（概率论与数理统计专业论文）刻度指数族中参数的eb检验问题.pdf

摘要 经验b a y e sf e b ) 方法应用在多次独立的面对具有相同结构的b a y t 、| s 决策序列 时的统计推断问题，这一方法在文献中有很多i ：t i 含，主要是对单参数指数旌的。 本篇硕士论文研究刻度指数族中参数的e b 检验问题。 本文第一章对e b 方法的历史和此项研究的背景作了介绍。 本文第二章在加权”线性损失下，讨论r 刻度指数族中参数的e 1 3 检验问 题，利用概率密度函数及其导数的核估计方法构造re b 检验函数。在较段的 条件l i ，证明r 它的渐近最优性，并获得了其收敛速度。结果表明在适当的条阿一 下，收敛速度的阶可以任意接近川扩a 本文第三誊利用单调e b 俭验疗法进一步对论了刻度指数族中参数的e l 俭 验问题，利用基于b t 、s s ( j l 函数的核估| - ， - b 。构造了e b 检验函数，并获得r 其收敛速 嚏。在适当的条件下，收敛速度的阶可任意接近叫，t ) 最后，在论文的第四章，给出两个应用。 a b s t r a c t t h ee m p m e a l1 3 a y e s ( e b ) a p p r o a c hi sa p p l i c a b l et os t a t i s t i c a li n f e r e n c ep r 0 1 ) l e l n s w h e no l l ei se x p e ti e n c e dw i t ha l li n d e p e n d e n t s e q u e l l c eo fb a y e sd e c i s i o np r o b l e m se a c h h a v i n gs i m i l a rs t r u c t u r e t h i sm e t h o d h a sb e e nw i d e l yd i s c u s s e di l la g r e a to fl i t e r a t m l e s p e c i a l l yf o ro i l e - p a r a m e t e re x p o n e n t i a lf a m i l y i i lt h i st h e s i s w es t u d ym a i n l yt h e e bt e s tp r o b h m l sa b o u tt i l ep a xa l l l e t e if o rs c a l ee x p o n e n t i a lf a m i l y r e v i e w e dt i l e h i s t o r yo fe bm e t h o da n di n t r o d u c e dt h e i t it h es e c o n dc h a p t e r u n d e ft i l ew e i g h e dl i n e a rl o s sf l m e t i o n ，t i l ee bt e s ti ) l o b l e m o f p a t & l l i t ! l i t l f i ) t s c a , l ee x p o n e n t i a lf a m i l yh a s1 ) e ( l ld i s c u s s e ( 1 t i l ee bt e s tr u h 、x ；t r e i o l l s t lu 1 t ( 、( 1 1 ) y kc 、ln e le s t i m a t i o nm e t h o d i ti ss h o w l lt h a ti t i s y i j l i j t o t i ( 州l yo p t i m a l u l l d e ls i l i t a b l ec o n d i t i o n t h e0 1 ( 1 i 、i ( ) ie i l p i ) ； m e t h o dt h ee bt e s tr u l e sh a v l 、b e e l lc o l l s t lu c t e db yk ( 、in e le s t i