（应用数学专业论文）数值验证法证明超几何恒等式.pdf

摘要 摘要 通过验证有限项( n o n 亿1 ) 特殊值来证明超几何恒等式这一想法最早由 d o r o nz d l b e r g e r 于1 9 8 1 年提出，并由l i l yy e n 于1 9 9 3 年实现。自此，怎样估 计出尽量小的n 1 ，从而使得数值验证具有可行性，就成为人们感兴趣的研究课 题本文就主要研究了n 1 的估计，以及其中涉及的一些数值计算问题 一般来讲，n l 可表示成下述三个数值的简单函数t 欲证明等式中和式所满足 的递归关系的阶数l ，该递归关系中首项系数的最大非负整数根，以及其中所 有系数多项式的最高次数扎，本文的主要工作是在研究借助s i s t e rc e f i n e 算法 或z e i l b e r g e r 算法得到的具体的符号线性方程组的数值性质的基础上，提出了估 计和n ，的一个新方法，实例表明，我们的估计结果与之前的工作相比有了极 大的降低 与现有方法类似，我们通过研究符号线性方程组多项式解的次数和高度的上 界来估计n ，和礼d 不同的是，我们基于具体的方程组进行估计为此，我们首 先研究了多项式的次数和高度的一些基本性质，得出了估计多项式矩阵行列式的 次数和高度上界的公式，并对该公式的计算进行了讨论，特别是我们将次数上界 的计算转换成了组合优化中经典的指派问题，从而实现了高度上界的快速计算 接下来我们给出了一个估计符号线性方程组多项式解的次数和高度上界的算法 同时，借助该算法的部分结果，我们还给出了一个利用数值方法求解符号线性方 程组的算法 将上述估计符号线性方程组多项式解的次数和高度上界的算法与s i s t e rc e - l i n e 算法或z e i l b e r g e r 算法相结合，我们最终提出了一个估计n 1 的新方法，该 方法对g - 超几何恒等式同样有效大量实例表明，与以前的结果相比，我们的方 法极大的降低了对n l 的估计，尤其是对q - 超几何恒等式，我们的方法不仅能够 得到充分小的扎1 ，而且运行速度也很快，这就使得利用数值验证法证明超几何恒 i 摘要 等式具有了实际意义上的可行性 关键词：超几何恒等式，数值验证，次数，高度，s i s t e rc e l i n e 算法，z e i l b e r g e r 算法 a b s t r a c t a b s t r a c t n e s t u p e f y i n gi d e ao fp r o v i n gh y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e sb yc h e c k i n gaf i n i t e n u m b e ro fi t ss p e c i a lc a s e s ，s a yf o rn o 礼n l ，w a sf i r s tr e a l i z e db yd o r o n z e i l b e r g e ri n1 9 8 1 ，a n dt h e ni m p l e m e n t e db yl i l yy e ni n1 9 9 3 s i n c et h e n ， s e e k i n gas m a l lu p p e rb o u n df o rn 1s ot h a tt h en u m e r i c a lv e r i t i c a t i o ni sp r a c t i c a l h a sa t t r a c t e dr e s e a r c h e r s i n t e r e s t s t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ep r o b l e mo f e s t i m a t i n gn la n di n v o l v e dn u m e r i c a lc o m p u t a t i o ni s s u e s i ng e n e r a l ，e s t i m a t i n gn 1c o n s i s t so fe s t i m a t i n gt h r e en u m b e r s ：t h eo r d e rl o ft h er e c u r r e n c et h a tt h es u m m a t i o ni nt h ei d e n t i t ys a t i s f i e s ，t h el a r g e s tn o n - n e g a t i v ez e r o 钆口o ft h el e a d i n gc o e f i i c i e n to ft h er e c u r r e n c e ，a n dt h eh i g h e s td e g r e e n fo fa n yo ft h ec o e 伍c i e n tp o l y n o m i a l so ft h er e c u r r e n c e 锄c a nb ef o r m u l a t e d a sas i m p l ef u n c t i o no ft h e s et h r e en u m b e r s i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s ean e w a p p r o a c ht oe s t i m a t e 礼oa n d 佗，w l f i c h ，a se x a m p l e si n d i c a t e ，a r ec o n s i d e r a b l y s m a l l e ri nc o m p a r i s o nw i t hp r e v i o u sr e s u l t s o u ra p p r o a c hr e l i e sl a r g e l yo nt h e s t u d yo ft h en u m e r i c a la s p e c t so ft h ec o n c r e t es y m b o l i cl i n e a rs y s t e m sp r o d u c e d b yt h ec l a s s i cs i s t e rc e l i n e sm e t h o da n dz e i l b e r g e r sa l g o r i t h m a sp r e v i o u sw o r k ，w ee s t i m a t en 口a n dn ，be v a l u a t i n gu p