（理论物理专业论文）一维交通流元胞自动机模型的研究.pdf

摘要 l 本文主要包括了对三个交通流元胞自动机攫型进行的一些解析研究工作。 ( 考虑到同一时步前车的运动可以使车辆以更高的车速运行而不会导致两车相 撞，从而可以提高总的车流量，我们可以将基本f i 模型推广。我们对这个推广 后的f i 模型加以讨论，数值模拟得到其基本图。并引入双车车距的概念。在一 些合理的近似下，得出了一般m 的解析平均场理论。特别地，对m = 2 的情况， 本文给出了更加接近数值模拟结果的解析理论及基本图。0 、 追尾车随机慢化模型是介于基本随机慢化f i 和n s 模型之间的一个交通流元 胞自动机模型。我们假设模型中车距满足独立分布假设，对一般m 得到解析平 均场方程，并以m = 3 为例，具体给出了理论基本图，与数值模拟结果有很好的 符合。 一 最后，本文还对双通道决策交通流模型作了数值研究，并给出了一些初步的 定性分析。 a b s t r a c t a n a l y t i c a ls t u d y o fs e v e r a lo n e - d i m e n s i o n a lt r a f f i cf l o w c e l l u l a ra u t o m a t o nm o d e l s i nt h i st h e s i s w em a i n l yg i v es o m ea n a l y t i c a ls t u d yt ot h r e eo n e d i m e n s i o n a l t r a m cf l o wc e l l u l a ra u t o m a t o nm o d e l s c o n s i d e r i n gt h a tt h ef r o n tv e h i c l e sm a y a l s om o v ea tt h es a m et i m es t e p ，i tm a y b r i n gt h ev e h i c l e st om o v ef a s t e rw i t h o u tc o l l i d i n gw i t he a c ho t h e r ，a n da l s oi n c r e a s e t h et r a 踊ef l u x s ow ec a nu s et h i sr u l ei nt h eb a s i cf im o d e la n d g e tan e w t r a m cf l o w c am o d e l w es i m u l a t et h i sm o d i f i e dm o d e ln u m e r i c a l l ya n do b t a i ni t sf u n d a m e n t a l d i a g r a m s t os t u d yt h em o d e lt h e o r e t i c a l l y , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t i o no f “t w o v e h i c l e d i s t a n c e ”w i t hs o m ea s s u m p t i o n w ea l s oo b t a i nt h ea n a l y t i c a lm e a nf i e l d t h e o r ye q u a t i o n sf o rt h eg e n e r a lm s p e c i a l l y , t om 2 2 ，w ea l s og i v eam e a nf i e l d t h e o r y a n da n a l y t i c a lf u n d a m e n t a l d i a g r a m sw h i c ha r e i nb e t t e ra g r e e m e n tw i t h n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s w ja l s os t u d ya1 1 2 o d i f l e df im o d e li nw h i c h o a l ya v e h i e l ef o u o w i n gt h et r a i lo f a h e a dv e h i c l em a yb ed e l a y e d t h i sm o d e l i sam i d d l et m m cf l o wc am o d e lb e t w e e n f im o d e la n dn sm o