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新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究中文摘要 中文摘要 自2 0 0 3 年教育部颁布了新课程标准开始，高中数学课程无论是从结构上还是 从内容上而言都发生了很大变化。作为高中数学课程核心内容之一的立体几何部 分尤其如此，立体几何的教学内容与教学目标都发生了很大变化。但在实际教学 中，却也出现了不少问题，使得部分教师教学和学生学习存在困难。因此，研究 这方面内容有其不容忽视的必要性。 本文通过对国内外书籍、期刊、论文的大量阅读、梳理，掌握了与课题相关 的研究的历史脉络。并在此基础上，对相关的三星级高中的教师与学生进行调查、 访谈，试图分析出学生学习立体几何出现困难的原因并研究与其相应的对策，以 期对教师的教学和学生的学习提供参考，从而做到真正意义上的教师有效地教学， 学生有效地学习。 本文分析得到的结论是：产生立体几何学习困难的原因既有学生本身的心理 因素；也有学生自身的数学能力的原因；还有教师对教材的理解、教学方法等方 面的问题。解决的方法主要是有：了解学生的学习心理，提高学生的学习积极性 和自信心；针对学生在学习中出现的各种问题采用不同的教学方法去纠正；增加 教师培训与集体备课的机会，提高教师的教学水平。 关键词：新课程标准，立体几何，学习困难，对策研究 作者：杨梦 指导老师：陈兆华 英文摘要 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 u n d on e w ：u r r i c u l u ms t a n d a r d ，t h efactere wc n r r i c u l n ma rt h ea c t o r ， a n a l y s i sa n dc o u n t e r m e a s u r es t u d yo nl e a r n i n g b l o c ko ft h r e e - d i m e n s i o n a lg e o m e t r y a b s t r a c t s i n c e2 0 0 3 ，t h em i n i s t r yo fe d u c a t i o ni s s u e dan e wc u r r i c u l u ms t a n d a r df o rt h e h i g hs c h o o lm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m ，g r e a tc h a n g e sh a v et a k e np l a c e ，e i t h e ri nt e r m so f t h es t r u c t u r eo rc o n t e n t a so n eo ft h ec o r e p a r to ft h eh i g hs c h o o lm a t h e m a t i c s c u r r i c u l u m ，t h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r yh a v ec h a n g e dal o t ，e s p e c i a l l yo nt h et e a c h i n g c o n t e n t sa n dt e a c h i n go b j e c t i v e s b u td u r i n gt h ed a i l yt e a c h i n g ，t e a c h e r sh a v es o m e d i f f i c u l t yi nt e a c h i n ga n ds od os t u d e n t si nl e a r n i n g ，w h i c hm a k e st e a c h i n ga n dl e a r n i n g m o r ed i f f i c u l t t h e r e f o r e ，t h es t u d yo ft h i sa s p e c th a si t sn e c e s s i t ya n dc a n n o tb e i g n o r e d b a s e do nt h ed o m e s t i ca n df o r e i g nb o o k s ，p e r i o d i c a l s ，a n dal a r g en u m b e ro f p a p e r st or e a da n ds o r t ，t h i sa r t i c l eh a sg r a s p e dt h eh i s t o r ya s s o c i a t e dw i t l lt h ei s s u ei n a n da b r o a d a n do nt h i sb a s i s ，i n v e s t i g a t i o na n di n t e r v i e wh a v eb e e nc o n d u c t e da m o n g s t u d e n t sa n dt e a c h e r si nt h er e l e v a n tt h r e e - s t a rs e n i o rh j 曲s c h 0 0 