m a t i o nl n e t h l ) dhr l 、【 ) i tb e s s e lf l l m ：1 i o l l s t h ec o i i v ( i g e n c el - a t eo fe bt e s tr t l l e si so b t a i n e di ti ss l l hl lt h a t t h eo l + d e to fc o i i v e l g e l l e er a t ( 、( ：a l lb ea l 、b i t r a r i l yc l o s et od f r 1 1 1 f i n a l l y i nl a s tc h a p t e r t w oa t ) i ) i i c a t i o n , so tt h em a i nr e s u l t sa 1 s h o w i 第一章引言 亥4 度指数族是一类应用非常广泛的分布，在各种领域都有着相当频繁的使 用。本篇硕士论文将研究刻度指数族参数0 的经验b a y e s ( e m p i r i c a lb a y e s 。简称为 e b ) 检验问题。 b a y e s 分析足现代统计推断的一个重要方法，它渗透到了统计研究的几乎所 有重要领域。b a y e s 分析与经典统计方法的主要不同之处是在于进行统计推断时 除了利用样本提供的信息外，还要利用参数的先验信息，传统的b a y e s 方法的一 个重要问题足如何确定先验分布。当参数的先验信息积累不是足够多时，若对先 验分布作了与实际情况不相符的人为假定时，所得到的b a y e s 解的性质会很差 e b 方法就足针对这一问题面提出的。它的实质是利用历史样本对先验分布或其 重要特征作出估计。 自r o b b i n s 【1 1 1 2 1 引进e b 方法以采，对e b 检验问题已有了相当多的研究，主 要是关于单参数指数族的。关于单参数指数族中参数的e b 检验问题，最早屉由 j o h n sa n dv a nr y z i n1 3 1 1 4 i 提出来的，他们分别讨论了连续陛和离散性单参数指数族 中参数9 的卜i 列检验问题：执：9 岛一_ f ，i ：0 岛，并研究了e b 检验函数的 大洋本性质。w e i 例川考虑了上述两类分布族中参数8 的双侧的e b 检验问题： m ) ：0 】茎臼0 2h 片l ：0 0 ：。v a nh o u w e l i n g e n1 7 ，l i a n g 8 1 ， k m h l l a l r lk l l l i 1 dy a n g1 9 1 ，k m u n a m u n i f l 0 1 分别研究了上述两类分布族中参数的单调的e b 检验 问题，大大改进了e b 检验函数的收验速度。l i a n g 利用基于b e s s e l 函数的核 估计和俭验单调性对正指数分布讨论e b 检验，获得更高的收验速度。关于刻度 指数族中的e b 检验问题。胡太忠和潘国华m 在线性损失下讨论了刻度参数的 单侧的e b 检验问题，s i n g h a n dw e ii t 3 研究r 刻度参数双侧的e b 检验问题。 本文与他们不同之处是在“加权的线性损失”下讨论刻度指数族的e b 捡验 问题，该损失函数具有不变性，所以对于刻度参数采用这种损失函数较线性损失 合理。采用这种损失函数另一个理由是，它使得b a y e s 检验函数表达简洁，且易 于构造其e b 检验函数。 考虑模型如下：随机变量x 的条件密度函数为 ，。( ，r 10 ) = z ，n ) f ( 目) e x p ( 一r 0 ) = f f ( r ) p “| ，( ii ) 其中f ( r ) 0 ，v r 0 ，p ( j l0 ) = c ( 0 ) e x p ( 一r 口) 且f ( 目) = f “( r ) e x p ( x 日) ( r o 1 0 0 ：c “( 目) 吼 ( 11 ) 此处0 f 】为给定的常数。 本文第二章将讨论参数0 的b a y e s 检验函数和构造其e b 检验函数，并研究 e b 检验渐近最优性( a o ) 和收敛速度。