d e l a s s u m i n gt h a tt h es p a c i n gd i s t r i b u t i o ni s i n d e p e n d e n to f e a c ho t h e r , w eo b t a i nt h em e a nf i e l dt h e o r yf o rt h eg e n e r a lm o d e l ，a n dd r a wt h e d e t a i l e dt h e o r e t i c a lf u n d a m e n t a ld i a g r a m so fm = 3 t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa r eq u i t e g o o d a tl a s t t h et h e s i sa l s og i v e st h et w o r o u t ed e c i s i o nt r a m cf l o wm o d e ls o m e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s w ea l s ot r yt oa n a l y z ei tt h e o r e t i c a l l y 第一章引言 随着世界绥济的高速发展，世界各大城市无时无刻不受到严重的交通省塞现象的影响，这已 经给人们的生活带来了巨大的影响。每一分每一秒都会有许多人死于各类交通事故；造成的经济 损失更是不计其数。同时，车辆排出大量s o ：、n o ：、c 0 、c o ：等有害有毒气体，粉尘颗粒，烟雾以 及噪声。在人化日益注重环保的今天，这些问题也正越来越受到人们的广乏关注一一保护地球环 境，就是保护我l 人类自己。然丽，如今的社会又是一个讲究速度的社会各类交通设施也成为 人们生活中不或缺的一部分，因此，解决人们对于交通需求的日益增加和驰之带来的系列社会 问题之间的矛盾更加成为迫切需要解决的问题。毫无疑问，解决它的最有效的办法就是改善城市 运输管理体系，这也成为现代 ：业社会正常运作的关键所在。 我国目前正处于改革开放和社会经济迅速发展的阶段。随着城市化进程的深入人口规模也 不断扩大。进入8 0 年代以来，我国城市经济贸易等社会活动日益繁忙，对城市交通的需求也与日 俱增，在许多大城市里已经出现了交通紧张的局面，交通问题成为目前急待解决的社会问题之一。 然而城市规模越大，人口密集程度越商，能够提供给建设交通设施的空间就越少。因此不可能仅 靠增加交通基础设施来达到改善交通状况的目的。唯一的办法也只有寻找更有效的交通运输系统， 利用现有的交通设施来解决日益严重的社会问题。 事实上，交通理论作为一门物理学、数学、计算机学等多门学科分支韵边缘性交叉科学，其 研究早在上个世纪3 0 年代就开始了。由k i n z e r 于1 9 3 3 年首次提出并论述了p o i s s o n 分布应用于 交通问题的可能陛：1 9 3 6 年a d a m s 发表了有关的数值例题：1 9 4 7 年6 r e e n s h i e l d s 等人在起有关 交义口的交通分析中采用了p o is s o n 分布。这一时期的交通流理论基本上是概率论方法。从5 0 年 代起，随着世界汽车：【：业的发展和交通量骤增，交通流理论的研究也出现了各种新的讨论从而 取代了早期的概率论方法。交通流理论进入了一个迅速发展的时期。 1 第一个交通流动力学模型是由l i g h t h i l l 和w h i t h a m 于1 9 5 5 年提出的流体力学交通流模型。 从这以后，各类交通流模型层出不穷。然而，交通流动力分析模型最大的缺点是不够直观。从这 个角度来看，另一类交通流模型一一元胞自动机模型则以其灵活性、简单性和在计算机上的易操 作性而广泛引起人们极大的兴趣。在元胞自动机模型中，描述系统演变的三个要素( 时间变量、 空间变量和状态变量) 都定义在离散集上。交通问题中的状态变量( 车辆、人员和交通设施等) 也都是整数。因此，一旦模型演化规则确定，很容易在计算机上实现。改变模型的演化规则可以 得到不同的模型，以考虑真实交通条件下的多种复杂因素和各种效应，并在计算机上演示它们对 城市交通性态的影响。例如路障与瓶颈效应【2 - 4 】，高速公路连接点【5 】，阻滞随机性【6 】，事故区【7 】， 收费站【8 ，不良路段中的缓慢车流【2 ，3 ，9 】，平面交叉 1 0 】，立体交叉 1 1 】，环形交x 1 2 】，机车加 速效应【1 3 】，多通道 1 4 ，1 5 】，汽车行进方向的各向异性 1 6 】，交通灯缺陷【1 7 】，城市平面交通的全 局堵塞1 8 2 1 1 等等。现在，利用交通流元胞自动机模型，人们已经得到了大量有意义的结果。 