1 t h i sa r t i c l ea n a l y z e s t h er e a s o nf o rt h ed i f f i c u l t i e ss t u d e n t sh a v ei nl e a r n i n gt h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r i ca n d w o r k so u ta p p r o p r i a t em e a s u r e st od e a l 、 ，i t ht h e m w ew o u l dl i k et op r o v i d es o m e a d v i c ef o rt e a c h i n ga n ds t u d y i n g ir e a l l yh o p et h a tb o t ht h et e a c h e r sa n dt h es t u d e n t s c a nb e n e f i tf r o mi tg r e a t l y t h r o u g ht h ea n a l y s i sw ec a nd r a wac o n c l u s i o nt h a tt h ep r o b l e ml i e sw i mt w o a s p e c t s ，f r o mt h es t u d e n t s ，p s y c h o l o g i c a lf a c t o r sa n dl o g i c a la b i l i t i e so ft h e mw i l lh a v ea g r e a te f f e c to nt h e i rl e a r n i n g f r o mt h et e a c h e r s ，h o wt h e yu n d e r s t a n dt e a c h i n gm a t e r i a l s a n dt e a c h i n gm e t h o d sw i l la l s om a k eab i gd i f f e r e n c et os t u d e n t s l e a r n i n gb l o c k t o d e a l 谢t ht h e s ep r o b l e m s ，w es h o u l ds t u d yp s y c h o l o g i c a lp r o b l e m so ft h es t u d e n t sa n d c o m m u n i c a t ew i t ht h e mi no r d e rt oi m p r o v et h e i rm o t i v a t i o na n ds e l f - c o n f i d e n c e a l s o ，t e a c h e r ss h o u l dt a k ed i f f e r e n tm e a s u r e st od e a l 晰t hl e a r n i n gb l o c k w h a t sm o r e ， 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究英文摘要 w es h o u l dp r o v i d em o r ec h a n c e sf o rt h et e a c h e r st og a i nt h et r a i n i n ga n dt oi m p r o v e t h e i rt e a c h i n ga b i l i t i e s k e y w o r d s ：n e wc u r r i c u l u ms t a n d a r d s t h r e e d i m e n s i o n a lg e o m e t r y l e a r n i n gb l o c k c o u n t e r m e a s u r e s i i i w r i t t e n b y ：y a n gm e n g s u p e r v i s e db y ：c h e n z h a o h u a 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题提出的背景 从上个世纪6 0 年代至7 0 年代开始，随着以几何课程与教学改革为突破口的 “新数”运动的兴起与发展，几乎所有的国家都在致力于从根本上改革学校的课程， 置身潮流之外的，即使不能说完全没有，也是为数极少的例外。而我国数学课 程改革也逐渐开始。 随着时代的发展，2 0 0 3 年教育部颁布了普通高中数学课程标准( 实验) ( 以 下简称新课程标准) 。从而，高中数学课程无论是从结构上还是从内容上而言都发 生了很大变化。作为高中数学课本核心内容之一的立体几何部分尤其如此，教学 内容分成了三部分：第一部分是必修2 的“立体几何初步”( 约1 8 课时) ，第二部分 是选修系列2 1 的“空间向量及立体几何”( 约1 2 课时) ，第三部分是选修系列3 和 选修系列4 的“面上的几何欧拉公式与“闭曲面分类”。 其中，必修2 要求高 中学生必修，选修2 1 要求理科学生选修，第三部分实际上到现在还没有学校的学生 选修。 随之，新课程标准对立体几何部分的教学目标也发生变化：提高空间想象能 力作为新课程标准对学生数学能力的基本要求之一。