（光学专业论文）三能级原子系统中双模腔场的稳态纠缠特性研究.pdf

华 中 科 技大 学 硕士学位论文 摘要 90年代以来，以量子计算和量子通讯为主要内容的量子信息学作为一门新兴的 学科日益发展起来。量子纠缠态作为一种量子信息处理的基本物理资源，被广泛地 应用于量子计算、量子通信、量子隐形传态和量子密集编码等领域中。量子系统中 纠缠态的产生、 度量及操纵是量子纠缠研究的一个关键问题。 近年来有关连续变量纠缠态的制备及其在量子信息处理中的应用是量子光学 和量子信息科学的前沿研究领域。这不仅是因为对于连续变量纠缠态性质的研究可 以用于验证量子力学的基本原理， 而且还由于连续变量纠缠态是量子信息处理的基 本资源， 因此如何制备连续变量纠缠态受到人们的广泛关注。 本文中，在考虑腔衰减情况下，研究了单原子qed腔系统中双模腔场的稳态纠 缠特性和平均光子数。具体来说， 主要分为以下四个部分： （1）第一部分是绪论， 主要介绍了量子纠缠态和量子纠缠态在量子通信中的应 用； （2）第二部分简要介绍了纠缠态的判定和度量， 着重介绍了几种常用的判定和 度量纠缠态的方法； （3）第三部分以二能级原子和梯形三能级原子为例， 阐述了原子与光场相互作 用理论 （半经典理论和全量子理论） ， 重点介绍了原子与光场相互作用的哈密顿量的 具体表达形式； （4）第四部分研究了单原子qed腔系统中双模腔场的稳态纠缠特性和平均光子 数， 并分析和讨论了经典场强度、 频率失谐等系统参数对腔场稳态纠缠特性的影响。 研究结果表明，基于我们的方案，腔场的稳态纠缠可以在相当广的系统参数范围内 实现， 通过调节外场可以有效地调节双模腔场的纠缠度和平均光子数。 关键词：量子纠缠; qed腔; 三能级原子; 经典场 i 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 abstract since 1990s, information science , which mainly includes quantum computer and quan- tum communication, has evolved as a new research fi eld. quantum entangled states, as a fun- damental physical resource of quantum information processing, are extensively used in quan- tum computation and quantum communication, quantum teleportation, and quantum dense coding, etc. one of the key problem is the generation, measurement and manipulation of quantum entangled states in quantum systems. now, continuous variable entanglement has attracted a lot of attention in quantum optics and quantum information due to the experimental realization of quantum information process- ings in continuous variable regime. any attempt to exploit the entanglement have to, however, face the corruption of the entanglement by unavoidable decoherence. as a result, how to produce the robust, steady, and high entanglement is an interesting research issue. the main content of this paper is theoretically to study the steady-state entanglement property and the total average photon number of two-mode cavity fi eld in a single atom cavity- qed system under the presence of cavity losses. specifi cally, the main work of our paper consists of the following sections: (1)thefi rstpartisexordium, weintroducethequantumentanglementandtheapplication of the quantum entanglement in quantum communication. (2) in the second part, we introduce