（概率论与数理统计专业论文）随机利率下自回归模型的破产概率上界.pdf

攘要 玻产壤率怒风险毽论中主要匏磅究热点。久翻已在经龚风验模型躲基疆上伟了缀多 的推广研究，如模型中引入利率，把常数保费率改为随机等。本文主要研究了两类推，。 的离散时闻风狻模鍪静有限时闳肉破产鹣概率晕疆最终酸产概率。在模爨中考虑了稳率、 保费和理赔相依情形对破产概率的影响。文中假设利率具有二阶自回归结构，累积保险 费藕累积索赔额分鄹怒两个一输自回懿模型，采用改进的更新递归方法得到了有限时间 破产概率和最终破产概率的上界。 第一章，简单介绍经典风险模型以及破产理论的发展。 第二章，在瑕定曝费在期寒收取，疆赡也奁期末支嚣数。鏊影下，逮立了到漆、缳费 和理赔分别满慰如上假没的离散时间风险模型，得到了有限时间破产概率和最终破产概 率戆土赛。 第三章，在假定保费在期初收取，理赔在期末支付的情形下，建立了利率、保费和 理赔分辅满足翔上假设的离散时闻风险模型，褥到了商鞭时闽破产概率和最终破产概率 的上界。 第圆章，绘出上两章破产概率上界的比较。 第轰章，绘出未来再推广蛉方向。 关键词：破产概率、随机利率、自回归模型、离散时间风险模型 a b s t r a o t r u inp r o b a b i l i t yi sam a i nr e s e a r c hh o t s p o ti nr i s kt h e o r y m a n yg e n e r a i z e d c l a s s i c a lr i s km o d e l sh a v eb e e ns t u d i e dw i d e l ys u c ha sa d d i n gt h er a t e so f i n t e r e s ti n t om o d e l s ls t o c h a s t i ep r e m i u m se t c i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d y t h er u i np r o b a b i l i t i e si nf i n i t et i m ea n dt h er u i np r o h a b i l i t i e si ni n f i n i t e t i m ei nt w og e n e r a li z e dd i s c r e t et i m er i s km o d e l s 。t h ee f f e c t so fi n t e r e s ta n d t h ed e p e n d e n ts i t u a t i o no fb o t ht h ea g g r e g a t ec l a i m sa n dt h ea g g r e g a t ep r e m i u m s o nt h er u i np r o b a b i l i t i e si nt h em o d e l sa r ec o n s i d e r e d w ec r e a t et h er i s km o d e l s i nw h i c ht h er a t e so fi n t e r e s ta r ea s s u m e dt oh a v ead e p e n d e n ta u t o r e g r e s s i v e s t r u c t u r eo fo r d e r2a n dt h e i ra g g r e g a t ep r e m i u m sa n da g g r e g a t ec l a i m se a c hh a v e ad e p e n d e n ta u t o r e g r e s s i v es t r u c t u r eo fo r d e r1 。 u p p e rb o u n d sf o rt h er u i n p r o b a b i1i t i e sa r ed e r i v e db ya ni m p r o v e dr e n e w a lr e c u r s i v et e c h n i q u e i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dt h ed e v e l o p m e n to f r u i nt h e o r y i nc h a p t e r2 ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n so fd e p e n d e n