（应用数学专业论文）一类非线性波动方程的群分类.pdf

摘要 本文依据数学机械化思想，在导师张鸿庆教授“a c = b d ”理论的指导下，以计算机 符号数值计算软件为工具，研究了关于微分方程群分类的理论研究了一类非线性波动 方程低维李代数下的群分类并证明了研究的方程不存在半单李代数下不变的方程类， 存在五个，十六个不等价的方程分别在一维，二维可解李代数下不变 第一章介绍了数学机械化思想与计算机代数，以及群分类问题简介 第二章介绍了“a c = b d ”理论的基本思想，给出了c - d 对的构造方法和一些保持 微分方程形式不变的点变换 第三章给出了一类非线性波动方程低维李代数下的群分类结果 关键词：数学机械化；。a c = b d ”理论；群分类；波动方程；形式不变；点变换； g r o u pc l a s s i f i c a t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，u n d e rt h eg u i d a n c eo fm a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o na n dt h ei n s t r u c t i o n o ft h ea c = b d t h e o r yp u tf o r w a r db yp r o f z h a n gh o n g q i n g b ym e a n so fs y m b o l i cc o m p u t a - t i o ns o f t w a r e ，g r o u pc l a s s i f i c a t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n su n d e rs t u d yi sp e r f o r m e d w i t h t h em e t h o do fl o wd i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a ，w ep r o v et h a tt h e r ea r ef i v e ，s i x t e e ni n e q u i v a l e n t n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n su n d e rs t u d ya d m i t t i n go n e - a n dt w o - d i m e n s i o n a ls o l v a b l el i ea l g e - b r a s ，r e s p e c t i v e l y b u tt h e r ea r en on o n l i n e a re q u a t i o n su n d e rs t u d yw h o s ei n v a r i a n c ea l g e b r a s a r ei s o m o p 出ct os e m i - s i m p l el i ea l g e b r a so rc o n t a i nt h o s ea ss u b - a l g e b r a s c h a p t e rli sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o na n dg r o u p c l a s s i f i c a t i o n s ， c h a p t e r2i n v e s t i g a t e sa c = b dt h e o r y ，a n dt h em e t h o d so fc o n s t r u c t i n go ft h eo p e r a t o r s 0 fca n dda n df o r m - p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o n s a r ei n t r o d u c e d c h a p t e r3g r o u pc l a s s i f i c a t i o n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n su n d e rs t u d yi sp e r f o r m e d k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；a c = b dt h e o r y ；g r o u pc l a s s i f i c a t i o n s ；w a v ee q u a t i o n s ；f o r m - p r e s e r v i n g ；p o i n tt r a n s