第三章利用单调e b 检验方法讨论参数0 的b a y e s 俭验函数和利用基于b e s s e 函数的核估计构造其e b 检验函数，研究结果 表明e b 检验的收敛速度得到很大的改善。第四章将给出主要结果的两个应用。 2 第二章刻度参数的e b 检验 关于刻度指数族中刻度参数的e b 检验问题，虽然胡太忠和潘国华u 2 ，s i n g h a n dw e ib 3 1 在线性损失下讨论了这一问题，但是我们认为对刻度参数的e b 检验 采用下面2 1 中介绍的“加权线性损失”要比“线性损失”要合理，其理由如下： 首先“加权线性损失”函数具有不变性。而线性损失不具有这一性质；其次在“加 权线性损失”下获得的b a y e s 裣验函数的表达式更为简洁，它使e b 检验函数更 容易构造。于是基于上述理由本章在加权线性损失下对刻度指数族中刻度参数的 e b 检验作了进一步的研究获得了一些有益的结果。 2 1b a y e s 和经验b a y e s 检验函数 设检验问题( 1 2 ) 的损失函数为下列的“加权线性损失” 这里常数“ 0 ，d = d o ，dj 是行动空间，砒表示接受m ) ，c ，j 表示拒绝h 一 假设0 的先验分布为g ( 0 ) ，g ( 0 ) 未知，没随机化判决函数为 m ) = p ( 接受h 【j f x = 川 ( ：! ) 则d ( r ) 的风险函数为 这里 眦g ) _ 上f i “彬“旧6 ( a ) + l j ( o , d l ”( j ( 1 叫叫 d x d g ( = “i “卢c r ，s c x ，“r + c e j ， r z ， 驴上l ( 州渊d g 虬川= 上学几脚j f 2 4 ) 岛 学学 令m x 的边缘密度为： 厂 ，( r ) = ff ( x io ) d g ( o ) = f ( r ) p ( r ) 2 - t 圳螂t ”= l d 8 ) e x p i 一 嘏8 ) 由于p ( r ) 的一阶导数为： ( 25 ) ( 26 ) p t 归一j ：；邶) e x 卅一洲g ( 盯 ( 27 j 由( 2 4 ) 可知 卢( ) = f cr ) + 乩( r ) p ( r ) 、 ( 28 ) 由( 23 ) 叮知b a y e s 检验函数为： a 。c 一，= a c x ，= ：萋蛋：i ：， t ：。， 其b a y e s 风险为： 尺( g j = 吨f r ( 正g ) = r ( d ( j ，g ) = “f卢( r ) 6 ( j ( rj ( 7 ，r + c ( ，( 2i o ) u l 述风险当g 已知且6 = 既时足可以达到的。但此处g 未知，d 。对我们足 未知的，因两无使用价值，因此需要引入e b 方法。 在e b 问题的结构中，作如下假定：( x l ，o i ) ，一，( x ，q ，) 足相互独立的随机同 量，聃( ，= 1 ， ”j 和。足不可观察的，通常假定它们具有共同的先验分布g ； 且x r ( ，= i ，z ) 和x 是可观察的，假定它们有共同的边缘密度如( 25j 所示。通 常爿”，一，称为历史榉本，x 称为当前样本。 为构造e b 检验函数，类似于s i n g hi t 4 1 ，采用如下核估计方法。令。，t 为任 意确定的自然数，一为所有定义于斤2 上，在f o ，f ) 以外皆为0 的b o r e 可测有界 实值函数。髓t 。，i = 0 ，l 满足条件： 击2 7 蟛o ，咖= ：；i i ，：。，；，一。 c zi j ， 令0 h 。i0 ，当n o 。定义 献班去喜杨( 等) 纵。2 去靴( 等) 志 定义p ( ”和6 u ( x ) 的估计分别为 届，( 曲= 厶( r ) 十如姒) 成( - r ) 、 以= ：鬻篙， f 2 1 2 ) _ r ! i3 ) r 2 j 4 ) f 2 1 s ) 6 。( ) 的b a y e s 风险为 r ，( 坑。g ) = n l芦( x ) 。6 以j ) d ，t + c ( j ，( 21 6 ) j 0 此处。表示关于( x 。蚝) 的联合分布求期望。 按定义，若对任一先验分布g 有i i m r 胎。回= r ( g ) ，则称“具有渐近最优 性0 j 。若对q 0 ，r “g ) 一r f g ) - o ( n ”) ，则称c 5 , ，的收验速度的阶为o ( n 一。