（计算数学专业论文）格子boltzmann方法的研究及对海啸的数值模拟.pdf

摘要 格子b o l t z m a n n 方法( l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ，l b m ) 是近年来发展起来的一种模拟流体 流动的新的数值算法，受到了广泛的关注 格子玻尔兹曼方法继承和发展了格子气自动机模型，应用质量守恒、动量守恒等最基本的物 理规律，在保证真实流体基本特征的前提下，用简单的介观模型来模拟真实的流动现象，是一种完 全不同的理论框架与传统计算流体力学方法相比较，该方法有许多优点，例如物理图像清晰、算 法简单、编程容易、边界处理方便、压力可以直接求解，通过简单的移动和碰撞运算就能模拟许 多复杂的物理现象；除此之外，该方法还具有计算本地性的特点，使其非常适合于并行计算 l b m 正处于不断的发展之中，除了在一般的流体力学问题中得到成功的应用外，还在多相 ( 元) 流、化学反应扩散、渗流、粒子悬浮流、磁流体力学等相关领域也得到了比较成功的应 用近年来在基本理论、基本模型等方面都有所发展 本文分析和总结了l b m 模拟一般流体力学问题的基本原理和方法，详细叙述了i b m 中常用 边界的处理方法在此基础上，本文运用l b m 对浅水波中的海啸问题的形成和传播进行了研究， 结果表明此模型非常适宜用来解决浅水波问题，这说明此方法具有广阔的应用范围 关键词：格子b o l t z m a n n 方法，浅水波，海啸 a b s t r a c t t h el a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ( l b m ) i san e wn u m e r i c a ls c h e m ef o rf l u i dd y n a m i c ss i m u l a t i o ni n r e c e n ty e a r s ，a n di th a sb e e na t t r a c t i n gm o l la t t e n t i o n l b mi n h e r i t e da n dd e v e l o p e dt h el a t t i c eg a sa u t o m a t am o d e l ，b ya p p l y i n gt h ec o n s e r v a t i o no fm a s s ， t h ec o n s e r v a t i o no fm o m e n t u ma n do t h e rb a s i cp h y s i c a ll a w s i ti sac o m p l e t e l yd i f f e r e n tt h e o r e t i c a l f r a m e w o r kt ou 8 et h es i m p l em e s o s e o p i cm o d e lf o rs i m u l a t i n gt h er e a lf l o w , a tt h eg a m et i m e ，t h eb a s i c f e a m r e so ft h er e a lf l u i dc a nb eg u a r a n t e e dc o m p a r e dw i t ho t h e rt r a d i t i o n a lc f dm e t h o d s ，t h el b m s h o w e di t ss o m ea d v a n t a g e s ，f i r s t l yt h ep h y s i c a li m a g ei sc l e a r , s e c o n d l yt h ea l g o r i t h mi ss i m p l e ，t h i r d l y t h ep r o g r a m m i n gi se a s y , f o u r t h l yi ti se a s yt oi n c o r p o r a t ec o m p l e xc o n d i t i o n sb ys i m p l em o v e m e n ta n d c o l l i s i o n ，f i f t h l yi ti se a s yt oi n c o r p o r a t ec o m p l e xb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dt h ep r e s s u r ec a nb ed i r e c t l y s o l v e d i ti sv e r ys u i t a b l ef o rp a r a l l e l i n gc o m p u t a t i o n l b mi si nac o n s t a n ts t a t eo fd e v e l o p m e n t , i na d