（应用数学专业论文）混沌系统的同步控制研究.pdf

摘要 在这篇文章中，我们主要研究了混沌系统的同步控制问题， 第一、研究了一类具有非线性输入的混沌系统的跟踪控制问 给出了改进的跟踪控制器设计方法该方法使得误差空间任一点 动模态，并沿着切换面渐近到达原点，以达到跟踪目的与现有 性小，从而削减了滑动模态的抖振对d u l l i n g h o l m e s 系统进行的数值仿真结果验 证了所设计方法的有效性和可行性 第二、研究了一类时滞混沌系统的指数同步控制问题利用压缩映射和微分不等式技 巧，给出了指数同步的充分条件，得到了同步控制器的设计方法由于不使用l y a p u n o v 函数，避开了复杂的求导和放大运算，计算简单，所得结果保守性小该方法也可以用来 解决其他类型混沌系统的同步问题对时滞l o r e n z 系统和时滞超c h e n 系统的数值仿真 结果验证了所给方法的有效性和可行性 第三、研究了一类含不确定项的离散混沌系统的函数射影同步控制问题通过构造动 态补偿器，有效地抑制了不确定项的影响并利用状态变换，巧妙地证明出误差系统渐近 稳定，从而达到同步的目的与已有文献相比，本章所给控制器设计方法简单可行，有一定 的计算技巧通过对含不确定项的h d n o nm a p 系统和r s s s l e r 系统的分析和数值模拟， 验证了该方案的有效性和可行性 关键词：混沌系统，跟踪控制，指数同步，函数射影同步 i i a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lp r o b l e m sf o rc h a o t i cs y s - t e m s t h e r ea r et h r e es e c t i o n s ： f i r s t l y , t h et r a c k i n gc o n t r o lp r o b l e mo fc h a o t i cs y s t e ms u b j e c tt on o n l i n e a ri n p u ti s i n v e s t i g a t e d b yu s i n gv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lt h e o r y , as w i t c h i n gs u r f a c ei si n t r o d u c e d t oe n s u r et h es t a b i l i t yo ft h ee r r o rd y n a m i c si nt h es l i d i n gm o d e b a s e do nt h es w i t c h i n g s u r f a c e ，i m p r o v e dt r a c k i n gc o n t r o l l e ri sd e r i v e dt og u a r a n t e et h eo c c u r r e n c eo ft h es l i d i n g m o t i o n c o m p a r e dw i t ht h ep r e s e n tr e s u l t s ，t h ec o n t r o l l e rd e s i g n e dh e r eh a sl e s sc o n s e r v a - t i o na n db e t t e re q u i l i b r i u m n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sr e s u l t so nd u f f i n g h o l m e ss y s t e m a r ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h ev a l i d i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s e c o n d l y , t h ee x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lp r o b l e mo fc h a o t i cs y s t e mw i t h t i m e - d e l a yi si n v e s t i g a t e d b yu s i n gc o n t r a c t i o nm a p p i