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多尺度有限体积法及其应用中文摘要 多尺度有限体积法及其应用 中文摘要 多尺度方程在实际问题的应用中非常广泛，方程的多尺度信息一般来自于介质的多 尺度特征本文在类多尺度方法( h e t e r o g e n o u sm u l t i 、s c a l em e t h o d ) 的基础上，结合有 限体积方法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) ，提出了多尺度有限体积方法( h m m f v m ) ，用于计算 一类多尺度抛物偏微分方程本文给出了相关误差估计及数值算例最后介绍了其在多 孔介质非饱和流动问题中的应用 关键词：多尺度方法，均匀化理论，有限体积方法，抛物方程，误差估计 作者：曹海涛 指导教师：岳兴业 多尺度有限体积法及其应用 h e t e r o g e n o u sm u l t i - s c a l ef i n i t ev o l u m e m e t h o da n da p p l i c a t i o n a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s ean u m e r i c a lm e o m d ：t h eh e t e r o g e n o u sm u l t i s c a l ef i n i t ev o l u m e m e t h o d ( h m m - f v m ) ，f o rs o l v i n gm u l t i - s c a l ep a r a b o l i cp r o b l e m t h em e t h o db a 8 e 8o nt l m f r a m e w o r ko fh m m s o m ee r r o re s t i m a t e sa r eo b t a i n e da n dt h en u m e r i c a le x a m p l e sa f ea l s o p r e s e n t e dt od e l a o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo fo u rs c h e m e ht i l el a s t ，w ea p p l yt h eh m m - f v m t o t h eu n s a t u r a t e df l o wi np o r o u sm e d i a k e f w o r d s ：h e t e r o g e n o u sm u l t i - s c a l em e t h o d ，h o m o g e n i z t o nt h e o r y f i n i t ev o l u m em e t h o d p a r a b o l i ce q u a t i o n ，e r r o re s t i m a t e i i w r i t t e nb y ：c a o - h a i t a o s u p e r v i s e db yp r o f iy u e - x i n g y e v7 8 1 2 8 5 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名： 耆涛漕 学位论文使用授权声明 日期 2 9 a ，r p 4 0 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：壁堂矗日期：兰! ! ：兰：! ! 导师签名：二呈边日期 纱孓午如 多尺度有限体积法及其应用第一章引言 第一章引言 1 1问题的耳的和意义 随着科学技术和生产力的进步人们无论足对物质机理的认识，还是在实际应用方面 都进入到了微观尺度的层次随之出现的多尺度方程以及其计算成为人们关注的问题 这类方程有着广泛的应用比如研究多孔介质中液体的流动，一些化学反应的过程，复合 材料的性质，以及在分子动力学中的应用等等( 7 j ) 基于此类方程的特殊性和实用性，吸 引了不少人的重视由于这类方程，存在着微观和宏观上的差异，直接数值求解必须分辨 到微观尺度，这样计算的工作量非常大近些年已经提出了一些有效的数值计算方法 其中包括；小波均匀化方法( f 1 6 】) ，求解均匀化方程( 【4 ，5 ，1 3 1 ) ，多尺度有限元法( 1 0 ，1 1 ) ， 非均匀多尺度方法( h e t e r o g e n o u sm u l t i - s c a l em e t h o d ，以下简写为：h m m ) ( 7 ，8 】) 等等 对手这类方程，我们常常会想到均匀化的方法即求解一个不含多尺度的均匀化方 