（应用数学专业论文）模糊序Γ半群中的若干问题.pdf

五邑大学硕士学位论文 摘要 设s 为非空集，在s 上定义一个二元运算“”，若( s ，) 满足以下两个条件：( 1 ) 对任意 的a ，b s ，有a b s ；( 2 ) 对任意的a ，b ，c s ，( 口b ) c = a ( b c ) 恒成立，则称( s ，) 是 一个半群【1 5 】若s 是带有序关系“s ”的半群且满足对任意的x s ，as6 蕴涵x a x b 并且a x b x ，则称( s ，) 是一序半群1 1 6 1 1 9 6 5 年，z a d e h 介绍了模糊子集的概念设s 为 非空集，任意一个从s 到区间【0 ，l 】的映射，称为s 的一个模糊子集【1 8 1 1 9 8 1 年，m k s e n 介绍了r 半群的概念，设s 和r 是任意两个非空集合，如果存在一个s f s s 的映 射，写作( 口，孔b ) a y b ，满足对任意的a ，b ，c s ，y ，p f ，( a y b ) l a c = a y ( b l a c ) 恒成立，则 称s 是一个r 半群 1 2 1 若r 半群s 是一个序集并满足对任意的a ，b ，c s ，7 f ，a b 蕴 涵a y c l r r c 并且c t asc y b ，则称s 是一序r 半群【1 4 】 本文研究了模糊序半群和序r 半群的基本理论，共分两章 第一章首先我们引入了序半群s 的模糊双理想的概念，然后给出了模糊双理想的一 些性质并讨论由序模糊点生成的模糊双理想最后我们利用序模糊点和模糊双理想对正 则舵序半群给出了刻画 第二章首先我们引入了b 单子r 半群，序r 半群s 的序双理想，极小序双理想，核的 概念，然后证明了序r 半群s 的一个序双理想b 是极小的当且仅当b 是b 单的并且证明了 序r 半群s 的所有序双理想的并是s 的核最后我们引入正则序i 半群的概念利用序左理 想、序右理想或者序左理想、序右理想和序拟理想来刻画正则序r 半群 关键词：正则序半群；舵序半群；模糊双理想；序r 半群；极小的序双理想；b 单序r 半群；正 则序r 半群 五邑大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e tsb ean o n e m p t ys e t ，w ed e f i n eab i n a r yo p e r a t i o n “”o ns ，i f ( s ，) s a t i s f i e st h e f o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n s ：( 1 ) f o ra n ya ，b s ，a b s ；( 2 ) ( 口b ) c = a ( b c ) f o ra n 4 ，b ，c s ，t h e n ( s ，) i sc a l l e das e m i g r o u p 【1 5 】i fas e m i g r o u psw i t ha no r d e rr e l a t i o n “” s u c ht h a ta bi m p l i e sx a x ba n da xsb xf o ra n y 工s ，t h e n ( s ，) i sc a l l e da no r d e r e d s e m i g r o u p 【1 6 i n1 9 6 5 ，z a d e hi n t r o d u c e d t h e c o n c e p to f a f u z z ys e t 【1 8 】l e tsb ean o n e m p t y s e t , a n yaf u n c t i o nff r o mst ot h er e a lc l o s e di n t e r v a l 【o ，1 】i sc a l l e daf u z z ys u b s e to fs i n 1 9 8 1 ，t h ec o n c e p to ff - s e m i g r o u p sw a si n t r o d u c e db ym k s e n 【1 2 l e tsa n di b ea n yt w o n o n e m p t ys e t s ，i ft h e r ee x i s t sam a p p i n gs f s - s ，w f i a e na s ( a ，7 ，b ) _ a y b ，s a t i s f y i n g t h ef o l l o w i n gi d e n t i t i e s ( a y b ) b t c = a r ( b u c ) f o ra l la ，b ，c sa n d ，t f ，t h e nsi sc a l l e d ar - s e m i g r o u p i faf - s e m i g r o u psi sa no r d e r e ds e ts u c ht h a ta bi m p l i e sa y c b r ca n d c - y a c y bf o ra n ya ，b ，c sa n dy f ，t h e nsi sc a l l e da l lo r d e r e dr - s e m i g r o u p 1 4 i nt h i st h e s i s 。w es t u d yf u n d a m e n t a lt h e o r yo ff u z z yo r d e r e ds e m i g r o u p sa n do r d e r e dr - s e m i g r o u p s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no ff u z z yb i - i d e a l so fa l lo r d e r e ds e m i g r o u p s ，t h e n g i v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so ff u z z yb i - i d e a l so fo r d e r e ds e m i g r o u p sa n dd i s c u s sf u z z yb i - i d e a l s g e n e r a t e db yo r d e r e df u z z yp o i n t s f i n a l l y , w ec h a r a c t e r i z er e g u l a rd u oo r d e r e ds e m i g r o u ps b yo r d e r e df u z z yp o i n t sa n df u