（光学专业论文）自发辐射和电离速率的量子相干控制.pdf

自发辐射和电离速率的量子相干控制 王利强 摘要自发辐射作为光与物质相互作用的三个基本过程之一，一直就是物理 学的一个重要研究课题。它导致了许多重要的现象，如：光电设备的量子噪声、 有限激光线宽等，因此很长一段时间以来，人们一直想通过某种方法来抑制或消 除自发辐射。近年来通过量子干涉的方法来实现对自发辐射的控制引起了广泛的 关注，并相继在理论和实验上发现了许多由量子干涉引起的物理效应，如自发辐 射的抑制和猝灭、超窄谱线、电磁感应透明、无粒子数反转激光等。早期以激光 场为基础的控制方法一般是依靠激光频率的分辨率或强激光的使用来改变原子或 分子的化学动力学特性的，两种方法的共同缺点是有极强的背景，并且强激光的 使用在实际应用中受到很大限制，因此利用相干相位技术来达到对自发辐射的控 制成为个新的努力目标。 基于上述思想，本文第三章对梯一型三能级系统中自发辐射的相干控制进行了 研究，采用从基态到第一激发态为双激光场驱动的物理模型。通过变换驱动激光 场之间的相对相位，得到了如下主要结论： 由于能级分裂的缘故，谱线呈现出三个谱峰的对称形式。当初始相位相同时， 两边辐射峰值较高而中间的峰值较低。随着初始相位差的增加，两边谱峰之间的 距离逐渐增大，谱线的高度逐渐下降，当初始相位差为7 时完全消失。中心谱线 高度随着初始相位差的增加逐渐增大，宽度逐渐变小，直至刀时成为一条较为尖 锐的线，实现了对两边谱峰的完全抑制效应。 考虑到能级的缀饰作用，缀饰态i 仍 只与裸态1 1 和i3 有关系，当系统处 于i 仍 态时，粒子的布居振荡就在l l 和i3 进行，控制缀饰态分布，就可以实 现粒子布居的高效率转移。 通过多步谐振光电离技术可以实现对原子( 或分子) 选择性的电离。一般的 方案是用一束或两束激光来激发原子从基态跃迁到束缚态，再由另一束激光激发 原子从激发态跃迁到电离态。通常这样的方案都采用较强的激光功率以达到高的 电离几率，并且两束激光同时与原子作用。大多数情况下这种光电离的效率都非 常低，浪费了大量的能量。因此提高光电离的效率降低所需激光的功率在这一领 域( 尤其是激光分离同位素方面) 显得非常迫切。提高多光子电离效率的困难主 要是多能级系统与激光场的耦合动力学问题。研究发现粒子布居的变化强烈的依 赖r a b i 频率和失谐量。一般的，当参数选取不当时，几乎所有的粒子都被捕获在 基态，就象不存在激光场一样。虽然激光的线型和自电离态的寿命可以人为的控 制，但仍然需要很强的激光功率。 本文第四章在已有工作的基础上，利用龙格一库塔法对梯型三能级系统中的光 电离进行了研究。结果显示传统的方案需要强激光场，且由于同时激发，致使粒 子出现强烈的r a b i 振荡。采用两脉冲之间具有一定延迟的驱动和探测激光场，可 以实现在较低r a n 频率情况下粒子的全部高效率电离。 由于中间激发态和自电离态之间的r a b i 频率较大而形成了叠加态，对叠加态 的分析显示，粒子在对称叠加态和反对称叠加态上的布居完全相同，并且受到延 迟时间的调制。 关键词：三能级系统自发辐射光谱相干相位控制自电离 i i q u a n t u m c o h e r e n tc o n t r o lo fs p o n t a n e o u s e m i s s i o na n d i o n i z a t i o nr a t e w a n gl i q i a n g a b s t r a c ts p o n t a n e o u se m i s s i o ni sa ni m p o r t a n ts u b j e c to fp h y s i c sf o ri ti so n eo f t h r e eb a s i cp r o c e s s e so fl i g h t i n t e r a c t i n gw i t hm a t t e r i t i n d u c e ss o m ei m p o r t a n t p h e n o m e n as u c ha sq u a n t u mn o i s e so fp h o t o e l e c t r i ce q u i p m e n t s ，l i m i t e db r e a d t ho f l a s e r r e s e a r c h e r sh a v ed e v o t e dt h e m s e l v e st oc a n c e lo rr e s t r a i ns p o n t a n e o u se m i s s i o n b yc e r t a i nm e a n s i nr e c e n ty e a r s ，q u a n t u mi n t e r f e r e n c e h a sb e e nw i d e l yu s e dt o c o n t r o lt h e s p o n t a n e o u se m i s s i o n a n dm a n