（计算数学专业论文）椭圆外区域问题的自然边界元法.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明； 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 ，本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名：i 拯敛 日期：一迎垦j l 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进人学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名。独丛 b 期；乌厶也 硕士学位论文 摘要 本文研究了椭圆外区域上h e l m h o l t z 方程边值问题的自然边界元法，主要内 容如下， 第一部分介绍求解椭圆外区域上h e l m h o l t z 方程要用到的一类重要特殊函 数m a t h i e u 函数的基本知识，主要有m a t h i e u 函数和变型m a t h i e u 函数的物理 背景和定义、参数为q 和一q 时m a t h i e u 函数和变型m a t h i e u 函数的关系 第二部分首先利用自然边界归化原理，获得该问题的p o i s s o n 积分公式以及 自然积分方程，然后给出了p o i s s o n 积分公式和自然积分方程的数值解法由于 计算的需要，我们详细地讨论了m a t h i e u 函数的计算方法( 当0 q 2 0 时) 接 着给出该问题的变分形式，讨论了所得的变分问题饵的存在性与唯一性最后， 给出了数值例子，良好的数值结果进一步证明了m a t h i e u 函数的计算方法是可行 且有效的 关键词：h e l m h o l t z 方程，自然边界元法，椭圆外区域，m a t h i e u 函数 2 张t 硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t ct h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o rt h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fh e l m h e l t ze q u a t i o ni na ne x t e r i o re l l i p t i cd o m a i n t h em a i n w o r ko ft h ed i s s o r t a t i o nc a l lb es u m m a r i z e da 8f o l l o y d ： i np a r tlm a t h i e uf u n c t i o n s ( ak i n do fi m p o r t a n ts p a c i a lf u n c t i o n ) u s e da l e i n t r o d u c e d t h ed e f i n i t i o i i so fm a t h i e nf i l n c t i o n sa n dm o d i f i e dm a t h i e uf u n c t i o n s w i t hp h y s i c a lb a e k g r o u a da r eg i v e n ，t h er e l a t i o n s h i p so ft h e ma r ep r e s e n t e dw h e n p a r a m e t e r i sga n d - q i np a r ti i ，b yt h ep r i n c i p l eo ft h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，w eo b t a i n t h ep o i s s o ni n t e g r a lf o r m u l aa n dt h en a t u r a li n t e g r a le q u a t i o no ft h i sp r o b l e m ， d e v e l o pan u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et h en a