（计算数学专业论文）矩阵的hadamard积与符号模式.pdf

摘要 我们主要讨论了非负矩阵、m 一阵的h a d a m a r d 积与f a n 积问题，以及矩阵 h a d a m a r d 积的一些范数不等式同时也讨论了逆m 矩阵、零模式不变矩阵、符 号模式矩阵、k 一幂等阵和符号k - 幂等阵等特殊矩阵的相关问题这些成果与m f i e d l e r 、i l a h o m 、r m a t h i a s 、i lb h a t i a 、c d a 、，i s 、m d c h o i 、c e s c h c n b a c h 、 m j e t e r 和w p y e 的工作密切相关 1 非负矩阵的h a d a m a r d 积 令a = ( a i j ) 和b = ( ) 都为非负矩阵，及d 1 = d i a g ( a i i ) 和d 2 = d i a g ( b i i ) 我们给出了月和b 的h a d a m a r d 积的谱半径p ( a ob ) 的精确上界特别地，如果a 和j e 7 的主对角元素都非零，则 p ( a0b ) ( 1 + p ( j a ) p ( j s ) ) m a xa i i b i i ， 其中d a = d f l ( a d 1 ) 和如= d i l ( b d 2 ) 2 m 一阵的h a d a m a r d 积与f a n 积 令a = ( n 巧) 和b = ( b o ) 都为非奇异m 一阵，及d 1 = d i a g ( a i i ) 和d 2 = d i a g ( b i i ) 我们给出了a 和b 的f a n 积的最小特征值7 - ( a j e 7 ) 以及a 和b _ 1 的h a d a m a r d 积 的最小特征值丁( aob _ 1 ) 的精确下界，得到了如下结论： 7 - ( a b ) ( 1 一p ( 甄) p ( 如) ) m m ( a i i b i i ) ， 及 丁( aob - 1 ) 锹m i i n 瓦a i i ， 其中瓯= d i - 1 ( d 1 一a ) 和= d i l ( d 2 一b ) 3 矩阵h a d a m a r d 积的范数不等式 令繇和r ：分别为几死复矩阵和非负矩阵的集合，及1 1 1 i f 为f r o b e n i u s 范 数我们首先刻画了满足下列条件的酉不变范数”i i ：对任意 a i j c n ，i i 【n 巧川= 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 【i 口巧i 然后我们证明了：令f i | | 为矩阵范数，则对所有x 畴及a ，b c n ， 0 a oxob i l 2 l i aoxoa boxo 雪 当且仅当范数”i i 满足 l i | i i l i 1 1 1 ，v 【】翰 而且，如果a ，b ，x c n ，则对任意酉不变范数”0 ， l i i aox ob i p i l 2 n p l l l moxoa i p l i boxob i p i i ，p 1 ) 其中i a i = ( a + a ) 壹这些结果与& a h o m 和r m a t h i a s 及r b h a t i a ，c d a v i s 和 m d c h o i 的工作密切相关 4 逆m 阵与零模式不变阵 我们知道逆m 阵为非负零模式不变阵首先我们通过考虑零模式不变阵来 刻画了逆m 阵的一般结构接下来我们考虑了每行最多只有三个非零元素的非 负阵，给出了这类矩阵为逆m 阵的充分必要条件这样我们也得到了特殊矩阵即 t r i a d i c 阵a 为逆m 阵的充要条件特别地，如果这样的矩阵a 也为( 0 ，1 ) 一阵， 则a 为逆m 阵当且仅当a 为非奇异的零模式不变阵另外也考虑了逆m - 阵的 h a d a m a r d 积的一些性质 5 幂等符号模式阵 我们说明了并不是所有的幂等符号模式阵都相似于非负矩阵，然后给出了两类 相似于非负矩阵的幂等符号模式阵，并回答了c e s c h e n b a c h 提出的一个公开问题 6 具有负元素的k 幂等阵 令k ( a ) 表示与实矩阵a 的符号模式一致的实矩阵集合我们刻画了具有下列 性质的实k 幂等矩阵a 的结构：对任意的x k ( a ) ，x 1 k ( a ) ，其中a 没有 零行、零列进一步地有，我们刻画了允许k 幂等性的符号k 一幂等阵这样，作为 我们的推论，c e s c h e n b a c h 关于允许幂等性的幂等符号模式阵的公开问题得到了 回答 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 关键词非负矩阵，零模式不变阵，符号模式矩阵，幂等阵，幂等符号模式阵，k 幂等阵，符号k 一幂等阵，( 0 ，1 ) 一阵，酉不变范数，m 阵，逆m - 阵，h a d a m a r d 积，f a n 积，谱半径，最小特征值，范数不等式，f r o b e n i u s 范数 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e rs o m ep r o b l e m sf o rh a d a m a r dp r o d u c t sa n df a n p