（应用数学专业论文）随机测度的量子维数与倍测度的纯原子性.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了随机自相似测度的量子化维数和紧集上倍测度的 纯原子性 第一章绪论中我们简单回顾了分形几何的产生，给出了包括 h a s u d o r f 维数，迭代函数系，测度维数，符号空间在内的分形基本理论 及强分离条件和开集条件的一些基本概念及主要性质 第二章我们先给出概率论里的一些相关知识，接着给出随机分形 的一些基本理论和相关命题，并主要介绍了随机康托集 第三章我们主要讨论了随机自相似集k ( o ) 上的随机自相似测度x 的量子维数，我们建立了的量子维数和它的分布之间的关系，并且我 们给出了这个公式的一个简单应用 第四章我们主要研究紧集上倍测度的纯原子性，给出两个h a s u d o r f 维数都在( 0 ，1 ) 上的紧集x 和y ，且x 上所有的倍测度都是纯原子的，而 l ，上任一倍测度都不是纯原子的 第五章在结束语中我们提出了下一步工作的设想 关键词：h a u s d o r f f 维数，随机自相似集，随机测度，量子维数，纯 原子，倍测度，康托集 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yt h eq u a n t i z a t i o nd i m e n s i o no f r a n d o ms e l f - s i m i l a rm e a s u r e s u p p o r t e do nt h er a n d o ms e l f - s i m i l a rs e t k ( o ) a n ds h o wt w op u r e l ya t o m i cc a s e so fd o u b l i n gm e a s u r e so nc o m p a c t s e t s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yr e v i e wt h ef r a c t a ln a i s s a n c ea n dg i v es o m e f u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so ft h ef r a c t a lt h e o r yw h i c hc o n c l u d e h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，i f s ，m e a s u r ed i m e n s i o n ，s y m b o ls p a c ea n dt h e s t r o n gs e p a r a t i o nc o n d i t i o na n dt h eo p e ns e tc o n d i t i o n i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m ek n o w l e d g eo fp r o b a b i l i t yt h e o r y f i r s t l y , t h e ng i v es o m ef u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so ft h er a n d o m f r a c t a la n d e s p e c i a l l yi n t r o d u c et h er a n d o mc a n t o rs e t i n c h a p t e r3 ，w es t u d yt h eq u a n t i z a t i o nd i m e n s i o no fr a n d o m s e l f - s i m i l a rm e a s u r e s u p p o r t e do nt h er a n d o ms e l f - s i m i l a rs e t k ( 缈) w ee s t a b l i s har e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eq u a n t i z a t i o nd i m e n s i o no fha n d i t sd i s t r i b u t i o n ，t h e nw eg i v eas i m p l ee x a m p l et os h o wt