自动控制理论课程设计-直线一级倒立摆控制器设计.doc

Harbin Institute of Technology课程设计说明书课程名称： 自动控制理论课程设计 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院 系：电气工程及其自动化学院 哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学课程设计任务书 姓 名： 院 （系）： 专 业： 班 号： 任务起至日期： 年 月 日至 年 月 日课程设计题目： 一阶倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的一阶倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为：小车质量 0.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ； 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；采样时间0.005秒。设计要求：1推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行脉冲输入仿真，验证系统的稳定性。2设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。3设计最优控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒（2）的上升时间小于1秒（3）的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。 工作量：1. 建立一阶倒立摆的线性化数学模型；2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；3. 倒立摆系统的最优控制器设计、MATLAB仿真及实物调试。工作计划安排：第一周：理论准备，建立直线一级倒立摆的线性化数学模型；第二周：倒立摆系统的PID控制器的设计、极点配置控制器设计、MATLAB仿真、实验。第三周：内容补充及撰写课程设计论文。 同组设计者及分工： 何天然和屠聪同学负责系统建模，陈学赓同学负责PID控制器的设计，葛腾飞同学负责仿真分析，邹亚楠同学负责极点配置控制器设计，并一起验证结果。 指导教师签字_ 年 月 日 教研室主任意见： 教研室主任签字_ 年 月 日*注：此任务书由课程设计指导教师填写。1、 系统建模1) 直线一级倒立摆数学模型的推导直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。用牛顿力学方法建模：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示： 图1直线一级倒立摆模型系统受力分析如图2： 图2及摆杆受力分析本系统参数定义如下：小车质量；摆杆质量。小车摩擦系数；摆杆转动轴心到杆质心的长度；摆杆惯量；加在小车上的力；小车位置；摆杆与垂直向上方向的夹角。摆杆与垂直向下方向的夹角根据牛顿第二定律分析小车水平方向受力方程为： 因此主动控制力可近似线性化地表示为： 即： 代入上式： 垂直方向上： 即： 力矩平衡方程： 注意等式前面的负号，由于 1.微分方程模型设，近似处理:设u=F，则线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式如下： 2.传递函数模型对上式拉氏变换处理，设初始条件为0，则：输出为角度为，由第二式得到 或者 如果令，则有 把上式代入10式，则有： 整理： 其中从而，有3. 状态空间数学模型控制系统的状态空间方程可写成如下形式：，可得状态方程2) 系统阶跃响应分析通过对上面得到的系统的状态方程进行阶跃响应分析得图3：%实际系统参数 M=0.5; m=0.2; b=0.1; l=0.3; I=0.006; g=9.8; T=0.005; %求传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置) q=(M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2;num=m*l/q 0; den=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q; gs=tf(num,den);numpo=(I+m*l2)/q 0 -m*g*l/q; denpo=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0; gspo=tf(numpo,denpo);%求状态空间sys(A,B,C,D) p=I*(M+m)+M*m*l2;A=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p m2*g*l2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0; B=0;(I+m*l2)/p;0;m*l/p; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0; sys=ss(A,B,C,D); %通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环阶越响应 t=0:T:5; y1=step(gs,t); y2=step(gspo,t); figure(1); plot(t,y2,b,t,y1,r); axis(0 2.5 0 80); legend(Car Position,Pendulum Angle); 图3 摆杆和小车位置的开环阶跃响应注：左边红色代表小车位置，右边蓝色代表摆杆角度响应。