r o d u c t so fn o n n e g a t i v em a t r i c e sa n dm - m a t r i c e s s o m ei n e q u a l i t i e so fh a d a m a r dp r o d - u c t so fm a t r i c e sa r eg i v e n a tt h es a m et i m e ，s o m es p e c i a lm a t r i c e ss u c ha si n v e r s em m a t r i c e s ，z e r o - p a t t e r ni n v a r i a n tm a t r i c e s ，s i g np a t t e r nm a t r i c e s ，k - p o t e n tm a t r i c e sa n ds i g n k - p o t e n tm a t r i c e sa r es t u d i e d t h e s er e s u l t sa r er e l a t e dt os o m ew o r ko fm f i e d l e r , r a h o r n ，& m a t h i a s ，& b h a t i a ，c d a v i s ，m d c h o i ，c e s c h e n b a c h ，m j e t e ra n dw ：p y e 1 h a d a m a r dp r o d u c t so f n o n n e g a t i v em a t r i c e s l e ta = ( ) a n db = ( b q ) b en o n n e g a f i v em a t r i c e s ，d 1 = d j a g ( a i i ) a n dd 2 = d i a g ( b i i ) w eg i v eas h a r pu p p e r b o u n do nt h es p e c t r a lr a d i u sp ( aob 1 i np a r t i c u l a r , i f a l ld i a g o n a le n t r i e so faa n dba r en o n z e r o ，t h e n p ( a ob ) ( 1 + j 口( j a ) p ( 如) ) m a x a i i b i i ， w h e r ej a = d f l ( a d 1 ) a n dj b = d i l ( b d 2 ) t 2 h a d a m a r dp r o d u c t sa n df a np r o d u c t so fm - m a t r i c e s l e ta = ( a j ) a n db = ( ) b en o n s i n g u l a rm - m a t r i c e s ，d x = d i a g ( a i i ) a n d d 2 = d i a g ( b i i ) as h a r pl o w e rb o u n d o nt h es m a l l e s te i g e n v a l u e7 - ( a b ) f o rt h ef a n p r o d u c to fa a n dbi sg i v e n ，a n da s h a r pl o w e rb o u n do n7 - ( aob 一1 ) f o rt h eh a d a m a r d p r o d u c to fa a n db 一1i sd e r i v e da sf o l l o w s ： 丁( a b ) ( 1 一j d ( 勘) p ( s 日) ) m j n ( a i i b i i ) ， z 丁( aob - x ) 锷 w h e r es a = d x l ( d 1 一a ) a n d 如= d i l ( d 2 一b ) 3 s o m en o r mi n e q u a l i t i e sf o rh a d a m a r dp r o d u c t so fm a t r i c e s i v 堕k n l e tc na n d 跫：d e n o t et h es e t so fn 礼c o m p l e xa n dn o n n e g a f i v er e a lm a t r i c e sr e s p e c f i v e l y ，a n dl i 1 i fb et h ef r o b e n i u s n o r m w ef i r s tc h a r a c t e r i z et h o s eu n i t a r i l yi n v a r i a n t n o r m s1 1 1 is a t i s f y i n gi li a 巧il l = l i 1 a , j1 l if o ra l l 【a i j 】c 竹w et h e np r o v et h a ti fl l l i i sa n o r mo nc n ，t h e n a 。x 。驯2 i i a 。