the determinant and measurement of the quantum entanglement, especially several usual methods to determine and measure entanglement. (3)in the third part, we taketwo-levelatom andthree-levelatomasexamplestointroduce the interaction theory of the cavity fi elds with atomic medium, especially the expression of hamilton. (4) in the last part, we research the steady-state entanglement property and total average photon number of two-mode cavity fi eld in a single atom cavity-qed system.we also ii 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 analyze and discuss the infl uence of parameters, such as frequency detuning and intensity of the classical fi elds, on the steady-state entanglement property of cavity fi eld. our investigative results show that the steady-state entanglement of cavity fi eld can be realized over a wide range of the system parameters, based on our scheme. we can manipulate the degree of the entanglement and the total average photon number of two-mode cavity fi eld by changing the classical fi elds. key words: quantum entanglement; cavity-qed; three-level atom; classical fi eld iii 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索， 可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本论文属于 保密， 在年解密后适用本授权书。 不保密 。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 日期：年月日 指导教师签名： 日期：年月日 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 1绪论 量子信息学1是随着量子力学在信息科学中的应用，逐渐地建立并发展起来的 一门新兴学科，是当前科学研究的一大热点。那么这门学科为什么会产生并发展起 来呢？首先， 在物理学领域， 世纪初建立的量子力学2为其产生提供了物理基础， 而 对单量子系统的控制又为其提供了一定的技术支持。其次，在计算机科学上，随着 电子器件越做越小，量子效应影响越来越明显，迫使人们利用量子力学原理去构造 新型计算机。 另外， 在密码学上， 目前广泛采用的公钥密码系统3在量子计算机面前 也不再安全，这不仅引起了人们对量子计算机的更大兴趣，而且促使了一种新型加 密方式量子密码术的产生。正是在上述种种原因共同作用下，才催生出这门崭新 的学科量子信息学。而今，它己经发展成为包含量子计算机4、量子通信5和量 子密码术6等多个研究方向的一个庞大的学科体系。 1.1量子纠缠态的基本理论 量子纠缠态作为量子信息的重要资源， 一直是量子力学基本问题研究的重要课 题。纠缠是量子力学有别于经典力学的基本概念，反映一个多体量子系统中各子体 系所存在的非局域的量子关联。在量子力学建立之初，围绕量子力学完备性与否人 们开展了激烈的讨论。最著名的是爱因斯坦等人在 1935 年发表的“佯谬”7，其中 则包含了纠缠的概念。 1964 年贝尔基于定域隐变量假设给出了 “不等式”8， 才将对 量子力学的争论定量化。实验上，人们利用光学手段首次证实了“不等式”的违背， 从而有力地证明了量子力学的非局域性。因此，理解纠缠是人们认识量子力学的关 键。另一方面，作为量子信息处理中的基本资源，纠缠又具有重要的实际应有价值。 例如，利用量子纠缠作为信息通道可以实现经典方法不能实现的量子通讯。所以， 近年来对量子纠缠的研究一直是人们感兴趣的研究方向之一。另外，由于环境诱导 的退相干的影响，使得所产生的纠缠很容易被破坏而不易存储。基于上述，如何制 备抗环境干扰能力强、 稳定的、 高纠缠度的纠缠光源是本文所要解决的主要问题。 