l 2 2e b 检验函数的渐近最优性和收敛速度 v e 0 ，对定义于( o ，十m j 上的实值函数，规定 烈r ) = s u pi ( ，y + 二) | 1丘“h ) ：s u pl ( r + 习f ，vr 0 这里“足，的一阶导数。规定( p f f j ( r ) = 寨本文中假定 ，( r ) c ”( 21 7 j f 、，表示拧1 中的一族概率密度，其s 阶导数存在且绝对值不超过y 以下本文中tc k c 2 ，皆表示常数，且在不同处可表不同值，即使在同表 达式中也是如此。为证定理，需要下述几个引理。 5 引理2 1 设只( g ) 和r ( 乳g ) 分别由( 2 1 0 ) 和( 2 1 6 ) 给出，则 。鲰舰g ) 叫6 ) 细上“”愉“卜刖刖t 证明：见j o n h n s v a nr y z i n 1 4 引理2 2 设卢( r ) 由( 28 ) 给出，若e ( o - 1 ) 0 0 ，则 证明：由( 28 ) 可知 口( x ) i d x o o i “l 卢( r ) 旧z = “i ，( 。) + 如c ，( 。) ，7 【r ) l d r 小岛、卜c r ，j = ；c c 0 ) e x p ( - x 删m v = ，十a ，。( ：； 。( ”u ( x ) c ( 0 ) e x p ( - x o ) d r i “g t 。，= + o o e ( o - i 引理2 3 设，( r ) 和 ( r ) 分别由( 25 ) 和( 111 ) 给出 的r 确 ) 若( v ) 在( o ，+ o 。) 上连续，则当h ，一0 ，7 ，一+ c 。( ，? 一一) 时，对任意给定 l i me ，| ，( ，r ) 一，“) i = 0 ( 2 ，若，( ，r ) c 、，贝r j x , j - 0 ， 2 ，当取h ，= 一r 一由时，对任意给定的r 自 e 。，( t ) 一，( j ) i 。s 口? 蛊 证明：( 1 j 由。一不等式可知 e 一 ( r ) 一，( ，r ) 12 v a j ( ( r ) ) 】! + 2 fe 。疗( r ) ，( q 卜( 2 18 ) c 触”：( 1 - 1 7 t 1 。i 百x - x ) 净帆一f l 霹( 彤c 州k d o l 正( ，r ) ( n h ，) 6 ( 2 1 9 ) f 由( 2 1 9 ) 知当，如；一。仍一+ m ) ，对任意固定的z 有 l i r a v a t ( f ，( j ) ) = 0 矗，( ，r ) 一( j ) ：ir 托) ( ) ) ( ，( r + 一) 一，( 。r ) ) f oi ， ( 2 2 0 ) 0 由扎c ) 的连续性和( 22 0 ) 可知，当h 。一0 扭一+ 。) ，对任意固定的r 有 0 l i m 一 r 1 厂( r ) i f j k o ( y ) | i mi ( 几蛳1 ) - f ( x ) ) i , r 0 - = 0 0 ” 再由公式( 2 1 8 ) ，取， - 1 可知 呶一l i m 。、e 小胁j - ，( r ) i 己煦， v a r t f , ( 圳h2 l i r a ie ”肌r ) 一i = 0 引理2 3 i t ) 得证。 f 2 ，对，( r + h ) 在r 处作t a y l o2 展开得 ，( m 。) = ( 小掣“一篱( 这里0 f 1 利用核函数的性质( 21 1 ) 有 ，、。1 ( r + f ，j 。疋。) 一( 。) i = i 、j = 托，( ，“y r + hv ) - ( ”) c “ 铲卜( 小k 埘小川趴 s 圭小惭，i d y f i ( o h 曲i 取h ，= 1 1 - 士，由( 2i7 ) 一( 21 9 ) 和( 21 lj ，引理23 ( 2 ) 得证，引理证毕 ( 22 1 ) 引理2 4 设p ( r ) ，( 和风( = j 分别由( 26 ) ( 2 7 ) 和( 21 3 ) 给出，2 ( r ) 为r 的单 调增函数， 7 ( 1 ) 若| ，( ) 为x 的连续函数，则当h 。一0 ，如，一o 。研一+ * ) 时，对任意给定 的一有 i me 。ip ；d r ) 一p 。