t u r a li n t e g r a le q u a t i o n f o rc o m p u t a - t i o n ，w cd i s c u s st h en u m e r i e a lm e t h o d so ft h em a t h i e uf i l n e t i o n sw h e n0 q 2 0 i nd e t a i l s t h e n ，t h ev a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o no ft h ep r o b l e mi sd e r i v e d e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fs o l u t i o no ft h ev a r i a t i o n a lp r o b l e ma r ee s t a b l i s h e d f i n a l l y , w e p r e s c n ts o m en u m e r i c a lc x a m p l e st od e m o n s t r a t et h ep e r f o f i n a n c eo fo u rm e t h o d k e yw b r d s ：h e l m h o l t ze q u a t i o n s ；n a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ；e x - t e r i o re l l i p t i cd o m a i n ；m a t h i e nf u n c t i o n s 硕士学位论文 前言 2 0 0 7 年4 月 科学和工程中许多问题都可归结为无界区域上的偏微分方程的边值( 或 初边值) 问题，数值求解无界区域问题有着极其重要的意义由于区域的无界 性，尽管有限元方法或有限差分法对有界区域问题的数值计算是非常有效的， 但处理无界区域问题常常会遇到很多困难为解决这一难题，二十世纪六十年 代，边界元方法应运而生边界元方法是在经典的边界积分方程的基础上吸收 了有限元的离散化技术而发展起来的一种求解偏微分方程的数值方法，现已成 为求解无界区域问题极为有效的方法之一我国学者冯康教授余德浩教授， 韩厚德教授等以及国外的c a b r e b b i a 、j b k e l l e r 、d g i v o l i m j g r o t e g c h s i a o 等人对该方法的发展和推广都做了巨大的贡献二十世纪七十年代 末，我国学者冯康教授首创自然边界元方法，并由其本人和余德浩教授发展了 这一方法f 1 , 5 ，1 7 ，i s 1 9 7 8 年1 0 一1 1 月，冯康教授应法国国家科学研究中心 以及意大利国家科学院邀请赴法、意讲学，冯康教授在此次讲学中首次提出了 一种新的边界归化方法一“正则边界归化”，后来冯教授将其更名为“自然边界 归化”基于自然边界归化的边界元法称为“自然边界元法”二十世纪八十 年代中期，国外学者将自然边界元方法称为“d t n 法”( d i r i c h l c t t o n e u m a n n m e t h o d ) 余德浩教授经过十余年的潜心研究，形成了椭圆边值问题自然边界 归化及自然边界元方法较为完整的理论| 5 】目前，对于椭圆边值问题而言， 自然边界元方法的理论已趋于完善自然边界元方法与经典的边界元方法不 同，它是从g r e e r l 函数和g r e e n 公式出发。将偏微分方程边值问题转化为边 界上的超奇异积分，即p o i s s o n 积分公式和自然积分方程，然后利用有限元的 离散化技术来求解自然积分方程，从而得到原问题的数值解与经典的边界元 方法相比，自然边界元方法具有独特的优点：易实现，数值的稳定性较好，与 有限元基于同一变分原理，可与有限元自然直接地耦合因此，自然边界元方 法( 或d t n 法) 被1 9 9 7 年w o l f 奖得主美国s t a n f o r d 大学著名教授j b k e l l e r 誉为“目前求解无界区域问题的最有效方法”目前边界元方法已被广泛的应 用于科学与工程计算之中，如电磁波问题、固体力学问题、波动问题、扩散问 题以及声波问题等数值计算 后经余德浩教授等人的进一步发展，其研究工作已在二维、三维领域以 3 4 张t硕士学位论文 与时间有关双曲型、抛物型问题方面取得了许多重要研究成果但这些成果主 要是基于圆周( 二维问题) 或球面( 三维问题) 作人工边界，而对于具有长条形 内边界的无界区域问题，以圆周或球面作人工边界显然并非最佳选择，它将会 导致计算量过大，甚至不能获得满意的数值结果用一个接近于长条型区域边 界形状的人工边界( 如椭圆或椭球面) 可大大减少计算量，节省存储空问和计 算时间，不失为一种更有效的数值方法 。 