（计算数学专业论文）矩阵特征值扰动的若干问题.pdf

南京航空航犬人学硕士学位论文 摘要 本文研究丁不变子空间上矩阵特征值的扰动和矩阵特征值的 相对扰动，给m 了几个新的扰动界。 本文系统的研究了不变子空间上矩阵特征值的扰动。首先给出 了可对角化矩阵特征值扰动的h o f f m a n w i e l a n d t 型定理并进 步研究了几种特殊的情况，得到了加强的结果；其次给出了可列称 化矩阵特征值扰动的谱范数的w e y l 型定理和h e r m il e 矩阵和可对 称化矩阵特征值扰动的酉不变范数范数的扰动界；并进一步研究了 不变子空间上任意矩阵特征值的扰动。 本文给出相对扰动理论的两个浪记。首先，对一些扰动界进 了 了改进。相似变换不改变矩阵的特征值，利用这个性质，推广了 b a u l 3 e r f i k e 定理：得出了新的可对称化矩阵的h o f f m a n w ie l & i f i d t 型定理。其次，利用h y p e r b o i i c 奇异值分解研究不定h e r m i t e 阵 特征值的相对扰动已有了很大的进展，本文从另一个角度，得到了 几个新的扰动界。 关键词：特i i l i 值扰动不变子空| 白j相对扰动呵对角化矩| ；车 h y p e r b o l ic 奇异值分解h e r i n i t e 矩阵 矩阵特祉值扰动的若干问题 a b s t r a c t int h ih n 。l p cr ，w e d isc us sth e p e r t u r b a t i 0 1 2o f m a tr ix e ig e n v a iu e sr t n s o cia t e dw it hln v a r i a n ts u b s p a c e s l n dr e i a t lve p e r t u r b a t in no i i 1 tr ix e t * e n v a l u e s s o m en e wp er tu r b a t ic ) n b o u n d sa r e pr u s p n t e d w e s y s t e l l l l l t ic i l l lys t u d ie dt h ep e r t u r b a t jo no fm n tr ix e i g e n v a l u e s l s s o c i a t e dw i t hi n v a r i a n ts u bs p a c e s s o m en 。w h e f f m a n - w ie 1 i nd t t y p e b e u n d so nt h ev a r i a tio ns b e t w e i 、n e i g e n v a l u e so ft w od i a g o n a l is a b l em a t r ix esa ss o c ia t e dw h in v a r i a n t s u b s p ；l c e sa r ee b t a i n e d s o m ew e y lty p eb o u n d sar l e o b t i a n e da 1s o p e r t u r b a t i o no f e ig e n v a lue so m o r e g e n e r 。li m a t r ixisa is os tu d ie d f i r s t ，w cl i n p r o v es o m et b e r o i e s u s i n gt h ein v a f i a t i o nt ) f t h ee i g e n v a ll i e sef t w om a t r i x e si fo n em a t r i xjss i m i l a r 【o ar l o t h e r ，w ee xl e n d b a u e r f i k e t y p er e l a t i v