以r ，我们将对交通流问题研究的历史进程作一简单回顾。 1 交通流问题动力学研究的历史 综合说米，各类交通流动力分析模型可以分为微观模型和宏观模型。微观模型如车辆跟驰模 型、粒子跳跃模型等。它以单个车辆为描述对象，道路交通被描述成一个由多个相互作用的粒子 组成的一个远离平衡态系统。如在车辆跟驰模型中，系统中每辆车作为单个粒子都分别满足牛顿 经典力学定理，通过研究个体车辆中一辆跟踪一辆的相互作_ f 】方式，来了解单车道交通流的特性。 而宏观模型则将所有交通车辆作为一个整体来加以研究，主要包括流体力学模型、气体运动论模 型、分子动力学模型等等。例如流体动力学模型把交通流视为由车辆组成构压缩流，考虑其整体 效应，而每辆车在理论中并不以个体形式加以研究。 1 ) 交通流跟驰模型 l i g h t h i “阳w h iz h a m 在1 9 5 5 年提出了第一个宏观流体力学交通流模型 2 2 揭开了交通运输 问题研究的序幕他们买用动力论波处理法描述了车分布的高密度区的自发形成。 在流体力掣模型中，交通流整体被视为一维压缩流 2 3 ，考虑它的整本效应，而忽略它的个 体效应。交通流扶左向右流动。 设c ( x ，f ) 平| j ( x ，fj 是在任何时刻t 位置z 处的粗粒密度和流量( 粗粒皂指以- d 段距离为单 位形成的粗粒，而非单辆车) ，代表交通流的流体连续性方程为： 坠l ! 塑型兰塾查叁兰堕! ：兰堡笙苎! 了o c ( x , t ) + 娑盟：釜a 。( x - - x i , t ) 一熏，( x - x j , t ) ( 1 1 ) 饿o xi ：l i = l 。 a ，( x j 。，r ) 和，0 一x f ，t ) 分别表示交通流入口x 。位置的源和x ，位置的汇。 口，( x x ，t ) = ( z ? ( f ) 办( x x ，) ，( x x j , t ) = ? ( f ) ，( j j ，) ( 1 2 ) 驴。o x i ) 和，o x ，) 分别描述了正在形成的和正在消失的流的空间分布，而a 。0 ( f ) 和? ( f ) 代 表相应的暂态变化。 最简单的情况，考虑一条给定的笔直公路，没有支路。在这种情况下，连续性方程变为跟简 单的情况 2 2 ： _ o c ( x , t ) + 掣攀：o ( 1 3 ) 如果c ( x ，f ) 和j ( x ，f ) ( 也即v ( x ，t ) ) 是两个独立变量，我们无法从这个方程得到两个变最的解。 一种解决办法是找出另一个独立方程给出这两个变量之间的关系 2 4 3 1 。而目前交通流流体力学 模型中常用的方法是将j ( x ，f ) 视为由c ( x ，f ) 决定，这就是l i g h t h i l l 一w h i t h a m 假设： j ( x ，) = ( c ( z ，f ) )( 1 4 ) 函数关系( c ) 通常由实际交通中测量到的数据求得，用图形来表示即为通常所说的基本图。这样， 由r c ( x ，r ) 和j ( x ，f ) 之间存在相关性，方程( i 3 ) 就是可解的。 我们考虑： j ( x ，f ) = c ( x ，f ) - v ( x ，f ) ( 1 5 ) 而v ( x ，f ) 仅仅依赖于c ( x ，) ，则方程( i 3 ) 化为： 丁o c ( x , t ) + 旦掣m 咖如f ) 尘d c 】o c ( 一x , t ) c l co t 也掣= 。 ( 1 6 ) 优钡 6 a r v 。2 警代表密度波t 它与交通流的实际平均速度不同，后者州哪f ) ) = 絮等，而 圹心m 掣。由于掣 o ，所峨 一x 。( t ) = ( z ) ：。m + z x 一( f ) ( 1l o ) 微分( 1 1 0 ) 式两边，可得到( 1 _ 9 ) 式。而( 1 1 0 ，式概括了假设：假设：( 1 ) 、车速越高，前方车距 数应该越大；( 2 ) 、为了避免碰撞，每辆车前方必须维持最安全距离( a x ) ，。k 。 比这个模型更接近实际情况的模型 3 7 会考虑到每个人对于外界刺激所做出的反应具有一定 的延迟性。司机在t 时刻做出的反应应该依赖于( f r ) 时刻其他车对它施加的激励，其中丁是延 迟时间： x 。o + 7 ) = 妒 x 。+ i ( t ) 一x 一( f ) ( 11 1 ) 敏感系数驴是独立于n 的常数。 以上方程所描述的跟踪领头者模型中，车辆部将最终趋于以前车的速度行驶。但很明显，这 些模型定义的车辆运动方程仍是过分简化了的。实际交通中，车辆速度变化将与很多因素有关， 而不只是与速度有关。例如，车辆间距越小，相互作用应越大。这时，运动方程可表达为 3 8 ： f 。 ( f + r ) 2 i i ：i 南。 “( ) 一。