目前，椭圆外区域上的自然边界元方法的研究工作已在调和问题中取得 了一些进展( 二维问题嘲、三维问题1 1 5 1 和各向异性问题1 1 6 1 ) 对于h e l m h o l t z 方程，所得的自然积分方程及p o i s s o n 积分公式涉及m a t h i e u 函数，而m a t h i e u 函数计算复杂，椭圆外区域上h c l m h o l t z 方程的自然边界元方法目前未见文 献报道而且h e l m h o l t z 方程是电磁波问题中的一个相当重要的方程因此， 研究椭圆外区域上h e l m h o l t z 方程的自然边界元方法不仅具有一定的理论意 义，直接拓广自然边界元方法的应用范围。为求解其具有长条型内边界外问题 提供了一种更有效的数值方法，而且具有较好的应用价值本文利用自然边界 归化原理，研究椭圆外区域问题的自然边界元法 本文分为两个部分。具体足 第一部分介绍求解椭圆外区域上h c l m h o l t z 方程要用到的一类重要特殊 函数一m a t h i e u 函数的基本知识，主要有m a t h i c u 函数和变型m a t h i e u 函数的 物理背景和定义，参数为q 和一口时m a t h i e u 函数和变型m a t h i e u 函数的关 系 第二部分首先利用自然边界归化原理，获得该问题的p o i s s o n 积分公式以 及自然积分方程，然后给出了p o i s s o n 积分公式和自然积分方程的数值解法 由于计算的需要我们详细地讨论了m a t h i c u 函数的计算方法( 当0 t o ，pe 【0 ，2 7 r 】) 的内边界，n 是f o 上的单位外法向量，则 孔1抛 一o n 劢i 赢瓦 ( 2 2 4 ) 第二章椭阿外区域上h e l m h o l t z 问题的自然边界元法 1 l 由自然边界归化理论【5 】，f 0 上的d i r i c h l e t 边值蜘( 妒) ( 即u ( 肋，l p ) ) 与n e u - m a n n 边值爱之间具有如下关系 。 象= 撕， p = 脚，( z 2 5 ) 称为自然积分方程。其中是自然积分算子而解t 与d i r i c h l c t 边值t o ( 妒) 之间的关系为 让= p u o ，卢 脚，( 2 2 6 ) 称为p o i s s o n 积分公式，其中p 是p o i s s o n 积分算子 以下记q = ，0 ) 2 根据文i s ，可知( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解( p o i s o n 积分公 式) 为 咄m = ；薹肛撕晰洲山 注。7 ) + 风( 伽，刖) ( 伽) 鼠( ，g ) u ( 肋，) ， u p o ， 囊= 一而高薹z k c m 郴“引 法：固 + z k ( 伽；g ) s ( 仍q ) s ( ，口) 】u ( 脚，) d ， 竺护h g 瑞n ( p o , q ) 羔；芝躺 偿。 = 砜而，口) = 锱黜， p 积分公式( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 涉及到特殊函数( m a t h i e u 函数) ，其计算较复杂，将在 下节中详细讨论 2 3m a t h i e u 函数的计算 s ( 妒，q ) 和s ( 1 p 口) 分别称为偶的和奇的m a t h i e u 角函数，复m a t h i e u 函数h e n ( # ，g ) = i ，e ，l ( p ，q ) + i n e n ( g ，g ) ，h o 。