（应用数学专业论文）两两nqd列的一些收敛性质.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 概率极限理论是概率论的主要分支之一，也是概率论的其他分支和数理统计 的重要基础。本文主要讨论了两两n q d 列j a m i s o n 型加权和及加权乘积和的强 稳定性的理论，及两两n o d 列的强稳定性和完全收敛性。内容主要包括如下四 章： 第一章给出了两两n q d 列和一些相依列的概念，并简要介绍了国内外研究 这些相依列的一些主要成果以及它们的理论意义和应用价值。 在第二章中，先介绍了j a m i s o n 型加权和及加权乘积和的一些发展情况，结 合已有的结论，我们把在独立同分布随机变量序列及n a 列中l a m i s o n 型加权和 得到的结果推广到了同分布两两n q d 列，并讨论了一些关于j a m i s o n 型加权乘 积和强收敛性的相关定理。 在第三章中，先介绍了强稳定性的定义和在独立同分布及n a 列中的一些结 果。在与此相同的情况下，我们推广了以前的相关结论，得到了两两n q d 列的 m a r c i n l d e w i c z 型强大数定律。 在第四章中，讨论了两两n q d 列的完全收敛性，并得到非同分布两两n q d 列的b a u m k a t z 型完全收敛定理。 关键词；n q d 列，j a m i s o n 型加权和，强稳定性，m 觚：i n k i 删娩型强大数定律， 完全收敛。 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t l i m i tt h e o r yi so n eo ft h ek e yb r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r y , a n da l s ot h e i m p o r t a n tf o u n d a t i o no fo t h e rb r a n c h e sa n ds t a t i s t i c s i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s s t h es t r o n gs t a b i l i t yf o rj a m i s o nt y p ew i g h t e ds u m sa n dj a m i s o nt y p ew i g h t e dp r o d e c t s u m so fp a i r w i s on q ds e q u e n c e s ,a n dt h e s t r o n gs t a b i l i t y a n dc o m p l e t e c o n v e r g e n c e sf o rp a i r w i s en q ds e q u e n c e s i ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ef i r s tg i v es o m ec o n c e p t so ft h ea s s o c i a t e ds e q u e n c e s i n c l u d i n gp a i r w i s en q ds e q u e n c e s t h e os u m m a r i z es o m ei m p o r t a n tr e s u l t sg i v e nb y d o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r s , a n di n d i c a t et h e i rt h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a lv a l u e i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ef i r s ti n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fj a m i s o nt y p ew i g h t e d s u m sa n dj a m i s o nt y p ew i g h