d i t i o nt ot h es u c c e s s f u l l ya p p l i e di nt h eg e n e r a lf l u i d m e c h a n i c sp r o b l e m s ，i th a sa l s ob e e nm o l ls u c c e s s f u la p p l i c a t i o n si nm u l t i p h a s e ( u n k ) f l o w s ，c h e m i c a l r e a c t i o n - d i f f u s i o n ，i n f l o w , p a r t i c l es u s p e n s i o nf l o w , m a g n e t oh y d r o d y n a m i c sa n do t h e rr e l a t e df i e l d s i n r e c e n ty e a r s ，i th a sb e e nd e v e l o p e di nt h eb a s i ct h e o r y , b a s i cm o d e la n do t h e ra s p e c t s i nt h i sp a p e r , w ea n a l y s i sa n ds u m m a r yt h eb a s i cp r i n c i p l e so fl b mi ns i m u l a t i n go fg e n e r a lf l u i d f l o w s ，a n dd e s c r i b et h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s b a s e do nt h e s e ，w ea p p l yt h em e t h o do nt h et s u n a m i t h er e - s u i t ss h o wt h a tt h el b mi sv e r ya p p r o p r i a t et os o l v et h es h a l l o ww a t e rp r o b l e m s ，d u et oi t sc o m p r e h e n s i v e a p p l i c a t i o n k e yw o r d s ：l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ，s h a l l o ww a t e r , t s u n a m i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：籀， 时间：知幻年岁月刁日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时f h - - j ：g o o g 岁月；7 日 时间：洌汐年j ，月；7 日 二也菱 患一孝扭咨 宁夏人学形! i j 学位论文第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 众所周之，流体( 如空气和水) 是自然界中最为常见的物质流体内部分子间的相互作用力较 弱，即使受到非常小的外力也会发生变形流体力学是研究流体运动规律的一门学科，其范围非常 广泛虽然经过多年的发展流体力学取得了丰硕的成果，但该领域还面临着巨大的挑战一方面，由 于流体运动的复杂性，即使在经典流体力学领域也还有不少没有解决的问题：另一方面，随着现代 科学技术的发展，流体力学不断与其它学科交叉，产生了许多传统方法难以描述或根本不适用的新 问题，如微米纳米尺度和跨尺度流动等但正是这些挑战促使人们对流体力学开展更深入的研究， 人们对流动现象的理解和认识也在不断深化目前，流体力学仍然是最为活跃的学科之一 流体力学主要研究在各种力的作用下，流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体 间、流体与其它运动形态之间的相互作用的力学分支流体力学是在人类同自然界作斗争和在生 产实践中逐步发展起来的从2 0 世纪6 0 年代起，流体力学开始了流体力学和其它学科的互相交叉 渗透，形成新的交叉学科或边缘学科，如物理化学流体动力学、磁流体力学等：原来基本上只是 定性地描述的问题，逐步得到定量的研究，生物流变学就是一个例子 1 9 8 8 年，根据流体力学的需要，出现了格子b o l t z m a n n 方法经过二十几年的发展。