程来近似原方程的解这种方法巳被研究了很多年( 嘲) 可以成功的解决很多实际同题， 这种方法适用于系数为周期的情况在用这种方法求解问题时，我们必须先求得均匀化 方程，然后再求解之均匀化方程的系数是在小尺度单元上求解原方程来提取信息进行 近似，这是一个复杂的过程多尺度有限元方法，是通过构造多尺度有限元基函数来实 现的，要构造这些基函数需要花费相当于细网格求解原问题的工作量另一种方法是在 有限元的基础上，通过对宏观和微观分别构造不同的有限元空间( 8 j ) ，来分析求解均匀化 方程 h m m 是近些年提出的一种有效处理多尺度方程的方法之一这种方法首先建立带有 未知系数的宏观粗网格上的格式，然后通过求解局部小单元问题对宏观系数进行估计， 最后在整个区域上求解宏观方程 我们知道有限体积方法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，以下简写为：f v m ) ( x 称广义差分方 法) ，作为当前求解偏微分方程数值解的重要方法之一，它有着有限元方法能够较好处理 复杂区域的优点，同时又保证了物质的局部质量守恒原理 为了广泛的适应性和计算的方便本文章在h m l v 的基础上，结合有限体积方法，提 出了多尺度有限体积方法( h m m - f v m ) 本文将以一般多尺度抛物方程为代表，考虑如下问题： r 巾e ( 厶篡篓 i n ( 0 ，t ) n 打l ( 0 ，t ) a n( 1 1 ) i nn 其中ncr d 多尺度特征来自于振荡系数矿，e l ，且是正定有界的相对于椭圆方 多尺度有限体积法及其应用第一章引言 程，这里的n 可能于时间和空间都有振荡，即。( t ，z ) = 。z ，；) 或者矿( t ，z ) = a ( t ，专，z ，；) 下面我们简单介绍h m m f v m 的主要思想 宏观上对区域四边形粗网格剖分，设对应的双线性有限元空间为x 日 择控制体( 见图1 ) ，在任意一个控制体脚上，建立宏观上的有限体积格式： 求u x 阿使得 f v 鲫缸+ 乙t 硝姐) v u 碗d 8 = f v d 。 其中宏观系数a h ( ，z ) 为未知，将从微观上估计 于剖分上选 ( 1 | 2 ) 在每个控制体上选取有代表性的点，以这些点为中心选择小单元在每个小单元上 求解微观问题在此基础上给出这些点上的通量a h ( t ，x ) v u 令z 为控制体一条边界上的一点以。为中心选取正方行小单元，记为厅( 辄) ， 边长为j ( 见图1 ) 对于两种情况的系数定义微观问题： r 啪。藏甄 v u x t r ；其中矿为u ( z ) 在z 点的线性近似 当n = a ( t ，$ ，：) 时，令有近似： i n ( 0 ，印如( x k ) i n ( 0 ，t ) a 厶( g k ) ( 1 , 3 ) i nb ( ) 州引v 吣e ) 一南厶】。( ；) v 尉u 当o = o ( t ，壶，z ，；) 时，令有近似： 。h ( 矾) v u ( ) 一r 盯击瓦丌f 一一厶( 训誉t 瓦0 ( r ( u ) 一u ) 2 + n lv r ( c ，) n 如d t。h ( k ，矾) v u ( ) “r 盯专瓦丌厶厶( 。) j 瓦( r ( u ) 一u ) 2 + 。lv r ( u ) 1 2 ) 如d t 我们可以看到对于第一种情况，系数只关于z 空间有振荡，在小单元上只需对。空 间均匀化而t 只是一个参数所以我们可以将微观单元问题简化为椭圆问题( 【1 5 】) 即： r 啪茹麓缆? 此时令有 i ”( o ，t ) 如( 。k ) f 1 4 1 i n ( 0 ，t ) 0 厶( 孤) 。 吲) v 吣扣高厶) 。( ；) v r ( 州z ( 1 5 ) 对每个小单元网格割分，求解上述微观问题并将( 1 5 ) 式带入( 1 2 ) 式，并对其数值 积分得到关于各个点的方程组最后求解该方程组 h m m - f v m 方法的计算并没有对系数提出特殊的要求对于微观单元厶的选择一般 需要根据e 来决定一般的，当系数。( 毛y ) 关于y 周期时，选择6 = e ，并且微观单元问 2 多尺度有限体积法及其应用 第一章引言 题的边界条件可以改为r ( 【，) 一驴盯( z ) 于厶上为周期；当o ( z ，y ) 为随机系数时，6 的选 择应稍大于t 几倍 由于两种情况的系数在计算和分析上并没有太大的差别( 1 5 ) ，为简单起见，我们全 篇文章只考虑第一种情况所以在微观单元上只考虑椭圆问题 h m m ，f v m 方法的误差主要来自于粗网格上有限体积格式和微观小单元上对宏观系 数的估计我们将会在误差估计部分具体分析在误差分析部分，文章假设酽( y ) 关 于y 为周期在时间方向上采用向后欧拉格式离散我们得到的主要结论如下： 设t e ，为原方程的解，u h 为h m m - f v m 在t 。时刻的解，扩为均匀化方程在t 。