yp h y s i c a le f f e c t sc a u s e db yq u a n t u m i n t e r f e r e n c es u c ha ss p o n t a n e o u se m i s s i o nr e s t r a i n ta n dc a n c e l l a t i o n ，s u p e r - n a r r o w s p e c t r u m ，e l e c t r o m a g n e t i ci n d u c e dt r a n s p a r e n c y , a n dl a s i n g w i t h o u ti n v e r s i o nh a v e b e e nf o u n d e di nt h e o r ya n de x p e r i m e n t e a r l yl a s e r - b a s e da t t e m p t sa tc o n t r o lr e l i e d e i t h e ro nf r e q u e n c yr e s o l u t i o no fl a s e r st ol o c a t ea 丘e q u e n c yo ro nt h eh i g h - p o w e r l a s e r st oa l t e rt h ed y n a m i c s t h ec o m n l o nd r a w b a c k so ft h e ma r es t r o n gb a c k g r o u n d a n dt h eu s eo f h i g h - p o w e r i sl i m i t e di np r a c t i c e s om u c ha t t e n t i o nh a sb e e nt u r n e dt o c o h e r e n t p h a s e c o n t r o lt e c h n i q u e s i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t e dt h ec o h e r e n tc o n t r o lo fs p o n t a n e o u se m i s s i o ni n t h r e el e v e ls y s t e m i no u rs y s t e m ，t h eg r o u n ds t a t ei sd r i v e nt ot h ee x c i t e ds t a t ew i t h l a s e rf i e l dt h a th a sd i f f e r e n ti n i t i a lp h a s e t h em a i nc o n c l u s i o nt h r o u g hv a r y i n gi n i t i a l p h a s e a sf o l l o w s ： t h ed i s t r i b u t i o no ft h es p e c t r a ll i n ew i t ht h r e ep e a k si ss y m m e t r i cf o re n e r g y s p l i t t i n g v c h e nt h ei n i t i a lp h a s ed i f f e r e n c ei sz e r o ，t h ec e n t r a lp e a ki sl o w e r t h a nt h e s i d ep e a k s w i t ht h ei n c r e a s eo ft h ei n i t i a lp h a s ed i f f e r e n c e ，t h ed i s t a n c eo ft w os i d e s p e a k si n c r e a s e sa n dt h eh e i g h to ft h e md e c r e a s e ，b u tt h eh e i g h to ft h ec e n t r a ls p e c t r a l l i n ei n c r e a s e s w h e nt h ei n i t i a l p h a s ed i f f e r e n c ee q u a l st op i ；t h et w os i d e sp e a k s v a n i s ha n dc e n t r a ls p e c t r a ll i n eb e c o m e sas h a r pl i n e ，w h i c hr e a l i z et h ec o m p l e t e l y r e s t r a i n i n ge f f e c to f t h es i d ep e a k s c o n s