f o r m a t i o n s ； i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大 学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名； 导师签名t 第一章绪论 本文简要介绍了数学机械化思想及符号计算的发展和应用，以及微分方程群分类问 题的理论 1 1数学机械化与符号计算 纵观数学的发展历史，不难发现数学中主要有两种思想：一种是公理化思想，另一 种是机械化思想前者源于古希腊，后者则贯穿整个中国古代数学1 4 我国传统数学注 重应用，内容多来与生活和生产实践有密切联系在这种思想的指导下，逐步建立了以 构造性与机械化为特色的数学体系，极大推动了数学的发展 公理化思想在现代数学，特别是在纯粹数学中占据着统治地位但是，机械化的思 想也不容忽视从数学的发展史中可以看到，数学的多次重大跃进都于数学机械化的思 想有关，四则运算、线性方程组求解中的消去法以及微积分的出现无不得益于机械化思 想即使在现代纯粹数学的研究中，机械化思想也一直发挥着重要的作用1 7 世纪法国 的数学家d e s c a r t e s 创立的解析几何，在空间形式和数量关系之间架起了一座桥梁，实现 了初等几何问题的代数化l e i b n i z e 曾有过“推理机器”的设想他研究过逻辑，设计并 制造出能做乘法的计算机，进而萌发了设计万能语言和造一台通用机器的构想h i l b e r t 所倡导的数理逻辑为计算机的设计原理做了准备数学巨匠e c a f t a n 关于微分方程、微 分几何及李群的著作中也显现了机械化的特色h c a f t a n 关于代数拓扑学中同调群计 算的工作也可以看作是机械化思想的成功范例公理化与机械化的思想方法，都曾对数 学的历史发展做出了巨大的贡献，今后也将继续做出巨大的贡献我们必须吸收渊源于 西方的公理化方法的长处，也应珍视我国古代的遗产，从有着历史渊源的机械化方法中 吸取力量【4 】在数学发展的历史中，数学机械化和数学公理化曾多次反复互为消长，交 替成为数学发展中的主流随着计算机的不断发展，机械化思想一定会在今后数学的发 展中产生越来越大的作用 2 0 世纪7 0 年代，我国著名数学家，首届国家最高科技奖获得者之一，邵逸夫数学 科学奖获得者中国科学院院士吴文俊先生提出并开展了数学机械化的研究【h 】，为国际 自动推理的研究开辟了新的前景，为数学研究注入新的血液 “m c c a r t h y 程序验证奖” 得主j s m o o r e 认为，吴先生的工作“不仅奠定了自动推理研究的基础，而且给出了衡 量其它推理方法的明确标准”；“在吴方法建立以前，定理机器证明的研究处于一片茫然 之中，吴不仅冲破了这种沉寂的局面，而且带来了极为光明的前景”吴方法的创立，引 发了几何定理机器证明的高潮张景中院士、高小山研究员、周咸青教授 5 - 7 合作提出 1 一类非线性波动方程的群分类 了基予凡何不变量的“清点法”，实现了塞动生或几何定理可读诬暧这一量标。王东明研 究员、高小山研究员等 8 j 研究使用舆方法证明构造型定理与轨迹求解问题林东岱研究 员、刘卓军研究员f 9 】将吴方法推广到有限几何吴尽昭研究员、刘卓军研究员【1 0 】将吴代 数消元法运用到逻辑中去，较好地鹪决了逻辑中一阶定理证明的闻题。k a p u t 教授等人 研究焉吴r i t t 分解算法证疆定理李洪渡研究昃、程民德教授1 1 2 】提窭了基于c l i f f o r d 代数与是方法的向量算法，这一算法不仅可以用来证明初等几何定理，还可以证明微分 几何中的定理1 1 3 i 歪东明研究员和张景中院士1 1 4 】对这一方法作了进一步的发展石赫 研究员f 1 5 】利甩吴代数方法，研究了著名的y a u g - b a x t e r 方程解的阕题。王世坤研究员、 吴可研究员隅1 司将受方法应焉予薪究y a n g - b a x t e r 型方程( 包括带参数、带色参数、带 谱参数等) 的解的结构问题 1 9 9 3 年起，李志斌教授等 a s - m l 利用吴代数消元法，通过引入t a n h 函数方法，将偏 微分方程求解问题转化为代数方程缌酶求解问题，沟通了吴代数漪元法与微分方程之闻 鳃关系，在求解菲线性发展方程精确解方面做了很多出色的工作如基于t a n h 函效方法 和椭圆函数展开法在m a p l e6 平台上编制了计算孤子方程精确解( 孤波解、双周期解) 的 软件包例近年来，近年来，张鸿庆教授及其课题组成员在微分方程求解的代数化和机 械诧方墓做了大量的工作 2 4 ，3 2 ，删，提出著发展了”a c = b d ”理论。范愚贵教授1 2 翻基于 r i c c a t i 方程和一般的椭圆方程并利用吴方法得到了很多方程的精确孤渡解受到国内外 同行的广泛关注闰振亚副研究员i 删基于两种r i c c a t i 方程展开并应用吴代数消元法提 出了求解非线性发展方程的更为有效的算法，朝鲁教授嘲将吴微分特征列法( 吴微分消 元法 应用于微分方程对称计算，取褥了摄好的结果。