滞的现象的数学模型泛函微分方程 在生态系统、神经网络和工程等领域中得到了广泛的应用稳定性与分支现象同样是 客观世界普遍存在的因此，研究泛函微分方程的稳定性与分支现象是有很大现实意 义的，很多学者在这方面做了大量的工作删 2 0 1 1 年r u ix u 【7 】研究了一类淋巴细胞具有饱和接触率的h i v - 1 模型，文章指出， 菌群与病毒是具有饱和接触率的，并且认为从感染了的淋巴细胞到它分裂产生新的病 毒质粒，是需要一个时滞的于是在文 s l 的基础上，增加了时滞因素，考虑了下面的模 型： lz 讹) = a d x ( t ) 一譬业祟， 秒俅) = 型等杀害掣一仅可( t ) ， ( 1 2 ) 【u 他) = k y ( t ) 一u u ( ) 本文第三章在文【7 】模型的基础上，考虑耐药基因的获得过程通过分析证明和数 值模拟，我们发现时滞死的引入能使基本再生数风减小，也就是说延缓耐药菌的成熟 期能够减小非耐药菌变成耐药菌的几率，从而减少耐药菌的形成 由抗菌素耐药菌，如耐甲氧西林金黄色葡萄球菌和耐万古霉素肠球，所造成疾病 在世界各地越来越流行这种流行是对耐药菌的传播动力学不完全了解所造成的哥 伦比亚广播公司做了一个抗生素在畜牧生产中使用的特别报告该报告指出：抗生素 在畜牧业中被大量使用，这样做不但能治疗细菌感染性疾病，还能预防动物得病，提高 出栏率和产量抗生素的滥用导致了超级抗药性细菌的产生和大量抗生素残留在这 些肉类当中这些残留物每天以不同的方式进入到人的体内，例如牛奶和各种各样的 肉制品，正是这些残留物使得原本就存在于人体内的细菌发生了基因变异，从而对抗 生素产生耐药性 新生儿对抗生素产生耐药性主要是由于体内产生了耐药菌，但是耐药菌的形成是 一个非常复杂的过程，其具体原因并不十分清楚，但正如【9 】所指出的，细菌获得耐药性 可能是由于在细菌分裂，基因转导，转化，重组过程中发生了耐药基因的转移转导过 程是一个细菌的d n a 在病毒的作用下，传递到另外一个细菌的过程使得原来的敏感 性细菌变成了耐药茵，这个原因也正是耐药菌形成的主要途径但是，单纯以孕妇和 胎儿为背景的耐药性模型还没有被很好的研究在本文第四章中考虑了一个孕妇胎儿 2 兰州理工大学硕士学位论文 模型，通过分析证明和数值模拟，得到了胎儿先天性感染耐药菌的充分条件，并进行 了数值模拟 1 2 预备知识 为了后面推理的需要，我们在这一小节里以定义和引理的形式给出若干个己知结 论作为工具 设以下系统： 面d x = 巾，z ) ，z ( 。) = 扩，z r n ( 1 3 ) 满足解的存在唯一性定理的条件，其解x ( t ) = z ( t ，t o ，x 0 ) 的存在区间是( 一o o ，+ ) ， 另外，f ( t ，z ) 还满足条件： f ( t ，z + ) = 0 , p x ( t ) = z 是( 1 3 ) 的解 定义1 2 1 若对任意给定的e 0 ，都存在6 = 6 ( ，t o ) ，使得当i iz o x + 0 0 ，比1 x 1 t + k 称对x 1 强排斥，若 l i m i n fd ( 垂( z 1 ) ，蚝) 0 ，v x l x 1 t - - o c ) o m 称对x l 一致弱排斥，若存在 0 ，使得 l i m s u p d ( 垂( z 1 ) ，) e ，v x l x 1 t o o k 称对x l 一致强排斥，若存在e 0 ，使得 l i m 。i n f d ( 圣( z 1 ) ，蚝) e ，v x z x 1 千。口 特别地，x 1 是x 中的开集，x 2 是x 的边界，则动力系统圣称为( 一致) 弱或( 一致) 强持续，若x 2 对x l 是( 一致) 弱或( 一致) 强排斥的 定义1 2 8 集合mc 恐称为与另一个集合nc 尥键连接，记为mh ，若存 在y 恐，疟mu ，使得在恐中过可点全部轨线的q 极限集包含在m 中，u 极限集包 含在中 定义1 2 9 有限覆盖m = u 翟1 慨称为循环覆盖，若有尬h 尥一h 帆h ，对一些k 1 ，m ) ，否则称m 是非循环覆盖 引理1 2 1 ( 解的存在唯一性定理) 【l o 】考虑c a u c h y 问题： 4 兰州理工大学硕士学位论文 对于方程( 1 3 ) ，其中z 为冗n 中的向量，厂是实变量t 