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较大指数的超单纯平衡不完全区组设计 中文摘要 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计 摘要 超单纯设计是指任意两个区组至多相交两个公共点的设计，可用来构造重叠码和 具有尽可能多不同区组的设计一个超单纯循环设计可用来构造光正交码本文主要 研究两类较大指数的超单纯设计的存在性，即证明了超单纯( v ，4 ，8 ) 一b i b d 和超单纯 ( ，4 ，9 ) 一b i b d 存在的必要条件也是充分的 全文共分六章在第一章中我们介绍了超单纯平衡不完全区组设计的一些基本概 念，问题背景和主要研究内容在第二章中我们介绍了超单纯设计常用的构造方法 在第三章和第四章中，我们证明了本文的两个主要结论在第五章中我们给出这两个 主要结论的相关应用在第六章中我们给出进一步思考的问题 关键词：超单纯设计，可分组设计，横截设计，重叠码，光正交码 作者：孙毅刚 指导教师：陈克军 s u p e r s i m p l eb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sw i t hl a r g ei n d e x a b s t r a c t s u p e r - s i m p l eb a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n s w i t hl a r g ei n d e x a b s t r a c t ad e s i g ni ss a i dt ob es u p e r - s i m p l ei ft h ei n t e r s e c t i o no fa n yt w ob o l c k sh a sa tm o s t t w oe l e m e n t s s u c hd e s i g n sc a nb eu s e dt oc o n s t r u c ts u p e r i m p o s e dc o d e sa n dd e s i g n sw i t h m a x i m a l l yd i f f e r e n tb l o c k s i fa8 u p e r _ 8 i 瑚p l ed e s i g ni sc y c l i c ，i tc a nb eu s e dt oc o n s t r u c t a no p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e i nt h i st h e s i s ，w ed e v o t e dt ot h ee x i s t e n c eo ft w os u p e r - s i m p l e b a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n sw i t hl a r g ei n d e x ，t h a ti 8 ，p r o v et h a tt h en e c e s s a r yc o n d i - t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fas u p e r - s i m p l e ( u ，4 ，8 ) 一b i b da n das u p e r s i m p l e ( 口，4 ，9 ) b i b da r e s u f f i c i e n t t h i st h e s i sc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m et e r m i n o l o g ya n d n o t a t i o n ，s u m m a r i z et h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w e i n t r o d u c et h ec o n s t r u c t i o n su s u a l l yu s e dt oc o n s t r u c ts u p e r - s i m p l ed e s i g n s i nc h a p t e r3a n d 4 ，w ep r o v et h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i s i nc h a p t e r5 ，w eg i v et h ea p p f i c a t i o no ft h em a i n c o n c l u s i o n s i nc h a p t e r6 w