陈勇博士，谢摄熏博士穗李彪博士 隗3 0 ，3 l 】将吴微分消元法应用于偏微分方程的p a i n l e v 6 性质的研究并根据算法编制了 m a p l e 软件包“p t e s t ”对许多偏微分方程进行了p 检验 经过2 0 多年的努力，几何定理瘩动证明数吴方法及在其影响下产生的一系捌重要的 薪方法，已经发浸成为具有我国特色且在匿际镁先的数学机械化理论，形成了邃动推理 与方程求借的中国学派 数学机械化主要有两个步骤：一是算法化，数学要实现机械化必须适应计算机的有 限性、离散性特别是算法性的特点；二是撬械化，即在计算机上有效地实现有关算法， 实现繁琐的计算与推理功能，为数学研究和应用提供有力手段 计算机的使用不仅对计算机科学，而且对纯粹数学也会提出新的可能从未想到的课 题，计算机的使用与纯粹数学的纯粹理论研究应该是统一的，而不是对立的1 4 。计算机 稷数学盼结合可分隽两个方吾：数值计算稻符号计算数值计算豹阿容是实数演算，更 确切地说，数值计算罴寻找适当的有理数去逼近实际问题的实数解，得到的结果是近似 2 大连理工大学硕士学位论文 的符号计算，是在计算机上以符号的形式进行运算，实现公式的机器推演，得到的结 果是精确的 计算机代数( c o m p u t e ra l g e b r a 或s y m b o l i ca n da l g e b r ac o m p u t a t i o n ) 是致力于数学求 解问题中准确计算自动化的学科【3 3 】通俗地讲，是研制、开发和维护符号计算软件并研究 其数学理论的学科，计算机代数的最早出现公认以1 9 6 0 年美国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出的l i s p 语言为标志在随后的十几年中，计算机代数的发展引起了国际计算机科 学界的重视到了上个世纪9 0 年代，计算机的发展更加迅猛，并且不断被应用到其他领 域，如高能物理、天体力学，广义相对论、电子光学、分子物理、自动化、航空学、生物 学和化学等等 关于符号计算软件，目前常用的有：m a p l e ，m a t h e m a t i c a ，r e d u c e ，m a c s y m a ，l i s p 等，其 中以m a p l e 最为流行，与其它符号计算系统相比，它的效率更好，功能更强，而且还在 逐步地完善多年来的实践证明符号计算软件有很多优点，但是使用符号计算软件时一 个常见得也是最为严重的问题是中间表达式膨胀。常会受到时间和空间的制约，如何寻 求有效而高效的算法仍是我们利用计算机代数时的主要任务 1 2 群分类问题简介 众所周知，用偏微分方程模拟自然界中的各种现象是数学物理和应用数学的中心问 题之一通常这些微分方程中含有某些依赖于实验而获得的任意函数或参数，它并非严 格确定的，其具体形式依赖于所考虑系统的特殊物理性质例如，一般的非线性热传导 方程为 u t = ( k ( u ) u x ) z( 1 2 1 ) 其中k ( u ) 的具体形式依赖于模拟过程中特殊类的导体的选择另一方面，受现代物理学 中的许多基本方程，比如非线性波动方程、薛定谔方程、d i r a c 方程、m a x w e l l 方程和 y a n g - m i u s 方程它们都有很好的李和非李对称群的启发删，人们在研究形如( 1 2 1 ) 这种 带有任意函数的方程时，总是接受和使用这样的准则：优先确定出那些使得相应的微分 方程尽可能的容许有最广泛的对称群的函数的具体形式用对称方法对偏微分方程进 行分类的有效性强烈依赖于构造保持偏微分方程不变的变换群的方法这就是由s o p h u s l i e a s ，3 6 1 发展的著名的无穷小方法例如，对于方程( 1 2 1 ) ，o v s i a n n i k o v 3 7 】曾于1 9 5 9 年 详细的研究过：( d ) 当k ( 乱) = ( o 札+ 6 ) 仇一，o 0 ) 时，方程具有四维的对称群；( b ) 当k ( u ) = c g 鲫时，方程同样具有四维的对称群；( c ) 当g ( u ) = ( a u + 6 ) 一( 口0 ) 时， 方程具有五维的对称群；( d ) 当k ( 札) 为常数时，方程的对称群是无穷维的；( e ) 当g ( u ) 为其他任意函数时，方程具有三参数对称群这样，给定一个偏微分方程，研究其李不 3 一类非线性波动方程的群分类 变群约化为解一个超定的线性偏微分方程组( 确定方程组) 然而，如果方程含有任意元 素( 函数) 时，我们立即得到分类问题即确定任意函数的具体形式，并且给出其相对应 方程的非平凡对称群 微分方程的对称群分类，属于微分方程的群理论分析在传统( l i e 的) 意义上，微分 方程的群理论分析主要有两大课题：一是对给定的微分方程，寻找其相应的对称群；二 