ep e r t u r b a t i o r l t h e o r y a n do h t a na n e wr e l a t i v e p e r t u r b a t i ( nb o u n df o r e i g e n v a l u e s o f d i a g o n a l is a b l em a t r ix u s in g h y p e r b ( ) 1i c s i n g u l a rd e c o m p o s it o nt o s t u d yp e r t u r b a t i o nf e r e i g e n v a l u 。s o fi n d e f i n t eh e r m i t em a t r i xh a v es o m ed e v e l o p m e n t ，w eu s es 。m e n e wm e t h o d st o g e t s o m en e wr e l a t iv e p e r t u r b a ti or b e u n d s k e y w o r d ：e i g e n v a i u ep e r t u r b a t i o ni n v a r i a n t s u p s p a c e h e r m i t e d i a g n o n a l is a b l e m a t r i x 承诺书 本人郑重声i 归：所呈交的学位论文，是本人在导师指导h 独、 ： 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引| jl 门内 容外，本学位沦文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均l 行殳 中以明确方式标j 归， 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交沦文的复印什，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入何关 数据库进行检索，几j 以采用影印、缩印或其他复制手段保存沦之 ( 保密的学位沦文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 曰期： 攘莹 蟹堕堑堡堕垫垫塑苎塑墅 符号表 c ( r “) c y ( 秽”) c ”( r ”) c ( r ) u ， 4 _ 。 j j | | | 2 五( 爿) 矿( 爿) 盯m m ( 爿) 仃( a ) k ( x ) ( 爿) c d i a g ( c l ，o 。) ( 吼) 所有m ”阶复( 实) 元素矩阵的全体 所有秩为r 的复( 实) 元素矩阵的全体 所有复( 实) h 维列向量的全体 所有复( 实) 数全体 所有月”阶酉阵的全体 单位矩阵 矩阵彳的共轭转置矩阵 矩阵4 的逆矩阵 矩阵a 的逆矩阵的共轭转置矩阵 酉不变范数 f r o b e n iu s 范数 谱范数 矩阵a 的所有特征值全体 矩阵a 的所有奇异值全体 矩阵爿的最小奇异值 矩阵a 的最大奇异值 矩阵x 的谱条件数( 即0 x ”i i x 。) 矩阵a 对于f r o b e n iu s 范数的难规偏离度 复数c 的共轭复数 以c 一，f 。为对角元素的对角阵 以q ，为第( f i ，) 个元素的矩阵 南京航空航天人学硕士学位论文 第一章绪论 求解矩阵的特征值是数值代数的一个重要的课题。但是，在数 值计算时，由丁实际问题中的数据往往带有误差，在计算机上表示 矩阵的元素也会相潢差。因此对矩阵特征值进行扰动分析是十分 有必要的。 h o f f m a n w ie ia n d t 定理和w e y l 一7 11 4 ckmn 定理是矩阵特 征值扰动分析中十分经典的定理。 定理1 1 t 1 ( o f f m a n w ie l a n d t 定理) 设a ，b ( ”皆为下舰 矩阵特征值分别为 ， ，d 一，“，则存在1 ，n 的一个排列，r ， 使得 、h ，一鸬l 归一j 4 yi = i 定理1 2 。