（应用数学专业论文）模糊数的比较与排序及其在多属性决策中的应用.pdf

。 - ， 模糊数的比较与排序及其在多属性决策中的应用 摘要 多属性决策( m a d m ) 实际上是有限个方案关于多个属性的最优选择和排序 问题，它是决策理论与方法研究的一个非常重要的内容由于客观事物的复 杂性和主观决策者的随意性，经常会导致决策信息的不确定性和模糊性所 以在实际应用中，决策数据通常是以模糊数的形式出现的因此模糊数的比 较与排序在多属性决策中就显得至关重要本文主要研究模糊数的比较与排 序方法及其在多属性决策中的应用 论文首先研究了区间数多属性决策问题，将属性值看作随机变量，服从正 态分布，从而给出了区间数的定量化分析方法，并通过构造一个优化模型得 到各个方案的综合评价值 为了反映模糊数之间的差异性，论文针对h m 堍距离的不足，提出了一 种依据左右模糊距离来计算模糊数差异的模糊距离公式，并依此给出了一 种模糊数比较与排序的新方法同时为了反映模糊数的同一性，在r z w j d 【的 相似度方法的基础上，给出了一种新的模糊数相似度的计算方法，方法克服 了r z w 蚀法在两模糊数不相交时相似度恒为。的不足论文还对模糊数距离 和相似度的关系进行了分析，给出了模糊数距离和相似度的相互转换方法 此外，论文基于模糊优先关系给出了一种模糊数的排序方法，证明了该法 是一个模糊序关系，并通过算例和已有的方法进行比较说明了该法的有效性 最后论文对模糊多属性群决策问题进行了研究，在综合模糊数的距离和 相似度的基础上提出了一个一致性指标来集成各个专家的意见，由此得到一 种新的模糊专家意见的集成方法同时在集成过程中，该法充分考虑到了各 个专家的重要性程度 关键诃：多属性决策模糊数模糊距离相似度模糊数排序 中图分类号：0 2 2 3 ，0 2 2 4 ， r a n k i n go ff u z z yn u m b e r sa n di t sa p p l i c a t i o n i nm u i ；r i p l e t t r i b u t ed e c i s i o n m a k i n g m u l t i p l ea t 啊b u t ed 戚o n m a “n g ，w h i 出缸i n 鼬a 蝴i o n 蚰dr 帆k i n gp r o b l 锄b e - t w e m ea l t e r n 8 t i v 蜘舯甜m ea t t r i b u t ，培v y i m p o r t 柚t i n t h e8 t u d yo f d e c i s i o n - m a l c i n g b e 愧u 鼬0 f t h e 伽p l 戗咐0 f t h e o b j e 吐i 、，e 肿d d 蛐dr 柚d o mo f t h e d 础i m a 蛔i n 畔t 妣，d i s - 0 nd a t aa o f f u 站y 埘m _ b e r lr 叭k m go ff i i z 巧n u m b 哪i st k 雕妇e 稍t i a i i nm l l l t i p i eb t t r i b u t ed i 8 i o n - m 啦n g f i r s t i y ，t h et h 嘲i 8 伽1 p h a 8 i 嘲t h ei n t 盯v a lm u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i - m a k 吨u d 钟t h e 蛹啪p t i o nt h 8 tt h e8 t t r i b u t e 、i a l i n 髓出i n t 廿v a lh 勰an o 珊8 ld i 8 t r i b u t i o n ，t w oa p p a c h 髑 f 叫t h eq u 甜i t a t i v ea n a l y b 置bo f m t e r 憎j ba 弛p 加p e d 王i yd 鹧鲷j n g 姐a s