1 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 量子纠缠是量子力学描述微观粒子的一种现象， 在量子力学中微观粒子是指具 有波粒二象性的物质。量子纠缠是指量子体系不仅能处于一系列的稳定状态(定态)， 也可以处于它们的叠加态中，或者说粒子以这样一种方式耦合在一起，以致整个体 系不能再用其组成成分的各自状态来描述。如果测量处于叠加态原子的某种物理属 性(能量)，得到的是叠加态中所有可能的能量值中的某一个值。也就是说有时得到 的是这个值，有时得到的是另一个值。每个能量值出现的几率大小则取决于波函数 的平方。实际上可以认为量子纠缠是量子相干的表现形式。量子纠缠不能够用经典 物理解释， 它实际上是由几率波叠加而成的， 具有非定域性， 非常奇特。 1.1.1量子纠缠态的定义 对于一个由 n 个子系统构成的复合系统， 如果系统的密度矩阵不能写成各个子 系统的密度矩阵的直积的线性和的形式， 则这个复合系统就是纠缠的， 即 6= x i pi(1) i (2) i . (n) i .(1-1) 这里, pi 0, 并且 p pi= 1。 考虑体系 a、b 组成的二体系纯态情形。设 a 的一组力学量完全集的共同本征 态记为 |ui , u 代表一组完备量子数，b 的一组力学量完全集的共同本征态记为 |vi , v 代表一组完备量子数， 则 |ui|vi 可以作为复合体系 a+b 的一个完备基， 复合体 系的任意量子态 |iab可以表示成它们的线性叠加。 |iab= x uv cuv|uia|vib.(1-2) 如果整个体系的态矢量 |iab不可能写成子系统态矢量的直积形式 |ui |vi (u,v 任 意)时,则称量子态 |iab为纠缠态。而直积形式的量子态 |ui |vi (u,v 任意)， 称为非 纠缠态， 而体系一般状态则是这种直积形式量子态的线性叠加， 这就构成纠缠态。 以上定义可以推广到多体系或多自由度体系。 对混合态情况， 两个子系统构成的复合系统的混合态， 当且仅当不能表示成 (a,b) = x i pi|i(a,b)ihi(a,b)|, (pi 0,pi= 1).(1-3) 2 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 形式，使其中每个成分态|i(a,b)i 都是可分离态时，这样的混合态是混合纠缠态。 否则， 就称它是一个混合非纠缠态。 1.1.2几种常见的纠缠态 在量子信息研究中应用最广泛的几类纠缠态是 bell 态，ghz 态，w 态。简述如 下： (1) bell 态8 在两量子位体系的量子纠缠中， 最重要的是如下四个量子态： |i ab = 1 2 |1i a|0ib |0ia|1ib , (1-4a) |i ab = 1 2 |1i a|1ib |0ia|0ib . (1-4b) 其中 |i ab 称为单重态(single state)，具有粒子交换反对称性，其他三个称为三重态， 具有粒子交换对称性， 这四个态构成两量子位系统的四维 hilbert 空间的一组正交完 备基， 称作 bell 基 (也称为 bell 态)。bell 态是具有最大纠缠度的两量子位纯态， 常称 作最大纠缠态，即不可能通过任何方式增大它的纠缠度。处在纠缠态的系统，在被 测量时表现出一种奇特的关联性质， 以处于 bell 态的单重态的两粒子体系为例： |i ab = 1 2 |1i a|0ib |0ia|1ib (1-5) 这个态具有以下性质： 当系统处于这个态时， 1、 无论子系 a 或者子系 b 都没有确定的态。 2、当以 |0i,|1i 为基进行测量时，若测得 a 子系的结果为 |1i 态，则 b 子系必定 处于 |0i 态；当 a 子系测得的结果为 |0i 态， 则 b 子系必定处于 |1i 态， 反之亦然。即 a 子系总是处于与 b 子系相反的态中。 3、上述结论与这两个子系之间的空间距离无关，即使 a、b 两系统相隔非常遥 远，上述的关联仍然存在。这种奇特的关联是没有经典对应的量子现象，体现了量 子力学的非局域性质， 这也是 epr 佯谬的核心。 (2) ghz 态和 w 态9,10 3 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 纠缠态还可以存在于多体系统中，在三量子体系中两类重要的纠缠态是 greenberger-horner-zeilinger 态 (ghz 态) 和 w 态。ghz 态的形式如下： |i = 1 2 |1i|1i|1i + |0i|0i|0i (1-6) ghz 态也具有和 bell 态类似的关联性质，即当测得其中一个粒子的态是 |1i 态，其 他两个粒子必定在 |1i 态上，如果测得其中一个粒子的态为 |0i 态时，其余两个粒子 必定处在 |0i 态上。这一点使得它与 bell 态一样成为检验量子力学非局域性质中常 用的一个态。 三粒子纠缠态中还有一种不同于 ghz 态的纠缠形式： |i = 1 3 |001i + |010i + |100i (1-7) 称为 w 态。w 态与 ghz 态不能通过局域操作和经典通信 (locc) 相互转换。