p e rb o u n d so f t h ed e g r e ea n dh e i g h to fp o l y n o m i a ls o l u t i o no ft h es y m b o l i cl i n e a rs y s t e ma l s o ， w h i l eo u ra p p r o a c hi sd i s t i n g u i s h e db yt h ee x p l o r a t i o no ft h ec o n c r e t es y s t e m s t ot h i se n d ，w ef i r s ti n t r o d u c es o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ed e g r e ea n dh e i g h t o fp o l y n o m i a l s ，a n dd e r i v eu p p e rb o u n d sf o r m u l a sf o rt h ed e g r e ea n dh e i g h to f t h ed e t e r m i n a n to fap o l y n o m i a lm a t r i x c o m p u t i n gi s s u e so ft h e s et w of o r m u l a s a r ea l s od i s c u s s e d ，w h e r e ，e s p e c i a l l y , w ea t t a c kt h ec o m p u t a t i o no ft h ed e g r e e b o u n db yi n t e r p r e t i n gi ti n t oac l a s s i c a lc o m b i n a t o r i a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，t h e a s s i g n m e n tp r o b l e m t h e nw ep r e s e n ta na l g o r i t h mf o re s t i m a t i n gt h eu p p e r b o u n d so ft h ed e g r e ea n dh e i g h to ft h ep o l y n o m i a ls o l u t i o no fas y m b o l i cl i n e a r s y s t e mo fe q u a t i o n s a sab y p r o d u c t ，w eo f f e ram e t h o df o rn u m e r i c a l l ys o l v i n g i i i a b s t r a c t s y m b o l i cl i n e a rs y s t e m s c o m b i n i n gt h ea b o v ed e g r e ea n dh e i g h tb o u n de s t i m a t i n ga l g o r i t h mw i t h s i s t e rc e l i n e sm e t h o do rz e i l b e r g e r sa l g o r i t h m ，w ef i n a l l yp r o p o s ean e wa p - p r o a c ht od e r i v es h a r p e rb o u n d sf o r 佗口a n dn ，a n dc o n s e q u e n t l ys m a l l e rn 1 o u r a p p r o a c hi sa l s oa p p l i c a b l et oq - h y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e s w et e s to u rm e t h o d w i t hp l e n t yo fe x a m p l e s i nc o m p a r i s o nw i t hp r e v i o u sr e s u l t s ，o u re s t i m a t i o n so f n la r eg r e a t l yr e d u c e d i na d d i t i o n ，f o rt h eqc a s e ，o u ra l g o r i t h mn o to n l yp r o - d u c e sp r a c t i c a lb o u n d sf o rn l ，b u ta l s or u n sq u i c k l y , w h i c hi m p l i e st h a tt h ei d e a o fp r o v i n gh y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e sb yn u m e r i c a lv e r i f i c a t i o n sh a sr e a l l yb e e n f e a s i b l e k e y w o r d s ：h y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e s ，n u m e r i c a lv e r i f i c a t i o n ，d e g r e e ，h e i g h t ，s i s - t e rc e l i n e sm e t h o d ，z e i l b e r g e r sa l g o r i t h m i v 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：孟甲碾呀 川年歹月3 1 日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) l 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) l。，。，。一。、。