h a th o wt ou s et h e f o r m u l ao ft h eq u a n t i z a t i o nd i m e n s i o n i n c h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ep u r e l ya t o m i cc a s e so fd o u b l i n g m e a s u r e so nc o m p a c ts e t s w es h o wt h a tt h e r ea r et w oc o m p a c ts e t sx ，y w h o s ed i m e n s i o n sa r eb o t hi n ( o ，1 ) ，a n da l ld o u b l i n gm e a s u r e so nxa r e p u r e l ya t o m i c ，w h i l ea n yd o u b l i n gm e a s u r eo nyi s n tp u r e l ya t o m i c i nc h a p t e r5 ，w ep r o p o s et h ei d e a so fw o r ki nt h en e x ts t e p k e y w o r d s ：h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；r a n d o ms e l f - s i m i l a rs e t ；r a n d o mm e a s u r e ； q u a n t i z a t i o nd i m e n s i o n ；p u r e l ya t o m i c ；d o u b l i n gm e a s u r e ； c a n t o rs e t i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已注明引用的 内容以外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写 过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担 学位论文作者签名：呼嘧j 日期：f ，年占月 fe i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的 规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权江苏大学可以 将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密 口 学位论文作者签名：珲啼7 f - 年多月，日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 分形几何萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，正式成为一门独立的学科则是在2 0 世 纪7 0 、8 0 年代其研究对象为自然界和社会活动中广为存在的复杂无序，而又具 有某种规律的系统分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供 了新的方法，使人们对于诸如布朗( b r o w n ) 运动，湍流( t u r b u l e n c e ) 等大自然 中的众多复杂现象有了更加深刻地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等 多个学科中被广泛应用，作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的 几何学，近年来，不论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展 1 1分形理论的产生 客观自然界中的许多事物具有自相似的“层次 结构在理想情况下，具有 无穷层次，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变不少复杂的物理现 象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量用尺来测量万里长 城，嫌太短用尺来测量分子长度，又嫌太长从而产生了特征长度还有的事 物没有特征长度，就必须同时考虑从小到大的许许多多的尺度( 或称为标度) ，这 就是“标度性 问题 在二十世纪七十年代，美籍法裔数学家曼德尔勃罗特( b b m a n d e l b r o t ) 提出 了英国的海岸线有多长? 