在许 多方面，ghz 态可以被看成三粒子的最大纠缠态，然而，当三个粒子处于 ghz 态 时，如果丢失三个粒子中的任何一个，剩余两个粒子将完全解纠缠，因此ghz态的 纠缠特性对粒子丢失是非常脆弱的。相反，w 态和其他任何三粒子态(无论是纯态 还是混合态)相比，在对其中任何一个粒子进行处理后，剩余的密度矩阵 ab，bc 和 ac将继续保持最大可能的纠缠数量， 因此对于 w 态来说， 即是丢失其中的一个 粒子， 剩余的两个粒子仍然保持纠缠态。 对于多粒子体系，w 态仍然具有这种特性，甚至当 n 个粒子中的 n2 个粒子 丢失了它们的粒子信息，w 态中剩余的粒子还是保持纠缠的，这样意味着，n 个粒 子中的任何 2 个粒子不依赖于另外的 n-2 个粒子，无论这 n2 个粒子是否和它们 合作， 这两个粒子还是纠缠的。 以上提到的几种常见的纠缠态都属分离变量系统的纠缠态， 但人们总是愿意将 他们的研究与他们的生产与生活联系起来的。因此，人们当然并不满足微观的量子 态的研究。可喜的是，量子信息不仅在微观而且在介观尺度上都已经得以实现。连 续变量的量子态，例如相干态等。1994年，借助非局域测量方法，vaidman11最早从 理论上提出了连续变量量子隐形传态的概念。1998 年，braunstein 和 kimble12的研 究表明， 利用双模压缩真空态作为纠缠通道， 可以实现连续变量的量子态隐形传送。 4 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 同年， kimble 小组13使用两个相位相干的正交压缩光通过在 50/50 的分束器上的耦 合所形成的一对连续变量 epr 纠缠态， 在实验上实现了连续相干光场的量子隐形传 态，它们所使用的输入态为相干光场，由于压缩度和探测效率的影响，最终测量的 保真度。该方案克服了在分离变量隐形传态实验中极低探测效率的缺陷，实现了完 全可考的量子隐形传态， 引起了科学界的广泛关注， 此项研究工作被列为 1998 年世 界十大科技新闻之一。近几年来，连续变量的纠缠在实验上取得了巨大的成功，各 种各样的产生方案也相继提出, 例如， 光束分裂器14、 原子系综15和冷原子16等。 1.2量子纠缠态在量子通信中的应用 所谓量子通信是通信科学和量子力学相结合的一门新兴交叉学科。它既包括人 们所熟知的量子隐形传态及量子密集编码， 也包括刚刚兴起但却有巨大潜力的量子 通信复杂度和远程量子通信等领域。量子通信可以理解为是利用量子信道来传送信 息，而被传送的信息可以是量子态也可以是经典信息。量子信道是一种能够传送量 子态的通道，这种通道在很多情况下是由建立异地纠缠态实现的，因此异地纠缠的 建立、操纵和测量在量子通信中有着很重要的地位。下面就简要介绍一下量子纠缠 在量子通信中的一些比较重要的应用。 1.2.1量子密集编码 1992 年， bennett 等人17提出利用量子纠缠可以实现通过传输一个量子位， 而传 输两个比特的经典信息的方法量子密集编码方案。量子密集编码的基本原理可以 描述为如下： 首先要让 alice（信息发送者）和 bob（信息接受者）共享最大纠缠态 |+ abi = 1 2 |0i a|0ib+ |1ia|1ib (1-8) 其中 |0i 和 |1i 分别用来表示粒子的两个状态（可以是自旋或其它，为了后面的描述 方便这里就表示为粒子的两自旋方向） 。alice 拥有粒子 a ，而 bob 拥有粒子 b。信 5 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 息发送者 alice 可以对其所拥有的粒子 a 进行四种可能的幺正变换： x= 01 10 ,i y= 01 10 , z= 10 01 ,i = 10 01 . (1-9) 其中 i 表示不对粒子进行任何操作； x使得粒子 a 自旋倒转， 即|0ia |1ia； iy使得 粒子 a 的自旋和相对位相同时倒转；z使得粒子 a 的相对位相倒转。alice 选择其 中一种幺正变换进行操作，实际上就是编码进两个比特的信息。注意这两个比特分 别是宇称比特（parity bit）和相位比特（phase bit） 。这种操作使得量子通道 |+ abi 变 成了下面的四个 bell 基其中的一个： |i+ ab = 1 2 |1i a|0ib+ |0ia|1ib , (1-10a) |i ab = 1 2 |1i a|0ib |0ia|1ib , (1-10b) |i ab = 1 2 |1i a|1ib |0ia|0ib , (1-10c) |i+ ab = 1 2 |1i a|1ib+ |0ia|0ib . (1-10d) 其中 |+ abi | + abi 所编码的两个比特经典信息为（10）表示奇宇称和正相 位；|+ abi | abi 所 编 码 的 两 个 比 特 经 典 信 息 为（11）表 示 奇 宇 称 和 负 相 位；|+ abi | abi 所 编 码 的 两 个 比 特 经 典 信 息 为（01）表 示 奇 宇 称 和 负 相 位；|+ abi | + abi 所编码的两个比特经典信息为（00）表示奇宇称和负相位。 