（计算数学专业论文）rungekutta方法求解多变延迟系统的理论与算法.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 ( 延迟微分方程( d d e s ) 广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域由于 延迟微分系统的复杂性，很难得到理论解的解析表达式，因此人们致力于研究延迟 方程的数值解法 众所周知，在数值方法中算法的稳定性、收敛性具有无容置疑的重要性，关于算 法的稳定性已经有很多重要的结果1 9 7 5 年b a r w e l l 提出了p 一，g p 一稳定，1 9 8 9 年 t o r e l l i 提出r n 一，g r n 一稳定性，1 9 9 9 年黄乘明提出了a r 一，g a r 稳定性早期关于 延迟系统收敛性的研究主要是基于经典l i p s c h i t z 条件，然而对于刚性问题来说，通 常l i p s c h i t z 常数是极其巨大的，从而导致了经典理论严重失实，因此，1 9 9 7 年张诚坚 和周叔子对类刚性延迟微分方程率先提出了d 一收敛性的概念，从而获得了理 论上的突破7 本文讨论了r u n g e k u t t a 方法求解多变延迟系统的稳定性及收敛性在充分 考虑了系统的非连续性的基础上，采用了变步长的r u n g e k u t t a 方法求解证明了 匹配以一定插值方法的代数稳定的r u n g e k u t t a 方法是凇一稳定的，并得到了算 法d 一收敛的条件 本文还讨论了算法的实现问题将求解型焦堂微盆左l 瓢o ! d 胁) 的全隐迭代及 对角迭代方法加以扩展，使之适应于求解刚性d d e s 通过分析对角迭代算法的稳 定性和收敛性，获得了对角矩阵参数的选择准则以及迭代算法精度控制、步长控制 的策略设计了r u n g e k u t t a 方法求解多变延迟系统的软件包，得到了一些数值实 验结果通过分析数值实验结果，给出了r u n g e k u t t a 方法求解延迟系统的步长和 插值选择准则 关键词：非线性延迟微分方程动力系统 r u n g e k u t t a 方法 稳定性收敛性对角迭代 刚性x 一 i 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( d d e s ) a r i s ew i d e l y i n m a n y f i e l d ss u c ha s e c o n o m i c s ，b i o l o g y , p h y s i c s ，a u t o m a t i c c o n t r o l ，e t c h o w e v e r , b e c a u s e o ft h e c o m p l e x i t yo f t h es y s t e m s i tb e c o m e sq u i t ed i 历c u l tt oo b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o n s i a v i e w o f t h i s ，o n e sb e g a n t os t u d yt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rd e l a ys y s t e m s i ti sw e l lk n o wt h a tt h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ep l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h e n u m e r i c a lm e t h o d s t h e r ea r em a n yr e s u l t sa b o u tn u m e r i c a ls t a b i l i t yf o rd d e s ， v k b a r w e l i n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fp s t a b i l i t ya n dg p s t a b i l i t yi n19 7 5 ，l t o r e l l i i n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so f r n s t a b i l i t ya n dg r n s t a b i l i t yi n1 9 8 9 h u a n gc h e n g m i n g i n t r o d u c e dt h e c o n c e p t s o fa r - s t a b i l i t ya n dg a r s t a b i l