（计算数学专业论文）脉冲时滞差分方程的振动性和渐近性研究.pdf

摘要 摘要 脉冲微分差分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状 态的影响，能够更深刻，更精确地反映事物的变化规律。近年来，随着科 学技术的发展，脉冲差分方程理论不仅在物理学：航天卫星等领域中有重 要应用，。更是广泛的应用于工程控制，医学，现代物理，生物数学等科学 领域所研究和处理的许多重要实际问题中。脉冲差分方程的振动理论稳 定性理论和渐进性理论，是脉冲差分方程定性理论的重要内容，因此对其 进行研究不仅具有重要的理论意义，而且也具有重要的实际应用价值。 论文分别研究了非线性脉冲多时滞差分方程具有连续变量的脉冲时 滞差分方程和具有正负系数的脉冲时滞差分方程的定性问题。所得结论对 已有文献中的有关结果在脉冲条件下做了推广和改进。 首先分别对带有脉冲的非线性多时滞差分方程和带有非线性脉冲条件 的多时滞差分方程解的振动性和渐近性进行了研究。 其次研究了几类具有连续变量的脉冲时滞差分方程。讨论了具有连续 变量的变系数脉冲时滞差分方程，获得了其所有解振动的两个充分条件； 研究了具有连续变量的单时滞非线性脉冲差分方程的振动性问题；运用构 造函数法和反证法，研究了具有连续变量的多时滞非线性脉冲差分方程解 的振动性。所得结果推广并改进了已有文献中的相关结论。 最后借鉴已有文献中研究脉冲时滞微分方程振动性的一些思想方法来 讨论带脉冲条件的具有正负系数的时滞差分方程解的振动性，得到了一个 充分条件，推广了现有的结果。 关键词脉冲差分方程；时滞；振动性：渐近性；正负系数；连续变量 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em o s ti m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c e s y s t e mi sc a p a b l eo f c o n s i d e r i n ge n o u g ht h ei n f l u e n c eo f i n s t a n t a n e o u sc h a n g e s o ns t a t e ，r e f l e c t i n ge x a c tt h ec h a n g el a w so ft h i n g s i nr e c e n t y e a r s ，w i t ht h e d e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h ei m p u l s i v ed i f f e r e n c ee q u a t i o n t h e o r yn o to i l l yh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si ns u c hf i e l d sa sp h y s i c s ，s p a c e s a t e l l i t e ，e r e ，b u ta l s oh a se x t e n s i v e l yb e e na p p l i e dt om a n yi m p o r t a n tp r o b l e m s s t u d i e da n dh a n d l e db yt h es c i e n c ef i e l ds u c ha se n g i n e e r i n gc o n t r o l , m e d i c a l s c i e n c e ，m o d e mp h r s i t sa n db i o m a t h e m a t i c s f o ro s c i l l a t i o nt h e o r y , s t a b i l i t y t h e o r ya n da s y m p t o t i ct h e o r yb e i n gt h ek e yc o n t e n to fq u a l i t a t i v es t u d yo ft h e i m p u l s i v ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，i ti so f g r e n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i a l v a l u et or e s e a r c ht h eo s c i l l a t o r yp r o p e r