n ga n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yt e c h - n i q u e ，an e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o re x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o na n ds y n c h r o n i z a t i o nc o n - t r o l l e ra r ed e r i v e d d u et ot h eu s e l e s so fl y a p u n o vf u n c t i o n ，t h ec o m p l e xd e r i v a t i o na n d e n l a r g ec o m p u t i n ga r ea v o i d e d ，a n dc o m p u t i n gi ss i m p l e ，t h ec o n s e r v a t i v eo fr e s u l t sa r e i m p r o v e d t h i sm e t h o dc a nb ea p p l i e dt os o l v i n gt h es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e m so fo t h e r c h a o t i cs y s t e m s s o m es i m u l a t i o nr e s u l t so nl o r e n zs y s t e ma n dh y p e r c h a o t i cc h e ns y s t e m a r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d a tl a s t ，t h ef u n c t i o np r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lp r o b l e mo ft h ed i s c r e t e - t i m e c h a o t i cs y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t yi si n v e s t i g a t e d b yc o n s t r u c t i n gd y n a m i cc o m p e n s a t o r ， i i i t h ee f f e c to fu n c e r t a i n t yi si n h i b i t e ds u c c e s s f u l l y , a n db yu s i n gs t a t et r a n s f o r m a t i o n ，t h e s t a b i l i t yo fe r r o rs y s t e mi sv e r i f i e ds k i l l f u l l y t h u s ，t h es y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m s i sa c h i e v e d c o m p a r e dw i t ht h ep r e s e n tr e s u l t s ，t h ep r o p o s e dm e t h o di ss i m p l ea n df e a s i - b l e ，a n dh a v es o m ec a l c u l a t i o ns k i l l s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sr e s u l t so nh d n o nm a ps y s t e m a n dr 5 s s l e rs y s t e ma r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n df e a s i b i l i t y k e yw o r d s ：c h a o t i cs y s t e m ，t r a c k i n gc o n t r o l ，e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ，f