( w e y 卜j 11 4 且c k h 自定理) 设a b c ”皆为 h e r m i t e 矩阵特征值分别为 2 ，“则 矗一, i - - z 。 o ，若o i s 鸬，f = 1 ，l 贝| j 对c 上的任一酉不变范数啪， 有l l a l t - 1 1 8 4 。 引理2 2 6 4 “a ，b 仨c ”为h e r m i t e 矩阵，特征值分别为 ，一a ，乒，一，成，则 0 a i a g o 、一， ，- p 。) 4 s0 b a 0 。 引理2 2 7 ”设a 口0 r 特征值分别为 丑，o ，“ 。0 t 贝0 五h ，i = 1 ，| 。 对于我们定义的c “7 上的酉不变范数，我们有 南京航空航天大学硕士学位论文 为 一，“，q c 为列正交矩阵，则存在1 ，”的排 列7 ，使得 f j d i a g ( 2 , 。一一，丑。，一卢。) 0 28 4 q q 日f | 证明对a 分块表示 ( 4 i l ：i 射 4 1 1 e c r r 小c ” 设豆= ( ：三：) ，设云的特征值为互互，由引理z z e 得 i i d i - g ( a o ， ，一酬肾爿i i 设豆的特征值中五，i 。，为b 的特征值“，且 ij d m g ( a m h ，五。，一) l = i l 击昭( t 一“，以。一卢。o ，o ) 0 由引理2 2 3 ，存在s g 函数，使得 | 以曙( t 一“一，t 。一。，0 ，o ) 1 1 = 中( i 一“l ，i 以。一。i ，0 o ) j i 嘶昭( 五一五， ，一元) l j = 中( 五一互 ， 一五i ) 由引理2 2 4 ，可得 辔( ，峭| ，一心协0 一，o ) 。( h s l ，k 一邳，即 l l 纰( 一盼，九犷心) 纰( n ， ，一训。 煦硼t 1 杏- 4 2 8 廿酬。不妨设q = ( 匐 r 暑爿q q 8 = ( 一。j ：b ，百一= ( 爿j ：口： 矩阵特征值扰动的若干问题 l l 爿一百= k 矗j ：艿吉 3 l ( 爿l j ：b ： 9 + l l ( ：吾 l - - 1 1 r i i + i i a , 10 q ( 彳。! ) = i 丽矿( r ) = j l i j i ：j i f i j 二i 嘲 由引理2 2 7 ，可得q ( 2 ) s 巧( r ) ， 出引理2 2 5 ，r 所以l l 爿一剐兰2 定理得证。 定理2 2 j a c ，b c ”均为可对称化矩阵，a = 砌昭( ， ，) 尸1 尸a p tb = g d i a g ( p i ，) g 一；g f 2 g 一，其中 ，“均为实数 p ”为列满秩矩阵，则存在1 的一个排列口，倬得 1 i 击昭c 以一。、一，乃。，一。s 三：! ：! ：! ：5 ；丢孕i 彳q s 筘| l 证明仅证明爿为h e r m i t e 阵，q 。l ：j 的特殊情形t 将z 6 进行奇异值分解：z g = u 至矿，其中u ， v 为酉阵 主= 疥昭f 反，每。) ，类似于定理2 1 1 中式( 2 1 。3 ) 的汪明，可得 悱侧马格彬脚u l i 。三| f 8 z 。8 4 ；| f = 口( q ) 8 鸣，| i k 4 i 一乞：q y u 圳8 4 ，一u 。矿q 矿u o + 1 1 4 川 曼箦渤郇铷忡杀弘剐 南京航空航天大学硕士学位论文 s 器忙卜面1 忙i = 案忙j j 由定理2 2 4 ，可得 脚k 凡。他川p r 鬈凹 l 定理可褥。 2 3 扰动后矩阵为任意阵的特征值的扰动 引理2 3 1 。设a e c ”是正规矩阵，特征值为a ，五，b c “- 是任意复矩阵，特征值为= 口。+ 溉，f 2 = - 1 ( 瓯，反均为实数，且 a l 口! 