eg i v et w ol u t h e rr e s e a r c hp r o b l e m s k e y w o r d s ：s u p e r - s i m p l ed e s i g n ，g d d ，t d ，s u p e r i m p o s e dc o d e ，o p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e w r i t t e nb ys u ny i g a n g s u p e r v i s e db y c h e nk e j u n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料，对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：苏l ：趣圜1 日期：g 乙幺上l 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：刻! 鏊到日期：q 孥：乞f 墨 导师签名： 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第一章引言 第一章引言 超单纯设计的概念是由g r o n a u 和m u l l i n 在文献 7 】引入的因为超单纯设计与同 参数的其他设计相比，能使被区组覆盖的三元组个数最大化，所以本身就是一个饶有 趣味的问题，同时它还有很多应用例如，在统计规划实验中，超单纯设计可以提供 较好的试验方案，使得不同样品组的最大交集尽可能小；超单纯设计可用来构造完美 h a s h 族【1 3 】，覆盖设计【1 9 】和具有最多不同区组的设计【2 】；在编码理论中，超单纯设计 还可用来构造重叠码，超单纯循环设计可用来构造光正交码，由较大指数的超单纯循 环设计可得到码字个数相对较多的光正交码下面我们先介绍平衡不完全区组设计的 概念 设t ，k 和a 是正整数，一个( t ，七，a ) - 平衡不完全区组设计( 简记为b i b d ) 是一个 二元组伍，b ) ，其中x 是由 个点组成的集合该二元组满足下列性质： 1 b 是由x 的子集b ( 称为区组) 组成的集合，并且l b i = 七； 2 x 中任意两个点恰好在入个区组中出现 容易看出，一个( t ，七，a ) 一b i b d 所包含的区组个数为b = 入蒜器设矿是点集x 上 的二个置换，b 口= _ 【旷i 耖b ) ，这里b b 如果b 口= b 矿ib 召) = 召，那么称仃 为( x ，b ) 上的一个自同构；进一步，如果这个自同构盯是u 阶的，那么称该设计是循 环的，简记为( t ，七，a ) c b i b d 定义1 1 【1 5 】如果一个( 可，七，a ) - b i b d 的区组集中没有重复的区组，那么称该设计是 单纯的；进一步，如果其中任意两个区组至多相交于两个公共点，那么称该设计是超 单纯的；再进一步，如果该超单纯设计是循环的，那么称该设计是超单纯循环设计 当k = 3 时，一个单纯设计就是一个超单纯设计入= 1 的设计必是一个超单纯 设计k i m 和l e b e d e v 在文献【1 2 j 中对超单纯设计的概念做了推广，一个设计称为t 超单纯的，如果该设计的任意两个区组至多相交于t 个公共点在本文中，我们所涉 及的超单纯设计均是指t = 2 ，k 4 ，a 1 的情形 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第一章引言 容易看出，一个超单纯( t ，七，入) 一b i b d 存在的必要条件是； 1 v 芝( 七一2 ) i + 2 ； 2 a 0 一1 ) 兰0 ( r o o d ( 七一1 1 1 ； 3 a v ( v 一1 ) 兰0 ( r o o dk ( k 一1 ) ) 目前，已知的结果大都是关于超单纯2 设计的已证得当入= 2 ，3 ，4 ，5 ，6 时，一个 超单纯( u ，4 ，入) b i b d 存在的必要条件也是充分的g r o n a u 和m u l l i n 在文献f 7 】中解 决了a = 2 情形，k h o d k a r 在文献【1 l 】对其证明做了修改；c h e n 和k h o d k a r 分别在 文献f 4 】和【l l j 中独立解决了a = 3 情形；a d a m s 和c h e n 分别在文献【1 】和【5 】中独 立解决了a = 4 情形；c h e n ，c a o 和w e i 在文献【8 】中解决了a = 5 情形；c h e r t ，c a o 和 w e i 在文献1 6 】中解决了入= 6 情形设o ，b 是正整数，【口，啦为正整数u 的点集，其 中u 三l ( m o d 3 ) ，并且口口b 同理也可定义【0 ，6 ) j 这些结果可总结为下述定理： 定理1 1 存在一个超单纯( 口，4 ，a ) 一b i b d ，当且仅当u 和入满足下面条件； 1 a = 2 ， 【7 ，o o ) i ； 2 a = 3 ， ”i s , 。