月( ) 】 1 t 2 ) 其中的k 是常数。 文献 3 4 考虑了每辆车不仅可以受到前方最近邻车的影响，也会受到次近邻车( 虽近邻车的 前方最近邻车) 的影响。车辆运动方程可以表示为： z 。( t + f ) = c p ”i x 。+ 1 ( f ) 一石。o ) 】+ 妒”i x 。+ l ( t ) 一x 。( r ) ( 1 1 3 ) 口1 1 和p ( 2 是相应的反应系数。 跟驰模型最大的缺点在于模型中存在一些参数只能从实际交通数据中得到。另外，把这些模 型推广到多条通道的情况也是十分困难的，因为每辆车都会满足于是否达到它希望达到要的目标 速度( 如在最基本的跟踪领头者模型中，即为前车速度) ，而不会考虑其他通道车辆运行的情况。 b ) 最优速模型 跟驰模型中，车辆按照 1 x 。( f ) = 二 v “( f ) 一v ( f ) ( 1 1 4 ) r 来行驶。v ：“( f ) 是f 时刻第n 辆车希望达到的速度。在基本的跟踪领头者模型中，车辆的目标 车速为其前车速度，即v 算“( f ) = x “，并以此保证与领头车之间至少间隔一个安全车距 ( a x ) m 。而最优速模型中，每辆车的目标车速与车间距有关： v ( f ) = v ”( a x 。( f ) ) ，a x 。( f ) = x ( f ) 一x 。( f ) ( 1 1 5 ) 车辆运动方程为： 1 x 。( f ) = 二i v ”( 缸。( f ) ) 一v 。( f ) ( 1 1 6 ) f 即，每辆车的行驶速度将趋于安全速度( 依赖于相邻车的车速之差) 。这样，车辆的运动方程是一 个二阶微分方程，而不象在跟踪领头者模型中那样，是一个简单的一阶微分方程。 最优速函数v 叫( a x ( f ) ) 的选择必须满足极限条件：血哼0 时，v ”( a x 。) 斗0 ； a x 时，v o p , ( 厶r ) - - 9 有限值。满足这些条件的最简单的最优速函数是 3 9 ，4 0 】： 矿印( 二) = v 恤。0 ( x d )( 1 1 7 ) d 是常数，可解释为最小车距。o 是阶跃函苁。对这个最优速函数的解释是：x d 时，车辆 为了避免发生碰撞将停止；x d 时， e 制j r 速达班最大车速v 。 第一章中国科学技术大学硕士学位论文4 更现实的模型 4 0 ，4 1 定义车辆运动方程： f 0 ( s x 出口) 采用类似于以上这些简单函数，我们可以得到一些精确的解析解 4 0 ，这些解析解可以是我 们更好地理解模型所反映出的在现实交通问题中出现的一些现象。因此，尽管最优速函数的形式 非常简单，模型仍然具有很大的研究价值。另一方面，使用更复杂的最优速函数定义，模型可以 更加接近现实的交通流，如文献 4 2 所定义： v ”( 缸) = t a n h 缸一血。】- i - t a n h 出c 。 ( 11 9 ) 很显然，最优速模型的可靠性主要由最优速函数选择的恰当与否决定。 在下一节我们将主要对几个一维交通流元胞自动机模型作一简单介绍。 2 一维交通流元胞自动机模型 描述高速公路上交通流的一维元胞自动机模型最原始的形式是由美国科学家w o l f r a m 命名的 1 8 4 号模型 4 3 。在这一模型中，时间和空间都被离散化。道路被划分成个格子，每个格子或 者是空的，或者被一辆车占据。车的总数在模型演化过程中保持不变，公路上平均车密度为 p = n 。假定汽车在公路上自左向右行驶，模型的演化规则定义为：所有车辆在每一时步， 只要其右方紧邻的格子是空的，即尚未被车占据，则均可向前移动个格子；否则，如果其右方 紧邻格子已经被占据，则所考虑的车静止不动，即使右方车在同一时步中要向前运动。 当某个格子被车占据时，我们把这个格子的状态记为1 ；反之，若该格子是空的，则把它 的状态记为0 。从模型的演化规则不难看出，某一时步一个格子的状态可以由上一个时步该格 子和其邻近的两个格子的状态决定。例如，前一时步连续三个格子的状态分别为0 0 0 时，下一时 步，中间一个格子的状态必为0 。类似地，有： 0 0 l = 亭0 0 1 0 等0 0 1 1j1 1 0 0jl 1 0 1jl 1 1 0j0 1 l lj1 将以上8 种情况的演化结果看成一个二进制数“1 0 1 1 1 0 0 0 ”，化为十进制后即为1 8 4 。而这正是 w o l f r a m 将此模型命名为“1 8 4 号模型”的原因所在。 值得一提的是，1 8 4 号模型虽然简单，却已经可以反映车自由运动相和局部堵塞相之间的相 变现象。在作为该模型推广的众多一维交通流元胞自动机模型中，最重要的两个模型分别是n s 模 型和f i 模型。 