j 崦 岔 犁竺孙阳 签 f 秘净一 储哆 姊 w 论 倒 剿 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n d c o m p u t e rp r o o f s ，o ra u t o m a t e dp r o o f s ，o fh y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e si saf a i r l y r e c e n ts u b j e c t i tw a si n i t i a t e db ys i s t e rc e l i n ef a s e n m y e r 【2 6 ，2 7 ，2 8 ，a n d f l o w e r e ds i n c es e r i e so fw o r kc o n t r i b u t e db yz e i l b e r g e r 【7 6 ，7 7 ，7 s a n do t h e r r e s e a r c h e r s 3 1 ，6 8 ，6 9 ，5 1 s i s t e rc e l i n e sm e t h o d ，d e v e l o p e di ns i s t e rc e l i n ef a s e n m y e r sd o c t o r a ld i s - s e r t a t i o nf 2 6 1o f1 9 4 5u n d e rt h es u p e r v i s i o no fr a i n v i l l e ，a n dt w ol a t e rp a p e r s 2 7 ，2 8 1 ，i st h ef i r s tc o m p u t e r i z a b l em e t h o df o rf i n d i n gp u r er e c u r r e n c er e l a t i o n s t h a ta r es a t i s f l e db ys u m s a ne x p o s i t i o no ft h i sm e t h o di si nc h a p t e r1 4o f r a l n v i u e sb o o kf 5 6 1 a l t h o u g ht h i sm e t h o di su s u a l l ys l o w e rt h a nt h em o r e r e c e n tz e i l b e r g e r sa l g o r i t h m ，i ti sa l s oi m p o r t a n tb e c a u s ei th a sy i e l d e dt h e f u n d a m e n t a lt h e o r e mf o rt h ee x i s t e n c eo ft h er e c u r r e n c es a t i s f l e db yh y p e r g e o - m e t r i cs u m s ，w h i c hs t a t e st h a te v e r yp r o p e rh y p e r g e o m e t r i ct e r ms a t i s f i e sak - f r e e r e c u r r e n c er d a t i o n t h ef u n d a m e n t a lt h e o r e mu n d e r l i e st h el a t e rd e v e l o p m e n t s t h i st h e o r e ma l s og e n e r a l i z e st om u l t i v a r i a t es l l i n ，a n dt oq - a n dm u l t i - q - s u m s 【6 9 】i th a sa l s ob e e np r o v e dr e c e n t l yt h a tah y p e r g e o m e t r i ct e r mh a sa k - f r e e r e c u r r e n c ei fa n do n l yi fi ti sp r o p e ri1 2 ，1 3 ，3 5 ，3 6 1 g o s p e r sa l g o r i t h m 【3 0 ，3 1 】( s e ea l s o 【3 2 ，5 4 ，4 0 ) i so n eo ft h el a n d m a r k s i nt h e t h e o r yo fc o m p u t e r i z a t i o no fc l o s e df o r ms u m m a t i o n i tp l a y sar o l et os u m m a t i o n a sf i n d i n ga n t i d e r i v a t i v e si st oi n t e g r a t i o n i tn o to n l yd e f i n i t i v e l ya n s w e r st h e q u e s t i o nt h a tw h e t h e ro rn o tag i v e nh y p e r g e o m e t r i ct e r mc a nb ei n d e f i n i t e l y s u m m e d ，b u ta t s oi sv i t a li nt h eo p e r a t i o no fz e i l b e r g e r sa l g o r i t h ma n dw z m e t h o d g o s p e r sa l g o r i t h mh a sb e e ng e n e r a l i z e dt oq - c a s e 4 2 ，m u l t i b a s i cc a s e 1 a n dm i x e dc a s e 1 8 ，e t c p a u l e 【4 9 】a l s op r o p o s e dan e wa p p r o a c ht oi n d e f i n i t e h y p e r g e o m e t r i cs u m m a t i o nw h i c hl e a d st ot h es a m ea l g o r i t h ma sg o s p e r sb yt h e n o t i o no fg r e a t e s tf a c t o r i a lf a c t o r i z a t i o n ( g f f ) z e i l b e r g e r sa l g o r i t h m 【7 7 ，7 s ，e x t e n d e df r o mg o s p e r sa l g o r