i t yi n1 9 9 9 i nt 1 1 e e a r l y r e s e a r c h t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so fd d e sw a sb a s e do nt h ec l a s s i c a ll i p s c h i t z c o n d i t i o n s h o w e v e r , t h el i p s c h i t zc o n s t a n to fs t i f fe q u a t i o n si sv e r yl a r g es ot h a tt h e c l a s s i c a lt h e o r i e sa r ei n c o n s i s t e n t 谢血血ef a c t ss e r i o u s l y i n19 9 7 z h a n gc h e n g i i a n a n dz h o us h u z if i r s ti n t r o d u c e dt h ec o n c e p to f d c o n v e r g e n c ef o rs t i f f d d e s w h i c hi s a g r e a tb r e a k t h r o u g hi nt h et h e o r i e so f d d e s t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r q e n c eo fr u n g e k u t t am e t h o d sf o rm u l t i v a r i a b l ed e l a y s y s t e m sw e r ed i s c u s s e di nt h i st h e s i s b a s e do n t h ec o n s i d e r a t i o no ft h ed i s c o n t i n u i t i e s o f t h e s y s t e m ，v a r i a b l es t e p - s i z er u n g e - k u t t am e t h o d s a r ea d o p t e d v r ，s t a b i l i t vo f t h e r u n g e k u t t am e t h o d sw i t hac e r t a i ni n t e r p o l a t i n gi sp r o v e d a n dt h ed c o n v e r g e n c e c o n d i t i o n so f t h ea l g o r i t h ma r eo b t a i n e d t h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ea l g o r i t h mi sa l s op r o p o s e d f u l li m p l i c i ti t e r a t ea n d d i a g o n a l i t e r a t em e t h o d sf o rs t i f fo d e sa r e a d j u s t e d t os o l v es t i f fd d e s t h e p a r a m e t e r s e l e c t i o nc r i t e r i ao f d i a g o n a lm a t r i xa n dp r e c i s i o nc o n t r o l ，s t e p s i z ec o n t r o l s t r a t e g i e so f m e t h o d sa r eg a i n e db ya n a l y z i n g t h es t a b i l i t ya n d c o n v e r g e n c eo f d i a g o n a l i t e r a t i o nm e t h o d s s o f tp a c kf o rm u l t i v a r i a b l ed e l a ys y s t e mi sa l s od e s i g n e d w h i c h l e a dt os o m en u m e r i c a lr e s u l t s t h es e l e c t i o nc r i t e r i ao f s t e p 。