i d e r i n g d r e s s e ds t a t e i 吼 r e l a t e s t ob a r es t a t e i1 ，a n di3 ，t h e p o p u l a t i o no s c i l l a t eb e t w e e nt h eb a r es t a t ef1 a n dl3 w h e ns y s t e mp o p u l a t e si n i 伊1 ，s ow e c a l lr e a l i z ee f f i c i e n tp o p u l a t i o nt r a n s f e rb y u t i l i z i n gc o n t r o lt h ed r e s s e d s t a t e i 中1 i l i s e l e c t i v e l yi o n i z i n ga t o m s ( o rm o l e c u l e ) c a nb ee a s i l yp e r f o r m e db ym e a n so f a m u l t i s t e p r e s o n a n c e p h o t o i o n i z a t i o nt e c h n i q u e g e n e r a l l y , o n e o rt w ob e a m sa r e e m p l o y e d t oe x c i t ea t o m sf r o mg r o u n ds t a t ei n t oab o u n d s t a t ea n da n o t h e rl a s e r p u m p s a t o m sf r o mt h eb o u n ds t a t ei n t oa l li o n i z a t i o ns t a t e i nt h i ss c h e m e ，a l lt h el a s e rf i e l d s m u s tb ei n t e n s ee n o u g ht oe n s u r et h eh i g hp r o b a b i l i t yo fi o n i z a t i o na n dm u s ti n t e r a c t w i t ha t o m ss i m u l t a n e o u s l y b e c a u s eo ft h el o we f f i c i e n c yo fp h o t oi o n i z a t i o nl o t so f e n e r g y a r ew a s t e d ，i ti si m p o r t a n tt oi m p r o v et h ee f f i c i e n c yo fi ta n dl o w e rt h el a s e r p o w e l t h e p o p u l a t i o nh i g h l yd e p e n d so nt h er a b if r e q u e n c i e sa n dt h ed e t u n i n g s i n g e n e r a la l m o s ta l lt h ep o p u l a t i o na 咒t r a p p e d i nt h eg r o u n ds t a t ew h e n t h e , , p a r a m e t e r s a r eb a d l ym a t c h e da si ft h e r ei sn of i e l d s a l t h o u g ht h el i n es h a p ea n dt h el i f e t i m eo f t h ea u t o i o n i z a t i o ns t a t em a yb em a n i p u l a t c d ，t h eh j i g hp o w e rl a s e rf i e l dm u s tb e s a t i s f i e d i nt h i sp a p e r , p h o t o i o n i z a t i o no ft h r e el a d d e rl e v e ls y s t e mi ss t u d i e du t i l i z i n g r u n g e - k u t t a i ti s s h o w nt h a tt h ep o p u l a t i o no s c i l l a t eh i g b l yf o rt h es i m u l t a n e o u s e x c i t i n ga n di n t e n s el a s e rf i e l di sn e e d e di nt h et r a d i t i o n a ls c h e m c w ec