时 刻的解则： 0l ，嚣一u ”l i o 茎c ( t + e + h ) n ( t | | 嘴一“旧) 女5c ( z x t + e + h ) j = 1 另外均匀化理论告诉我们0u ( 。) 一铲i i o c e ，所以有j iu 嚣一t ( t 。) | | o c ( z x t + e 十 ) 作为多尺度有限体积方法的应用，我们主要讨论了多孔介质中的地下水流模型在理 论部分介绍了地下水的运移情况及原理；在实验部分，我们以特殊介质一粘土壤为例，对 其区域边缘注水在建立方程后，我们用h m m - f v m 方法给出了不同时刻的含水分布， 并与细网格”精确解”做了比较 1 2 论文各部分的主要内容 第二章主要讲述了h m m - f v m 方法的实现同时回顾了有关的均匀化理论和四边 形网格的有限体积格式最后我们给出了h m m - f v m 方法的解与均匀化方程解的岛误 差估计，并给出了算例 第三章多子l 介质中非饱和流动问题我们主要是针对地下非饱和水流问题首先 描述了地下多孔介质的构造，以及介质中物质运移的原理然后在不考虑重力势的情况 下，对多孔介质中水平流的连续性方程，给出了h m m - f v m 的具体算法最后在实验部 分，我们在给定特定介质中，用h m m f v m 方法计算了含水分布情况 第四章总结 3 量墨鏖童堡箜篓鋈墨茎壅里 第二章多尺度有限体积方法 第二章多尺度有限体积方法 以后的章节，我们都将使用如下统一记号l 2 ( n ) ，h ”( n ) ，日矿( n ) 分别是般的l e b e s g u e 和s o b l e v 空间 ) ，1 1 ，n 表示l 2 内积和s o b l e v 范数，c 器( y ) 是g o 。( 剜) 的子空 间，且在r 上为周期群。，( ，) 为g 昌( 1 ，) 的闭包司。，( 即为叫。，( y ) 的子空间，并且 于y 上的积分为0c 表示常数 2 1h m m f v m 算法 h m m f v m 的主要思想如下： 假设区域ncr 2 作q 的正则拟一致平行四边形剖分t n ( 2 i ，2 3 j ) ，记 为四边形单 元k t h 的直径，h = m a x f 靠h k 现在构造与孔相应的对偶剖分，设p 是任一四边 形单元的顶点，p p l p 2 p 3 ，p p 3 t 4 b ，p p 5 p 6 竹及p r r p l 是以p 为公共顶点的四边形 q ，0 2 ，印，。和铂依次为他们的平均中心( 两对边中点连线的交点) 设蛆，m 2 ，m 3 ，m 4 分别 为同彳，丽，f 焉，f 巧的中点，依次连接m 1 ，口1 ，m 2 ，q 2 ，蝎，q 3 ，m j ，0 , 4 ，m 1 得到一围绕p 的 多边形区域诈称为一个对偶单元( 也称为一个控制体) 所有对偶单元构成q 的另一个割 分露予y 的每条边界上取中点孙，分别以x k 为中心作正方形小单元厅0 女) ， = i ，8 ) ， 小单元的边长为j 记n 的内点集合为q 。如图( 1 ) 所示 h 一一一一 。一 ! ，i ”； ； 。 罢一 ，l 图l 区域剖分及对应的控制体怖图2 单元耳口 定义死上的有限元空间： x = u h 1 ( 1 ) 为相应予死的分片等参双线性函数；且u 旧= 0 ) 对( 1 2 ) 式时间方向等距离散a t = t 。一t n - 1 ，原方程( 1 1 ) 对应的宏观有限体积格式 变为：求u n x 使得，对任意控制体诈，有， 厶现秭如+ 以怖口备( k ，2 ) v 踟骨幽3 厶，“如 ( 2 1 ) 其中玩昭= u 矿u n - i ，n 备为未知宏观系数 4 多尺度有限体积法及其应用第二章多尺度有限体积方法 由数值积分，对每一条边，我们有近似： 五。8 n 仃( k ，z ) v u 备骨出型i 乩i ( n 备( t n ，z ) v u 器_ 骨) ( 训 所以： 8 f o v pa h o m 功v u h 一出2 蚤i 氐m 瓶v 嘴赢) ) 因为系数n h ( t ，z ) 未知，在每个小单元上，定义微观单元问题v 巩r x 盯 一d i v ( 。( t ，z ) v r ( ) ) = o z 厶( k ) i 冗( ) = 翰( z )。a b ( ) 翰为u 玎在z 点的线性近似 舍： ( 22 ) ( 2 3 ) ( 州如) v 哳) = 赢厶) a 孙问v _ r ( v h ) d x ( 2 4 ) 对( 2 1 ) 数值积分得t v - p i 百啼( p ) + a t 乏二i 工io 盯( t ，x k ) v v 嚣( z ) t 骨= iy p i ，“( p ) ( 2 5 ) 五t a l 乍 将( 2 4 ) 代入( 2 5 ) 式即为我们的h m m - f v m 格式 注：h m m f v m 方法的计算并没有对系数提出特殊的要求对于微观单元b 的选择 一般需要根据e 来决定一般的，当系数。