毕业设计（论文）-一类源自二次和三次映射的混合泛函方程的模糊稳定性.doc

一类源自二次和三次映射的混合泛函方程的模糊稳定性摘要：泛函方程的稳定性问题源自Ulam在1940年提出的关于群同态的稳定性间题:给定一个群和一个度量群,其中为一个度量。给定一个,存在一个使得如果为一个映射且对所有的均有。是否存在一个同态使得对所有的, ？1941年, D.H.Hyers解决了Banach空间上可加映射的稳定性问题。在接下来的几十年里，许多数学家对各种不同的泛函方程的稳定性进行了系统的研究，例如指数方程，二次泛函方程,三次泛函方程以及广义可加的泛函方程等。1978年，Th.M.Rassias解决了线性映射在Banach空间的稳定性问题；1992年，Gavrute进一步研究得出Rassias定理；1999年,Y.Lee和K.Jun研究了广义Jensen方程的稳定性；这些稳定性的成果在随机分析、金融数学和精算数学等领域中均有广泛的应用。在本文中，我们研究了一个源自二次和三次映射的泛函方程的Hyers-Ulam稳定性。共分为一章五节。 在第一、二节中，我们给出了引言和预备知识。然后我们在第三节中，我们给出了该方程的通解，并在第四节中研究了其在模糊Banach空间中的Hyers-Ulam稳定性。关键词：Hyers-Ulam稳定性；二次泛函方程；三次泛函方程；模糊Banach空间。Fuzzy stability of a Functional Equation deriving from Quadratic and Cubic FunctionsAbstraet: The stability problem of functional educations originatedFrom a question of Ulam concerning the stability of group homomorphisms In 1940: Give a groupand a metric groupwith the metric.Give,does there exists a such that if satifiesfor all,then is there a homomorphism with for all ? In 1941,D.H.Hyers solved the stability Problem of additive mapping on Banach spaces.In the following decades, many mathematicians have studiedThe stability of different kinds of functional equations such as exponent-tial equation,quadratic funetional equation,cubic functional equation,generalized additive equation and so on. In1978,Th.M.Rassias solved thestability problem of linear mapping in Banach space. In 1992, Gavrute further concluded that the Rassias theorem. In1999,Y.Lee and K.Jun stu-died the stability of generalized Jense equation. These stability results have applications in some related fields such as random analysis,fina-ncial mathematics and actuarial mathematics. In this paper, We consider the solution and fuzzy stability of a mixed functional equation deriving from the quadratic and cubic functional equations: Consists of a section of the five chapter. In the first,second section, We give introduction and preliminaries. Then in the third section,we discuss the solution of above mixed functio-nal equation. And give the fuzzy Banach space in the Hyers-Ulam stability in section fourth.Keywords:Hyers-Ulam stability;Quadratic functional equations;Cubic functional equations;Fuzzy Banach spaee.目录 1引言.12预备知识.23. 泛函方程（3）的解.34泛函方程（3）的模糊稳定性.65例子.19参考文献.22致谢.,.,.231 引言 泛函方程稳定性问题源自Ulam在1940年提出的关于群同态的稳定性问题：给定一个群和一个度量群,其中为一个度量。