u n c t i o n p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n i v 摘要 a b s t r a c t 目录 i i i i 第一章引言 1 1 1 混沌系统和混沌控制简介 1 1 2 研究课题简介 2 具有非线性输人的混沌系统的跟踪控制 问题的描述 滑动模态设计 变结构控制器设计 仿真算例 结论 时滞混沌系统的指数同步控制 问题的描述 混沌同步控制器设计 仿真算例 结论 含不确定项的离散混沌系统的函数射影同步控制 问题的描述 控制器的设计 仿真算例 结论 v 5 5 6 6 9 抡 墙 坞 m 均 牡 殂 毖 船 卯 凹 立早叭 勉 粥拟 拍 章趴 弛 粥 姒 章 讹 们“ 论 二 三5 四 第 第 第 结 参考文献 致谢 攻读学位期间发表的学术论文目录 独创性声明 v i 3 1 3 5 3 7 3 9 第一章引言 第一章引言帚一早ji 昌 1 1 混沌系统和混沌控制简介 混沌是非线性系统普遍存在的现象它的运动轨迹非常复杂但又不完全随机混沌系 统是一种特殊的非线性系统，是遵循确定性动力学机制的随机系统，有着自身的复杂性与 奇异性，譬如对初值的极度敏感性、运动的不可测性、所有状态的有界性、非周期性等等 虽然混沌现象早在2 0 世纪初就已经被法国学者庞加莱发现，但当时并没有引起学术界的 极大关注直到1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n z 在对流实验中发现了第一个混沌吸引子 【1 】，l o r e n z 吸引子为混沌研究提供了一个重要模型，揭开了混沌研究的序幕 1 9 9 9 年， 陈关荣等人发现了一个类似于l o r e n z 系统但与其不拓扑等价的混沌吸引子【2 】一c e n 系 统吸引子2 0 0 2 年，吕金虎和陈关荣发现了具有连接l o r e n z 系统和c h e n 系统的另一 个混沌吸引子【3 】一l 也系统同年，吕金虎和陈关荣提出了一个新的混沌系统一统一混沌 系统 4 , 5 1 ，它仅用一个参数将l o r e n z 系统、c h e n 系统和l 诅系统联系起来这个新的统 一混沌系统用方程表示为： 5 口+ l o ) ( x 2 一x 1 ) 8 3 5 c ) x l + ( 2 9 a 一1 ) x 2 一x l x 3 ， ( 1 1 ) 8 + q x 2 一_ z 3 u 其中z 1 ，z 2 ，z 3 是系统( 1 1 ) 的状态变量，q 是系统参数，当o z 0 ，1 】时，系统( 1 - 1 ) 呈 现混沌态，a 由0 逐渐增加到1 时，系统( 1 1 ) 也由l o r e n z 系统逐渐过渡到l f i 系统最 后到c h e n 氏系统当0 o l 0 8 时，系统( 1 1 ) 为广义l o r e n z 系统，满足a 1 2 a 2 1 0 ； 当0 8 q 1 时，系统( 1 1 ) 为广义c h e n 系统，满足a 1 2 a 2 1 o ；而当a = 0 8 时，系统 ( 1 1 ) 为广义l i i 系统，满足a 1 2 a 2 1 = 0 ；参数值a 取0 时，方程为经典的l o r e n z 混沌系 统这一系统具有广泛的应用价值，为混沌控制的研究提供了新的数学模型和新的思路 其中l o r e n z 系统的混沌相位图见图3 1 人们在对各种混沌现象产生的机理进行研究，不断加深和统一对混沌的理解的同时， 也逐渐认识到混沌运动对一些系统带来的影响，如混沌运动会使机电系统或电路产生不规 1 q q 观 = = = 1 2 3 z z z ，l-_jl_【 混沌系统的同步控制研究 则的振荡，导致系统运动完全偏离目标等一些混沌甚至会给系统带来灾难性的后果因 此在某些实际系统中，控制混沌是非常重要的混沌控制与经典的控制不同，混沌控制的 共同特点是尽可能利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的从控制原理来看，混沌 控制方法大体可分为反馈控制和无反馈控制两大类反馈控制中，反馈的对象可以是系统 参数、系统变量、外部参数等也就是利用与时间有关的连续小微扰作为控制信号，当微 扰趋于零或变得很小时，则将实现对特定所需的周期轨道或非周期轨道的稳定控制如自 适应控制法等无反馈控制与一些特定轨道无关，因而当实现了系统控制时，受控激励信 号并不趋于零，施加控制后的系统，其动力学行为可能与原动力学行为有较大的差别，即 产生了新的动力学行为典型的控制法如参数共振微扰法、弱周期微扰控制法等 