z z yb i - i d e a l so fs i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fb s i m p l es u b - f - s e m i g r o u pa n do r d e r e db i i d e a l s ，m i n i m a lo r d e r e db i i d e a l s ，k e r n e l so fa no r d e r e df s e m i g r o u pst h e nw es h o wt h a ta l l o r d e r e db i i d e a lbo fa no r d e r e dr s e m i g r o u psi sm i n i m a li fa n do n l yi fbi sb s i m p l ea n d t h a tt h eu n i o no fa l lt h em i n i m a lo r d e r e db i - i d e a l so fa no r d e r e df - s e m i g r o u psi st h ek e r n e lo f s f i n a l l y ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fr e g u l a ro r d e r e df - s e m i g r o u p sa n dc h a r a c t e r i z er e g u l a r o r d e r e df - s e m i g r o u p si nt e r m so fo r d e r e dl e f ti d e a l s ，o r d e r e df i g h ti d e a l so ro r d e r e dl e f ti d e a l s ， o r d e r e dr i g h ti d e a l sa n do r d e r e dq u a s i i d e a l s k e y w o r d s ：r e g u l a ro r d e r e ds e m i g r o u p ；d u oo r d e r e ds e m i g r o u p ；f u z z yb i - i d e a l ；o r d e r e dr - s e m i g r o u p ；m i n i m a lo r d e r e db i - i d e a l ；b - s i m p l eo r d e r e df - s e m i g r o u p ；r e g u l a ro r d e r e df s e m i g r o u p 五邑大学硕士学位论文 本人声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文及其研究工作有本人在导师指导下独立完成，完 成论文所用的一切资料均已在参考文献中列出。 作者：王学影 签字：未净衩 2 0 0 9 年4 月1 0 日 五邑大学硕士学位论文 i n t r o d u c t i o n l e tsb ean o n e m p t ys e t af u z z ys u b s e to fsi s ，b yd e f i n i t i o n ，a l la r b i t r a r ym a p p i n g f ：s 0 ，l 】，w h e r e 【0 ，1 】i st h eu s u a li n t e r v a lo fr e a ln u m b e r s t h i si m p o r t a n tc o n c e p to f a f u z z ys e th a sf i r s tb e e ni n t r o d u c e db yz a d e hi nh i sp a p e rp u b l i s h e di n19 6 5i n 【18 h i ss e m i n a l p a p e rh a so p e n e du pf l e wi n s i g h t sa n da p p l i c a t i o n si naw i d er a n g eo fs c i e n t i f i cf i e l d s i tp r o - v i d e dt o o l sa n da na p p r o a c ht om o d e li m p r e c i s i o na n du n c e r t a i n t yp r e s e n ti np h e n o m e n at h a t d on o th a v es h a r pb o u n d a r i e s s i n c et h e n ，m a n yp a p e r so nf u z z ys e t sa p p e a r e ds h o w i n gt h e i m p o r t a n c eo ft h ec o n c e p ta n di t sa p p l i c a t i o n st ol o g i c ，s e tt h e o r y , a l g e b r at h e o r y ，r e a la n a l y s i s ， t o p o l o g y ，e t c i n19 71 ，r o s e n f e l du s e dt h en o t i o no faf u z z ys u b s e t so fa s e tt oi n t r o d u c et h e n o t i o no ff u z z ys u b g r o u po fag r o u p ，r o s e n f e l d sp a p e ri n s p i r e dt h ed e v e l o p m e n to ff u z z ya b s t r a c ta l g e b r a 【1 9 f o l l o w i n gt h ef o r m u l a t i o no ff u z z yg r o u p sb yr o s e n f e l d 【19 】，m a n yr e s e a r c h e r sa r ee n g a g e di ne x t e n d i n gt h ec o n c e p t sa n dr e s u l t so fp u r ea l g e b r a st ot h eb r o a d e rf r a m e w o r k o ft h e f u z z ys e t t i