s i z ea n di n t e r p o l a t i o no f r u n g e k u t t am e t h o d sf o rd d e s a r eg i v e nt h r o u g ha n a l y z i n gt h en u m e r i c a lr e s u l t si n t h i sp a p e r k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d y n a m i cs y s t e m r u n g e k u r a m e t h o d s s t a b i l i t yc o n v e r g e n c e d i a g o n a l i t e r a t i o ns t i f f i l 华中科技大学硕士学位论文 1 1 问题的提出 1 绪论 自然界和工程技术中的很多现象，例如自动控制系统的运行、电力系统的运 行、飞行器的运动、化学反应的过程、生态平衡的某些问题等，都可以抽象成为一 个常微初值问题 三9-to,y(t yy c ， 【o ) = o ，o “ 、。 这里y ( r ) 表示涉及到时间变量的物理量 然而，为了使问题更加符合实际情况，有时需要修改( 1 1 1 ) 中的右端函数项，使 之不仅仅只依赖于当前的状态，还要依赖于物理量y ( d 的一些历史数据，修改后的 模型为 搬卜毋灭，) ( f 1 ) ) ，t t o , ( 1 1 2 ) 【_ y ( r ) = 妒( r ) ，o f t s t o 、 这里r 0 是延迟量 例1 ：h u t c h i n s o n 1 提出的人口增长模型 ，( f ) = r y ( f ) ( 1 一丝) ，( 1 1 3 ) 这里非负参数，k 分别代表内生增长率和环境承受能力 例2 ：捕食系统( w a n g e r s 砂，c u n n i n g h a m 【2 】) 卜印一斗等卜m m ， 【y 。( r ) = 一a 2 y o ) + 6 2 x ( t r ) y ( t r ) ， 这里x ，y 分别代表捕食者与被捕食者的数量，且所有常量参数都是正的 然而由于系统的复杂性，从理论上求解其真解是非常困难的( 可以说除了少数 的简单模型之外几乎是不可能的) ，因此，从2 0 世纪6 0 年代开始，随着计算机技术的 发展，人们寻求通过计算机得到此类复杂系统的数值解 1 l 囊邃遴、。 华中科技大学硕士学位论文 1 2 前人的成果及待解决的问题 近四十年来，许多文献探讨了求解延迟微分方程( d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， 简写为d d e s ) 的数值方法理论并有许多开创性的成果，但他们主要讨论的是线性 问题 y ( r ) = 砂( f ) + i t y ( t r ) ，( 1 ti o ，( 2 1 1 ) l x ( r ) = 妒( f ) ，一r f 0 ， 这里f ，m ，工( 1 ，k ) c 是常数矩阵，一 0 ( 1 ，k ) 是常延迟 量，f = m 。a x 。 r ，) ，妒( ，) ，z ( f ) 为d 维向量函数，记 ( ) p ( ) 为相应矩阵的第f 个特征 值和谱半径，a 。：= ，毛， ( ，一n ，夤) 。1 ( 三+ m 。白) 】，若g = ( 岛) ，则记l g l ：= ( 岛) 定义2 1 1 如果系统( 2 1 1 ) 的任意解x ( f ) 满足l i m x ( t ) = 0 ，则称系统( 2 1 1 ) 是渐 近稳定的 引理2 1 1 ( c f 1 1 1 ) g ，h 分别为n 维复数矩阵和实数矩阵，若l g 喀h ，则 4 姻瓠。i l 华中科技大学硕士学位论文 p ( c ) p ( 日) 引理2 1 2 ( c f 1 2 1 ) 系统( 2 1 i ) 是渐近稳定的，如果其满足下列条件： ( 口) l a r g ( 一兄，) i 口i , t 。跳口( o ，兰) ，川，2 p ，v 岛c 9 ，l 爵i l ( 1 ，女) ( 6 ) p ( l f 1 ) 1 ，- l 2 1 3 求解n m d e s 的r u n g e k u t t a 方法 考虑将r u n g e - k u t t a 方法( 4 ，b ，c ) ( 这里a = ( 口口) c “5 ，b = ( 6 l ，b 2 ，b ，) 7 c = ( c l ，c 2 ，c ，) 7 ) 应用到( 2 1 1 ) 中得到求解脚西的r u n g e k u t t a 方法如下： ji5i ，”= 工k + 匹刀“) + 蝎( 碌自嘶+ 噬力呐墉) + 川呐) ，l f s s 5 1 “ 2 1 “ ( 2 1 2 ) h ，x n + 砭q j - t 这里t 。= n h ，x 。，”分别是真解x ( t 。) ，一( f 。+ c ，h ) 的逼近，且有q = ( 毛一瓯) ， 4e o ，1 ) ，( 1 ，t ) ，岛是正整数对”+ 研( 1 ，s ) 我们采用i n th o u t 【5 】提出 的插值技巧，即： 呐俐2 弘u ( 4 ) n - k t + q ) 矧驴，。