t i e s ，s t a b i l i t y ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r 眦p a p e ri sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro ft h e n o n l i n e a rs e v e r a ld e l a y sd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s ，t h ei m p u l s i v e d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i 【hc o n t i n u o u sa r g u m e n t sa n dt h ei m p u l s i v ed e l a y d i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t ht h ep o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s s o m er e s u r si n t h ep r e v i o u sp a p e r sa r ee x p a n d e da n di m p r o v e dw i t hi m p u l s e s f i r s t l y , t h i st h e s i sf i r s ts t u d i e st h eo s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro f t h en o n l i n e a ri m p u l s i v es e v e r a ld e l a y sd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dt h es e v e r a l d e l a y sd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a ri m p u l s e t h e n , a st ot h ei m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u s a r g u n 1 e n t s t w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ei m p u l s i v ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t s d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u sa r g u m e n t sa r eo b t a i n e d ；w es t u d y t h eo s c i l l a t i o no ft h en o n l i n e a ri m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t h c o n t i n u o u sa r g u m e n t s ；b yu s i i l gf o r m a t i o no ff u n c t i o n sa n dr e d u c t i o nt o a b s u r d i t y , d i s c u s st h e o s c i l l a t i o no ft h en o n l i n e a ri m p u l s i v es e v e r a ld e l a y s d i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hc o n t i n u o u sa r g u m e n t s t h o s er e s u l t se x p a n da n d a b s t r a c t i m p r o v et h ec o n c l u s i o n sg i v e ni nt h ep r e v i o u sp a p e r s f i n a l l y , w ew i l lu s es o m ew a y so fs t u d y i n gt h eo s c i l l a t i o no fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h ep r e v e n i e n tl k e r a t u r e st od i s c u s st h eo s c i l l a t i o no f t h ei m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t ht h e p o s i t i v ea n dn e g a t i v e c o e f f i c i e n t s as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e d s o m ee x i s t i n gr e s u k si nt h e l i t e r a t u r e sa r ei m p r o v e d k e y w o r d si m p u l s i v ed i f f e r e n c e ；d e l a y ；o s c i l l a t i o n ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ； p o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t ；c o n t i n u o u sa r g u m e n t 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文脉冲时滞差分方程的振 动性和渐近性研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本 人承担 作者签字碜礼霞 日期：小6 年f ，月肜日 燕山大学硕士学位论文使用授权书 脉冲时滞差分方程的振动性和渐近性研究系本人在燕山大学攻读 硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕 山大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员 本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人 授权燕山大学，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文，可以公布 论文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密酊 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名。参幸l 霞 日期：如6 等f 月昭日 新鹕。计啤嗍“轨腑 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 微分差分方程是用来描述自然现象变化规律的一种重要工具。由于管 理科学生物数学，现代物理等自然科学及边缘性学科的不断发展，在科 学研究和社会实践中提出了很多由微分差分方程【l 】描述的具体的数学模 型。尤其是张广、高英1 2 】等人的专著对近几年的研究成果作了系统的总结 然而，在许多实际问题的发展过程中往往会有这样的特征：在发展的某些 阶段会出现快速的变化，为方便起见，在这些过程的数学模型中常常会忽 略这个快速变化的持续时间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的，这 种瞬时突变现象通常称之为脉冲现象。脉冲现象在现代科技各领域的实际 问题中是普遍存在的，其模型往往可归结为脉冲微分差分系统。在实际过 程中，很多系统的参数在特定的时间都会发生突变，所以目前脉冲微分差 分方程引起了广泛的注意。脉冲微分差分系统最突出的特点是能够充分考 虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻，更精确地反映事物的变化 规律近年最新科技成果表明，这类系统在航天技术、信息科学控制系 统，通讯生命科学，医学，经济领域均得到重要应用。 脉冲微分差分系统的研究始于1 9 6 0 年v d m i l m a n 和a d m y s h k i s 的 工作。自2 0 世纪8 0 年代，逐渐引起微分差分系统学者，专家的关注并致 力于从理论上对其进行研究。到8 0 年代末对其研究已有一些重要成果发 表；关于依赖于状态的脉冲微分系统解的基本理论己建立；关于脉冲微分 系统稳定性理论的基本定理已得到等，这些结果已被v ：l a k s h i | 姗h m 【3 】 等进行了系统总结，其特点是所考虑的系统只含脉冲而不含时滞。