( ) i = 0 ( 2 ) 对0 2 ，当取h ，= n 一击时，对任意给定的x 有 e 川p ：( j ) 一p 。( c ) ps c 1 ( p f ，) ；( ) + c 二ip 1 ( r ) i 勺h 一舟 证明：( i ) 由c ，一不等式可知 一p ：，( ) 一p ( y ) l 。1 2 v aj f p i ( r ) ) 】j + 2 i 。，：，( ) 一p ( j ) r 【 ( 22 2 ) 由于z f ( v ) 为r 的单调增函数，所以 c 们h 州最) - l v a t ( f i ( 等) 志) 如功“j ：啪议肌n 一m 。 ( i ( p 州r ) ( j ? 俄) 当，醒一* f “一+ 。，对任意固定的r 有 胁 v m ( 厩( y ) ) = o 另方面，将p ( r + ) 作t a y l o j 展开2 项，利用核函数的性质( 2 ，i i ，有 p ，( ) l ，( 。) ) 九 ( 22 3 ) 这里0c ，7 1 。利用p t r j 的连续性，当h 。一0 ( 1 1 一十m ) ，对任意固定的r 有 r 1 o r( 2 2 5 ) 其中r 为充分大的正数，若f ，0 为任意正数 o ，1 若卜) 目掣j cc o ，则肌。出 ( ! ) 若p ，( r ) 为r 的连续函数，e f ( ( 自) 9 掣“j cm ，则f h ( 删九r ) i t - k h c 。 证明：( i ) 由于 j ：”c ，( x ) ) t - t d x = j ：”c ，r ”，1 i 矗x r 上、t ，。，一i c t r = ，- + 龟 t ：! s ， 显然l o 。由h 6 1 d e r 不等式可得 1 2 = 9 ( 22 7 ) 出一 ，h。 l i 、= 陋 旷 ! | i 二 r r 订r kp o 一 ，一。 f 显然l z l * 一利用( 王2 5 ) 可知 场s 小挚上帮m p ( - 删脚嫩 f o o “ o - i 牛孚】一与苷t e x p ( 一x 眦叫g ( 日) 由( 2 ，2 7 ) 知7 2 m ，再由( 22 6 ) 引理25 ( i ) 得证。 一，；矗。+ n 畦。帆。) 0 r 由，( ) 为的连续函数可知，当r 【o ，r i 时，i t ( ) i ! f 一。正r = , i + ，!( 2 2 8 ) 从而易证j 【 m 由 h 6 1 d e r 不等式可得 ，! = j = “1r f i r f f + f “fu ( x l p ( x ) i 一。j c ，t r 叫r 糟l u ( x ) p ( x ) r d r1 - 2 蚺 显然- 2 i 由( 2 2 5 ) 可知 点二mr 、。替w j o ：mf 渤8 掣 ( e k 日j 目如 由( 2 2 9 1 知止 o 。，再由( 22 8 ) 引理2 5 ( 2 ) 得证，引理证毕 引理2 6 设，】( 。) 由( 2 ，6j 给出，若e ( 0 1 ，则 证明：易由 f( x ) p 。一 ：厂 ，o u ( x ) j“( x ) f ( 口) “p ( j 0 1 0 r 日一一c ( 日) e x p ( 一o ) d g ( o l d j d x o ) d x d g ( o ) = e ( o 一l o h 滞半 日 口 “ r 儿h 三_ m 把 = 一 f 卢 z h 厂 f 出 砷 于 啪 由 吖刁。f 0 n 吣 臼6叫 虹 吖 郇 t 研 将 0 卜 州蚪 郇 旷 融r。 r雩。l，_ f r i l x 引理2 7 设j i ，e c ( o ) o 。】 o , d ，叫f ( 回】 o 。，则对任意r ， 11r j f ( 臼) 】 _ ) _ ) 证明：由h 6 1 d e r 不等式，对任意，0 ，s j e 【( ( 】= el ( c ( 8 ) ) 掣( ( ( p ) ) 15 ( c ( 日) 】) 掣( c ( 臼j ) 定理2 1 设r ( g ) ，尺。( 氏，g ) 分别由( 2 1 0 ) ( 21 6 ) 给出，若e ( o _ 1 ) c o 且厂( r ) 和 p ，( r ) 为x 的连续函数时，则当h 。一0 ，n h i 一。