巍，( 筹) ( 2 ) 由此可知，要求有岛“+ l ( 1 ，s k ) ，引进记号 ：舰，甄：h m t ，羁：h n ，巳：( 1 ，1 ，1 ) r ，( 一) - ( z 护，矗n r ，o n ) 7 ) r ，p ( = ，6 ) ：窆，( 占) z t q = - r 且将插值( 2 1 3 ) 代入，则f l | ( 2 1 2 ) 可得特征多项式 p 刊叮一互i = 1 蹴i a ，柚w 联厶奶一驴i 西h 三 z i ，l l 厂nr广 l 一 ( 67 )dj r。 记中( 万) = 1 + 砌7 ( ，一再) e ，万= h 2 可得如下定理： 定理2 - 1 1 方法( 2 1 2 ) 是爿( 口) 。稳定的 ( o ，三) ) 当且仅当矩阵一砌非奇异 华中科技大学硕士学位论文 且v h h l ia r g ( 一h ) i 乜 有p 【中( ) 】 由微分方程理论【2 7 】可知l i m y , = 0 ，当 ( 2 1 4 ) j lzi 1 ，( 2 1 5 ) 更进一步 ( 2 1 5 ) jl i m x 。= 0 ， ( 2 1 6 ) 为了得到本文的主要定理，首先介绍以下几个引理 弓i 理2 1 3 ( c f 1 1 】) v h c 。”，g c “，存在扫 歹d 阵p ( i ，p ) c 9 。9 ，p ( ，g ) c 一”使得g p h = p ( i ，p ) 7 ( o g ) p ( j ，g ) 这里矩阵p ( i ，j ) 仅依赖于维数j ，j ，且满足p ( i ，j ) = p ( j ，f ) 7 = p ( j ，) 引理2 1 4 ( c 5 】) 多项式口( z ，占) = l q ( f i ) z o c ，占 o ，1 ) ) 有如下性质 f o ( z ，j ) 1 ( iz l = l ，占 o ，1 ) ) ，“r + 2 引理2 1 5 若r “r + 2 ，方法( 2 1 2 ) 是爿位) 稳定的且系统( 2 1 1 ) 满足条件 华中科技大学硕士学位论文 ( 口) ，( 6 ) ，贝0 v iz i - 1 ，4 o ，1 ) ( 1 ，) ，q l ( z ) 是非名 异 证明首先证明v lz 陲l ，4 o ，1 ) ( 1 ，女) ，( 1 a 一n , o ( z ，4 ) ) 是可逆的实际上 由引理2 1 4 可知l o ( z ，4 ) i - 1 ( jz 1 ，4 0 ，1 ) ，1 ，誓) ，且当k ，“+ 1 时 l o ( z ，4 ) | - 0 ( 卤 o ，1 ) ，l ，k ) 所以根据最大模原理有 i o ( z ，反) 峰1 ( iz 陋l ，4 【0 ，1 ) ，1 ，| | ) ， ( 2 1 7 ) 因此对于iz 陲l ，4 o ，1 ) ( 1 ，k ) 由引理2 1 1 有 t p ( n t o ( z ，4 ) ) | d ( in 。i ) 1 使得( 2 1 5 ) 成立，由引理2 1 5 得q l ( 三) 是可逆的，则( 2 1 4 ) 等同于 华中科技大学硕士学位论文 d e t q ( g ) l d e t q ( 享) 一q 3 ( 手) q 。( 暑) 1 q 2 ( ；) 】= 0 d e t q 。( ；) 一q ，( 三) q i ( 享) q 2 ( ；) = 0 由引理2 1 3 及r ( z ) 的j o r d a n 标准形，可得 d e t q 4 ( 芎) 一q 3 ( 享) q l ( z ) - 1 q 2 ( 享) 】= ( 孑b ) 4d e t ； l ，一 ，+ ( ，0 6 ) ( ，女一i ，0 4 ) 。】) d = ( z k ) 4 n 弘一【1 + 丑，b 7 ( ，一五，爿) 。1 e l ( 五，：= 五。( r ( 享) ) ) 净1 d = ( z h ) 4 n z 一中( 五，) 】 1 = 1 因此存在某些f 使得 三一o ( a 。) = 0 ，( 2 1 1 0 ) 由( 2 1 6 ) 及条件( a ) 可知 l a r g ( 一a ) i 口，i = 1 , 2 ，d ，( 2 1 1 1 ) 再由定理2 1 1 结合( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 1 ) 得 f z i p ( 中( 五，) ) 0 ( f = 1 , 2 ，m ，f b ) 是延迟量， 9 ，矿：i t 。，f 。】寸c ”是连续函数，f ： f 0 ，。o ) x c ”g ：! ：! ! 一c ”是一给定映 射且满足： r e 口i y 一夕i i 2 ( 2 2 3 ) i l 厂( ，y ，z t ，z z ，z 。) 