这个问题及时依赖于测量时所用的尺度数学家科赫 ( k o c h ) 从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成 无限曲线，其长度也不断的增加，并趋向无穷大以后可以看到，分形维数才是 “科赫岛 海岸线的确定的特征量，即海岸线的分形维数均介于1 到2 之间这 些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系譬如：银河系中的若断若 续的星体分布就是具有分形维数的吸引子多孔介质中的流体运动和它产生的流 体模型、1 8 2 7 年发现的布朗( r b r o w n ) 运动的运动轨迹的复杂性、化学中酶的构 造、生物学中细胞的生长、非线性动力学中的奇怪吸引子以及工程技术中的信号 处理等等传统的经典几何学难以描述其复杂性，伴随着多个学科类似问题的出 现及研究，这就促使数学家进步的研究，因而就诞生了一门新的学科分形 江苏大学硕士学位论文 几何学 关于分形几何学的产生，一般认为：1 9 7 5 年，数学家曼德尔勃罗特 ( b b m a n d e l b r o t ) 的名著分形：形式，机遇和维数( f r a c t y a l ：f o r m ，c h a n c ea n d d i m e n s i o n ) 的问世标志着一个崭新的数学分支分形几何学由此诞生 “分形 ( f r a c t a l ) 一词，也是曼德尔勃罗特提出来的，它源于拉丁语“f r a c t u s ”，含有“不 规则 和“破碎”的意义。实际上，分形的思想以及分形集在数学上的存在已逾 百年在十九世纪至二十世纪初，c a n t o r 三分集，k o c h 曲线以及w e i r s t r a s s 无处 可微连续函数等这些“病态”的曲线与集合已逐步为人们所了解许多学者开始 致力于构造类似的曲线与集合并研究它们的性质c a n t o r , w e i e r s t r a s s ，p e a n o ， h a u d o r f f , k o c h 等人的杰出工作为以后分形概念和分形理论的产生奠定了基础 1 2 分形理论的研究对象和分形的定义 分形理论的研究对象主要是复杂的不规则几何形态它们在自然界无处不在， 因而分形被人们誉为大自然的几何学，分形处处可见 分形自创立以来，人们做了各种努力试图给分型一个确切的数学定义，但是 到目前为止所出现的这些定义都很难验证时适用于一般的情形在m a n d e l b r o t 的 论述中给出的分形的第一个定义【1 】： 定义1 2 1 设集合ec r “，如果的h a u s d o r f f 维数严格大于它的拓扑维数， 即d i m h ( e ) d r 但) ，则称集合e 为分形集，简称为分形 显然，d r 但) 和d i m h 但) 都大于等于。而小于等于n ，前者总是一个整数，而 后者则不然，可以是分数，两个维数无须相同，它们只满足苏比尔拉( s z p i l r a j n ) 不等式： d i m h 但) d r 但) ( 1 2 1 ) 由此可知，每个具有非整数h a u s d o r f f 维数的集合一定是分形然而，分形的 h a u s d o r f f 维数也可以是一个整数，例如：布朗运动的轨迹是分形，它的h a u s d o r f f 维数d i m h ( e ) = 1 ，而它的拓扑维数d r 但) = 2 根据定义1 2 1 可知，只要计算出集合的h a u s d o r f f 维数和拓扑维数，就可以 判断出该集合是否为分形然而在实际应用中，一个集合h a u s d o r f f 测度和 h a u s d o r f f 维数的计算是非常复杂和困难的，这就给该定义的广泛使用带来了很大 2 江苏大学硕士学位论文 的影响 1 9 8 6 年m a n d c l b r o t 又给出了自相似分形的定义： 定义1 2 2 局部与整体以某种方式相似的集合称为分形 这一定义体现了大多数奇异集合的特征，尤其反映了自然界中广泛一类物质的基 本性质：局部与局部、局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有 统计意义上的自相似性但是定义1 2 2 只强调了自相似特性，具有相当的局限性， 而定义1 2 1 比定义1 2 2 的内涵要丰富得多 可以说如何定义分形至今尚无定论，无论应用何种方法来定义分形都会遗留 掉一些分形思想的精髓而且人们对分形的定义有不同的要求，数学家要求“严 密”和“公理化 ，物理学家要求“简洁 ，工程师们要求“简单适用 因此如何 定义分形已经成为了一个重要的科学问题 针对以上问题，f a l c o n e r 2 , 3 1 对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是某 些性质的集合，而不去寻求它的精确定义他提出一个分形可以描述如下： 定义1 2 3 考虑e u c l i d 空间中的集合e ，如果它具有下面所有的或是大部分 的性质，它就是分形： ( 1 ) e 具有精细结构，即有任意小比例的不规则细节 ( 2 ) e 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用微积分的或传统的几何 语言来描述 ( 3 ) 通常e 具有某种自相似或者自仿射性质，可能是近似的或者是统计意义上 的 ( 4 ) 一般地，e 的“分形维数”( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生 ( 6 ) 通常e 有“自然”的外貌 类似地，e d g a r 4 , 5 1 在1 9 9 0 年对分形给出了一个更加粗略的定义 定义1 2 4 分形集就是比在经典几何考虑的集合更加不规则的集合这个集 合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到 定义1 2 3 和定义1 2 4 尽管不严格，但确实使人们( 特别是工程师们) 很容 易去理解什么是分形粗略地说，分形几何就是不规则形状的几何，而且这种不 3 江苏大学硕士学位论文 规则性( 粗糙性) 具有层次性，即在不同的层次( 尺度) 下均能观察到事实上， 不规则几何的抽象化经常比在经典几何中光滑曲线和光滑曲面的规整几何更能精 确地拟合自然世界正如m a n d e l b r o t1 1 1 所说：“云彩不是球面，山峰不是圆锥，海 岸线不是圆周，闪电也不是以直线传播”它们都可能是分形 1 3 分形几何中几种常见的维数 测度与维数是分形理论中两个重要概念，它是定量刻画分形集合的两个基本 参量，它们在分形的理论及其应用研究中占据着十分重要的地位 1 3 1h a u s d o r f fi 贝! 度及其维数2 3 1 h a u s d o r 钡0 度是分形几何中最基本的概念之一h a u s d o r f f 测度将传统几何( 例 如：e u c l i d 几何、r i e m a n n 几何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概念，以 及整数维空间 l e b e s q u e 澳1 度的概念和计算方法推广到非整数维空间中首先回顾 一下定义 如果妙；) 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖f 的集类，即 fc u u ，且对每一个f 都有oqu ，庠万，则称妙，) 为f 的一个万一覆盖 设f 为r ”中的任何子集，s 为一非负数，对任何万 0 ，定义 日。s ( f ) = i n f 喜iu 片：双沩f 的万一覆盖) ( 1 3 1 ) 当万减小时，式( 1 3 1 ) 中能覆盖f 的集类是减少的，从而下确界h ；陋) 随着增 加，且当万专0 时趋于一个极限( 可能为有限，也可能为无穷) ，记 h 3 妒) = l i m h ；但)( 1 3 2 )、 8 - - 0 ”、7、 对r ”中的任何子集，这个极限都存在( 极限值可以是o 或c o ) ，我们称日5 伊) 为f 的j 一维h a u s d o r f f 测度 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念f a l c o n e r 7 1 证明尺“中任何 l e b e s q u e 可测集的n 维h a u s d o r f f 测度与n 维l e b e s q u e 测度( 即通常的n 维体积) 相差一个常数倍更精确地，若f 是1 1 维e u c l i d 空间中的b o r e l 子集，则 l “妒) = c n h4 俨)( 1 3 3 ) 4 江苏大学硕士学位论文 这里常数c 。= 刀i ( 2 “r ( 吾甩+ 1 ) ) ，即直径为1 的n 维球的体积类似地，对于r 4 中 “好的 低维子集，日。