口。) ，则存在l ，n 的一个排列万，使得 - 石i b - a l l ， 定理2 3 1 砹一c ”1 是汇规阵，特征值为五， ，b c 是 任意复矩阵，特征值为；十f 反，j 2 = 一1 ) ( 坼，羼均为实数，且 口口2 ) q e c ”是列满秩矩阵，则存在1 ，n 的一个排列万， 使得 j 弘 2s 赤rj u t y ， 证明 将q 进行奇异值分解： q n 扛d i a g ( o , ，瓯) ，吼弧 其中u c ”，v 仨c “均为酉矩阵。令j = u a u 雷= v b v ，于是 i i r i i ，= 卜酬l ， = 卜( 川l 矩阵特征值扰动的若干问题 = 烁砘 此处j ，西分别酉相似于a ，曰。因此，j 为正规矩阵，将j 分块 表示为 j 也甜a i i e c , a 2 2 e c t - m l x r - n r l 所以 i i r i i ，= | l ( 氐 = 虻乏主关乏 警乏乏她 = 驯0 娣弛 = | 五一( ：z ，) ( 言乏! 码2 ) ( ：吒0 ，厂 ( ：z 州l i j 一( ；z ，) ( ：盯”主：4 3 ( ；口0 ，) “i l ，l ( ；z ，) 。【l 而艮，) _ l 卜艘， 所以 s 石期啦a ：- ) k o 钆0 j 。 瓦习志忙k 注 当m = h ，q 是单位阵时，定理2 3 1 的结果就是引理 南京航空航天大学硕十学位论文 2 3 1 ，所以定理2 3 1 是引理2 3 1 的推广。 定理2 ，3 2 a c ”是可对角化矩阵，a = x d i a g ( ) q ，元，) x 。 ；x ax ，b c ”是任意复矩阵，特征值为“，2 q c ”是列 满秩矩阵，则存在1 ”的一个排列丌。使得 j 弘1 2 志础帆i i i i 证明 i r i i ，= l i 彳q - q b i i ， 髂可1 眇q 订蜮 令q = x e ，r = a q 一妒t 由定理2 3 1 可知，存在1 ，珂的一个排 列万，使得 拇，f 面i i r i i ，去f i i ：i i r i i ， 由引理2 1 1 ，可知 l s 坠 口。【g )匹。( q ) 所以 虐f 酬2 志舭帆i i 注l 当a 是f 规阵时，k ( 爿) ；1 ，所以本定理是定理2 ，3 1 的 推广。 注2 当m = n ，q 是单位阵时，本定理就是文 6 的定理j 1 ， 所以本定理是 6 中定理5 1 的推广。 当五是实数时，矩阵a 为可对称化矩阵可得类似于上述定理 的结论。 引理2 3 2 1 ”设4 c “”是h e r m i t e 阵，特征值为丑丑， b c ”是任意复矩阵，特征值为 毪= + f 反，i 2 = 一l j ( 级，级均为实 数且q 口：口。) ，q c ”是列满秩矩阵，则存在l ，n 的一个 排列万，使得 矩阵特征值扰动的若干问题 摇卜“i 而- 4 2 恻，。 定理2 3 3 a c ”7 是可对称化矩阵a = x a i a g ( 4 ， ，) “ ；x ，五是实数，b c “”是任意复矩阵，特征值为l - ，h ， q c 是列满秩矩阵，则存在一个1 ，月的一个排列疗，使得 广 接卜1 2s 丽4 2 k ( x ) l l r l l r 引理2 3 3 一a c ”一，8 c “”是任意复矩阵，特征值分别为 ， ，“，u ，则存在1 ，月的一个排列石，使得 _ 、”训2 石( 阻一”却) “是a 的难规偏离度。 定理2 3 4 a c “”7 ，b c “”是任意复矩阵，特征值分别为 ，五，“卢一q c 是列满秩矩阵，刚存在一个l ， 的一个 排列万，使得 压_ 接卜训2 石( 去肥i i ，协 厶f 是a 的正规偏离度n i f _ 明 将q 进行奇异值分解： q 列。污卜黔d i a g ( o , ，川，啦 其中u c ”，v e c “”均为酉矩阵。 令j = u a u ，言= 阳矿”， 将j 分块表示 j = 陵射a l l e c ” , a 2 , e c m 类似予定理2 3 ，l 的证明，可知 o r 乳c r m m c q ，j 一( ；z ， ( ：吼t a 。，：一”- 、) t z o 。k 0 ， “ 由引理2 3 ，3 ，存在1 ，n 的一个排列万。