t e dp r o d e c ts u m s ，t h e ne x t e n dt h er e s u l t so fi n d e p e n d e n t i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e ss e q u e n c e sa n dn as e q u e n c e sa b o u tj a m i s o n t y p ew i g h t e ds u m st op a i r w i s en q ds e q u e n c e s ，a n dd i s c u s st h es t r o n gs t a b i l i t yf o r j a m i s o nt y p ev i e # t e dp r o d e c ts u m so f p a 触n q ds e q u e n c e s i nt h et h i r dc h a p t e r , w ef i r s tg i v et h ec o n c e p to ft h es t r o n gs t a b i l i t ya n di n t r o d u c e s o m er e s u l t so fi n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e ss e q u e n c e sa n d n a s e q u e n c e s w i t i lt h es a m ec o n d i t i o nw ee x t e n dt h er e s u l t sw eh a dg o ta n dg e tt h e m a _ f c i n k i e w i c zs t r o n gl a wo fl a r g en m n b e r sf o rp a i r w i s on o d s e q u e n c e s i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s s et h ec o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rp a i r w i s en q d s e q u e n c e s ，a n dg e tt h eb a u m - k a t z st h e o r yo nc o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rp a i r w i s e n o ds e q u e n c e sw i t hd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n k e y - w o r d s ：n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n ts e q u e n c e so fr a n d o mv a r i a b l e s , j a m i s o n t y p ew i g h t e ds u m s , s t r o n gs t a b i l i t y , m a r c i n k i e w i c zs t r o n gl a wo fl a r g e n u m b e r s ，c o m p l e t ec o n v e r g e n c e n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 篡蒜鬟虢：边2学位论文作者签名：鹚：髦2 固 指导教师签名：竺! ! ! ：竺! j 扪年月2 日 力p 芹占月多日 ， 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名钐膨屏对 o 7 年月乡e t 西北大学硕士学位论文 第一章引言 i 1 两两n q d 列及一些相依序列的概念 概率极限理论是概率统计学科的主要分支之一，也是概率论的其他分支和数 理统计的重要基础。