i t h mb yd o r o n z e i l b e r g e r ，a l s ok n o w na st h em e t h o do fc r e a t i v et e l e s c o p i n g ，i sa g a i nf o rf i n d i n g r e c u r r e n c er e l a t i o n st h a ta r es a t i s f i e db yd e f t n i t es u m s ，t h es a m ej o ba ss i s t e r c e l i n e 8m e t h o dd o e s b u ti td o e st h a tj o bag r e a td e a lf a s t e r z e i l b e r g e r s a l g o r i t h mo c c u p i e sac e n t r a lp o s i t i o ni nt h es t u d yo fd 印n i t es u l n s ，i th a sm a d e t h ec o m p u t e r i z e dp r o o f so faw h o l eg e n e r a t i o no fi d e n t i t i e sp o s s i b l e z e i l b e r g e r s a l g o r i t h mc 姐a l s ob ee a s i l ya d a p t e d t ot h eq - c a s e 【6 9 ，4 2 ，5 0 ，1 9 t h et e r m i n a t i o n p r o b l e mo f ( q - ) z e i l b e r g e r sa l g o r i t h mh a sj u s tb e e n 缸e dq u i t er e c e n t l yb ys e v e r a l r e s e a r c h e r s 【5 ，6 ，9 ，1 4 ，2 0 ，4 4 r l l a ts i s t e rc e l i n e sm e t h o da n dz e i l b e r g e r 8a l g o r i t h mc a np r o d u c ei sa r e c u r r e n c et h a tt h es u ms a t i s f i e s ，a n di ti sv e r yl i k e l yt h a tt h er e c u r r e n c eh a p p e n s n o tt ob eo ff i r s to r d e r ，i nw h i c hc a s e ，w en e e ds o m et e c h n i q u e st of i n dt h e “s i m p l d s o l u t i o no ft h er e c u r r e n c e t h i sp r o b l e mh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e df o rb o t h o r d i n a r ya n d 口r e c u r r e n c er e l a t i o n si np i l e so fl i t e r a t u r e ，a n db u n d l e so fa l g o r i t h m s h a v eb e e np r o p o s e df o rf i n d i n gt h ep o l y n o m i a ls o l u t i o n 5 2 ，8 ，r a t i o n a ls o l u t i o n 【2 ，3 ，4 ，7 ，2 1 ，6 4 】，h y p e r g e o m e t r i cs o l u t i o n 【5 2 ，1 0 ，5 3 ，2 2 ，a n dt h em o r eg e n e r a l d a l e m b e r t ；i a ns o l u t i o n1 1i s u m m a r i z i n g ，t h ea b o v ec l a s s i c a la l g o r i t h m so fc o m p u t e rp r o o f so fi d e n t i t i e s a r ei nt h ef o l l o w i n gf r a m e w o r k ，w h i c hw a sr e c o g n i z e db yz e i l b e r g e r 7 6 ： p r o v i n ga ni d e n t i t yl i k e f ( n ，七) = ，( 礼) 七 c a nb ep e r f o r m e di nt h ef o l l o w i n gs t e p s 1 f i n dar e c u r r e n c er e l a t i o nt h a ti ss a t i s f i e db yt h es u m m a t i o no nt h el e f t h a n ds i d e 2 s u b s t i t u t e ，( n ) i n t ot h es a m er e c u r r e n c et ov e r i f yt h a ti ts a t i s f i e st h es a m e r e c u r r e n c e 3 c h e c kt h a tb o t hs i d e sa g r e ef o re n o u g hc o r r e s p o n d i n gi n i t i a lv a l u e s s t e p1i sj u s tt h em i s s i o no fs i s t e rc e l i n e sm e t h o da n dz e i l b e r g e r sa l g o - r i t h m g o s p e r sa l g o r i t h mc a nf i n d ( n ) d i r e c t l yf r o mf ( n ，k ) i ff ( n ，k ) i s 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n g o s p e r - s u m m a b l e ，w h i l ea l g o r i t