基于混沌系统对初始条件的极端敏感依赖性并由此带来的最终不可预测性，科学家也 已经逐渐意识到混沌控制研究的重要性1 9 9 0 年，美国m a r y l a n d 大学的o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 提出一种比较巧妙和新颖的参数微扰方法，人们称之为o g y 方法【6 】；同年，该 校的d i t t o 等人【7 】利用o g y 方法首次在磁弹体上实现了对不动点的稳定控制；也是在 这同一年，美军海军实验室的p e c o r a 和c a r r o l l 8 】提出混沌同步原理并首次在电子线路上 实现揭开了混沌控制的序幕近年来，混沌控制在抑制或消除某些类型的混沌、通过控 制达到新的动力学行为、消除多重的混沌吸引子以及实现两个或多个相同动力系统的周期 同步、混沌同步及其控制等领域的研究受到了人们广泛的关注出现了很多混沌控制的方 法，主要有：自适应控制法 0 - 1 1 】、激活控制法 1 2 - 1 4 、基于后推设计控制法d 5 - 1 7 、变 结构控制法 1 8 - m 】和其他方法 2 2 - 2 6 等，不少方法也取得了良好的控制效果 1 2 研究课题简介 大多数混沌控制方法都存在这样的假设，即控制输入都是线性的，而在现实生活中由 于系统物理器件的限制，不可避免的存在非线性控制项，非线性控制的存在会导致控制混 沌时产生振动，降低控制速度等不良效果文献 2 7 3 1 利用变结构控制方法考虑了具有 非线性输入的混沌系统的同步控制问题但文献 2 7 3 1 】的条件过于保守，控制器设计 时用的都是各项的绝对值，滑动模态会产生剧烈抖振为了克服上述缺点，本文第二章基 于变结构控制方法研究了具有非线性输入的混沌系统的跟踪控制问题给出了改进控制器 的设计方法与文献【2 7 3 1 相比，该控制器保守性小，有效地抑制了滑动模态的抖振 2 第一章引言 另外，时滞是自然界的普遍现象，时滞混沌系统的研究越来越受到学者的关注目前 这方面的工作，大都采用带时滞的非线性反馈抵消时滞的影响，或设计带积分的l y a p u n o v 函数和线性矩阵不等式( l m i ) 方法，如文献 3 2 3 6 】这种方法要经过复杂的求导、放大 运算，把控制器设计化成一个线性矩阵不等式的求解问题，所得结论保守性较大本文在 第三章提出了时滞混沌系统的指数同步控制问题利用压缩映射和微分不等式技巧，给出 了指数同步的充分条件该方法不涉及带积分的l y a p u n o v 函数的复杂运算，计算简单， 所得结论保守性小 文献【3 7 - 4 0 介绍了连续混沌系统的函数射影同步控制问题函数射影同步比射影同 步的定义更加广泛，与射影同步相比，函数射影同步意味着主从系统的每个状态可同步到 个标量函数，而不是一个常数标量函数的不可预测性使得函数射影同步应用在通信上 更加安全可靠但事实上，神经网络，生物过程，物理过程和化学过程中的许多数学模型 都是用离散动态系统描述的，因此研究离散混沌系统的同步更有实际意义文献 4 1 基 于后推设计控制法研究了参数不确定的离散混沌系统的函数射影同步，本文第四章在文献 4 l 】的基础上进一步研究了含不确定项的离散混沌系统的同步控制问题通过构造动态补 偿器，给出了新的同步控制器设计方法与文献 4 1 相比，该控制器设计方法简单可行， 有一定的计算技巧 3 混沌系统的同步控制研究 4 第二章具有非线性输入的混沌系统的跟踪控制 第二章具有非线性输人的混沌系统的跟踪控制 本章在文献 2 7 3 1 】的基础上分析和研究了一类具有非线性输入的混沌系统的跟踪 控制问题基于变结构控制理论，给出了改进的控制器设计方法，该方法使得误差空间任 一点出发的运动都能到达切换面，并沿着切换面渐近到达原点，以达到跟踪目的与文献 2 7 3 1 】相比，该控制器保守性小，有效地抑制了滑动模态的抖振最后的仿真也验证了 这一点 2 1 问题的描述 考虑具有非线性控制输入的混沌系统： 叠t ( 。) = z i + 1 ( 。) ，= 1 ，2 ，几一1 ，( 2 - i ) i 磊( ) = ，( x ( 亡) ，t ) + a f ( x ( t ) ，t ) + ( “( ) ) 其中x ( t ) = x l ( 亡) ，x 2 ( 亡) ，z n ( t ) 】t = z ( ) ，圣( 亡) ，z ( n - 1 ) ( t ) t 舻是系统( 2 - 1 ) 的 状态向量， ，( x ( t ) ，t ) 是非线性函数，a f ( x ( t ) ，t ) 为不确定项且满足i a f ( x ( t ) ，芒) i q