n ga l t h o u g hn o ta l lt h er e s u l t si na l g e b r a sc a nb ef u z z i f i e d a sw ek n o w ，i nt h ep a p e r 【2 0 】“f u z z y ”a h a l o g o u so fs e v e r a lf u n i l e ri m p o r t a n tn o t i o n s ，e g t h o s eo fab i - i d e a lo ra ni n t e r i o ri d e a li nar i n grh a v eb e e nd e f i n e da n dj u s t i f i e di nas i m i l a rf a s h i o n i nr i n g s ，a f t e rl i u s w o r k s 【2 0 ，s w a m ya n ds w a m y 【6 】，m u k h e r j e ea n ds e n 【2 5 ，2 6 ，m a l i ka n dm o r d e r s o n 【2 4 ， a n do t h e r s ，d e f i n e dp r i m ef u z z yi d e a l si nar i n gr ，a n dp r o v e dt h a taf u z z yi d e a lfo far i n gr i sp r i m ei fa n do n l yi f i m f = 1 ，纠，卢【o ，1 ) ，a n dt h ei d e a l 五= x r ：似) = 1ji sp r i m e t h e s es t u d i e s ，a tt h es a m et i m e ，w e r ec a r r i e do u tb yz h a n gy u e 2 7 】f o rl - p r i m ef u z z yi d e a l s i nar i n g f u r t h e r m o r e ，a b o u z a i d 【2 8 】c h a r a c t e r i z e dp r i m ef u z z yi d e a l si nan e a r - r i n g ，a n dj u n 【2 9 】e x t e n d e dt h ep r i m ef u z z yi d e a l si nr i n g st of - r i n g s ，h eg a v es o m es i m i l a rc h a r a c t e r i z a t i o n s o fp r i m ef u z z yi d e a l si nf - r i n g s o nt h eo t h e rh a n d ，i n19 7 9k u r o k i 【3 0 】i n t r o d u c e df u z z ys e t si nt h es e m i g r o u pt h e o r y , a n d t h e ni n t r o d u c e df u z z ys e m i p r i m ei d e a l si nas e m i g r o u ps 【31 i n 【2 ，3 0 3 2 】k u r o k ig a v es o m e p r o p e r t i e so ff u z z yi d e a l sa n df u z z yb i i d e a l sa n df u z z yg e n e r a l i z e dt ；i - i d e a l so fas e m i g r o u p ( w i t h o u to r d e r ) a n dc h a r a c t e r i z e dar e g u l a rs e m i g r o u p ，a ni n t r a r e g u l a rs e m i g r o u p ，as e m i g r o u p t h a ti sas e m i l a t t i c eo fl e f t ( f i g h t ) s i m p l es e m i g r o u p sa n ds oo nb yf u z z yi d e a l s ，f u z z yb i i d e a l s ， f u z z yg e n e r a l i z e db i i d e a l sa n df u z z ys e m i p r i m e i d e a l s i n19 9 5 ，a h s a na n do t h e r s 【3 3 】p r o v e d t h a ta s e m i g r o u psi ss e m i s i m p l ei fa n do n l yi fe a c hf u z z yi d e a lo fs i st h ei n t e r s e c t i o no ff u z z y p r i m ei d e a l so fsw h i c hc o n t a i ni t s i n c et h e n ，x i e 【3 4 ，3 5 】i n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fw e a k l y 五邑大学硕士学位论文 p r i m ef u z z yi d e a l s ，c o m p l e t e l yp r i m ef u z z yi d e a l sa n dw e a k l yc o m p l e t e l yp r i m ef u z z yi d e a l s o fas e m i g r o u ps ，a n de s t a b l i s ht h er e l a t i o n sa m o n gf o u rc l a s s e sp r i m ei d e a l s f u r t h e r m o r e ， f u z z yp r i m ei d e a l so ns e m i g r o u p sh a v eb e e na l s oc o n s i d e r e db yk e h a y o p u l u ，x i ea n dt s i n g e l i s i n 【3 6 】a n db yk e h a y o p u l ua n dt s i n g e l i si n 【3 7 r e c e n t l y , at h e o r yo ff u z z ys e t so no 耐e m ds e m i