( z ，y ) 关于y 周期时，选择6 = e ，并且微观单 元问题的边界条件可以改为r ( v h ) 一u h ( $ ) 予b 上为周期；当口( z ，y ) 为随机系数时，6 的选择应稍大于e 几倍【8 】 综上所述，h m m - f v m 只要对区域的- s j , 部分细网格的求解并且每个小区域是独 立的，求解方法一样这都将会大大减少和方便计算，另外微观方程组的大小不依赖于e 2 2多尺度抛物方程的均匀化理论 为了误差分析的理论准备，这一节回顾下均匀化理论【6 】- 考虑问题( 1 1 ) 其中= ( g ，t ) 声qcr a 是有界区域，系数( t ，g ) = o ( t ，z ，；) = n ( t ，$ ，) 且满足a 玎l ”( 凡4 ) ，一致椭圆有界，关于v 周期，即对v = ( 1 1 ，妇) ： ( n ( z ) ) o t l 1 2 ，d ( z ) 车l p 1 i 其中吐，卢0 o “( t ，岔，y + ) = a i j ( t ，z ，们 f = ( f l ，f 2 f d ) 由问题( 1 1 ) 的变分问题知，存在唯一解u l 2 ( ( o ，t ) ；嘲( n ) ) ， l 2 ( ( o ，t ) ；皤1 ( n ) ) ， 所以“c ( 马t ) 关于t 几乎处处收敛至一个连续函数 5 多尺度有限俸积法及其应用 第二章 多尺度有限体积方法 如果我们采用标准的有限体积方法解问题( 1 1 ) ，则离散的步长应小于e 因此用这种 方法时，当e 很小时，剖分要相应细，所p a x _ 作量会很大 均匀化理论告诉我们，原方程的解于空间l 2 ( ( o ，t ) ；刎( 2 ) ) 弱收敛至以下均匀化 方程的解铲 其中o o ( t ，z ) 为一方阵，有如下表达式 i n ( 0 ，t ) 2 o , n ( 0 ，t ) a q( 2 6 ) 打t n 蜘加+ 磬篆胁 ( 2 z ) 其中y 是关于变量是周期单元( ) 为下述单元问题的解： 杰痞( 喜。证锯) 一量老。y ，= t ，d 。固 i凡f ( v ) d y = 0 方程( 2 7 ) 的变分形式为： 二v 一( v ) 。v ”曲= 一上( a 勺) t v ”由， v ”畴) ， j = 1 ，d 其中( 勺) 刍，为副的单位基向量，曝，( y ) = 如磷。，( y ) ；f y v d x = o 。 为了得到式( 2 5 ) ，我们假设“( t ，z ) 有如下展开式： f t ，z ) = 护( t ，z ) + n n ( ，z ，；) + f 2 牡2 ( t 涵；) + t ， ( 2 9 ) 其中嘶( t ，z ，v ) 关于g 周期将t ( t ，z ) 代入( 1 1 ) ；按e 的幂次，可以看出：“o ( t ，。) 满足 方程( 2 5 ) “i f t ，z ) = j 量= t 者“。心挈) ，其中z ( ) 由方程( 2 ，7 ) 求得由均匀化理论( f 6 】) ，有 矿( x ) v u 6 一g o v “o 于( l 2 ( ( 0 ，t ) ；n ) ) 8 2 3误差估计及算例 我们将在本节给出原方程的解( t 。，$ ) 和h m m - f v m 解嘴( $ ) 的误差估计；不难看 出这两者的误差主要来自粗网格上的有限体积格式，局部微观问题对宏观系数的估计， 以及时间方向上的离散格式在这节，我们假设矿( t ，z ) = o ( t q ) 关于为周期， 小单元边长5 为一个周期对于均匀化方程的解u 有， t ( 亡1 $ ) e 日2 ( o ，t ；三2 ( n ) ) ，并且 ，h 1 ( o ，t ；l 2 ( n ) ) 首先给出一些定理和相关结论 6 镇划吣怍扣 皑 帆 喾 多尺度有限体积法及其应用第二章多尺度有限体积方法 对于微观单元问题( 2 3 ) 的解r ( u h ) ，我们由2 1 节均匀化理论有如下结论 结论1 ： r ( ) = + e x k ；) 桨( z ) z 吲训 x 为( 2 8 ) 的解 结论2 ： ( 0 0 妒) 5 丽1 如却( 刚z 对于剖分，v g e t h ，u h x h 有如下结论： 结论3 ： uu t t 一【ki i m k q m ，k = l ，2 于中引入 其中 i = ( f i ， ) q n z ( 翰，x ) h = i i u h ( p ) x ( p ) p 置， = ( 。一。) 2 + ( 一u p 。) 2 + ( 一u p 。) 2 + ( 。一。) 2 。= 。