( 肛，q ) = ，( p ，q ) + i n o ( i z ，g ) ，其中 j ( m g ) ，0 n ( p ，g ) 分别称为第一类偶的和奇的径向m a t h i e u 函数，( p ， 张敏顼士学位论文 o n ( m q ) 分别称为第二类偶的和奇的径向m a t h i e u 函数( 或称它们为变型 m a t h i e u 函数) ，详细内容可参见文献 9 】 2 3 1s 岛( 忆q ) 和s ( 妒，q ) 的计算 s ( 刚) = a 磐( q ) c o s 2 k a ， ( 2 1 3 1 3 ) k - - - - o 2 f ，i + l ( 忆q ) = a 黔”( q ) c o s ( 2 k - ) - 1 ) 妒， ( 2 3 2 ) s + l ( ) = b 2 ( m + ”( q ) s i n ( 2 k + i ) o k = 0 ( 2 3 3 ) s + 2 ( 伽) = b ( 2 m + 2 + 2 ) ( q ) s i n ( 2 k + 2 ) p ( 2 3 4 ) k = o ， 式中m = o ，1 ，2 ，；a 磐，a 缎 ”，点龆，。b 2 2 ( k m + 2 + 2 为待定的展开式系数，它 们可分别由下面将给出的递推公式和归一关系式确定 2 3 1 1 展开式系数a ，毯 的确定 为书写简明和方便，这里将省写展开式系数a 和噬的上标，并记偶 m a t h i e u 角函数s ( 仍q ) 的特征值a 为，奇m a t h i e u 角函数s ( 仍q ) 的特 征值a 为k 其展开式系数的递推关系是不同的，它们分别是； ( 1 ) s e 2 m ( 1 p ，q ) f 山一q a 2 = 0 ， ( 0 2 m 一4 ) 月2 一q ( 2 a o + a 4 ) 2 0 ， ( 2 3 5 ) | 。 l 【咖m 一( 2 k ) 2 】a 啦一q ( a 2 k 一2 + a 2 k + 2 ) = 0 ，k 2 递推公式仅能确定系数之间的相对值，为唯一地确定系数的值，采用归一关系 式 2 【山】2 + 【a 铀】2 = 1 ( 2 3 6 ) k = l ( 2 ) s e + 1 ( 忆g ) f ( 啦l 一1 一q ) a 1 一g a 3 = 0 ， ( 2 3 7 ) 【 a 2 m + 1 一( 2 k + 1 ) 2 】a 2 k + 1 一q ( a 2 k 一1 + 2 七+ 3 ) = 0 ， k 1 ， 第二章椭圆外区域上h e h n h o l t z 问题的自然边界元法 ( 2 3 8 ) ( 3 ) s 0 2 ，n + 1 ( 妒，q ) i ( + l 一1 + q ) b 1 一q b 3 = 0 ， 【 6 2 二+ 1 一( 2 七+ 1 ) 2 】b 2 k + l 一口( i k l + b 姥+ 3 ) = 0 ， k 1 ， 2 39 ( ) ( 2 3 1 0 ) i ( 6 2 r ，l + 2 4 ) b 2 一q b 4 = 0 ， ( 2 3 1 1 ) 【 + 2 一( 2 k + 2 ) 2 】鼠+ 2 一口( 玩+ 玩+ 4 ) = 0 ，k 1 ， b 姥+ 2 1 2 = 1 ( 2 3 1 2 ) 以s e ( 妒，q ) 为例，从形式上看，由( 23 5 ) 和( 2 3 6 ) 可以确定a 。( 2 。m ，但 是实践证明这种方法足行不通的由 1 3 】可知，i m 磐) 1 的峰值出现在i a 。( 2 m 。i 附近，随着l 膏一刊值的增大，i a 磐1 衰减比较快，因此，我们采用倒推的算 法倒用( 2 3 5 ) ，得 a 驮一2 = b 一( 驰) 2 a g z k 一如+ 2 2 a 。2 石兰4 a 1 2 m 葡吼啦m 一一z 旷 山：鱼g a 2 m 具体算法如下， 步1 置，a 叫o 。) + 1 1 ) = 0 ， g l + 1 。) = 0 步2 由( 2 3 1 3 ) ，计算 ：- 1 ) 若l i 心：一。) o i i 婴o ，则转到步3 ； 着k = - i ，则转到步4 k = m + 1 0 ，m + 9 ，0 ( 2 3 1 3 ) = + 姥 a 1 j i 2 魄 脚 脚 1 4张敏硬士学位论文 步3 由( 2 3 5 ) ，计算 娑 掣= 密等，= 0 ，1 ，k ，转到步4 月矗 步4 由( 2 3 6 ) ，得a 啦，七= 0 ，1 ，2 ，m + 1 1 从以上递推关系式可见，为了能用它们确定出展开式系数，还需首先确 定出特征值a 的值 2 3 1 2 特征值 的确定 在m a t h i e u 函数的计算中，特征值a 的计算最为复杂，下面记s 8 加( 仍口) ， s 8 槲l ( 1 p ，g ) ，s 0 2 。