（概率论与数理统计专业论文）纵向污染数据半参数回归模型中的强相合估计.pdf

摘要 摘要 l 司删失数据一样，在实际工作中经常遇到一些关于污染数据的统计分析问 题。对于删失数据已得到了一系列较为深刻的结果，但对污染数据的研究却不 多。污染数据回归模型是生物统计中常用的模型，因此，研究其统计分析方法 是很有意义的。 本文考虑纵向数据的半参数回归模型 均= 巧+ g 也) + 而，i = 1 ，2 ，聊，j - - 1 ，2 ， 其中k ，岛) 掣xr 是固定的设计点列，是p 维未知参数，g ( ) 是定义在闭区 间i 上的未知回归函数，b ，i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，珥 相互独立同分布， 强= 0 , 0 嘲= 司 a o ，砰未知。 现受到一串与之独立的随机变量序列“ 的干扰，我们能观察的数据为 正- - 0 - v h + m ，i - - 1 ，2 ，m ，j - - i ，2 ， 其中h ，扛1 ，2 ，m i i d ，e w , = o ，o 聊= z ，司未知，y 未知，0 ， 1 ， p 称为污染系数。 基于观察到的数据比 和固定设计点列，勺) ：扣1 ，2 ，m ，j = l ，2 ，珥 来 估计未知参数，y ，砰，蠢和回归函数g ( ) 。假定面= 2 q 2 ，毛为已知正数，在此情 形下构造，砰，司和回归函数g ) 的估计量夕，痧，砰，茜和雪) ，并在适当条件 下证明了这些估计量都具有强相合性。 本文第一章介绍了污染数据线性回归模型和污染数据半参数回归模型的研 究概况及本文的主要结果。 本文第二章给出了一类纵向污染数据半参数回模型中的估计方法，并得到 了所建立估计量的强相合性。 关键词：纵向数据，污染数据，半参数回归模型，强相合性 a b s t r a c t a b s t r a c t a sc e n s o r e dd a l a , i to f t e nf a l i sa c r o s ss o m es t a t i s t i c a la n a l y s i sp r o b l e m sf o r c o n t a m i n a t e dd a t ai na c t u u lw o r k t h e r ea r eas e r i e so ft h e o r i e so nc e n s o r e dd a t a h o w e v e r , t h e r ea r en o ts om a n yr e s e a r c h e so np r o b l e m sf o rc o n t a m i n a t e dd a t a t h e r e g r e s s i o nm o d e lf o rc o n t a m i n a t e dd a t ai sau s e f u lm o d e li nb i o s t a t i s t i e s t h e r e f o r e ， i ti sm e a m n g f mt or e s e a r c hi t ss t a t i s t i c a la n a l y s i sm e t h o d s c o n s i d e rs e m i - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lf o rl o n g i t u d i n a ld a t a 野= 多+ g 也) + 勺，i = 1 ，2 ，m ，j = l ，2 ，心， w h e r e 也，o ) r xr a r ef i x e dd e s i g n 卢i sap x1p a r a m e t e rt ob ee s t i m a t e d g ( ) i sa l lu l l k n o w nr e g r e s s i o nf u n c t i o no nac l o s e di n t e r v a li b ，i = l 州2 ”，m ，j = i ，2 ，q i s i i d w i t he 岛= o ，0 e = 砰 ，a n d 砰i s u n k n o w n a s s u m et h a t 也ja r cc o n t a m i n a t e db ya n o t h e rr a n d o ms e q u e n c e w w h a t w ec a no b s e r v ea r cl h ec o n t a m i n a t e dd a t a 西= ( 1 一y ) ) o + 嵋，i = i ，2 ，m , j = i ，2 ，珥， w h e r e h ，i = 1 ，2 ，m i s i i d w i t h 眺；o ，o 聊= 司 鸭a n d 司i s u n k n o w v ( o i ， ni sa nu n k n o w nc o n t a m i n a t