( r ) i = 1 ，2 ，3 ，4 最如图2 所示 定义空间y h ： = x l v 常数，v v 定义映射；i h ：x h 一蜥，对妇x i x 有矗( ) = ) 妒0 ) y ，其中p 为霸 p i l 剖分的结点；妒为对应控制体上的特征函数； 定义： 0u r i o = ( u 0 ，h 矿f = r ) i 引理1 对任意的u h x h ，靠u h 增有： l ，矗h ，h 与iu h1 1 等价( 【2 3 】) ； i i 蜥i i o , h 与| 妇i i o 等价； 引理( 1 ) 的第二个结论直接在四边形k q 上积分容易证明 7 多尺度有限体积法及其应用第二章多尺度有限体积方法 类似于有限元方法( 1 9 ，2 2 ) ，对于拟平行四边形剖分上的有限体积格式，可以引入 x r l y 打上的双线性形式( 【1 8 ，2 0 】) ： 月( u h ，妁。善五怖n ( z ) v u 骨x d s 如果方程系数。( z ) 为正定有界的，则双线性形式a ( u 0 ，x ) 有如下结论： 引理2 ( 【2 l 】) 对任意的巩，v i i x r r ，h ， 蜥蜥有： a ( u h ，i h u , r ) c | | 川f( 2 1 0 ) a ( 啊，h v h ) l c | | c ，日“l | | v hm( 2 1 1 ) 引理3 ( 2 4 ) 对任意的u ，x h ，有： ia ( u r r ，厶v h ) 一a ( v h ，矗) sc h | | i f fv u | | l( 2 1 2 ) 我f f 了可以将( 2 5 ) 式改写为双线性形式；求矽i 托r 使得，对晰y h 有： 徊螂：h 枷f i ( t 婚神叫，n “h ( 2 1 3 ) lv o = r u o 。 其中 ( 巩嚷，x ) h = ei ( 巩皤妯( 尸) ( ，”，地= f b f ，”( p ) ) ( ( 尸) 撕t r 蚤, x ) 2 乏。赢揣如邢v 即h ) d 删x r 为王产) n 础( n ) 到有限元空间的l 2 ( n ) 投影算子关于p 有如下性质【2 3 】： l ：双线性式a ( u h ，x ) = a ( v t , ，) ( ) ，v x u ，x y h 2 ：0t o r t 工o0 女c h m 一0t 上oi i m ，竹1 七，m = l ，2 引理4 对任意的u h x h ，x y 矗，有： i 4 0 ( k ，u h ，) 一a u ( t 。，u u ，) ( ) i sc 似+ e ) 0e ，hi i i l lx 1( 2 1 4 ) 证明： a o ( t 。，e ，x ) 一a n ( t ，u h ，x ) = ，：曼。量。，( ( 口o ( k ，) v u u ，x ) 一( n o ( t n ，z k ) v u u ，x ) ) l 。 y 2 zo e 占y “ + 函。盖y 俐( ( 矿( k ，z ) “( t n ，t ) ) v r ( ) ) 育x 多尺度有限体积法及其应用 第二章多尺度有限体积方法 c ( i | v u i il i o + 0v r ( v u ) i i o ) l | xl h c ( h + e ) ”u h1 1 1 x 1 得( 2 1 4 ) 由引理4 ) 知，双线性式a n 只是a o 的小扰动，由山正定有界性，可知a n 也正定 有界 定理1 设u 为( 2 1 3 ) 式t 。时刻的解，则有： i l 睇l l o - 0 使得 ( 石t e ”，i h 百t e “) = 1 1 魂e “j j 3 c ，08 t e “1 1 3( 2 2 4 ) 由引理( 3 ) 和引理( 4 ) 有： a o ( t “，“玩e ”) = i 轰( a o o “+ e “一，i h ( e ”一e “一1 ) ) + a o ( e ”一e “一1 ，i h ( e “一e “一) ) 2 - 知t ( a o ( e “+ 铲，矗( e “一e n - i ) ) = 志( a o ( e “，i h e “) 一a o ( e ”1 ，h e ”1 ) + a o ( e “，h 扩) 一a o ( e ”，h e “- 1 ) ) = 志 a o ( e “， e “) 一a o ( e ”1 ，厶e n 。) + ( _ o ( e 8 + e 8 1 ，磊( e “一e n - ) ) 一a o ( e ”一e ”一1 ，矗( e “十e n - i ) ) ) 玉矗( i | e “i i 一0e “一1i 懵) 一c h0e “+ e “一1i i i i 玩e “i i l 乏再( f fe ”f f 一f ie “一10 ) 一cf ie “+ e “一1 1 f f 玩e “0 0 所以： 山( k ；矿，h 巩e ”) 志( ( 1 一c o a t ) i ie “幢一( 1 + c o a t ) i ie n - 1 忻) 一；| l 巩e “幅 ( 2 2 5 ) ( 2 2 3 ) 式等号右端项： c ( h 2i i ，“i i + h 2i i 毗( t n ) 旧+ a t 2i i t 骷( 。) 