一m ) 时有 证明：由引理2 ，i 可知 l i m ( r 。( 6 小g ) 一只( g ) j = 0 尺“d 。g ) 一尺( g ) “r 、l 卢【r ) i p i 【届，( t ) 一卢( ) i l 卢( y ) i i d y ( 】 令口，( r j _ i 口( r ) i p i 卢“r ) 一卢( y ) j ! i 卢( y ) 易见日。( 。r ) j 卢( r ) i ，再由引理22 知 f i p ( r ) m cd 。，故由控制收验定理可知 l i m ( r g 卜肿胚c r f 腮、鼠( 蹦r 由m a r k o v 不等式，引理23 ( 1 ) 引理2 4 ( i ) 和c j 一不等式可得 翼b ，正r ) 一l i r a 、e l t l , 6 “( - 一卢( u ! 一l i r a 。岛”一( j + o o l 。心川。 i m 。已 一【r ) 一以r ) j = o 因此将上式代入到( 2 3 0 ) 得 o i m ( 引g j 川g 肛“f ，熙巩( 删r = 。 r 2 3 0 ) 定理证毕。 定理2 2 设尺( g j 和r 。( 乱gj 分别由( 2 1 0 ) 和( 21 6 ) 给出，设下列条件成立 ( i ) 存在正的常数m 和， 使得( 22 5 ) 式成立，且n ) 为，r 的单调增函数 ( ) ，( r ) c 。，p ，【r ) 为的连续函数 ( 3 ) e ( o - 。) 。，e 【f ( 目) 】 。，e lc ，( 日) 日竿孚+ + 1 l 为整数，0 ，i 0 为任意小的正数，则当取h ，= ，? 一由时有 r ，( 6 。6 ) 一r ( g ) =d ( ，f _ 黯。) 证明：由m a r k o v 不等式，o 一不等式，引理2 3 ( 2 j ，引理2 4 ( 2 ) 可得 o 尺，( 6 小g ) 一尺( g ) s “r “i 卢( ) 一一卢。【m 一卢( ) d r 0 g 上慨埘r 协嘣。j - 加川| + “”乜懈妒贴) | 恤 a i ? + b 。+ c 卢( ) l ! - t dr + ! 月一措 由引理二7 和引理25 ( 1j ( ! 觑r ) i 。一。( r ( 由引理21 和引理25 ( 1j j ：、。l c r ，| 1 一 t ，cr ! c ，。( y o “l 卢cr ，i j r ) 【一5 ( 工4 c ，cr ，i d x ) c 。 由引理2 2 和引理26 因此有 c ，c r ，尸y 1c r ，1 2 d x 竿孚+ r ，其中0 c _ s 2 ，r ，0 ，f ，0 为任意小的正数，卢，0 显然，( r ) 是的连续函数，i j ) c 。，“为。r 的单调增函数且 刚。j = 等c o 。取剀= ( 0 - 1 ) co 。， 卜妒岩“+ lj ：p 掣”) ：坐掣芦斜”。 因此定王 | 2 ：的条件皆满足，其结论成立。 第三章刻度参数的单调e b 检验 第二章获得的e b 检验函数的收验速度在一定条件下可任意接近o ( n 一) 为了 改进这一收验速度，有两种途径，一是利用检验的单调性，二是利用基于b e s s e l 函 数的核估计( 见l i a n g 1 ) 。这样构造e b 检验函数的收验速度的阶为0 0 7 1 ( i n 州7 ) o ，0 为常数，大大的提高了e b 检验函数的收验速度。 3 1 b a y e s 和经验b a y e s 检验函数 设r “x 的概率密度函数仍如( 11 ) 所示，本章邯，考虑检验司题( 12 l ，损失函 数仍如公式( 2 1 所示假设8 的先验分布为g ( 哪，g ( 8 ) 未知，令一x 的边缘密 度为： m ) - 上几删帖i f ( 嘶圯n 【3 1 ) 出 - t io ) d g ( o ) ： ：m 婶t x o ) d g ( o ) t 扯1 j o0 ) 7 ( ，= 一o - i c ( o ) e x p ( 一r 自) d g ( 日) i 3 3 ) 妒( r ) = ( 目一1i x = x ) = - p ) ( x - - r - j 2 3 4 ) 设随机化判决函数为 d ( r ) = p ( 接受hji ) ( ：r ) ，( 3 5 ) 则d