n s 模型是由德国科学家n a g e l 和s c h r e c k e n b e r g 在1 9 9 2 年提出的 4 4 ，4 5 ，这个一维交通流 元胞自动机模型在1 8 4 号模型的基础上进一步考虑到了车辆的加速行为和由于司机对于环境反应 的不同而引起的车辆的随机延迟的因素。将所有的辆车自左向右编号：n = 0 ，1 ，2 ，。第 n 辆车的速度y 。可取0 ，1 ，2 ，m ，m 为车辆行驶的最大速度。模型的演化规则分为四个阶段。第 一个阶段为加速：若第h 辆车的速度v 。 。， g ( f ，+ e “。) 吖2 6 jr。，、fl 第一二帝中国科学技术大学硕士学位论文 7 图2 1 考虑前车运动f i 模型的演化图 第一二章中国科学技术大学硕士学位论文8 一一m 5 一一m 。4 。一m 。3 一 卜一m 。2 一m 。1 v e h i d ed e n s i t y ( b ) 一m 5 一m 4 m 。3 一m - 2 - 卜一m 。1 图2 2 考虑前车运动的f i 模型基本图与基本f i 模型基本图的比较 第二章中国科学技术大学硕：l 学位论文9 平均车速度为： 1 v ( t ) = ( c 。o ) + c 。+ o ) ) +z ( m 一1 ) +z ( m f ) ( 27 ) n 。o 卜。“卜” 吲翰j 驴”吲翰j 妒” 模型随时间的演化图如图21 所示。横向为一个时步公路上车辆的分布，纵向为时间轴。模 型的参数为：l = 1 0 0 0 ，m = 5 ，厂= 0 3 。舍去前2 0 0 0 个时步的结果，作出后面的4 8 0 个时 步的演化图。圈( a ) ，( b ) ，( c ) 中车密度分别为：0 1 ，0 3 ，0 6 ，即n = 1 0 0 ，3 0 0 ，6 0 0 。在低密度区 所有的车辆都可以高速自由通过，交通流处于自由相：在高密度区可以出现启动一停止波，交通流 处于堵塞相。 模型的基本图如图2 2 所示。图( a ) 为车流平均速度与车密度的关系曲线，图( b ) 车流量与车 密度的关系曲线。模型的参数仍为：l = 1 0 0 0 ，厂= 0 3 。舍去前2 0 0 0 个时步的结果，对后面的 1 0 0 0 个时步做统计平均分别画出m = l ，2 ，3 ，4 ，5 时的基本图。图中的点划线为推广后的f i 模 型：实线为基本的f i 模型。可以看出，当m = l 时，推广后的f i 模型与基本的f i 模型完全相同。 而对一般情况m 1 时，在高密度区，新模型的车流量比基本f i 模型的车流量高；在密度较低时， 两者有相似的结果。而且考虑前车运动后的f i 模型临界密度比基本f i 模型的临界密度高，在较 大的车密度范围内，车辆可以处于自由相。 3 模型的解析研究 首先考虑特殊情况m = 1 时，模型演化规则( 2 6 ) 式退化为m = 1 时的基本f i 模型： 1 0 ( c 。( f ) = o ) v 。2 1。withl w i t hp r p 0 7 b 。a 6 b d i l 6 i t y 7 ：0 ， c c i 。， 。，。 i( 1 一厂) j ” 因此，稳态时假设车距满足“车距分布独立性假设”，平均车速为： 矿( f ) = ! 二! ! ! 二! 旦：二! ! ! 二! 旦!( 2 8 ) 2 d 这与基本图的数值模拟结果相一致。 以下我们讨论m 2 的情况。观察模型演化规则( 2 6 ) 式，我们引入“双车车距”： a 。( f ) = c ( f ) + c 。( f ) ( 2 9 ) 利h j ( 2 1 ) 式，可以得出双车车距随时间的演化方程为： a 。( f + 1 ) = a 。( f ) + v 。+ 2 0 ) 一v 。( f ) ( 2 1 0 ) 而模型演化方程可表示为： l爿。( f )( 一。( f ) - - 。v ，m w i t h p r o b a b i l i t y 1 一一( f ) m ) 2 1 。 i( ，) l “ 1 稳态时，平均车速度为： 矿( f ) = 古【a 。o ) + z ( m 一1 ) + ( 彳一) 】 ( 2 1 2 ) “4 “”“ 啪a n ( t ) 1 0 ) 2 m龟 ：臀 定义n ，( f ) 为f 时步长为i 的双车车距数，p a t ) = n i ( t ) n 表示这种双车车距所占的t g f f , l ： j ( f ) 为，时步蚝为i 的车距数，q ( f ) = n ，( f ) n 表示这种车距所占的比例。 由双车车距演化方程( 2 1 0 ) 式和模型的演化规则( 2 1 1 ) 式，可以得到以下结论： 1 o p 砀哥即彳m - 1 ：足够长时间后，当车流达到稳态时有： a 。( ，) m 一1( v ) ( 21 3 ) 2 亡s p 1 ( 即a m 一1 ) ：足够长时间后，当车流达到稳态时有： 第二章中国科学技术大学硕士学位论文1 0 a 。