h m sf o rs o l v i n gr e c u r r e n c e sc a nf i n df ( n ) f r o m t h er e c u r r e n c et h a t ，( n ) s a t i s f i e s b e y o n dt h ea b o v et r a d i t i o n a lf r a m e w o r k ，a n o t h e rs t u p e f y i n gi d e a ，p r o v i n g i d e n t i t i e sb yn u m e r i c a lv e r i f i c a t i o n ，a l s oa r o s e i tw a sz e i l b e r g e r 7 5 ，7 6 1w h of i r s tr e a l i z e dt h a tw h e nh es t u d i e ds i s t e rc e - l i n e sm e t h o db ym e a n so fs t a n l e y sn o t i o n so fp r e c u r s i v e n e s sa n dd a n i t e n e s s 【6 1 】h i so r i g i n a li d e aw a st oc o n t e n dt h a te v e r yi d e n t i t yi n v o l v i n gs u m so fp r o d - u c t so fb i n o m i a lc o e t t i c i e n t sc a nb ev e r i f i e db yc h e c k i n gaf i n i t en u m b e ro fi t s s p e c i a lc a s e s ，s a yf o r 伽sn n 1 h e r ew ea d o p tt h en o t a t i o nn la su s e do r i g i - n a l l yb yl i l yy e ni nh e rd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 7 3 1o f1 9 9 3u n d e rt h es u p e r v i s i o n o fh e r b e r tw 越o fc o u r s e ，f o rag i v e ni n t e g e r 钆，t h ei d e n t i t yi si m m e d i a t e l yv e r = 进e d s i n c ei nt h et r a d i t i o n a lf r a m e w o r k g e t t i n gr e c u r r e n c er e l a t i o n ss a t i s f i e db y h y p e r g e o m e t r i ct e r m sb ys i s t e rc e l i n e sm e t h o do rz e i l b e r g e r sa l g o r i t h ma l w a y s i n v o l v e ss o l v i n ga ( g e n e r a l l yl a r g e ) s y m b o l i cl i n e a rs y s t e mo fe q u a t i o n sa n dc a n b ep r o h i b i t i v e l yd i f f i c u l to nac o m p u t e r 【7 9 】t h ep o s s i b i l i t yo fc h e c k i n gaf i n i t e n u m b e ro fc a s e sn u m e r i c a l l yi sv e r ya p p e a l i n gi n d e e d f o l l o w i n gt h eg e n e r a li d e at h a tt h ee s t i m a t ef o rn 1i ss a f ei fi ti st h eo r d e r o ft h er e c u r r e n c ep l u st h es i z e o ft h el a r g e s tn o n - n e g a t i v ez e r oo ft h el e a d i n g c o e f f i c i e n to ft h er e c u r r e n c ep l u st h eh i g h e s td e g r e ei nno fa n yo ft h ec o e f f i c i e n t p o l y n o m i a l s ，l i l yy e n 【7 2 ，7 3 e s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c eo fn l ，a n da l s og a v et h e 缶s top r i o r ie s t i m a t e so fn 1f o rh y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e s h o w e v e rh e re s t i m a t e s a r ee x t r e m e l yt o ol a r g et ob ep r a c t i c a l - s i z e dc o m p u t a t i o n s 【5 4 ，a n di tn a t u r a l l y b e c a m ea ni n t e r e s t i n gq u e s t i o nt h a th o ws m a l lw ec a ni n a k et h ee s t i m a t eo fn 1 i n al a t e rp a p e r 【z 4 ，y e n8 1 8 0s h o w e dt h a tt h ee s t i m a t e so fn lf o rq - h y p e r g e o m e t r i c i d e n t i t i e sc a nb es p e c t a c u l a r l yr e d u c e db e c a u s eo ft h eg e n e r i cv a r i a b l e “口，w h i c h e l i m