髂) + 等l l 现e n | | 若 ( 2 2 6 ) 由( z 2 s ) 一( 2 2 6 ) 得： i ie “0 sr 1 = + 硒c o a t0e n 一10 + c t ( 2i il “0 + 2i iu t 0 。) 1 1 2 + t 20 “( t 。) 0 3 ) 对d - 求和得t 0e “旧茎c t ( h 2i i ，0 ；+ 20t l t ( 略) 旧+ a t 20t 。t ( 如) 0 3 ) j = i 所以有 i | 矿1 1 1 c ( + t ) ( 2 _ 2 0 ) 得证 定理3 设啜为h m m - f v m 方法的解，“备为2 , 1 8 ) 的解，则： i ic ，嚣一u 备l i o c + e ) ( l 呀一u 备0 ：) sc ( ，l + e ) j = l 1 1 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 多尺度有限体积法及其应用 第二章多尺度有限体积方法 证明： 记e ”= 嘴一u 备x h 由( 2 1 3 ) ( 2 1 8 ) 得： ( 仇f 8 ，x ) h 十a u ( t “；c 磴，x ) 一a o ( t 8 ；u 备，x ) = 0 变形为： ( o r e “，x ) h + a o ( t ”；e “，) = a u ( t “；啼，) 一a h ( t ”；睇，x ) = ”( 2 2 9 ) 令) ( = h 驴，h ：x h y ，得： ( 玩e “，1 h e “) + a o ( t n ；e “，1 h e “) = 一( 2 3 0 ) ，= o ( p ；嘴，h e ) 一a h ( t “；吩，h 驴) 由引理( 4 ) 的证明可知： 妒l 茎c ( h 可礤f f o + ef fv r ( 嘿岫) h h l 由a o ( ，) 的正定性，( 2 3 0 ) 有估计： 瓦1 ( 驴一驴一，h ) + c0 驴腑c i ( h i iv 嘴0 。托i iv r ( u b - ) i i o ) i ie n 叭 志( i fe ”憾h o 驴一1f f ；, h ) + co 驴旧c l ( f fv 嘴i i o , h “f i 锄( 璐) f f f f 。 击( i lf “慨一i i 伊一1 嗽) + c6 驴峨s c l m + e ) 2ov 嘴幅+ 训驴婿 注意到酽= 0 对1 1 求和得： 0 e “嗑 + t 0 腑sc l m + e ) 2 t j j v 唠帱 ( 2 3 1 ) 由定理( 1 ) 得； 0 五pi i o 茎c ( h + e ) 由引理( 4 ) 得( 2 2 7 ) 式 同时有： ( t | l 嘴一“备肝) c ( + e ) j = l 证毕 综述定理( 2 ) ，( 3 ) 及由三角不等式我们得误差估计： i l 吩一u ( k ) 0 0 c ( a t + e 十h ) 1 2 多尺度有限体积法及其应用第二章多尺度有限体积方法 ( 妻t | iu 嚣一“( k ) 脏2j ：1 c ( a t + + e ) j = l 数值算例： 作为对这种方法的说明，我们以多尺度抛物方程为例，并给出误差估计 筹一d i v ( a ( z ) v u ) 0 = ，( z f = 0 u c 一 面一 ，z ) = 其中，= 1 0 ，n = 【0 ，1 】 0 ，1 】，t = 0 ，1 7 1u 7 2 = a n 矿( z ) = 糕一i - 然+ s t ”( 4 x 2 y 2 ) + t 宏观剖分为： n xn ，小单元剖分为：n xn ；细网格剖分为，u r i n e xn f i n e ；宏观单元 与微观单元的比例，记为： r a t i o ；时间方向上步长= 击在t = 0 5 时刻，得出下面误 差( 见表1 ) 我们的误差是h m m - f v m 方法得出的解和用细网格剖分得到数值解之间对 应点差的离散模与准确解的离散模的相对误差；即如下表达式： “一7 日h 厶。| f “一c 啊 i l 2 f | “一e ，0 f 1 2 0u i i l 。| 1 旷0u e l l 1 我们计算出了各种不同情况下的误差( 表1 ) 同时给出了关于e 不同情况下系数的图 象( 图3 ，4 ) 我们在区域f 0 ，1 】1 0 ，1 】上作出了n 的分布图如下： 图3 ( e = 击) 表l ( t = 0 5 ) 图4 ( e = 去) 驼 0 n 7 7 t t t ； m m 饥蚝 多尺度有限体积法及其应用第二章多尺度有限体积方法 er a t i o ni 出n e l o o e r r o r l 2 e r r o r h le r r d r i 48 81 6x 1 65 1 26 ，3 4 1 2 e - 0 0 26 4 2 0 6 e - 0 0 26 7 1 0 5 e - 0 