( f ) m i( v n ) ( 2 1 4 ) 临界密度p c2 砀磊将密度区间分为两部分。在高密度区，由( 2 1 4 ) 式，平均车速为： 矿( f ) = z v 。( f ) = a ( f ) = 2 ( i p 一1 ) ( 2 1 5 ) 在低密度区，从数值模拟结果( 表2 1 ) 可知，车距e = 0 ( v n ) 的概率o o 与其它车距的概 率q ( i o ) 相比较小，可以近似为0 。这时，模型的演化方程为： 爿。( f )( 4 。( f ) 2 时，理论结果 与数值模拟结果符合得较好；但当m = 2 时，两者相差较大，特别是在密度不太小时，出现明显 的不同。这主要是因为在 f 较小，而车密度不是非常小时，会有较多车的车距c 。( f ) = 0 ，其概 率q o 不能忽略。所以以上的结果不再适合。在下一节中，我们将具体进行分析。 表2 1 低密度区车距分布概率与车密度的关系 m = 2 p q 0q lq 2q 3q 4q ； 0 0 5 0 0 0 0o 0 1 1 5 4 00 0 3 7 7 2 00 0 3 9 0 0 00 0 3 5 3 4 00 0 3 3 5 2 00 0 3 5 3 4 0 0 1 0 0 0 0 00 0 3 2 7 5 00 1 0 9 1 3 00 0 9 4 5 5 00 0 8 6 6 5 00 0 7 6 0 4 00 0 6 6 7 5 0 0 1 5 0 0 0 00 0 4 5 5 0 70 1 5 6 8 4 70 1 3 0 9 0 70 1 0 7 7 3 30 0 9 1 7 4 00 0 7 4 7 8 7 02 0 0 0 0 00 0 6 4 0 1 00 2 2 1 4 9 00 i 6 8 9 2 00 1 3 0 6 3 00 0 9 9 8 7 00 0 7 5 0 0 5 0 2 5 0 0 0 00 0 8 4 6 2 40 2 8 6 7 8 00 1 9 5 7 2 80 1 3 3 9 4 00 0 8 9 8 0 00 0 6 1 6 8 8 0 3 0 0 0 0 00 1 0 5 1 8 00 3 4 2 8 2 00 2 0 9 2 l o0 1 3 0 7 6 70 0 8 3 0 9 30 0 5 0 7 8 7 0 3 5 0 0 0 0o 1 3 1 5 7 50 4 0 8 6 7 40 2 1 4 1 9 70 1 1 4 5 3 70 0 5 9 8 6 30 0 3 2 4 9 7 0 4 0 0 0 0 00 1 5 9 8 2 20 4 7 0 6 7 20 2 0 4 2 5 20 0 9 2 7 6 5o 0 4 1 6 9 80 0 1 7 7 9 2 0 4 5 0 0 0 00 1 9 8 8 4 90 5 2 7 9 8 50 1 7 7 1 2 40 0 6 1 8 1 60 0 2 2 3 9 60 0 0 7 9 6 0 0 5 0 0 0 0 00 2 4 6 2 0 80 5 7 2 7 1 30 1 3 4 2 8 40 0 3 3 6 7 80 0 0 9 3 5 00 0 0 2 6 4 8 0 5 5 0 0 0 00 3 0 1 4 2 40 5 9 7 1 1 00 0 8 6 1 8 90 0 1 2 7 9 60 0 0 2 1 5 50 0 0 0 2 8 7 0 6 0 0 0 0 00 3 7 4 5 4 70 5 8 7 1 5 50 0 3 5 6 2 00 0 0 2 4 5 80 0 0 0 2 0 30 0 0 0 0 1 7 0 6 5 0 0 0 00 4 6 4 9 8 80 5 3 1 6 0 00 0 0 3 3 8 30 0 0 0 0 3 20 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 第二章中国科学技术大学硕上学位论文 m = 3 p q 0q 。q 2q 3q 4q 5 0 0 5 0 0 0 00 0 1 2 0 8 00 0 4 3 0 0 00 0 4 7 6 4 00 0 4 4 4 6 00 0 4 6 4 6 00 0 4 4 0 4 0 0 1 0 0 0 0 00 0 2 6 5 9 00 0 9 0 0 3 00 0 9 7 2 9 00 0 8 3 4 3 000 7 3 6 5 00 0 6 5 3 5 0 0 1 5 0 0 0 00 0 3 8 4 2 0o 1 3 2 0 4 00 1 4 7 8 2 00 1 1 6 4 0 70 0 9 6 4 4 70 0 8 0 9 3 3 0 2 0 0 0 0 00 0 5 4 3 0 0o1 7 7 0 0 50 1 9 8 1 1 5o 1 3 8 9 9 501 0 5 7 1 50 0 8 1 5 5 