b e 昭a b l ev a | mt oe a c h i n t e r ，8 0 p t 皿i z a t i 酬e l i g 舢t 蛐c t e d t oo b t a i n t h e t b e 瑚1 l 【i n g0 f 砒8 l t 唧a t i 豫 h 0 r d e r t o s t u d y t h ed i b m n o f t h e l l l z 可n 砌b 哪，衄j m p r o 帕i d i s t 舢1 c e m e 舾u r e b 蛳籼 f h z z y 舢n b 哪i 8i n t r o d u o e dt oo v l 啪叫et h eg h o r t m n go ft b eh 呦m i n gd i s t 蛐，t h em e t h o d i 8b 姻e d0 n t b e l e f t 曲t a n a n dr i g h t 曲t 蚰b e t w 鲫血哪m 皿l b 哪i n t h e m a n w h i l e 。眦 i m p 州e ds i m i l a r 咐m e t h o db e t w e t h ef 1 1 z z yn 仰i b 哪i b l s 0p r e s 朗t e d 们t h 嘟dt ot h e d 蕊c i e n 呵o fz w i c l 【s 耐h o d 矾瑚堍骶8 t u d yt h er e l a t i o n0 fd 培t 蚰a n d8 i m i l a r i t yb e 伽e 胁z y 们n l b e 嵋，蛐d8 0 啪伽哪! a t j o nm e t h o d 8a r ep 瑚锄t e db e t w 嘲ld i s t 姐锄ds i m n a r i 虹 凡r h e r m o r e ，ar 蛐l c i n gm e t h o d0 ff u z z yn 唧n b 嘴i 8p r o p e db e do nf i l z 可弘舒褂 坤龇加t h er 蚰k m gm e t h o di bp r 0 删t ob e8f h 聊o r d 甜阳h t i a l l y ，an u m 喇c a l e 瑚m p l ei sp 砷即n t e dt om 埘h a 七et h ee m c i c yo ft h em e t h a d a tl a 8 t ，f o rm l l l t i p l e 鲫pa t t r i b u t ed e c i d i o n - m a k i n gp r o b l e m ， n 钾m e t h o d 妇a g 酽g 啦 i n gi i l d m d u a lo p i n i o 珊i n t oag 呻咖删嘲培印i n i i 8p r o p e db 嬲e d t h ec h s t 姐蜘d s i l i l a r t yo ff z yn 邶曲e 埽t h ej m 础毗a n o f 髓出。中e r tj 8a l t 8 l 口眦i n t oc o 珊i d e r a t i i n t h ep r o o e 鞠o ft h ea g 酽a g a t i k e y w o r d s ：m l l l t i p k 蜘t - b u t ed e c i s - o n m a l 【i n g f u z z y 鲫m b 哪；f l l z z yd i s t 蚰；疵吐 l a r i t y ；”n l c i n go f m z z y n m b m tfr 第一章区间数的比较与排序及区间数多属性决策分析 1 1 引言 多属性决策( m a d m ) 实际上是有限个方案关于多个属性的最优选择和方案排序问 题，它是决策理论与方法研究的个十分重要的内容，具有广泛的应用背景但是由于 客观事物的复杂性和主观决策者的随意性，经常会导致决策信息的不确定性和模糊性。 