几何学能够给我们提供一种 直观的形象，通过对图形的把握，发展空间想象能力，这种能力是非常重要的， 无论是数学本身、数学学习本身，还是在其它方面，都是一种基本能力。搞艺术 的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一 种殊途同归的感觉。 新课程标准对空间想象能力的发展是：更加关注通过对整体图形地把握去培 养和发展学生的空间想象能力；关注在空间想象能力培养中的学生的认识规律， 它概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律。新课程标准建 议通过“直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算”等学习过程，培养和发展学生 的空间想象能力，这对几何课程的学习应该是有帮助的。 由此可见，新课程标准对立体几何部分的定位主要做了三个方面的调整：强 。豪森，凯特尔，基尔帕克里克周希克，赵斌译数学课程发展【m 】上海：上海教育出版社，1 9 9 2 ：l 。中华人民共和国教育部制定普通高中数学课程标准：实验【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 3 ：1 9 西严士健等普通高中数学课程标准( 实验) 解读【m 】南京：江苏教育出版社，2 0 0 4 ：7 6 7 7 1 第1 章绪论 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能 力的培养。“立体几何初步”的教学重点就是帮助学生逐步形成空间想像能力，而要 达到这一目的，必须要让学生参与到这些知识的发生、发展与应用的全过程中去。 1 2 课题提出的现实意义 由于新课程标准下立体几何的教学内容与教学目标都有着重大变化，因此在 实际教学中出现了不少问题，使得部分教师教学和学生学习存在困难。这有可能 是教师对新课程标准的理解不够，或者教学方式过于陈旧落后；也有可能是学生 本身在学习过程中受心理因素影响，或者由于数学能力较差导致在对几何问题的 理解上遇到较大的困难等。本文的目的就是在前人研究的基础上试图分析立体几 何学习困难出现的原因并研究相应的对策，以期对教师的教学和学生的学习提供 参考，从而做到真正意义上的教师有效地教学，学生有效地学习。 1 3 研究内容 选取立体几何的学习出现困难情况比较多且比较典型的三星级高中中的一 所，将学校中的学生和在职一线教师作为调查研究的对象，有针对性地对学生进 行测试、问卷调查并对教师进行调查访谈，并根据得出的结果对学习必修2 的“立 体几何初步”、选修系列2 1 的“空间向量及立体几何”这两个高中立体几何部分中 的主要模块产生的困难进行分析，同时在此基础上，进一步分析各种困难产生的 原因，从而试图找到相应的有效的解决方法，为教师教学和学生学习提供一定的 参考，使教师的教学能力和学生的数学学习能力都有所提高。 1 4 研究方法 本文主要采用的研究方法有：文献研究法、问卷调查法、访谈调查法，并且 根据实际情况，对各种研究方法有所侧重地进行选择运用。 ( 1 ) 文献研究法 文献是记载、传承前人研究知识的重要手段与方式，是交流研究成果的重要 渠道与形式。本文通过对国内外书籍、期刊、论文的大量阅读、梳理及研究，从 而把握和课题相关的研究的历史脉络，了解到该领域的主要研究进展和主要成果， 以做为本课题的理论基础，进而取得新的发展。 ( 2 ) 问卷调查法 问卷调查法是以问卷或者测试卷的形式做为工具来收集资料的调查方法，是 2 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究第1 章绪论 论文写作中最常见的方法之一。本文将通过问卷调查法较全面地掌握高中生学习 立体几何部分的情况的一手资料，从而寻找到产生困难的原因及解决问题的途径， 因此，问卷调查法为本文提供了非常重要的研究依据。 ( 3 ) 访谈调查法 访谈调查法是以问答形式并记录的调查方法，它有时更有利于对某个问题进 行更深入地研究。本文访谈的对象主要是教师，然后将访谈的结果进行归纳总结， 整理成文字，从而进行分析得出进一步的结论。同时，本文也有针对性地对部分 学生进行了访谈，目的是对有些突出问题做更深入地了解。 3 第2 章相关研究综述新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 第2 章相关研究综述 2 1 学习困难的相关研究 2 1 1 学习困难的定义 由于学生出现学习困难现象的情况具有复杂性及多样性，因此，到目前为止， 在学习困难研究领域内对于“学习困难”的定义还存在着很大的争议。但主要有以下 几个具有代表性的定义： ( 1 ) 1 9 6 3 年，在由知觉障碍儿童基金会发起的会议上，塞缪尔a 柯克博士 提出用“学习障碍”( l e a r n i n gd i s a b i l i t y ，简称l d ) 来描述：“有一类儿童，他们在 社会交往技能的发展中有障碍。在这类儿童中，不包括那些有感觉障碍的儿童( 如 盲或聋) ，也不包括那些一般智力落后的儿童。”这是“学习障碍”这个概念首次被 提出。 ( 2 ) 1 9 7 7 年，美国教育办公室给出“学习困难”的定义，指出：“学习困难是 指在理解与使用口头语言和书面语言的基本心理过程中，显示出一种或多种障碍。 这种障碍可能在听、说、读、写、拼写或计算方面的某个不完善的能力中表现出 来。其中包括诸如直觉障碍、脑损伤、轻微的脑机能失调、诵读困难和发展性失 语症等症状。