i i x m 咖( u ( 亡) ) 是系统的非线性控制输入，且( o ) = 0 u 一( u ( ) ) 是包含在扇形k ，纠 内的连续非线性函数即 ( u 2 ( t ) u ( t ) ( u ( ) ) p u 2 ( t ) ，0 e p ( 2 - 2 ) 例如( 乱( 亡) ) = 0 6 + o 3 s i n ( u ( t ) ) u ( t ) ，其图象如图2 1 所示 本章的目的是设计控制器，使系统( 2 1 ) 渐近跟踪一个任意给定的n 维期望信号 托( ) = 锄( ) ，z d 2 ( ) ，x d n ( t ) t = i x d ( ) ，疵( ) ，z ，。1 ( t ) 】t 定义跟踪误差 e ( t ) = x ( t ) 一x d ( t ) = z ( t ) 一z d ( ) ，圣( ) 一叠d ( ) ，z 一1 ( 亡) 一z ，一1 ( t ) 】t = e ( t ) ，邑( 亡) ，e ( n 一1 ) ( t ) 】t 5 混沌系统的同步控制研究 则误差方程为 = e l ( ) ，e 2 ( t ) ，e n ( t ) 】r 邑( ) = e i + l ( t ) ，i = 1 ，2 ，钆一1 ， e n ( t ) ：，( x ( ) ，) + a f ( x ( t ) ，t ) + ( u ( ) ) 一z ( ) ( 2 - 3 ) 于是跟踪问题就归结为误差系统( 2 - 3 ) 的渐近稳定问题即j i mi i e ( t ) l i = j i mi i x ( t ) 一 z p o o x d ( ) i | = 0 2 2 滑动模态设计 考虑到系统( 2 - 1 ) 和( 2 - 3 ) 中含有不确定项，我们采用滑动模态控制，借助滑动模态 的不变性来保证1 i ml ie ( t ) l i = 0 的实现 定理2 1 取切换函数 s ( t ) = e n ( t ) + c 4 e i ( t ) ( 2 - 4 ) 其中q 满足h u r w i t z 条件则滑动模态渐近稳定 证明：令s ( t ) = 0 ，有 佗一1 e n ( t ) = 一c i e i ( ) ( 2 - 5 ) i = 1 于是，滑动模态方程为： 色( ) = e 件l ( t ) ，i = 1 ，2 ，佗一2 竹一1 邑n 一1 ( 亡) = e n ( t ) = 一( 亡) l = 1 由于q 满足满足h u 7 1 w i t z 条件，所以t 1 i r a o ol ie ( 0 1 1 = 0 ，即滑动模态渐近稳定 2 3 变结构控制器设计 通过切换函数的设计，解决了切换面上的控制问题于是本章的控制问题就归结为设 计跟踪控制器乱( t ) ，使得从误差空间任一点出发的运动，都能够到达切换面上 6 第二章具有非线性输入的混沌系统的跟踪控制 那么 考虑到达条件，将s ( t ) 沿误差方程( 2 - 3 ) 求导，得 n 一1 荆= 矗( ) + q 酏) i = 1 n 一1 = ，( x ( t ) ，t ) 十a f ( x ( t ) ，亡) + ( u ( ) ) 一z ( ) 十+ 1 ( ) = 1 n 一1 s ( ) ( ) = s ( ) 厂( x ( ) ，) + a f ( x ( t ) ，z ) + ( u ( ) ) 一z 乎( t ) + q e + l ( t ) i = 1 = s ( t ) f - 4 - s ( t ) a f ( x ( t ) ，t ) + s ( 亡) ( u ( t ) ) s ( t ) f + c y l s ( t ) i i i x i i + s ( t ) d p ( u ( t ) ) = s ( t ) f + s ( t ) d p ( u ( t ) ) n - - 1 其中户= f + a l l x l l s g n ( s ( ) ) ，f = ，( x ( ) ，) 一z 争( ) + q e i + l ( t ) i - - - - 1 定理2 2 按定理2 1 设计切换函数，取控制器 ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 邮) _ - ( 等+ 可l - - e ) 户+ 百l + e 1 么- p e ) l p i s i g n ( s ) 】，0 e 0 , 0 e 。，户 。