和n 维向量值函数 开区域g 冬r 册中满足先列条件： 1 ) f 在g 内连续，简记为f c ( g ) ； 2 ) ，关于z 满足局部l i p s c h i t z 条件，即对于点p o ( 幻，护) g ，存在 g o = ( ，z ) i it t oi a ，i lz x oi l 6 ) cg 和依赖于r 点的常数l e o ，使得对任给的( z ，x 1 ) ，( t ，z 2 ) g o 有不等式 | i ，( ，z 1 ) 一，( ，z 2 ) l i l p o0z 1 一z 2i i ， 成立，其中”l l 表示欧式范数 则c a u c h y 问题( 1 3 ) 在区间lt t oi + 上存在唯一的解其中 若f ( t ，z ) 在 ( 1 6 ) 0 n 时，t b 充定3 l a j = 0 引理1 2 3 ( 不变集原理) ( 【1 】) 设y 是系统 面d x = ，( z ) ， ( 1 8 )一= r l zii lx l 班 “” 卜， 其中，c ( ocr m ，) 的定义在开子集qcd 内的一个“a p u i l o v 函数，y 在q 上连 续，令 e = z q iv 。( z ) = 0 ， m 是系统( 1 8 ) 在e 中的最大不变子集，从q 内出发的任一正半轨r + ( ) ( z o q ，恒在q 中 且有界，则轨线r + ( z o ) 的u 极限集u ( r + ( z o ) ) cm ，且有 ，l i r a d i s t ( x ( t ，跏) ，肘) = 0 + + o 。 5 姒啦眈0 几类传染病模型的持久性与稳定性 推论1 在引理1 2 3 的条件下，若m = 矿，这里，( z ) = 0 ，则系统的( 1 8 ) 的平衡 点z 在q 内是全局吸引的 推论2 设y ( z ) 是系统( 1 8 ) 在r ，l 上有l i a p u n o v i 函数且有下界，当0zl i o + 时， y ( z ) - + o 。，则系统( 1 8 ) 的任意正半轨r + ( 铷) 是有界的，且当t _ + 是该轨线趋向 于e = z 彤iy 7 ( z ) = o ) 中的最大不变集m 特别地，若m = 矿，( z + ) = 0 ，则平 衡点z + 全局渐进稳定 引理1 2 4 ( 1 1 4 】) 设，c ( r r 他) ，g c ( 伊) 均满足局部l i p s c h i t z 条件，若系 统( 1 6 ) 的任一解z ( t ) 均正向有界，且其极限系统( 1 7 ) 的平衡点e 全局渐进稳定，则系 统( 1 6 ) 的任一解z ( ) 都有 l i mz ( ) = e t - - - + o o 引理1 2 5 ( 【1 】) 设x 是局部紧的距离空间x = x 1ux 2 ，其中拖是紧集，圣是定义 在x 1 上的连续半流，则当) 已对x 1 一致弱排斥时，x 2 对x l 一定是一致强排斥的 引理1 2 6 ( 【l 】) 设x 是距离空间，x lcx 是连续半流垂的闭正向不变子集，且存 在q 0 ，使半流q 在x ：z x ，d ( x ，o x l ) 口f lx 上是点耗散的；进一步假 设是半流m 在o x l 上的最大闭不变子集， 帆) o a 是一个非空的指标集是的一个 非循环覆盖，帆cc o x l ) 是一些孤立的闭不变集的并，r o x l ) 中的任意紧子集至多包 含 帆 a e a 中的有限多个集合，则半流垂一致连续的充要条件是 w + ( 肌) n x ：x x ，d ( x ，o x l ) e ) nx ? = ， 这里w + ( 心) = 可x ，u ( 可) cn o 6 第二章一类具有免疫和治疗的弓形虫病模型的一致持续生存 2 1 引言 弓形虫是一种全球流行的寄生虫病，它能让任何的恒温动物感染，特别是猫和人 类【1 5 i 这种疾病主要侵犯动物的眼、脑、心、肝、淋巴结等，特别是病原体可通过胎盘 感染胎儿，直接影响胎儿发育；致畸严重【1 6 1 而且，有关的医学研究发现，从理论上讲， 弓形虫可以在整个食物链中无限的繁殖下去【1 7 】相关的文献可参见 1 s - 2 0 1 建立数学模 型可以更容易了解弓形虫病在人和猫种群传播的动力学行为在文献1 2 