但这一术语不包括那些主要有视、听或运动障碍、智力落后或环境、 文化、经济不利而造成有学习困难的儿童。，囝 ( 3 ) 1 9 8 1 年，在哈密尔主持的美国学习障碍联合会上，将上述定义进行了进 一步地修订：“学习障碍是指有这样一个异质群体，这些人在获取和利用聆听、说 话、阅读、书写、推理和数学能力方面出现明显的困难，这些异常起因于个人内 在因素，一般认为是中枢神经系统功能紊乱造成，虽然学习障碍也可能伴随其它 障碍( 如知觉损伤、智能不足、社会和情绪困扰等) 或环境影响( 比如文化差异、不 适当的教育、心理遗传因素等) ，但学习障碍并非由这些因素造成的。” 在我国，对于“学习困难”的定义更加具体，从而使得界定标准更加具有可操作 性。目前，国内对于“学习困难”的称谓主要有：学习困难、学习障碍、学习不良、 学习无能、学习失能等。9 0 年代，上海的初中学习困难生教育研究课题组用 o ( 美) 柯克，汤盛钦等译特殊儿童的心理与教育【m 】天津：天津教育出版社，1 9 8 9 ：3 2 9 。k i r k l e a r n i n gd i s a b i l i t i e se d u c a t i o na n ds t r a t e g i e s m 19 9 5 ：6 7 特殊园丁杂志主编特殊教育通讯特殊儿童的心理与教育【m 】台湾：台湾五南图书出版社，1 9 9 3 ：1 2 3 4 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究第2 章相关研究综述 的是“学习困难”这个概念。他们认为：学习困难指的是学生身心生长发育处于正常 范围之中，即智力正常，但学习效果低下，学习成绩长期而稳定地达不到教学大 纲所要求的水平。同时，学习困难学生之间也是有差异的，不同个体产生学习困 难的原因是不同的，有的可能是外部因素为主，有的可能是内部因素为主；不同 个体学习困难的表现形式和结果是不同的；不同学习困难生转化的条件也是不同 的。 在本文中的“学习困难”，主要是指学生由于主观或者客观的原因导致学习数学 某一方面的知识内容出现这样或者那样的困难，而且成绩达不到教学要求，并不 是只对“学困生”这个群体进行一些心理或者生理的分析与研究，这两者是有区别 的。 2 1 2 学习困难的主要研究 ( 1 ) 国外主要研究 2 0 世纪6 0 年代，前苏联教育家苏霍姆林斯基的基本观点是：儿童出现学习困 难问题的原因大部分是在教育而不在儿童自己本身，教育不当是致使学生学习的 内在动力的消失而产生学习困难的原因。而促使儿童学习的最主要的动力是对教 师的尊敬，对自己能力的信心，对知识的兴趣和求知的渴望。 2 0 世纪7 0 年代，美国心理学家伯纳德韦纳的“归因理论”认为：学习者对于成 败的三个维度的不同归因( 原因源维度、稳定性维度和可控性维度) 对其后继行 为有很大影响。 2 0 世纪7 0 年代，前苏联教育学者巴班斯基的“同心圆理论”认为，影响学生学 业成绩的原因有两个：学生自身身心发展上的不足以及教学上的缺陷( 包括家庭 和学校的影响) ，前者与后者是内因和外因的关系。内部条件是或隐或现、或今或 昔的与外部条件相关的，这种关系可以用若干个同心圆组成图形表示。 2 0 世纪8 0 年代，日本佐野良五郎的“双因素论”强调：生理因素是引起儿童学 业不良的原因之一，i i p j d 童的健康状况影响着他的学习。同时，心理因素是造成 儿童学业不良的另一重要原因，心理原因包括儿童的性格、学习态度、家庭环境、 双亲养育、学校教育等。 2 0 世纪8 0 年代，日本教育学者北维纶彦提出的“三层次说”认为，造成学生学 。钱在森学习困难学生的教育理论与实践【m 】上海：上海教育出版社，1 9 9 5 ：1 3 8 。叶长文苏霍姆林斯幕的学生学习困难观及其启示【j 】齐鲁学刊，2 0 0 2 ( 3 ) ：2 8 3 1 。刘万玲学习困难研究综述【j 】教育探索，2 0 0 5 ( 1 2 ) 5 第2 章相关研究综述新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 习困难的因素可分为三个层次：第一层次是来自教师的因素和学生自身的直接因 素，包括不当的教学内容与方法，学生学习活动挫败、基础学力的欠缺，以及正 确的学习方法、态度、习惯的欠缺等；第二层次因素，包括智力、性格、兴趣、 动机等心理因素；第三层次因素是环境方面的条件，包括学校、班级、家庭等因 素。尽管学生学业不良的成因是多方面的，但核心是与教学有关。 ( 2 ) 国内主要研究 1 9 8 9 年，台湾心理学者刘弘白博士关于学习缺陷的相关理论研究认为：综合 造成学习缺陷的各种因素，可分为环境、身体、心理三类因素。身体因素会直接 影响个体的心理状态，心理因素也会改变身体器质上的正常功能，尤其是大脑的 功能，身心二者相互影响，互为因果。但是，身心因素并不能左右学习的环境， 环境条件却可以左右学生的身心条件。 1 9 9 1 年，上海华东师范大学心理系顾蓓哗等人研究学习困难学生的行为特征， 分析概括出：身心发展、社会交往、认知水平和家庭等方面是影响学习困难学生 的诸多原因。 1 9 9 5 年，北京雨林学习能力研究中心张雨青、林薇等人运用分析法获得与学 习困难密切相关的七个因素：视知觉能力、语言能力、社交能力、理解能力、行 为能力、运动能力和感觉动作能力，这些基本学习能力的不足以及行为问题的发 生是导致学习困难的主要原因。 2 2 数学学习困难的相关研究 数学学习是一个需要多种认知过程参与的活动，特别需要具有良好的推理、 分类、组合、抽象、概括等能力。