可以看出 ：小车位置和摆杆角度都是发散的。3.稳定性验证一级倒立摆系统稳定性分析：我们都知道控制系统的稳定性是其能否正常工作的首要条件，是分析其他特性的基础，也是系统一个最基本的性能要求。在控制领域中，判断系统是否稳定有许多方法比如劳斯判据，赫尔维茨判据，最传统也最简单的方法就是判断系统的特征根是否都具有负实部，如是，系统稳定；不是，即特征根有在坐标轴右边的，则系统不稳定。我们采用的方法就是： 判断特征根法。状态空间计算得极点为：p = 5.5651，-0.1428，-5.6041因系统有一个极点在s平面的右半平面上，有一个极点在原点 ，所以系统不稳定。2、 PID控制器设计与调节1) PID控制分析PID控制是按偏差e的比例（P-Proportional）、积分（I-Integral）和微分（D-Derivative）线形组合进行控制的控制方法。由于PID控制器具有简单的控制结构，在实际应用中又比较易于整定，所以它在工业过程控制中有着很广泛的应用。又由于大多数PID控制器是现场调节的，所以利用不同类型的调节律可以的PID控制器进行精确而细致的现场调节。下面通过实验来说明PID控制在倒立摆系统中的应用。这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如图4:图4 考虑摆角和输入信号的系统框图图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。考虑到输入，结构图可以很容易的变换成图5：图5 考虑摆角但不考虑输入信号的系统框图该系统的输出为 其中， 被控对象传递函数的分子项被控对象传递函数的分母项PID控制器传递函数的分子项PID控制器传递函数的分母项被控对象的传递函数是 其中 PID控制器的传递函数为 只需调节PID控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。前面讨论的输出量只考虑了摆杆角度，那么，在我们施加扰动的过程中，小车位置如何变化？考虑小车位置，得到改进的系统框图如下图6：图6同时考虑摆角和小车位置且考虑输入信号的系统框图其中，是摆杆传递函数，是小车传递函数。由于输入信号，所以可以把结构图转换成图7：图7 同时考虑摆角和小车位置但不考虑输入信号的系统框图其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。注:从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。小车位置输出为： 其中，分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。和代表PID控制器传递函数的分子和分母。下面我们来求，根据第一章的推导，有 可以推出小车位置的传递函数为 其中 可以看出， =，小车的算式可以简化成： 2) PID控制仿真1.摆杆角度讨论按题目要求，施加0.1N的脉冲信号，观察指标。%考虑摆杆角度M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3;q = (M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2; num1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;num = conv(num1,denPID);den = polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1 ); r,p,k = residue(num,den);s = p t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)axis(0 2 0 50)grid仿真结果为：Kp = 1;Ki = 1; Kd = 1;如图8图8 未调整PID参数系统响应图由图可知系统响应是不稳定的，不能满足要求，需要调整参数Kp，Kd和Ki，直到获得满意的控制结果。首先增加比例系数Kp，观察它对响应的影响，取Kp=110，Kd=1.系统响应如下：b、Kp = 110;Ki = 1; Kd = 1;如图9图9 参数Kp = 100;Ki = 1; Kd = 1时系统响应图系统稳定时间约为2秒，满足要求。由于此时稳态误差为0，所以不需要改变积分环节（可以改变积分系数，观察系统响应会变坏）；系统响应的超调量比较大，为了减小超调，增加微分系数Kd，取Kd=25，观察响应曲线：c、Kp = 110;Ki = 1; Kd = 25;如图10图10 参数Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20时系统响应图由图可知，系统稳定时间约为1秒，稳态误差为0，超调量为5，满足要求。不需要在调节，如果再加积分，则结果会变坏d、Kp = 110;Ki = 20; Kd = 25;时，axis(0 5 -0.03 0.06)如图11图11参数Kp = 100;Ki = 20; Kd = 20时系统响应图 相对图10来讲，这次结果明显变坏。 