这项新的 计算方法又开始在流体力学中应用，尤其是在高速流和流体边界形状甚为复杂的问题中，优越性更 加显著 1 2 格子b o l t z m a n n 方法概述 格子b o l t z m a n n 方法自诞生至今2 0 余年已取得了飞速发展，被誉为现代流体力学的一场变 革对格子b o l t z m a n n 方法发展历史的了解，得先从格子气自动机【1 ，2 ，3 ，4 】( l a t t i c eg a sa u t o m a t a , l g a ) 说起格子气自动机是元胞自动机( c e l l u l a r a u t o m a t a ，c a ) 在流体力学中的应用，可以视 为一种简化的分子动力学( m o l e c u l a r d y n a m i c ，m d ) 模拟方法元胞自动机是一个时间和空间离 散的数学模型，根据若干简单的局域规则演化，通过计算机模拟这一演化过程来获得所需要的解 第一个l g a 模型是由h a r d y 、d ep a z z i s 和p o m e a u 于2 0 世纪7 0 年代提出的【5 ，6 l ，并根据三 位作者的名字命名为h p p 模型该模型采用二维正方形格子，每个格点上有流体粒子驻留在该模 型中，除了流体被离散成一系列粒子以外，时间以及空间也被离散到一个二维正方形格子上但是 由于正方形格子缺乏足够的对称性，h p p 模型对应的宏观方程不能反映正确的非线性和耗散效应 因而，在很长一段时间内，h p p 模型并未引起研究者们的重视 1 9 8 6 年，法国的f r i s c h 、p o m e a u 和美国的h a s s l a c h e r 发现，除了质量和动量守恒外，l g a 还必 须满足第三个基本条件，即格子必须具有足够的对称性在二维情况下，h p p 使用的正方形格子 不满足这一条件，因此他们提出具有足够对称性的二维正六边形格子气自动机模型，命名为f h p 模型【7 】同年，法国的d h u m e r r e s 、l a l l e m a n d 和靳s c h 提出四维面心立方( f a c e - c e n t e r e d h y p e r - c u b i c ，f c h c ) 模型 8 】f l i p 模型和f c h c 模型都成功的克服了i - i p p 模型对称性不足的缺点，能分 别恢复到二维和三维的不可压n a v i e r - s t o k e s 方程 宁夏人! 学形ii ：学化论义第一章绪论 在格子气自动机中，流体粒子存在于离散的格子节点上，并沿着格线迁移所有粒子按照一定 的碰撞规则同步地相互碰撞与迁移由于粒子的演化只涉及相邻节点，因而格子气自动机可以方 便地采用区域分裂方法做并行运算在固体边界上，格子气自动机只需要让边界节点上的粒子做反 弹或反射处理，边界处理简单，可适于多孔介质等复杂几何区域的模拟而且，由于采用l 或0 来描 述格线上粒子的有无，也即进行布尔( b 0 0 1 ) 运算，因此格子气自动机可以无条件稳定然而这种 方法也存在一些缺点：由格子气自动机推导出来的动量方程不满足伽利略( g a l i l e i ) 不变性； 流体状态方程不仅仅依赖于密度和温度，还与宏观流速有关；由于采用b o o l 运算，因而局部量往 往存在数值噪音，需要对时间和空间做平均，这样就增加了计算量：碰撞算子具有指数复杂性，对 计算量和存储量也有较大要求能否寻找一种方法，在保留格子气自动机诸多优点的同时克服上 述不足，这一需求促使了格子b o l t z m a n n 方法的诞生 1 9 8 8 年，m c n a m a r a 和z a n e t t i 提出把格子气自动机中的b o o l 运算变成实数运算，格子点上的 粒子数不是用整数o 或l 来描述，而是用实数f 来表示系综平均后的局部粒子分布函数( 1 0 c a l p a r t i c l ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ) ，用b o l t z m a n n 方程代替格子气自动机的演化方程，并将该模型用于 流体的数值计算【9 】这是最早的格子b o l t z m a n n 模型，从此开启了格子b o l t z m a n n 方法的大门 与格子气相比，m c n a m a r a 和z a n e t t i 的格子b o l t z m a n n 模型消除了系统的大部分噪音由于粒 子分布函数的介观特性，该模型仍然保留了格子气自动机的诸多优点该模型碰撞时完全忽略粒 子间的相互影响，碰撞模型直观明了：当粒子增多时，碰撞算子的选择会变得非常困难这类模型又 被称为多粒子碰撞模型( m u l t i - p a r t i c l e - c o l l i s i o n m o d e l ) ，格子气自动机中遗留的碰撞算子指数复 杂性依然存在 19 8 9 年，h i g u e r a 和j i m e n e z 提出了一种简化模型：通过引入平衡态分布函数，将碰撞算子线性 化【1 0 1 碰撞算子由一个碰撞矩阵来代替，矩阵中各个元素的值满足质量守恒以及动量守恒( 如果 是热流体模型，还要满足能量守恒) 该模型不需要碰撞规则表，并忽略各个粒子间的碰撞细节， 相比于多粒子碰撞模型容易构造但是当粒子种类增加时，矩阵变得很大，矩阵元素的定义及碰撞 演算变得复杂同年，h i g u e r a 等人进一步提出了强化碰撞算子方法，以增加模型的数值稳定性这 