所以在实际应用中决策数据通常是不精确的或是模糊的【l ，2 ，3 ，4 】决策者很难对每个属 性值都赋予个确定的数值，般情况下只能给出它的个取值范围，这使得屑性值通 常是以区间数的形式出现的，这样对于具有不确定性区间数多属性决策问题的研究就有 着相当重要的理论意义和实际价值至今。已经提出不少关于不确定性区间数多属性决 策方法，如文献f 5 ，6 1 的误差分析法，文献用的线性规划法但是目前大多数的研究成果 【8 】都局限于计算各个方案的综合评价值( 通常评价值是以区间数的形式出现的) ，很少有 人给出各个方案的区间数评价值的排序方法这样对决策方案的最终排序就显得非常困 难，因此关于区间数的比较和排序成为个是十分重要的问题文献【9 】给出了种基于 可能度的区间数的排序方法，文献【8 l 给出了一种关于隶属函数的区间数的排序方法文 献【1 0 l 对区间数的比较与排序进行了详细深入的研究，给出来一种基于专家悲观，乐观 的区间数的排序方法 本章对区问数多属性决策问题进行了研究，提出了两种区间数的排序方法方法对 每个区间数都赋予其评价值，将区间数多属性决策问题转化成一般的多属性决镱问题 并构造了个最优化模型，给出了各个方案的综合评价值总排序最后通过算例说明了 该法的可行性和有效性 1 2 区间数多属性决策问题的描述 本文讨论的是属性权重和决策矩阵元素都是区间数的情形，为方便讨论，一般假设 这些属性是独立可加的 记肘。= o ，鹂 o 。 m j 彳= 嘞l 。x 。为区间数决策矩阵。它的每个元素都是区间数 、t l， t、lf广 i r 皇叁篓堡圭茎! 墼窒圭f ! 坚型堡丝竺丝堕些皇丝垒墨叁垒兰墨兰塞苎! 竺星里2 亩= 砚，西玩，为属性的区间数权重向量 其中西= f t 才，确是区间数，满足堇t 哆l ，耋t 哆l 且呼o ，t 哆o ， ，一，一。 在决策中。根据变化方向的不同，屑性大致可以分为两类，即效益型( 正向型) 属性 和成本型( 逆向型) 属性为了消除不同量纲给决策结果带来的诸多不便【5 j ，可以采用 以下规范化方法，得到规范化决策矩阵五= 】仇。，其中两= 【咭，喀l 也是区间数 对于效益型属性 如南一2 南心枷阻1 ) 对于成本型属性 妊弗心2 赤蚴( 1 2 ) 不难验证c 【o ，1 1 ，且鸣 o ，嚣 o ， m j 1 3 区间数的定量化分析方法 方法一由于决策环境的模糊性，所以对于属性值叼，可以看作是个随机变量，它 随机的落在区间= 嘴，国内f 1 1 1 方面，由概率论的知识知道，正态分布是最重要 的也是自然界最常见的一种分布，很多随机事件都可以用正态分布来描述另一方面，一 般来说，属性值q 落在区间勤中点心+ 喀) 2 的可能性最大，落在区问两端点附近的 可能性会越来越小，因此可以认为属性值勺( 随机变量) 服从以区间中点心+ r 嚣) 2 为 均值( 期望) 的正态分布( 峋，砖) 由正态分布的3 c r 原则( p ( h p 甜i 3 叼) 一o 9 9 2 3 ) 得属性值w 几乎肯定落在区间o 叼一3 叼，脚+ 3 叼) 内，故可令6 叼；咯一咕，由此得 到 定义1 3 1 称 岣= ；( 呜+ 喀) ，= ：( 碍一咕) ，i m ，j ( 1 3 ) 劭= 脚+ ( 1 一叼) ( 1 4 ) ，；， ， f 产 妻叁竺竺圭兰竺篁耋丝些丝堡塑丝丝些叁皇丝垒墨叁垒兰苎兰塞茎! 丝璧里3 为区间数嘞的评价值，或为方案a 关于属性乃的评价值 其中参数( 0 d ( ，b )( 2 1 3 ) 结果更符合人们的直观 下面来证明式( 2 9 ) 给出的距离测度d 是个模糊距离，即它满足非负性，对耪性以 及三角不等性 定理2 3 1v a ，b f ( 脚，公式( 2 9 ) 给出的距爵测厦d ( ，b ) 是个犋糊距离 证明( 1 ) 非负性- d ( j t ，口) o ，且d ( a ，动= o 甘4 = b 显然成立 ( 2 ) 对称性- d ( a ，b ) = d 但， ) 显然成立 ( 3 ) 三角不等性v 口f ( r ) ， d ( a ，日) = ；( d l ( a ，b ) + d r ( a ，口) ) = ；c 氅黼竽+ 驾舔警， ，l ，詹9 ( ( 峭一诺i + 雠一础! 