e dp a r a m e t e r p a r a m e t e r s 3 ，虬砰a n dr e g r e s s i o nf u n c t i o ng ( ) s h o u l db ee s t i m a t e db a s e d o n y ； a n d k ，勺) ：j = 1 ，2 ，m ，= 1 ，2 ，m p a r a m e t e r s ，y ，砰a n dt h er e g r e s s i o nf u n c t i o ng ( ) u n d e rt h ea s s u m p t i o no f 西= 2 q 2w h e r e ，o i sak n o w np o s i t i v en u m b e r t h es t r o n gc o n s i s t e n c yo ft h e e s t i m a t o r so f b ，v ，最a n dt h es m m gc o n s i s t e n c yo f t h ee s t i m a t o ro f t h er e g r e s s i o n n a b s t r a c t f u n c t i o ng ( ) h a v eb e e np r o v e d i nc h a p t e r1w ep r e s e n tas u r v e yo ft h er e s e a r c hw o r k sf o rl i n e a rr e g r e s s i o n m o d e lf o rc o n t a m i n a t e dd a t a , s e m i p a r a m e u - i cr e g r e s s i o nm o d e lf o rc o n t a m i n a t e d d a t aa n do u rm a i nr e s u l t s c h a p t e r 2d e a l sw i mt h e s t r o n gc o n s i s t e n c yo ft h ee s t i m a t o r s f o rt h e s e m i - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lf o rl o n g i t u d i n a lc o n t a m i n a t e dd a t a k e yw o r d s ：l o n g i t u d i n a ld a t a , c o n t a m i n a t e dd a t a , s e m i - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l ， s t r o n gc o n s i s t e n c y h l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子舨 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：匆) 历孬 2 卯莎年弓月；日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月 日年 月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：亩j 历薛 加占年0 月另e t 第1 章综述 1 1 引言 第1 章综述 在实际问题中经常会遇到一些关于删失数据( c e n s o r e dd a t a ) 和污染数据 ( c o n t a m i n a t e dd a t a ) 的回归分析问题。删失数据的回归分析由m i l l e r 于1 9 7 6 年首先提出，经过许多人的研究，如b u c l d e y 和j a m e s ( 1 9 7 9 ) ，k o u l 、s u s a r l a 和v a nr y z i n ( 1 9 8 1 ) ，z h e n gz u k a n g ( 1 9 8 nl a i 和y i n g ( 1 9 9 1 ) ，已取得了一些进 展，而对污染数据问题的研究却很少。在这一章中我们先介绍一些污染数据的 线性回归模型与半参数回归模型的研究及其结果。 h u b e r ( 1 9 6 4 ) 【1 1 考虑了一类“被污染的正态分布族”： f ，= 扩：厂= 0 - v ) ( o ，1 ) + 曙，g e j ， 其中l ，为污染系数( 或污染比率) ，e 为一切关于原点对称的一维概率密度的族。 k f y u 于1 9 8 9 年利用矩方法对污染系数进行了估计。湛敏( 1 9 9 0 ) 1 2 j 讨论了在 截断情况下污染系数的估计问题。而对污染数据的回归分析并不多。 而污染数据又是医学和生物统计中常见的数据，m c k e n d r i c k ( 1 9 2 6 ) 例中给 出了一个污染数据的实际例子：2 0 世纪初，某印第安居住地的居民受到霍乱的 感染。