a nr e a l i z e c o m p l e t e l ye f f i c i e n c y i o n i z a t i o n p r o b a b i l i t y u n d e rt h ec o n d i t i o no fl o wr a b i f r e q u e n c i e sb ye m p l o y i n g l o w e r p o w e r a n d t i m e - d e l a y e d l a s e r p u l s e t h e s u p e r p o s i t i o ni sf o r m e db e t w e e n t h eb o u n ds t a t ea n dt h ea u t o i o n i z a t i o ns t a t e f o rt h ei n t e n s er a b if r e q u e n c i e s t h ep o p u l a t i o no fs y m m e t r i cs u p e r p o s i t i o ni st h e s a m et ot h a to fa s y m m e t r i cs u p e r p o s i t i o n ，a n dt h eb o t ha r em o d u l a t e db yt h ed e l a y t i m e k e y w o r d s ：t h r e el e v e ls y s t e m a u t o i o n i z a t i o n i v 第一章绪言 1 1 研究现状 1 1 1 关于量子干涉以及相干控制 二十世纪后半叶，, f a n o 1 提出了量子干涉的基本概念，使人们理解到通过量 子态的干涉能够在微观水平上实现化学、物理过程宏观效果的控制。同时作为光 源的激光快速发展和激光的单色性、偏振性和相干性等特性，使激光已成为态选 择过程中直接影响和控制进程以及方向的强有力手段。近年来对于激光场中的原 子的研究成了一个非常活跃的研究领域，并且对很多量子干涉的模型和建立方式 进行了理论和实验的研究 对在相干场作用下多能级体系的研究表明，由于场和原子( 或分子) 能级系统 间相互作用，产生了包括相干布居数捕获( c o h e r e n tp o p u l a t i o nt r a p p i n g ，c p t ) 、 无反转激光( l a s i n g w i t h l o u ti n v e r s i o n l w i ) 、自发辐射干涉相长和相消 ( s p o n t a n e o u se m i s s i o n e n h a n c e m e n ta n dc a n c e l l a t i o n ) 等在内的许多新的物理现象， 并且在诸如同位素分离等领域得到实际应用。这些现象和量子干涉现象密切相关， 从而引起了物理学界的极大关注，并对它们进行了深入的研究。这些研究无论是 在理论和实际都有着重要的学术意义和潜在的应用前景，将对激光物理学、激光 光谱学及原子、分子物理学的发展产生深远的影响。 相干布居捕获是相干场和诸多能级系统量子干涉效应研究的核心，因而它是 最基本也是最早开展研究的课题。由于相干场和能级系统间的相互作用，一部分 粒子被捕获在一些能级( 常见的情况是一对能级) 上，这部分粒子不再吸收或发 射光子，这种现象被称为相干布居捕获。a l z e t t a 等人于1 9 7 6 年观察到此现象【2 1 ， 他们运用一束激光与钠原子的两个靠得很近的基态能级和一个激发态能级构成的 三能级系统相互作用，并在样品池的轴向上加以一非均匀磁场，从而在样品池的 一个很小的区域内观察到在一片明亮荧光背景中的一条暗线。产生这种现象的原 因是粒子被束缚在两个相邻的下能级，它们不再吸收光子，激发态能级无法得到 布居而出现了暗线。这种共振而无吸收的状态后来就被定义为相干布居捕获【3 1 。 无反转激光的概念首先由俄罗斯的k o c h a r o v s k a y a 和k l _ a n i n 于1 9 8 8 年f 4 1 以 及美国的s c u l l y 、z h u 、g a v r i e l i d e s 于1 9 8 9 年【5 分别独立提出的。其目的是得到 这样个激光系统，它处在激发态的原子或分子的布居数小于处在基态的布居数。 由于这种激光器存在这样一种极具吸引力的地方，即它可能将低频的相干场的输 入转换为高频的相干场输出，而不需要实现通常激光器所要求的激发态和基态之 间的布居数反转，因而无论在理论和实验上均引起了极大的关注【6 - 9 。最近，在 钠原子和铷原子的可见光波段，几种类型的无反转激光均己在实验中观察到了 1 0 1 2 】，这些无反转光放大的验证性实验都和相干布居数捕获有关 1 3 - 2 4 】。 白发辐射产生相干的理论分析通常有两种分析方法：全量子理论和缀饰态。 