是给指定对称群的微分方程进行分类删本质上解决这两个问题都是用李发展的古典 无穷小算法【骢，3 9 】( 详细的可以参看【3 4 ，3 7 ，删) ，首先把它约化为一个超定的线性偏微分方 程组( 确定方程组) ，然后求解之即可当给定的微分方程不带任意函数时，此时的确定 方程组是显式的，因此我们总总能找到许多方法来求解它，这使得问题相对来说要容易 得多但是，当微分方程含有任意函数时，此时相对应的确定方程组也含有任意函数 一般来说，求解这样的确定方程组是很困难的因此，群分类问题的主要困难在于要同 时从确定方程组中确定任意函数的具体形式，并且给出其相对应方程的非平凡对称群 所以，从纯粹的数学角度来讲，求解微分方程的对称群分类，特别是在某些等价关系下 的完备的群分类，是很困难的 在大量研究群分类问题的文章中，为了解决这个困难，通常采用两种思想一种就 是通过引进一些技巧( 如等价性变换) ，直接研究那些带有任意函数的确定方程组的相容 性，进而确定出函数的具体形式和相应方程的对称群由于确定方程组的复杂性，用 这种思想来研究方程的群分类，特别是( 在某些等价关系下) 完备的群分类仍然是很困难 的，常常依赖于所考虑方程本身的特殊结构因此，许多文章通常会对方程中的任意函 数作一些特殊的限制，进而给出一些零散的分类结果，称为方程的初步的群分类事实 上，大多数群分类文章都是这种类型的( 参看【4 l 】及其所列文献) 因此，利用这种思想， 给出一个有效的方法简化所分类的问题本质上等价于给解决微分方程的完备群分类问题 提供了一种可能性最近，乌克兰数学家n i k i t i n 和p o p o v y c h 4 2 】通过研究分类方程关于 任意函数的特殊相容性，给出了一个有效的方法( 称之为相容性方法) 来分类非线性薛定 谔方程该方法已被用于不同的群分类问题 4 2 - 4 6 】特别，文献通过进一步考虑附加的 等价性变换把该方法推广到非线性扩散对流方程的研究中，成功的给出了该方程在连续 性等价变换群和一般等价群下的完备群分类 另一种思想就是先假设所考虑的方程具有某种性质的对称群g ( 对称代数g ) ，然后去 寻找这种对称群( 对称代数) 的表示这种思想主要是来源于：我们知道，如果方程 所容许的对称群( 对称代数) 的表示给定了以后，则可直接应用李的无穷小算法来解决微 分方程的群分类问题然而，当对称代数g 的具体表示没有给定时，分类同样是非常的 复杂此时，利用李的无穷小算法的主要困难在于人们必须同时求解出任意函数的具体 4 大连理工大学硕士学位论文 形式及其相应的最大不变性代数克服此困难的一个主要思想是由李自己给出的事实 上，他在研究具有一个变量的常微分方程组所容许的非平凡的不变性对称代数1 3 8 3 9 】时 所用的方法已经暗示了我们在求解群分类问题时可采用的步骤：即首先构造由李向量场 生成的对称代数的所有可能的不等价的实现若成功的解决了此问题，则对称代数将被 确定，因此我们可以直接利用李的无穷小算法获得所有不等价的不变方程事实上，李 用此思想获得了著名的平面上所有可能的不等价的复李代数的实现的分类阳，3 9 】最近， 李的分类已被o l v e r 和h e r e d e r o 4 7 】用来分类具有非平凡空间对称( 即对称不改变空间变 量) 的( 1 + 1 ) 维非线性波动方程此外，g o n z a l e z - l o p e z 等 4 8 ，4 9 】还利用李在平面上实李 代数的分类【勰，3 9 】给出了平面上拟精确可解模型的分类 然而，偏微分方程的群分类问题的现代表示是由o v s i a u n i k o v 给出的【鲫他发展了一 套方法( 我们称之为l i e - o v s i a n n i k o v 方法) ，用来分类具有非平凡对称群的偏微分方程，并 且对非线性热传导方程进行了完全的群分类。但是，这个方法具有很大的局限性：它只 对单自变量的任意函数的情形有效对于任意函数含有多个自变量时，它将变的异常复 杂而且难以求解 最近，a k h a t o v 等进一步发展了o v s i a n n i k o v 的方法【，5 1 l ，他们获得了非线性空气 动力和扩散方程的大量的分类结果这些思想已经被t o r r i s i ，v a l e n t i 和t r a c i n a 等用作对 某些非线性扩散和热传导方程的初步的群分类i s 2 ，5 3 1 此外，i b r a g i m o v 和t o r r i s i 还获得 了非线性爆炸方程【9 5 】和非线性双曲类方程侧的大量重要的分类结果屈长征教授曾研 究了b u r g e r s 等方程的分类【5 5 删注意还存在一些文献致力于某些偏微分方程的等价群 的直接计算( 详细的参看m ) 此外该方法还具有用作寻找离散等价群甚至非局部等价群 的优点 利用o v s i a n n i k o v 方法构造的等价群是有限维的然而，若所研究的偏微分方程中的 任意函数带有几个自变量，则这类微分方程的等价群般是无限维的而直接利用o v s i a