f r 的闶滁丽数为 删g 卜、j 三f ，( 坝x ) + l l ( o , d l 班j f l 叫洲出掀口) ：口r 、卢( r ) d ( r ) d y + c “，( 36 0 0 这里o = 厶l l ( 日，d t ) d g ( o ) 雕) = 上等删j = ，( 卅帆批( 州l 一州删( 3 7 ) 1 4 由c a u c h y s c h w a r t z 不等式可知 妒n ，= 赤卜上一邶m 卅圳，似印j ( 咖m 盱舢g + ( 上o - i t ( o ) e x p ( - r o ) d g ( o ) ) 2 b 故妒( x ) 连续且是单调降函数。 由( 35 ) 可知b a y e s 检验函数为 = i ，嚣霉= 1 i 戮嚣 本章作如下假设： 【a i je ( o i ) o 。， m u 墨器妒巧l ，、旦强些( 1 ) 3 d ( g ，f ) ；f0 - c f p 丘t g ( o ) c 虹时烈，r ) o , p ? 为任意的自然数。定义r ( r ) ，j ，cr ) 的核估计如下 j 1 x 1 p ：( ) 对j = l ，2 ，叫7 令 易觅献x 1 估计为 去喜警( 竿) 1 一嘉喜等竿卜( 竿) o f ( r ) ，( x ，一v ) h ：u ( x ，) f 3 f 3 12 眦( 竿卜k | ( 下x l - i - 1 | 限- ， m = 胁) 协f c 蝴班芝h ) 令6 ，= l n f fr 0 ：p f ( r ) = ，7 一扎m 。= 0 0 ( i m ) !定义髓检验函数为 ， f 1 若。r 6 ，或 6 m 。且j , ，fr j 风t ， 哪正旷；静m 嘶，们啪m n ， ( 2 ) 由引理32 知 们 0 ，当0 = 、，爵时，m a x q ( 日) = q ( 赢) = ，7 二 因此有 ，) i 茎(x 日一日f 軎+ 百0 0 + 1 1 b ( x u(x)c(o)exp(t1)dg(o)0 ，7 ) i 茎f叫日刊l 署+ i + l j i 口 “ 纠咖t 。小，隆等+ ，d g = 警【( o o h “+ j ) d ( g ，0 ) + o o d ( g _ i ) j ， ”一 lj ( 4 ) 由于“( 。r ) 为的单调增函数，且ik ，( 兰) i51 ，i = 0 ，1 因此 从而有 1 x i 萨吼；+ 吼 y ( ，r ，x ， ) 一。y ( r ，x i ， ) i 12 ih o o f + 鼠) 】h 一二 引理证毕。 推论3 1 对r ( 南，) ) ( 】兰巩7 ) 掣f h - 1 d ( g ，o ) + d ( g ，1 ) j ( ! ) v w ( y ( y ，x l ，z ) ) 4 0 9 h - 3 ，( ) ， 矿“，“r ) ) s4 0 0 n 一1 h - 3 ，i ( 3 ) iy ( r ，x ，j ) 一e 。y ( x ，x ，m 【4 0 0 h 一 证明：注意当v f “，m ，) 时，由舰。的定义知01h o o ( i ) 因此h 1 0 ，从而 。兰口( x ，n js j ( “( x ) c ( 目) e x p ( 一一自一日 ) l 軎+ 鲁】c f g ( 日，自 if j “c x ，n - 2 j = c c a ，i 百0 0 + 鲁1 一g c 一， = _ o o u r ( x ) h - i d ( g ，o ) + d ( g ，i ) | _ ( 2 ) 由引理3 3 ( 2 ) 和0 茎h10 0 易证。 9 ( 3 ) 由引理3 3 ( 4 ) 和0 hso o 易证。 推论3 1 证毕。 定理3 1 设尺( g ) 和尺，胎。g ) 分别由( 3l o ) 和( 3t d ) 给出，假设 a | 】【a 4 】成立 则 月。( 卤g ) 一r ( g ) = o f h - 1 i j n ”) 6 ) 证明；定理证明方法与l i a a g 类似。设存在a o - ( n ) 满足“0cc 也 t _ 上lb ) 妒( “( j ( ，7 ) ) 一1 = l l ( a u ) 【d ( g o ) + h ( a 。+ n ) d ( g ，1 ) 】【 j ( “u ，h ) 哦，l 】 尺。