ts t r u c t u r e so ft h er a t e s o fi n t e r e s t ，t h ea g g r e g a t ec l a i m sa n dt h ea g g r e g a t ep r e m i u m sa sa b o v e ，ad i s c r e t e t i m er i s km o d e lt h a tc o n s i d e r e dp a y m e n t sa n dc l a i m sa tt h ee n do fe a c hp e r i o d i ss e tu pa n du p p e rb o u n d sf o rt h er u i np r o b a b i1it yi nf i n i t et i m ea n dt h er u i n p r o b a b i l i t yi ni n f i n i t et i m ea r ed e r i r e d i nc h a p t e r3 ，u n d e rt h es a m ea s s u m p t i o n sa sc h a p t e r2 ，ad i s c r e t et i m er i s k m o d e lt h a tc o n s i d e r e dp a y m e n t sa tt h eb e g i n n i n go fe a c hp e r i o da n dc l a i m sa t t h ee n do fe a c hp e r i o di ss e tu pa n du p p e rb o u n d sf o rt h er u i np r o b a b i1i t yi n f i n i t et i m ea n dt h er u i np r o b a b i l i t yi ni n f i n i t et i m ea r ed e r i v e d i nc h a p t e r4 ，w ec o m p a r et h eu p p e rb o u n d sf o rt h er u i np r o b a b i l i t i e si n c h a p t e r2w i t hc h a p t e r3 i nc h a p t e r5 ，w ep o i n to u tt h ed i r e c t i o no ff u r t h e re x p a n s i o n k e y w o r d s ：r u i np r o b a b i i i t y ，s t o c h a s t i c i n t e r e s t ，a u t o r e g r e s s i v em o d e l ， d i s c r e t et j m er js km o d e 】 琏瓴程率下鑫瓣趣模型戆疆产壤率主赛 缝簇风陵模墼与羰产疆论 1 ，1 1 破产理论的研究背景 第一章引言 风险瑕论( r i s kt h e o r y ) 是对风险定量分析和预测的一种理论，在保险数学的范 畴中，破产瑗论( r u i nt h e o r y ) 是风险理论静核心瘫容，宅是运臻定霪计算的瓣学理 论和方法，为破产风险管理鼹供了数学上的支持。保险公司正是经营风险的企韭，在经 营过程中筒临迕多由自然状态的不确定性或经营管理方法不善等方面的风险，这些风险 都会影响保险公司最终的偿还能力，而且随着现代保险业的蓬勃发展，行业内竞争不断 加剧，因戴懿何能够度量风险、控制风险、管理风险帮靓避风险，祷以持续盈裂，永久 生存是豫羧公司豹丈事。囱魏对破产理论静磷究瓣蕊受委天翻戆重筏。 破产理论的基本思想是考虑保险公司的盈余( s u r p l u s ) v ( t 1 随潜时间的积累问题， 所谓盈余鼹指某个初始资金加上收取保费超过理蚣的那一部分。由亍：不断挣得保费，随 枫过程v ( o 会蘧着时间连续增鸯鞋，但是又由于索赔瓣发生，盈余过程会逐段有下跳。 当盈余为受时，我稍就认为破产发生了。破产穰肇( r u i np r o b a b i l i t y ) 是氆动穰率论 和随机过瑕的知识构造，通过研究数学模型来刻厕保险公司的风险业务，因此可以作为 保险公司稳健性的一个指标，当年保费和索赔过程不变，且给定初始擞余为“时，它是 风险管理的个有用的工具。假事实上，破产橛攀并不能真正表示保黢公司即将倒闭的 壤率。园为在诗雾破产瓤率瓣辩候，妇分红或者霹蒺婆素黠适录不戆瓣强险变量提裹缣 费等一些潜在的干涉都被忽蜷了。