0 o 2 5 0 0 0 00 0 6 7 9 0 802 2 1 1 3 6o 2 5 6 9 5 6o 1 5 4 9 9 20 0 9 8 3 0 00 0 6 4 7 6 4 0 3 0 0 0 0 000 8 5 0 5 002 6 7 1 6 7 0 3 0 5 5 0 3o 1 5 5 0 3 70 0 8 3 1 7 3 0 0 4 5 0 5 0 0 3 5 0 0 0 00 1 1 0 2 3 703 1 6 5 3 20 3 4 8 3 8 3o 1 3 1 7 6 30 0 5 2 6 8 80 0 2 2 1 1 1 04 0 0 0 0 0o 1 4 3 5 9 20 3 6 9 3 8 0 03 7 3 0 4 000 8 3 4 8 7o0 2 1 8 2 0 0 0 0 6 2 0 5 0 、4 5 0 0 0 00 1 9 8 6 7 80 4 1 2 6 6 00 3 5 9 1 6 60 0 2 7 0 2 50 0 0 2 2 2 90 0 0 0 2 1 6 m = 4 p q oq ，q 2q 3q 4q ； 0 0 5 0 0 0 00 0 1 5 2 8 00 0 5 0 5 4 0o 0 5 1 7 0 00 0 5 4 6 4 00 0 4 4 2 4 00 0 3 7 1 4 0 0 1 0 0 0 0 00 0 2 5 7 6 00 0 8 4 2 6 00 0 8 9 1 8 00 0 9 6 1 1 00 0 7 7 5 6 00 0 7 0 3 6 0 o 1 5 0 0 0 00 0 3 6 9 8 00 1 1 9 7 0 00 1 3 1 7 1 3o 1 4 1 1 3 30 1 0 7 4 3 30 0 8 7 4 8 7 0 2 0 0 0 0 00 0 4 5 1 0 00 1 4 9 5 2 50 1 7 1 4 3 00 1 9 l l l 00 1 2 8 2 3 00 0 8 7 8 4 0 02 5 0 0 0 00 0 5 8 2 8 40 1 8 7 6 1 6 o 2 1 6 6 1 60 2 3 3 2 6 00 1 2 3 1 4 80 0 7 1 9 2 0 0 3 0 0 0 0 00 0 7 8 1 5 70 2 2 8 1 5 0 0 2 5 8 4 4 00 2 6 7 6 2 70 1 0 0 4 7 3 0 0 3 9 4 3 0 03 5 0 0 0 00 1 1 1 8 0 0o 2 7 4 7 3 103 1 0 8 6 90 2 5 8 9 4 90 0 3 6 1 6 90 0 0 6 1 2 9 m = 5 p q 0q lq ：qq 。q 5 0 0 5 0 0 0 00 0 1 2 8 4 00 0 4 1 3 6 00 0 4 2 1 4 00 0 4 3 1 4 00 0 4 8 4 2 00 0 4 3 2 8 0 o 1 0 0 0 0 00 0 2 1 5 5 00 0 7 2 0 5 00 0 7 9 3 9 00 0 8 3 4 7 00 0 8 9 5 6 00 0 7 5 3 9 0 o 1 5 0 0 0 00 0 2 9 9 6 70 1 0 2 0 6 70 1 1 0 8 1 3o 1 2 1 7 1 30 1 3 6 6 2 70 1 0 1 3 1 3 0 2 0 0 0 0 00 0 4 0 8 7 00 1 3 3 6 3 00 1 4 7 6 0 50 1 6 3 8 7 00 1 8 0 8 4 00 1 1 1 7 1 5 0 2 5 0 0 0 00 0 5 2 7 6 00 1 6 3 8 9 20 1 9 9 5 5 2o 2 1 0 3 2 00 2 0 7 4 0 00 0 8 9 6 1 6 0 3 0 0 0 0 00 0 8 3 6 1 30 2 0 5 1 8 00 2 5 1 7 4 70 2 4 5 3 4 30 1 8 6 7 8 00 0 2 3 2 8 3 第二章中围科学技术大学硕：l 学位论文 1 2 ( a ) v e h i cr ed e n s i t y ( b ) m 5 m 4 m 3 m 2 m 1 m - 5 m 。4 m 3 m 。2 m 。1 图2 3 考虑前车运动f i 模型简化的平均场理论与数值模拟结果的比较图 第二章中国科学技术大学硕士学位论文1 3 4 m = 2 的低密度区车距动力学平均场理论 忙2 时，仍以车距c 。( f ) 为研究对象。模型的演化规则为： ic 。( f ) + c 。+ ( f )( c 。( f ) + c 。卅( f ) 1 ) l l ( c 。( r ) = o ) l ”d 2 1 1w f 髓p ，d 施加“曼厂1 ( e ( f ) o ) ( e ( f ) + e f ) 2 ) q 1 6 i 2 w i t h p r o b a b i l i t y ( 1 - 厂) jj 在低密度区( 0 p p 。