o ) ：，1 ； 3 a = 4 ， t ，【1 0 ，o 。) 5 ； 4 a = 5 ， u 1 3 ，o o ) i 于； 5 a = 6 ，u ( 1 4 ，o o ) b l u s k o v 和h e h n i c h 在文献【1 0 】中基本解决了当u 3 2 时，所有满足必要条件的a 相应的超单纯( 口，4 ，久) 一b i b d 的存在性问题c h e n 和w e i 在文献 1 4 】中基本解决了当 7 4 1 时，所有满足必要条件的入相应的超单纯( ”，4 ，入) c b i b d 的存在性问题 随着指数a 的增大，相应设计的区组个数往往较多，这就使得在直接构造这些设 计时存在一定的难度在本文中，我们主要研究了两类较大指数的超单纯平衡不完全 区组设计的存在性易见，超单纯( t j ，4 ，8 ) - b i b d 存在的必要条件为t ，( 1 9 ，o 。) 5 ，超单 纯( t ，4 ，9 ) b i b d 存在的必要条件是可 2 0 ，o 。) ：”我们将分别在第三章和第四章中， 证明上述必要条件也是充分的具体地，我们将证明以下结论； 2 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计 第一章引言 定理1 2 存在一个超单纯( u ，4 ，8 ) - b i b d ，当且仅当口【1 9 ，o o ) j 定理1 3 存在一个超单纯( ，4 ，9 ) b i b d ，当且仅当口 2 0 ，o o ) 2 ，1 3 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第二章超单纯设计常用的构造方法 第二章超单纯设计常用的构造方法 在现有的文献当中，超单纯( u ，七，a ) b i b d 常用的构造方法有递推构造法和直接构 造法，其中可分组设计在递推构造法中有重要的作用 设k 是正整数集，一个( t ，ka ) 可分组设计( 简记为g d d ) 是个三元组僻，夕，日) ， 其中x 是由u 个点组成的集合该三元组满足下列性质； 1 g 中的元素g ( 称为组) 均是x 的子集，并且所有的组构成x 的一个划分； 2 b 是由x 的子集b ( 称为区组) 组成的集合，并且l b i k ； 3 任意两个属于不同组的点恰好在a 个区组中出现，属于同一组的任意两个点不 在任何区组中出现 称 i c l | g 9 ) 为g d d 的组型我们通常用“指数”记号来描述：组型9 轷妒 表示大小为9 l 的组有啦个，1 t f - 当入= 1 时，我们简记为k - g d d 若k = q 时，我们用k 来代替称组型为矿的( k ，a ) g d d 为一个横截设计，记为t d ( k ，a ；n ) 当入= 1 时，相应的横截设计简记为t d ( k ，n ) 个组型为1 的( 七，a ) - g d d 就是个 ( t ，k ，a ) 一b i b d 定义2 1 f 3 1 】设x 为一个n 元集，a 为x 上的一个n n 方阵，如果a 的各行各 列都是x 中元素的一个全排列，则称a 为x 上的一个n 阶拉丁方 设岛与岛为两个n 元集，负与岛可以相同又设a = ( 叼) 与b = ( ) 分别为毋与岛上的n n 方阵令c = ( ) 为毋岛上的n n 方阵，此处 叼= ( a q ，b q ) ，1 i , j 住若方阵c 的舻个元素互不相同，则称方阵a 与丑正交 当a 与b 为两个n 阶拉丁方且正交时，称a 与b 为一对n 阶正交拉丁方，简记为 m o l s ( n ) 若a 1 ，a 2 ，a 为两两正交的礼阶拉丁方，则称它们为一个礼阶拉丁方的 正交组，简记为t - m o l s ( n ) 用n ( n ) 表示礼阶两两正交的拉丁方的最大个数文献f 1 5 】列出了阶在1 0 0 0 0 以 内两两正交的拉丁方的最大个数有关拉丁方的相关结果见文献f 1 5 】，【1 7 】和【i s 由文 4 较大指效的超单纯平衡不完全区组设计第二章超单纯设计常用的构造方法 献【3 1 1 知t d ( k ，n ) 存在当且仅当存在( 1 ：一2 ) m o l s ( n ) 本文用到有关横截设计和正交 拉丁方的以下结果： 引理2 1 【1 5 1 1 对任意质数幂口，存在一个t d ( q + l ，口) ，从而存在一个t d ( k ，口) ，这里南为任 一不超过q 的正整数 2 对任意n 7 6 ，存在一个t d ( 8 ，7 1 ) 3 对任意亿5 7 1 ，存在一个t d ( 9 ，死) w i l s o n 在文献【2 5 】中提出了关于g d d 的基本构造方法，如果其中的主设计和输 入设计都是超单纯的，那么相应的结论仍是成立的( 见文献( 5 j ) 构造法2 1 设( x ，9 ，b ) 是个指数为入1 的超单纯g d d ，函数s ：x z + u 【o ) 为 点集x 上的权重函数，其中2 峰为正整数集如果对任意b 鼠存在一个指数为a 2 的( u b 岛， & l 。