给定一个,存在一个使得如果为一个映射且对所有的均有。是否存在一个同态使得对所有的, ？ 1941年, D.H.Hyers解决了Banach空间上可加映射的稳定性问题。在接下来的几十年里,许多数学家对各种不同的泛函方程的稳定性进行了系统的研究,例如指数方程,二次泛函方程,三次泛函方程以及广义可加的泛函方程等。1978年,Th.M. Rassias解决了线性映射在Banach空间的稳定性问题；1992年,Gavrute进一步研究得出Rassias定理；1999年,Y.Lee和K.Jun研究了广义Jensen方程的稳定性；这些稳定性的成果在随机分析、金融数学和精算数学等领域中均有广泛的应用。称泛函方程 为二次泛函方程。容易看出函数满足。的每个解都称为一个二次映射。Skof研究了的Hyers-Ulam稳定性问题。Czerwik研究了的Hyers-Ulam-Rassias稳定性。Moslehian , Nikodm和Popa研究了多重赋范空间中二次泛函方程的逼近问题。 Jun和Kim介绍了下面的三次泛函方程 并且解决了其广义稳定性问题。我们容易得到函数满足. 每一个满足三次泛函方程的解称为三次映射。2 预备知识 1984年, Katsaras在线性空间上定义了一个模糊范数。Wu和Fang 也引入了模糊赋范空间的定义并且在模糊拓扑线性空间中给出了广义的Kolmogoroff范数定理。此后, 许多数学家在线性空间中从各种不同的角度研究了模糊度量和模糊范数。2003年, Bag和Samanta修改了文献中给出的定义, 给出了下面的模糊范数的定义。下面的定义来自文献。 定义1 设为一个实线性空间, 若是一个函数, 若对所有的和满足: 其中； 当且仅当, 其中； 如果, 则； ； 是上的非单调递减的函数且； 对,在上是(上半) 连续的。则称这个函数为上的模糊范数, 且称为一个模糊赋范空间。例1 设为一个赋范线性空间。则不难验证是上的一个模糊范数。定义2 设为模糊赋范线性空间上的一个序列。若存在使得,其中, 则称为收敛的。此时,称为序列的模糊极限, 记为。定义3 设为模糊赋范线性空间上的一个序列。如果对任意的和,存在使得对所有的和, 有 , 则称为一个Cauchy列。 显然模糊赋范空间中的每一个收敛列都是Cauchy列。在模糊赋范空间中, 如果每一个Cauchy列都是收敛的, 则称为一个模糊Banach空间。关于泛函方程的模糊稳定性的一些结果, 我们参考文献-。 在本文中, 我们研究一个源自二次泛函方程和三次泛函方程的混合泛函方程： 容易看出函数是此方程的一个解.。我们首先考虑方程的解,然后研究了泛函方程在模糊Banach空间中的Hyers-Ulam稳定性问题。3 泛函方程(3)的解在本节中, 我们总是假设为实向量空间定理1 设为一个映射。则满足当且仅当存在一个二次映射和一个三次映射使得对任意, 。证明 设存在一个二次映射和一个三次映射使得其中.则满足且满足。在中,令, 得。在中,令,可以得到 其中。在中,令,有。在中,令,得 其中。由 ，和，我们可以得到 和 其中。再由和,对所有的有设满足, 令，其中分别称为偶部和奇部。由得 其中。因此若满足, 则满足其中。在中,令, 则。在中,令且由为偶函数, 我们可以得到,其中.因此可以表示成其中。由RM可以知道是二次函数。同式证明类似,对所有的,我们还可以得其中。因此是三次函数。令,则是二次函数, 是三次函数并且满足，其中。推论1 设是一个映射. 若满足, 则以下结论均成立。 若是偶映射, 则为二次映射。 若是奇映射, 则为三次映射。证明 如果是偶映射, 则。由定理1,我们可以得到为二次映射。如果是奇映射,则,由定理1得为三次映射。4 泛函方程的模糊稳定性 在本节中, 我们总是假设为一个实线性空间, 是一个模糊Banach空间并且是一个模糊赋范空间. 给定一个映射 ,定义其中。定理2 设并且为一个函数满足 其中且。设为一偶映射且满足和 其中且。则存在唯一的二次映射使得 其中且。 证明 在中, 令可得 其中且。在中, 用代替, 我们得到 其中且。在中, 用代替, 我们得到 其中且。对所有的，和，由可得 下证序列是一个Cauchy列。对所有的且, 由, 和可得 其中且。在中,用代替, 我们可以得到 其中且。在中，用代替,则对所有的和有 因为,所以。因此在中令,且由, 我们可以得到 ，其中且。故序列是中的一个Cauchy列, 其中。因为是一个模糊Banach空间, 所以对所有的,序列收敛。故我们定义映射 ，其中。在中,令,有 ，其中且。再由, 我们可以得到 其中且。在中，令可得，其中且。利用，对所有的和有, , , , ，, 在中, 令,且由和, 可得其中且。故满足。因为是一个偶映射, 所以也是偶映射。由推论1可知为二次映射. 因此满足. 在中, 令，且由为偶映射, 得, 则。 下证的唯一性.假设为另一个二次映射满足,则 其中, 且。因为，所以其中且。故,其中且。对所有的有。定理3 设且是一个函数使得 其中且。设是一个偶映射满足和 其中且。则存在一个唯一的二次映射使得 其中且。证明 证明过程与定理2相似, 因此现只写出简易步骤。在中, 令且由为偶映射可得 其中且。在中用代替, 且由和得 其中且。对所有的，可以推出 故序列是中的一个Cauchy列,其中。因为是一个模糊Banach空间，所以序列是收敛列,其中。