1 l 中，弓形虫的 传播被认为只有两种途径：入与受到感染的猫的直接接触以及猫的垂直传染，即受到 感染的病猫在繁殖下一代时，有可能直接传染，使得幼猫具有传染性文献【2 2 1 利用五 个方程描述了不同的参数对于弓形虫病流行的影响对控制弓形虫病的流行提供了一 些理论依据其它相关文献可以参见【2 3 ，2 圳根据弓形虫病的传播机制，本文假设在猫 种群进行免疫，并且对已经感染了弓形虫病的猫进行治疗；考虑到现在对弓形虫疫苗 的研究还不是很成熟，因此假设免疫和治疗后的猫种群，仍然会被再次感染将人种 群分为3 类：易感者瓯( ) ，感染者厶t 和治愈者g ( ) ；而猫种群分为易感者的猫( t ) ， 具有终身免疫的猫忌( ) 以及受到感染的猫厶( ) 假设人感染弓形虫病是由于和受到 感染的猫接触从而发病，而猫的感染是由于垂直传染和与得病的猫进行接触关于传 染的机制，有以下图： 图2 1 具有免疫和治疗的弓形虫病传播机制图 假设人群的总数量为：m ( ) = s h ( t ) + 厶( ) + 瓯( ) ； 猫的总数量为：c ( ) = ( ) + r 。( t ) ； 7 几类传染病模型的持久性与稳定性 根据图2 1 ，得以下模型： 瓯印) = p 既一觑瓯惫， i = 8 h s h 丧一 f h i h ， 瓯他) 。讹厶一p l l g ， ( 2 1 ) & 船) = 批( p c i + r c ) 一厦( 1 一q 。) & 急一q c & ， ，c 他) = 皮( 1 一q 。) & 惫一，。m ，一，c ， r 。7 ( ) = 1 c 厶+ o t 。& 一p 。忌 冀霉臻蒹黎 协2 ， 卸) = 器刚= 器删= 篇 p ) = 觑x ( ) b ( ) 一饥y ( ) ，( 2 4 ) 不失一般性，本文研究系统( 2 4 ) 的平衡点显见，系统( 2 4 ) 具有如下的正不变子集qc r 。4 ： q = ( x ，y , a ，b ) 丁r + 4 ：0 x 1 ，0 y 1 ，0 a 1 ，0 b 1 ) 2 2 系统的平衡点 若令( 2 1 4 ) 的右端等于零，容易得到本系统只可能有两个平衡点：岛( 1 ，o ，五等乏，o ) ， 反( 墨，k ，a 。，b a 8 兰州理工大学硕士学位论文 其中： 兄= p h t h _ 镒丽，十p l p 十1 l j 廿 k = 而篇p h ( p 告h 丽，p l 1 7 i 十十饥j 廿 a = 蔚p c p f c + 面， 及：丛二塾 在上面的式子中，r o ：f 掣塑妥煞，即为系统( 2 4 ) 的基本再生数 l p c p k + 1 ，c 八肛c 十a c ) 性 2 3 平衡点分析 当岛 l 时，反 0 ，这是没有生物意义的，因此，此时只考虑平衡点岛的稳定 2 3 1 无病平衡点 计算系统( 2 4 ) 在无病平衡点岛的j a c o b i a n 矩阵： l 弘h 以剐2 l 三 一p0 一饥0 0 一p c q c 00 8 h 8 h p 。仇一p 。一皮( 1 一q c ) a o 俄( 1 一q 。) a o p 。p 。一 那么，- 当b e ( 1 一q 。) 一# c p c 一7 c o ，即 1 时： 叼l + 叩2 = 一阻。+ 口。+ 风( 1 一q 。) b 。】 = 一 p c - ba c - b 尻( 1 一o c ) 嬲 0 即：矩阵如的特征值均具有负实部于是，有下面的引理： 几类传染病模型的持久性与稳定性 引理2 3 3 当r o l 时流行病平衡点及存在，且是局部稳定的 下面将证明弓形虫病的一致持续生存性 定理2 3 2 当r o 1 时，弓形虫病是一致持续生存的 证明：为了应用【2 6 】定理4 6 ，构造下面的集合： = ( x ，1 i , a ，b ) r r + 4 ：0 x 1 ，0 y l ，0 a 1 ，0 b 1 ) n 。= ( x , y , a , b ) t e r + 4 ：0 兰乞，焉篙1 呸胚1 呸胚1 1 1 1 = i l 1 1 2 以下证明从。