，注意 e u 2 ( ) u ( t ) c p ( u ( t ) ) p u 2 ( ) ，0 e 0 ，得( 乱( ) ) p u ( t ) ，于是 s ( t ) d p ( u ( t ) ) s ( t ) p u ( t ) = 一( 1 5 ) s ( ) p ( 2 - 9 ) 将( 2 - 9 ) 代入( 2 7 ) 得： s ( t ) d ( t ) s ( ) f4 - s ( ) 咖( u ( ) ) s ( t ) p 一( 1 一) s ( ) f = s ( t ) f 0 第二种情况：当s ( ) 。时， u ( ) = 一旦f 。，注意 ( u 2 ( ) 札( ) ( u ( t ) ) p u 2 ( 亡) ，0 ( p 上式两边同除u ( ) o 时， 钆( 亡) = 一旦笋户 。，注意 e u 2 ( ) u ( ) ( 让( ) ) p u 2 ( ) ，0 e p 上式两边同除乱( ) 0 ，得( u ( t ) ) e u ( t ) ，于是 s ( t ) d p ( u ( t ) ) s ( t ) ( u ( t ) = - ( 14 - e ) s ( t ) f 8 ( 2 1 0 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第二章具有非线性输入的混沌系统的跟踪控制 将( 2 1 3 ) 代入( 2 7 ) 得： s ( ) ( 亡) s ( t ) p + s ( ) ( u ( ) ) s ( t ) f 一( 1 + e ) s ( t ) p = - - e s ( t ) f 0 第四种情况：当s ( t ) 。，户 。，注意 c u 2 ( ) u ( t ) ( u ( 亡) ) p u 2 ( 亡) ，0 ( 0 ，得咖( u ( ) ) c u ( t ) ，于是 s ( ) ( u ( ) ) s ( ) ( u ( t ) = 一( 1 + ) s ( t ) 户 将( 2 1 5 ) 代入( 2 - 7 ) 得： s ( t ) ( t ) s ( t ) p + s ( ) ( ( ) ) s ( t ) p 一( 1 + ) s ( ) f = - e s ( t ) f 0 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 综合( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 4 ) 和( 2 - 1 6 ) 可得，到达条件s ( z ) ( ) l + q ，若存在矩阵k ，使得 a k + b + ( a k + b ) t + 2 r i 0 ，使得 l l e ( t ) l i m e 咄。 这里我们取m i i e ( o ) 1 1 假设i l e ( t ) l i 不是指数稳定，由m 的选取忙( o ) i i 0 ，使得 则由( 3 1 5 ) 、( 3 - 1 6 ) 有 1 6 e ( t ) l i m e m ，0 t 云 e ( t - ) l i = m e q 。 e ( t - ) l l m e - u t 一+ 川划) 产删( r m e - , 1 0 d o ) d s + | | b i l 2 删( 仁r m e - a ( o - , - ) d o ) d s m e - u 吾+ m 螋掣塑e 一面p 【e - a ( s - r ) _ _ e - a s d s 十m 譬e 一产s e - a ( s - 2 r ) _ e - a ( s - r ) d s m e 一+ m i l 皇丛! ! 垒丝! ! 墨2 1 呈：二1 2 e 一心o e c 酬3 d s ( 3 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) 第三章时滞混沌系统的指数同步控制 应用中值定理 +fjl兰型i曼：二!型e-i【itol z 2 e ( p a ) 3 d s ，n m e 一面+ mj j ! 三j j _ = 垒! 些_ = 二兰尘掣e p f ( e ( p a ) f 一1 ) n i “一o lj + m 趔凳生掣e - m ( 砂- a ) 云- 1 ) q 【p q j =me-tff+m必剖蒜芈掣(e-cff_e-tffot ) ( 汕) q 【钉一l 一) 将( 3 - 1 9 ) 代入( 3 1 8 ) ，有 e 酊一1 = e a a r o l t e a r o l t ，0 入 1 ( 3 - 1 9 ) 删 m e - p t 一+ m 螋烨等学- a t _ e - i “勺( 3 - 2 0 ) 将定理的条件( 3 1 1 ) 代入上式，得 e ( t - ) l i m e m 十m ( e 。