一厂( f ，y ，互，j ：，一，乙) i i y ，j | z ，一三，| | ( 2 2 4 ) 这里0 y ，s 一口，记= ，我们称满足( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 1 拘i b i s _ 总称为d p ，) 类 9 硒t * i 华中科技大学硕士学位论文 问题 我们用( 爿，b ，c ) 表示一给定的r u n g e k u t t a 方法，其中a = ( 口。) 为s xs 的矩 阵，b = ( 6 ，b ：，b ，) 7 ，c = ( c 。，c ：，c ，) 7 为两向量，在本文中我们总是取 0 c ，l ，( f - 1 , 2 ，s ) 对方法( a ，b ，c ) 加以改造得到求解( 2 2 1 ) 的结构为： r _ = y 。+ 厂( r 。+ q ，f ，e p ，z ? ，珊) ( 2 2 5 a ) j = l y 。= y 。+ b ，f ( t 。+ q h 。，巧，琢，e 望，霹) ( 2 2 5 b ) 产l 这里，= f 一r 。，y 。，f ，矽，( ，= 1 ，2 ，s ，= 1 , 2 ，) 分别为真解y ( t 。) y ( r 。+ c j k ) ，y ( f 。+ c j h 一o r ( f 。+ c j 以) ) 的逼近，同理将方法( 爿，b ，c ) 应用于扰动方 程( 2 2 2 ) 得到： s z p = z 。+ 。口f ，( ，。+ c ，h 。，z j ，。- - 丌( n ) ，习，。- - j ( 。n ) ( 2 2 6 a ) j = l j z = 毛+ 。b j f ( t 。+ c j 丸，z h 零r ，锄- - ( n 1 ， 严l 为了简洁起见，采用如下记号 f = f 。+ c j h 。，霹哪= ( 踏，露，露) ，刁町= ( z g l ，。- - j ( 2 n ，。- - ( n ) ，= 1 2 5 j l ( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 可以简写为： 弄口 j r = y 。+ 吃厂( f 。+ c ，吃，巧，霹町) ( 2 2 7 a ) j = l y 。= 儿+ 。b j f ( t 。+ c ，吃，巧，e m ) ( 2 2 7 b ) 产1 华中科技大学硕士学位论文 z j ”) - z 。+ 。厂( r 。+ c j h 。，拶，零们) j = l i = 1 , 2 ，s z n + l = 乙+ 6 ，f ( t 。+ c ，h n ，z 零町) j = l r 2 2 8 a ) ( 2 2 8 b ) 定义2 2 1求解满足条件( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 的系统( 2 2 1 ) 的数值方法称为是隙一稳 定的，如果其解序列分。及扰动方程( 2 2 2 ) 的解序列扛 满足 忱一= 。 i - c ( t ) r 学眵( r ) 一矿( f ) i i ， 这里c ( ，。) 仅依赖于方法和参数口，p 定义2 2 2 ( c f 【3 2 】p 2 7 1 ) 如果吖= ( m 。) = b z + a r b - b b r , b = d i a g ( b ) ，则称方法 ( a ，b ，c ) 是代数稳定的 定义2 2 3 设 y 。) ，z 。) 分别为( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 的解序列，插值方法称之为拟收缩 的，是指存在常数厶，使其在f = f ( ，。f t n ) 处的插值夕，三满足 6 歹一= 忙l m a x m 。a x l y ，| - z , 1 1 2 ) ，鼍势帜f ) 一y ( f ) l | 2 ) 实际上，拟收缩的插值方法是存在的，例如对延迟项我们采用线性插值，设 ，：一口，( f 夕) = r + 6 ，h k ，( 盘。 n , o 6 ， 1 ) ， 孙) _ 妒( 一嘶) ) ， ，( n ) - - q ) 如 (2删i j r 1 5 i r y + ( 1 一万，) j ，”l ，t j “一坼( r = k + d ， 、。 显然线性插值方法( 2 2 9 ) 是拟收缩的 2 2 2稳定性分析 记= y 。一乙，吖砷= 巧一z p ，嘭，= z 一零，衫= 霉一乏 或”1 = 。 厂( r 。+ c ，h 。，巧，刁帕) 一f ( t 。+ c ，h 。，z ；，零肿) 】，2 l ，2 ，s ，r = 1 ，2 ，州 从( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 可得： 华中科技大学硕士学位论文 彬n l w 。+ d 。 i = 1 , 2 ，s w 。