“数学学习困难”指的是学生在学习数学的过程中 所达到的实际水平明显低于预期标准的现象，表现在不能掌握数学教学大纲规定 的相应的知识和能力，数学学习效果低下。目前，在数学学习困难的究研方面主 要有以下几个观点： ( 1 ) 儿童在数学学习上的困难主要表现在：阅读与书写数字困难，数数困难， 数位困难，计算技能不良，问题解决缺陷，空间组织困难等。 ( 2 ) 初中生数学学习困难主要表现在：不能合理地分隔运算环节的简缩思维 过程；机械套用解题模式，缺乏处理变式的能力；在具体的求解过程中，运算缺 少合理性；概念、公式混淆，不能组成有机的序列；受团于思维定势；缺少知识 。张雨青学习障碍儿童的基本能力特e l j l 心理发展与教育，1 9 9 5 ( 1 i ) ：3 6 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究第2 章相关研究综述 间的联想和解题方法的转换。 ( 3 ) 学生数学学习困难主要表现在：计算错误，运算法则混乱，阅读和书写 困难，问题解决能力较差以及空间组织困难等等，其中数学问题解决能力较差表 现尤为突出。 ( 4 ) 数学学习困难学生在数学学习过程中的认识加工和认知图式上存在的问 题是：语言知识和数学知识缺乏，认知结构模糊混乱，逻辑障碍等；在解题过程 中思维方式呈现劣势：单一机械、杂乱无序，缺少良好的思维方法，思维发散性 差；在元认知上存在的问题是：不了解要解决的问题的材料及自身所具备的认知 能力，不能独立制定解题的最佳方案，不能正确评价。 2 3 几何学习困难的相关研究 几何是数学的一个重要组成部分，几乎数学一诞生它就存在了，几何的发展 伴随着人类成长的历史。而几何学习困难是数学学习困难在某一方面的具体表现。 目前，对于几何学习困难的研究主要有两个观点： 第一：几何学习的障碍分为以下四种： ( 1 ) 认知结构上的缺欠； ( 2 ) 语言障碍： ( 3 ) 对图形的感知与想象存在障碍； ( 4 ) 逻辑障碍。 第二：几何学习有以下困难： ( 1 ) 几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象，太难学； ( 2 ) 语言表述不过关，过分专业而严密的叙述要求使不少初学几何的学生无 法逾越语言表述的障碍，本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了； ( 3 ) 害怕几何证明题，对证明无从下手，不知道要做什么事，不知道做到哪 一步就算证明出来了； ( 4 ) 基本的逻辑常识欠缺，对逆命题、反证法等理解不了； ( 5 ) “数学问题解决”的意识淡薄，停留在做模仿题的水平，遇到需要作辅助 线的题目束手无策； 。高锐灵初中数学学习障碍分析田数学教师月刊，1 9 9 4 ( 6 ) ：3 2 圆胥兴春数学学习困难及心理分析【j 】中国特殊教育，2 0 0 3 ( 3 ) 5 3 鲁献蓉数学学习困难学生的认知特点啊数学教育学报，1 9 9 9 ( 4 ) ：5 5 5 8 亩朱秉林数学教育学( 分论) 【m 】江苏：大连海运出版社，1 9 8 8 ：1 2 6 - 1 3 7 7 第2 章相关研究综述新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 ( 6 ) 不会画图、看图、用图，课本上的图形没有充分利用，反成障碍； ( 7 ) 不善于与周围实际生活联系起来去丰富想象。 从以上两个观点可以看出，几何学习困难集中表现为对图形空间感知以及推 理证明的学习困难。 2 4 范希尔理论 在有关几何学习方面的研究中，荷兰学者范希尔的几何思维水平体系是最有 影响力的理论之一。范希尔理论的核心内容有两个：一是几何思维的五个水平； 二是与之对应的五个教学阶段。前者既可用于诊断学生的几何思维水平，也可用 于教学活动的设计，后者则提出了一种几何的教学模式。了解他们的研究成果既 有助于我们的几何教学，也有助于我们对学生几何学习困难的研究。 2 4 1 几何思维水平 这里引用的是伯格( w b u r g e r ) 和绍格尼斯( w s h a u g h n e s s y ) 的介绍，做为 长期从事范希尔理论研究的学者，他们的说法得到普遍的认可。 ( 1 ) 水平0 ：视觉 学生能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图的元素( 边、角) ；能画 图或仿画图形，使用标准或不标准的名称描述几何图形；能根据对形状的操作解 决几何问题，但无法使用图形的特征或要素来分析图形，也无法对图形作概括的 论述。 ( 2 ) 水平1 ：分析 学生能分析图形的组成要素及特征，并以此建立图形的特征，利用这些特征 解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成 要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质间的关 联，也无法导出公式和使用公式的定义。 ( 3 ) 水平2 ：非形式化的演绎 学生能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建 构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及 发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提 去证明结果的成立，也不能建立定理网络之间的内在关系。 