种模型克服了指数复杂性，使得计算量和存储量都大大降低 经历了上述两类模型，格子b o l t z m a n n 方法消除了统计噪声，克服了碰撞算予的复杂性，但是 由于依然使用f e r m i d i r a c 平衡态分布函数，格子气自动机的其它缺点仍然存在 1 9 9 1 年，c h e n 等提出了单松弛时间法( s i n g l e 陀l a x a t i o nt i m e ，s r t ) ，用同一个时间松弛系数来 控制不同粒子靠近各自平衡态的快慢，进一步简化了碰撞算子 1 9 9 2 年，q i a n 提出了格子b g k ( l b g k ) 模型【1 1 1 该方法的本质就是用s r t 过程来代替碰 撞项l b g k 模型与矩阵模型类似，但与前面两种模型不同的是，当粒子种类数增加时，碰撞算子本 身发生变化，不会变得复杂l b g k 模型彻底摒弃了f e r m i d i r a c 平衡态分布函数对于气体的平衡 态分布函数，取m a x w e l l b o l t z m a n n 分布至于在计算过程中离散形式的平衡态分布函数鬈口的具 体计算公式，则与流场的维数和具体模型有关通过合适的选择芹9 ，可以使得从b o l t z m a n n 方程 推导出的n a v i e r - s t o k e s 方程具有对流项的g a l i l e i 不变性，并且使状态方程与速度无关 至此，格子b o l t z m a n n 方法完全克服了格子气自动机的一系列缺点，并逐渐成熟，成为国际研 究热点之一 与传统的宏观数值方法相比，具有介观特性的格子b o l t z m a n n 方法其主要优点是物理图像 清晰、边界条件容易处理以及并行性能好等因而自诞生之日起，格子b o l t z m a n n 方法就得到了 2 宁夏人学坝卜学位论文第一章绪论 国内外学术界的广泛关注它在流体动力学、多孔介质渗流、磁流体动力学、热学问题、多相 流、m e m s ( m i c r o - e l e c t r o m e c h a n i c a l s y s t e m s ) 、生物和化学反应等多方面得到了广泛应用 在多孔介质流动方面，利用格子b o l t z m a n n 方法研究多孔介质流动的方法分空隙尺度模拟和 r e v 尺度模拟1 9 8 8 年，r o t h m a n 利用l g a 来模拟多孔介质内流体的流动，验证了d a r c y 定律 【1 2 】s u c c i 等人利用格子b o i t z m a n n 方法对一个三维随机介质的渗流率进行了测量证实了d a r c y 定律d a r d i s 和m e c l o s k e y 直接在标准格子b o l t z m a n n 中增加一阻力项，用以反映反弹格式的影响 【1 3 1 s p a i d 和p h e l a n 基于b r i n k m a n 模型提出了一类模拟多孔介质流动的格子b o l t z m a n n 模型【1 4 】 接着，m a r t y s 对该模型进行了改进【1 5 1 g u o 等人提出了一个新的模型，计算结果表明这些r e v 尺 度模型确实可以描述宏观的多孔介质流动【1 6 1 在粒子悬浮流方面，l a d d 【1 7 】构造了一类波动格子b o l t z m a n n 模型可以模拟考虑布朗运动的 流体流动1 9 9 4 年l a d d 【1 8 】使用格子b o l t z m a n n 方法模拟为粒子悬浮流的流动奠定了基础不久， a i d u n 和l u 1 9 】修正了边界处理方法，使颗粒内流动满足质量守恒条件。后来有关学者还提出了消 除或降低颗粒内部影响的其它方法 在多相流与多组分流方面，1 9 9 1 年，g u n s t e n s e n 基于l g a 模型提出了的着色模型【2 0 1 ，他是 最早用格子b o l t z m a n n 方法在该领域进行研究的接着g r u n a u 等将此模型推广到密度和粘性变 化的多相流系统中【2 1 1 d o r t o n a 等对着色模型进行了改进，使计算效率得以提高【2 2 1 在这方面 很多人从不同角度提出了不同的多相或多组分模型：自由能的格子b o l t z m a n n 多相多组分模型 【2 3 】；等值面思想的格子b o l t z m a n n 多相多组分模型【2 4 】；基于平均场交互势的多相及其多组分格子 b o l t z m a n n 模型【2 5 】：等密度的不相溶的多组分格子b o l t z m a n n 模型【2 6 1 ；在双混合格子气模型上建 立的格子b o l t z m a n n 多相多组分模型【2 7 】：在g u n s t e n 提出模型基础上建立模拟自由表面流的格子 b o l t z m a n n 多相多组分模型【2 8 】；t o l k e 2 9 l 提出的不同粘性不同密度的不相溶的格子b o i t z m a n n 模 型并且应用于多孔介质的多组分模拟9l u o 和g i r i