x oa l l l l box 。豆 f o ra l lx 畴，a ，b c ni f a n do n l yi f t h en o r n ll i i is a t i s f i e s 【c 巧】l i i i 1 1 l i f o ra l l c n ， a n dt h a t i f a ，b ，x c n ，t h e n a 。x 。b l 1 1 2 冬n q l l a 。x 。a i p l i i i l b 。x 。亏l p l l0 1 ) f o ra n yu n i t a r i l yi n v a r i a n tn o r m ”i i ，w h e r ei a i = ( a a ) 吾t h e s er e s u l t sa r er e h i t 6 c 1 协 s o m ew o r ko f r a h o r na n d & m a t h i a sa n dw o r ko fr b h a t i a ，c d a v i sa n dm d c h o i 4 i n v e r s em - m a t r i c e sa n dz e r o - p a t t e r ni n v a r i a n tm a t r i c e s i ti sk n o w nt h a ta ni n v e r s em m a t r i xi san o n n e g a t i v ez e r o - p a t t e r ni n v a r i a n tm a t r i x i nt h i st h e s i s ，w ef i r s tc h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r e so fi n v e r s em - m a t r i c e sb yc o n s i d e r i n g z e r o - p a t t e r ni n v a r i a n tm a t r i c e s w en e x tc o n s i d e rn o n n e g a t i v e m a t r i c e sw i t ha tm o s t t h r e e n o n z e r oe n t r i e si ne a c hr o w , a n do b t a i nas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rs u c ha m a t r i xt ob ea l li n v e r s em m a t r i x t h u sw ea l s oo b t a i nas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n - d i t i o nf o rat r i a d i cm a t r i xat ob ea ni n v e r s em a t r i x i np a r t i c u l a r , i fs u c ham a t r i xa i sa l s oa ( 0 ，1 ) m a t r i x ，t h e nai sa ni n v e r s em m a t r i xi fa n do n l yi fai sn o n s i n g u l a r a n dz e r o p a t t e mi n v a r i a n t i na d d i t i o n ，s o m ep r o p e r t i e so fh a d a m a r dp r o d u c t so fi n v e r s e m m a t r i c e sa r eg i v e n 5 s i g ni d e m p o t e n tp a t t e r nm a t r i c e s i ti ss h o w nt h a tn o ta l ls i g ni d e m p o t e n tp a u e r n sa les i m i l a rt on o n n e g a t i v es i g np a t - t e r n s w ep r e s e n tt w oc l a s s e so fs i g ni d e m p o t e n tp a t t e r n st h a ta r es i m i l a rt on o n n e g a t i v e s i g np a a e r n s a no p e np r o b l e mp o s e db yc e s c h e n b a c hi sa n s w e r e d v 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 6 k p o t e n tm a t r i c e sw i t hn e g a t i v ee n t r i e s l e tk ( a ) b et h es e to fa l lr e a lm a t r i c e sw i t ht h es a m es i g np a t t e ma sar