马立，顾利勤等中学数学教学从几何开始滑坡的现状及对策阴曲靖师范学院学报，2 0 0 4 ( 6 ) ：8 4 。鲍建生，周超数学学习的心理基础与过程【m 】上海：上海教育出版社，2 0 0 9 4 - 7 8 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究第2 章相关研究综述 ( 4 ) 水平3 ：形式化的演绎 学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“公理”和“定理”的意义， 确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分 或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学 中的公理、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比 较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要和充分条件。 ( 5 ) 水平4 ：严密性 在这个层次，能在不同的公里体系下严密地建立定理，以分析比较不同的几 何体系，如欧氏几何和非欧式几何系统的比较。 2 4 2 几何教学阶段 对应于几何思维的五个水平，范希尔夫妇提出了五个教学阶段，并给出了说 明，这一教学序列既适用于教师的直接教学，也适用于学生不依赖教师的独立学习。 阶段1 ：学前咨询 教师和学生就学习对象进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且 帮助学习理解要学习的课题，学生提出问题，对课题的对象和运用的词汇做出观 察，确定下一步的学习。在这一阶段，使用词汇与术语是相当重要的，这个层次 中的独特的词汇、用语和题目的标题都将通过对话而被引入。 阶段2 ：引导定向 教师为学生仔细安排活动顺序，使学生认识学习进行的方向，逐渐熟悉这一 结构的特性。在这个阶段，许多活动都是引起一个特定反应的一步( 简单) 作业。 阶段3 ：阐明 通过前面的经验和教师最低程度的提示，学生明确了词汇的意义，表达自己 对内在结构的看法。通过这一阶段，学生开始形成学习的关系系统。范希尔指出： 在这个阶段的过程中，经验的获得取决于正确的语言符号和学生们在课堂上对所 观察到的结构的讨论，教师只需要注意这些讨论所使用的习惯措辞。关联系统在 这个阶段就有一部分形成了。 阶段4 ：自由定向 在这个阶段，学生碰到多步作业或能以不同方式完成的作业。在寻找方法和 解决问题的过程中，学生获得了经验，通过自己确定学习领域的方向，他们对学 习对象之间的关系越来越明确。按照范希尔的观点：这个阶段是自由探索，探索 9 第2 章相关研究综述 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 的范围是大多数学生知道的，但学生仍需迅速找到他的方向。 阶段5 ：整合 学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个 新的思维领域。教师对学生理解的东西做一个全面的评述，帮助学生完成这一过 程，在此，教师要小心，不要提出新的或不一致的观点。 在第5 个阶段结束时，新的思维水平就获得了。 2 4 3 范希尔理论的特点 根据克劳雷( c r o w l e y ) 的说法，范希尔的几何思维水平具有以下几个特性： ( 1 ) 次序性 学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要使特定的水平顺利发展，必须掌 握前一个水平的各个概念和策略。也就是说，学生在没通过n 1 层次之前，无法达 到第n 层次。 ( 2 ) 阶段性 学生的几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄成长或心理成熟自然 而然的。没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一个水平，即由上一 个水平进入下一个水平并非一蹴而就的。 ( 3 ) 内隐性及外显性 某一个水平的内隐性质会成为下一个水平的外显性质，如某一个水平的个人 化的模糊概念在下一个水平上通过外显的表征工具( 如符号) 而得到澄清。 ( 4 ) 语言性 每一层次都有专属的阶段性语言符号。在某一层次使用的语言符号，可能到 了另一层次就必须调整为另一种语言符号，因此，每一层次都有独特的语言符号， 谓之语言性。 ( 5 ) 不适配性 如果学生的思维处于一个水平。而教师的教学处于另一个水平，那么就不可 能取得预期的教学效果，尤其是当教师的教材内容、教具选择及词汇使用均属于 较高层次时，学生将无法理解、思考其过程与结果。 ( 6 ) 不连续性 范希尔理论还有一个显著的特点是水平的不连续性，这意味着从一个水平向 另一个水平过渡不是平缓的，而是一个“跳跃”的过程，在到达新的水平之前，学生 1 0 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究。第2 章相关研究综述 必须经历一个“思维的危机”。 当然，在几何学习的研究方面，除了范希尔理论外还有其它理论，像s o l o 理论等，但就几何学习方面的研究而言，范希尔理论是最为典型的。 2 5 立体几何学习的重要性与特点 2 5 1 立体几何学习的重要性 在人类社会漫长的历史进程中，欧氏几何对科学文化的发展产生了深刻的影 响。