在全量子理论中，s c u l l y 和z h u 等人 2 5 1 运用w e i s s k o f f - w i g n e r 近似 2 6 ，忽略 真空场涨落所引起的能级拉姆位移，将对应于连续带薛定谔方程的解积分后代入 分立能级的薛定谔方程，可以得到一个表征自发辐射相干的项。所得解既可以用 来直接表示分立能级粒子数捕获，也可再代回薛定谔方程求自发辐射光谱。同样， 也可以运用w e i s s k o f f - w l g n e r 近似和刘维方程推出含有自发辐射相干项的密度矩 阵方程，运用原子极化算符的傅立叶变换，便可求得自发辐射荧光光谱。 自发辐射的相干和干涉还能影响电磁感应透明以及相应的色散和布居等。 m e n o n 等研究了在耦合场和探测场驱动的非简并人型三能级系统中，自发辐射的 相干和干涉在a u t l e r - t o w n s 吸收的位置处产生增益 2 7 1 。同时m e n o n 等又研究了 在耦合场和探测场驱动的近简并a 一型三能级系统中，自发辐射的干涉能够保持 e i t 和c p t ，但是却能改变c p t 的形成时间 2 8 】。p a s p a l a k i s 等在v 型三能级系统 中研究发现：若不存在非相干抽运，自发辐射的干涉不仅会导致探测场在共振位 置产生非完全e 几还会导致探测场在非共振位置产生反转增益；若考虑非相干抽 运，则无反转增益和折射率会随着自发辐射的干涉的增强而增强 2 9 1 。 关于相干相位控制( c o h e r e n t p h a s ec o n t r o l - c p c ) 方面的理论和技术近年来发 展很快。在激光场的作用下，电子被原子散射以及激光诱导的非线性轫致辐射过 程的研究取得了一定成绩，通过对激光诱导电离的研究发现在吸收过程中可以吸 收超过所需吸收的最少光子数目的光子，在此过程中伴随着激光频率国的高次谐 波的产生。围绕这三个基本课题在光与物质的研究领域如全息术，等离子体物理。 材料科学，纤维光学等都取得了长足的进展。在上述过程中对于激光场参数( 如 频率，强度，偏振，脉冲宽度) 以及原子种类的选取往往非常重要。 通过激光来实现对分子反应的控制是化学动力学长期的研究目标。一般可通 过两种基本的办法来控制多能级原子系统中的自发辐射。种方法是把原子置于 库中，库的模密度不同于自由空间模密度，一般在原子与微腔 3 0 3 2 1 或光子带隙 3 3 3 6 】相互作用的情况下来实现对自发辐射的控制，属于被动控制的范畴。另一 种方法是主动控制类型的，是通过相干场( 光波，微波，无线电波) f 3 7 1 或非相 干场 3 8 】的特性变换来实现的。对于具体的情况，变换频率( 失谐量) 或调节强 度( 拉比频率) 都可以达到目的。但两种办法的共同缺点是都有极强的背景，使 这两种办法在实验上变的并不可行。近年来，人们逐渐认识到可以通过相干相位 控制技术来控制自发辐射【3 9 】，即利用驱动场相位的适当变化来修正自发辐射的 动力学特性。最早由s h a p i r o 和他的合作者们进行了一系列关于相干相位控制方 面的工作 4 0 4 2 ，利用变换频率为埘和3 国单色激光场的相对相位实现了化学反应 的人为控制。 1 1 2 关于光电离 原子( 或分子) 的电离在原子( 或分子) 物理一直处于重要的地位。在激光 出现以后，强激光场中原子的多光子电离成了激光和物质相互作用以及强场物理 等研究领域的前言课题。在强激光场的作用下，原子的多光子呈现出许多弱场下 不曾出现的新现象，强激光场诱导自电离( 简称强场自电离) 【4 3 ，4 4 】等已成为 非线性光学研究领域中的热点课题，在激光光谱学、激光同位素分离、激光的非 线性转换、等离子体加热、实现短波长激光等具有重要意义，同时也是研究多电 子原子高激发态特性及其结构的手段之一。 实验旱已发现【4 5 】，对于双价电子以及多价电子原子，在其电离限之上存在 着许多分立能级，其能量与正常谱项的能量连续区相重叠。通常的束缚态和电离 态相应于单电子的激发的情形，而反常分立态来源于双价电子激发，当双价电子 激发态的能量大于一个价电子留在基态而另一个价电子被电离到连续态所需的最 低能量( 即第一电离限能量) 时，在组态v 相互作用的作用下，双价电子激发态 上的原子将向能量与之简并的连续态跃迁，使得原子自电离，这种双价电子激发 态就是自电离态。处于自电离态的粒子可以无辐射跃迁失去一个电子而成为更高 电离阶的态，这种情况称为自电离。 最新的多光子电离理论和实验 4 6 ，4 7 1 表明，强场下存在着高阶离化现象， 亦即电子吸收光予从连续态跃迁到更高能量的连续态上去，随着光强的增加，这 些离化效应越来越重要。徐至展等人系统的研究了二阶离化过程产生的一系列相 干效应，发现了自电离稳定性的破坏以及光电子能谱的峰开关效应 4 8 1 。 激光场本质上是量子场，研究强场自电离中激光场的量子效应就成为必须探 讨的课题。w l e o n s k i 采用最简单的f a l l o 自电离模型，利用全量子理论讨论了强 场自电离的光谱【4 9 】，发现激光场的量子特性使得光电子谱出现如下新特点：在 单模相干态的情形下，即使r a b i 频率较小，仍能产生a u t l e r - t o w n e s 双峰结构： 当f a n o 参量较小时，出现“梳相干汇集效应”：对于某些光子数平均值( n ) ，可产 生q 反转。 