但) 是f 中点的个数；日1 伊) 给出了光滑曲线f 的长度； 若f 为光滑曲面，则日2 妒) = 詈a r e a ( f ) ：而日3 但) = 导v o l ( f ) 根据h a u s d o r f f 测度的定义( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 矾t i ，对于任意给定的集合e 和 0 万 1 ，日；但) 是s 的减函数，从而h a u s d o r f f 测度日5 口) 也是s 的减函数进 一步证明可以得到结论【2 】：若ec r “，则存在唯一的一个实数s 。【o ，n 】，使得 h 5 陋，= 言耋：三；：筹 c 1 3 4 ) 图1 1 集e 的日5 ( e ) 对s 的图h a u s d o r f f 幺隹数d i m h ) 是使得从0 0 “跳跃”到0 发生的s 的数值 由此可知，h 。但) 关于j 的图( 图1 1 ) 表明，存在j 的一个临界点使得日5 俾) 从o o “跳跃”到o 这一临界值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m 日但) 精确地 d i m ，但) = i n f s ：h 5 俾) = 0 】= s u p s ：h5 但) = o 。】( 1 3 5 ) 当s = d i m e 时，即当s 取e 的h a u s d o r f f 维数时，的h a u s d o r f f 测度日5 陋) 可以为零或者无穷或者满足： 0 h 。但) 0 0( 1 3 6 ) 满足不等式( 1 3 6 ) 的集合e 称为j 一集 h a u s d o r f f 维数是一个严格的数学概念，它在分形理论的建立和推导过程中起 着十分重要的作用然而，对于具体的分形结构来说，要确定其h a u s d o r f f 维数却 非常艰难，即使是一些经典的规则分形结构，对于其h a u s d o r f f 维数的计算至今人 5 江苏大学硕士学位论文 们仍然无能为力因此，在实际应用中人们很少讨论其h a u s d o r f f 维数，而是讨论 其计盒维数 1 3 2 计盒维数 计盒维数( b o x c o u n t i n gd i m e n s i o n ) 或称盒维数( b o xd i m e n s i o n ) 是应用最 广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的计算及经验估计相对容易 一些这一维数的研究可以追溯到二十世纪三十年代，并且对它还有许多其它的 称呼：k o l m o g o r o v 熵、熵维数、容度维数、度量维数、对数维数和信息维数等等 定义1 3 1 1 2 1 设f 是尺“上任意非空有界子集，j 伊) 是直径最大为万，可 以覆盖f 的集合的最少个数，则f 的下、上计盒维数分别定义为 d i m 口f ：些攀， ( 1 3 1 3 ) 8 - 0 一l o g d d i m 肛画l i m 等等 ( 1 3 1 4 n o ) 占- + o l肖 、 如果这两个值相等，则称这个公共值为f 的计盒维数或盒维数，记为 m m 小籼l i m 等等 ( 1 3 胚) 通常人们所说的分形维数就是指计盒维数从定义可知，对于一系列码尺万， 只要确定出相应的盒子数占伊) ，就可以通过公式( 1 3 1 3 ) - ( 1 3 1 5 ) 计算出集合f 的上、下计盒维数和计盒维数然而，如何来确定上面定义中的盒子数万妒) ? 这仍然是一个难以解决的问题为此，人们给出了下面的等价定义 等价定义 3 1r “上任意非空有界子集f 的下、上计盒维数以及计盒维数分别 由公式( 1 3 1 3 ) 一( 1 3 1 5 ) 给出，其中占伊) 是下列五个数中的任意一个： ( i ) 覆盖，的直径为艿的集合的最少个数； ( i i ) 覆盖f 的半径为万的闭球的最少个数； ( i i i ) 覆盖f 的边长为万立方体的最少个数； ( i v ) 中心在f 上半径为万的不交球的最多个数； ( v ) 与f 相交的万网立方体个数( 8 网立方体是形如 【m 万，( + 1 ) 万) 【小2 8 ，( m 2 + 1 ) 万) x m 。8 ，( + 1 ) 万) 的立方体，这罩，m 。