前苏联著名概率论学者科尔莫戈罗夫和格涅坚科在评论概率 论极限理论时曾说：“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没 有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义”极限理论的基本内 容是每一个概率统计工作者必须掌握的知识与工具。1 9 世纪2 0 年代以前，中心 极限定理是概率论研究的中心课题。经典极限理论是概率论发展史上的重要成 果。极限理论的研究至今方兴未艾，它不仅深化了经典极限理论的许多结果，也 极大地拓展了自己的研究领域。这些都是和概率论其他分支以及数理统计的最新 发展相联系的。 多年来，人们一直致力于研究独立同分布随机变量序列的极限理论，取得了 很大的成果。独立随机变量序列极限理论的研究已日趋完美。但是在实际的应用 中，人们发现随机变量常常不是独立的，即使独立性假设在某些时候是合理的， 但要验证一个样本的独立性却是很困难的，这就提出了随机变量的相依性概念。 而且，随机变量的相依性概念也存在于马氏链、随机场论与时问序列分析中。因 此，出于理论研究和实际应用的需要，人们一直致力于取消独立性条件的限制， 并提出了许多能真包含独立随机变量序列的相依列的概念。如五十年代引入的 各种混合随机变量序列，六十年代引入的p a 歹n 【3 】、p o d 列嘲、n o d 列嘲及八十 年代的n a 列1 7 1 等，并研究各种相依列的极限性质。 1 9 8 4 年n e w m a n 在文献【9 】中综合介绍了多种正负相依序列的渐进独立性和 极限定理方面的研究成果，其中包括强平稳p a 列与n a 列的中心极限定理，强 平稳p a 列的弱不变原理以及某些其他类型的强平稳正相依序列的b c r r y - e s s e c n 定理等。从那时以来的十多年问，对p a 列以及一些其他正相依序列的研究方面 又不断地有新成果面世。与之相比，对n a 列以及其他负相依序列极限定理的研 究则要薄弱许多。 西北大学硪士学位论文 在对负相依随机交量序列的研究中最为引人注目的是美国统计学者 l c h m a n n ( 1 9 6 6 ) 提出的两两n q d 列( p q d 列) 的概念。由于i e h m a n n 的两两n q d 列是包含两两独立列在内的一类非常广泛而又很简洁的概念，而且比较容易验 证，因而引起了人们的关注。后来许多负相关列都是在此基础上衍生出来的，如 著名的n a 列就是它的特殊情形之一。以后的事实表明，带有浓厚统计色彩的 n a 列与其他正负相依列一样，不但在多元统计分析，可靠性分析。渗透理论， 而且在海洋、气象、环境、通讯等工程领域及风险分析，时间序列分析中有着广 泛的应用。因此对n a 列以及其他负相依序列极限定理的研究也越来越受到关 注。1 9 9 2 年地岫h 【1 0 l 对n a 列建立了k o l m o g o r o v 型的上界不等式和三级数定理， 加上p e t r o v 1 明所建立的可适用于n a 列的推广的b o r e l c a n t e l u 引理，打开了人 们研究n a 列几乎处处收敛和完全收敛性状的道路。 国内对n a 列的研究主要集中在最近几年，并获得了很多重要的成果。由于 n a 列是包含独立随机变量序列的，所以对n a 列的研究也都是致力于推广独立 随机变量序列的极限性质到n a 列。入们发现同分布n a 列与独立同分布随机交 量序列有着完全相同的强大数定律i 切，也有着极为相似的完全收敛性，这些结 果无疑为n a 列的应用提供了有力的理论指导，也表明了n a 列的有其鲜明的特 点 对各种相依变量序列的研究已经获得了许多丰富而且理想的结果，保障了实 际应用的理论基础，同时也为进一步研究独立随机变量提供了新的途径。现在我 们对n a 列的研究已经趋于成熟，两对两两n q d 列的研究相对来说较少对两 两n q d 列的研究也多在于推广独立同分布序列与n a 列的一些定理。其中 m a t u l a 1 0 l 在1 9 9 2 年获得了同分布的两两n q d 列的k o l m o g o r o v 型强大数定律； 1 9 9 8 年王岳宝等在附加了某些混合条件后获得了同分布n o d 列的 m a r c i n k i w i c z - z y g m u n d 强大数定律和完全收敛性，提出了解决两两n q d 列几乎 处处收敛和完全收敛的一种方法；2 0 0 2 年吴群英获得了与独立情形一样的b a u m 和勋z 1 1 皖全收敛定理，几乎达到了独立情形的m a r c i n k i w i c z 强大数定律、三级 数定理等结论；2 0 0 5 年陈平炎把同分稚两两n q d 列的k o l m o g o r o v 型强大数定 律推广大了一类广泛的条件下的不同分奄的情形等等。