n - n i k o v 的方法来研究无穷参数等价群的子群的分类问题是非常困难的，也是个完全公开的 问题因此，需要进一步修改o v s i a n n i k o v 的方法使得其可应用于无穷参数等价群的情形 最近，乌克兰数学家z h d a n o v 和l a h n o 等1 6 3 ，叫通过组合上述描述的李，o v s i a n n i k o v 的方法，给出了求解容许有无穷参数等价群的偏微分方程的群分类的一个有效的低维李 代数方法这个方法主要是基于如下事实i 删：( a ) 若偏微分方程拥有非平凡对称，那么它 在某些有限维微分算子李代数下是不变的，而这些李代数的类型完全由它的结构常数确 定的；若所研究的微分方程具有无穷维的最大不变性对称代数，通常它会包含某些有限 维李代数作为子代数( b ) 若存在非奇的变量变换把一个给定的微分方程变换为另一方 程，那么这些方程的有限维不变性李代数是同构的，且在微分方程群理论分析的意义下 5 一类非线性波动方程的群分类 这些方程被认为是等价的 因此，文献删实际上给出了一种初步分类由某些特殊类的一阶线性微分算子生成 的低维李代数的不等价实现的方法而这类特殊的微分算子是由所研究方程的结构确定 的它们形成了所考虑方程所容许的对称群的李代数的实现的个表示空间因此，可在 所有可能的实现构成的集合中引进一个自然的等价关系，即两个实现被称为是等价的若 它们在等价群的作用下可以互相转换换句话说，研究具有给定形式的偏微分方程的对称 群分类问题等价于构造其李变换群( 或由一阶微分算子张成的李代数) 的一个表示理论， 而该表示就是所考虑的分类问题中对应的方程的对称群( 或代数) 的一个实现 z h d a n o v 等的方法已被用于具有两个自变量的一般的拟线性热传导方程和非线性波动方程的完备 的群分类陋删关于最一般的二阶非线性演化方程的群分类可参见文章【6 引 6 第二章a c = b d 理论与保持形式的点变换 构造微分方程的解析解是既重要又困难的课题长期以来许多数学家和物理学家做 了大量的工作，提出了很多求解方法但是仍有很多重要的具有实际物理意义的方程( 组) 无法求出显式的解析解或仅求出很少类型的解而且在求解中，往往一种方法只适用于 求解某一类方程且具有特殊类型的解，很难有适合于各类方程( 组) 的统一方法本章介 绍“a c = b d ”理论及其在微分方程( 组) 中的应用，并介绍了c d 对的常用构造方 法 2 1a c = b d 理论及其在微分方程( 组) 中的应用 1 9 7 8 年，张鸿庆教授 6 9 1 将代数消元和因式分解思想方法用于微分方程组的求解，成功 地解决了一大类( 超定) 微分方程组的约化问题，并提出求解微分方程( 组) 的。a c = b d ” 思想，并广泛地应用于弹性力学，电动力学，流体力学，量子力学，理论物理，孤子理论 和可积系统等领域 z s ，2 6 ，2 9 ，3 2 ，6 9 - 7 2 ，7 4 删。a c 三b d 。思想是一个开放的思路近来 这一理论又有了新的发展，提出了g d 可积系统与c d 对的概念，形成了微分方程 ( 组) 求解的c d 可积理论 定义2 1 1 设x 是线性空间，a ，b ，c ，d 是从x 到x 的算子，对任意v x ， a c ( v ) = a ( c v ) ，b d ( v ) = b ( d v ) ， 如果对帕x ，a c v = b d v ，则称a c = b d 定义2 1 2 如果对于算子a ，存在算子b ，c ，d ，使得a c = b d ，c k e r d = k e r a ， 其中k e r a = u l a u = 0 ) ，k e r d = v l d v = 0 】- ，则称a u = 0 为c d 可积系统若 c k e r d k e r a ，但c k e r dck e r a ，则称a u = 0 是部分可积系统 定义2 1 3 算子c 和d 称为算子a 的c d 对，如果系统 c ( v ，7 1 , - 0 ， ( 2 1 1 ) 【d ( v ，t ) = 0 ， 、 的相容条件恰为a u = 0 ，其中u 为参数 。恰”的意义为：如果系统( 2 1 1 ) 的另一个 相容条件为a + u = 0 ，那么k e r a + ck e r a 特别地，若v ( v ，u ) = 0 可写为u = c v ， d ( v ，u ) = 0 可写为d v = 0 ，那么a 有显式的c d 对 7 一类非线性波动方程的群分类 若c k e r dck e r a ，则对d v = 0 的任意解t i ，若u = c t v ，则a u = 0 ；若c k e r d ) k e r a ， 则对a u = 0 的任意解u ，必有口k e r d ，使得乱= c v 如果c k e r d ) k e r a 和 c k e r dck e r a 同时成立，即c k e r d = k e r a ，这e c j t 弓 程a u = 0 的般解钍= c v ，其 中钉满足d v = 0 也称在变换u = c v 下，方程a u = 0 与d v = 0 等价 定理2 1 1 删设x 是线性空间，a ，b ，c ，d 是从x 到x 的算子，如果a 6 = b d ， b o = 0 ，c k e r ddk e r a ，则a u = 0 的一般解为让= c v ，这里， 满足d v = 0 证明：k e r d ，令u = c v ，则a u = a c v = b d v = b o = 0 。