= 三) ，有c 。( f ) + e 。( f ) 1 ( v ) 。模型的演化规则为： v 。( t ) = 1 ( e ( f ) = o ) 1 ( e ( f ) 。1 ，c 一( f ) 2 o ) ( 2 1 7 ) ：w 瓣三葛”t yf _ c 且啪删啦z ， 车辆平均速度为： = q o + p ( c 。= 1 ，g + 。= o ) + ( 2 一厂) 卜o 。一p ( e = 1 ，g + 。= o ) 】 ( 2 1 8 ) 由于每辆车的车速度e ( f ) 与前车车距c 。( t ) 有关，因此车距之间不满足车距独立假设。为了 简化书写，引入记号： p ( a 16 ) = p ( e = a ，c n “= b ) ， p ( a l b ic ) = p ( e = a ，e + i = b ，q + 2 = c ) 。 则( 2 1 8 ) 式可写为： = q o + p ( 110 ) + ( 2 - f ) 1 一q o p ( 1io ) 】 ( 2 1 9 ) 事实上，因为a 。= e + e + 。l ，我们有： e = 0je + l l ： e = 1je + l 0 ： e = 2jc 0 。 当e = 0 和e = l 时，前车车距c + 。与c 。有很大的相关性：而c 。2 时，相关性较小。我们作： 假设一：c 。2 时，c 。与c 。独立即p ( a 16 ) = q 。q 6 ( d 2 ) ( 2 ，2 0 ) 表2 2 ( a ) 和表2 2 ( b ) 分别计算了a = 2 ，3 而6 = 0 ，l ，2 ，3 时，p ( a 1 6 ) 和q q 6 的差，结果表明假 设一可以近似成立。 另外，有关系p ( g = l ，g + l 1 ) = o i p ( 1 io ) 成立。 定义迁移概率睨_ + 6 为眭度为a 的车距在下时刻变为长为b 的车距的概率。利用以上假设可 得： + 。= ( 1 一，) ( q 0 一p ( o | 1 i o ) ) ： 彬。= ( 1 一厂) p ( 1 1 1 10 ) + f 【q j p ( 1 10 ) 一p ( 1 l l l 0 ) ) ： ：= f ( 1 一，) 【q 一p ( 1 1 0 ) 一p ( 1 1 1 1 0 ) 】： 。= o ：( 1 一，) q 0 + p ( 1 10 ) + 厂【l q o p ( 1 1 0 ) 】) ； 呒。= 见f ( 1 一厂) 【l q o p ( i | 0 ) 】 ( h 2 ) ； + 。= q 。+ ( 1 一，) 厂+ ( 1 一厂) 【q o + p ( 1 1 0 ) 】) 。 ( 2 2 1 ) 进一步考虑到连续三辆车之间的相关性小于连续两辆车之间的相关性，我们作 假设二：p ( 1 1 1 1 0 ) = q l p o i o ) 假设三：p ( 0 1 1 1 0 ) = q o p ( 1 l o ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第二章中国科学技术大学硕士学位论文1 4 i q j = c = 二一1 ( 2 2 9 ) i = 1 p 将以上两组方程( 2 2 5 2 2 9 ) 联合并化简得： q o ( 1 一p ) = q 。p + 厂( q i p q 。p ) ( 2 3 0 ) q 0 + q l + 等寿华刊 ( 2 。t ) 一q 。+ 兰蔓二1 2 ：笋j 1 9 铲= 。= 万1 一( z 。z ) 数值求解该方程组可以得到q o 、q ，、p 的解。而由( 2 1 9 ) 式，我们所要求的车辆平均速度为： = q o + p + ( 2 一厂) ( 1 一q o p ) ( 2 3 3 ) 车流量为： “= p ( 2 3 4 ) 将方程组的解代入可以得到平均速度 和车密度、以及车流量和车密度之间的关系。 表2 2m = 2 低密度区最近邻车的车距分布概率独立性假设验证 表2 2 ( a ) p最= q q e ( 2 l0 ) 嘎= q q e ( 2 1 1 ) 4 = q 2q h 2 1 2 )= q 2q 一尸【2 l3 ) 0 0 0 0 0 8 00 0 0 0 6 9 7- 0 0 0 0 2 0 2- 0 0 0 0 8 5 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 70 0 0 0 3 9 00 0 0 0 2 0 2- 0 0 0 0 2 2 l f n = 1 0 0 、1 0 0 0 0 2 6 90 0 0 1 3 5 40 0 0