m a j i 3 0 】严格地从多尺度和分子运动论推出二元 流体混合模型，把不溶与互溶结合在一个模型基础上，等等 从以上可以看出，到目前为止，格子b o i t z m a n n 方法的研究者主要局限在科学界尽管如此，随 着格子b o l t z m a n n 方法理论体系的逐渐完善，以及计算机技术的进一步发展，格子b o l t z m a n n 方法 也会走向更加广泛的工业实际应用中 1 3 本文主要工作 本文除了回顾格子b o l t z m a n n 方法的发展历史和综述这一领域的最新进展以外，主要做了以 下几方面的工作： 1 介绍了格子b o l t z m a n n 方法的思想方法和理论基础，包括基本思想和基本假设，相关的统计 力学知识。以及从b o l t z m a n n 方程到格子b o l t z m a n n 方程和从格子b o l t z m a n n 方程剑宏观流体力 学方程的理论推导 2 讨论了格子b o l t z m a n n 方法边界条件的处理，用l b m 分别对方腔流和圆柱绕流进行了数值 模拟，验证了此方法相对于其它数值方法在处理边界中的优势 3 用格子b o l t z m a n n 方法对海啸的传播过程进行了研究，分别用d i q 5 模型和d 2 q 9 模型对 海啸问题进行了数值模拟，模拟结果与实际比较吻合 3 宁夏人学顾i j 学化论义 第一：章格了b o l t z m a n n 方法的原理和捧奉模型 第二章格子b o l t z m a n n 方法的原理和基本模型 格子b o l t z m a n n 方法有两个来源一方面，格子b o l t z m a n n 方法可以看作是l g a 的发展， 因此与l g a 相似，格子b o l t z m a n n 方法可以看作是一种流体运动的微观模型；另一方面，格子 b o l t z m a n n 方法可以看作是连续b o l t z m a n n 方程的一个特殊的离散格式，因此格子b o l t z m a n n 方法 又可以看作是一个介观的动理论格式本章从格子b o l t z m a n n 方法的基本思想开始，主要讨论格子 b o l t z m a n n 方法的原理和基本模型 2 1 格子气自动机 格子气自动机( l a t t i c eg a sa u t o m a t i o n ，l g a ) 是格子b o l t z m a n n 方法的理论前身，它是一种 能够模拟流场的元胞自动机格子b o l t z m a n n 方法是在格子气自动机的基础上改进发展而来的 2 1 1基本思想 l g a 是2 0 世纪7 0 年代提出的一种简化的微观流体模型它的建立基于如下的认识：流体的 宏观运动是流体分子微观热运动的统计平均结果，宏观行为对每个分子的运动细节是不敏感的，流 体分子相互作用的差别反映在n a v i e r - s t o k e s 方程的运动系数上因此，人们可以构造一个微观或 介观模型，使之在遵循基本守恒律的前提下尽可能地简单 在l g a 中，流体视为大量离散粒子( 是不同于流体分子的假象微观粒子) ，这些粒子驻留在 一个规则格子或晶格( l a t t i c e ) 上，并按一定的规则在格子上碰撞和迁移l g a 是一个完全离散 的动力系统：流体离散为大量的粒子，流场离散为一个规则的格子，时间根据一个时间步长离散为 一个时间序列同时，在l g a 中，粒子只能沿网格线运动，并且一个时间步只能从一个格点移动到 最近的邻格点，因此l g a 中粒子的速度空间也为一个有限的离散速度集合 2 1 2h p p 模型 第一个l g a 是h a r d y , d ep a z z i s 和p o m e a u 于2 0 世纪7 0 年代提出的，并根据三位作者 的名字命名为h p p 模型h p p 模型是最简单的l g a ，是以一个正方形格子为基础的二维 l g a ，在每个格点上都有流体粒子驻留这些粒子具有相同的质量m 并可沿四个网格线方向 c 1 = c ( 1 ，o ) ，c 2 = c ( 0 ，1 ) ，c 3 = c ( - 1 ，o ) ，c 4 = c ( o ，一1 ) 运动这里c = 鲁，瓦和文分别为格子步长 和时间步长在l g a 中一般取以和盈为长度和时间单位，因此c = 1 在l g a 中一般还要求粒子 分布满足p a u l i 不相容原理，即在每个格点上要求最多只能有一个粒子沿某个网格线运动因此每 个格点处的粒子分布状况可以用一个4 位布尔变量表示，即n ( z ，t ) = 礼l n 2 几3 n 4 ，其中啦= 1 或0 表示有或无以速度q 运动的粒子 h p p 模型的状态演化可以分为两个阶段，即碰撞过程：在每个格点上具有不同速度的粒子 相遇并发生碰撞，粒子速度发生改变；迁移过程：碰撞后的粒子以新的速度运动到相邻格点碰 撞方式是l g a 的核心，需要满足基本的守恒规律，h p p 模型的碰撞规则见参考文献【l ，2 | 当两个速 度相反的粒子到达同一格点，而另外两个方向上没有粒子时，发生对头碰撞，即两个粒子的速度分 