b ) ，a b ) 超单纯g d d ，那么存在一个指数为a 2 九的伍，9 ，b ) 超单纯g d d ，其中x 。= u 互x & ，多。= u z e g & ig 9 ) ，艿= u b b 一4 口 证 利用反证法假设所得的( x ，矿，矽) - o d d 不是超单纯的根据定义，存在汐中两 个不同的区组a 1 和a 2 ，使得l a in a 2 l 3 因为伊= u b b 山，所以存在玩，b 2 8 ， 使得a i 4 b 。，a 2 一4 丑2 由l a in a 2 l 3 ，知l b in b , i 3 因为( x ，多，召) g d d 是 超单纯的，所以b i = b 2 由此可知a b 。中有两个不同的区组a 1 和a 2 ，它们至少相 交于三点的这与对任意的区组b b ，( u x e b & ， & iz b ) ，么日) o d d 是超单纯 的相矛盾 构造法2 2 设( 义，9 ，召) 是一个组型为九：1 蟛的超单纯( 七，入) 一g d d 如果对任意 i t 存在一个区组集为a 的超单纯( + f , 南，a ) b i b d ，7 = 0 ，1 那么存在一个 区组集为召+ 的超单纯( ：l 勉珥+ 臻忌，久) 一b i b d ，其中层+ = u l i t au 8 证 利用反证法假设所得的( i ：1k 啦+ 7 ，忌，a ) b i b d 不是超单纯的根据定义，存 在日中两个不同的区组a i 和a 2 ，使得f a l n a 2 1 3 因为矿= u 1 9 t a u 召，所以 5 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第二章超单纯设计常用的构造方法 区组a 1 和a 2 或者同属于某个a ，或者同属于8 如果是第一种情况，由题设区组集 为a 的仇+ ，7 ，a ) b i b d 是超单纯的，可知i a ln a 2 ls2 ，推出矛盾；如果是第二种 情况，由题设( x , g ，舀) 是一个超单纯的g d d ，可知f a tn 如f 2 ，也推出矛盾 证明本文两个主要结论时，对部分数值较小的参数可，用递推构造的方法难以奏 效，我们将用直接构造的方法证明其存在我们通过编程，利用计算机搜索这些超单 纯设计 定义2 2 f 3 1 】设g 为口阶阿贝尔群。其运算为加法，粤为正整数，k 为正整数组成的集 合再设，为由g 的s 个子集组成的子集族，即，= 【鼠= b n ，巩2 ，6 t k ) l1 i s ) 如果满足下列条件； 1 g 中任一非零元a 都恰有入次表成如下形式的差； a = b i i 一6 t l ，j 这里ls ts 3 ，i j ，z ，j z ； 2 当1 t s 时都有k 则称尹为g 中的一个( u ，k 入) - 差族当ki i 地记为( t ，k ，入) 一差族 若b 只称忙+ t = b l + i ，k + i ) fi g ) 为区组b 所在的轨道如果轨 道包含钞个区组，则称该轨道为长轨道，否则称为短轨道轨道中的任意一个区组都 可称为基区组 关于差族和c b i b d 的关系，我们有下述定理； 定理2 1 【3 1 】设g 为u 阶阿贝尔群，如果，为g 上的一个( t ，k ，入) 差族，d e v t = u l s i 9d e v b t ，其中d e v b = 鼠+ zfz g = ( 他1 + z ，+ z fz 研那么 ( g ，d e va 是一个( t ，a ) 一c b i b d 由上述定理，我们可以把搜索一个 ，南，a ) c b i b d 的基区组集转化为寻找相应的 ( 忌，a ) 差族设g 的k 元子集b 组成的集合歹是( a ) c b i b d 的基区组集我 们根据超单纯设计的定义检验c b i b d 的超单纯性由每个基区组所在的轨道都是长 轨道，可知i 歹l = 入 一1 ) ( 七( 一1 ) ) 每个基区组b 都有k ( k 一1 ) ( 七一2 ) 6 个三元子 6 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第二章超单纯设计常用的构造方法 集，这些三元子集都模u 循环展开，可从，中得到x v ( v 一1 ) ( j c 一2 ) 6 个三元子集如 果这些三元子集是互不相同的，那么这个设计就是超单纯的 c h e n 和w e i 在文献【1 4 】中给出一种较好的检验法设b ，s = s l ，8 2 ，s 3 ) cb ， v s = 5 2 8 1 ，8 3 一s 1 ) ， s l s 2 ，s 3 一s 2 ) ， s 1 