一e - 山) = m e _ 口。 ( 3 2 1 ) 这与( 3 - 1 7 ) 式的i l e ( dl i = m e 吨相矛盾，所以l l e ( t ) l i m e 咱，误差系统( 3 4 ) 指数稳 定 雠2 x ( t 篡) = l o ( x 2 蒙( t ) - x l 渊( t ) ) , 鬻 洚2 2 ， 图3 - 1 为l o r e n z 系统的状态轨线 1 7 混沌系统的同步控制研究 利用m a t l a b 中s i m u l i n k 做仿真图其中，仿真初值设为： ( x l ( o ) ，z 2 ( 0 ) ，x 3 ( o ) ) = ( 1 0 ，一1 ，1 0 ) ，( y l ( o ) ，y 2 ( o ) ，y 3 ( o ) ) = ( 5 ，1 0 ，- 5 ) 按定理3 1 方法得到线性反馈矩阵k ，以此 设计控制器取7 = 1 3 ，仿真结果如图3 2 所示可以看出，在控制器的作用下，误差趋 于零 图3 1 l o r e n z 系统混沌相位图 图3 - 2 7 = 1 3 时l o r e n z 系统的误差变化曲线 下面我们再给出利用此方法解决超混沌系统的同步仿真 考虑时滞超c h e n 混沌系统： 1 8 3 5 ( z 2 ( t ) 一x l ( t ) ) + z 4 ( ) ， 7 2 1 ( ) + 1 2 2 2 ( 。) 一z 1 ( 2 ) z 3 ( 。) ( 3 - 2 3 1 x l ( t ) x 2 ( t ) 一3 2 3 ( t ) ， x 2 ( t ) x 3 ( t ) + o 6 x 4 ( t 一7 - ) 饥 沈 嬲 泓 ，li，l【 第三章时滞混沌系统的指数同步控制 图3 - 3 为超c h e n 系统的状态轨线 利用m a t l a b 中s i m u l i n k 做仿真图仿真初值设为：( z 1 ( o ) ，z 2 ( o ) ，z 3 ( o ) ，z 4 ( o ) ) = ( 1 ，0 ，- 2 ，- 1 ) ，( 可1 ( o ) ，耽( o ) ，蜘( o ) ，驰( o ) ) = ( - 1 ，2 ，1 ，1 0 ) 按定理3 1 方法得到线性反馈矩 阵k ，以此设计控制器取7 = 1 6 ，仿真结果如图3 _ 4 所示 3 4 结论 图3 - 3 超c h e n 系统混沌相位图 图3 - 4 7 - = 1 6 时超c h e n 系统的误差变化曲线 本章利用压缩映射和微分不等式技巧，对时滞混沌系统给出了指数同步的充分条件和 线性反馈同步控制器的设计方法该方法不涉及带积分的l y a p u n o v 函数，避开了复杂的 求导和放大运算，计算简单，所得结果保守性小，实现起来也容易 1 9 混沌系统的同步控制研究 第四章含不确定项的离散混沌系统的函数射影同步控制 第四章含不确定项的离散混沌系统的函数射影同步控制 本章在文献 4 1 】的基础上研究了含不确定项的离散混沌系统的函数射影同步控制问 题通过构造动态补偿器，给出了新的同步控制器设计方法，有效地抑制了不确定项的影 响并巧妙地利用状态变换，证明出误差系统渐近稳定，从而达到同步目的与文献【4 1 相比，本章所给控制器设计方法简单可行，证明过程及仿真结果也验证了这一点 4 1 问题的描述 考虑下面一对含不确定项的离散混沌系统： x ( k + 1 ) = ，( z ( 尼) ) + 妒( z ( 七) ) v ( k + 1 ) = 9 ( 可( 七) ) + 妒( 可( 七) ) + u ( k ) ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) 其中z ( 尼) ，可( 七) 舒分别是系统( 4 _ 1 ) 和( 垂2 ) 的状态变量，( z ( 七) ) ，夕( 可( 七) ) 舻是 向量函数， 妒( z ( 后) ) ，矽( 秒( 后) ) 是系统的不确定项，u ( k ) 为控制输入 设 e ( k ) = y ( k ) 一q ( k ) x ( k ) ( 垂3 ) 其中q ( k ) = d i a g q l ( k ) ，q 2 ( k ) ，q n ( 七) ) ，且对于任意的k ，都有：q i ( k ) 0 ，i = 1 ，2 ，佗 定义4 1 对于任意给定的q ( 忌) ，使得1 i mi i e ( 七) i i = 0 ，那么我们就称系统( 垂1 ) 和 ( 垂2 ) 为函数射影同步特别地，当q ( k ) = i 