0 2 西 l 2 1 6 1 6 1 6x1 65 1 2 2 3 4 7 3 e - 0 0 22 2 5 9 9 e - 0 0 22 5 0 6 8 e - 0 0 2 醯 l 13 2 3 21 6 1 65 1 210 8 5 4 e - 0 0 29 9 0 6 1 e 0 0 31 1 7 7 9 e - 0 0 2 器 从误差表格可以看出，在e 相同的情况下，误差随着宏观剖分的加密而减小与理论 误差分析相符 以第一种剖分为例子，两者的计算量分析： h m m f v m 方法：所求方程组为粗网格上8 8 和所有微观单元8 8 1 6 1 6 之和 为： 1 6 4 4 8 ； 细网格剖分：所求方程组为5 1 2x5 1 2 = 2 6 2 1 4 4 容易看出两者计算量相差很大 1 4 多尺度有限体积法及其应用 第三章 多孔介质中的流动阿题及实验 第三章多孔介质中的流动问题及实验 地下水赋存在岩石的孔隙中并在其中流动一般把孔隙岩石和裂隙遍布的岩石作为 多孑l 介质一般认为多孔介质应具备如下特点：( 1 ) 多相系( 2 ) 固体骨架遍布整个多孔 介质中 ( 3 ) 孔隙空间的许多空隙应当相互流通对于地下水而言：包括饱和带和非饱 和带；有关地下水理论参见( 2 4 1 ) 3 1非饱和地下水流数值模型 这一章我们主要针对地下非饱和带水的流动情况，建立数学模型同时我们假设：地 下水是不可压缩的，多孔介质各向同性的并且我们只在平面上考虑二维水平流动的情 况 下面介绍几个概念及重要参数： 1 孔隙度”：表示多孔介质中孔隙体积与总体积的比 2 含水率口：指含水介质中水分所占的体积和总体积之比分饱和含水率0 t 和残留 含水率品 3 饱和度& ：表示含水介质为水所充满的程度的参数它与含水率有如下关系； 0 = s 叫n 4 水力传导度：也叫渗透系数表示多孔介质传输流体的能力是一个与含水率 有关的参数也记为k ( o ) 对于各向同性的介质x ( o ) 是一个标量 5 水头压力势妒：非饱和带的水和其他物质一样具有动能和势能，并且由能量高处 向能量低处运移，最后达到平衡由于水在非饱和带中的运动极其缓慢，动能可忽略不 计，势能为主要表现形式对于非饱和流动，水头压力势主要包括：重力势和基质势 由局部质量守衡原理，即单位时间内通过控制面进入控制体的净流入质量加上控制 体内源汇项所产生( 或吸收) 的质量，应等于该期间内控制体内质量的变化因此可以得 到如下非饱和流动的连续性方程 掣+ d i 咖口) = ， ( 3 1 ) 当水的密度p 不变时，上式变为： 寰撕舻， 其中q 表示水的比流量，它表示单位时间内通过单位面积的水的体积，有表达式： q = - k ( o ) v l p 即有： 裳一d i 啦v 加， ； 多尺度有限体积法及其应用第三章多孔介质中的流动问题及实验 l p 和0 有关系：v 妒= 一南v 口；其中g ( 口) 称为容水度 我们把方程写成以含水率口为变量的表达式： o 口0 d i v ( 涨v o ) = ， ( 3 2 ) 3 2解多孔介质中非饱和流问题的h m m - f v m 方法 对于一般的非饱和流动问题，常用的有限元和有限差分法在很多文献上都已有介绍 由于在实际问题的多孔介质中，方程( 3 2 ) 的系数锹疆一个带有多尺度的高速振荡系 数所以单纯的用有限元或者有限差分方法来计算这类问题，计算的工作量会非常大 本节介绍h m m - f v m 求解这类问题 令d ( 日) = 菩潞，是一个振荡系数我们把方程写成如下形式； 豢一威 ( d e ( 口，霉) v 口) ：， z ：扛l ，z 2 ) r 2( 3 3 ) 其中e 为小尺度参数，0 = p ( z ) 首先对求解区域粗网格剖分，对方程建立宏观上的有限体积算法格式( 见第二章) ： 丽0 0 ( p ) - l 赢旧柙珊小骨- i v pi ( p ) ( 3 4 ) 其中d 日( 口，g ) 为未知系数 然后对时间方向离散，假设n - 1 时刻的粗网格上每个点的含水率已经求得；现求下 一步一时刻各点的值在每片单元上采用双线性插值，可以得到m 1 时刻的含水率函数 目n 一1 ( ) = - v ( p ) a t - 1 其中( 尸】为各点的双线性插值基函数对( 3 4 ) 式用向后欧拉格 式得： v r p l 矿( p ) 一t l l k l ( d u ( o n - l , 。) v o “) 扛k ) - - 目t = 1 1 睁1 ( t ，”( p ) + 0 - 1 ) ( 3 5 ) l , e o v p 最后在t n 时刻估计饥上点上的通量d 日( 8 “，) v 扩( z k ) ； 在控制体上选择小单元( 见第二章) ，于每个小单元上建立如下微观问题： j d i v ( d ( 口“一1 ，z ) v r ”( y ) 三o 如( $ ) ( 3 6 ) 【 兄“( y ) 。z ( ) -。 其中v 为粗网格空间中的任一元紊记。