然丽我们对两两n q d 列 还有很多有待研究的地方。 西北大学硕士学位论文 定义1 1 随机变量x 与y 称为n q d 的( n e g a t i v d yq u a d r a n td c p e n d c n 0 ，如 果对任意x ，y e r 有 e ( x t 工，l ， _ ，) s 尸( z c 石) p ( y t y ) ( 1 1 1 ) 随机变量序列仁，n - 1 称为两两n o d 列，如果对任意置，x ，f j ，x ， 与j 是n q d 的。 定义1 2 随机变量x 与y 称为p q d 的( p o s i t i v cq u a d r a n td e p e n d e n t ) ，如果 对任意x ，y e r 有 e ( x 石，y y ) p ( ：l 工) p ( y ) ，) ( 1 。1 2 ) 随机变量序列仁，露七l 称为两两p q d 列，如果对任意置，x ，i - ，置 s x i 是p q d 铜 定义1 3 有限族亿，x 2 z 。 称为玢妒瞒i t i v e l y 加踟l c i a t c d ) 的。若 c o v f f ，x ：，z 1 9 置，x ：，z 。) ) o ( 1 1 3 ) 其中，和g 是定义在r 。上两个逐点单调不减的且使得上述协方差存在的函数。 两两p q d 列是包含两两独立列和m a r y 等( 1 9 6 硝3 1 提出的p a 列在内的一类 十分广泛的随机变量序列。与两两n q d 列一样，两两p q d 列因为其应用范围 广泛和判别条件简明而受到人们的关注 爱义1 4 称随机变量z l ，x i ，k 2 是n a ( n e g a t i v e l y a s s o c i a t c d ) 雕1 ，如果 对缸，七) 的任意分划4 ，a ：均有 c o v ( ，( x 。，f l g 伍，彳：”o ， ( 1 1 4 ) 其中，f 和g 均为使( 1 1 4 ) 有意义且对各变元非降( 或非升) 的函数。称随机 变量列伍。 是n a 列，若留 的任意二元以上的有限子集均是n a 的。 由上述定义不难验证：n a 族必为两两n q d 族；反之，对两两n q d 族，则 只有在4 ，以为不同的单点集时是n a 族，因此两两n o d 族具有n a 性。 1 9 4 7 年许宝禄和r o b b i n s l 5 1 提出了完全收敛的概念，即： 西北大学硕士学位论文 定义1 5 称随机变量序列饥，h 1 为完全收敛于常数c ，如果 斜小c | 扣* 胤地 从定义可以看出，完全收敛性是较口j 收敛更强的一种收敛性，因而在极限 理论中非常重要。 定义1 d 6 1 设阢) 为随机变量序列，0 。 为实数序列，0 。 满足条件 0 o ，一觏且以。荔4 ，则( 1 工5 ) 式称为j 蜘j 8 。血型加权和当昼一) 为 一般的非零实数序列，且 4 】不与0 。 有明确的函数关系时，( 1 1 5 ) 式称为广义 j a m i s o n 型加权和。 众所周知，如果j i b 卜。为x 一* 时的馒变函数，则 t 姆错乩。；磐帮“地 z l i m s u p 端吐 3 麴工4 | i | ( 工) - m ，熙z h ( x ) - o ，v 如o 。 1 2 两两n q d 列已有的部分结果及 一些相关定理 在本文中我们记c 为正常数，在不同的地方可取不同值，以”n 庀一o 一，记 。善墨 j a m i s o n 等( 1 9 6 5 ) 6 1 在独立同分布随机变量序列下证明了j a m i s o n 型加权部分 西北大学硕士学位论文 和的如下结果： 定理1 1 设饥 是独立同分布随机变量序列，备； 是正数列，满足条件 e 阻，i t * ，e x t - 0 ， ( l 2 1 ) 4 皇荟q t ，_ 一_ o 疗_ 一 ( 1 2 2 ) 缸) 一# p ：4 町1 厅) 玎，珂- - 1 ， ( 1 2 3 ) 则 置皇群1 荟吩置- o ， 口j 雄- ( 1 2 4 ) 刘许国、王岳宝等嘲把定理l 推广到n a 列。王岳宝等( 1 9 9 8 ) 【2 l 】对一类具体 。