而自9 0 年代以来，脉冲微分差分系统作为非线性微分差分系统领域的一个新分支， 已取得了一批重要的研究成果2 0 世纪初；傅希林闫宝强【7 ，s l ，刘衍 胜总结了国内外在这方面的最新研究成果，从脉冲微分系统的基本理论， 稳定性理论边值问题、振动理论和脉冲微分自治系统的几何理论等五个 燕山大学理学硕士学位论文 方向系统的介绍了整个脉冲微分系统的研究情况，出版了专著【9 1 。 在多数情况下，我们只需对方程解有一个定性的了解，而不需要精确 的计算出来，且在实际中，脉冲和时滞共存的复杂情形下，方程更是很难 求得精确解。因此，脉冲微分差分方程解的性质问题，即脉冲微分差分方 程的定性问题，是微分差分方程理论的重要组成部分。脉冲微分差分方程 的定性研究主要包括解的振动性，稳定性正解的存在性以及渐近性等， 而在脉冲微分差分方程定性理论研究成果中，关于脉冲微分方程解的振动 性和渐近性的成果较多，尤其是振动理论较成熟，所得结果较多。如文献 【1 0 - - 2 0 等。一个简单的脉冲微分方程可写为 f o ， l 等= ，( 船) ，r 、“ i a x = ，( ，x ) ，t = 气，k = 1 , 2 ， 缸( ) = x ( ) 一x ( ) ，x ( ) = l 。i 。m x 以+ ) ，h o 关于它的解的存在性唯一性解的稳定性与振动性边值问题解的存在 性与唯一性以及解的动力学系统性质脉冲时滞微分方程泛函脉冲微分 方程等几乎对应于常微分方程研究的所有领域。经过近3 0 年来的研究，已 经有一个比较完整的初形，可以说在理论上已是一个比较完整的学科。 伴随着脉冲微分方程的研究，脉冲也被引入到差分方程的研究中。而 带有脉冲条件的现象是自然和社会现象中普遍存在的现象，某些现象的数 学模型用带脉冲条件的差分方程来描述会更加确切，同时作为脉冲微分方 程的离散形式，我们认为，同脉冲微分方程理论一样，脉冲差分方程也是 值得研究的一个重要课题。由于脉冲微分方程的振动理论比较成熟，研究 脉冲微分方程振动性的一些理论，方法和工具可转借用到研究脉冲差分方 程的振动性上来，而且脉冲微分方程离散化后得到的脉冲差分方程往往更 具有实际应用价值。同脉冲微分方程一样，脉冲差分方程也是一个值得研 究的重要数学模型，在科学研究和社会实践中提出了很多由脉冲差分方程 描述的具体数学模型。例如，在经济上进行动态分析时，各种突发的因素 对经济发展的影响，其数学模型就是带有脉冲的差分方程。到目前为止， 2 对脉冲差分方程理论的研究已有一些成果，如文献 2 1 3 1 等。我国学者唐 先华，庾建设口2 1 等研究了线性脉冲差分方程 i 毛+ l 一矗+ a ( 珂) 矗4 - - 0 ，疗哆，t 万o 1 删 、 【“_ 2 屯， n 2 一，- ，= 1 ，2 ， 建立了方程解的振动性，稳定性与相应的时滞差分方程解的振动性，稳定 性的等价关系，给出了解的振动性，稳定性的若干充分条件，从而对时滞 差分方程已有的结论在脉冲条件下做了推广和改进。而关于这方面发表论 文的学者也不少，如张炳根、申建华、燕居让、杨玉华、魏耿平等等。脉 冲差分系统这一新的研究领域极具吸引力和挑战性。在理论上，它综合了 连续和离散系统的特征，但又超出了连续和离散系统的范围；在应用上， 脉冲差分系统源于实践，在科技领域及工程技术中层出不穷，并已成功的 应用于通讯领域。脉冲差分方程广泛的应用背景将会促使对这类方程定性 性质的研究迅速而深入的发展因此，研究脉冲对系统平稳性的影响不仅 对实际问题很有必要，而且也丰富了差分方程理论本身。 本篇论文，主要讨论了下面六类具有离散变量和连续变量的脉冲时滞 差分方程 弦+ 1 ) 一工( 栉) + 善只( 砒( x ( 盯一毫) ) o ，拧哪删( i ) b ( 啦+ 1 ) 一工( ) = 吃x ( 住) ， ，l = n k ，k - - - 1 ，2 ， j 血( 疗) + 荟只( 甩) z ( 栉一) - o ，胛娜删 l z ( 仇+ 1 ) 一x ( 佩) = 五o ( 仇) ) ，行= 仇，k = l ，2 ， 燃= ：落乏瓣町卜0 烈k 邳= l , 2 ， i y ( 矿) 一j ，( t ) = 钆y ( ) ， f = ， ， ”一 o ，l j = 0 0 = n ：、“：， 沙dm 咖 一 叫h “：、e 燕山大学理学硕士学位论文 i x ( r ) 一x ( 卜r ) + 只( r ) z ( x ( f q ) ) = 0 ， i - i l x ( ) 一工( ) = 苫( 气) ， ， o ( v ) t = t k ，k = 1 , 2 ， 的定性问题，所得结论推广或改进了已有文献中的相应结果。 