8 3 ，8 2 一s 3 ) ) ，v b = v sls cb ) ，v ， = v b | b 丁) 容易证明以，作为基区组集的扣，毛a ) c b i b d 是超单纯的，当且仅 当，满足下列三个条件： 1 对任意b 只b 的任意三元子集s ，v s 中的对子互不相同； 2 对任意b ，b 中任意两个三元子集s 和s ，s s 7 ，有v snv = 咖； 3 对厂中任意两个区组b 和b ，b b ，有v bnv b = 在搜索这些设计时，我们通常采用回溯法例如，在搜索某个基区组p 1 ，b 2 ，b 3 ，k 时，如果从0 到t ，都没有找到合适6 4 的数值，从6 3 + 1 开始重新搜索适合6 3 的数值， 在确定6 3 以后再进一步搜索h ，如果穷尽u 后仍得不到适合6 3 的数值，依照上面的方 法重新搜索幻，依次进行下去，直封搜索得到所有的基区组 由于本文所研究的设计指数较大，所需的基区组个数较多，这里我们应用文献f 8 j 中提及的乘子和部分乘子的方法设召= 磊 o ) ， 瓦，称叫忍是该设计的乘 子，如果对于任意一个基区组b = z l ，x 2 ，x 3 ，如) ，存在g 磊使得c = 伽b + 夕= 扣x l + 9 ，t l ，茁2 + 9 ， z 3 + 9 ，却x 4 + 办也是基区组例如，在第三章引理3 2 中给 出的超单纯( 2 2 3 ，4 ，8 ) c b i b d ，需要2 7 4 个基区组利用乘子的方法，我们只需要 乘子锄= 1 3 和两个基区组b o = ( o ，1 ，3 ，8 ) ，b 1 = o ，3 ，9 ，3 8 ，就可得到基区组集， = j e i o ，l y j b 1f0 t 7 3 如果由元素t t ，和一些基区组不能生成全部的基区组，只 能得到一部分基区组，那么称元素w 为部分乘子 选择一个合适的( 部分) 乘子t t ，是很重要的在本文中，我们一般取点集为五， 通常选择召中阶数较大的元素作为( 部分) 乘子当我们找到一个基区组b ，要求 w b ，们2 b ，w 5 b 也是基区组，这里正整数s 的取值也很重要，先将其尽可能设置得大 些，如果搜索时间过长，我们会试着降低8 的数值用( 部分) 乘子同样适用于搜索 7 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第二章超单纯设计常用的构造方法 超单纯可分组设计 对于部分参数u ，在应用部分乘子的方法时，如果剩余的基区组个数较多，那么我 们还会应用交换算法，随机交换已找到的基区组的位置，使程序不总在最后几个基区 组中回溯，最初搜索得到的基区组也可以参与到回溯中，从而使差的分布发生变化， 有利于搜索结果我们设置一个起始点t ，使得在找到第t 个基区组之后，开始交换 搜索得到的基区组的位置例如，要搜索3 0 个基区组，打印出的结果显示，在搜索第 1 7 个基区组时，搜索无法再向下进行，始终在不停的回溯搜索，这时我们可尝试设置 t = 8 ，在找到第8 个基区组之后，随机交换已找到得基区组的位置在搜索本文所需 的结果时，我们发现t 的取值不同，所需的时间和得到的结果也不同 当钌 2 0 ，o o ) 2 ，解决超单纯0 ，4 ，9 ) 一b i b d 的存在性问题时，对需要直接构造的参 数t ，取x = 磊一1u o o 由于k = 4 ，a = 9 ，无穷远点和磊一1 中的任一点应恰好 在9 个区组中出现，我们可构造三个基区组b 1 ，b 2 和玩，其中b t = b t l ，b t 2 ，b t s ，o o ， 1 t 3 所有的基区组仍按照上面的算法搜索，其中无穷远点不参与运算需要注意 的是，我们需要验证包含无穷远点的三个基区组的超单纯性设鼠= b t i 一岵l1 i ，j 3 ，i j ) ，1s ts3 如果 1 b tl1 ts3 ) 中的差在蜀一1 中互不相同，那么所 得到的设计就是超单纯的 8 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计 第三章 超单纯( u ，4 ，8 ) b i b d 的存在性 第三章超单纯( v ，4 ，8 ) 一b i b d 的存在性 超单纯0 ，4 ，8 ) 一b i b d 存在的必要条件是移( 1 9 ，o 。) 3 本章将证明其存在的必要条 件也是充分的c h e n 和w e i 在文献【1 4 】中给出以下结果。 