4 宁夏人学坝i 学位论文第一二章格了b o h z m a n n 方法的原删和攮奉模型 别旋转9 0 d ，而在其它情况下粒子速度不会发生改变根据碰撞过程和迁移过程，h p p 模型的总体 演化方程可以表示为 n i ( x + c i & t ，t - 4 - 民) = n i ( z ，t ) + q l ( n ) ，i = 1 4 ( 2 1 ) 其中q 为碰撞算子 玎p p 的演化方程( 2 1 ) 也可以按照粒子运动的物理过程表示为两个步骤 碰撞 住：( z ，t ) = n i ( x ，t ) + q t ( n ) 迁移 n i ( z + 倪魂，t + 巩) = ，l ：( z ，t ) 流体的宏观密度和速度则由下式定义 44 p = ( z ，t ) ，胆= q i ( z ，t ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 虽然肿p 模型在微观上满足质量和动量守恒，但其宏观动力学方程不满足n a v i e r - s t o k e s 方 程其原因是 玎p p 模型的格子没有足够的对称性为了得到正确的宏观动力学方程，必须使用其它 具有更高对称性的格子因此，格子气自动机模型一开始并未受到人们的重视尽管如此，h p p 模 型的基本思想开创了流体建模和模拟的新思路，是该领域的开创性工作 2 1 3f h p 模型 阳p p 模型提出1 0 多年后，三位法国科学家f r i s c h ，h a s s l a c h e r 和p o m e a u 构造了一个基于 六边形格子的l g a ，命名为f h p 模型该模型使用的格子是规则的六边形，流体粒子具有6 个离散速度c i = c ( c o s o i ，s i n o i ) ，o i = 学，i = 16 ，因此每个格点处的粒子分布可表示为 n ( x ，t ) = n l t $ 2 t $ 3 扎4 7 , 5 n 6 ，其中啦= 1 或o 表示有或无以速度c 运动的粒子 f l i p 模型在微观上满足质量和动量守恒，而且比h p p 模型具有更好的对称性，碰撞过程更为 丰富特别是对其理论分析中发现的对称性约束条件 3 1 , 3 2 】，对设计合理的l g a 模型具有指导意 义事实上，f h p 模型提出之后，人们马上就提出了多种更复杂的l g a 模型，如三维f c h c 模型 【3 3 】、多项模型【3 4 】等 从上面的介绍可以看出，l g a 方法是与传统c f d 方法有很大不同的一类新方法，其思路和计 算过程有着鲜明的特色： 1 ) 基于离散粒子的描述方法使之能够方便地从底层刻画流体内部的相互作用，对多项多组分 等复杂流体系统的描述具有很大优势 2 ) 流体粒子与壁面的相互作用可采用比较简单和直观的反弹格式处理，对描述多孔介质内等 复杂几何流场内的流动具有很大优势 3 ) 严格保证质量、动量和能量守恒 5 宁夏人学硕l j 学位论文第一二章格了b o l t z m a n n 方法的原理和皋本模型 4 ) 计算过程只涉及布尔变量，计算绝对稳定 5 ) 使用布尔变量可以有很高的存储效率 6 ) 计算具有良好的并行和局部性，因此具有天然并行性 2 2 从格子气自动机到格子b o l t z m a n n 方程 从前面的分析可以发现，尽管l g a 有许多优势，但作为一类新的流体模型和计算方法，l g a 方法也存在不足之处：统计噪声，由于l g a 的碰撞算子含有随机因素，因此不可避免地有噪声 影响虽然可以通过时间平均或空间平均的方法降低噪声成分，但噪声的影响还是比较大，并且需 要更大的计算量碰撞算子的指数复杂性，l g a 的碰撞算子与离散方向数成指数关系，不但增大 了l g a 模型的设计难度，而且不利于l g a 的应用这一问题对三维情况尤为突出不满足伽利 略不变性，与l g a 对应的宏观方程中，对流项前面有一个非单位的因子，因此该方程不满足伽利略 不变性的要求虽然通过重新标度可以得到正确的n a v i e r - s t o k e s 方程，但是这种方法只能用于简 单系统的l g a 模型，对一些复杂的l g a 模型( 如多项流模型) 来说这种方法是不可行的 格予b o l t z m a n n 方法就是为了克服l g a 的这些不足保留它的优点而发展起来的在格子 b o l t z m a n n 方法中，用粒子分布函数代替l g a 中粒子本身进行演化，其演化方程直接采用格子 b o l t z m a n n 方程，并根据分布函数直接计算流体的密度和速度，因此消除了统计噪声同时，在格子 b o l t z m a n n 模型中，使用b o l t z m a n n 分布代替f e r m i d i r a c 分布，使伽利略不变性得到了满足 2 2 1基于l g a 的格子b o l t z m a n n 方法 l g a 的统计噪声可以使用空间或时间平均方法加以克服，但这需要较大的计算和存储代价 为了消除这种噪声，m c n a m a r a 和z a n e t