使得 南京航空航天大学硕十学位论文 两s 石( 五一( ：z ，) ( ：d _ 薹! 一1 2 ) ( iq 0 。，) “，+ 其中弓是五的币规偏离度，而五酉相似于a ，所以j 的特征值与a 的 特征值相同，且f r o b e n iu s 范数是酉不变范数，可知 所以 弓= ；一孙= 卜扎：即 = i ，t i 再习 蛎c 去i i o m? h l。( q ) “ + 。j 矩阵特征值扰动的若干问题 第三章相对扰动的两个注记 3 1 相似变换在相对扰动中的应用 相对扰动理论常用以下几种方式 眦；皆，拟川2 智矧却，= 丽f l - a 1 ， b ( 卢) ： ：罢i - 型t i 一( j 口为任意自然数) b 尢卢= 刁而p 为任恿自然数 度量a 的特征值五与b 的特征值口的关系。 p 。虽然形式复杂，但相比其它形式，它有十分良好的数学性 质。在 1 9 中给出了几个以p 。为度量形式的扰动界。 引理3 1 1 一c ”是h e r m i t e 矩阵，爿= d 爿d ，其中d c ” 非奇异，a ，j 的特征值分为 ， ，五，互，将d 进行奇异值分 解：d = u d i a g ( o , q ，彤 u , x v , ，则存在1 ，的一个排列f ，使得 再岛( 砜，心乒丽。 1 9 中已经注明，当彳是j 下定矩阵时，该定理可由 1 9 中定理 j 1 直接推出。这足以说明该结果所给的扰动界相当粗糙，需要进 一步的改进。 定义3 1 1 设s = ( q ，) c ”。如果 吒= = i q 2 0 ，l s ，j h ，ij l 则称s 为双随机阵。 定义3 1 2 每行、每列有且仅有1 个元素为l ，其余元素为0 的方阵，称为排列方阵。 排列方阵是特殊的双随机阵，共有竹! 个不同的h 阶排列方阵。 引理3 1 2 ( b i r k h o f f 定理) 。任一疗阶双随机阵s ，必可表 示成丹喻排列方阵p 的凸组合，即 2 8 南京航空航天大学硕七学位论文 s = q pq = l ，q o ，f = 1 ，月 g l 理3 1 3 ：。a c ”夤= d , 4 d 2 均是正规矩阵，其中d i c ”， d ：c “+ 非奇异，j 4 ，j 的特征值分别为 ， ，五、五，则存在 1 一 的一个排列万，使得 、臃岛( 槭，) 离r a 彰i n r a i n ，m i n 万面丽，厄丽而 j 善 岛( 五，不m ) js 。n j 眇一d 2 眩+ l 所1 一u 枷u 一日旺+ 1 i 嘎l u | 1 ：| 得 定理3 1 1 条件同 l 理3 。1 l ，存在l ，挖的一个摊列万，使 瓣z p 2 ( 盯, , - - ：， 2 证明卅与a 分别有s c h u r 分解 a = u + d i a g ( ，一，) “；u a u ，j = 0 d i a g 五，五，1 痧；0 + 天d 对任意的对角矩阵q = d i a g ( c , ，白，c 。) ，都有 五= 疗天疗= d + n 0 0 + 天( 勉q 一，d = 0 q c 瑗0 盯1 0 ：d q 幻a d o d x - o 因为矩阵d 有奇异值分解d = u d i a g ( 盯一，吒) k + ；u k ，由引理 3 i 3 可知。存在1 ，n 的一个排列玎，使得 酾s 卿厄而网再丽 = 磐厄丽而丽万面i 可 厄五丽而i 丽 下面只须证明存在q ，使得 j f 驴k o d h e + f j q 疗k 一以肛s 辱( q 新 令u i , i = ( q ，) 矩阵特征值扰动的若干问题 i ) d k q d 巧眩+ j f q 疗k 一d k e = ( q , j - c , 仃，q i t ) 2 + 窆fq i j - ，- i i , l = ll = 毫 e - 一c ，叮，2 + ( t 一号 2 s 喜g ；与喜g ：分别为( 既) ( d 巧) 对角线第- ，个元素和( d 巧) ( d 巧) 。对角 线第i 个元素，疗彰为酉阵。所以 s = ( 爵) 为双随机阵。