为y 在“的线性近似由第二章豹方法 得到 。日( 0 n - l , z k ) v o n ，= 志厅乏，c 旷1 耐m 1 6 多尺度有限体积法及其应用第三章多孔介质中的流动问题及实验 代入( 3 5 ) 得 a n 十萨：务 求得n 时刻各点的值最后按时间一步一步重复做下去 3 3数值实验 考虑实际问题，对于所给定粘壤区域q = f 0 ，l j i o ，l j ，t = 0 1 ；我们假设在0 时刻各部 分的含水率为残留含水率我们假设区域的边界都有水流进入，在边界上我们给定条件 与时间有关目标是计算注水以后不同时刻，区域内土壤各部分的含水分布情况 以含水率0 为变量，建立初边值问题如下的方程： f - d i v ( 帮v o ) = ， i n ( o ，t ) n 日= o 3 5 0 ( o ，t ) a q ( 3 7 ) i o o = o ti n q ，t = 0 令d ( 口) = 勰= 赫，= o ； 在模型中使用如下的v 缸g e n u c h t e n - m u a l e m 公式： 口= 钾+ ( 吼一啡) ( 1 + in l p l n ) 一m ，k ( s ) = k c g 1 一( 1 3 去) m 1 2 其中i p 为水头压力势是一个多尺度系数8 ，m ，n ，为参数且m = 1 一i 1 因为d ( 口) = k ( s ) i 裔l ( 【l7 】) 通过计算可得到有表达式 d c s ) = i ( i 1 丽- _ m = ) 否k , 了3 ；一击( ( 1 一s 击) 一”+ ( 1 一s 去) ”一2 ) ； 实验所用的土壤取自v a ng e n u c h t e n ( 1 9 8 0 ) 的g u e l p h 壤土( 【1 7 】) ，它的v a ng e n u c h t e n 水力参数如下： 啡= 0 2 1 8 ，吼= 0 4 3 4 0 ，a = 2 0 0 ，m = 0 6 3 7 6 8 多尺度系数我们取； 驴豢20 些1 5 c o s 鬻侧训 9 +( 掣) 下面是在计算机上得到的h m m - f w m 解与用细网格剖分得到解之间的相对误差( 同 上例) ，以及在不同时刻含水率的分布图 情况1 ： 取e = 击 多尺度有限体积法及其应用 第三章多孔介质中的流动问题及实验 宏观上我们采用n = 4 4 以粗网格中心选取微观单元，宏观单元与微观单元的比记 为：r a t i o = 8 ，在微观单元上用n = 1 6 1 6 剖分；我们以直接对区域n f l n e = 5 1 2 5 1 2 剖 分，所求的解作为精确解时间方向上步长为a t = 磊，我们选取特定时刻，得到误差如 下： 表2 含水率分布图 粗网格上 细网格上 t0 0 2 5 0 0 5 o 0 ，7 5 0 1 l o c e r r o r 0 3 4 9 9 403 5 1 0 00 3 0 3 0 10 3 0 2 8 7 l 2e r r o r 0 2 2 3 6 30 2 2 8 0 30 1 4 0 9 80 1 3 7 9 0 h 1e r r o r 0 8 8 4 3 80 8 8 3 0 00 7 7 2 2 90 7 6 8 2 7 图5 ( t = 0 0 5 ) 图7 ( = 0 0 5 ) 图6 ( t = o 1 ) 图8 ( t = o 1 ) 多尺度有限体积法及其应用第三章多孔介质中的流动问题及实验 情况2 ： 取e = 击 宏观上我们采用n = 8 8 以粗网格中心选取微观单元，宏观单元与微观单元的比 记为：r a t i o = 4 ，在微观单元上用”= 1 6x1 6 剖分；在求准确解时，我们直接对区域 n f i n e = 5 1 2 5 1 2 剖分时间方向上步长为a t = 三，我们选取特定时刻，得到误差如下 表3 t0 0 2 50 0 50 0 7 50 1 五。e r r o r 0 3 0 9 5 0 0 3 2 4 2 40 3 1 4 3 7o 3 0 2 7 9 l 2e r r o r 0 1 3 7 5 30 1 6 6 7 30 1 0 7 2 50 1 2 1 0 3 h 1e r r o r 0 7 3 6 6 60 7 8 0 9 60 6 4 8 7 40 7 7 9 0 2 粗网格上的含水率分布图 图9 ( t = o 0 5 ) 从上面图可以看出，当粗网格加密时 图l o ( t = o 1 ) 它的图象越接近于细网格上的图象 多尺度有限体积法及其应用 第四章总结 第四章总结 本文介绍了多尺度有限体积方法，用于计算一类多尺度抛物方程我们对此方法作 了误差分析，给出了数值算例以及在多孔介质非饱和流问题中的应用误差分析，我们 是建立在全离散的多尺度有限体积格式上这种方法的优点在于： 1 ，宏观上的有限体积 格式保证了物质局部的物理守恒性质；2 ，在计算方面，大大减少了工作量 3