所以，破产概率只是个数学概念而已，譬如，当盈 余过程变为一1 元时，从理论上认为保险公司破产了，但实际上未必倒闭；而盈余过程变 为+ 1 元时，从理论上认为保险公司没有破产，但实际上已经丧失了赂付能力。 关予酸产理论懿硬究可以逡灏到臻典精算邸f i l i pl u n d b e r g 予1 9 0 3 年发表的 毒 论文，它奠定了精髯风险理论的基石。两磊由c r a m e r 为首的瑞典学派完善了l u n d b e r g 的数学工作( c r a m e r ( 1 9 3 0 ) 、c r a m e r ( 1 9 5 5 ) ) 使之符合现代数学的严格标准，得到了破 产概率的恩示表达式。 第一章引言 1 。1 2 经熊风险模型 经欺的风险模型有离散和适续两种情形，这思我们精重介绍经典的离散时间风险模 型。记讥为保陵人在时刻n ( n = o ，1 ，2 ，) 的盈余，假设 u 。= 毽e n s 。， i 。1 ) 其中“= 瓯为初始盈余；e 为单位时闻收取的保赞额，又称保费率：c n 为前肝个单位时 间的累积保费总额( a g g r e g a t ep r e m i u m ) ；e 为前n 个单位时问的累积索赔总额 ( a g g r e g a t ec l a i m ) 。同时假设鼠= 誓+ 砭+ e ，这里r 是时期i 的理赔总量，而且 薯，夏，夏是耱驻疆立黢放离一y 分蠢酌隧章噩变爨，并有声= e ( r ) 。诧对，( 1 ，1 ) 就称为经典的离散时间风险模型。 当擞余乩0 时，我们称盈余过程的这个状态为破产( r u i n ) ，并鼹记这种状态第 一次发生的对刘为t ，翔t = r a i n n ：瓯 啦稼为破产辩翔( r u i n t i m e ) ，若对所有酌 嚣均膏眈0 ，则f = 。在这个意义下，我们可以定义毒限孵闯破产搬率( t h er u i n p r o b a b i l i t yi nf i n i t et i m e ) 和最终破产概率( t h er u i np r o b a b i l i t yi ni n f i n i t e t i m e ) 分霜为： 甄拜) ：瓠 f 努 ：p r 0 ( 皈 。) l ； l e = jj g ( u ) = p r t m = p r u ( 氓 0 ，称关于，的方稔 e - c r r h ，( r ) = i ( i 。2 ) 的正数解r 为y 的调节系数。 注1 1 1 满足( 1 1 ) 静正数解焱等价子满足方程： e 防一 ：1 。 注1 1 2 调节系数r 使得8 “成为鞅。这是因为 e p 吼 = e p 吨) = g - r u , e - r e , 托蹦 = e 。 由此我镪可以褥到，在模型( 1 。1 ) 下，初始资本为# ，荠且调节系数r 满足( 1 。2 ) ， 有： 咖) 毒， 由于在r c 。条件下峨o ，故肖妒( 掰) e 一“，这就是藩名的l u n d b e r g 不等式。容易 器到，艘越大，玻产概率戆嚣越小；r 越枣，破产缓漆教上爨蘧大。 1 1 ，3 破产理论的主要研究内容 经典风险模挺提出籍，破产概率作为衡量保险公司破产严重程度的一个重要指标引 来了极大的关注。人们在研究破产概率时，很大稷度上虫索赔额分布决定，当一h 述单个 索赔额的调节系数存在时，即索赔额分布属轻尾分布时，我们研究破产概率的上界，如 g e r b e r ( 1 9 7 3 ) 潮爆鞍( m a r t f n g a l e ) 黪方法零烈了破产壤枣戆捃数上赛；当萃令索薅 额的调节系数不存在时，即索赔额分布属重尾分布时，我们研究破产概率的渐近形式， h w a n g 和t a n g ( 2 0 0 4 ) 碜 究了重怒分京对破产藏率翡溺近形式。其它接述僳险公司酸产 严重程度的还有破产时办字( d e f i c i to fr u i n ) 的分布，女h g e r b e r ，g o o v a e r t 。k a s s ( 1 9 8 7 ) ，破产前瞬闻擞余( s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ) 的分布，如d u f r e s n e g e r b e r ( 1 9 8 8 ) ，破产前瞬间盈余与破产时赤字的联合分撩，女n g e r b e r ，s h i n ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) 婢。 第一章引言 1 1 4 破产理论的生要研究方法 在破产论熬疆究方法土，最其代表淫静蔻f e l l e r 静委薪瑾瓷瓣方法黎g e r b e r 懿赣豹 方法。 