的j a m i s o n 型加权和得到了如下两两n q d 歹l jj a m i s o n 型加权的强收敛性。 定理1 2 设忸。 为同分布两两n q d 列， a ；：a t - f 。z ( f ) ，i - l ，2 ， ) 其中 6 z l ，f 扛) ，x e r + 为慢交爵数，且当6 一1 时，f o ) ，x r + 不减，如果( 1 2 1 ) 式成立则( 1 2 4 ) 式成立，其中4 。荟4 ，+ 王岳宝严继高等( 2 0 0 l 尸讨论了不同分布两两n q d 列的j a m i s o n 型加权乘 积和的强稳定性及乘积和的m a r c i n k i e w i e z 型强大数律，推广并改进了e t e m a d i l 4 1 关于不同分布两两独立列都分和的工作及m a t u l a 埘，王岳宝等【2 1 1 关于同分布两两 n o d 列部分和的工作。 定理1 3 设备 为正数列，满足条件( 1 2 2 ) ， 五：f 乏1 为两两n q d 列满足 条件 s u p e l x , 一甄l ， ( 1 2 5 ) i i l 磊啦( 墨一甄) - 髓， 一o ， - 鸭 ( 1 2 6 ) 善p ( i 置一甄， ( 1 2 7 ) 善6 2 玩，( 墨一点x ) 沁，蝎 ， ( 1 2 8 ) 则有 5 西北大学硕士学位论文 t 。1 善q ( 五一竭) - o 一- ，口矗 其中礁- a ：4 ，i 1 反之，( 1 2 7 ) 还是( 1 2 9 ) 的必要条件。 定理1 4 在定理1 3 的条件下对任意辨1 ， 玑。寿蛳置卫气( 毛一) _ o ，一叩j ( 1 2 1 0 ) 成立，反之，若对任意川l ，( 1 2 1 0 ) 满足，则( l 2 7 ) 成立。 若( ) 叁# l , ：a i a 7 1 l o g 。1 f ，露1 ，吴群英闭得到与独立同分布随机变 量序列几乎相同的关于两两n q d 列的j a m i s o n 型加权和的强收敛性，并把它推 广到广义j a m i s o n 型加权和得到以下结果： 定理1 5 露讧 为同分布两两n q d 列，满足条件( 1 2 1 ) ，仁。 为正数列， = 叁呜，* ，如果 ( 栉) 一# f ：4 4 i l l o g 弗) 玎，以七1 则( 1 。2 4 ) 式成立 定理l 6 设留。) 为同分布两两n q d 列，满足点翟。- 0 ，l i i g 卜。为慢变函 数，扛) 叁工矗( h ) ，l r t 2 ，昼。 为任意数列，0 o 上是非降的偶函数序列， 伍： 1 是两两n q d 歹l j 。假设对每个h 1 ，至少有定理1 7 的条件( a ) 、( b ) 之 一成立。如果 气， 1 ) 是非降趋于无穷的正常数序列且满足 薹帮t * 及磐i 1 善s 忡 其中，如果晶仁) 满足条件( a ) 则0 ；如果岛g ) 只满足条件( b ) ，则垃一昱l x , i ， 那么有( 1 2 1 1 ) 式成立 王岳宝、苏淳等( 1 9 9 8 ) f 1 9 l 把独立周分布随机变量序列强大数定律推广到n a 列及两两n q d 列褥到以下结果： 定理1 9 设 置：f 1 ) 为同分布n a 序列，即对一切f ，有 p ( 置善) p ( 墨t 并) ，慨r ，则对o t p t 2 ，使得 s - ：n _ b - 0 ， 矗v ， 4 j 成立的充要条件是：e i x , i 0 ，有 ，l i m x t + ss 。u p n - 1 z p ( i 置f z ) 一o 。一- “息v ” ， 则对任意的，0 ，有 荟一一l p ( 警筇 剐，e ) c * 另一方面，对于独立随机变量序列完全收敛性的研究也已日趋完善，由于在 实际问题中更多的遇到的是加权和的形式，所以研究其完全收敛性自然也成为近 年来众多学者感兴趣的另一个主题。关于两两n q d 列的完全收敛性我们主要有 以下结论： 王岳宝、苏淳等( 1 9 9 8 ) f 2 l j 研究两两n q d 列的完全收敛性与几乎处处收敛性 引入了反映两相邻随机变量关系大小的函数， 妒+ ( 1 卜l i ms 。u 。p 删瞒s u p 刷。i a ) 一p ( 刮 m * 厍瞄爿_ 砷 这里。- o ( x ；，j ，) ，f ，l ，- 1 , 2 , 显然o s 妒( 1 ) s l ，获得了如下b a u m 8 西北大学硕士学位论文 和k a l z 型完全收敛定理： 定理1 1 4 设l p ( 2 ，a p ：- l ，化 为同分布两两n q d 列，如果层l z ，i t * 则 薹n 十2 p 忙。