g r o u p sc a nb ed e v e l o p e d 【3 - 5 ，2 5 2 6 ，3 8 - 3 9 f o l l o w i n gt h et e r m i n o l o g yg i v e nb yz a d e h ，i fsi sa no r d e r e ds e m i g r o u p ，f u z z ys e t si n o r d e r e ds e m i g r o u p ssh a v eb e e nf i r s tc o n s i d e r e db yk e h a y o p u l ua n dt s i n g e l i si n 【4 ，t h e yt h e n d e f i n e d “f u z z y ”a n a l o g o u sf o rs e v e r a ln o t a t i o n st h a th a v eb e e np r o v e dt ob eu s e f u li nt h et h e o r yo fo r d e r e ds e m i g r o u p s m o r e o v e r , t h e yp r o v e t h a te a c ho r d e r e dg r o u p o i dc a nb ee m b e d d e d i n t oa l lo r d e r e dg r o u p o i dh a v i n gag r e a t e s te l e m e n t ( p o e g r o u p o i d ) i nt e r m so ff u z z ys e t s 【3 】 t h e ya l s oc h a r a c t e r i z et h eb i i d e a l so fo r d e r e ds e m i g r o u p si nt e r m so ff u z z yb i i d e a l s 【3 8 】a n d r e g u l a ro r d e r e ds e m i g r o u p si nt e r m so ff u z z yf i g h t , l e f ti d e a l sa n df u z z yq u a s i i d e a l s 【2 6 】a n d s o m et y p e so fo r d e r e ds e m i g r o u p si nt e r m so ff u z z ys e t s 【4 0 】 i n2 0 0 3 ，x i ec h a r a c t e r i z e ds e m i l a t t i c eo fb - s i m p l eo r d e r e ds e m i g r o u p s 【41 ，h eg a v eo n e m a i nt h e o r e mw h i c hc h a r a c t e r i z e sr e g u l a rd u oo r d e r e ds e m i g r o u p s i nc h a p t e r1o ft h i sp a p e r , t h ec o n c e p to fo r d e r e df u z z yp o i n t so fa no r d e r e ds e m i g r o u psi si n t r o d u c e d ，t h i si sak e yn o t i o n t od e p i c tf u z z yr i g h t , l e f t , t w o - s i d ea n db i - i d e a l so fo r d e r e ds e m i g r o u p s t h e nc h a r a c t e r i z a t i o n s o ff u z z yb i i d e a l so fo r d e r e ds e m i g r o u p sg e n e r a t e di nt e r m so fo r d e r e df u z z yp o i n t sa r eg i v e n f i n a l l y ，w ec h a r a c t e r i z er e g u l a rd u oo r d e r e ds e m i g r o u p si nt e r m so ff u z z yl e f ti d e a l s ，f u z z y f i g h ti d e a l sa n df u z z yb i - i d e a l so fo r d e r e ds e m i g r o u p s i n19 81 ，t h ec o n c e p to ff - s e m i g r o u p sw a si n t r o d u c e db ym k s e n 【12 】t h e nm k s e n a n dn k s a h a 【11 】i n t r o d u c e df - s e m i g r o u p sd i f f e r e n tf r o mf i r s td e f i n i t i o no ff - s e m i g r o u p si n t h es e n s eo fs e n ( 19 8 1 ) s i n c et h e n ，m a n yp a p e r so nf - s e m i g r o u p sa p p e a r e ds h o w i n gt h ei m p o r - t a n c eo ft h ec o n c e p t i n2 0 0 7 ，r c h i n r a ma n dc j i r o j k u li n t r o d u c e dc o n c e p to fb i f - i d e a l si n f - s e m i g r o u p sa n ds h o w e dt h a tab i f - i d e a lbo faf s e m i g r o u psi sa m i n i m a lb i - f - i d e a lo fsi f a n d o n l yi fb i sab i s i m p l ef - s e m i g r o u p 【4 2 1 i n2 0 0 8 ，k h i l a 【4 3 】g a v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n s o fq u a s i i d e a l si nf s e m i g r