+ 1 ( 仍q ) ，s 0 2 。+ 2 ( 妒，口) 的特征值a 分别为a 4 1 t n ( q ) ，o h + 1 ( 口) ， 6 2 。l ( 口) ，6 2 t ，i + 2 ( 口) ( 1 ) 当q 足够小时( 0 q 1 ) ，特征值d h ( q ) ，h + 1 ( g ) ，b 2 m + 1 ( g ) ，6 2 r n + 2 ( q ) 可以用q 的幂级数展开表示( 相关结果参见【9 】中6 9 8 页1 2 8 节( 4 ) 式和( 5 ) 式) ，也可用连分式近似求解1 1 2 】 对于四种形式m a t h i e u 函数的特征值可由如下含无穷连分式的超越方程 确定： 只( a ，q ) = ( 2 m + p ) 2 + 乃+ t 2 一a = 0 ( 2 3 1 4 ) 式中m = 0 ，1 ，2 ，；对偶数阶n 的m a t h i c u 函数。p = 0 ；对奇数阶n 的 m a t h i e u 函数：p = 1 ；t = 1 ，2 ，3 ，4 ，分别对应于s e ( 仍g ) ，s e 2 。+ l ( 仍口) ， s 0 2 。+ 1 ( 妒，g ) ，s 0 2 m + 2 ，q ) 四种情形；而 n = 一 t 2 2 q 2 叮29 2 ( 2 m + 2 + p ) 2 一a 一( 2 m + 4 + p ) 2 一a 一( 2 m + 6 + p ) 2 一a 一 皆聋皆 ( 2 m 一2 + p ) 2 一a 一( 2 m 一4 + p ) 2 一a 一一( 4 一p ) 2 一a q 2 昆 t = 1 ，2 ，3 ，4 ( 2 3 1 5 ) 耻t 0 1 = 4 1 - _ 口) , - 九2 q a 7 a 鼠, ：t 0 2 = 1 4 + 瓮b 扣q ( 2 3 1 6 ) = 1 一口一a ，鼠= 一a ，a = ( 2 ) 当1 g r oh roi-0 v 2 l ” ”r u ，y ， + 卜队( 川) h1 2 h怕 孙但 满 ” _l 勺 n 十 l 脚 1 i 2 ， h “仉 z，i = = 咖 d 曲 ，【 射 s d 张敏顿士学位论文 由 g ( 伽；口) 口( 1 + n 2 ) ，d 。( 肋；g ) 口( 1 + 礼2 ) ，n 0 2 ，2 ) 可知 - c ( g o ；q ) i 2 ( 1 + n 2 ) 一d 。( 伽；口) l r om g ) i “丽s o 丽n 砜 2 c 薹( ，m ； 1 “高孙1 2 + | “丽s o 丽n r o1 2 = c ； 即d ( - ，) 是y 一椭圆的由l a x - m i l g r a m 定理可知变分问题( 2 4 1 ) 有唯一解 日j 1 ( r 0 ) 为了求变分问题( 2 4 1 ) 的近似解。将 0 ，2 7 r 】等分成个子区间，即将椭 圆r o 剖分为n 个单元，记h = 2 仃，并假设在r o 上共取了m 个节点，节点 所对应的角度为妒，帆= k h ( k = 1 ，2 ，) 设仇( 妒) 为插值基函数， 讥( 妒) h ( r o ) ，定义h ( r o ) 的有限元子空间v “( r o ) ， 伊( r 0 ) = s p a n 妒l ( i p ) ，如( 妒) ，1 ；f i 仇( ) c 胃5 ( r o ) ， 则咖( 妒) 的插值函数u 3 ( 妒) 可表示为 砧( 妒) = “嘛仇( 妒) ( 2 4 6 ) 伽 参考【5 1 ，【6 2 3 1 的方法，关于误差估计有下面的定理 定理2 4 2 设u o ，“3 分别是变分问题( 2 4 1 ) 与( 2 4 7 ) 的解，又若伊( r 0 ) 是由分段的j 次多项式构成( j 1 ) ，且u o h j “( r 0 ) ，则存在与h 无关的正 常数g ，成立下列不等式 0 t o 一砧 i l 2 ( r o ) c h j + 1 i 蜘i h j + * ( r o ) ( 2 4 加) 定理2 4 3 设 ( p ，妒) 是外n e u m a n n 问题( 2 1 1 ) - ( 2 1 3 ) 的解，驴( p 是由( 2 4 9 ) 式表示的近似解，则存在仅与p ，妒有关，而与h 无关的正常数 c ( p ，妒) ，成立下列不等式 i 让( p ，纠一u h ( p ，妒) l c ( p ，妒) 0 t 0 一u 台i l l 。( r 0 ) ( 2 4 1 1 ) 证明由a 。