= w n + 6 ， j = l 定理2 2 1 若方法( a ，b ，c ) 是代数稳定的，则成立 w 02 q i w ni i2 + 2 6 ，r e f = l 证明：由( 2 2 1 0 ) n - i 知 i i “02 = jj = ，= l，= l f 2 2 1 0 a ) r 2 2 1 0 b ) - i i w n | | 2 + 2 b ，r e + 6 屯 ( 2 2 1 1 ) i = 1 j j ，l 而由( 2 2 1 0 a ) 得到 w n = 彬n l 彰， j s l 所以有 = 一口” 1 = 1 代入( 2 2 1 1 ) 得 1 1 + i i2 = 1 1w n1 1 2 + 2 b ，r e 一( b 。+ 口b b , b ，) ， i = l f ，l = l 由于方法的代数稳定性，所以有 | | w n + l i2 - 1 1 w nl i2 + 2 6 f r e i = l 定理得证口 定理2 2 2 如果方法( a ，b ，c ) 是代数稳定的，且应用拟收缩的插值方法，则满足 华中科技大学硕士学位论文 i 卜。| | 2 - 0 + 皿k ) m a x ? 搿刮w l lj 2 ) ，r ? 紧刮妒( r ) 一y ( f ) 1 1 2 ( 2 2 1 2 ) 证明： 由定理( 2 2 1 ) 女r l i iw n + l 旧lw ni i2 + 2 6 jr e ( 2 2 1 3 ) 又由( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) 及定义( 2 2 3 ) 知 2 r e = 2 h 。r e = 2 h r e + 2 h r e - 2 h a 1 1 w 扣j | 2 + 2 吃彬n 扩“，刁，z “) 一叫”，砑，互 ) 8 2 h , a i i 1 1 2 + 2 圳彬扣i i 州i 露帕0 h ( 2 a + 驯叫1 2 p m a x l l 形, 1 1 2 - h f l l 。m a x m 。a 。x w , 2 ) ，mo a x l l 妒( t ) 一y ( o l l 2 ) ， 将此不等式代入( 2 2 1 3 ) 得 1 1 w + t i l 2 - i m 2 + 吃肛。m a x 震2 鼽| | 2 ) mo a x l l c ( t ) 一y ( ，) 1 2 ( 1 + h f l l 。) m a x m 。a x w | | 2 ) ，i im , , o a x l l 妒( t ) 一y ( f ) | 2 ) ， 定理得证口 定理2 2 3 具有拟收缩插值的代数稳定的r u n g e k u t t a 方法( 爿，b ，c ) 是v r 一稳定 的 证明：由定理( 2 2 2 ) 知 h i l 2 ( 1 + h , f l l 。) m a x m 。a x w 2 ) ，学啪( ，) 一| | 2 ) ， 取8 ，2 m a x m 祭 l l 妒( r ) 一y ( r ) 怖，器怒0 w ji i2 ，上述不等式可写为 1 1 w 川2 ( 1 + h , f l l 。) q ，( 2 2 1 4 ) i 囊越遂 华中科技大学硕士学位论文 因为( 1 + h 。肛。) 1 ，则由( 2 2 1 4 ) 失n 递推可得 所以 。：m a x 1w l + 。1 2 , e , m a x o + 啊肛。) ) ( 1 + 啊肛。弦 p 兀( 1 + h d 3 l 。k e x p ( f l l 。啊) e 。e x p ( f l l 。( ，一t o ) ) e 。 y 。- - z n 临i 蔓c ( r 。) m o a x l g ( t ) 一y ( f ) 8 其中c ( ，) = e x p ( f l l o ( t - t o ) ) 定理得证口 华中科技大学硕士学位论文 3 1引言 3 方法的收敛性 近年来，对d d e s 的局部和全局误差的研究见诸文献( c f 3 3 ， 3 4 【3 5 【3 6 】) 然 而，这些研究都是基于d d e s 右端函数f ( t ，y ，z ) 对第一和第二个变量都满足经典 l i p s c h i t z 条件，众所周知，这种收敛性只能应用于三扛玷c h i t z 常数适中的非剐性问题， 而对于刚性问题，由于其l i p s c h i t z 常数非常巨大，使得实际收敛阶发生严重的阶降 低现象1 9 8 1 年，f r a n k 等对应用于刚性o d e s 的r u n g e k u t t a 方法引入了b 一收 敛的概念，并建立了如下基本准贝i j ( c f 3 7 ，【3 8 】， 3 9 ) 代数稳定+ 对角稳定+ 级阶p jp 阶b 一收敛 b u r r a g e 和h u n d s d o r f e ， 4 0 】做了更进一步讨论，指出了在一定的条件 下，r u n g e k u t t a 方法的阶可以比级阶高一阶，李寿佛 3 2p 3 6 3 3 8 3 将此结果扩展 到h i l b e r t 空间中的一般线性方法1 9 9 7 年张诚坚和周叔子【1 3 】对一类刚性延迟微 分方程引入了d 一收敛的概念，对强代数稳定且对角稳定的r u n g e k u t t a 方法证 明其d 一收敛阶等于级阶，并构造了2 