中出发的轨线最终远离1 1 2 为此，假设系统( 2 4 ) 的解为： n ( t ) = ( x ( ) ，y ( t ) ，a ( t ) ，b ( ) ) ， 且定义： k = 7 r ( o ) 1 1 2 ：7 r ( ) 1 1 2 ，t o ) = 【7 r ( o ) = 0 ：x ( t ) = 0 ，y ( t ) = 0 ，a ( t ) = 0 ，u ( t ) = o ) q 2 为所有从2 中出发的解的弘极限集，即就是集合 岛 由于此沙极限集中只有一个 点，因此它是q 2 的一个非循环覆盖假设 岛) 对于集合1 不是弱排斥的，则必有一 个7 r ( o ) i i l ，当t - - 4 时，满足( ) _ e o 不妨令w ( t ) = ( y ( t ) ，b ( ) ) t ，且定义矩 阵： ， 跗卅= ( ? 脚刊篾一) 那么( ) 必满足： w 7 ( ) = p ( x ，a ) w = p ( z o ，a o ) w + 【p ( x ，a ) 一p ( x o ，a o ) 】w 矩阵尸( ，a o ) 的谱半径为k = 皮( 1 一q ) a o p 。m 一= ( p 。m + ) ( 扇一1 ) 0 ，相对 于这个特征值的特征向量为口= ( 1 ，垡坠二必等半) t ，对w 他) 两边用n 做 数量积，再应用x ( ) _ ，a ( ) _ a o ，我们有： 爰( y ，b ) 。= y + 垒堕l = _ 掣b 。， 这意味着当- - + 。o 时，( y b ) a ( 3 0 ，这显然是与( ) _ 岛是矛盾的因此 岛) 对 于集合1 是弱排斥的因此根据【2 6 | 中的定理4 6 可知，流行病是一致持续生存的 1 2 兰州理工大学硕士学位论文 2 4 数值模拟 在本部分，对前面的相关的分析结果做数值模拟，以验证这些结果其中所采用的 数据均来自于文献f 2 】 例1 ：令p = 0 2 3 3 ，风= 0 0 2 0 6 ，p c = 0 0 6 6 ，p c = 0 0 l ，饥= 0 0 0 0 2 3 2 ，7 c = o 0 0 0 1 3 ，= o 6 ，尻= o 0 0 6 ；初值为：x ( o ) = o 1 ，y ( 0 ) = 0 2 ，a ( 0 ) = o 1 5 ，b ( 0 ) = o 1 8 此时，经计算，r o = 成p 。( 1 一a 。) ( p 。p c + ) ( p c + a 。) = o 3 0 1 1 1 时，弓形虫病是一致持续生存的 1 4 co雹od2co簧旦jno正 第三章具有双时滞的耐药菌形成模型的全局稳定性 3 1 引言 耐药菌的产生过程非常复杂，目前认为主要有两种途径：一是于长期的进化：另 一种是由于存在于染色体外的一种基因物质一一质粒，耐药细菌会通过耐药质粒把耐 药基因传播给非耐药菌，质粒能随着细胞分裂而被复制，导致耐药基因扩散，这也是 细菌成为超级耐药菌的主要途径【2 弘捌 数学模型在分析菌群动力学性态过程中发挥着重要作用，模拟细菌动力学的一种 常用工具是微分方程文献闭研究了一类淋巴细胞具有饱和接触率的h i v o l 模型， 文章指出，菌群与病毒是具有饱和接触率的，并且认为从感染了的淋巴细胞到它分裂 产生新的病毒质粒，是需要一个时滞的其它关于在传染病中的应用可见印，3 1 1 本 文在文献【7 】的基础上，考虑耐药基因的获得过程由背景的描述，不但考虑获得了耐 药基因的质粒侵入非耐药菌的时滞，而且考虑耐药菌由于成熟，产生新的下一代耐药 菌所需要的时滞，得到如下的系统： f 一( ) = a d x ( t ) 一锇料， y 他) = 型警浆噼p a v ( ) ， ( 3 1 ) iu ) = k e n 下2 y ( t 一7 2 ) 一u v ( t ) 其中：x ( t ) 代表着非耐药菌的浓度，可( ) 是指获得了耐药质粒的非耐药菌的浓度，钉( ) 则是耐药菌的浓度；a 是单位时间内非耐药菌的产生速度，d ，a ，t 1 分别指三类细菌的 自然死亡率，卢，q 是感染过程的速率常数；k 则是指每个受到感染的非耐药菌在单位 时间内，分裂而产生的新的耐药菌的个数；m ，n 分别是受到感染的非耐药菌和耐药菌 在成熟过程中的死亡率，并且假设在【0 ，7 1 】，【0 ，死】内，两类新出生的细菌是按照指数 分布的，因此，在成熟过程中这两类细菌能够存活下来的概率分别为e - m v l ，e 哪电 为了以后证明的需要，对于系统( 3 1 ) ，首先证明它的正性 对