一n 职- 1 2 研4 ) t * ，v s ，。 ( ，2 ，4 ) 定理1 1 5 设1 p t 2 ，a p 1 ，伍 为同分布两两n q d 列，且满足条件 妒+ ( 1 ) t1 ，如果还有( 1 2 1 2 ) ，( 1 2 1 4 ) 式成立，则有 扩一p ( 警陪j e x , i 。) t m ，w e 0 , ( 1 2 ) 定理1 1 6 设1 p t 2 ，a i r 1 ，饥 为同分布两两n q d 列，且满足条件 妒( 1 ) c ) 善磷删 荟1 0 9 2 彪砌噬 则 荟置枷，酏 定理1 1 9 设忸。，以2 1 ) 是同分布两两n q d 列，a p l ，0 工) p ( y y ) ，v x ，y r ； ( i i i ) 如r 。5 同为非降( 或非增) 函数，则r 似) 与s ( y ) 仍为n q d 的 引理2 2 设仁，h 乏l 是两两n o d 列，对任意撑1 ，v a t 伍。) ( * ， 1 1 西北大学硕士学位论文 4 ，斗1 ) 是非降趋于无穷的正常数序列。假设 警4 7 善e i x i - 腰t i 坤； ( i i ) 肠，伍。帕：c m 名 则强大数定律4 7 善( 墨一瓯) 0 ，4 j 成立 引理2 3 陶设 0 b o 为慢变函数，则对任意6 ，o ，工6 j i i b ) 为拟单调上升 函数，x 。l i l o ) 为拟单调下降函数。 引理2 4 如果e 矧7t * ，则对于，1s ，e 矧。有限，而且对于七，e 矿 存在并且有限。 引理2 5 嘲对任意实数列k ：f 乏1 及任意一坍1 有 埘曼。豇 毒；毗，：，：州州) 熊掌卜 三 。 其中一_ ( f ，。：l ，肼) ，l s 。一辨为与刀及k ，撑1 无关的常数 引理2 6 ( k r o n e c k e r 引理) 设备。 和缸。) 是两实数序列，o a tm ， 荟4 一收敛那么善而4 - o 引理2 7 ( b o r e l c a n t e l l i 引理) ( i ) 若芝嘶。) t * ，则p “，f 。 t o ( i i ) 若“ 相互独立，妻p o ) 一m ，则p 臼，f n 一1 2 2 主要结果及其证明 1 2 西北大学硕士学位论文 我们先来证明间分布两两n q d 列j 义l a m i s o n 型加权和的强收敛定理。 定理2 1 设仁。 为同分布两两n q d 列，满足瓯一0 ， 0 b o 为慢变函 数，扛) 皇石7 ( k i ) ，l r t 2 ， q 为任意数列，o t 以tm ， e ( ，0 x 。i ) ) c m ， o ) 皇# 仁：4 4 1 耳) ，0 ) 刀1 ， ( 2 1 1 ) 则互- 霹1 a l x l o 口j ( 2 1 2 ) 日 证明 由如) 的定义知( 0 ) 一0 ，设6 l - a ；4 l ，由( 2 1 1 ) 式得包一* ， 卜。，如若不然，则有无穷多个f 及某个 。使岛辟。，由( 2 1 1 ) 式得 ( ，l o ) 一* ，( ) 这是不可能的，因此饥一0 0 ，f 一* 。 记 x 一也毛。_ ) + 墨陋) + 岛，( 葺呜) 则有 互噩 - 群1 砉n ，伍；一x ) + 砉4 j 化一奶) + 爿i 1 砉口j 必 叁f l + i 1 + 1 3 。 故要证互一o 4 j ，只证 一0 ，4 j ，i 一1 ，2 ，3 由引理2 3 知，g ) 拟单调上升，由定理条件可得 薹p 0 丑l 岛) 一砉，三掣置i 眈，一- ) 荟一( 舻可一1 ) 一妻( j 眺s 阱川) 西北大学硕士学位论文 荟巾) p ( ，i x , l ) e ( ，( i 置1 ) ) 由b o r e l - c a n t e l l i 引理得 p ( 五一x ，a d ) - o 故 ，l - 佤一k ) 地4 曩 由引理2 1 知： q x ) 仍为两两n o d 列。故由引理2 2 知要证 只证 7 ：。