由 l j | s = q 只 ，i i 设排列方阵 满足 ) 二+ f 1 一 b i r k h o f f 定理，可知 i l r q = 1 ，q o ，i = 1 ，” ，i l + 似 = 善嘉 c t q 口，2 + ( ，一号 2 唧成 p 哦：( ) 。毛：以要 一i ， 、 g 一q ： f i ，酊 。 = ，町 i 彬 吼 ， = ，町 ) 成 ( = r 果 如说是就电 盯 q 一 一 一 矫 、 i b 、 盯 q 一 ，i 。l 。川 南京航空航天犬学硕十学位论文 器礁i j ； c t q d ，二+ ，一号 ： 成 = j ； t ，一t d ，3 + ( ，一詈 二 p = j ； ( ，一q 口，! + ( ，一号 ! 曩。， = 水州t 一翎 ，置lj 、u ，l l l o v , - q o v , z l i + i i q o 巧z - - o v , 嵫卜。订+ ( t 一训 盯+ 取：_ - e 一+ 1 仃 则 扯+ ( 一剀球一管h 篙 = 喜f ( 高h 管) 3 1 = 氧活 ! = 辱网 矩阵特征值扰动的若干问题 注1 因为 蔓拇。忪乒丽 故该定理优于由 19 中定理j 1 推出的结果，更优于引理3 1 1 。 注2 引理3 1 1 和定理3 1 1 虽然要求爿为h e r m i t e 阵但 是从证明过程看出，仅需要a 和= d + a d 均为f 规矩阵即可。 定理3 1 2a c 和a = 口一n 均为j 下规矩阵，其中d c ”， d ，c “均为非奇异矩阵，分别有奇异值分解d ，= u l 矿，d ，= u ，k 其中u 1 “。u ：，k 均为n 酉阵，i = d i a g ( o i ”，一”) ，! = d i a g ( 盯) ”， ，仃) ，a ，j 的特征值分为五， ，互，互，若u ，k = 哆c ，：，则存 在1 ，r l 的两个排列7 1 r ，使得 厨丽网 证明类似于定理3 1 q = d i a g ( c i ，岛，矗) ，存在1 1 可知，对任意的对角矩阵 n 的排列刀，使得 网镏? 厨丽瓣而蕊 令q = u h ，可得 =m，in。,，厨llq-onou,z,z石,ll：两-孤 = 睁厄再而丽孓菘可可 类似于定理3 1 1 可知存在l ，l 的排列一，_ ，r 2 ，使得 i 瞰一q l l | ：s 喜( t 一础。) 2 ，枷暇 啊皓喜( - 一q 南 ! 南京航空航天大学硕十学位论文 令铲：挲奏，则存在卜一删排列，使得 ( 啪) 。十赤 厨丽s 蕊 注定理3 1 1 不能简单的看成本定理的特例。 推论3 1 1 a c ”和a = d i a d 2 均为正规矩阵，d t c ”， n c ”“均为非奇异的正规矩阵，分别有s c h u r 分解口= u a u ? ， b = 人：u ：，其中u j ，u 均为酉阵，a ，= 撕廿g ( ”，硝”) ，a ：= 讲昭( “ ，硝2 ) ，彳，j 的特征值分为暑，五，互，互，则存在】，厅的排列 , r t - ，r ，使得 厨丽s 网 证明类似于定理3 。1 2 。不把d f ，d 2 进行奇异值分解，而是进行 磊+ 去 s c h u r 分解，令q = _ 二半，结果易得。详细证明略。 + 击 1 7 k ( r 1 1 引理3 1 4 “! e 豆c 的奇异值分别为q 旺，画巨， 则对任意的酉不变范数，有 l i d i a g ( g ，一占，谚，_ ，) l j s l l 丑一百9 引理3 1 j 。啦a c 是h e r m i t e 正定矩阵j = d a d ，其中 d c “”非奇异，将d 进行奇异值分解d = u d i a g ( g i ，e 少；u z v ， 其中吼e ，彳，j 的特征值分为五矗，互互，则 m 。a 。x p ，o ( 2 , ，互) s 锄卜卜，- “蜷 引理3 1 6 1 ”a c ”，j = d i a d 2 均是可对称化矩阵 矩阵特征值扰动的若干问题 a = x d i a g ( 五) x ，a = x d i a g ( a ，五，) x ，其中d l c ”t 岛c ” 均为非奇异矩阵a ，j 的特征值分为 ，互互，则 m 。