引理3 1 对任意t 7 1 9 ，2 2 ，2 5 ，2 8 ，3 1 ，3 4 ，3 7 ，4 0 ，存在一个超单纯( 移，4 ，8 ) - b i b d 对部分数值较小的参数口，用递推构造的方法难以奏效通过编程，利用计算机 搜索，我们直接构造出相应的超单纯0 ，4 ，8 ) b i b d 这些超单纯平衡不完全区组设计 在递推构造中作为输入设计，为得到本章结论起很重要的作用， 引理3 2 对任意u m ，存在一个超单纯( t ，4 ，8 ) 一b i b d ，其中m = 4 3 ，6 1 ，6 7 ，7 9 ，2 2 3 证对任意u m ，取点集x = 磊基区组集召如下所示，其中每个基区组都是模口 循环展开的容易验证，( x ，b ) 即为所需的超单纯设计，其中0 i 字一1 t i = 4 3 ： 2 i o ，1 ，3 ，8 ) ，2 o ，l ，7 ，2 6 t ，= 6 1 ：8 i o ，1 ，3 ，7 ) ，8 i 0 ，1 ，4 ，1 4 = 6 7 ： 3 l o ，1 ，3 ，7 ) ，3 t o ，l ，4 ，2 0 t ，= 7 9 ： 1 5 o ，l ，3 ，7 ) ，1 5 o l ，4 ，1 4 ) t ，= 2 2 3 ：1 3 o ，1 ，3 ，8 ) ，1 3 o ，3 ，9 ，3 8 引理3 3 对任意可 1 0 3 ，1 3 9 】，存在个超单纯( 弘4 ，8 ) 一b i b d 证 对任意 ，取点集x = 磊基区组集b 如下所示，其中每个基区组都是模u 循 环展开的容易验证，( x , b ) 即为所需的超单纯设计 t ，= 1 0 3 ：1 3 【o ，l ，2 ，4 ，1 3 o ，l ，5 ，6 ，1 3 o ，2 ，6 ，1 8 ，1 3 o ，1 ，7 ，8 ，( 0si 1 6 ) 分= 1 3 9 ：6 o ，1 ，2 ，4 ，6 o ，1 ，5 ，6 ，6 o ，1 ，7 ，9 ，6 o ，2 ，5 ，5 1 ) ，( 0 i 冬2 2 ) 。 引理3 4 对任意u m ，存在一个超单纯( ，4 ，8 ) b i b d ，这里m = 4 6 ，4 9 ，5 2 ，5 5 ，5 8 ， “，7 0 ，7 6 ，8 2 ，8 5 ，9 4 ，1 0 6 ，1 1 5 ，1 1 8 ，1 2 4 ，1 3 0 ，1 4 2 ，1 4 8 ，1 6 6 ，1 7 8 ，1 8 7 ，2 0 2 ，2 5 0 9 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第三章超单纯( u ，4 ，8 ) 一b i b d 的存在性 证 对任意u m ，取点集x = 磊基区组集b 如下所示，其中每个基区组都是模 u 循环展开的容易验证，( x ，嚣) 即为所需的超单纯设计 = 4 6 ：5 【o ，1 ，2 ，4 ) ，5 i 【o ，1 ，5 ，6 ) ，( 0 i x o ) ， o ，1 ，1 6 ，3 9 ， o ，1 0 ，2 1 ，2 3 ， o ，2 0 ，2 8 ，3 2 ， 【o ，4 ，6 ，3 0 ， o ，8 ，2 0 ，“) ， o ，5 ，1 9 ，2 3 ) ，( o ，6 ，2 9 ，4 3 ， 0 ，6 ，2 4 ，3 6 t 7 = 4 9 ：1 9 0 ，1 ，8 ，1 2 ，1 9 o ，2 ，1 1 ，3 7 ，1 9 o ，l ，6 ，4 1 ，1 9 i o ，i ，3 ，1 7 ) ，1 9 o ，1 ，1 0 ，2 7 ) ， ( 0 is5 ) ， o ，6 ，1 5 ，3 9 ， o ，6 ，1 6 ，4 0 移= 5 2 ：5 i ( o ，l ，2 ，5 】，5 o ，1 ，3 ，3 7 ，5 o ，1 ，7 1 2 ) ，5 o ，3 ，1 6 ，3 3 ，5 o ，3 ，1 5 ，4 5 ) ，5 0 ，1 ，1 6 ，4 4 ， 5 o ，l ，3 3 ，3 5 ，5 o ，4 ，1 8 ，2 6 ，( 0s is3 ) ， o ，4 ，1 3 ，l r ， o ，7 ，2 0 ，3 9 ) ， u = 5 5 ：7 t o ，l ，2 ，5 ) ， o ，1 ，1 1 ，3 7 ，( 0 is1 5 ) ， o ，3 ，2 0 ，2 9 ， o ，1 5 ，2 0 ，4 7 ) ， o ，6 ，3 0 ，4 5 ) ， o ，9 ，3 4 ，4 7 t ，= 5 8 ：3 o ，1 ，3 ，7 ) ，3 t o ，1 ，4 ，1 4 ) ，( 0 is1 4 ) ， o ，2 2 ，2 9 ，4 9 ) ，【o ，1 6 ，2 5 ，3 9 ， o ，1 8 ，2 3 ，4 7 ) ， o ，1 9 ，3 1 ，3 7 ， o ，1 7 ，3 2 ，4 7 ， o ，5 ，2 6 ，3 4 ，【o ，8 ，3 6 ，5 6 ， o ，1 2 ，2 9 ，4 5 对m 中剩余的”，其相应设计的基区组集可见本文结尾的附录一 对大部分参数u ，用递推构造证明一个超单纯( t ，4 ，8 ) b i b d 的存在性时，会用到 引理3 1 - 3 4 中的超单纯( 口，4 ，8 ) b i b d 作为输入设计，还用到一些超单纯可分组设计作 为主设计或输入设计在文献【5 】5 和【6 】中我们已有以下结果t 引理3 5 存在一个组型为仇t 的超单纯( 4 ，a ) 一g d d ，其中 1 a = 2 ，t = 4 ，t o , = 