烫叛理论懿方法怒在经典风睦模黧懿基麓上缮型生存壤率( s u r v i v a l p r o b a b i l i t y ) 的更新方程( r e n e w a le q u a t i o n ) ，即生存概率： 爱“) = l 一 f ，”) = p r u ) 。，f o l u ( o ) = ” = 震( 。) + 鲁爰( “一x ) 1 一f ) 斑。参见 f e l l e r ( 1 9 7 1 ) 。 镞的方法怒没掰! ) = g “珥，其中r 为调节系数，囊注l 。】。2 魏掰为一鞍，交鞍 的知识得： p 啪= e 肘( r ) 矿 0 0 p 7 1 - 0 时，不难褥裂 眠= “r i o + t ) + ( 以( 1 + i k ) 一e ) n ( 1 十) l ，一= 1 州2 。 ( 1 6 ) ；1 = l f = i + i 本文中我们假设： ( a ) 砭，n = l ，2 是一列i 受随撬交量序捌，晨最畜一除叁毯超绣稳，繇艺潢是： 艺= 芦艺。，十k ，拧= l ，2 - ( 1 7 ) 其中0 7 l ，= y 。0 是常数， k ，h = l ，2 是一列独立同分布的非负随机变量序 列。 ( 8 ) x 。，# = l ，2 是一列j 受蕤季凡交量序别，蕊其奇一除塞鏊爨缀构，静羹潢是： 一= 艿以一l + a 。，行= 1 ，2 ( 1 8 ) 其中。羔艿1 ，；c o = x o 0 是常数， 。，栉= l ，2 是一列独立同分布的非负随机变量序 列。 ( c ) t ，”= l ，2 是一剃糨依的非负隧祝变登序捌，且其有二阶舞网归结构，鄯l 满足： = a 1 一l + 声一2 + ，”= l ，2 ( 1 9 ) 其中0 - g 均为掌鼗， 戳，弹= 1 ，2 是一到稿 互独立同分布的非负随机变量序列。 ( d ) k ， = 1 ，2 、 。， 一1 ，2 、 呢，h = 1 ，2 ) 相互独立，且分别具有相同的分 布函数：f ) = p r k 岁 ，h ( x ) = p r a ，蔓x ，g ( w ) = p r 氍s w 并记 篓塑墨堕：王曼墼鳖堡茎! ! 鳖兰堡皇! 墨 ：! 竺 p ( y ) = 1 一p ( y ) 。 下文中约定：模型( 一) 为在满足假设( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 的前提下，盈余过程 瓯，= j ，2 ， 潢足( 1 3 ) 辩黪模型；模型( 二) 为在滤足假设( a ) 圆) ( c ) 固) 赫兹提下， 盈余过程 瓯，疗= l ，2 ， 满髭( 1 5 ) 对的模型。 注1 2 1 特别地，记k 一以皇乙表示第”时间段内保险公司的净损失，当5 ：y 0 时， 乙，拧= l ，2 成为一列一阶自回归的随机变蹩序列；当艿= y = o 辫t z o ，聆：1 ，2 退 纯蔻一麓猿立| 霹分布弱夔税窝鬣痔黧；当声= g 辩， ，”= 1 ，2 n 4 9 n - - 黧一蹬蠡酉 归的随机变爨序列；当a = 芦= 0 时， l ，h = l ，2 成为一列独立同分布的随机变量序 列；当y = 0 ，；c o 是常数时，= c 成为常保费收入；当口= = 0 ，睨；i o 是 零数蹲，矗z f 成为零裂率。毅魏，本章瘊讨论弱溪嫠是羟莫题验撰蘩黪一粪接广，虽 涵盖了匕述的所有情形。 ，2 。2 本文结聿每 本文将在接下去的第二、第三章分剐在模蛰( 一) 帮模型( 二) 下采用改进豹更耨 递归方法酋先得到一个破产概率的积分等式，然后利用这个积分等式得到有限时间破产 概率和最终破产概率的上界，并于第四章对这些上界进行比较。 塾型竖坠塑塑塑l 一 ：尘 第二章推广模型( 一) 下的破产概率 虽然在模型( 一) f 豹有敝对闯酸产概率为： 甄妇焉蔓”而，懿) = 曾致 j = p r q “冉c ，+ ，+ 吝( e 舅，一弓，! i c ，+ ，) o ，则当星仅当 积2 = o 时，即 l ，n = l ，2 为独立同分布时，矗= 0 。特别应指出，幽予对咖l ， 形2 o ，所以皇其实是和的最小可畿取值。( 该记号在全文通用) l l 瑷2 2 ，1 在模黧( ) 下，对锄= l ，2 ，当r 蜘一帮( i 十再) 靖，有 ；嚣，f 。，；，蜀，甄) 一惭 ， 2 llf ( 1 + 向) + ( s x o + 善) 一芦弱) 掰( 苫) 嬲( w ) + ff 广“h 虬( 籍( 1 十+ ( 氓+ 善+ 力，趣i o , s x o + x , y y o + y ) 彬( y ) 棚( x ) 粥( w ) ( 2 1 ) 随机利率下自回归模型的破产概率卜界1 2 且( “，i o ，i ，x o ，y o ) = ff 声( “( 1 + 五) + ( d + z ) 一y y 。) 