t i ( 1 9 8 8 ) 提出直接使用平均粒子数或粒子分布函数代替布 尔变量进行演化 3 5 1 其实早在1 9 8 6 年和1 9 8 7 年，人们就已经用格子b o l t z m a n n 方程作为分析 l g a 的工具了 3 6 , 3 7 但m c n a m a r a 和z a n e t t i 首次直接提出l b e 用于数值计算，开创了流体计算 的一个新方向m c n a m a r a 和z a n e t t i 提出的模型也是最早的格子b o l t z m a n n 模型，并根据两位作者 的名字命名为m z 模型，在该模型中，粒子分布函数按照与l g a 类似的方式进行演化 ( z - i - c i 6 t ，t + 民) 一 ( z ，t ) = f t l ( f ) 方程( 2 5 ) 称为格子b o l t z m a n n 方程 与l g a 方法类似，l b e 的计算也可以分为两个步骤 碰撞 ，( z ，t ) = ( z ，t ) + f l i ( ，) 迁移 ( z + c i t ，t ，t + 巩) = ，( z ，t ) 6 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 宁夏人学顺f j 学位论文第二章格了b o l t z m a n n 方法的原理和牿奉模型 可以看出，碰撞步的计算完全是局部的，而迁移步只与相邻格点相关，因此l b e 方法具有良好的计 算局部性，非常适合做并行计算 由于直接使用实数型的粒子分布函数代替布尔型的粒子进行演化，m z 模型克服了l g a 方法 的噪声但是。这一模型采用的碰撞算子仍然具有指数复杂性也未克服l g a 的其它缺点m z 模 型提出不久，h i g u e r a 和j i m e n e z ( 1 9 8 9 ) 就对其作了改进( 称为m 模型) 【3 引他们证明了上述计算 量很大的复杂碰撞算子可以用一个线性算于近似，其方法是引入一个平衡态分布函数矗钾) ，并假 设 = 一8 9 + 蠢n 。口 ( 2 8 ) 其中一他g j 是非平衡态部分，其量级为d ( ) ( 是c h a p m a n n e n s k o g 多尺度方法中的展开小参 数) 在低速或小m a c h 数条件下，可以进一步对曩。口按速度展开 矗。g ) = z 。9 ，o + 矗。9 ) 1 + 矗。9 ) 3 + o ( m a 3 ) ( 2 9 ) 其中0 。口) ，七为速度u 的七阶项 将碰撞算子在全局平衡态z e q ) ，o 处展开到二阶时得到 q ( ，) = q 5 0 + q 巧( 乃一乃2 n o ) + 吉q 巧詹( 办一乃8 “o ) ( - 4 。积o ) ( 2 1 0 ) 注意到q l o ) = 0 ，在上式中略去和m a 的高阶小量得到 q ( ，) = q i j ( f j 一乃。g o ) + 丢q 巧 ( 乃一乃。n o ) ( - 4 。9 o ) + f l u ( y j 北9 ) ( 2 11 ) 取 = 蠢。鲫，并注意到q l 。口) = 0 ( 略去高阶小量) ，可得 a u ( y j q 1 ) + 寺q 泓( 乃凹1 ) ( ， 。n 1 ) = 0 ( 2 1 2 ) 于是得到一个线性化的碰撞算子 q ( ，) = q 5 0 乃舭口= k 巧( 乃一乃8 9 ) ( 2 1 3 ) 其中k 为线性化碰撞矩阵 虽然h j 模型的碰撞矩阵和平衡态分布依然依赖所采用的l g a 模型，但由于采用了线性化手 段，大大提高了计算效率同时，模型引入的平衡态分布函数及线性化的概念，为l b m 后来的发 展奠定了重要基础从这一点上说，h j 模型是l b m 发展史上的一个里程碑 2 2 2 独立于l g a 的l b m m z 和h j 模型是l g a 模型的直接发展它们克服了l g a 方法的统计噪声，h j 模型大大降低 了计算复杂性但是这两种模型都与基本的l g a 模型有关。碰撞项来源于l g a 的碰撞规则，平衡 态分布函数本质上都是f e n l i d i r a c 分布，这些特点限制了它们的使用范围 7 宁夏人学硕i j 学1 讧论义第一：帚格rb o l t z m a n n 方法的原理和皋奉模型 在h j 模型提出不久，h i g u e r a , s u c c i 和b e n z i 构造了一种新的格子b o l t z m a n n 模型( h s b 模 型) 【39 | 该模型完全抛弃了l g a 的f e m i d i r a c 分布，而使用b o l t z m a n n 分布。