1 2 非线性脉冲时滞差分方程振动性和渐近性的研究概况 近年来，由于管理科学、生物科学等自然学科及边缘学科的发展，在 科学研究领域提出了很多由时滞差分方程描述的具体数学模型，另一方面， 由于差分方程可以很方便的用计算机求其数值解，所以很多微分方程可以 近似为差分方程求近似数值解。因而许多学者对时滞差分方程的定性理论 进行了大量的研究，文献 3 3 - 3 6 1 给出了时滞差分方程振动的充分条件，文 献 y q 采用不同于文【3 8 】的方法，讨论了如下形式的变系数多时滞差分方 程 x ( 挖+ 1 ) 一工( 聍) + p ( 行) x ( 行一| i ) + g ( 刀) ，( ，l z ) = o ，l 0 ( 1 - 1 ) 给出了其解振动的判据，这里 p ( n ) ， g ( 厅) ) 均为非负的实数列，七，为正 整数，并得到了下面的结果 首先给出下列条件 ( ，至 p ( 小删高j 砧0 静吲明雌凰n - i 吲f ) ) 一( 射 卜卜 ( a 。詈。 舯办) l 跏n - i i m i - - 。( f ) + g ( f ) ) 一( 击计佃。 4 “n + tii 定理1 2 1 设方程( 1 - 1 ) 中k k ，且条件 ( 4 ) ，( 口) 成立，则方程( 1 - 1 ) 所有的解是振动的。 4 b l 一 i i j j “r 妒m ：、 p x + 一 晰州 第1 章绪论 定理1 2 2 设方程( 1 1 ) 中七 七，且条件 0 ) ，( c ) 成立，则方程( 1 - 1 ) 所有的解是振动的 作者又将其结果推广到更为一般的具有埘个时滞项的差分方程 、 * 工( 盯+ 1 ) 一工( 疗) + 只( 以) x ( 刀一岛) = o ( 1 2 ) ，- i 与此同时，人们对非线性差分方程的研究越来越感兴趣，唐清干、邓远北 研究了非线性差分方程 t m 、 工0 + 1 ) 一x ( 刀) + 只( 一) ，( x 0 一t ) ) = q ( 1 3 ) l i l 解的振动性，这里 只( 以) 是非负实数列，毛，k 是正整数，z q ) c i 盂，灭】 并得到了下面的结果 定理1 2 3 若下列条件成立 i ) 材0 时， i i ) 舰i n f 冀m p j ( 疗) 鲤等= 1 ， ”m “1 。 则方程( 1 3 ) 振动 但对带有脉冲条件的时滞差分方程的研究却并不多见，而这类方程在 实际应用中也是很常见的。例如，动态经济系统的数学模型就常用到带有 脉冲条件的差分方程，因此，研究脉冲对系统的影响是很必要的。论文的 第二章就是将已有的相关结论推广到与方程( 1 3 ) 相对应的非线性脉冲多 时滞差分方程 ， 弘+ 1 ) 一工( n ) + 善只( 玎) z ( x 卜置) ) 。0 撕舢( 1 4 ) 卜( 体+ 1 ) 一并( 像) = 钆工( 体) ， 以= 仇，k = l ，2 ， 上，并借鉴文献【3 9 4 4 】中研究脉冲微分方程的思想方法来研究了方程( 1 - 4 ) 解的振动性及非振动解的渐近性。同时，还利用上述方法研究了带有非线性 5 所 m = 掣 蚜 及 斫 燕山大学理学硕士学位论文 脉冲条件的多时滞差分方程 r” j 缸( ) + 善只( 栉) x ( 以一t ) 乩”嘶删( 1 _ 5 ) 、f - iij 。j ， l x ( 仇+ 1 ) 一x ( ) = o ( ) ) ，n = n k ，k = l ，2 ， 解的振动性和非振动解的渐近性，所得结果推广并改进了已有文献中的相 关结论。 1 3 具有连续变量的脉冲时滞差分方程振动性的研究概况 近年来，由于医学、生物数学、现代物理等自然学科及边缘学科的不 断发展，提出了许多由差分方程描述的具体数学模型，因而对差分方程定 性理论的研究越来越受人们的关注，并取得了大量的成果【4 5 斯】。同时，对 具有连续变量的差分方程的振动性的研究也不断深入，如文献 4 7 5 0 中申 建华、张玉珠、张友生、韩振来等建立了具有连续变量的差分方程振动的 充要条件。张玉珠、燕居让【5 l 】研究了如下具有连续变量的变系数时滞差分 方程 y c t ) 一y o f ) 一p ( t ) y ( t 一仃) = 0 ( 1 6 ) 解的振动性问题。其中 p ( r ) c ( 【f o ，。) ，r + ) ，f o ，t r o ( 1 - 7 ) 给出了该方程振动的几个充分条件。周勇在文 5 2 】中建立了方程( 1 - 6 ) 的新 的振动判据，改进了已有文献的相应结果，并将该判据推广至具多个滞量 的差分方程 y ( f ) 一y ( 卜f ) + p , ( t ) y ( t - t r , ) = o ( 1 8 ) i ；l 其中只，q ，f 满足 只( f ) c ( k ，o o ) ，r + ) ，r o ，q o ，i = 1 ，2 ，m ( 1 - 9 ) 并获得了下面的结论 定理1 3 1 假设条件( 1 - 7 ) 成立，且盯= 打，k 2 为正整数，如果 6 第1 章绪论 舰雠皓却叫 删0 - i o )舰雠b 善p ( 卜打) j o 且 熙唧戮k 叫。