善q 位一g ) _ o ，4 j 1 溜善4 ；e 畦一必i ： 虹善砰砌，位) 脚 1 ，取嘎 o ，使，- 6 , l ，则有 裹( ，一1 ) 4 ( ( ，) 一( j 1 ) ) 妻( j ) ( ( ，一1 ) - 1 一，4 ) 囊m ( ( ) - l - 厂1 ) - 耋厂- ( ，| i ( ，) ) ( ( ，一1 ) 1 一厂1 ) 七 ( 七) 荟，7 1 2 如忙埴，+ 2 d x | i l ( 七) 南4 b - h ( k 1 故有 l 荟扩( 七) e i x , 1 1 1 , 杠t 叫 耄e ( i x , r - h ( k 1 ) 阻i ) 气私水+ l j 髟( i 丑f ) c 0 0 定理得证 如果我们取j i i b ) - 1 ，- 1 ，则可得到在同分布两两n q d 列情况下与同分 布n a 列相同的结果。 推论2 1 【2 2 1 设忸。：一l 为同分布两两n q d 列，量。 为正数列， 4 皇荟qm e x 一0 ， 1 7 西北大学硕士学位论文 则 e j x ，l t * ， ( 拜) 皇# f ：4 町1 ) 一，玎1 互- 4 1 善a t 置_ o ，口j ，一_ 证明在定理2 1 中我们取| i l 厶) 一l ，r - l ，由前面定理的证明可知：我们 只要证明，_ 群1 善口；羁_ o ，口j 开 因为e l z ，f c * ，且6 i 一* ，故有 慨l l z 墨鸸o l + 包p ( 1 墨 b , i ) - - o ， 又4 4 t o ，荟小t 。1 ，故由p 1 也引理立得 ，3 一口t 羁一o ，弛，雌一* 得证。 定理2 2 设岳g x 露1 ，是正值的在区间x o 上是非降的偶函数序列， 戗：尼1 是两两n q 。列。刍 为正数列， 皇羹qt * ，b i a t 町1t * ，假 设对每个行1 ，至少有如下条件之一成立 ( a ) x g 。0 ) 在区间x ，o 上非降； c o ) x g 。g ) 和鼠( x ) x 2 均在区间工，o 上非增，且有职- 0 ，s u p e i x it * 。 h 若满足条件 那么有 薹涮t * 互- 1 d f 墨一o 理一q 4 j 钉 以。虿i 。，。量。熙气鼍一o ，n - - o a s ( 2 2 2 ) 西北大学硕士学位论文 其中班为任一确定的正数。 证明( 2 2 1 ) 式的证明与定理1 8 的证明类似，但在e p 间细节上不同， 具体证明如下； 由器b ) 在区间工，o 上是非降得知 嘲乏6 _ ) 矗1 吨勿s 矗陋铡勿错 所以有 薹札陋) 孝测t m 。 因此利用定理2 j 证明过程中的假设及定义我们有；要证_ 群1 善吩置_ o ，4 j 只需证 。 1 2 - a , - t a ，位一点x ) 一0 ，口j ，3 - 1 窆。q o ，4 j 对于任意的 1 ，如果g l g ) 满足条件( a ) ，则 陋) 卜e 协) 二南磁( 五) 缸旷南刚墨) ( 2 2 4 ) 如果矗0 ) 满足条件( b ) ，由麟。o 得 i 甄卜e i x , i i o ，, ) 南) 缸南( 置) ( 2 2 5 ) 因此总有 l 踊，卜南刚置) 由k r o n e c k e r 引理知：要证，3 一o q q o ，口j 只证6 j - 蟛( * 即可 hw 西北大学硕士学位论文 扩羁薯巧1 阳置卜岛) + i 瓯，0 静跏以) + ；| ；铡 故l - 砉a t q o ，口多得证 下面证明：，2 - q 化一羁) 一0 4 矗 由引理2 1 可知昼。k ) 仍为两两n o d 列，故又由引理2 2 知只需证明 - 。 警巧1 e 瞰一e i ； ( i i ) 艺口细化脚t m 由( 2 2 4 ) 式可知 善口t 层陬一硎珥1 善4 ；e 舷l 珥1 塞啤【6 l p ( i x , i ，6 i ) + e 阮l ) 】 2 砉筇1 ( 岛p ( 阮1 ) 岛) + 2 彳1 砉q 占阻l k ) 2 驯五卜岛) + 召邺 x ij l ( i x , j 岫) + 2 a ：1 争蚓 喀喇，岛) + 雹帮倒驴吲 噻删，6 1 ) + 盗帮+ ：溜啦i ( 2 2 6 ) 其中只为g f o ) 满足条件( a ) 的f ( f ) 的集合，e 为岛扛) 满足条件( b ) 而不满足 2 0 西北大学硕士学位论文 条件( a ) 的f o 弗) 的集合 又由于对于任意的玎乏l ，如果既g ) 满足条件( a ) ，则当陋l s 屯时 器南 儿帮s 错 磷，( i x i 吒) 厕b n 2 。( 墨) 阢j 南旭) 如果乳b ) 满足条件( b ) ，则当i z l s 瓯时 因此 掣2 掣 酬吲圳蛆错k 陋， 南励忆) 荟n 7 r 化脚善筇2 q 2 善6 i 2 磷旧) + 荟p ( 阻| 熟) 砉搿+ 和跏岛) c 放z 。