( “伽) 和( 肛；p , o ) 的表达式，我们可知 a 。( p ；脚) = p 矿，( p ；t o ) = 口矿 张敏硕士学位论文 其中卢为正常数，而0 p 0 5 ，妒【o ，2 7 r mr o 2 ( 脚，妒) l 脚= o 5 ，0 妒2 玎 为椭圆，u = l 5 ，0 = 1 2 5 取 ：一1 勇! i f 而s i n h p - o c o s 妒。u l ( 1 ，0 e ( 肋，妒) ) 一丽。t h 甄而“叫咿俨0 州7 一竺堑型鬈粤壁! ! ；垫! 里，学( 。矗e ( 肋，妒) ) 酽( g o ，妒) “o + i l e o e s h ( 伽t o ，s 妒i n ) 妒h ( 1 ( u ，o e ( 脚，妒) ) 一巫号毵兰罴堂皇磐趔，0 e ( 蜘，| p ) ) 】) ， e 2 ( 伽，p ) 一”j 其中日( p ，妒) ：、磊忑l 忑磊丐i i 五焉萨i ，则同题的精确解为 ( “。力：日 1 ，( u ，0 e ( p ，妒, ，、jlcoish丽g c o st p + 锗) 张镀 顼士学位论文 取n = 3 2 ，用和分别替代和，截取m = 1 0 ，l = 2 0 表2 6 1 m = 01 = 0 ”酬l - - - - - 0 i h 列出了部分点上驴( 弘，妫的计算值，精确值u ( 地窃和相对误差i = = i ，表 2 6 2 列出在不同的剖分下三种范数的相对误差及计算时问，表2 6 3 列出在不 同的u ，上和妒下u “( p 妒) 的计算值，精确值u ( l ，妒) 表2 6 1 计算值t ，与精确值比较 1 o 0 3 7 7 8 0 2 e - 13 7 7 8 0 1 8 12 9 3 8 7 7 e - 12 9 3 8 7 5 e - 13 8 2 e - 6 1 5 0 2 0 5 9 5 1 e - 1 2 0 5 9 5 0 e - 13 2 3 4 0 0 e - 13 2 3 3 9 9 e - 13 3 6 e - 6 2 001 1 5 2 9 4 e - 21 1 5 2 9 1 e - 23 0 1 3 0 4 b l 一3 0 1 3 0 ：；e - 13 4 7 e - 6 3 ，50l 2 8 5 6 0 e - 1 1 2 8 5 6 0 b 16 2 9 8 8 8 l 2 6 2 9 8 8 6 e - 23 5 5 e - 6 4 0 ”85 7 9 8 6 0 e - 25 7 9 8 5 8 e - 2 9 5 2 5 7 3 e - 2 9 5 2 5 7 1 e - 23 1 0 e - 6 4 0r 21 1 0 6 7 9 岳11 1 0 6 7 9 e - 1 1 3 9 1 2 1 e - 21 3 9 1 2 1 e - 26 2 4 8 7 5 016 0 9 4 1 6 8 26 0 9 4 1 5 e - 22 9 3 5 6 1 d 2 2 9 3 5 6 2 8 21 6 0 e - 6 6 022 6 5 6 0 2 8 22 6 5 6 0 1 8 2 3 1 2 6 9 7 8 23 1 2 6 9 7 8 21 4 1 8 6 7 o33 3 0 0 2 8 d 3 3 3 0 0 2 6 8 3 2 4 8 6 4 5 8 2 2 4 6 6 4 4 e - 23 4 9 e - 6 1 5 0 4 4 5 2 7 3 3 8 44 5 2 7 3 3 8 4 5 2 5 3 0 7 8 55 2 5 3 0 1 8 51 9 4 e - 6 衰2 6 2 三种范教下的相对误差及c p u 时间 i 日1 一范数l 2 一范数l 。一范散 c p u 时间( 秒) 84 0 4 7 9 0 9 e ；21 6 4 3 9 0 3 e ；27 0 1 1 4 7 6 e ；22 8 7 1 61 3 9 6 9 5 6 l 24 1 2 4 6 0 7 e 32 7 2 1 5 9 7 b 25 6 8 3 21 2 5 5 4 2 7 b 42 2 4 6 1 4 7 b 一51 5 4 7 2 2 9 b 4 1 3 0 9 壅兰：璺：璺：盐蔓堕尘兰笪堕笪竺些墼( 盘三! ：! 里 。肛妒1 d 燮哥r e ( u1 高产督i m r e ( 矿)，m ( “)( “) 下面给出部分解的绝对误差曲线和相对误差曲线 第二章椭嘲外区域上h e h n h o l t z 问题的自然边界元法 ( 1 ) 肛= 2 0 ，妒以步长为哿取遍【0 ，2 丌】时，绝对误差与相对误差曲线分别 如图2 6 1 与图2 6 2 所示 圈2 8 1 左田为r e “一矿) 的线，右田为i r n ( u 一“) 的曲线 田2 6 2 左圈为m ( 兰毛芝) 的曲线。