因此c k e r dc k e r a 由已知6 k e r d ) k e r a ，从而c k e r d = k e r a 所以，结论成立 口 定理2 1 2 驯设x 是线性空间，a ，b ，c ，d 是从x 到x 的线性算子，x ，若 a c = b d ，c k e d ) k e r a ，则a u = ，的一般解为缸= c v + e ，其中 满足d v = 9 ， e 和9 满足a e + b 9 = ， 证明：对满足a e + b 9 = ，的任一组e 和9 ，令t = c v + e 其中u 满足d v = 9 ，则 a u = a o v + a e = b d v + a e = a e + b 9 = ， 反之，对a u = ，的任一解仳，设乱1 = c v l + e 是a e + b 9 = ，的个特解，其中d v l = 9 ， a e + b 9 = ，则u u 1 k e r a 且存在 0 2 k e r d 使得c v 2 = 一u 1 因此 t = u 1 + c v 2 = c v a + e + c v 2 = c ( v x + 0 2 ) + e ， 令移= 口1 + 也即得证口 定理2 1 3 7 5 1 设x 是线性空间，a ，b ，c ，d 是从x 到x 的线性算子，若a c = b d ， 则方程a u = b y 满足u c x 的一般解为：t = c 4 , ， = d + 妒，其中，k e r b 若同 时d k e r c k e r b 成立，则方程a t = b v 满足也c x 的一般解为： i l = c 砂，t ，= d ， 其中x 证明：只需要证明最后一个结论由于u c x ，因此存在咖1 x ，使得1 1 , = c 4 , 1 ，从 而a c c a = b v 由于a c = b d 以及b 是线性算子，则b ( v d 妒1 ) = 0 因此t j = d 4 , 1 + 0 ， 其中，妒1 k e r b 由于d k e r c2k e r b ，从而存在2 k e r c ，使妒= d 2 由于d 是 线性算子，因此 = d ( 4 , 1 + 2 ) ，令砂= 1 + 2 即可结论得证 口 下面证明算子b 的存在性 8 大连理工大学硕士学位论文 定理2 1 4 设a c 是定义在空间x 上的g a t e a u x 可微的泛函，d 是从x 到x 的 可逆且g a t e a u x 可微的算子，若由d v = o 可推出a c v = o ，则存在x 上的泛函b ，使得 a c v = ( 矾) ( d ) 证明：因为d 是x 上的可逆算子， 令，= a c d 一1 ，由中值定理【8 l 】可知， 所以对v 夕x ，存在唯一的v 使得 = d g ， b o 【0 ，1 】使得 ( g ) 一，( o ) = d f ( o g ) g 因为d ( d _ 1 0 ) = 0 ，所以a c d - 1 0 = 0 令g = d v ，则 a c v = d ( a c d 一1 ( o g ) ) d v 令b ( v ) = d ( a c d 一1 ( 日夕) ) ，即是a c v = b v d v 口 定理2 1 5 设a c 是从空间x 到空间y 上的g a t e a u z 可微的算子，d 是从x 到x 的可逆且g a t e a u z 可微的算子，若由d v = o 可推出a c v = o ，则存在x 到y 上的算子b ， 使得( a c v ，y 。) = ( ( b t i ) ( d 口) ，y ) ，其中，y x ，x 为x 的对偶空间 证明：因为d 是x 上的可逆算子，所以对的x ，存在唯一的v 使得 = d g ， 令，= a c d 一1 ，v y + y + ，由中值定理【8 1 】的推论可知，舶 0 ，1 】使得 ( f ( o ) 一，( o ) ，y ) = ( d f ( o g ) g ，矿) 又因为a c d 1 0 = 0 ，且令g = d v ，则 ( ，( 9 ) ，y ) = ( d ( a c d 一1 ( 日9 ) ) ，y 4 ) 令b ( v ) = d ( a c d 一1 ( 口9 ) ) ，即是( a c v ，y ) = ( ( b t ，) ( d 勘) ，y + ) 口 。