为了将经典信息传递给 bob，alice 先要将其拥有的粒子发送给 bob，然后由 bab 对两个粒子实行 bell 基测量（集体联合测量） ，测量的结果就使得 bob 可以 确定 alice 所作的变换，即获得 alice 所编码于量子态上的两比特的经典信息。因 此，alice 仅仅只发送了一个粒子（量子位） ，而 bob 就可以接受到两比特经典信息， 这就实现了所谓的量子密集编码。相对于经典通信而言，量子密集编码的最大特点 在于保密性非常好， 所传送的量子比特即粒子 a 有 a= 1 2i， 不会携带任何信息， 即 使粒子 a 被截获， 也是无法获得信息的。因为所有信息都编制在 a-b 之间量子关联 6 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 上， 任何局域测量都无法提取传递的信息。 量子密集编码的在多能级情况下的推广就是量子超密集编码18,19。即：假设两 体间分享一对 n 能级最大纠缠粒子对，通过一个粒子传输和一次测量，可以实现 lnn2比特信息的传递。多体间超密集编码也存在类似的结果，对于 n + 1 方 n 能级 超密集编码， 接受者通过一次测量就可以获得 lnnn+1比特的信息， 从而大大的提高 了通讯的效率。 1.2.2量子隐形传态 在科幻电影或神话小说中，常常有这样的场面某人突然在某地消失掉，其后却 在别的地方莫明其妙地显现出来。从物理学角度，人们可以这样地想象隐形传送的 过程先提取原物的所有信息，然后将这个信息传送到接收地点，接收者依据这些信 息，选取与构成原物完全相同的基本单元如原子，制造出原物完美的复制品。遗憾 的是量子力学基本原理不允许如此精确的提取原物的全部信息， 很多物理属性是服 从测不准关系的， 所以这种“扫描”物体的所以属性， 再重构的思路从根本上是被量 子力学否定的。长期以来， 隐形传物只是个幻想。 1993 年， bennett 等人提出一个理论方案，证明量子隐形传态是可能的20，只不 过不是采用信息扫描的方法，而是利用了 epr 对作为辅助资源。其思路是 alice 想 把一个粒子的量子态传到 bob 那边的另一个粒子上。alice 手里粒子的态对她来讲 是未知的， 可以表示为 |i1= |0i1+ |1i1(1-11) 假设， alice 和 bob 事先享有一对 epr 对， 即粒子和处于纠缠态 |i23= 1 2 |0i 2|1i3 |1i2|0i3 (1-12) 尽管 1 粒子和 2 粒子没有纠缠在一起，但是可以用 1，2 粒子的 4 个基纠缠态把 1，2 粒子的任意态展开， 即 |i123=|i1 |i23 7 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 = 1 2 |i 12(|0i3 |1i3) +|+i12(|0i3+ |1i3) +|i12(|1i3+ |0i3) +|+i12(|1i3 |0i3)(1-13) 如图(1-1)所示，alice 对 1，2 粒子进行 bell 态测量 (bsm)，即把这个两粒子系统随 机投影塌缩到四个 bell 基中的一个上，与之对应，粒子会塌缩到相应的与 1 的初 始态有关的单粒子态上，参见上式。例如，如果 alice 的 bsm 测量结果是单重态 |i12， bob 手里的粒子 3 就会处于 |0i3 |1i3， 这个态和粒子1的初始态是等价 的， 因为负号可以提出来， 态本质是一样的。如果 1， 2 塌缩到其它 bell 基上， bob 只 要作个么正变换，就能得到 1 的初始量子态。因此，alice 要做的就是，把她的 bsm 测量结果通过经典信道传给 bob，这样 bob 就可以对他手里的 3 粒子，作相应的操 作， 就可以得到要传的粒子的初态。 量子态隐形传输是一种全新的通信方式， 它所传送的不再是经典的 “0” 、 “1” 信 息，而是一个量子比特的量子信息，而且这种传送方式的本身就保证了绝对的安全 特性，同时它还是“隐形”的，发送端甚至不需要知道接收端在哪里，同样可以完成 图 1-1 量子隐形传态示意图。 8 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 量子信息的传送。这种量子信息的隐形传送并不是超光速的传输，在此过程中经典 通信是必不可少的，单靠量子通道无法实现这种隐形传态，因此，此过程不会违背 光速最大原理。这个过程也不违背量子不可克隆定理， 在 alice 施行量子测量时， 粒 子 1 的量子态必定被破坏而变成另一状态，因此，这个过程可以看作是未知量子比 特在 alice 处消失掉， 而在 bob 处重新出现， 这不是量子克隆的过程， 而是量子信息 的传输过程。 量子隐形传态自从理论方案提出以后，随后在实验中取得到了一系列进 展。1997 年， zeilinger 组在实验上首次用光子极化 qubit 实现了量子隐形传态21， 但 是实验的不足是只能实现 4 个 bell 基的部分测量，无法实现完整的 bsm (bell state measurement)。随后 boschi 等人结合光子的非极化自由度，实现了完备的 bsm 测 量22。nielsen 等人在核磁共振系统 (nmr) 上23，也实现了完备的bsm量子隐形传 态演示。 