毕 ( 1 1 1 ) 贝方程( 1 - 6 ) 振动 、 定理1 3 2 假设条件( 1 9 ) 成立，且q = 置f ，电- 2 为正整数o = 1 ，2 ，m ) 如果 熙缸皓善( 萎啪叫) ) 删( 1 - ，1 2 ) 嫩印阮加，肛毕 m 聊 其中| j = m 。i l l 毛) ，则方程( 1 8 ) 振动 此文献所使用的证明方法是反证法，而申小莉在文献【5 3 】中采用 l e b e s g u e 控制收敛定理研究了方程( 1 - 8 ) 的振动性，证明了如下结论 定理1 3 3 设f ，只，q ( o ，佃) ，f o ，( f = 1 ，2 ，_ ，历) 成立，则方程( 1 - 8 ) 的每个解振动 与此同时，人们对具有连续变量的非线性差分方程的研究越来越深入， 文 5 4 1 q b 提到了具有离散变量的非线性差分方程 “ k 。- + n 只毛= ，( 铀，矗- f - )，( i - 1 4 ) 文【5 5 】讨论了具有连续变量的非线性差分方程 7 燕山大学理学硕士学位论文 y ( o - y ( - o + e p , ( t ) f ( y ( t f 1 ) ) = o ( 1 - 1 5 ) 的振动性，这里方程满足 只( f ) c 【o ，o o ) ，r + ，o 0 ，且当伽时，掣孔当删时，掣l ( 1 - 1 7 ) 并得到了下面的结果 定理1 3 4 设式( 1 1 6 ) 和式( 1 1 7 ) 成立，西( r ) = 蚬 只( s ) ) ，扛1 ，l ， 若时滞微分方程 ，( f ) + 西( f p ( f + r 一一) = 0 振动，则方程( 1 - 1 5 ) 振动 定理1 3 5 设式( 1 - 1 6 ) 和式( 1 1 7 ) 成立，若 坦罂i n f 只( f ) = 只 o ，l t = t f + q ，o q f 其中t 为正整数，i = l ，2 ，玎，且差分方程 工( 栉) 一了0 1 ) + 舻0 一t ) = o 振动，则方程( 1 1 5 ) 振动。 但现有文献对具有连续变量的脉冲差分方程的研究却并不多见，仅见 文 5 6 - - 5 9 】，而这类方程在实际问题中是普遍存在的，例如，在动态经济系 统的模型中就常遇到带有脉冲条件的差分方程，因此，考虑脉冲现象对状 态的影响，能够更深刻，更精确的反映事物变化的规律，也是十分必要的。 本论文的第三章就是在此基础上采用构造函数法和反证法研究了具有连续 变量的脉冲时滞差分方程的振动性问题。将已有文献中有关具有连续变量 差分方程振动性的结论在脉冲条件下做了推广和改进。 1 4 具有正负系数的脉冲时滞差分方程振动性的研究概况 近年来，人们对具有正负系数的微分方程做了大量的研究，取得了丰 富的成果，如文献【6 0 3 】等。唐先华、庾建设瞰6 5 1 、周勇和张炳根【6 6 1 等许 多作者都研究了具有正负系数的中立型微分方程 p ( t ) - - q o x ( ，一，坷+ p ( ，) x ( f r ) - q ( t ) x ( t 一仃) = o ( 1 - 1 8 ) 的振动性，给出了其所有解振动的若干充分条件。 与此同时，作为其离散形式的具有正负系数的差分方程也逐渐受到了 人们的关注，人们对具有正负系数的差分方程越来越感兴趣，在文献【6 7 】 中，作者在不考虑条件 慨一乳。+ ，) = 的情况下，获得了方程 ( 一巳，) + j z ，i 一吼毛一= o ( 1 1 9 ) 解振动的三个充分条件。由于应用的需要，对脉冲微分系统的研究不断深 入，张玉珠和燕居让在文献 6 8 1 研究了具有正负系数的脉冲时滞微分方 程 ：l l ? f ：揣( ：t 钆- r ，) 。- q ，( y o d = 。，7 r k , t = t k k = ：1 2 ，c 2 。， i y ( c ) 一j ，( ) = 钆y ( ) ， ， r 。w 其中p ( ，) ，g o ) c 【f 0 ，。) ，r + 且r ，仃( o ，a 。) ：r 0 t n - t o + r ； ( d ) 憋s u p a ( ( f ) _ r ，f ) r p c s ) 一g ( 盯一r ) m 1 。 定理1 4 1 假设条件( 4 ) ( d ) 成立，那么方程( 1 1 9 ) 的一切解振动。 其中 a ( 叫纠旦去扣】n t 蚴，( f ) g m i n 一，例 叫n = o 但作为脉冲时滞微分方程的离散形式，对具有正负系数的脉冲时滞差 分方程的研究却并不多见。