在光电离方面的另一个重大课题是关于激发态电离截面的研究，亦即入射光 子与被激发粒子相互作用而电离的几率的度量，是研究原子分子结构的一个很重 要的动力学参数。a r m s t r o n g 5 0 等利用具有延迟的激光，从基态到第一束缚态为 共振激发，接着另一激光场连续扫描，对钡原子激发态5 d 6 p 3 d 的电离截面进行 了研究。钱祖良等在钠原子分子混合样品中，分别运用双光子共振三光子电离以 及双光子混合共振三光子电离，测得了钠原子4 d 态的电离流时间衰减曲线。由 电离流与多光子动力学参数的关系，得到了4 d 态的光电离截面 5 l 】。通过x 光照 射下的光电离积分截面的实验和计算，发现原子序数z 在18 至8 2 之间的原子积 分截面的值有三个较大的区域，在此领域的实验方法和技术的研究也都取得了较 大的进展。 1 2 本文的工作 本文第三章对梯一型三能级系统中的自发辐射进行了研究，考虑从基态到中 间激发态能级的激发为具有初始相位差的两个激光场。当变换驱动场之间的初始 相位差共振激发时得到了光谱变窄等量子干涉效应。缀饰态的分析显示，驱动场 之间的初始相位差对能级的分裂具有调制作用。 第四章基于受激拉曼绝热布居转移，提出了光电离的一种新方案，并且用数 值分析的方法对自电离态的电离进行了模拟。所采用的模型为一由延迟脉冲作用 下的三能级系统，结果显示这种思想是可以实现高效率的电离的。 第二章基本理论 2 1 数值分析 2 1 1 龙格库塔( r u n g e k u t t a ) 法 设有以下初值问题 层一胞y ) ( 2 1 _ 1 ) b ( n ) - _ ) ，。 方程( 2 1 1 ) 有时很难得到解析解。为此考虑抽取) ，0 ) 上的一系列点，使相邻点 之间的距离为h ，这里h 称为步长。以相邻两点间的折线来代替经过( 2 1 1 ) 的 实际曲线，这就是数值计算的基本思想。 将) ，( k 。) 在茗- 处做泰勒展开有 ) ，o 。) 。) ，阮) + h f 0 纯，y 瓴) ) + 百h 2 ，( 1 k ，y 瓴) ) + + 等一删) “ 2 1 2 p ： 其中，f ( p - 1 ) 瓴，y o 。) ) 表示在阮，_ ) ，瓴) ) 处函数f ( x ，y ) 的p 一1 阶导数。一般有如 下形式 f t j - 1 ) ( x ，y ( 矗) ) 一贮鼍趔+ ，丝导趔( 2 1 3 ) 一y ( t ) 在展开式( 2 1 2 ) 的右边截取若干项，并以儿，y 。分别代替y 0 ) y ( 矗。) 可以得 到： n + ，t j ，。+ 矽“，y 。) + 等，m 以，只) + + 鸶，舛。，) 2 设法计算f ( x ，) r ) 在某些点上的数值，然后对这些函数值作线性组合，构造近似计 算公式，再把近似公式和精确解的泰勒展开式相比较，使前面的若干项重合，从 而得到具有一定精度的数值计算公式 y 一吨+ 善w t 七 5 ( 2 1 5 ) 其中t 一矽( + q ，_ ) r 。+ 善i - i 岛后) ( f 2 ，3 ，) ( 2 1 6 ) 在( 2 1 6 ) 中，a i ，岛与f ( x ，y ) 以及以无关，按 的幂次做升幂排列 h 2h 3 ) ，一+ 1 _ ) ，n + _ ，l + 了f 7 j + j f r 3 + 与微分方程( 2 1 1 ) 的精确解y o ) 在点x 一而处的泰勒展开式 y ( x 。“) i y ( 矗+ ) 一_ ) ，阮) + 砂。( ) + 酉h 2 ) ，( 2 ( 吒) + + h 驯py ( p ) ( ) + d 伪) 相比较，使其有尽可能多的项重合，要求 - r 2 ， 一，p 一1 就可以得到p 个方程，从而得到参数w i ，q ，风，再联立( 2 1 。6 ) ，于是 y “哦+ 善呐 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 0 ) 上式称为r 阶的r k 计算公式。 在( 2 1 1 0 ) 中m ，嘶，岛的取值并不唯一，通常阶数越商就越接近精确值，同时计 算也越复杂。常用的是3 阶和4 阶。3 阶标准表达式为 y 。+ 1 一y 十似1 + 4 k 2 + 七3 ) o k ，i 可( 矗，y 。) 七：一阮+ 鲁以+ i k l ) k 3 一 厂o + ，y 。- k 1 + 2 k 2 ) 相应的4 阶标准表达式为 l 吨+ 吉 。+ 2 k ：+ 2 k 。吨) k ，- ( 矗，y 。) 缈”孙+ 争 k 3 忡+ 和+ 争 k 4 = h f ( x 。+ h ，y 。+ k 3 ) ( 2 1 1 1 ) f 2 1 1 2 ) 2 1 2 薛定谔表象和相互作用表象 a 在薛定谔表象中， 访旦o t 掣( f ) 1 日掣( t ) 令： v o ) 一u ( t ，o ) v ( o ) 体系的状态矢量是随时间变化的，遵守薛定谔方程： u ( t ，o ) 称为时间演化算符，可视为体系状态随时间的连续变化， 的状态v ( t ) 与初始状态1 i ，( 0 ) 联系起来的一种连续变换。