e a lm a t r i xa w ec h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r eo fak - p o t e n tr e a lm a t r i xaw i t ht h ep r o p e r t yt h a tx 知+ 1 k ( a ) f o re v e r ym a t r i xx k ( a ) ，w h e r ea h a sn oz e r or o w so rc o l u m n s f u r t h e r ，w e i d e n t i f ys i g nk - p o t e n tm a t r i c e sw h i c ha l l o wk - p o t e n c e t h u s ，a no p e np r o b l e mp o s e db y c e s c h e n b a c hi sa n s w e r e da so u r c o r o l l a r y k e yw o r d s ：n o n n e g a t i v em a t r i c e s ，z e r o - p a t t e r ni n v a r i a n tm a t r i c e s ，s i g np a a e mm a t r i c e s ，i d e m p o t e n tm a t r i c e s ，s i g ni d e m p o t e n tp a t t e mm a t r i c e s ，k - p o t e n tm a t r i c e s ，s i g n k - p o t e n tm a t r i c e s ，( 0 ，1 ) 一m a t r i c e s ，t m i t a r i l yi n v a r i a n tn o r m s ，m m a t r i c e s ，i n v e r s em - m a t r i c e s ，h a d a m a r dp r o d u c t ，f a np r o d u c t ，s p e c t r a lr a d i u s ，m i n i m u ne i g e n v a l u e ，n o r m i n e q u a l i t i e s ，f r o b e n i u sn o r m s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体。均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：生益。 日期：- 2 “。f 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 _ u 0 ，a a h k e h 惫 为可约的，则称a 为几乎可约的关于几乎可分解阵和几乎可约阵的结构，我们有 如下结论：令a 为n 礼的几乎可分解非负阵( 几乎可约非负阵) ，且佗 1 则a 置 换等价( 置换相似) 于 a a e x 0 a 2 00 e0 0 00 易0 0 。 !； 0 a 。一1b 一1 0 0 a 。 其中s 2 ，及每个日只含有唯一的正元素，每个a 为几乎可分解非负阵c 几乎可 约非负阵) ，且除a 。外所有的a 为1 1 的 任给两个m n 的矩阵a = ( a j ) 与b = ( ) ，我们定义a 与b 的h a d a m a r d 积为；a ob = ( a i j 幻) 显然，非负矩阵集在h a d a m a r d 积运算下是封闭的，即对任 意a 0 与b 0 ，有a ob 0 这样关于非负阵aob 0 的谱半径p ( aob ) ，有 如下简单估计： 定理1 1 4 【2 2 ，p 3 5 8 】令月与b 都为非负阵则p ( a ob ) p ( a ) p ( b ) 我们发现上述定理中的估计是比较弱的，这是因为如果考虑矩阵a = 厶与 b = 厶= ( 1 ) ，则 p ( a ob ) = 1 0 和y = ( 玑) 0 ，分别使得 z = p ( j a ) z 和如可= p ( 如) 可，也即 靼：p ( 厶) d i i x i 及 j # i b i j y j ：p ( 如) 现令向量2 = ( 乞) = ( z i y i ) 这样，对于非负不可约阵c ，我们有 ( c z ) i = 口越6 说乞+ 2 n 谚6 幻勺 j l a i i b i 溉玑+ ( 口谚勺) ( b o y j ) 判j t = a i i b i i x i y i + ( p ( j a ) 以t ) ( 尸( j b ) s “) z i 可i ， 5 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 即 旌裂竽”乞 如果6 “0 ， 如果a i i 0 或b i i 0 ，但a i i b i i = 0 ， 如果a 截= 0 和= 0 这样，对情形( i ) ，( i i ) 和( i i i ) ，由引理1 2 1 ，我们容易得知( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 是 成立的对情形( i