i n a t e st h ev a n i s h i n go ft h eh i g h e s tc o e f f i c i e n to ft h er e c u r r e n c e i n2 0 0 3 ，t h e e s t i m a t e so fn 1f o rq - i d e n t i t i e sw e r ef u r t h e rg r e a t l yr e d u c e db yz h a n ga n dl i 8 2 ， a n d z h a n g 【8 0 ，8 1 ，w h i c he m p l o y e dt h ef a m o u sw u se l i m i n a t i o nm e t h o d 【7 0 ，7 1 a sy e n 7 3 p o i n t e do u t ，“i fm o r ei sk n o w na b o u tt h el i n e a rs y s t e mo fe q u a - t i o n s ，t h es i z eo fn 1c a nb eg r e a t l yr e d u c e d ”w b 【3 3 】t r i e dt od i go u tm o r ei n - f o r m a t i o nf r o mt h ec o n c r e t el i n e a rs y s t e m so b t a i n e df r o ms i s t e rc e l i n e sm e t h o d o rz e i l b e r g e r sa l g o r i t h i n ，a n dd e r i v e ds h a r p e rb o u n d so fn 1f o rb o t ho r d i n a r y a n dq - h y p e r g e o m e t r i ci d e n t i t i e s t h e s eb o u n d sh a v em a d et h ev e r i t i c a t i o n sm o r e f e a s i b l ei nc o m p a r i s o nw i t hp r e v i o u se s t i m a t i o n s f o ri n s t a n c e ，w eg e tn 124 a n d 礼1 = 1 2 0 9 1f o ri d e n t i t y 七( ：) = 2 na n d 七( ：) 2 = ( 哿) ，w h i l et h eb o u n d s r e t u r n e db yy e nf 7 2 】a r e1 0 1 1a n d1 0 1 1 5r e s p e c t i v e l y f o rt h eq o c h u - v a n d e r m o n d e 3 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i d e n t i t y , o u ra p p r o a c hr e t u r n sn l = 2 5 ，w h i l ey e n 7 4 a n dz h a n g 8 0 r e t u r n2 3 5 8 a n d1 9 1r e s p e c t i v e l y t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nt h en e x ts e c t i o n w ep r o v i d es o m en o t a - t i o n sa n db a s i cd e f i n i t i o n st h a ta r eu s e dt h r o u g h o u tt h ee n t i r et h e s i s i nc h a p t e r 2 ，w ew i l li n t r o d u c et h ed e g r e ea n dh e i g h to fp o l y n o m i a l s ，t h ev e r yi n f o r m a t i o n w ed i go u tf r o mt h es y s t e m ，a n dp r e s e n ta na l g o r i t h mf o re s t i m a t i n gt h eu p p e r b o u n d sf o rt h ed e g r e ea n dh e i g h to ft h ep o l y n o m i a ls o l u t i o no fas y m b o f i cl i n e a r s y s t e mo fe q u a t i o n s c o m p u t i n gi s s u e si n v o l v e di nt h ea l g o r i t h ma r ed i s c u s s e d a sw e l l a sab y p r o d u c t w ea l s oo f f e ram e t h o df o rn u m e r i c a l l ys o l v i n gs y m b o h c l i n e a rs y s t e m i nc h a p t e r3 ，w ew i l ls h o wt h ef l o wo f d e r i v a t i o no fn lb ya p p l y i n g o u rm e t h o dt ot h el i n e a rs y s t e m so b t a i n e df r o mb o t hs i s t e rc e l i n e sm e t h o da n d z e i l b e r g e r sa l g o r i t h m p l e n t yo fe x a m p l e sa r ep r e s e n t e di nt h ee n d 1 2n o t a t i o n sa n db a s i cd e f i n i t i o n s i nt h i ss e c t i o n ，w er e c a l ls o m en o t a t i o n sa n db a s i cd e f i n i t i o n si nt h et h e s i s a su s u a l ，w ed e n o t et h es e to fi n t e g