2 ，4 ，5 ；2 入= 4 ，t = 4 ，竹l = 4 ，5 ，6 ，9 ； 3 a = 4 ，t = 5 ，m = 9 ；4 a = 1 ，t = 7 ，仇= 2 引理3 6 对任意t m = 8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ) ，存在一个组型为3 的超单纯( 4 ，8 ) g d d 证对任意t m ，取点集x = 瓦，组7 = 伴，t + i ，2 t + 毋：0 i t 1 ) 基区组 集b 如下面所示，其中每个基区组都是模3 t 循环展开的容易验证，僻，氕，8 ) 即为 所需的超单纯可分组设计 t = 8 ：5 o ，1 ，1 2 ，1 9 ，5 o ，1 4 ，1 7 ，i 9 ，5 i o ，7 ，1 7 ，2 2 ) ，5 i o ，1 1 ，1 5 ，2 0 ，t o ，3 ，9 ，1 4 ) ， 1 n 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第三章 超单纯( 口，4 ，8 ) 一b i b d 的存在性 ( i = 0 ，1 ) ， 0 ，1 ，7 ，2 0 ，【0 ，2 ，6 ，2 0 ，_ 【o ，2 ，4 ，1 4 ) ， o ，3 ，6 ，1 5 t = 9 ：4 【o ，1 ，2 ，5 ) ，4 o ，4 ，1 0 ，1 5 ) ，( 0 i 5 ) ， o ，1 ，7 ，8 ) ，【o ，5 ，7 ，1 2 ) ， o ，4 ，5 ，1 9 ，l 【o ，3 ，6 ，1 9 t = 1 0 ： o ，1 ，7 ，1 6 ) ， o ，4 ，1 1 ，2 2 ，分 o ，2 ，4 ，7 ) ，7 o ，1 ，9 ，2 7 ) ，( 0 i 3 ) ，【o ，5 ，1 2 ，1 7 ) ， 【o ，1 ，6 ，2 5 t = 1 1 ：【o ，1 ，2 ，5 ) ， o ，l ，7 ，3 1 ，( 0 i 9 ) t = 1 2 ：5 1 【o ，l ，2 ，5 ) ，5 【o ，1 ，3 ，7 ) ，5 ( o ，1 ，8 ，2 7 ，( 0 i 4 ) ，( o ，8 ，1 0 ，2 8 ) ， o ，1 5 ，3 0 ，3 3 ， o ，4 ，1 4 ，1 8 ) ，【o ，2 ，1 8 ，2 9 ， o ，6 ，8 ，1 5 ， o ，l ，1 5 ，2 8 ， o ，6 ，1 3 ，2 0 t = 1 3 ：【o ，l ，2 ，5 ) ， o ，1 ，3 ，9 ，( 0 l 1 1 ) 引理3 7 对任意t m = 5 ，6 ，7 ) ，存在一个组型为6 t 的超单纯( 4 ，8 ) g d d 证 对任意t m ，取点集x = z 6 t ，组咒= 作，t + i ，乳+ 口：0 ist 一1 ) 基区 组集b 如下面所示，其中每个基区组都是模6 t 循环展开的容易验证， 僻，氕，召) 即 为所需的超单纯可分组设计 t = 5 ：1 【o ，1 ，2 ，4 ，l o ，1 ，7 8 ) ，a = 0 ，1 ) ， o ，2 ，6 ，2 3 ， o ，1 ，9 ，2 8 ， o ，2 ，9 ，1 8 ) ， o ，6 ，9 1 2 ， o ，8 ，1 1 ，1 2 ， o 4 ，1 2 ，2 3 ) ， o ，2 ，1 4 ，2 6 ， o ，4 ，1 1 ，2 7 ) ， o ，8 ，2 1 ，2 4 ， o ，1 1 ，1 3 ，2 4 ， o ，8 ，1 4 ，1 6 ) ， o ，3 ，1 2 ，1 9 t = 6 ：1 1 o ，1 ，3 ，8 ) ，1 1 o ，1 ，4 ，1 1 ) ，( 0si 3 ) ， o ，5 ，2 1 ，3 2 ) ， o ，1 7 ，2 2 ，3 2 ) ， o ，9 ，1 3 ，1 7 ， o ，4 ，1 3 ，2 0 ) ，t o ，1 5 ，1 6 ，2 5 ， o ，8 ，1 5 ，2 9 ) ， o ，2 0 ，2 1 ，2 2 ， 0 ，2 ，1 0 ，1 9 ， o ，5 ，1 4 ，1 6 ， o ，9 ，1 9 ，3 4 ) ， o ，2 ，1 5 ，2 8 ， o ，5 ，1 3 ，2 7 t = 7 ：5 o ，1 ，3 ，9 ) ，【o ，1 ，4 ，1 2 ) ，5 o ，1 ，5 ，i x ，5 o ，3 ，1 6 ，2 2 ，( 0 i 5 ) 引理3 8 对任意9 m = 9 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，存在一个组型为9 4 的超单纯( 4 ，8 ) g d d 证 对任意9 m ，取点集x = 五f ，组符= 作，4 + i ，4 ( g - 1 ) + 疗：0si 3 ) 基 区组集8 如下面所示，其中每个基区组都是模幻循环展开的容易验证，7 l f ，聊 即为所需的超单纯可分组设计 1 1 