些篮丛丛蠼盟j 盟二整i ) 坚、 毛互。了而面一十1 而面一 = ；c 鼍糕竽+ 屿黼产， 1 ，詹9 ( 口) 噼一础i d 口詹口( 酬磴一础、 2 、 露9 缸 。 詹9 似) d 口 1 = 言( 比( a ，g ) + 如( 4 ，c ) ) + 言( 比簖口) + 妇口) ) = 耐a ，g ) + d ( a b ) 即d ( a ，口) d ( ，+ d ，仍成立 可知d ( a ，b ) 是个模糊距离 2 4 基于距离的模糊数排序方法 定义2 4 1v a l ，也，厶f ( 劭，其极大模糊数记为m 。极小模糊数记为m 讯 具有隶属函数 p 扛) - 。焉凛。”咖似缸1 ) ，p 山( 。2 ) ，p n ( 2 n ) ) “m 缸) _ 。思孓”机 m - 0 1 ) ，m 扛2 ) p n ( ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 其中v ， 表示取大和取小的广义模糊算子 当模糊数代表各个方案的属性值时，极大模糊数可以看作是各个属性的理想解，代 表最理想的情况i 极小模糊数被看作是各个属性的负理想解，代表最坏的情况 对于任意n 个模糊数 l ，屯， i f ( r ) ，首先根据( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 两式求得极大模 糊m 和极小模糊数m 讯然后借助我们给出的距离测度d 。计算各个模糊数a o = 1 ，2 ，帕与”w ，m 饥的距离d 似，m o 甸，d ，m 川最后以距离d ( a ， ；) ，d ( 也，m n ) 作 皇叁量堡圭兰竺塞圭f ! 坚丝 堡丝苎竺兰苎童篓垒垒叁童兰墨竺塞兰耋竺苎曼1 3 为间接衡量 ot1 ，2 ，n ) 大小的排序指标，记为f ( a ) 即 f 似) = 硒蔫离丽 ( 2 1 6 ) 不难看出，f ( a ) 越大，则a 就越优由此可以得到下面排序原则 ( 1 ) 卜山甘f ( 也) f ( 如) ( 2 ) a 山营f ( a ) f ( 山) ( 3 ) 山铮f ( 也) = f ( 山) 容易证明排序指标f 池) 满足以下性质， ( 1 ) a = ”“ = f ( ) = o ( 2 ) a = m 4 $ 净f ( a ) = 1 ( 3 ) a m 饥m n z = f ( a ) ( 0 ，1 ) 2 5 算例 下面采用文献【2 4 】中的侈! i 子说明本章提出的排序方法的有效性 例2 5 1 考虑以下四组模糊数( 如下图所示) r 苎皇查量丝圭耋竺竺苎堡些型堡塑叁丝垒兰皇篓垒圣叁垒兰墨竺塞苎竺塞里4 ( c ) ( a ) l = ( 0 3 ，o 5 ，o 8 ，o 9 ) ，4 2 = ( 0 3 ，o 5 ，o 9 ) ， 3 = ( o 3 ，o 4 ，o 7 ) ( b ) 且l = ( 0 3 ，o 3 ，1 ) ，如= ( o 1 ，o 8 o 8 ) ( c ) a 1 = ( o 4 ，o 9 ，1 ) a 2 = ( 0 4 ，o 7 ，1 ) ，a 3 掌( o 4 ，o 5 ，1 ) ( d ) 4 1 = ( o 5 ，o 7 ，o 9 ) ， 2 兰( o 3 ，o 7 o 9 ) ，b = ( 0 3 ，o 4 ，o 7 o 9 ) ( b ) 当口= 1 时。计算f ( 1 ) = 1 ，f ( 如) = o 4 ，f ( 3 ) = o ，可知a 1 卜如卜如 当9 = a 时。计算f ( 1 ) ；l ，f ( a 2 ) = o 1 8 1 7 ，f ( 也) = o ，同样a l 卜也_ 如 ( b ) 当9 ) = l 时，计算f ( a 1 ) = o 1 3 4 4 ，f 似2 ) = o 8 6 眠可知a 1 s ( ，研= ； ( 3 1 8 ) 综合( 3 1 4 ) ，( 3 1 7 ) 两式，我们得到如下模糊数相似度的计算公式 定义3 2 1w ，口f ( r ) ，则 ，口之问的相似度被定义为t 5 k ( a ，口) = n 最。