v ) ，令q 为( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 中的最大值，则对所有的i ， ( c z ) t o l z i 由此我们易得p ( a ob ) 0 1 现假设c 是可约的不失一般性，我们假定c 具有f r o b e n i u s 标准形( 1 1 1 ) ，即 c = ( ) 为块上三角矩阵，且对角块瓯= a t ob i i ( i = 1 ，s ) 这意味着a t 与 玩都是不可约的因为儿；与如“分别为厶和如的主子矩阵，由引理1 1 2 ，我 们有p ( 厶“) p ( ) 及p ( 如；) j d ( j b ) 因为 p ( a ob ) = m a x p ( a 啦ob i i ) ， 根据引理1 2 1 及上述证明可知，结论成立口 推论1 2 3 令a 和b 都为2 2 非负矩阵，且两矩阵的主对角元分别为正的常 数则不等式2 矽中等号成立 证明我们可假定 a=a2x i ) ，b = b y 1 ) 其中a 0 及b 0 由简单的计算可知， 及 ( 1 + 俐p ( j s ) ) m m a 扩x ( 圳= ( 1 + 巫a 巫b 胁。6 + v x l x 2 y l y 2 这样结论成立r - 6 注1 2 4 下面的例子说明定理1 2 2 给出的上界估计比p ( a ob ) p ( a ) p ( b ) 强考虑矩阵a = 厶和b = 厶= ( 1 ) ，则 p ( a ob ) = 1 0 及p 0 如果q p ( p ) ，则称 a 为非奇异m 阵 记所有佗礼的非奇异m 阵的集合为朋n 由定义及非负矩阵的谱理论可知， 非奇异m 阵的主子阵及非奇异m 阵的直和仍然为非奇异m 阵在已有的文献 中，已存在大量的有关非奇异m 阵的性质及其不同的等价刻画这里，我们给出 一些重要的、即将用到的一些关于非奇异m 阵的等价刻画如下。 定理2 1 2 【2 2 ，p 1 1 4 1 1 5 1 如果a = ( a i j ) 磊，则下面叙述等价： 俐a = a i p 其中p 0 及o l p ( p ) 例a 的所有实特征值都为正 佑ja 的所有主子式、顺序主子式都为正 例a 为非奇异的且a 一1 0 特别地，如果a 为不可约的，则a 1 0 例a 的所有对角元都为正数且存在正对角阵d = d i a g ( d l i ) ，使得a d 为严格 行对角占优阵，即v i ，i a i i d i i l i a i j d j j | 8 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 对于非奇异m 阵，我们有类似于正定阵的一些行列式不等式如下， 定理2 1 31 2 2 ，p 1 1 6 1 令a = ( ) ，b = ( b i j ) 磊如果a 是非奇异m 一阵， 且b a 则 例b 是非奇异的m 一阵 例a 一1 b 一1 0 俐d e t b d e t a 0 例h a d a m a r d 不等式：d e t a a 1 1 o 肌 例f i s c h e r 不等式：d e t a d e t a ( a ) d e t a ( a ，) ，其中vq 1 ，佗) 俐o p p e n h e i m j 不等式：d e t ( a 。b ) d e t an t = l 例a n d o 不等式：d e t ( a ob ) + d e t a d e t b d e t a1 - ib i i + d e t bl - i 砚i 在本章中，我们主要考虑的对象是矩阵的最小特征值首先令r ( a ) = m i n r e ( a ) ： 入盯( a ) ) 如果a 为非奇异m 一阵，则 2 2 ，p 1 2 8 - 1 3 1 】 下( a ) 仃( a ) ，且1 ( a ) = q p ( p ) 0 j7 - ( a ) 称为a 的最小特征值，且存在 非负特征向量可，使得a y = r ( a ) y o i ) 7 ( a ) = 右苟 ( i i o 如果a 与b 都为非奇异m 一矩阵，且a b ，则下( a ) 下( b ) 定义2 1 41 2 2 ，p 3 5 7 令a = ( o 订) 与b = ( 6 巧) 为m 讥的矩阵则a 与b 的 f a n 积定义如下：a b = ( ) ，其中 ， j 一b i j i j ， 铲1 。删b it 巧 关于两个非奇异m 阵的h a d a m a r d 积与f a n 积，我们有如下重要结论： 定理2 1 5f 2 2 ，p 3 5 7 - 3 5 9 1 令a ，b 朋n 则 a b m n 砂aob 1 朋n 这样，由定理2 1 5 ，如果a ，b m n ，则7 - ( 4 b ) 0 和丁( a ob - 1 ) 0 那么 如何由矩阵a 和b 来估计7 - ( a b ) 和t ( a ob - 1 ) 成为我们研究的问题 我们用下面的例子给出一个非常有趣的事实首先我们定义一些记号如果 a = ( a 巧) m n ，我们记n = d a ，其中d = d i a g ( a i i ) 由定理2 1 2 ，所有a i i 0 9 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 这样我们定义乳= d n 显然，乳为非负阵令 a = c 口巧，= 1 0 ：) ，b = c 6 巧，= 1 6 ：) c 2 1 2 ， 显然a ，b m 2 考虑下面矩阵： 则 & = ( ：吾) ，岛= ( 羔吾) 丁( 月b ) = ( 1 一j d ( 乳) j d ( ) ) a l l 6 1 1 ) - - - - ( i 一丽3 而2 ) 1 0 1 6 = 1 5 4 ， 这是令人惊奇的有趣事实 在本章中，我们给出了如下精确的下界估计：令a = ( ) ，b = ( ) m n 则 及 下( a b ) ( 卜p ( s a ) p ( s s ) ) r a 坠i n 。