本论文的第四章将借鉴已有文献中研究脉冲时 滞微分方程振动性的一些思想方法来讨论带脉冲条件的具有正负系数的时 滞差分方程解的振动性，推广并改进了已有文献中的相关结论，丰富了这 类方程的研究成果。 1 5 论文的结构安排及有关符号 本论文共分为四章。 第1 章绪论。本章首先介绍了微分差分方程和脉冲微分差分系统的国 内外研究概况、论文研究的背景和论文的研究内容。 第2 章非线性脉冲时滞差分方程的振动性和渐近性。本章研究了具有 脉冲条件的非线性多时滞差分方程 l z ( ，z + 1 ) 一x ( n ) + 只( ”) z ( x ( 胛一局) ) = 0 ，n ；e n k ，n o 【x ( + 1 ) 一x ( n k ) = 钆x ( ，) ， 玎= n k ，k = l ，2 ， 及其带有非线性脉冲条件的多对滞差分方程 l 缸( 栉) + 只( ”) x ( ”一) = 0 ，n 仇，n o 卜( 仇+ 1 ) 一x ( 仇) = 五o ( 仇) ) ，n = n k ，k = 1 ，2 ， 解的振动性和非振动解的渐近性问题。这里只( n ) 是非负实数，置，t 为正整 l o 第1 章绪论 数，i = 1 ，2 ，肼， 为脉冲点，且有o 愧 伤 o 是步长，纯 称为脉冲点， 满足o s t 0 5 t ，熙= 哆k = l ，2 ，只( r ) 是非负实数， ，2 0 ，o o 时，五盟l ：当z ， o “ 时，掣 _ t o 【工( + ) 一x ( ) = 吣( ) ，t = t k ，k = l 州2 ” 解的振动性问题。这里p ( f ) ，q ( t ) 是非负实数，t e t o ，。o ) ，r ( o ，0 0 ) ， t 2 ，l i m t k = o 。，一1 钆 - 0 ，k = l 2 ，x ( 矿) ，x ( 一) 都 存在，且x ( 一) = x 心) ，并记m = m i n t ，r 给出了方程解振动的一个 新的充分条件及两个推论。 为行文方便，现将本文用到的基本概念和记号叙述如下 “- 表示向前差分算子，即缈( ”) = y ( n + 1 ) - y ( n ) ；z 表示所有整 数构成的集合；设口z ，i 己n ( a ) = 口，a + l ，) ，n = n ( 0 ) ； 傩 称为脉冲 点，满足o n o 啊 0 ；若存在正整数肘，使得x ( h ) o 对 n e ( m ) 成立，则称 x ( f ) 最终为负的 一个脉冲差分方程的解 x ( f ) ) 称为是非振动的，当且仅当 x ( f ) ) 是最 终正的或者是最终负的，否则称解 x ( f ) ) 是振动的。 一个脉冲差分方程的所有解振动，则称这个脉冲差分方程是振动的。 否则称之为非振动的。 第2 章非线性脉冲时滞差分方程的振动性和渐近性 第2 章非线性脉冲时滞差分方程的 振动性和渐近性 近年来，对于时滞差分方程的研究已经有了大量的成果p - r ，文献 3 8 】 给出了具有多滞量的差分方程 a x , + 只( 珂) z ( 吐) = o p - 1 解的振动性的充分条件，但对脉冲差分方程尤其是非线性脉冲时滞差分方 程的振动性和渐近性等性质的研究并不多见，而这类方程在现代科技各领 域的实际问题中是普遍存在的，如在动态经济系统的数学模型中就常遇到 带有脉冲的差分方程，因此，研究脉冲对系统的影响是很有必要的。本章 将要研究一类非线性脉冲时滞差分方程的振动性和渐近性问题。 2 1 具有脉冲的非线性多时滞差分方程的振动性和渐近性 2 i i 方程描述 考虑具有脉冲的非线性多时滞差分万程 ”+ 1 ) 一x ( 甩) + 善只( 刀) m ( 雕一向) ) = o ，疗娜删( 2 1 ) 卜( 吃+ 1 ) 一x ( ) = 喀工( ) ， n = n k ，k = 1 , 2 ， 其中只( 疗) 是非负实数，毛为正整数，i - - i ，2 ，历，令= m i n 岛，如，k ) ， k = m a x 与，岛，吒 ， n k ) 称为脉冲点，0 啊 恐 一1 成立，则方程 ( 2 - 1 ) 的所有解振动，当且仅当方程( 2 - 2 ) 的所有解振动。 引理2 1 2 3 0 1 在方程( 2 3 ) 中设0 - 月t h ， 成立，则方程( 2 3 ) 的所有解振动 引理2 1 3 【“1 若下列条件 i ) x 。 最终为正，则存在啊n ，当玎 n l 时，i n o ； i i ) 存在，+ ，对v _ j r ，有限数列扛h + 1 h + 2 x 、。j 单调不增； i i i ) 级数k = l + 一 收敛， 成立，则l i m = a 存在，且有a 0 。 