掰o ) 湘( w ) f f 盯啦战”一扩( # ( 1 + 磅+ ( s x o + 蔗) 一( r y o + 芦x 蠡，毛，艿而+ 苫，y y o + y ) d f ( y ) d h ( x ) d g ( w ) ( 2 ，2 ) 证明：由( 1 3 ) 及假设( a ) ( b ) ( c ) 有： u i = u ( i + i i ) 十五一誓= u ( 1 + g g + 声t l + 磁) + ( 艿氏+ 矗】) 一( y y o + k ) ， 绘定彤= 1 , v ，a l = x ，巧2 y ，令磊= 搿屯+ f l i _ 1 + w ，闲为y 玛一艿毪群- ( 1 + 窑) 且苫0 ， 所以“( 1 + h ) + ( 6 x 。+ x ) - y y o 0 。 ( i ) 当y u ( 1 + h ) + ( 8 x o 十x ) 一y y o 0 时，p r u ，o f w = w ，= x ，k = y ) = 1 ，贝0 f # + l1 p r u ( 玑 o ) f 彬= w ，a = x ，巧；j ， = 1 。 l t = 1j ( i i ) 当0 - y - u ( 1 + h ) + ( 8 x o + x ) 一y y o 时，p r u 1 o i 彤= w ，a 1 = x ，k = j ， = o ，则 f h + 、 p r u ( o ) | 彤= w ，岛= 墨巧= y t t = i j ；p r qc u 。，1 w = w ，= x ，k = y ) = 鲤c 氓 。，j i v 。= + x ) - ( y y o + y ) , i i = h , 1 0 = t ，= 8 x o + x , p r u ( 1 + h ) + ( s x ox 1 8 x i = y y o + ，) = u ( 氓 o ) j v 。= ，i + ， l l = 2j ：p r f 0 ( c o 取极限，由l e b e s g u e 控制收敛定理可得： 矿( “，f 0 ，i x 0 ，y o ) = ff i ( “( 1 + 五) + ( f i x o + x ) 一7 y o ) d h ( x ) 嬲( w ) + f fr o + 砷“她一对一7 “少( ( 1 + 厶) + ( s x o + x ) 一( r y 。+ y ) ，向，咕，占x 0 + x ，7 y o + y ) d f ( y ) d h ( x ) d g ( w ) 即为( 2 2 ) 式，证毕。 2 ，2 破产概率的上界 2 2 1 关于调节系数 为了保证保险公司的正常运行，必须附加一定的风险负荷，对v n 1 ，要求e z 。 0 。 由于 e z 。= e ( 匕一x 。) = e l ( y ”y 。+ y ”。1 k + 。+ 吒) 一( 占”x 。+ 巧”。l + 。+ 。) j 叫乩+ 苦e 巧- 5 x 。_ 1 1 - 一5 占 弘， 艄y “胪矾。且苦e k 一1 1 - 一5 - - - - - 占二 e a 0 时，对v 捌，都有胆。 。 1 。0 y 5 1 时， 随机利率下自叫归模型的破产概率上界14 施百1 - - y e k 一箐驰 i - y e k 也， ，黜酬小。，就 黼证百i _ _ y n l 即箐弘 。一yl o 另一方面， 由于x 。0 且y 。0 ，则当0 y 5 1 时有 y y 。一占”y ( y ”1 y o 一6 ”- 1 x o ) y ”1 ( 7 y o 一5 x o ) ， 7 y o 一6 x 。o ( 表示初始时保证 至少持有原有盈余“，这是合理的) ，则y ”y o - 5 “x o 0 。 因此当0 ，5 1 时，可以假设 7 y 。一5 x o 0 且e ( k 一，) - 0 ，说明 f ( t ) 是一个凸函数，并且显然i 厂( o ) = 0 ，厂( o ) = 叫k 一】 0 存在 那么r 唯一，并且对任何o f 1 反之亦成立。 2 。0 5 y 1 时， 一方面，容易得到： 岳1 即箐1 峭詈1 昕蔷1 盼 一y 1 一占 一y 一万 1 一占”， ( 1 - y ) ( 1 5 ) o e k 一( 1 一r ) e a 。 第二章推广模型( ) 下的破产概率 观若e e v , 一( ) a ， o ，黼保证鲁即箐融 。 贯一方蠢，由于0 ，若y o = 0 ( 表示初始没有素麓，这是合理匏) ，刘 ，”y o 一6 x o 曼0 。 因此当0 万7 1 时，可以假设： y o = 0 虽e k ( 1 - y ) a ； 0 就能保证对v n 1 ，都有e z 。 0 ，满足 马i 删一a , i ：1 若s o ，占= y = 0 ，则r l = r o = r 。