要求 u + g o ) u ( t ，o ) 一u m o ) u + ( f ，0 ) - i 或 u + ( f ，0 ) - u 4 ( f ，0 一1 即u 为幺正变换。用式( 2 1 1 4 ) 代入( 2 1 1 3 ) 得 i h 喜? u ( t ，0 ) v ( o ) 一日u ( f ，o ) l ，( o ) o t 由于1 王，( o ) 是任意的，所以 访l 瞰u ( t ，0 ) 一h u ( t ，0 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 4 ) 即把体系在时刻t f 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) 按式( 2 1 1 4 ) 及初始条件，易见u ( o ，0 ) = 1 ，解出式( 2 1 1 6 ) ，( h 不显含t ) u o ，o ) 一e x p 一i t t t l h 】 ( 2 1 1 7 ) b 相互作用表象。设体系的哈密顿量为 h h o + y ( 2 1 1 8 ) 其中v 表示相互作用。相互作用表象中的态矢一与薛定谔表象中的态矢瞿有下 列关系： m ( f ) 一e x p i h o r 壳j o ) ( 2 1 1 9 ) 因此 访詈哪o ) 一e x p i h o t ，壳】( - h o + 日) t ( f ) 一e x p i h o t h l v 吧p ) = e x p i h o t h 】ve x p 一i h o t l h 】e x p h o t l h q j , o ) 甚n 7 i p l 2 - q l ( t ) = v l ( t ) q j l ( t ) (2120)ot ， 其中 巧8 ) ie x p i h o t h i v e x p - i h o t h f 2 1 2 1 ) 是相互作用表象中的表示o ) 和薛定谔表象中的表示v 之间的关系。 2 1 3 缀饰态理论 在辐射场的作用下，原子的波函数平( 厂，f ) 满足的薛定谔方程为： i h 珊o _ _ w 一旧。+ h 严 ( 2 1 2 2 ) 式中h 。为原子的哈密顿量，h 为原子与辐射场相互作用的哈密顿量 圩一( - 0 3 声+ e 1 2 爿_ 2 ( 2 1 2 3 ) m c2 m c 2 7 在偶极近似下： 日一一面露 ( 2 1 2 4 ) 式中面- 一e f 7 y 程( 2 1 2 2 ) 式一般很难准确求解，经常采用微扰方法求解。当日。0 时r 2 1 。2 2 ) 为 访詈峨掣 其解为： 卫_ e x p - i e 。t h u 。( r )n = l 2 佗1 2 5 ) h o 。le n u 。 f 2 1 2 6 ) 当日o 时，方程( 2 1 2 2 ) 的解用鼍展开 平( r ，f ) 一口。( t ) e x p - et h i u 。( r ) ( 2 1 2 7 ) 将( 2 1 2 7 ) 式代a ( 2 1 2 2 ) x - 得： 鲁一去摹红归h ) 口e f c 2 工2 8 ) 即为相互作用方程。 对于基态为g ，激发态为i l l 的二能级原子，按( 2 1 2 8 ) 式，其相互作用方 8 程司表不为： 荔d 一去二e _ 唰 磊da 。一去以。e m 。 ( 2 t 1 2 9 ) 式中的相互作用矩阵元 日孟一日二一一。口e 。+ e + p ”。)( 2 1 3 0 ) 式中e 和分别为外场的强度和角频率。并令兰苣一q ，q 为r a b i 频率，且有 五。删一。； q 1 五了：f 在强场的作用下，不仅影响原子在能级间的跃迁，而且也影响原子的能级结 构能级位移。式( 2 1 2 9 ) 的通解为： 口日g ) i e i a 。2 ( i s i n o e o 啦+ c o s o e 口啦) 口：( f ) - - - e - t i 垤汹s 口e - i f f t a + s i n 矗旺) ( 2 l 3 1 ) 缀饰原子的波函数方程为 嚷，c o s 0 。+ i s i n o k d 吐。f s i n o t l r 。+ c o s 口口 ( 2 1 3 2 ) 其中： 。- “。e x p - i e , t h f ( - 2 + q 2 ) t 嘻_ 口一距。e x p i e , , t l j l i ( a 2 一q 2 ) t _ 。一ge x p 【坩j t l h f ( x 2 + q 。2 ) t ( 2 1 3 3 ) 一h ge x p - i e g f 矗一i ( a 2 一q 。2 ) t 式 c o s p - 1 半s 枷一j 也2 从( 2 1 3 2 ) 汞1 1 ( 2 1 3 3 ) 看出，原子的缀饰态蛾实际上包括两个能态_ i 王_ 。