此外， 离子阱2426， 连续变量系统27,28中也实验实现了量子态隐形传输。 光 子与物质之间的量子隐形传态也在实验中得到实现29,30。长程量子隐形传态也在实 验上取大的进展， 在光纤中， zeilinger 组31利用极化偏振光子实现了 800m 距离的量 子隐形传态， gisin 组利用 time-bin 方式实现了 2km 的量子隐形传态32。另外， 利用 新的六光子技术， 两个粒子复合系统的量子隐形传态最近也在实验上实现33,34。 1.2.3量子密码术 二十世纪七十年代，s. j. wiesner35提出了利用非正交态进行加密的“共轭编 码”思想。后来受这一思想的启发，c. h. bennett 等36提出了 bb84 密钥分配方案， 直接将量子物理应用到保密通讯中，建立了量子密码术的概念。量子密码术突破了 传统加密方法的束缚， 以量子状态作为密钥具有不可复制性， 可以说是“绝对安全” 的。任何截获或测试量子密钥的操作都会改变量子状态。这样截获者得到的只是无 意义的信息，而信息的合法接收者也可以从量子态的改变知道密钥曾被截取过。后 来人们也提出了各种 bb84 方案的变形。1994 年，a. k. ekert37提出了利用 epr 纠 缠对实现密钥分配的方案。第一个实验演示量子密钥传输是由美国和加拿大的 c. h. bennett 和 g. brassard 等人38完成的。近年来，科学家们已经在量子密码术的相 9 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 关研究中取得了重大进展，能在光纤中传递量子密码。近几年有几个公司制造了量 子保密通讯的样机并且已经有产品问世， 所以说量子密码术是量子信息当中最先实 用化的一个。如今人类信息交换越来越频繁，对信息安全的要求也越来越迫切，因 此量子密码术也更显得重要。科学家希望， 将来可以实现 1000 公里距离的量子密码 传输。这样就可以利用卫星来传递信息，并在全球范围内建立起保密的信息交换体 系。 以前量子密码术的研究工作是围绕分离变量体系展开的。由于连续变量量子密 码术可以利用目前成熟的光通讯技术，并有着高传输效率的发展潜力，近年来，一 些小组也把目光投向了连续变量量子密码术，提出了不同的连续变量量子保密通 讯方案39,40。大多数方案都是利用压缩态，或者由压缩产生的纠缠态作为密钥的载 体39。基于相关态的方案也已经提出并已实验实现40。 1.3本人的工作 近年来有关连续变量纠缠态的制备及其在量子信息处理中的应用是量子 光学和量子信息科学的前沿研究领域，这不仅是因为对于连续变量纠缠态性 质的研究可以用于验证量子力学的基本原理，而且还由于连续变量纠缠态是 量子信息处理的基本资源，因此如何制备连续变量纠缠态受到人们的广泛关 注。h.xiong41、zhou ling42和 y.x.ping43分别研究了不同三能级原子系统的纠缠 放大器理论， m.kiffner44研究了四能级原子纠缠放大器理论。 本文在 zhou ling 等人42提出的双模三能级原子系统基础上用高斯连续变量量 子系统的纠缠判据研究了三能级原子系统（三个经典场 + 双模腔场 + 三能级原子） 中双模光子的稳态纠缠特性，分析了泵埔场、耦合场、失协量和腔衰减率对纠缠的 影响， 结果表明双模腔场的纠缠度随泵埔场 rabi 频率的增加而先增加后减小， 加上 两个耦合场提高能级的相干性后可以明显地提高双模纠缠度的最大值。双模腔场的 稳态纠缠在泵埔场和耦合场的很大参数范围内都可以实现， 只要选取合适的泵埔场 和耦合场值， 便可以得到高强度纠缠的双模腔场。另外， 在泵埔场增大的过程中， 平 均光子数先增大后减小； 加上耦合场后， 平均光子数显著增多。 10 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 2纠缠的度量和判定 2.1量子纠缠度 量子纠缠是强调不同粒子的量子态之间的纠缠， 而不是指单个粒子不同自由度 的波函数之间的耦合。在量子信息中，纠缠经常被看作是一个非局域的源。当两地 分享了一定量的纠缠态的时候， 纠缠的所有者们可以通过对纠缠态做局域操作并辅 以经典通信的手段来行使量子通信、量子计算的功能，如量子隐形传态、量子密钥 分配、量子浓缩编码、量子远程计算等等，这都是要以消耗两地分享的纠缠态为代 价的。如何对纠缠定量化？目前，人们已广泛使用四个 bell 态作为定量化两子系系 统纠缠的标准， 每个 bell 态的纠缠度定义为 1， 也称为一个 ebit（纠缠比特） 。 所谓纠 缠度，就是所研究的纠缠态携带纠缠的量的多少。纠缠度的提出为不同的纠缠态之 间建立了可比关系。 如果我们有纠缠态 |i 的 n 份拷贝，通过对其进行局域操作并辅以经典通信， 一般情况下， 能够产生的 bell 单重态的数目与 n 的比不是一个常数， 但随着 n 的增 加，这个比值越来越逼近某个确定的数值 e，当 n 时，可达到这个确定的比 值。理论证明，当 n 时，n 份 |i 和 ne 份 bell 单重态之间的变换近似为可逆 变换45,46。这样，我们在数学意义上定义了态和态之间的等价关系，称为渐进等价 性。