或q ( k ) = a i 时，我们称系统( 垂1 ) 和( 垂2 ) 为完全同步或射影同步 本章的目的就是设计控制器乱( 尼) ，使得含不确定项的离散混沌系统( 4 1 ) 和( 垂2 ) 可 以实现函数射影同步即 1 i mi l e ( k ) l i = 1 i ml l y ( k ) 一q ( k ) x ( k ) l i = 0 t g - - - o o 甩o o 2 1 混沌系统的同步控制研究 4 2 控制器的设计 由( 4 - 1 ) 、( 4 - 2 ) 和( 缸3 ) 可得，系统的误差方程为： e ( 南+ 1 ) = v ( k + 1 ) 一q ( k + 1 ) x ( k + 1 ) = 夕( ( 七) ) + 矽( ( 尼) ) + u ( k ) 一q ( k + 1 ) ( 厂( z ( 后) ) + 妒( z ( 七) ) ) ( 4 - 4 ) = 9 ( 秒( 尼) ) 一q ( k + 1 ) 厂( z ( 七) ) + u ( z ，y ，k ) + u ( k ) 其中w ( x ，y ，k ) = 矽( 秒( 尼) ) 一q ( k + 1 ) 妒( z ( 七) ) 定理4 1 若w ( x ，y ，k ) 相对于采样周期t 是慢变的，即u ( z ，y ，k + 1 ) u ( z ，y ，七) ，取 控制器为： u ( k ) = ( q + p 一1 ) e ( k ) 一夕( 剪( 尼) ) + q ( k + 1 ) 厂( z ( 后) ) 一u ( 七) v ( k + 1 ) = v ( k ) + ( 1 一口) ( 1 一f 1 ) e ( k ) ，0 0 f ，p 1 其中v ( k ) 为动态补偿器则系统洚1 ) 和洚2 ) 可实现函数射影同步 证明：将( 垂5 ) 代入( 垂4 ) 可得： 由( 4 _ 6 ) 可知： ( 缸5 ) ( 4 - 6 ) e ( 七+ 1 ) = ( 口十p 一1 ) e ( 七) + u ( z ，y ，k ) 一v ( k )( 4 - 7 ) u ( z ，y ，k + 1 ) 一v ( k + 1 ) = w ( x ，y ，k + 1 ) 一v ( k ) 一( 1 一q ) ( 1 一p ) e ( 尼) = u ( z ，y ，k + 1 ) 一u ( z ，y ，k ) + u ( z ，y ，k ) 一口( 七) 一( 1 一q ) ( 1 一p ) e ( 后) w ( x ，y ，k ) 一v ( k ) 一( 1 一口) ( 1 一) e ( 后) 令( 七) = w ( x ，y ，k ) 一u ( 尼) ，则( 垂7 ) 和( 4 8 ) 可写成： e ( 七+ 1 ) = ( o l + p 一1 ) e ( 七) + ( 七) 2 2 ( 4 - 8 ) ( 4 - 9 ) 。1 第四章含不确定项的离散混沌系统的函数射影同步控制 f ( 七十1 ) ( 后) 一( 1 一q ) ( 1 一p ) e ( 七)( 4 - 1 0 ) 把( 4 - 9 ) 和( 4 - - 1 0 ) 写成矩阵的形式： ( 一墨”- 1 ) i 即叭剐 1 ， 为了证明误差系统稳定，作状态变换： ( 美：；) = t ( 喜 芝；) ，t =州二) c 化， t 僦在一t 艄足t ( 一篙”- i ) i 即i i ) t - l = ( ： 于是： ：；) t ( ( q + p i ) i 垆3 ， 因为0 q ，p 1 ，所以，l i mi l e ( k ) l i = ，l i ml l 百( 忌) l l 0 离散混沌系统( 4 1 ) 和( 垂2 ) 实现 尤+ o 。一 o 。 函数射影同步 4 3 仿真算例 考虑含不确定项的h & o nm a p 混沌系统： z 1 ( 后+ 1 ) = o 3 2 2 ( ) + o 2s l n ( o 0 5 2 1 ( 七) ) ，( 4 - 1 4 ) ix 2 ( 七十1 ) = x l ( 后) 一1 4 x ；( k ) + 1 0 1 0 0 5c o s ( o 0 2 x 2 ( 七) ) 图缸1 为h d n o nm a p 的状态轨线 2 3 混沌系统的同步控制研究 取其响应系统为： 1 ( 七+ 1 ) = o 3 2 ( 后) + o 3 c 。s ( o 0 2 秒1 ( 后) ) + u 1 ( 尼) ， ( 4 1 5 ) 【y 2 ( k + 1 ) = y a ( 七) 一1 4 y ；( k ) + 1 0 1 0 3c o s ( o 0 2 沈( 七) ) +