q ， 间距为q ，是外场缀饰在原子上的状态，故称之为缀饰态。 9 2 2 旋转变换 在旋转坐标下的运动方程中，我们考虑态的时间演化。 丢旷( f ) - 丢。1 ( f ) ) v “o ) + u - i ( f ) 丢v “( f ) ( 2 2 1 ) 利用在实验室坐标系表象s c h r o d i n g e r 方程和态在旋转坐标系的表示，我们发现： 导w 7 ( f ) - ( d - 1 0 ) 【，( r ) 一u 1 ( f ) 珊“u o ) ) 1 王，7 ( f ) ( 2 2 2 ) 如果h a m i l t o n i a n 必须保持时间演化的存在性，我们必须要求它的相互作用表象 为： hr u 一1 蛐u + f 口- 1 u( 2 2 3 ) 这是一般形式的h a m i l t o n i a n 变换。在h a m i l t o n i a n 变换中，u 4 日“u 是算符变换， f 寸。1 u 是相关项。只要变换算符u 是时间的函数，它便包含有不为零的相关项 f 口- 1 u 。 直接求解薛定鄂方程的主要问题之一是设法消去形如e x 巾。一，的因 子，若可以消去它们，得到一个常系数的一阶微分方程组，就可以直接求解。但 是要消去这个因子，除了个别情况外，往往都是困难的。然而，若把实验室坐标 系中的波函数和哈密顿量转化为在与电磁场同步旋转的坐标系中，可以直接消去 这个因子，解出方程后，再做逆变换回到实验室系，得到所求的结果 2 3 自发辐射的w e i s s k o p f - w i g n e r 理论 这个问题涉及单个二能级原子和多模电磁场的相互作用。原子一般按一个特征 频率衰变，按照测不准原理a e 一竺，自够进行测量的最长时间近似地等于原子寿 命f ，因此自发辐射并不是完全单色的，具有一定的宽度。 考虑简单的二能级原子系统，这个系统的哈密顿算符是 日一享矗q ，( 口扣，+ ，2 ) + f 0 o o ) + 莩结，( ：+ 盯+ n 。) ( 2 3 ) 在相互作用表象中，微扰能算符成为 y ( f ) 一b e g ， o 口：e x p i ( 9 2 。一p 】+ 盯+ 口，e x p 一f ( ( q ，一) f ) ( 2 3 2 ) 1 0 在相互作用表象中的一般波函数为 i 归。曩- ， a 哪pn i h 2月j q j 上式表示原子处于a 或b 态，场的第一个模含有n ，个光子， 的状态。 按照薛定谔方程，运动方程为： ( 2 3 3 ) 第二个模含有以：个光子 知m f e ，g r 何e x 艄r 叫冲“一( 2 _ 3 4 ) + 扛i e x p 一f ( q ，- 6 0 ) t 6 n c b ”砂) 假定在时刻原子处于高能态，并且场的任一模式中都不含有光子，此时 c a ，q0 2 ( o ) 一巳 0 ，( 0 ) i1 c b q 1 ( f ) - c 6 o ) 对于( 2 3 3 ) 则有 昙c 们) ( f ) 。暑g ，e x p 卜l ( q ，一埘) f 】c 眦 ( 2 3 5 ) 面o c b n ) ( f ) - 一f g ，e x p p ( q ，一弘】c 。 0 ) ( 2 3 6 ) 联立( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 可以得到 昙c 州，。军g 巧e x p 【_ ( q ，一珊) ( f 岬 ( f 弦 ( 2 3 7 ) 假定场的频率彼此十分接近，将对，的求和用对q 的积分来代替 一_ f d ( q 、 ( 2 3 8 ) ( 2 3 8 ) 中d ( q ) 是终态态密度：内2 ，似2 c 3 ) 。这就是w e i s s k o p f - w i g n e r 近似。 当q c o 时，( 2 3 7 ) 式变为 i oc “。) 。一9 2 ( ) d 垆吖。x p 一f ( q ，一排一r ) o ( 2 3 9 ) 其中 。3 p 【一( q r 一) ( 川) 体i 莉( q 一) 一p 刁 ( 2 3 1 0 ) 运动方辉蛮为 杀c ( 1 ) ；一i i k d ) ( f ) ( 2 3 1 1 ) 上式中衰变速率是 y a 2 ：r 9 2 ) d )( 2 3 1 2 ) 方程( 2 3 1 1 ) 积分以后具有k ( f ) 1 2 一e x p ( 一r t ) 的形式，表示在零激发场中激发态 l a ，的寿命k ( f ) 1 2 随时间以指数式衰减。 2 4 拉普拉氏交换及相关理论 假设，( f ) 是一个在f = o 时有定义的函数，的拉普拉斯变换的定义为： “，( f ) 卜f o ) 一f ( t ) e “d t ( 2 4 1 ) 其中，s 一般是复数。如果，o ) 是指数阶的，即：当f 之0 时 l ，o ) e “l sm ( 2 4 2 ) ( 上式中：口和肘是常数) ，那么积分( 2 4 1 ) 定义的拉普拉斯变换只有在r e 0 ) 口 时存在。通常逆拉普拉斯交换公式是这样定义的， ，( f ) ；击h r l v ( s ( 2 -