月 + 引理2 1 4设k 为正数，那么当0 k o ，若 i ) 芝芝4 ( j ) k o ，疗o ；( 2 - 4 ) m 。轰脚她窿就k n 卜函s ， 则方程( 2 - 1 ) 的所有解振动 证明由引理2 1 1 可知，只需证方程( 2 - 2 ) 的所有解振动即可 用反证法。不失一般性，i 发y ( n ) 是方程( 2 2 ) 的一个最终正解，则存在 正整数啊 - n o ，当珂2 啊时，有y ( n ) o ，y n t ) o ，从而有 z ( ) ，( ，z 一向) ) 三y ( 九一向) o ( 2 - 6 ) 燕山大学理学硕士学位论文 y ( 胛+ 1 ) 一y ( n ) = 一羔( ”) z ( y ( ”一砖) ) s o 从而可知，y ( 胛) 是单调非增的，因此有 y ( ，l k , ) - y ( n - k o ) y ( n ) o ，i = l ，2 ，研 由式( 2 2 ) 、式( 2 5 ) 和上式，得 ，( 珂+ 1 ) 一y ( 珂) + 窆只( n ) y ( 聆一) y ( 栉+ 1 ) 一y ( 。) + 窆只( 刀) y ( 月一毛) y ( n + 1 ) 一y ( 玎) + 窆只( n ) ，( y ( 一一毛) ) ：0 即 帮外善r a 确) 帮啊 令帮钉贝i j 有小) 狮狲，从而式( 2 7 ) 变为 。 挲k 去翰小岛矿 令w ( 以) = ：( 拧) 一1 ，珂- - 2 n , + k o ，则w ( 疗) o ，由上式和式( 2 3 ) ，得 o j 喜荆一击枷m 卜 脚雌( ，美耖一蜀矿一， 对上式两边从：n 14 - 2 到求和，得 萎善只( 疗) 1w ( 珂) 一古芝至只( ，) w ( 州 4 吨“ l a oj ；蠢百7 l 薹莩c 开， 1 - 寺c 美萎只c 力_ ) _ 一 q 。 燕山大学理学硕士学位论文 且有 nm ， n - im 、一bm，h + b m 、 只( 即) l 只( _ ，) w ( _ ，) i # ( 玎) w ( ”) l p ( _ ，) i z 也i = 1 u 铆一k 1 = 1月= 也i = lj 翎+ l i = 1 k 只( 栉) w ( ”) 只( n ) 1w ( n ) 一专c ( ”) w ( 圳 胆，。l 。、j 2 月岛，2 j _一h m c ( 珂) w ( n ) - y 只( ”) w ( n ) = c ( ”) w ( n ) 冉结合式( 2 1 1 ) ，得 。轰。喜只c 栉，w c ”，薹喜只c n ， 1 - 去( 芝，妻e , ( j ) - k o r 一1 j , n - k 。i = l 只( 栉) w ( ”) 只( n ) “i i i 一 - 一k + 1 l i in 嘶j - li l 0 、，ll 由上式和式( 2 - 5 ) ，可得 ， 舰。丕。善只( 以) w ( n ) = 佃 因此有 照( 疗) ：( 行) = 佃 w 箴+ i 智“7 “ 这与式( 2 - 1 0 ) 矛盾，故方程( 2 一1 ) 无最终正解。若设方程( 2 - 2 ) 有最终负解， 注意到当“ 一1 ，k = 1 , 2 ，如果存在正整数n o k o ，若 + 曲m l n - - il i i ) 只( n ) l 只( j ) - k o | _ 佃， 托+ b “l t = l j = n oj 则方程( 2 - 1 ) 的所有解振动。 k 一 行 i d 只 “毗 。m d 第2 章非线性脉冲时滞差分方程的振动性和渐近性 厂、一b 证明仿j i l 【定理2 1 1 并注聱i j 不等挚【1 - 剖纠，( o n j ， 则方程( 2 1 ) 的所有解振动。 证明利用反证法。 设方程( 2 - 1 ) 是非振动的，不失一般性，设方程( 2 1 ) 有一个最终正解 t ，则有 o ，x n 也 o ，咒一k ，由冬件( i ) 可知z ( 毛呐) o ，再结合 方程( 2 - 1 ) ，有 蝇= p l o ) z f f 呐) 剑 从而可知，x o 在 像+ 1 ，吃+ 2 ，心0 ) ，k = l ，2 ，上是单调不增的。( a 蓟t y d 极限存在的单调有界原理，有 ， 姆矗2 d o ( 2 1 2 ) 若a o ，因磐，( 毛吐) = ，( 4 ) ，i = 1 ，2 ，m ，则由定理的条件o ) 有 z ( 口) o ，f = 1 ，2 ，坍，令，= 浊 z ( 口) ，再由石 ) 的连续性可知当一充 分杏时z ( 呐) 告，成立，又由方程( 2 1 ) 和上式，可得 1 9 m = 嗨 = 掣 赶 姆 及 西 时 d 燕山大学理学硕士学位论文 瓴= 主见( 聆) ，( 矗啼) 一i if 2 m ：只(