是 整数) 6 江苏大学硕士学位论文 1 4 迭代函数系( if s ) 与自相似集 设( x ，d ) 为度量空间，d 为x 的闭子集对于映射s ：d 专x ，如果存在正常 数0 c 1 ，使得对任意五y d ， d ( s ( x ) ，s ( y ) ) c d ( x ，y ) ， 则称s 为d 上的压缩映射( 简称为压缩) 一个迭代函数系( i f s ) 由一族x 上的压缩映射僻，e 组成，这里小2 现 考虑尺d 上的闭子集上的一个w s f , ，e 】，其中 l e ( 力一e ( y ) i q i 工一y i ，0 q 1 ，x ，y d 如果非空紧集e 满足 e = u e 但) ， ( 1 4 1 ) i = i 则称集e 为i f s 墨，的吸引子或不变集 设映射s ：r d _ r d 对任意z ，y r d 满足 l s ( x ) - s ( y ) | = c i x - y l ， 其中0 c 1 ，则s 称为压缩比为c 的相似压缩显然，相似压缩为压缩映射设墨 为一族相似压缩，1 f m ，由文献【6 】知，存在唯一的不变集e 使得e = u s 但) ， i = 1 不变集e 称为对于相似压缩族s ，的自相似集 1 如果式( 1 4 1 ) 右边的并是一个不交并，则我们说迭代函数系 五，厶，厶】满 足强分离条件( s s c ) ，比如康托三分集的迭代函数系满足强分离条件 2 称迭代函数系 五，厶，厶满足开集条件是指存在一个非空有界开集y 使 得 u z , c v且这个并集为不交并比如生成科赫曲线的迭代函数 系满足开集条件 1 5 测度的维数 自从2 0 世纪早些时候，不规则集最初吸引了数学工作者的注意以来，测度已 成为研究这些现在称之为“分形 集的基本工具测度的维数研究实际上是研究本 7 江苏大学硕士学位论文 身作为分形实体的测度，以及与它们相联系的那些集合的相关性质设是r 4 上 的有限b o r e l 规则测度，我们希望知道的质量是如何分布的，支撑它的集合的几 何性质如何影响质量的分布反之，给定一个集合，它能支撑什么样的测度要给 出这些问题的一般回答比较困难，事实上，它们本身是分形几何的基本问题 设是尺d 上的有限b o r e l 规则测度，那么在点z r 。处的上、下局部或逐点维 数为 删= n 嘧f 掣， 瓦( x ) ：l i m s u p l o g i u ( b 一( x , r ) ) 并且如果上两式相等，则称在x 点局部维数存在，记这个共同值为d 。( 石) ，即 啪) _ l ，i 枷m 掣 下面我们利用测度的局部维数去给出集合维数的明确表达式 定理1 5 1 1 2 ；设e r d 是非空的b o r e l 集，云表示e 的闭集，则 d i m 何昱= s u p s ：存在满足o ( 昱) o 。的，且对一几乎所有的茗e ，d ( 力s ) = i n f j ：存在满足o ( 荔) 的肛且对所有的x e ，当 ) s ) 和 d i m pe = s u p s 存在满足o ( e ) o 。的肛且对一几乎所有的x e ，巩( x ) s ) = i l l f j ：存在满足o o 的b o r e l 集) 类似地，我们定义测度的上h a u s d o r f f 和填充维数，分别记为d i m ；, 和d i m e t d i m n a = i n f s ：瘫j t 一几乎所有的x ，厶( x ) s ) 和 d i m e p = i n f s ：对一几乎所有的x ，孑( x ) s ) 同样，这些维数也可以通过集合的维数来表示 d i m ：，, u = i n f d i m he ：局黾使( 尺qe ) = o 的b 。r e l 集) 和 d i m ；t = i n f d i m 尸e ：e 是使( r qe ) = o 的b 。r e l 集) 最后，我们给出测度的上、下计盒维数的定义设k 是r d 空间上的子集，支 撑在紧子集k 上的所有b o r c l 概率测度构成的集合称为概率测度族，简记为尸( k ) 记d i m 曰，一d i m 口分别表示测度p 僻) 的下计盒维数和上计盒维数设e k ， 我们有 d i m 曰t = l i m d i 。n ff 、d i m 口el ( e ) 1 一万) ， 一d i m 占= l i 哗 而厅e z ( e ) _ 1 一万) 1 6 符号空间 我们要用到的一个重要工具是符号空间 设g = f 2 j 为正整数，令q ( = q ( 历) ) = o ，1 ，m - 1 ) 为m 个不同符号( 字母) 的集合 g = 屯：q ，1 聍) 表示长为聆的符号序列的集合，约定g = a ，集 合尸( 4 ) o o 中的元素亦称长为以的词 q 2 旦q ，即长为有限的符号序列的集合( 或长度为有限的词的集合) 若 9 江苏大学硕士学位论文 c o q + ，我们用俐表示缈的长度 设0 9 q + ，记缈为去掉c o 的最后一个字母得到的词 q 。= 1 i 2 - ：f ，q ，jen ) ，即无穷长的符号序列的集合 设国q ，记咒= x = 屯：f ，q 脚，五屯1 刮= 缈j q 称为q 。的一个柱 集，它由头h 个符号恰好为缈的无穷符号序列组成 现在在q m 上定义下述度量：设x ，_ ) ，q 。，令如( x ，y ) - 2 - i 缸 噬而砒勘舶可 以直接验证如为q 。