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 网上理，这样的爰馕墨若存在，那么置唯一，_ 并且对任凭0 t 1 ，反之办成立。并且有墨r ，事 实上及焉雏一鱼置【醐一r 岛l = 1 = e e l ( r , - 5 1 ) ，壶1 。鲰r ，s r o 。 2 2 2 主耍结论疑其证明 震理2 ，2 ，1 在貘羹( 一) 下，设。茎y 5 1 ，r y y o - 5 x o9 0 ，茁k 一矗，) o ， 力 令磷= r o ( 1 一y ) ，则当o ，墨蠢磊时，对v 1 有 霸 ( 乱，f 0 ，f - 1 ，x o ，y 。) f l o e e 一栅+ + p 硝肭一6 却， ( 2 7 ) 妒( 甜，f 0 ，t ，x o ，y o ) 0 ，所以p 由关予y 单调递增， f p 咖d f ( y )f o e 毋d f ( y ) 戤缮薪i 脚n f 焉一嗡引 从霹，对v x 0 ，毒； f 0 ) = lf e 8 ：y d f ( y ) 。毒以x ) e 一略r e 如d f ( y ) - u ( 1 + h ) + 8 x o y y o ， y n n r 一5 x o o ，所以y x 0 ，z ) , n e n 扣一。) - e 岛( 一引； 再者，由( 2 1 2 ) 假设可得： 扩。籍( 1 + 矗) + 艿两+ x ) 一( r y o + 力，h ，毛，5 x o 善，y y o y ) 兰f l o e e 一只：阻+ 6 6 唧+ 。一7 + 】1 + 8 “+ 卢b + m 1 g p 7 h + 一占占3 。+ 。j 因为h 篇d ( o t i o + f l i l ) + 乇，w 惫0 ，嵋0 ，所以1 + 口 + f o + 暇1 + h 而当y u ( 1 + h ) + ( 5 x o + x ) 一7 y 。嗣，u ( 1 + 向) + ( s x o + x ) 一( r y o + y ) 0 ， 葫i 即 ( y 弱+ y ) 一( 5 x o + 并) 甜( | 蠡) ，又y 兰5 因此敬一m 删5 h 榭y 粕m 舰+ ) 8 一矾) ( d h 删珊+ ! ) 与 r ( r y 。十y ) 一5 ( 5 x o + x ) 】r ( r y o + y ) 一( 5 x o + z ) 】7 u ( 1 + h ) 成立。 那么：妒。( “( 1 + h ) + ( s x o + x ) 一( y y o + y ) ，向，乇，5 x o + x ，y y o + y ) 蕊g 一艰吣5 蚺啦侧删) 躁p 一砌州6 曲州7 儿帅+ ! ) o - r ) 。g 删+ ) n n r _ 害，所以( 1 十! ) ( 1 一y ) l ，就有：蔷i ，所以1 十! ) ( 1 一y ) 1 ，就有： g 一岛【“( 1 + 6 ) + ( 占+ 。) 一( ，。+ y ) ( 1 + h ，) ( 1 7 ) 岔岛【“( 1 + 以p & ( r y o 一占如) 于是我们有： y 。( u o h ) + ( s x o + 羔) 一( 芦确+ y ) ，h ，毛，艿+ x ，7 y o + y ) 兰e r 【“( 1 + m 1 ，( 7 儿一6 却) e 懦( 一1 ) 。g 岛m ( + “) 随机利率下自回归模型的破产概率上界 属口一嗽1 嘲1 一列窖蒜隅一峨g 焉 y 一勾 = 厩p 一岫“) 】 e e 4 ( y y n g i x o ) 8 r ( 2 。1 4 ) 由( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 以及( 2 1 ) 得： 矿。( 虬毛，确，) = ff 声( “( 1 + 向) + ( s x o + x ) 一y y o ) d h ( x ) 据( w ) + f f f “睁峨+ 弗搀驴。0 ( 1 + 约+ ( s x o + x ) 一( 7 y o + y ) ，五，毛，毋知+ x ，y y o + 力 d f ( y ) d h ( x ) d g ( w ) ff p o “扣舻蝴f i + h l + ( 6 x 。l + x ) * y y 0 抄。d f ( 棚( x 凇w ) + f fr 弘窝舻争m 成# 谢m 删副t 矽砖d f ( y ) 掰掘( w ) = ff 甄g - l u ( 1 + h ) 8 颤慨一砜f 8 蹦产砖d f ( y ) d h ( x ) 撩? ( w ) 篇f l o e e 一戍“1 + 。