纯态纠缠度的定义是建立在渐进等价性的基础上的。这里， 数值就是纯态 |i 的 纠缠度。 对于任意一两体纯态的纠缠度，可用任一子系统的约化密度矩阵的 von neumann 熵描述， 即定义两体纯态纠缠度（部分熵纠缠度）为 e = s(a) = s(b)(2-1) 其中a= trb(|iab abh|), b= tra(|iab abh|) 而s() 的定义为 s(ab) = tr(alna) = tr(blnb)(2-2) 容易验证， 任意直积态的纠缠度为零， 其他形式的纯态的纠缠度介于0和1之间。 部分 11 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 熵纠缠表征了系统局域的混乱程度， 它说明： 量子态的纠缠越厉害， 从局部上看“局 部态”的“不确定程度”就越大。 对于一般形式的混合态，其纠缠度可以定义为47：各种可能分解的纯态纠缠度 的最小平均值。即 e() = minpie(i)(2-3) 显然， 求混合态的纠缠态要比求纯态的纠缠态困难得多。 目前在量子信息和量子计算的研究领域有一种观点， 即二体纯态的纠缠是清楚 的，多体纯态和混合态的纠缠是不清楚的。实际上这个问题是由态的空间的性质及 其中子空间之间的相互作用关系决定的。 子体系之间有量子纠缠的重要特征是（由测量造成的坍塌可以知道） ， 当系统由 两个子系统构成时，子系统a和b的状态均依赖于对方而各自都处于一种不确定的 状态。这时对一个进行测量必将使另一个产生关联的塌缩， 而且， 在纠缠态中， 粒子 a 和 b 的空间波包可以彼此相距遥远而并不重叠。这时它们的自旋波函数仍会产生 关联的塌缩：当a因测量而发生塌缩时，b 系统必将发生相关联的塌缩。应当说，纠 缠态的关联是一种纯量子的非定域的关联， 是一种“超空间”的关联。这是量子态塌 缩的非定域性质和量子纠缠相结合表现出的奇妙性质。在物理上， 这种“超空间”关 联塌缩的存在是量子纠缠存在的标志。也就是说，不论多体纯态或多体混合态，只 要态中存在某种方式的量子纠缠， 就一定存在相应的关联塌缩。 量子纠缠态的极端重要性， 正是在于在测量塌缩中它们表现出的一种非定域性 关联， 一种没有经典对应的， 超空间的关联。这不仅具有深远的科学意义， 而且在量 子通讯和量子计算中具有重要的潜在的技术价值48。但同时，由于量子系统于环境 发生的难以避免的纠缠正是量子信息衰退的主要方式。可以说，这又恰好是量子信 息论和量子计算机发展中的主要障碍。 2.2几种常见的纠缠判据 为了对纠缠进行度量，人们相继提出了形成纠缠度，提纯纠缠度和相对熵纠缠 12 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 度等纠缠度量标准，但是这些度量标准往往计算起来比较困难。近年来，两种简单 易解的纠缠度共生纠缠度（concurrence）和连续变量体系纠缠判据已经被广泛的 应用。 2.2.1共生纠缠度（concurrence） concunrrence的定义49如下 c = max1 2 3 4,0(2-4) 上式中 1 2 3 4是算符r的本征值的非负平方根， 算符r的表达式为： r = 12(y 1 y 2) 12( y 1 y 2) (2-5) 这里 12为两原子子系统的约化密度矩阵，y 1 为泡利矩阵， 12 表示共轭矩阵。 concurrence有以下特点： 1) c = 0 表示两原子之间没有纠缠 2) 0 c 1 表示两原子处于部分纠缠态 3) c = 1 表示两原子处于最大纠缠态由c值的大小我们就可以对两体量子系统 的纠缠进行度量。 2.2.2negativity vidal 和 werner10基于 peres50的可分离判据:部分转置正定是判定态是否为可 分离态的充分必要条件，提出了一种比较通用的量子纠缠的度量方式 negativity,它 定义为 nab() = ktak 2 (2-6) 其中，ta是 的部分转置矩阵，k k 表示矩阵的迹。其实 negativity 就是 ta负的本 征值的绝对值之和。 还有另一种 logarithmic negativity 定义为 eab() = log2ktak(2-7) 13 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 negativity 和 logarithmic negativity 不但适用于两粒子量子体系，而且对于多粒 子量子体系也可以有不同的推广。 2.2.3连续变量体系的纠缠判据 2000 年， duan (段路明) 等人51和 simon52分别独立地给出了高斯连续变量量 子系统的不可分判据。前者是基于计算一对 einstein-podolsky-rosen (epr) 型算符的 总方差而得到的。而后者是直接将分离变量的 peres-horodecki 判据推广到连续变量 的高斯态。 在本文中我们主要运用了 duan et al 的判据，下面我们来介绍一下其判据的主 要思想。考虑如下的类 epr 型算符， u=|c| x1+ 1 c x2,(2-8) v=|c| p1 1 c p2,(2-9) 假定 c 是任意的非零实数，其中共轭正交分量 xj, pj，满足对易关系 x j, pj0 = ijj0, (j,j0= 1,2)。