( ，b ) + ( 1 一口) ( 1 一s l ( a ，b ) )( 3 1 9 ) 其中口【o ，1 j 为权系数容易看出，( ，b ) 越大，( ，口) 越小，则( ，口) 就 越大 不难证明( 3 1 9 ) 式给出的模糊数相似度( a ，b ) 满足下列性质； ( s p l ) o 5 口( a ，口) l ； ( s p 2 ) 5 n ( a ，b ) = 1 当且仅当 = b ； ( s p 3 ) & ，日) = & p ， ) ； ( s p 4 ) 如果a b g c ，那么( ，b ) & ( a ，e ) ，s 口( 口，研& ( 4 ，c ) 3 3 模糊数的距离和相似度的关系 在第二章和本章中。我们就模糊数的距离和相似度进行了研究。分别提出了新的模糊 数的距离和相似度公式距离和相似度是模糊数的比较与排序的两个非常重要的内容， 它们分别反应了模糊数的两个不同的方面至今，在基于距离和相似度的基础上，已经 提出了不少关于模糊数的比较与排序方法。但是很少有文献对模糊数的距离和相似度的 关系进行研究【3 6 j ，本小结主要就模糊数的距离和相似度的关系进行了探悉，提出了模糊 数距离和相似度的一些转化公式 我们知道，距离用来反映模糊数之问的差异性，而相似度则反映的是模糊数之间的 同性。它们是两个正好相反的指标一般来说，如果两模糊数的距离越大，则它们的 相似性程度就越小i 反之，如果两模糊数的相似度越大，那么它们之间的距离就应该越 小基于以上思想，建立模糊数的距离和相似度的递减函数s = ，( d ) ，从而可以借助已有 的模糊数的距离公式得到模糊数的相似度计算方法 ，b f ( 曰) ，假设它们的隶属函数分别是m ( 习，邶( 功，距离d ( a ，b ) o ，相似度 s ( a ，曰) o 更般地，通过标准化可以假设o d ( a ，且) 1 ，o s ，b ) 1 为此， 构造s ( a ，b ) 关于d ( a ，b ) 的递减函数s ( a b ) = ，( d ( a ，b ) ) 则 ，( 1 ) ，( 烈 b ) ) ，( o )( 3 2 0 ) 所以 o 等鸨铲t 苎皇叁耋翼圭兰竺兰圭丝些型堡塑苎竺童竺皇壁垒垒叁垒兰苎兰查竺! 丝塞里2 0 这样。借助模糊数的距离公式可以得到模糊数 ，口之问的相似度计算公式， s ( a ，口) = 生；i ! ：； ；a 盟 ( s z z ) 那么现在的问题就是选择个适当的函数，使得可以由已知的距离公式利用( 3 2 2 ) 得到相似度公式最简单的就是选择线性函数 ，0 ) = l 一$ ( 3 2 3 ) 则根据( 3 2 2 ) 可以得到模糊数 ，口的相似度为一 日( a ，b ) = l d ( ，b )( 3 2 4 ) 事实上，前面所介绍的c h 【3 2 】和l * 【3 3 】的方法就是根据上式在模糊数距离基础上得到 的 在实际应用中，指数运算在研究相似性质时应用很广泛【3 8 l 。于是我们选择t ，= e “ ( 3 2 5 ) 则模糊数a b 的相似度为 刚= ! 二警；牟 ( 3 卿 另方面。也可以选择， m ) 2 焘 ( 3 2 7 ) 此时模糊数 b 的相似度为， 韪( a 口) = 端 ( 3 嚣) 同理。对于已知的模糊数的相似度s ( ，b ) 。同样可以构造d ( a ，b ) 关于占( a ，b ) 的递 减函数d ( ，口) = 口( s ( a ，b ) ) ，然后选择适当的函数9 就可以得到相应的模糊数的距离计 算公式d ( a ，口) 通过上面的分析，可以知道，对于已知的模糊数距离或相似度，可以通过选择适当 的递减函效s ( a ，口) = ，( d ( ，口) ) 或d ( a ，b ) = 口( s ( ，口) ) 得到的相应的模糊数相似度或 距离公式 3 4 本章小结 本章主要就模糊数的相似度以及模糊效距离和相似度的关系进行了探讨，针对r z w i 出 的相似度公式在两模糊数不相交时恒为。