( 占小g ) 一尺( g ) = r “卢( t ) 【，巧“r ) j 0 r m 二 d ( j ( ) m y + ip ( 6 。( x ) = oj 【卢( x ) d o j t r“，一】rm- + fp ( 占1 1 ( x ) = o ) 【卢( x ) 】d x + f p 【d 。( x j = o ) 卢( x ) d x c 7 r ? 仁m ，mj ，v 7 “+ l r m l l + 上。p ( 坑“x ) = 】) 3 ( x ) d x + 。l ，+ lp ( 也“x ) - 1 麒x j d x + r + “卢( r ) 【e ，4 ，( r ，一6 ( j ( r ) j f r - ， ，。 =1+i2+|3+i|一15+h+i7、t31 1 i 当j ( 0 ，f ，) ，显见民= 1 且文，( r ) _ 1 因此有。“( y ) 一乱( = 0 故 ，v “ 1 l = f 声( o e 扣。( r ) 一沌( o d r = 0 ( 2 ) 当r ( 旬，“( ，2 ) ，既( f ) s 、尻，( r ) r 门兰f 、厮，陋。2 ；j 1 。3 l 3 i8 ) ：i ，故有卢【) 0由白的定义和假设【a 4j 知 由引理3 3 0 ，当，充分大的时候， j 触，+ 鳅t 7 2 ， sl u f o t 4 r ) i - o 。9 ( x ) + 警l ( 掣+ ，) 即。吣删g ，1 s 争“， ，( 警) r - 一如北划：，+ 嘉f 卜m ”，：( 蛎“( 等) ) i 3 + t ) 取g 期+ 。c g 0 2 0 所以，由引理33 ( 1 ) 一e 。i 8 1 t x ) = 一 如一j 由b e m s t e i n 不等式和推论3 1 得 l l j 卢( 。+ b ( x n ) i 觑r ) p ( 叭。卜。) p 弘“x ) 一e 胡。( x ) 一护1 ( x ) pi ? , ( x ) - e 胡。( x ) 2 i 一争( x ) j 鲰p _ 2 v a r ( y ( x 丽邢。胆+ t r o o h - 2 1f l ( x ) ”x p 一 f e x p 一丽3 n 州驯m 氏h - 3 , ，( x ) + h - 2 懈圳j 鲰p 一未础删，( 埘l 一州删二【1 2 ”州，腧北) - ”】) 一p _ 需未以州卜m 州：【1 2 ”，7 ( ”州蛳一) 】 s e x 一 一丽n v 3 ( x ) 丽3p ( 等) 【一妒( 警) | t 。一，z ( 警n ) ( 粕妒( 警) 一t ) l 。 叫 一三r 。f 7 ) i f 3 1 9 n 冲1 一面矛7 m o ”f 击，( 等) 【l 一日呼( 导) j ：【1 2 8 0 + ( 等) ( 自c ，妒( 孚) 一i ) 】，上式最后一个不 等式利用r “的定义。所以 扣f ”跗“牡叫啊x ) d x _ e x p 一丽i i 2 删，忻“懈x 螂一卜羔亿m ， 蝴唧“m r e x p 一羔r “山k 吲矿n ”) ( 、 上式第一个不等式利用1 卢( r j 】= ，( r j ( 妒( ，r ) 一1 ) o o f ( r 肛( r j ( 3j 当( “2 ，啦如? ) ) ，d ( ，( r ) = 1 故有卢( r ) o 由b e r n s t e i n 不等式和推论31 ，类似于( 31 9 ) 得 咐n ，= 吣r 缸x ，咱剐x ，；一ix ，) 曼r ”c x 卜即“x ，一；雕，_ 螂。 - 而意黑 一妒【r ) 】： j2 0 ( ) + ，f ( ir ) ( f ( t ) 一1 ) 】 o oq o ( u ij 二f 2 孰i + j i ( ( b ”) ( 酝j 妒( 毗j 2 ，一j ) l ! e x p 一”h 3 ( 口( ，2 ，砌r 。! ( ”j 鼠，铲( ，r ) 一l 】二 l g q ，r f ，! f ) = i 壬以，】1 1 2 0 ( ，+ ( “，r ) ( a ) 乒( f r ( ，, 2 ) 一】) 】，c ，1 = i 1 m ，( ：竺；! r ! “。 所以 几：“1p ( d 。( x ) ：o ) 【书