因此我们 可以定义一个映射为 其中。因此 其中且。剩下的证明同定理2类似.定理4 设且是一个函数满足和 其中且。设是一个奇映射满足和。则存在一个三次映射使得 其中且。证明 在中令且由为奇映射, 对所有的和有 在中用代替,再由和可得 其中且。在中, 用代替, 对所有的和有 对所有的，和, 由得 下证序列是一个cauchy列。对任何, , 由, 和, 我们可以得到 其中且。在中, 用代替可得 其中且。在中, 用代替,有 其中且。因为, 所以。因此在中, 令，且由可得其中且。故序列是中的一个Cauchy列, 其中。因为是一个模糊Banach空间，所以对所有的，序列是收敛列.因此我们可以定义一个映射为其中。在中,令, 得 其中且。由, 我们可以得到 其中且。在中, 令, 再由, 可以得到 其中且。对所有的和有 ， 因此在中,令,我们可以得到其中且。故满足因为是奇映射, 所以也是奇映射。由推论1, 为三次映射。下证的唯一性。如果是另一个满足的三次映射,则 其中，且。由和,我们可以得到 其中且。因此,其中和。故对所有的有，即定理5 设且是一个函数满足和 其中且。设是一个奇映射满足和则存在一个唯一的三次映射使得其中且。证明 证明过程与定理4相似,因此现只写出简易步骤.在中,令且由为奇映射可得 其中且。在中用代替,且由和得 其中且。对所有的,可以推出 故序列是中的一个Cauchy列, 其中。因为是一个模糊Banach空间.所以序列是收敛列,其中。因此我们可以定义一个映射为其中。在中,令和,同的证明,我们可以得 其中且。剩下的证明同定理4类似。 定理6 设且是一个函数,对所有和满足和。设是一个映射满足和则存在唯一的二次映射和唯一的三次映射使得,其中，且 证明 令,。则,是奇映射满足其中且。由定理5,则存在唯一的三次映射使得其中且。令,其中。则,是偶映射且满足其中和。由, , , 我们可以推出 其中和。由定理2,则存在唯一的二次映射使得其中和。显然,。则对任意且,证毕。定理7 设且是一个函数满足。设是一个映射满足和。则存在唯一的二次映射和唯一的三次映射使得其中，且证明 令, 其中。则,是一个偶映射且满足其中且。由定理3，存在唯一的二次映射使得 其中且。令,其中,则有,是一个偶映射且满足其中和。由和得, 其中和。由定理4,存在唯一的三次映射使得其中且。显然有,则其中且。5 例子 设, , 且是一个赋范空间, 其范数为在上, 根据例1.2定义为一模糊范数. 设一个映射满足不等式其中和。则存在唯一的二次映射和唯一的三次映射使得其中且。证明 令。当, 且时, ， 其中和。容易证明是一个单调递减的函数, 其中,因为，所以。由定理7,则存在唯一的二次映射和唯一的三次映射使得其中且。当,且时,有， ，其中和。容易证明是一个单调递增的函数, 其中,。因为，所以由定理6,则存在唯一的二次映射和唯一的三次映射使得 其中且。参考文献1 Ulam S M. A collection of mathematical problems M. Interscience Tracts in pu-re and Applied Mathematies , no. 8 Interscience Publishers, New York-London, 1960.2 Hyers D H. On the stability of the linear funetional equation J.Proc Nat Acad Sci (USA),1941, 27(4);222-224.3 Rassias Th.M. On the stability of the linear mapping in Banach J. Proceedings of the American Mathematical Society,1978,72(2):297-300.4 Gavruta P AGeneralization of the Hyers-Ulam-Rassias stability of approxima-tely additive mappingsJ.J Math Anal Appl,1994,184:431-4365 Y. Lee and K. Jun, A generalization of the HyersUlamRassias stability of Jen- sens equation, J. Math. Anal. Appl. 238 (1999), 305-315.6 Skof F.,Local properties and approximations of operators J.Rend. Sem. Mat Fis Milano,1983,53:113-129.7 Czerwik S.On the stability of the quadratic mapping in normed spaces J. Abh Math sem Univ Hamburg,1992,62:59-648 Moslehian M S , Nikodm K , Popa D . Asymptotic aspect of the quadratic Func-tional equation in multinormed spaces J.J Math Anal Appl, 2009,355: 717-724.9 Jun K W,Kim H M.The generalized