( a “吣 r ( a ob - 1 ) 错熙瓦a 1 0 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 2 2m - 阵的f a n 积 在给出本章结论的详细证明前，我们需要对即将要用到的p ( 乳) 做出估计 定理2 2 1 令a = ( a o ) m n 则 卜二盟p ( 乳) 卜尘 熙o “4聪 特别地，p ( s a ) m i n 皇坐 以o p 崩i n 巧i 如 2n ! u n 。o 一 ，l i 0a i i p i = 瑚( 1 一警)p 0 、0 “ 卜掣 1 燮乞a i i 现考虑上界首先假定a 是不可约的这样乳也是不可约的由定理1 1 3 ，则 p ( & ) = z 狐r a i n 。m z ，0 a x ( s 鼢a z ) - - - - - - - - - ! m 瓢垒逊 = 蹦( 1 一警) p o 、 n “。 卜尘 f 戮 现令a 是可约的不失一般性，我们可假定a 具有f r o b e n i u s 标准形( 1 1 1 ) ，即 a = ( a j ) 为块上三角矩阵，且主对角块a i i ( z = 1 ，s ) 为不可约阵这样， j d ( & ) = m 。a x p ( s a “) 及7 ( a ) r ( a 越) 因此， 俩) 2 甲概) 1 一嚣 l工工j d 。xu “ 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 从而，我们有 1 一垃，p ( 乳) 1 一尘 一二= 一 ( s 4 ) 一二二一 撄罂 。 攫i 琴 n 1 t t l 一 1 o ，我们易得j 9 ( 甄) 0 这样我们有a 厕 及b 厕由简单的计算， 及 ( i - p ( 乳p ( s b ) ) 鼬r a i 妒n ( 洲= ( 1 一巫a 而b ) n 6 = 曲一v 一x l x 2 y l y 2 这样结论成立口 注2 2 6 若a ，b m n ，我们有a i i 0 及 0 由定理2 2 1 ，j d ( 乳) 0 与v 0 分别为b 的左右忍珊刀特征向量记叫= ( w i ) = u ov 则 丁( aob - 1 ) 端等等等 定理2 3 21 2 2 ，p 3 7 5 1 令a ，b m m 及b - 1 = ( ) 则 丁( aob 一1 ) 丁( a ) i 珥n 色i 1 ( 2 3 1 ) 啪珂论帮熙 一) 3 定理2 3 4i 1 2 1 令a = ( o 巧) ，b = ( b i j ) m 竹，及b 1 = ( ) 则 下( aob - t ) 刈妒( b ) b r a i 引n , f ( 丁a l a t , j + 丽b i i 一1 ) 丝b i il j ( 2 3 4 ) 我们容易注意到，( 2 3 1 ) 与( 2 3 3 ) 均需依赖b 的左右p e r r o n 特征向量，且必 须限制b 是不可约的；( 2 3 2 ) 与( 2 3 4 ) 均需依赖b 1 = ( ) 的对角元因此我们 的问题：是否能给出不受上述诸多条件约束的下界? 本节我们给出了肯定的回答 1 5 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 引理2 3 51 5 3o r2 2 ，p 1 2 9 1 令a = ( a i j ) 是严格行对角占优阵，及a - 1 = ( o 巧) 脯脯们剀h 枢掣h 小 蚓坐掣型蚓 引理2 3 6 令不可约阵b = ( ) m n 及b 叫= ( ) ，且存在正向量y = ( 玑) ， 使得s s y = p ( s b ) 可1 1 , i i 岛一j 9 ( ) 氏丝y i ，v i # j ， ( 2 3 5 ) 及 忍丽而i ( 2 3 6 ) 证明令d = d i a g ( y i ) 及b 1 = b d = ( 喏) 因为岛秒= p ( s b ) y ，则对所有的i ， 冯磐：盗业刮趴 掣 犰 _ 驯 由定理2 2 1 可知，p ( 。) 