阶d 一收敛方法从而获得了理论上的突破， 继而黄乘明 1 4 】、张诚坚【1 5 】等在此基础上深入地讨论了变系数方法、单支方法、 r u n g e k u t t a 方法、一般线性方法的d 一收敛性质，并得到了许多重要的结果但是 这些讨论仅考虑光滑延迟问题，且没有涉及到多变延迟问题本文在讨论数值算法 的收敛性问题时，充分考虑了解函数的非光滑性，而且进一步考虑了多变延迟系统， 获得了关于多变延迟问题的d 一收敛的条件，从而拓展了前人研究的结果 3 2 非连续性分析 分析微分方程数值方法的收敛性时，我们通常是假设解函数是充分光滑的然 而，对于大部分延迟系统来说，其解函数是不连续的或者解函数的导数是非连续的 ( 左右导数不相等) ，这种非连续性就导致了局部截断误差存在较大的偏差，进而影 响全局解的精确性另一方面局部截断误差的估计是步长控制理论的基础，因此也 华中科技大学硕士学位论文 会影响计算步长的选取本文给出了一种如何处理非连续点的方法，在第五章分析 了非连续点对计算结果的影响 例如系统 i y ( f ) = a y o 一1 ) ，f 0 ， i y ( r ) = r ，fs0 ， 其解函数及解函数的导函数为 _ y ( r ) = 由此得 t 兰r 2 一刀 2 刀 f 6 t 0 0 s f l ， ，y ( f ) = 3 一+ 堡卜一2 旯2 一兰1 r 2 232 l ，r 0 ， 2 ( t 一1 ) 0 f 1 ， 竺r 21 f 兰2 2 竺f 3 + 生2 r 3 y ( o 一) = l ，y ( 0 + ) = 0 y 一) = 幻i ( 1 + ) = 等，( 1 一) = l ，( 1 + ) = 。 j ，t ( 2 _ ) - 2 刀，( 2 + ) = 5 2 z , y ( 2 _ ) _ 枷( 2 + ) = 害( 2 _ ) _ 1 ，y ( 2 + ) _ o 可以看出，解函数在点f = 0 ，l ，2 是非光滑的，这些点我们称之为非连续点，而且 y ( f ) 在点t = 0 处的非连续性会传播，使得y ”( f ) 在f = 1 处非连续，y ”( r ) 在r = 2 处 非连续，依次类推有y 让( r ) 在f = k 处非连续如果积分区间跨越这些非连续点时， 由于解函数不满足t a y l o r 展开式，所以会出现阶降低现象，特别是当旯较大时，误 差会很大如何处理这种非连续性构成了d d e s 的数值算法分析的一个重要部分 ( c f 【2 0 ， 2 1 1 ， 2 2 1 ， 4 1 1 ) 3 3 非连续性的处理 针对这种非连续性，最简单的策略就是忽略之，而依赖于局部截断误差的估计， 保证在非连续点的临域内这种误差小得可以接受，这样通常在积分步跨越非连续 点时需要较小的步长，这样将耗费大量的计算时间以及存储大量的历史数据，正如 华中科技大学硕士学位论文 h a i r e r ，n & s e t t ，w a n n e r 4 2 ，p 1 8 1 所说：“t h i s c a n w a s t ec o m p u t i n g t i m ea n d d o e sn o t g i v ev e r y r e l i a b l er e s u l t s ” 另外一种方法就是找到这些非连续点，保证在积分过程中前后两步不跨越非 连续点，既必有积分点落在非连续点上，对于变延迟系统来说，定步长是做不到这 一点的，所以多变延迟系统的数值求解需要采用变步长策略然而对于系统( 2 2 1 ) 如何得到这些非连续点呢? 若函数在t = t 处的导数非连续，则它所传播的非连续点满足 r 一口，( f 。) = f ，i = 1 , 2 ，m ， 因此我们可以根据这一原则得到积分区间上所有的非连续点( c f 4 1 ) 设函数在积分区间上的非连续点为r 。= ，； t ? f ：= t ( 这里为了方便起 见，我们将积分区间的两个端点作为非连续点处理) ，我们称这些非连续点为网格 点为了避免阶降低现象，我们先将积分区间【f o ，邪划分为多个子区间，使得各个 子区间中不包含非连续点，g 甄 t o ，刃= u c ，t 。) u 【f ；+ 】，采用变步长策略，如果 检查到积分步跨越非连续点时，则改变步长，使得下一积分步落在网格点上 由于延迟微分方程解函数导数的非连续性性质，我们定义解函数的导数为 帅彤撇高- 卢啦一 而且我们总是假设解函数的p 阶导数是致有界的，即忪m 弘( r ) 忙m j w ， i = 1 2 ， 3 4 收敛性分析 在分析收敛性之前，我们先做如下几个假设： 假设3 4 1 在积分区间，7 3 上，非连续点为f o = 盯o 盯l 盯k = t ，积分 一l 区间划分为，r 】_ u l ，这里，。= 口。，仃。】，且记盯一，= - = 0 假设3 4 2 可以选择适当的步长，使得积分过程中前后两步积分不跨越非连 1 7 华中科技大学硕士学位论文 续点 为了说明方便，在本文中我们约定在积分过程中，子区间，上有