duan 等的判据可以陈述为：对于任意的可分量子态， 由公式 (2-8) 和 (2-9) 所定义的两个epr型算符的总方差满足不等式, h( u)2i+ h( v)2i c2+ 1 c2 (2-10) 换言之，如果两个 epr 型算符的总方差违反不等式 (2-10)，那么由量子态 所构成 的系统将是不可分的 (或纠缠的)。duan 等的判据给出了任意两体连续变量量子系统 的纠缠的充分条件。此外，对于所有的高斯态，此判据被证明是不可分的充分必要 条件。 多子系系统的纠缠态具有子系系统纠缠态所不备的性质定量化非常困难， 目前 对其研究尚处于起步阶段。bennet 等人53研究了多子系系统纯纠缠态的定量化问 题，定义了一组态 g = 1,2, ,k 为最小可逆的纠缠生成集，任何一个多子系 系统纯纠缠态可以由这组生成集以渐进可逆的方式实现， 每个生成元都联系着一个 纠缠度， 但是目前对这个生成集的构成尚不清楚。 14 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 3原子与光场相互作用理论 随着腔 qed 技术的不断发展， 以及高品质腔的出现， 原子腔系统除了用来制 备原子及光场的纠缠态，还被广泛的用于量子隐形传态、量子门操作、光场的压缩 等量子信息的处理。原子腔系统制备纠缠态的方案实际上是利用原子与腔中的光 场相互作用并通过控制原子和光场的初态以及作用时间来制备原子或光场的纠缠 态。因此，了解原子和光场相互作用的原理以及规律就成为了利用原子和光场相互 作用来制备量子纠缠态的前提条件， 在本章中将我们将重点介绍原子与光场相互作 用的哈密顿量的具体表达形式。 3.1原子与光场相互作用的半经典理论 在这一节介绍的是原子与光场相互作用的半经典理论54。所谓半经典理论实际 上就是指在原子和光场相互作用时采取半经典近似，即原子是量子化的（考虑能级 结构） ， 光场看成经典场。 我们以单个的两能级原子与单模光场的相互作用为例， 讨论原子与光场相互作 用的哈密顿量的具体表达形式。单个的两能级原子与单模光场的相互作用是原子与 光场相互作用中最为简单的一种情况。众所周知，只有当光频率与原子的某两个能 级之间跃迁频率相同（共振）或相近（近共振）时，原子与光才有强烈的相互作用。 e ? 0 ? g 图 3-1 二能级原子与单模光场相互作用示意图。 15 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 因此在单模光场情况下，可把原子看成是只有两能级的原子，|ei 和 |gi 分别用来表 示两能级原子激发态和基态。于是，单个两能级原子单模光场的哈密顿量可写 为： h = h0+ hi(3-1) 其中 h0代表原子哈密顿量，hi可以表示为原子和光场相互作用的哈密顿量。根据 完全性条件 |eihe| + |gihg| = 1， 可以把 h0写成： h0=(|eihe| + |gihg|)h0(|eihe| + |gihg|) =e|eihe| + g|gihg|(3-2) 其中 e和 g分别为原子两个能级的本征能量。原子与光场相互作用的哈密顿量 可以写为： hi=exe(t) =e(|eihe| + |gihg|)x(|eihe| + |gihg|)e(z,t) =(eg|eihg| + ge|gihe|)(3-3) 其中 eg= ge = ehe|x|gi 是电偶极矩矩阵元，在此场的线偏振是沿着 x 轴方向。在 偶极近似下， 取光的电场为： e(t) = cos(t)(3-4) 和 分别为场的振幅和频率。 下面把 (3-3) 式转化到相互作用绘景， 利用公式 hn 0 = (e)n|eihe| + (g)n|gihg|(3-5) 以及 u0(t)=exp i h0t =exp(iet)|eihe|) + exp(igt)|gihg|)(3-6) 16 华 中 科 技大 学 硕士学位论文 对于两能级原子，如果 z = 0 即仅仅在 x 方向有运动的情况下，相互作用绘景下的 单个两能级原子与单模光场相互作用的哈密顿量可以写为： hi(t)=u 0(t)(|eihg| + |gihe|)u0cos(t) = 2 |eihg|ei4t + |gihe|ei4t+ |eihg|ei(0+)t+ |gihe|ei(0+)t(3-7) 其中 4 = 0 为失协量， = |ge| 为 rabi 频率。在旋波近似（即在相互作用哈密 顿量中忽略随时间变化相对快的量）下，取 4 = 0 = 0 即两能级原子的激发频 率正好和光场的频率相等的时候， 相互作用的哈密顿量可以简化为： hi(t) = 2 |eihg| + |gihe|) (3-8) 3.2原子与光场相互作用的全量子理论 上节介绍了原子与光场相互作用的半经典理论， 即描述原子的哈密顿量是量子 化的，而光场还是用经典场表示。接下来介绍的是原子与光场相互作用的量子理 论54， 即描述原子和光场的哈密顿量都是量子化的。相对于原子与光场相互作用 半经典理论而言，原子与光场相互作用量子理论有着更为广泛的应用，因为随着 科学技术的发展， 特别是腔 qed 技术的发展， 需要在研究原子与光场相