0 j # i 这意味着b 1 是严格行对角占优的令b f l = d 一1 b 一1 = ( 厦i ) 由引理2 3 5 ，对所 有的i j ，我们有 i 镶i 学倒i 蟛掣倒 这样可得 盥p ( 如) 鱼 j u jy i 因此( 2 3 5 ) 成立 根据上述证明可知，喝= j d ( ) 曙和i q ；i p ( ) l 砖| 因为b ，b f l = j ， 1 6 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 则对任意i ， 1 蚓磁i + 吲i 域) j j t 嵝鼹) i + ( i 喝m 岛) i 雎i j f = ( 1 + | p 2 ，c | b ) 川) i l i ( i 1 ) 口i i 1 ) l = ( 1 + 户2 ( 岛) ) 玩i 风 这样( 2 3 6 ) 成立口 根据乳的定义，我们有 p ( s a t ) = p ( d - 1 n t ) = p ( n d - 1 ) = p ( d _ 1 ( n d - 1 ) d ) = p ( d _ 1 n ) = p ( 甄) 定理2 3 7 令a = ( ) ，b = ( 幻) 朋n 则 丁( aob - 1 ) 锹勰瓦a i i ( 2 3 7 ) 证明首先我们假设a 和b 都是不可约的令正向量z = ( 戤) 和y = ( y i ) 分别 使得颤r z = p ( s a tx 和岛可= j 9 ( ) 可记z = ( 乞) ，其中荔= 嚣设c = a 。b 由定理2 1 2 可知，b 一1 = ( ) 0 这样，c 是不可约的非奇异m 阵注意到 p ( s a t ) = p ( 乳) 由引理2 3 6 ，我们有 ( c 1 z ) t = a i i p i i z i 一k 怜i l 乃 j t x 矿a a # 3 i 薹啪( 蝴i 嚣 t 一 ：t l p ( ) 成i 丝竺 犰= 。轨可f ：铲xi一警(i巧)yi鼽= 一 ：口以风兰一墼p ( 乳) n 证甄 y iy i 、 1 7 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 鼠丽桶。 则 ( c t z ) i 错铲a i i 由引理2 2 3 可知， 丁( c 丁一( 啦错勰瓦a i l 这样，当a 和b 都是不可约阵时，结论是成立的 现假定a 与b 中至少有一个是不可约的令n n 的矩阵t = ( t i j ) ，其中 t 1 2 = t 2 3 = = t n 一1 n = t n l = 1 ，其他的t o 为零则对任意给定充分小的、使得 a e t 和b e t 的所有顺序主子式都为正的e ，a e t 和b e t 都为不可约的非 奇异m 一阵根据上述情形，当令e _ 0 ，依连续性可知结论成立口 注2 3 8 如果b m 礼为对角阵，显然( 2 3 7 ) 等号成立这样( 2 3 7 ) 是精确 界下面的例子也说明了( 2 3 7 ) 的优越性令 a = ( 三：) ，b = ( 43 ) 则a ，b 朋2 及 丁( ao ) = 詈三= 丁( a ) 熙风 但是， 丁( aob - 1 ) = 错恕瓦a i i = 1 8 第三章矩阵h a d a m a r d 积的范数不等式 3 1 优超与范数的一些基本性质 不等式广泛地存在我们的实际生活与理论中，对不等式的研究不仅理论上而且 在实际中都有着重要的意义优超是发现与研究不等式的强有力的工具近年来，不 等式的研究非常活跃，依托已有的结果及工具，国内外学者已得到大量优美的矩阵 范数不等式，具体可参见国内外优秀著作如z h a n 的m a t r i xi n e q u a l i t i e s 和b h a t i a 的m a t r i xa n a l y s i s 在本章，我们继续矩阵范数不等式的研究，进一步丰富了 不等式的内容首先我们给出一些定义及基本结论 令黔表示n 维实向量集给定实向量2 1 7 = ( z 1 ，z n ) p 令z t 与一 分别表示将向量x 中元素按从小到大、从大到小顺序重新排列所得的向量，即若 z t = ( z j ，z ：) ，贝0z j z 三；若x t = ( z ，z 去) ，贝0z z ：设 z ，y r 凡如果 1 k n ， 则称z 被y 弱优超，记z 一 叫y 如果z y ，且 砖= 彰， j = l j = l 则称z 被! ，优超，记z y 例如果x i o ，x j = 1 ，则 j = l ( 去，去) ( z t ，z n ) ( 1 ，0 ，o ) 若非负矩阵的所有行和、所有例和都为1 ，那么该非负矩阵称为双随机矩阵下 面的著名定理给出了优超关系的一个等价刻画 h a r d y l i t t l e w o o d p 6 1 y a 定理( 1 8 ，p 3 3 1 ) 令z ，y r n 则z 一 可当且仅当存在 双随机阵a 使得z = a y 令函数f ：r _ r ，及z ，y r 如果对于任意0 t 1 ， f ( t x + ( 1 一t ) y ) t f ( x ) + ( 1 一) t 厂( 可) ， 19 谚 七触 一磅 七m 华东师范大学博士论文矩阵的h a d a m a r d 积与矩阵的符号模式 则函数厂( z ) 为凸函数下面给出关于凸函数的优超基本定理； 定理3 1 11 5 5 ，p 1 8 l 令f ( t ) 是递增凸函数，及z ，y r n 则 z uy 号( ，( z 1 ) ，( z n ) ) _ u ( ，( y 1 ) ，( ) ) 令c n 与磁分别表示n 佗复矩阵与非负阵集合设函数i i i i ：c n r ，及 a ，b 如果函数满足下列条件( 1 ) - ( 4 ) ，则称为矩阵范数，即 ( 1 ) i a i i 0 ，且i i a i i = 0 甘a = 0 ( 2 ) 对任何数c ，i i c a i i = l c ii i a i i ( 3 ) i | a + b l i i a