a x 。p 一, ( 2 ，互) 足( ) k ( x ) 。m i 。n m i n i l u 一旦e + l 所。一u ， 护一日州防一u 阱 定理3 1 3条件同引理3 1 5 ，有 憾矾丙似，射i 岛h 圳l 、u u n j i i i ：明j = ( c d ) 一( c 1 d ) ，由引理3 1 6 ，可得 ? 搿见( ，互) m 。i ，n 。l i u c d + 壮d 一u e 由引理3 1 4 ，可知 i i u - c d l i ：0 ，一c z l l ：- j i c d 一u l l ：i p 一一州! 取= v u 慨一c d i | 2 = | i 一c v i e u | | 2 = i l l - c z l l ： 所以 册 阿1 一u h 矿z u u l | 2 = | p 一刈： 魉厄面丽= 乒丽可可 m 。a 。xp ：( 2 ，班睁肛面丽 唧正面丽 = 哆压再而, 丽2 哥丽 l - c t r i - 南京航空航大犬学硕士学位论文 s m a xk m i n 乒面丽，卿厅丽丽 睁厄面丽，睁厅罚丽 斜，斜 一，跏 引理3 1 7 。1 a c “”是非奇异可对角化矩阵，a = x a x ，而 人；d i a g ( ， ，) ，j = d a 或j = a d ，其中d c ，对任意互五( j ) ， 存在五五( 爿) ，使得 。m i 。n 锑i x - i ( i - d ) x 其中为0 算子范数，对于向量z - - ( x , ) a c ”，定义如下 。= 对于矩阵并c “”，定义如下 i l x l l ，。麟i ， 很明显，谱范数是如范数。 因为相似变换不改变矩阵特征值，故可把引理3 1 7 推广到 j = d f 爿砬的情况。 定理3 1 4 a c ”8 是非奇异可对角化矩阵，a = x a x ，而 a ；d i a g ( ，a ，) ，a = 日4 d 2 ，其中日，d 2 c ，d i ，d 1 至少有个 非奇异则对任意互e a ( 五) ，存在 e ( 爿) ，使得 。m i n 皆s f ( ，_ d 2d i 帆 证明不妨设q 非奇异。令二= 研1 jd l = 4 d d i ，五与j 相似，任 矩阵特征值扰动的若干问题 意五莓五( 爿) ，都有兄以4 ) ，由引理3 1 7 ，定理可得。 注设a = a i a 2 ，则五= 祈州；，令口= 丑i ，及= 爿? ，由定理 ：j 1 4 可知 。r a i 。n ，锑妒1 f 。确私扎 令e = j 一爿 3 6 中有结果： 。m i n 锑飒呻阳；l 4 ：。l s 足) h 翻；| 1 2 其中足( 缈) 为a , a ，的条件数。 我们知道若a 2 a , 4 4 ，k ( 矿) 的估计比较麻烦，本定理的优越 之处是不需要估计4 4 的条件数。 当a ) a z = 4 4 时，有 。r a i 。n 锑si ”i x - , 巧叫x n一。l 西r s巧料_ n 3 6 中的推论2 5 ，推论2 ，l 推论2 6 ，定理3 3 都可以由本 定理得到。而且本文不仅得谱范数形式，还得到了其它的f 。范数形 式的扰动界。 对于可对角化矩阵的h o f f m a n - w i e l a n d t 型定理有 引理3 - i 8 ” a c “”，五= d , a d ：是可对角化矩阵，其中 d 1e c ”， 2 c ”“。均非奇异，且a = j 油口g ( ，丑，) x ；x 膏一， j = 胁裙嘱，元) j 一。= = 2 i l k ，则存在i ，一的一个排列厅， 揖岛( 编) 2 使得 硎n p l ：庐而丽再丽 1 ) x - , 孽l l ：庐再丽邛研 利用相似变换不改变矩阵的特征值我们可以得到 定理3 1 - j 条件同引理3 i 8 ，则对任意非奇异矩阵 y z e c ”，都存在i , - - - , 疗的个排列万，使得： 南京航空航天火学硕七学何论文 博p ：( 械m ) 。 