同时根据需要设计 适当给出的碰撞矩阵，可以得到正确的宏观方程所以h s b 又称强化碰撞模型 与h j 模型不同的是，h s b 模型的碰撞矩阵与l g a 模型无关，矩阵的元素是一些待定参数，根 据所要满足的宏观方程的需要确定h s b 模型的碰撞矩阵是一般满矩阵1 9 9 1 年前后，几个不同 的研究小组各自独立地提出了一种单松弛模型 1 1 , 4 0 , 4 1 】该模型的碰撞矩阵是一个对角矩阵 1 q t ( ，) = 一三( 一，：e q ) ) ( 2 1 4 ) 其中z e 叮，是一个待确定的平衡态分布函数，该碰撞算子实际上就是b g k 模型，所以单松弛模型 也称为l b g k 模型，丁是松弛时间l b g k 模型极大地提高了计算效率，并且只要恰当的选择平衡 态分布函数，从该模型可以导出正确的n a v i e r - s t o k e s 方程由于l b g k 模型的简单和有效，它是目 前应用最广泛的l b m 模型在l b m 模型中，确定平衡态分布函数最为关键平衡态的参数至少要 满足质量和动量守恒条件，即 p = = 乃叼，胛= q 五= 色一叼 ( 2 1 5 ) 2 3 从连续b o l t z m a n n 方程到格子b o l t z m a n n 方程 格子b o l t z m a n n 方法不但司以看作l g a 方法的发展，而且也。可以从连续b o l t z m a n n 方程得到 以l b g k 模型为例，它可以看作是下面的连续b g k 方程的一种特殊离散格式 瓮+ c v 九= 一季( “。g ) ) ( 2 1 6 ) 其中h = 7 l ( z ，c ，t ) 为粒子分布函数，危( 8 9 ) 是其平衡态分布函数 产们= 景( 赤) 拿叫：一1 m ( c - - 万u ) 2 ( 2 1 7 ) 这里c 和缸分别为微观粒子速度和宏观流体速度，d 为空间的维数，t 为温度流体的宏观密度和 速度确定如下 p = f f d c ，肚= c ，如 ( 2 - 8 ) 在进行数值计算时，需要对( 2 1 8 ) 式进行数值积分采用下面的数值积分形式 p ( z ，t ) = w i f ( x ，c ，t ) ，舢( z ，t ) = w i c i f ( x ，c ，t ) ( 2 1 9 ) 其中c i 和分别为离散速度和数值积分公式的权系数，由选用的数值积分方法确定具体形式现 在定义一个新的分布函数f i ( z ，t ) = w t h ( x ，c ，t ) ，则宏观密度和速度的计算公式为 p ( z ，t ) = ( z ，t ) ，舢( z ，t ) = c t ( z ，t ) ( 2 2 0 ) 宁夏人学顺i j 学化论义第二章格了b o l t z m a n n 方法的原理和堆奉模型 根据关于，( z ，c ，t ) 的b o l t z m a n n b g k 方程( 2 1 6 ) ，易得y i ( z ，t ) 的演化方程 豢拇v 五= 一去( 五一艄 ( 2 2 1 ) 其中，：e 口= 岫，【e 种为y i ( z ，t ) 的平衡态分布函数当流速较低时，平衡态分布函数可以表示为 讪景( 赤) 导酬一嚆孑】 钏景( 赤) 譬唧【_ 一e x p 掣一面m u 2 j 景( 翥) 譬唧【- 嘉】【1 + 掣+ 可m 2 ( c i + u ) 2 一瓣m u 2 】+ o ( u 3 ) 训以+ 警+ 譬一丢) + d ( 牡3 ) ( 2 2 2 ) 其中 蛾= 蚋景( 赤) 譬唧( 器) ( 2 2 3 ) 蛾2 蚋鬲【芴瓦牙j 2e ) c p ( 甄方) 【z 弱j 2vi k b t | ( 2 2 4 ) 对演化方程( 2 2 1 ) 沿特征方向离散得到如f 的一个有限差分格式 ( z + q 瓯，t + 民) 一五( z ，t ) ：一三【 ( z ，t ) 一矗。口( z ，t ) 】 ( 2 2 5 ) 其中r = 百7 o 为无量纲松弛时间，这就是格子b 。l t z m a n n b g k 方程 2 4 单松弛( l b g k ) 模型 本节主要讨论l b g k 模型，从c h a n p m a n e n s k o g 展开讨论怎样推导宏观方程的过程 2 4 1l b g k 模型 在l b m 方法中，流场被离散为规则的格子，流体被离散为大量的粒子。分布在每个格子的节点 上。拥有一定的质量和有限的离散速度，因此这些粒子具有相应的质量、动量和能量同时，这些 粒子在离散的时间和空间中按照一定的规律运动和演化，即这些粒子只能沿格子的网格线运动，并 且在一个时间步只能从一个节点流动到其离散速度对应步长下的相邻节点 在描述和模拟这一演化关系的方法中，钱跃兹等人【1 1 】提出的单松弛时间b g k ( b h a t n a g a r - g r o s s k r o o k ) 近似方法( l b g k ) 非常简单而且使用广泛，其中d n q b 模型( n 是空间维数，b 是 离散速度数) 最具代表性在这里我f f j 采用单松弛时间l b g k 模型为例，说明l b m 的演化过程 同格子气自动机模型( l g a ) 一样，在l b g k 模型中，粒子在每个时间步的运动由两步完成，分别 是碰撞和流动在l g a 模型中，碰撞原本是指当多个粒子到达同一网格节点时，它们按碰撞规则相 9 宁夏人学硕l j 学位论义 第二章格rb o l t z m a n n 疗法的蟓理和垠奉模型 互作用并改变各自的速度方向，但是在l b g