善q 化一q ) _ 0 4 j 综上( 2 2 1 ) 式得证。 ( 2 2 7 ) 西北大学硕士学位论文 下面证明( 2 2 2 ) 式成立 由引理2 5 知为证( 2 2 2 ) ，只需证 寸一；| ；口w 二o ，弗一* ，她 1 s ，脚，由上面的证明知巧一0 ，露_ ，口丑成立。再由j e n s e n 不等式知 矸酗工小( 4 2 骞榭卜乩z 小 从而为证j o ，露一* ，口j 只要证2 ) 一0 ，矗一c o ，口j 由( 2 2 3 ) ，( 2 2 7 ) 及硒舢潮【c r 引理知 毒耋砰( 置k i 岛一毯k 陋，) 2 - 老套砰矸缸+ 毒砉口；( 瓯h ，) 2 一老善五k 产玛 一0 ，矗一，4 矗 ( 2 2 8 ) c as 。u p e l x i c * 知 。 ， 由于 下证 毒妻( 甄甜 等仁i 以l + t ) 2 专；| ；口? - 。，以一* ，4 卫 老砉口饥，踊，0 玉，一。，露一m ，n 矗 ( 2 2 9 ) 刮引 i 日 惭 舻 饥 冽 p 笼 智 矿 矿 。喀 西北大学硕士学位论文 由( 2 2 4 ) 及( 2 2 5 ) 式可知 酽置缸陋k ) s 砉帮 故，由k r o n e c k e r 引理知 专耋砰置肛) 一。，玎一m ，4 ( 2 2 - 0 ) r h ( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 0 ) 及b o r e l - c a n t e l l i 引理立得砰) - 0 ，露_ ，a s ， 定理得证。 如果取晶( x ) - m ( h ) 则我们可得万成高2 0 0 4 年证明的定理。 推论2 _ 矧设正数列k ：再1 ) 满足条件4 皇砉qt m ，b i - a 。a i l t * ， 弹一* ，零均值的两两n q d 列口；以2 1 ) 满足 s u p e i x , i ， d 小) 酬一r 的函数列并使华与南单调不降。若 薹可错卜 贝t j ( 2 2 1 ) 及( 2 2 2 ) 式对任一确定的正数研成立 推论2 3 设正数列 巳：开2 1 ) 满足条件4 皇意qt * ，岛一彳；n i l1 * ， 撑一* ，仁。；n 1 是均值为零的两两n q d 列，8 y p e l x i t * ，且对某1 s p j 2 薹簪t - ， 则对任意的正数埘有( 2 2 1 ) 及( 2 2 2 ) 式成立 。 证明在定理2 2 中我们取乳( x ) 一k r 即得。 推论2 4 设留；月置1 ) 是均值为零的两两n q d 列，s u p e i x 。1 * ，正数列 西北大学硕士学位论文 口i ：矩1 ) 满足条件4 皇蠢qt * ，岛- 一，町1 tm ，一一m ，且对某。t p t l ， ( 2 2 1 1 ) 成立，那么对任意的正数埘( 2 2 1 ) 及( 2 2 2 ) 式成立。 证明在定理2 2 中我们取晶g ) h 即得。 西北大学硕士学位论文 第三章两两n q d 列的强大数定律 3 1 引言与引理 迟翔和万浮( 1 9 9 1 7 ) 给出7 同分布n a 列的一个弱大数定律。苏浮、王岳宝 ( 1 9 9 8 ) 1 9 】获得了同分布n a 列的与独立同分布随机变量序列一样的m a r 血垴删i 强大数定律本章将在同样的条件下证明同分布两两n q d 列的m a r c l n k i c w i c z 强大数定律。 定义3 1 称随机变量序列e ；露l 是强稳定的，如果存在常数序列昼) 和 h ，0 q ) t * ； ( 1 ) n 二l 善e 墨陬h ) _ o ； ( i 5 i ) 荟口，妇r 伍一) 。； ( v ，s 。u p a ：1 善e i 置j 址，h ) 则强大数定律口? 善伍t e e ) _ o ，口。，成立 西北大学硕士学位论文 引理3 2 ( 推广的b o r e i c a n t e l l i 引理) ( i ) 若荟p ( 4 ) ，则p ( 4 ，力) _ o ； ( i i ) 若p ( 4 4 ) 尸( 4 ) p ( 4 ) ，七_ m ，且荟p ( 4 ) - ，则p ( 4 ，。) _ 1 3 2 主要结果及其证明 定理3 1 设忸；n21 ) 是同分布两两n q d 序列，则对某个有限常数口以及 p e ( 0 2 ) ， 。 开7 荟伍一4 ) - o 雌