o u p sa n ds o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h er e g u l a r i t yo faf s e m i g r o u p s i nt e r m so fl e f t ，r i g h t ，q u a s i a n db i - i d e a l s i n19 9 7 ，t h ec o n c e p to fo r d e r e df - s e m i g r o u p sw a si n t r o d u c e d 【14 t h e ny i k w o na n d s k l e eg a v es o m ep r o p e r t i e so fw e a k l yp r i m ei d e a l sa n dw e a k l ys e m i p r i m ei d e a l so fo r d e r e d f s e m i g r o u p s 【17 】a n dc h a r a c t e r i z e dt h el e f tr e g u l a rp o - f - s e m i g r o u p s 【4 4 m s i r i p i t u k d e ta n d a i a m p a ng a v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fm i n i m a la n dm a x i m a lo r d e r e dl e f ti d e a l si np o - f - s e m i g r o u p s 【13 】a n di n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fo r d e r e dn - p r i m ei d e a l sa n dt h eo r d e r e d n s e m i p r i m ei d e a l si no r d e r e df - s e m i g r o u p sa n dt oc h a r a c t e r i z et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e 2 五邑大学硕士学位论文 o r d e r e dn - p r i m ei d e a l sa n do r d e r e di d e a le x t e n s i o n si no r d e r e dr - s e m i g r o u p s 【4 5 1 t h ec o n c e p to fr e g u l a rt i n g sw a si n t r o d u c e db yy o nn e u m a n n 【4 6 a sw ek n o w n ，t h ec l a s s o fs u c ht i n g sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h ea b s t r a c ta l g e b r a ，i nt h et h e o r yo fb a n a c ha l g e b r a s 【4 7 】a n di nt h ec o n t i n u o u sg e o m e t r y 【4 6 i n19 5 6 ，k o v d c sc h a r a c t e r i z e dar e g u l a rt i n g sa st i n g s s a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o nan b=abf o re v e r yt i g h ti d e a laa n de v e r yl e f ti d e a lb 【4 7 s i n c e t h e n ，i s 舌k is t u d i e dt h es a m ef o rs e m i g r o u p s h ep r o v e dt h a tas e m i g r o u p ( s ，) i sr e g u l a ri fa n d o n l yi ff o re v e r yt i g h ti d e a laa n de v e r yl e f ti d e a lbo fs ，anb = a b 4 8 a sac o n s e q u e n c e ， ac o m m u t a t i v es e m i g r o u pi sr e g u l a ri fa n do n l yi ff o re v e r yi d e a lo fsi si d e m p o t e n t 【4 8 1 i n 19 61 ，c a l a i sp r o v e dt h a tas e m i g r o u psi sr e g u l a ri fa n do n l yi ft h ef i g h ta n dt h el e f ti d e a l so f sa r ei d e m p o t e n ta n df o re v e r yt i g h ti d e a laa n de v e r yl e f ti d e a lbo fs ，t h ep r o d u c ta bi sa q u a s i i d e a lo fs 【4 9 t h e nk e h a y o p u l ue k t e n d e dt h o s er e s u l t st oo r d e r e ds e m i g r o u p s 【6 】i n 2 0 0 3 ，x x ua n dj m ai n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fm i n i m a lb i i d e a l sa n dt - s i m p l es u b s e m i g r o u p s i no r d e r e ds e m i g r o u p s t h e ys h o w e dt h a tab i - i d e a lbo fa no r d e r e ds e m i g r o u psi sm i n i m a li f a n do n l yi fbi st - s i m p l ea n dt h a tt h eu n i o no fa l lm i n i m a lb i i d e a l so fa no r d e r e ds e m i g r o u ps