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计 第三章 超单纯( u ，4 ，8 ) - b i b d 的存在性 9 = 9 ：1 1 【o ，1 ，1 1 ，2 6 ) ，1 1 o ，1 ，3 ，l o ，1 1 o ，1 ，2 ，7 ) ，( i = o ，1 ) ，【o ，7 ，1 3 ，2 2 ) ， o ，3 ，9 ，2 6 ) ， | 【o ，3 ，2 5 ，3 4 ， o ，5 ，1 0 ，2 3 ， o ，6 ，1 3 ，2 7 ) ，【o ，1 0 ，1 5 ，1 7 ， o ，6 ，7 ，2 5 ， o ，1 3 ，3 0 ，3 5 ) ， 0 ，2 ，3 ，1 7 ，【o ，3 ，1 8 ，3 3 ) ， o ，1 ，1 8 ，2 7 ， o ，3 ，2 2 ，2 9 9 = 1 1 ： o ，1 ，2 ，1 5 ， o ，l ，3 ，6 ) ，( 0 is4 ) ， o ，6 ，l i ，2 9 ，【o ，2 3 ，3 3 ，4 2 ， o ，7 ，3 0 ，3 3 ， 【o ，1 4 ，1 5 ，2 5 ) o ，2 1 ，3 8 ，4 3 ) ， o ，2 ，1 9 ，4 1 ) ，【o ，1 ，3 1 ，4 2 ) ， o ，1 ，7 ，3 4 ，【o ，3 ，2 5 ，3 4 ) ， o ，2 ，3 1 ，3 7 ， o ，9 ，1 4 ，2 7 ) ， 0 ，1 1 ，2 6 ，3 3 ) 9 = 1 3 ：5 o ，1 ，1 1 ，1 8 ) ，5 o ，l ，3 ，1 4 ，5 【o ，1 ，2 ，7 ) ，5 o ，1 ，1 5 ，2 6 ，5 【o ，1 ，3 5 ，4 2 ，5 ( o ，3 ，9 ，4 6 ， ( 0 i 3 ) ，- o ，6 ，1 3 ，x g ， o ，9 ，2 2 ，3 9 9 = 1 7 ： o ，1 ，1 i ，1 8 ) ， ， o ，1 3 ，1 4 ，4 2 ， o ，2 3 ，3 1 ，5 4 ) ， o ，1 6 ，2 8 ，5 1 ) ， o ，2 9 ，3 1 ，4 8 ， o ，3 4 ，5 1 ，5 7 ) ， o ，1 9 ，3 2 ，5 8 ) ， o ，1 3 ，3 4 ，4 8 引理3 1 0 存在个组型为9 5 的超单纯( 4 ，8 ) g d d 和组型为9 1 1 的超单纯( 4 ，4 ) 一g d d 证取点集x = 玩，组7 - t = a ，5 + i ，4 0 + i ) ：0 i 4 ) 基区组集召如下面所 示，其中每个基区组都是模4 5 循环展开的容易验证，伍，咒，召) 即为所需的超单纯 可分组设计，其中0 i 3 7 t o ，1 ，9 ，2 2 ) ，7 t 【0 ，3 ，4 ，1 1 ) ， o ，3 ，1 9 ，2 1 ) ， o ，2 7 ，3 8 ，4 1 ) ，分 o ，1 7 ，3 6 ，3 9 ) ，分【o ，1 6 ，2 4 ，3 8 ) 较大指数的超单纯平衡不完全区组设计第三章 超单纯( ，4 ，8 ) 一b i b d 的存在性 取点集x = z 9 9 ，组7 1 = 【i ，1 1 + i ，8 8 + t ) ：0 i l o 基区组集b 如下面 所示，其中每个基区组都是模9 9 循环展开的容易验证，伍，冗，_ b ) 即为所需的超单 纯可分组设计，其中0 i 4 o ，1 2 ，4 3 ，7 9 ，【o ，4 8 ，8 4 ，9 3 ，【o ，6 ，6 4 ，9 8 ， 0 ，1 9 ，2 1 ，9 5 ，f o ，2 9 ，3 7 ，8 9 ，乎【o ，1 3 ，3 9 ，5 3 ) 引理3 1 1 对任意g m = 7 ，8 ，1 1 ，1 3 ，1 7 ，2 3 ) ，存在一个组型为9 4 的超单纯( 4 ，4 ) 一 g d d 证 对任意9 m ，取点集x = z 幻，组7 1 = 他，4 + i ，4 ( g 一1 ) + 毋：0 i 3 ) 基 区组集8 如下面所示，其中每个基区组都是模4 9 循环展开的容易验证，( x ，何，8 ) 即为所需的超单纯可分组设计 9 = 7 ：3 o ，1 ，2 ，1 5 ，3 o ，2 ，5 ，t i ，3 o ，3 ，1 0 ，2 1 ，( i = 0 ，1 ) ，( 0 ，1 ，6 ，1 9 g = 8 ：1 5 o ，l ，2 ，7 ) ，1 5 o ，1 ，1 0 ，1 9 ，1 5 o ，1 ，2 7 ，3 0 ，1 5 o ，3 ，1 0 ，2 1 ) ，( i = 0 ，1 ) g = 1 1 ： o ，1 ，2 ，1 5 ， o ，2 ，1 1 ，2 1 ，( 05i 3 ) ，【o ，2 ，1 7 ，2 3 ) ， o ，3 ，6 ，2 5 ) ， o ，5 ，1 4 ，2 7 ) g = 1 3 ： o ，1 ，3 ，3 8 ) ， o ，2 ，1 1 ，2 5 ) ，( 0 i 4 ) ，f o