上的度量 性质1 6 1 在上述度量下，q 。有下述性质： 1 q 。为紧度量空间，且q 。的直径为1 ； 2 设国q + ，则q 的直径为l 瓯l = 2 - 3 q 为q 。中既开又闭的集合 事实上，对任意z = 五屯q 及o 占 圳+ 1 ，所以有与x 的距离小于g 的 点包含在阻中，从而q 为开集；令一方面，若x 咙，则同样证明存在x 的邻 域，使得该邻域包含在噶中，亦即咙为开集，从而q 为闭集 4 哦) 。q 。够成q 。的一个网，亦即q 。= u 。q ，并且若伤，哆甜或着 n 咳= a ，或者一个柱集包含在令一个柱集中 在下面我们将采用下列记号： 对词= 姚，d = 五矗五q ，按照词的连接，定义q 上的乘法 木d = t 矗五，也记为d i ax l t = 五以，设国，q ，如果存在d q ， 使得= 国d ，则称缈为的一个因子，记为缈 l p ( 4 ) lp ( 4 ) = o 。，则尸( 甄彳。) = l ，其中以为集a 的指数 函数 现设 x 。) 为一列随机变量，令纯( f ) = 1 以l o ge ( e x p ) ，缈( f ) = l i m 。s 。u p 伊( f ) 定理2 1 3 ( 切尔诺夫不等式) 对任意口口，有 1 i 霉昙l o ge ( x 玎口) 一掣 肛伊( ，) 江苏大学硕士学位论文 2 2 随机康托集 我们先来详细地分析一种特殊的统计自相似构造除了在每一步中区间的长 度是随机的外，它类似于三分康托集的构造 直观地，考虑一个构造f = n 晶e k ，这里【o ，1 】= e o3 巨3 是递减的闭集序 列，同时e 是个不交的闭“基本 区间的并假设e 的每个基本区间，包 含鼠的两个区间t ，i s ，且t ，厶分别与，有相同的左右端点每个 区间的长度是随机的，对这样的构造的每一个基本区间，要求i ，i i ，i 具有相互独立的相同的概率分布，同时也对i ，詹l i ，i 做同样的要求，由此就 加进了统计自相似性这个“随机康托集 ，就是统计自相似的，在这里对每 个，集fn ，的分布与f 相同，但比例变化由因子i ，i 决定 用概率论的术语来描述这个随机构造设以，b 是常数，且0 口b 三 用q 表示满足如下条件的所有递减的集序列组成的集类【0 ，1 】= e o3 巨 集& 由个不交的闭区间吐构成，这里f ，= 1 或2 ( 1 j k ) ；色的区间t 包含b + 。 的两个区间以，。和以，2 ，且以的左端点和以，。的左端点一致， 的右端点和 4 ，：的右端点一致记q 吐= i 以i i 钿i ，并且假设对所有的丘，有 口q 矗6 再令f = n 捌o ob 取q 为样本空间，并假设概率测试p 是定义在q 的子集的一个适当大的族甲 上，使得比值q 是一个随机变量通过要求对每个序列，q 。与c 1 = 川 有相同的概率分布，及q 弹与c 2 = i 厶j 有相同的概率分布，就在这个构造上加进 了统计自相似性对于每个序列，t ，除了不要求巴和q 一班独立的外，我 们要求q 4 是独立随机变量可以证明d i m nf 是可用q 如表示的随机变量 1 4 江苏大学硕士学位论文 岛 岛 马 图2 2 1 在定理2 2 1 中分析的随机康托集的构造。对每个序列，q 以与g = 1 1 1 有相同的概率分布，及q 与c 2 = l l i 有相同的概率分布 定理2 2 1 以概率1 对前面所描述的随机康托集f ，有d i m hf = s ，这里s 是 下面期望方程的解 e ( 吖+ c 2 5 ) = 1 这个定理和证明可以推广到很多方面邑的每个区间可以产生色+ ，中的随机 个具有随机长度的区间当然，这个构造推广到r 上时，区间的不同子区间之间间 隔条件就可以放宽，只要满足某种类型的开集条件就可以了下面是文献 2 9 2 节 中讨论过的集的完全随机的类似构造 设y 是r 的一个开子集，且闭包为矿，设m 2 是一个整数，y f 设o b 0 ，也就是给定k 以是非空的，再假定对于每个序列，丘和对1 f m ， 二k 江苏大学硕士学位论文 q “与c f 有相同的分布除了对每个序列，不要求随机变量 q ，g 枷独立外，假设q 以是独立的这就在q 内的构造上定义了一个自 相似的概率分布用n 表示c 1 ，c 中正数的( 随机) 个数，也是k ，k 为非空 的集合的个数 定理2 2 2 上面所描述的集，为空集的概率是g ，这里g 是下面的多项式方 程的最小非负根 厂( ，) 兰凳o p ( n = s ) t k f 以概率1 - q ，集f 的豪斯道夫维数和盒维数由下面方程的解给出 点( 羔，c s 。) = 1 1 6 江苏大学硕士学位论文 3 1引言 第三章随机自相似测度的量子维数 近年来，量子化维数的研究有了很多新的进展， g