铀+ f l i _ i + 州，8 礴( y y t ，- 6 1 e e r m 一幽) = f l o e e 一“。+ 8 b + 照，+ 戮) g 爵”一6 轴 从而对n 1 都钶： ，f o ，f - i ，x o ，y o ) f l o e e 一办似“b + 肛，+ 戳口再隅一6 ，p ( 2 7 ) ，上式两边令”斗o 。取 极臌即褥( 2 。8 ) ，证毕。 注22 1 定理2 2 1 中的上界是有效的，因为f l o 1 ，e e 一嘲t + 肛，+ 嵋 1 且 y 飓一占如 1 ， 院f l o e e 一霹e5 + 8 珞+ 艇l + 戤，8 蒜r 鲰一再岛) l 。 注2 2 2 当，= 占0 时， k - x ，n = l ，2 ， 成为一列具有一阶自回归结构的随机 变鬃序确，鄄若同前西记艺一曩皇邑，秀记y 。x 0 = = o 0 ，k a 。= 毛，剐 乙。y 东一，+ 磊，于是定理2 + 2 ，1 中螅上器变为：f l o e e 一如”触t + 峨8 炳， = 玳( 1 一y ) ，在此情形下，等价予满足：e e 妫= 1 。此时模型退化为l i n 和w a n g ( 2 0 0 6 ) 辑讨泠的槿犁( 拳l 率结构假设不羁，本文为二除皂回蝰，该文兔马氏镫) ，纛l i n 和w a n g 第一章推广模型( 一) 下的破产概率 ( 2 0 0 6 ) 的定理4 2 在本文中的记号及相同的条件下的上界为 f l e e x p - k u ( 1 + i , ) i o = 乇 e 轩 其中彤= 旦1 + i ，f 是l ( = l ，2 ，) 的最小耿值，r 满足( 2 4 ) ，( 匆) = i n f k ：d p ( z ) e “p ( t ) 尸( z ) = p r 点z 。因为都有条件y 熹，即( 1 + ! ) ( 1 一y ) l ，从而1 一y 番i 击尸( z ) = p r 点z 。因为都有条件y 再r _ ，即( 1 + ! ) ( 1 一y ) l ，从而1 一y 番i 击 可得r o k 。因此，本文的定理2 2 1 有更优的上界。 注2 2 3 当7 = 占= 0 时，模型假设简化为 z 。，”= 1 ，2 ， 独立同分布，则定理2 2 1 中的上界变为：p o e e 一脚1 + 。+ 肛i + 哪。再令声：0 ，即利率简化为一阶自回归，则定理 2 2 1 中的上界变为：p o e e 一脚1 + 。+ ，与c a i ( 2 0 0 2 b ) 定理3 2 中的结论一致。 定理2 2 2 在模型( - - ) 下，设0 - 6 - 7 1 ，且儿= 0 ，e 巧一( 1 一r ) a 1 0 h 令r ? = r 。( 1 - y ) ，则当y _ 专时，对v n 1 有： l 十t l 和 y 。( “，乇，t i ，x o ，o ) f i t e e 一矸“1 + “+ 肛- + m ) e 一碍6 邗 妒( 甜，乇，t 】，x o ，o ) f i t e e 帅姗，+ 肛- + e - & 6 州盯1 镪等 2 0口 证明：显然屈1 ， 对v x o ，声( x ) 届p 一水f p 砰灯( y ) 卢p 一巾e e 8 h ， 由( 2 1 8 ) 1 ( “，i o ，f _ 1 ，x o ，y o ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 堕塑型兰! 皂旦塑塑型塑丝主塑皇主墨 ：! ! ： = y ( “，i o ，t ，x o ，0 ) = f r f p r u o i 彬= w ，= x ，k = y d f ( y ) d h ( x ) d g ( w ) = ff i ( “( 1 + h ) + ( s x o + x ) ) 棚( x ) 据( w ) c 。r 屈e - 诎“咖( 叫e e r ；v - d h ( x ) d g ( w ) 由却。4 ff f l l e - n t u ( t + h ) e - n a l - r ) 6 x , , er l ( 1 - y ) x e e 碍“d h ( x ) 加( w ) f 1 1 e e 一群“( 1 + 口十f l - + ) p r - ( 1 - r ) s x l j e e 硝m 一1 7 籼】 f l l e e 一。? “( 1 十“b + 肚- + h e 一。? 5 h ， 假设：l y 。( “，乇，t 1 ，如，y 。) = l 矿。( “，乇，f - l ，x 。，o ) f i t e e 一“1 + 。如+ 口。- + h e r 7 6 x ( 2 1 9 ) 由( 21 7 ) 知： f ( u ( 1 + h ) + ( 5 x 。