i st h ek e r n e lo f s 【5 0 b yt h em o t i v a t i o no fs t u d y i n go fo r d e r e ds e m i g r o u p ，w ee x t e n ds o m es i m i l a rr e s u l t st o o r d e r e df - s e m i g r o u p s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c ec o n c e p t so fm i n i m a lo r d e r e db i i d e a l sa n d b s i m p l es u b f s e m i g r o u p si no r d e r e df - s e m i g r o u p s w es h o wt h a ta no r d e r e db i - i d e a lb o f a no r d e r e df - s e m i g r o u psi sm i n i m a li fa n do n l yi fbi sb s i m p l ea n dt h a tt h eu n i o no fa l lt h e m i n i m a lo r d e r e db i - i d e a l so fa no r d e r e df - s e m i g r o u psi st h ek e r n e lo fs t h e nt h ec o n c e p to f r e g u l a ro r d e r e df - s e m i g r o u p si si n t r o d u c e da n dw ec h a r a c t e r i z er e g u l a ro r d e r e df s e m i g r o u p s b ym e a n s o fo r d e r e dl e f ti d e a l s ，o r d e r e dt i g h ti d e a l sa n do r d e r e dq u a s i - i d e a l s i nt h i st h e s i s ，w ei l l u s t r a t et h a to n e c a np a s sf r o mt h et h e o r yo fo r d e r e ds e m i g r o u p st ot h e t h e o r yo f f u z z y ”o r d e r e ds e m i g r o u p sa n do r d e r e df s e m i g r o u p s 3 五邑大学硕士学位论文 c h a p t e r1f u z z yb i - i d e a l sa n dr e g u l a rd u oo r d e r e d s e m l g r o u p s 1 1p r e l i m i n a r i e s t h r o u g h o u tt h i sp a p e r , w ed e n o t eb yz + t h es e to fa l lp o s i t i v ei n t e g e r s i ns e q u e lw ed e n o t e ， b ys ，a no r d e r e ds e m i g r o u p ，t h a ti s ，as e m i g r o u psw i t ha no r d e rr e l a t i o n “”s u c ht h a ta b i m p l i e sx a x ba n da x b xf o ra n y 工s ( f o re x a m p l e ，s e e 【l 】) af u n c t i o nf f r o mst o t h er e a lc l o s e di n t e r v a l 【0 ，1 】i sc a l l e daf u z z ys u b s e to fs t h eo r d e r e ds e m i g r o u psi t s e l fi sa f u z z ys u b s e to fss u c ht h a ts ( x ) 兰1f o ra l lx s ( t h ef u z z ys u b s e tsi sa l s od e n o t e db yl 【2 】) l e tab ea n o n e m p t ys u b s e to fs w ed e n o t eb y t h ec h a r a c t e r i s t i cm a p p i n go fa ，t h a ti s ，t h e m a p p i n go fsi n t o 【0 ，l 】d e f i n e db y 胁，= 。1 f x 工钒c a , t h e n i saf u z z ys u b s e to fs l e tf a n dgb et w of u z z ys u b s e t so fs t h e nt h ei n c l u s i o n r e l a t i o n ，gi sd e f i n e db y f ( x ) g ( 工) f o ra l lj s a n dfnga n dfu ga r ed e f i n e db y u ng ) ( 曲= m i n ( f ( x ) ，g ( 工) ) = f ( x ) ag ( 力， ( 厂ug ) ( 工) = m a x ( f ( x ) ，g ( 工) ) = f ( x ) vg ( 曲， f o ra l lx s t h es e to fa l lf u z z ys u b s e t so fsi sd e n o t e db y ，( s ) o n ec a ne a s i l ys h o wt h a t ( f ( s ) ，c ，n ，u ) f o r m sac o m p l e t el a t t i c ew i t ht h em a x i m u me l e m e n tsa n dt h em i n i m u me l e m e n t 0 ，w h i c hi sam a p p i n gf r o msi n t o 【0 ，1 】d e f i n e db y 0 ：s _ 【0 ，1 】，x 卜o ( 工) ：= 0 ，y x s l e t ( s ，) b ea no r d e r e ds e m i g r o u p f o rx s ，w ed e f