r a s f 和l u s c h g yp 2 , 1 3 1 给出 求量子化维数公式是在满足开集条件( o s c ) 下的自相似集上，z h us a n g u o 推 广到满足遗传条件下的m o r a n 集上，另外也得到了其它一些量子化维数相关的结 论从文献3 1 第十五章中对统计自相似集h a u s d o r f f 维数的研究得到启发，我们研 究随机自相似集上一个质量分布的量子化维数主要研究支撑在随机自相似集上 的概率测度的量子化维数，得到了此概率测度的量子化维数公式 量子化问题在于研究量子化导偏差逼近某一特定概率测度，这一测度是在有 限支撑下离散的概率测度这个问题来源于信息论和一些工程技术，它的历史可 追溯至1 j 1 9 4 0 年1 9 1 g r a s f 和l u s c h g y 系统的研究了这个问题并给出了一系列关于它 的数学处理【1 2 1 3 1 量子理论中两个重要方面是量子系数和量子维数 设是口d 上的概率测度，0 r o o ，级测度的玎维量子偏差定义为： k ，( ) = i i l f 胁卜口( x ) ：a 口d ，c a r d ( o ) 胛) ( 3 1 1 ) 使上述定义中( 3 1 1 ) 式成立的a 口d ，其中c a r d ( 0 ) 疗，我们称为，级测度的 玎最优集，用e 。，( z ) 来表示。定义n 级测度z 的上、下量子维数为： d ，( z ) = l i r a s u p n o o r l o g n 堡( ) = l 唧硼r l o g n 如果o ，( a ) - - 瓦( ) = d ，( ) ，我们称4 ( ) 为，z 级测度的量子维数设 五，厶) 是口d 上的迭代压缩函数系，压缩系数为c 1 ，c m e 是不变集满足 e = u 岂z ( e ) 给定概率向量( a ，肌) ， 定义波雷尔概率测度 ：= n t o 正称 石，厶) 满足强分离条件( s s c ) ，如果有：z ( e ) ( 1 i n ) 1 7 江苏大学硕士学位论文 是两两不交的称 五，厂) 满足开集条件( 0 s c ) ，如果存在一非空开集u 使得 z ( u ) c u ， i = 1 , 2 ，n 且对1 i _ 有f , ( u ) n f j ( u ) = a 在开集条件下，6 r a f 和 l u s c h g g 【1 2 1 3 】证得z 的量子维数口存在且满足下列等式： z ( p i c i ，) 前- 1 7 ) 。= 1 l i n d s a y 和m a u l d i n 将上述结果推广到了有限共形图的f 一共形测度上0 7 1 朱 三国将上述结果在一定条件下推广到了特定类康托集上【2 0 1 3 2 概念和标记 设( q ，f ，p ) 是一完备概率空间，( e ，p ) 是一波雷尔空间，r ( e ) 是e 上所有豪 斯道夫距离为 7 7 的非空紧集的集合 ， 即 ： 7 7 ( k ，l ) - - s u p p ( x ，三) ，p ( k ，少) ：x k ，y e l ，其中k ，l e l c ( e ) 显然，( 茁( 互) ，7 7 ) 也是波雷尔空间【1 4 】对函数厂：e e ，l i p ( f ) 为f 的李卜希兹系数( 见文献 1 5 定义1 1 ) c d n ( e ) ：= 厂：三勿( 厂) 1 ) ， s 泐刀( e ) ：= ，z ( e ) ：j ， 1 使得对所有x ，y 贿( ( x ) ，厂) ) = ，尸( _ 少) ) 它 代表的是e 到e 上所有压缩算子的集合j 发m ( n ，k ( e ) ) 表示q 到k ( e ) 上的随机 变量的集合c o n ( q ，e ) ( 或s f c d ，z ( q ，e ) ) 表示n n c o n ( n ，e ) ( 或s 七d ，z ( q ，e ) ) 上随机或者随机相似压缩算子的集合，即f c o n ( ，e ) ( 5 戈s i c o n ( g ) ，e ) ) 当且仅 当厂是q 到c o n ( ，e ) ( 或s f c d 刀( q ，e ) ) 上的随机变量c o n ( ，e ) ( 或s i c o n ( g ) ，e ) ) 具有拓扑收敛性 设n 为自然数且n 2 ， 定义e - 1 ，2 ，n ) 为一指标集， 巨。：= ( ，之，t ) ：互；l ，后) ，e 。：= ( ，之，) ：ee ；jen ，e 。：= a ) ， 互- - u 。加量。对于仃= ( q ，吼) 邑，称k 为盯的长度，用h 来表示对任一 仃巨u 瓯，h 七，记仃l 。- - ( 口1 ，吒) 如果仃，f 巨且h h ， = r