它从几条简单而清楚的公理出发，严格的按逻辑顺序出发，推断出许多正确 的定理，人们第一次看到了理性的力量，逻辑的力量，提出了理性思维的模式， 从而增加了人们利用思维推理获得成功的信念。立体几何作为几何的重要组成部 分而言，它不仅仅是能有助于培养和发展学生的空间想象能力。 ( 1 ) 立体几何学习有利于学生形成科学的世界观和理性的精神世界 用爱因斯坦的话来说就是：“世界第一次目睹一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑 体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的我 们这里说的是欧几里德几何。推理的这种赞叹的胜利，使人类的理智获得了取得 以后成就所必需的信心。” ( 2 ) 立体几何有助于学生培养良好的思维习惯 波利亚说过，数学教育的意义并不是要教会学生去使用数学知识，而是要培 养学生良好的思维习惯，一种数学的文化修养。从这层意义上讲，立体几何是一 种有效的训练手段。几何材料具有深刻的逻辑结构，丰富的直观背景和鲜明的认 知层次，通过几何的学习可以使学生学会利用不同途径去解决问题，对几何结果 形成合理的猜想，对数量结论进行估计，为解决具体问题提供直观的模型，进而、 养成推理严谨，言必有据和条理化的思维习惯。 ( 3 ) 立体几何有助于学生发展逻辑推理和演绎推理 就像英国学者费克尔所说的：“欧几里德的那些定理之所以重要，不是因为它 是有用的，能够应用的或者它们本身的价值，而是因为他们是演绎推理系统的自 然发展的一部分。” ( 4 ) 立体几何是一种理解、描述和联系现实空间的工具 按照i c m i 的观点，“几何作为一种理解、描述和联系现实空间的工具，也许 是数学中最直观、具体和真实的部分。”初等欧氏几何本身就是对现实空间质朴地 加以数学化和直接应用的结果，而立体几何中几乎所有概念都是在对物理空间的 第2 章相关研究综述新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 具体概念进行组织的过程中发展起来的。这种局部组织对人类的日常生活仍有重 要意义。学生在他的一生中将面对具体的对象、具体的关系、具体的变换。它们 可以分别形象地表现为几何的对象，通过这种生动的类比，学生能够建立实际情 况的几何模型，从而用概括化的数学方法去解决问题。 显然，立体几何在高中数学中占有特殊的地位，是非常重要的组成部分。因 为首先，立体几何学习是锻炼和培养学生逻辑推理的能力重要途径之一。在立体 几何的证明题中常常会出现这样的情况，那就是证明的方法不是很多，要得到一 个什么结论往往要通过先证明另一个结论来进行，每一步的证明都是环环相扣， 一步步地推进的。这一点是高中数学中任何一个其它知识模块所无法替代的。 其次，立体几何部分的知识是学生在将来的实际生活中必然会用到的知识。 无论将来我们的学生从事什么工作，由于我们的现实世界就是三维空间，所以学 生学习立体几何知识是非常有用的。所以立体几何的教学应该也要相对应地体现 知识的基础性与实用性。 再者，对于要进入大学学习的学生，就必然要经过高考。有关立体几何部分 知识的试题在高考中占有一定的分量，一般分数在2 0 左右，也是不容忽视的。 总而言之，立体几何在高中数学中的地位是非常重要的。 2 5 2 立体几何学习的特点 ( 1 ) 抽象性与直观性相结合 几乎数学一诞生起几何学也就存在了，这是因为相对于数的概念，人们对于 形的认识要更加直接和具体，从这个意义上说，数属于创造，而形属于模仿。但 是数学上的“形”的概念形成也需要抽象过程，因为只有意识到形式可以脱离物体， 并且明确地把形式本身分离出来，才能称得上有“形”的概念。从另一方面而言，就 是自然界中几乎没有正规的几何形状，但人们在纺织、制轮、建屋等实践活动中 造出了或多或少的正规的物体，让人们最终找到其中的共同之处，形成抽象意义 下的几何图形。 这种舍弃了其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己的研究对象，就是 几何学的抽象性。立体几何也就是这种直观性和抽象性相结合的产物。例如： 直观形缘一抽象概念 鲍建生几何的教育价值与课程目标体系【j 】教育研究，2 0 0 0 ( 4 ) 5 3 5 4 圆江卞东高中立体几何初步内容及其教学研究【d 】苏州大学，2 0 0 9 4 - 5 孙成群关于高中数学立体几何学习的研究与实践【d 】东北师范大学，2 0 0 4 ：2 4 1 2 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究第2 章相关研究综述 平静的湖面平面 立交桥异面直线 堤坝二面角 墙角两两垂直( 三条直线，三个平面) 这种直观与抽象的结合恰恰是培养学生空间想象能力的源泉。 ( 2 ) 直觉性与逻辑性相结合 经验几何学汇集了前人流传下来的各种经验方法，以及事物之间相互关系的 一些规则，但这些经验及规则还没有完全脱离感性认识，依靠的是经验指导下的 直观感受。 然而数学真理是理性的产物，直觉须借助于理性，几何原本的逻辑结构就 是以一些定义，公设和公理为基础靠着严密的逻辑去推导出一切几何命题的。 可见，立体几何是直觉与逻辑相结合的产物，这种逻辑结构的要求使得学生 便于受到推理能力的训练，这种建立在经验基础上的直觉也是创造性的来源，因 此也是培养学生创造性思维能力的好教材。 例如：对于“两条异面直线的公垂线有且只有一条”这个命题，首先我们要有一 个直觉印象，然后做一番逻辑推理来验证：假设有两条，则这两条互相平行，这 样就会得出“两异面直线共面”的矛盾。 