的不足，提出了一种新的模糊数相似度的计算 方法该法不仅在两模糊数不相交时同样有效，同时计算简单，几何意义明显，便于理 苎皇查重塑圭竺竺兰耋堡坚丝 堡塑苎竺堕苎皇丝垒垒叁垒兰量兰塞兰! 竺垒里2 l 解最后。对模糊敷距离和相似度的关系进行了分析。提出了一些模糊数距离和相似度 的相互转化方法，这为模糊敷的比较与排序带来了方便 4 1 引言 第四章基于模糊优先关系的模糊数排序方法 正如在第二章中所盲，关于模糊数的比较与排序方法中，一类很重要的方法就是基 于模糊优先关系的排序方法至今已经有许多基于优先关系的模糊数的比较与排序方法 被提出如d d u b o 扭【3 9 】和m d e l 9 8 d o 【4 0 1 分别在模糊优先函数的基础上提出了两种模糊 数的比较方法；j f b a l d 们n 1 4 1 l 和s m b a m 【4 2 】在优先程度的基础上，又提出了两种模 糊数的排序方法关于这方面的知识可以参见文献【4 3 1 以上这些方法的优点在于使用 范围很广，且又较强的理论基础，但是这些方法在很多时候却表现为分辨率不够强，且 在具体的排序过程中投有较好的整体性本章在以上方法的基础上，提出了一种新的模 糊数的模糊优先关系，从而得到一种模糊数的排序指标然后证明了它是一种模糊序关 系，最后。通过算倒说明了该法的可行性和有效性 4 2 基于优先关系的模糊数排序方法 姒，口f ( 励，它们的隶属函数分别是纵，邶缸) ，假设它们的左、右基准函数分别 是厶，鲋( 功和扫如) ，9 口由于厶，扫( 功都是连续函数，且严格递减增，可知 ， 0 ) 。扫0 ) 的反函数行1 ，石1 ( 们肯定存在且连续严格递增同理，似( 功，船如) 的 反函数蛎1 ( 们，瞻1 臼) 肯定存在且连续严格递减 基于以上分析，v a 口f ( 冗) ，分别考虑模糊数a ，口的左边部分历1 ( ) ，店1 函) 的差 值以及右边部分鲸1 ( ”) ，蝠1 的差值。提出以下两个指标 既c a 卜b ，= 丛生曼止生：筹； t t ， c a 卜口，= 点型丝坐墅雩雾；辫 h 砷 其中l ( j 4 ，b ) = 口i o v l ，行1 臼) 行1 ( 们) r ( a ，_ b ) = l o ”1 ，畈1 ( ) 蛞1 ( 们 同理， s z c b 卜 ，= 丛璺苎止! 塑；i 妄掣 如c 口卜 ，一墼垦坐! 垒：善j ( 4 3 ) “4 ) 皇查耋里圭量竺兰耋( ! 坚型堡塑苎竺些垒皇丝垒圣叁垒兰墨兰塞叁! 丝皇里 其中l ， ) = o l o v 1 ，巧1 国) 行b ) r ( 口，棚= b l o p 1 ，瞻1 ( f ) 蛎1 ) 其中p 为f 0 ，1 】上的正值连续函数c 2 4 】，在实际应用中，p ( 们为一增函数 下图给出了鼠似- b ) ，鼢似卜b ) ，乳( b 卜a ) 。鼢( b 卜椰的几何意义如0 ) = lb 寸) p 0 从图中可以看出，观( _ b ) = 毋表示模糊数a 的左边部分优于模糊数口左边 部分的面积。如卜丑) = 岛表示模糊数a 的右边部分优于模糊数b 右边部分的面 积i 同理，既卜 ) = 岛表示模糊数口的左边部分优于模糊数a 左边部分的面积， 饵 - a ) = 瓯表示模糊数口的右边部分优于模糊数a 右边部分的面积 基于以上分析，我们把模糊数a 优于b ，b 优于a 的指标分别定义为， s 协卜刀) = 5 t ( a 卜b ) + ( 1 一a ) s k ( 卜b )“5 ) s ( 口卜a ) = a 5 t ( b 卜a ) + ( 1 一a ) 5 k ( 曰卜 )“6 ) 其中a f 0 1 l 表示在决策者心日中观( a 卜b ) 和鼬似卜b ) 的相对重要性程度的比 例系数 对s 似卜b ) ，s _ 棚进行归一化，得以下优先关系指标， 矗( 卜b ) = 否石f ； ( 4 7 )