a c = b d ”的基本思想就是将复杂不易求解的方程( 原方程) 通过适当的变换转 化为简单易于求解的方程( 目标方程) 不失一般性，可形式地将原方程和目标方程分别 表示为a u = 0 和d v = 0 ，则原方程的求解就变为寻找适当的变换u = c v ，将原方程化 为易于求解的目标方程d v = 0 但是，在实践中往往需要求得算子b ( 辅助算子) ，使其 满足a c = b d ，有时还需要求得算子月( 余算子) ，使得a c = b d + r 其具体格式是： 设a u = 0 为待求解的原方程，d v = 0 是易求解的目标方程，寻找变换u = c v ，使得 a u = 0 _ d v = 0 且c k e r d = k e r a 对一般微分方程的求解，就转化为以下问题的解 决：给定算子a ，构造算子c 和d ，使得c k e r d = k e r a ，即如何构造变换u = c v ， 9 一类非线性波动方程的群分类 将待求解方程a u = 0 约化为目标方程d v = 式：【8 2 】 au=0一 0 目前，算子a 和d 有了如下的表达形 d v = 0 任意微分方程组 具有对角形式的微分方程组 非线性微分方程 线性微分方程 变系数微分方程常系数微分方程 高阶微分方程低阶微分方程 高维方程低维方程 微分方程代数方程 任意的方程具有特定性状的方程 不可分离变量微分方程可分离变量微分方程 不会求解方程 会求解方程或具有重要性的方程 现在的问题是如何构造变换 l g = c u ，将待求解的方程a t = 0 约化为求解方程 d v = 0 下面我们通过几个例子来说明a c = b d 模式在微分方程( 组) 求解中的应用 1 任意微分方程组一对角形微分方程组 例2 1 1 齐次m a x w e l l 方程组l e g 利用如下的变换 阻 岛 a u = 理： 一丢 椎 丢 鸳一三砖 o ( 2 1 2 ) 0 叫翁m 工3 ， 引毒卟) ，( 2 怕， 霹一去雩 。=(理+露+鳄一丢砰理露00 - t - - t - = 。 c 2 工4 ， 硬砖 塑 + 一况 塑 扎 丝c 俨 = 捌 日 日 + + e e 以 伽 大连理工大学硕士学位论文 2 非线性微分方程一线性微分方程 例2 1 2 势b u r g e r s 方程例 a 牡= 吼+ 三( 允) 2 一入】= o 利用a c = b d 的思想，取变换 将( 2 1 6 ) 代入( 2 1 5 ) 可得 u = c v = 一2 a i n t ，。 b 口：一坠，d uv t - - a ：0 口 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 很显然可以证明a c v = b y d v ，同时有c k e r d = k e r a 因丸a u = 0 的解析解可以表 示为t = c v ，d v = 0 3 变系数微分方程_ 常系数微分方程 例2 1 3 变系数m k d v 方程i s l a u = u t + o ) ( t 上船z + 6 u 2 t 王霉) + 4 k 1 ) t 正z 一危 ) ( u + x u 霉) = 0 ， ( 2 1 8 ) 其中k ( t ) 0 = 0 ，1 ) ，h ( t ) 为t 的任意函数作变换 ，i 让= 唧( h ( t ) d t ) v ( r ，7 ) ， 7 = z e x p ( 郴) 出) 一4 甄( t ) e x p ( ”) 班， 丁= f g o ( t ) 唧( 3 酢) 出) 砒 则( 2 1 8 ) 约化为常系数k d v 方程 蜥+ 劬2 + 话= 0 4 高阶微分方程一低阶微分方程 例2 1 4 浅水中的w h i t h a m b r o e r - k a u p 方程俐 u t + t 正t 正工+ + 卢u 嚣= 0 ， u t + ( t ，乱) 霉+ o t u z 互z p t ，卫霉= 0 1 1 一类非线性波动方程的群分类 则可化为目标方程：低阶b u r g e r s 方程 化微分方程为代数方程 垫盘w ww ww 2 讹) 叫列 z 可l 。j 。w v d w = 伽t + 2 w w x + 叫嚣= 0 例2 1 5 考虑线性常系数常微分方程胆纠 ( 2 1 9 ) a y = a n y ( n ) + a - l y ( 竹一1 ) + + a x y 7 + o o = 0 ( 2 1 1 0 ) 取y = c ( ) = e v x ，则有 a y = a c v = e ( 口n u n + f i n - 1 v n 一1 + + a o ) = 0 令b ( ) = e v x ，d ( v ) = a n t ，n + 口n 一1 v n 一1 + + a o ，容易验证a c v = b ) d p ) 化偏微分方程为常微分方程 例2 1 6 考虑k l e i n g o r d o n 方程 取其无穷小生成元为 a u = u 托一t + 伽+ 卢t 正3 = 0 = 丁( t ，z ，t ) 侥+ p ，z ，似) 屯+ ，7 ( t ，z ，t ) 九 ( 2 1 1 1 ) 其中丁，即是定义在空间v = x r 1 的某些子空间上的任意光滑实值函数，x = ( t ，z ) 为自变量空间， r 1 = ( u ) 为因变量空间 上述无穷小生成算子的二阶延拓： p r ( 2 ) z ，= y + 矿钆+ 7 嚣钆。