再如：求正四面体外接球半径，首先要有一个直觉，即外接球的球心在正四 面体的高上。再进行逻辑论证：根据球的性质，“球心与截面圆心的连线与截面垂 直”，而正四面体的高过底面外接圆圆心，因此球心必在高上。 这种直觉从何而来? 从经验中来，从生活实践中来，从动手操作中来，从逻 辑中来，因此，这种直觉与逻辑的结合是训练学生逻辑推理的基础，也是培养学 生养成动脑思考、动手实践的良好学习习惯的根本。 ( 3 ) 归纳与演绎相结合 几何原本的三大基础原始概念，公理i 、i i ，推理模式，本身都不 是靠演绎的，而靠的是归纳。一是概括人们长期实践的经验，一是由它推论出的 命题来检验。这样看来，数学是演绎科学，然而演绎的出发点和归宿都是归纳的， 演绎的方向和过程的寻求也是离不开归纳的。 立体几何这种归纳与演绎相结合的特点是培养学生公理化思想方法、分类的 思想方法和归纳的思想方法的好教材。 第2 章相关研究综述新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 例如，在直线与平面垂直的判定定理中：“如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”。定理的得到是要靠归纳的，第 一步归纳：如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，那么这条直线垂直于这 个平面。显然，这是错误的。如下图所示： 第二步归纳：如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线垂 直于这个平面。显然，当这两条直线如果互相平行则不成立。 第三步归纳：那么，一条直线和一个平面内的无数条直线垂直呢? 若这些直 线互相平行则不成立。 于是我们改变直线的位置关系，进行第四步归纳：和一个平面内的两条相交 直线垂直如何? 然后进入演绎推理阶段。 看来，在立体几何的演绎过程中显然始终是离不开归纳的。 本章节主要是运用文献研究法，通过大量阅读国内外书籍著作、期刊、论文， 整理了学习困难、数学学习困难的研究历史，介绍了立体几何学习的重要性与特 点，特别介绍了有关几何教育教学研究方面比较著名的范希尔理论，这些都为下 一章节的调查研究提供了理论基础。 1 4 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究第3 章调查及其相关分析 第3 章调查及其相关分析 3 1 调查学校情况介绍 根据实际情况发现，立体几何学习会出现困难的情况在三星级学校的学生中 发生的比较多，因此，选取三星级学校作为调查对象能使调查的问题更为清晰。 苏卅i 市田家炳实验中学是一所典型的三星级学校，它在过去几年中一直保持 着在同类学校前列的位置，且高考成绩每年在不断上升，值得关注。学校高中部 每个年级有9 个班，主要分外事旅游班( 强化班) 和普通班两种类型班级进行统 一教学和日常管理。学生进校中考成绩6 0 在6 0 0 6 1 0 之间，1 0 在6 1 0 分以上， 因而学生普遍基础比较差。学校教师比较年轻化，但都十分敬业，因而成长速度 十分迅速。 在江苏省教育局要求的“五严”之前，学校和其它同类学校一样，一直在打“时 间仗”，即双休日、国假和寒暑假都会安排时间补课，学生和老师都感觉很紧张， 每天老师和学生接触的时间也很长，但重心却并没有放在提高学生的学习效率上。 在“五严”背景之下，学校在教学教研上做出了很大调整，重心放在了“怎样在不违 反规定的条件下提高学生的学习效率”这个问题上，这就要求教师不断地自我充 电，加大集体备课和教学研究的力度，从而研究课堂的有效性，以“有效”代替“时 间”来取得进步。 在此基础上，我对该校高中部l o o o 名左右学生和1 8 名数学教师师进行了测 试卷调查、问卷调查以及访谈，试图在立体几何这个模块内容的教学和学习两方 面的研究基础上有所发现，从而对出现同类困难问题的学校的学生和教师有所帮 助，以做到真正地有效教学和学习。 3 2 学生测试调查及分析 3 2 1 立体几何初步测试卷的调查及分析 3 2 1 1 测试的方式 2 0 1 1 年5 月，在已经进行了必修2 “立体几何初步”教学内容的高二年级学生中， 每班随机抽取2 0 名，共1 8 0 名学生，进行了测试卷调查，测试采用闭卷考试的方 式，时间大概为6 0 分钟。测试的范围是根据必修2 的立体几何初步的知识点，测 第3 章调查及其相关分析 新课程标准下高中立体几何学习困难的因素分析与对策研究 试的题目参见附录1 。 3 2 1 2 测试卷题目的编制 这份测试卷主要是了解学生在“立体几何初步”这个模块里的各个知识点各个 方面的学习困难主要表现在哪里。当然，测试题的范围不可能做到面面俱到，但 已基本涵盖了立体几何的核心知识点，重点调查了学生对基本概念的掌握，空间 想象能力，图形语言、文字语言和数学符号语言的转换能力，书写表达能力，演 绎及逻辑推理能力，计算能力等方面的情况。在此基础上，我们能分析出现困难 的原因，进而找到对策。 第1 题主要考察学生对棱柱、棱锥等空间几何体结构特征的认识以及文字语 言与图形语言的转换，即通过语言对图形进行想象的空间想象力。 第2 题主要考察学生对三视图的了解情况及观察图形、识别图形的能力。 第3 题主要考察学生对平面基本性质的了解、对图形的空间想象能力以及图 形语言和文字语言的转换能力。 第4 题主要考察学生对空间两条直线位置关系的理解，也有文字语言与图形 语言的转换。 第5 题主要考察学生对直线与平面平行概念的理解及观察、操作图形的空间 想象能力。 第6 题主要考察学生对直线与平面垂直概念的理解