但是作出调整：Kp = 45;Ki = 15; Kd = 10，则结果如图12：图12参数Kp = 45;Ki = 15; Kd = 10，时系统响应图这个结果符合要求的。2.小车位置变化讨论%仿真小车位置变化M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3;q =(M+m)*(I+m*l2) -(m*l)2; %simplifies inputnum1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;num2 = (I+m*l2)/q 0 -m*g*l/q;den2 = den1kd = 10kp = 45ki = 15numPID = kd kp ki;denPID = 1 0;numc = conv(num2,denPID);denc = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1);t=0:0.005:5;impulse(numc,denc,t)小车位置变化结果如图13 图13参数Kp = 100;Ki = 1; Kd = 20时系统响应图由图可知,小车只能像一个方向运行，小车的位置是不稳定的。3、 状态空间极点配置控制器设计1.极点配置在上一节的PID控制算法结论中可以看到，PID算法只控制了摆杆的角度而没控制小车的位移。下面我们用极点配置法同时对摆杆角度和小车位移进行控制。由第一章可知系统状态方程为： 检验系统状态完全能控性：Qc = 0 1.8182 -0.3306 12.2089 1.8182 -0.3306 12.2089 -4.4287 0 4.5455 -0.8264 141.8858 4.5455 -0.8264 141.8858 -31.3196ans =4，显然可控。根据要求，设调整时间为2秒，选取期望的主导闭环极点：-2+2j，-2-2j, -12，-122.仿真A=0 1 0 0;0 -0.1818 2.6727 0;0 0 0 1;0 -0.4545 31.1818 0;B=0;1.8182;0;4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;t=0:0.005:10;JA=poly(A);a1=JA(2);a2=JA(3);a3=JA(4);a4=JA(5);M=B A*B A2*B A3*B;rank(M)W=a3 a2 a1 1;a2 a1 1 0;a1 1 0 0;1 0 0 0;T=M*W;%极点配置J=-12 0 0 0;0 -2+2j 0 0;0 0 -2-2j 0;0 0 0 -12;JJ=poly(J)aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);aa4=JJ(5);K=aa4-a4 aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1*(inv(T)At=A-B*K;Bt=B;Ct=K;Dt=D;%线性定常时不变（LTI）转换成状态空间模型zT pT gainT=ss2zp(At,Bt,Ct,Dt);%求取系统稳态值dcg=dcgain(At,Bt,Ct,Dt);%求阶跃响应U = 0.2*ones(size(t);figure(1)yc=lsim(At,Bt,Ct,Dt,U,t);yc1=yc/dcg;plot(t,yc1);xlabel(t(s),ylabel(z(m);gridF=1 0 0 0;zT1 pT1 gainT1=ss2zp(At,Bt,F,Dt);figure(2)x1=lsim(At,Bt,F,Dt,U,t);x11=x1/dcg+pi;plot(t,x11); xlabel(t(s),ylabel(rad);grid;仿真结果：K =-25.8609 -17.3406 71.7637 13.0562。如图14.15图14倒摆小车位置的响应曲线图15倒摆倾角的响应曲线由响应曲线可以看出：由以上分析可见，状态反馈系统为稳定闭环系统，状态向量在初始扰动下的响应将渐渐的衰减至零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置. 上述分析设计基于小扰动假设，即当，均很小时，在被控对象线性化条件下进行的。考虑到施加控制后，通常可满足上述条件，故该设计是行之有效的。由实验结果可以看出：极点配置法成功实现了同时对倒立摆摆角和小车的位置的控制，但是在极点配置时，希望极点的选取，需要考虑、研究它们对系统品质的影响以及它们与零点分布状况的关系，还需要顾及抗干扰性能方面的要求；在对性能的影响方面，我们通常只考虑主极点的影响，但非主导极点的影响有时不可忽略，这样我们很难较好地选择所有的极点。极点配置法，虽然利用现代状态空间的形式，但仍保留了古典控制的思想。状态反馈系统的主要优点是极点的任意配置，无论开环极点和零点在什么位置，都可以任意配置期望的闭环极点。这为我们提供了控制系统的手段，假如系统的所有状态都可以被测量和反馈的话，状态反馈可以提供简单而适用的设计。4、 实验验证1. PID调试参数：Kp=45；Ki=15；Kd=10 试验结果如下图16： 图16 直线一级倒立摆PID 控制实验结果（施加干扰）结论：可以看出，系统可以较好的抵换外界干扰，在干扰停止作用后，系统能很快回到平衡位置。2.极点配置试验实验电路图如图17：图17 极点配置电