右圉为，m ( 兰乇生) 的曲线 ( 2 ) 妒= 1 0 。，p 以步长为0 5 取遍【0 5 ，1 5 】时，绝对误差与相对误差曲线分 别如图2 6 3 与图2 6 4 所示 囝2 6 3 左圈为m “一矿) 的曲线，右明为f m 扣一i t h ) 的曲线 张t硕士学位论文 _ 2 8 4 左圉为m ( 竺乇生) 的曲线右蟹为肺( 竺鼍生) 的曲线 由上述的计算结果可知，本文采用的m a t h i e u 函数计算方法对0 口 2 0 时可得到很好的计算结果。精度也较高经过计算尝试。对g 2 0 的情形， 计算结果的精度也可达到1 0 2 7 结论 本章我们研究了椭圆外区域上h e l m h o l t z 问题的自然边界元法，以害然 边界归化为基础，获得该问题的p o i s s o n 积分公式和自然积分方程重点研究 了对0 q 2 0 时的p o i s o n 积分公式和自然积分方程的数值解法，它涉及到 特殊函数一m a t h i e u 函数的计算，我采用二分法得出特征值，又利用倒推的方 法求出了展开式的系数，通过数值例子，可以看到计算结果很好，精确度也很 高因此，对于二维具有长条形内边界的无界区域h e l m h o l t z 问题，我们就可 以采用一个接近于长条型区域边界形状的人工边界( 如椭圆) ，可大大减少计算 量，节省存储空间和计算时间对电磁问题、波动问题、扩散问题的研究都有 重要的意义最后给出了变分问题的适定性分析 硬士学位论文2 1 0 7 年4 月 r e f e r e n c e s 【1 】冯康，论微分与积分方程及有限元与无限元，计算数学，2 ：1 ( 1 9 8 0 ) ，1 0 0 - 1 0 5 f 2 jf e n gk a n g ，c a n o n i c a lb o u n d a r yr e d u c t i o na n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p r o c e e d i n g so fi n t e r n a t i o n a ls y m p o s i u mo n 地ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ( 1 9 8 1 h e f e q ，s c i e n c ep r e s s ，b e i j i n g ，1 9 8 2 ，3 3 0 - 3 5 2 1 3 1f e n gk a n g ，y ud e h a o ，c a n o n i c a li n t e g r a le q u a t i o n so fe l l i p t i cb o u a d a r y v a l u ep r o b l e m sa n dt h e i rn u m e r i c a ls o l u t i o n s p r o c e e d i n g so fc h i n a - f r a n c e s y m p o s i u mo nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ( i 9 8 2 ，b e i j i n g ) ，s c i e n c ep r e s s ， b 刨i n g ，1 9 8 3 ，2 1 1 2 5 2 【4 】f e n gk a n g ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dn a t u r a lb o u n d a r yr e d u c a t i o n ，p r o c e e d i n g sd ，t h ei n t e r n a t i o n a lc o n g r e s sm a t h e m a t i c i a n s ，p o l i s ha c a & m y p r e s s ，w a r s z a w a ，1 9 8 3 ，1 4 3 9 - 1 4 5 3 【5 】余德浩，自然边界元方法的数学理论，北京；科学出版社，1 9 9 3 6 】邬吉明，余德浩，椭圆