m i n 铀j “z “，w i i ：枷x “( r , z - 破) j | i ；_ + l l “( 研一y “z ) j 旺 4 “y “z 牙| l ：| p “( z “y d 1 ) x 旺+ l p “( 珥一z “y ) e 证明 令a = y a y ，j = 历z ，这时一有特征值分解a = ( y x ) a ( x ) 。；a x 。1 ，j 有特征值分解j = ( z 君) 天( z 矛) 。s 2 天贾“。而且 五= 力z = z d t a d , = z 日_ = d 1 d 将代入，j代入z ya y d , _ z aaa j ，由引理3 1 8 ，定理立得。 定理不等式的右端最小值不易求出，我们取几个特殊的y ，z ， 可得下面的推论。 推论3 1 2 条件同引理3 1 8 存在1 ，, e l 的一个排列r 使 得： 广：t j 喜 硅( 丑，五。) s m i n o j 。d l 上“( 研。- d 2 ) 贾 l i j 。研1 x l l ：i p “( 研一d ! ) 膏忆， i 防d _ ，k l l ：1 l 牙“( 巧一日) z 忆 8 x - d ? 膏川p “( 西1 一日) z 肚 注 因为见( ，互) = 毗旧，这扰动界可 以由 3 7 中定理2 1 和定理2 1 直接推出。当d 1 = 珥时，j 与彳相 似，不等式左等为0 t 上式的右端也为0 。所以定理3 1 ；中的右 端最小值也应该为0 ，这是引理3 1 8 没有的性质。 推论3 1 3 条件同引理3 1 8 ，则存在l ，h 的一个排列r ， 使得 持 矩阵特征值扰动的若干问题 压m i n 4 霄“( 研l + d ) z 8 ：忙1 ( 研i d ! ) 贾8 ， 4 x - d ( 盟1 + q ) “钏( d ；l 喝) 珠 3 2 不定h er m i t e 矩阵的相对扰动 引理3 2 1 ：”设b c “，j = d i a g ( ：t 1 ) c ”对于( b ) 有 h y b e r b 0 1 lc 奇异值分解( h s v d ) ，= r ：b ，= 纰c 舢 其中y , i v = t ，u c “”是酉矩阵。仃- ，o r 称为b 的h y p e r b o l i c 奇异值。满足v + j v = j 的矩阵称为，酉阵。 类似于奇异值分解，有b j b = u a u ，a = x j r 和8 8 = 矿。+ z v ， v 。w = j 、 引理3 2 2 设ae c ”，若a = 马埘；b 删，其中马c “”，b 2 c “ 均为非奇异矩阵，则存在，酉阵v ，v + = j ，使得 且= 岛矿 证明b 。= 岛骘b 。令v = 匿1 尽，由旦叫= 垦厦可得 耐b 、域b 1 1 = j 。酃v = j ， 引理3 2 3 。a e c “”，j c ”均为非奇异的正规矩阵，特征 值分别为 ，一，互，互，则存在1 ，行的一个排列石，使得 s 0 一i i ( 五一彳) j 一；l l ， 定理3 2 1 如果a = d m d ，j = d 励= d 励均为厅阶非奇异的 h e r m i t e 矩阵，特征值分别为矗九，五互，令跏= 面一m ， 若1 i m 。p m l l ：妄1 ，令j = d i a g ( s g n ( ) ) ，则存在，酉阵矿，矿及1 ，h 的 骊 壹堕堕皇堕盔盔堂堡主堂壁坚 一个排列厅，使得 压谢刮 证明由引理3 2 ，3 ，存在 鼯 叫胴妒- v f f t 。；” i ，胛的一个排列厅，使得 蔓8 a 一( j a ) j 一；0 ， 下证h 柏) j 一督川u 愧l i m - , _ - , 6 砌一；8 ， 由r l ，= 一- 可得i v u ：= l i v 。4 ：。 只须证明存在酉阵q i 姥，q 3 ，翻，使得 爿j = d m i - q i v q z 。j ! = g 矿g 廊j d 下证酉阵q l ，q ，g ，q 的存在： a 有s c h u r 分解：a = u a u = 己，l a p j l a l _