+ 7 7 托， 由上述假设并且根据李不变准则“哪，将上式作用在( 2 1 1 1 ) 上，有 矿一俨+ q ，7 + 3 卢班2 = 0 ，i-i一 = 伽d = 、-、 u = u 取若 大连理工大学硕士学位论文 英中 矿= d f ( 叩一f 一 r u t ) + 让科+ t u f t ， 矿= j 咒( t 7 一f u 霉一7 i t 正t ) + u + 7 - t 上武， t 7 越= d t 2 聊一t z r u t ) + 行+ ， u t t t ， 俨= d 。2 聊一u z 一丁) + f + r u z 耐，( 2 1 1 2 ) 算子d t 和眈是关于t 和z 的全导数： a0a0 d t2 瓦+ u 。瓦+ 瓦+ u 红砭+ 玩：孚+ 孚+ 导+ u 黜+ ( z m 3 ) d z2 瓦+ 瓦+ 五+ u 黜瓦：+ 于是，我们可以得到下表t 表2 1 单项式和系敷 单项式系数 t 2 z7 。一2 f 。= t k 一钆 t 霉2 t 正一3 仉= 一，k t 正z 0 u t一3 7 = 一 t z t已= 记 t k 。一2 矗。= 0 u 7 u u 一2 r t t = 0 j 仇t 一叼土。一( a + 卢u 3 ) ( ，k 一2 r t ) + o f ，7 + 3 声唧缸2 = o 经过简单的分析与计算，可以得到两个不变量： 口= ( 兰z 2 + 凹) 一( 詈2 + 沈) ，u ( z ，t ) = 坤) 因此，可以令u = c o = ，( 口) ，即可将原方程化为常微分方程 d o = ( 2 口口+ c 2 一b 2 ) f + 2 口，7 一a ，一p ，3 = 0( 2 1 1 4 ) 从上面的具体应用可以看出a c = b d 理论系统地解决了微分方程求解方面许多重 要的问题这一思想是开放性的，在弹性力学，电动力学，流体力学、量子力学、孤立子 理论、理论物理等方面都有广泛的应用 1 3 一类非线性波动方程的群分类 2 2c d 对的构造方法 上面已经阐述了a c = b d 的思想，应用c d 对理论的关键是对定的微分方程( 组) a u = 0 ， 构造c - d 对，使得目标微分方程( 组) d v = o ( 或者d c u ，v ) = o ) 较容易求解这一节我们主 要阐述在非线性偏微分方程精确求解的过程中构造其c d 对的几种方法总结起来求 c d 对的方法有下列几种： 1 ) 微分代数消元法；2 ) 代数几何方法；3 ) 李群方法；4 ) 微分伪带余除法，对给定的算子a 和d ，设c 为具有待定参数的算子，用带余除法有算 子b 使得a c = b d + r ，可以选择待定算子使r = 0 i 微分代数消元法线性情形 首先我们来看具有线性常系数偏微分算子的方程的有关结果： 定理2 2 1 膨w 设n 巧( t ，j f = l ，2 ，3 ) 是作用在凸区域q 上的线性常系数偏微分算子， a = ( 三兰三兰三兰) ，口= ( 三i ) ， c 2 2 ， 锄是a q 的公因子，且a 巧= e b 3 j ，a j 3 = f b j 3 ( j = 1 ，2 ，3 ) ，其中e 是a j 3 ( j = 1 ，2 ，3 ) 和 a 巧的最大公因子如果0 1 1 和0 1 2 互素，且a 3 2 和a 3 3 也是互素的，则方程a u = 0 在 q 上的一般解可以写成 鞋 泣勉， e u l ：o ，兽t ，2 ：o ( 2 2 3 ) b = 蚓，c = 争= “ 0 0 0 ，j-_-_il、 = 、l， 们 似 似 ，iliii 足满2 t 和1 口 中其 大连理工大学硕士学位论文 例2 2 1 三维弹性动力方程组膨9 ， a u = ( 磋+ 克 主一p 砖露+ 因此可得 k a a 豫一p砰砖+曩一p露)(三)=0kla ， 一p 砰椎 i i 口i _ ， 或+一p 碗叫 a 3 1 = 一磋。( 七1 一p 辞) ，a 3 2 = 一嚷( k l a p 霹) ，e = k z a p 砖 a 3 3 = ( k l a j d 辞) ( 磋+ 霹+ k z a p 雩) ，i a = ( 七1 一p a ) 2 ( ( 1 + 七1 ) 一p 霹) 由上述定理知：a u = 0 的解为 = ( 0 其中矿，妒满足 p碍一罐s，一理。+。，-一o三lkla0 1ka 龟一p 露) ( 量 p a ! 一一理 一豫ll 咖 ( + 】)一a ! 一肛筇妒 ( k z a p 印) 矿= 0 ， ( k l a p 霹) ( ( 1 +