+ x ) ) 口 8 孙“岫“如一儿巾 ，) p 如卵( y ) 届8 e - r i s x o ，巾) p 焉一一。咖卵( y ) 由( 2 1 9 ) 知： y 。( “( 1 + ) + ( 5 x o + x ) 一y ，h ，i 05 x o + x ，y y o + y ) = 妒。( “( 1 + h ) + ( 5 x o + x ) 一y ，h ，i o ，5 x o + x ，y ) f 1 e e 一耳卜1 + 6 + 6 。“+ 一7 】1 + 8 6 + 4 “+ 嘶p 一矸6 6 + 。1 届8 一棚州叫州p 一棚圳g 对如 届e 一棚m + 州e r , ( 1 一”) 毋 ：届e 帅+ m p 一硝5 e 一卅，n 一硼+ f l l e 一“i “( 1 + “) e 一8 i 5 。e r j 1 7 。】 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 上式因为0 j y 1 ，所以( 1 一，) ( 1 + 占) = 1 + 5 一y 一影1 + ( 占一y ) 1 ，由( 2 2 0 ) 和 第一二章推广模型( 一) 下的破产概率2 1 ( 2 2 1 ) 以及( 2 1 ) 得 y 。+ 1 ( u o + h ) ( s x o + x ) 一( r y o + y ) ，向，g o ，8 x o + x ，y y o + y ) = y 。+ 1 ( u ( 1 + h ) ( s x o + x ) 一y ，h ，i o , 8 x o + x ，y ) rf 届e 一小“”e - r j + 5 x o fe r , ：- o - r m d f ( y ) d h ( z ) d g ( w ) = f l l e e 一咖( 1 + 4 b + 肛t + e 一 o e e r , v , - o - r ) a d = , 8 l e e r l * u ( 1 + o , b + 肛i + g 一对扎 由归纳法可得，对v n 1 都有( 2 1 5 ) ，令”_ 。o 取极限即得( 2 1 6 ) ，证毕。 注2 2 4 定理2 2 2 中的上界是有效的，因为e e 一碍+ + p l - + 嘶) + s x o 1 ，崩1 ， 因此上界届e pr u o + a b + ，i l + w e - 9 6 1 。 注2 25 当占= ，= 0 时，r 卜r i = r 。，届= 屁，此时与定理2 2 1 在5 = y = 0 时 的特殊情况有相同的上界：p o e e 脚“+ 4 。- + ；因此，又当卢：0 时，与c a i ( 2 0 0 2 b ) 窜坪3 2 中的结论一致。 髓机利率下自阐归模型的破产 既率卜界 第三摩推广模型( 二) 下的破产概率 显然在模型( 二) f 的有限时f 可破产概率为： 热( 嚣，毛，t ，而，y o ) = p r u 瓯 o ) 墙胁必咖害( 卜t ) 囊”1 ) ) 。 l = p r u 卜羹( 1 + ) + | ( t i 州卜t j h ( 1 + 1 ) | o | l l 一ll 蚓，= 1 ，。，十1f i 相应的最终破产概率为： 妒( 村，乇，t 。，x o ，y o ) = p 。1 o),u(uk 珊讲i 如咖言( ( 舶q ) 吲黔) 。 【i ；l f = l ，= 1 ，= ，+ 1 本拳季孥在模登( 二) 下，薅更瑟熬方法孬蜀上述破产攘搴豹赛。营先给爨一个骥产缓 率的积分等式。 3 1 破严概翠的积分等式 s l 理32 t 在模型( 二) 下，对砟= l ，2 ， r y o 十艿茂) ( 1 + ! ) 时，有 + l ( “，乇，t l ，x 0 ，y o ) = ff f + 拶+ 苫) + 6 x o + x ) ( 1 + h ) - y y 。0 时 y ) = 当o y ( u + b x o + x ) ( 1 + 厅) 一y y o 时，p r u i ( “i o ) i 彬= w ，1 = x ，k = y i ”+ l 女= lj = 仇( ( “+ 5 x o + x ) ( 1 + h ) 一( y y o + y ) ，h ，f 0 ，5 x o + 工，7 y o + y ) 贝0 优。( “，乇，t ，x 0 ，y 。) = r r p 固( 吣吲噬川卟叫= y 卜( y ) d h 嬲c w ， = rf f ( + 8 x o + x ) ( 1 + ) 一7 y 。) 棚( x ) 粥( w ) + r f r ”力o “卜“蛾( ( “+ 占x o + x ) ( 1 + ) 一( 7 y o + y ) ， ，f 0 ，占x o + x , y y 。+ y ) d f ( y