在该居住的抽查了2 2 3 户居民，发现其中有1 6 8 户居民尚未受到感染， 而其他居民家庭都或多或少地受到感染。他们用p o i s s o n 分布来拟合这些数据， 结果表明拟合效果不理想。通过进一步研究m c k e n d r i c k 发现：2 2 3 户居民中有 部分家庭可能并未饮用带有霍乱病菌的井水，也就是说他们并没有暴露于感染 霍乱的风险中，而那些暴露于感染霍乱的风险中的家庭，其感染情况也许确实 符合p o i s s o n 分布。从抽样来看，可把总体分成两个子总体：暴露于感染霍乱的 风险中的家庭和没有暴露于感染霍乱的风险中的家庭。每个抽到的个体都有可 能来自这两个不同的子总体，假定来自前者的概率为1 一v ，来自后者的概率为 l ，。对于前者，家庭中感染霍乱的人口数符合p o i s s o n 分布，记其分布函数为 e ( x ) ；而后者，其感染霍乱的人口数恒为零，其分布为单点分布，记其分布函 数为e ( 功。这样，家庭中感染霍乱的人口数x 服从的分布为： ，( x ) = ( 1 - p ) e ( 耳) + 幔 ) ， 其概率函数为： 第1 章综述 户融= 砖= i ( 1 ( 1 一- y v ) ) 鲁e - 。肛+ v , k 。加= 0 其中v , a 是待估参数。m o n g ( 1 9 9 7 ) 用e m 算法给出了i ，五的极大似然估计， 痧= 0 4 0 0 ，五= 0 9 7 2 。表1 1 给出的拟合结果表明，其效果是十分理想的。 表1 1 家庭中受到感染的人 口数 o l2345总数 家庭数 1 6 83 21 661o 2 2 3 p o i s s o n 分布下的拟合 值 1 5 1 6 45 8 4 8i i 2 81 4 50 o oo 0 12 2 3 混合分布下的拟合值 1 6 8 0 1 3 2 5 21 5 8 15 1 21 2 5o 2 92 2 3 因此，对污染数据的统计模型进行分析和研究不仅有理论意义，也有实用价值。 本文主要研究一类纵向污染数据的半参数回归模型，我们在适当条件下给 出了这类纵向污染数据半参数回归模型的参数、污染系数和回归函数的估计， 并在一定条件下证明了它们具有强相合性。本文的创新之处在于：将固定设计 下的污染数据半参数回归模型推广到了纵向数据的情形，并且对不同的个体重 复试验次数可不相同。因此，本文所讨论的模型更具有普遍性，本文所建立的 估计方法更具实际应用价值。 1 。2 污染数据线性回归模型的研究 郑祖康等( 1 9 9 6 ) 【4 1 提出了如下两类污染数据模型。 第1 类，简单线性回归模型： y | = a + 融t + s t ，i = 1 , 2 ，抖， 其中诸毛相互独立，服从( o ，砰) 。饥 受到另一串与之独立的随机变量 r l 的 干扰，诸f ，相互独立，服从( o ，霹) 。砰，霹均已知，仅能观察到 矿= ( 1 一y h + 嵋，o l ， l 。 ( 1 2 ) 第1 i 类，简单线性回归模型： 2 第1 章综述 * = a + 觑+ e ，i = 1 , 2 ，一， 其中诸q 相互独立，服从( o ，砰) 。以 受到另一串与之独立的随机变量玩 的 干扰，诸相互独立，服从( o ，暖) 。仅能观察到钟 ，z 的分布函数为： 乃o ) = ( 1 一y 圯p ) + 吃( y ) ，o y 1 一v y ，o y 1 ，上式中取负号，即 ( 1 1 1 ) 而一一# 一1 拈币。南 n j 2 肛鬻著专 二 = 专产f l l 。杏a ( 1 1 3 ) i 而| - 刀# 陈明华( 1 9 9 8 ) 【s 】在郑祖康等( 1 9 9 6 ) 【4 1 文章的基础上，在第1 类污染数据 回归模型中不要求误差分布和污染源分布为正态分布，但仍然假定误差方差砰 和污染源方差砖为已知的条件下，证明了郑祖康等( 1 9 9 6 ) 【4 1 给出的污染数据 ( i ) p ，i = l 幺，疗 i i de 吼= 0 , e 8 7 = 砰( 已知) ，r o 仃； 0 0 ； ( i i ) 垂，f = 1 ，2 ，h i i d ，e t l = o ，骈；吒2 ( 已知) ，且o 仃； ； ( i i i ) 争圭1v ，哪 o 已知。以 受到另一 串与之独立的随机变量序列以 的污染，肼相互独立，删a n ( o ，司) ，霹已知。 仅能观察到一= ( 1 一l ，h + ，l f 月。其中o y 0 再约定；除标出 的外，其余极限过程都是指胛一0 0 ，t r a 表示矩阵0 的迹。 定理1 2 在如上假定下，若以寸o ，瓦= o ( ”) ，则 2 0 一y 她( 1 一v2 0 ；+ v 2 爵镰一) - 与( o ，) ， 7 第1 章综述 2 0 一吃啦万( 1 一吃) 2 砰+ 彰司r 瞳一卜与n ( o ，) 其中l 表示p 阶单位矩阵，l 表示依分布收敛。 定理1 3 在如上假定下，若l i m s ；1 = 0 ，则 a ，j j ；b ， 定理，4 在如上假定下，若以= 。( 志 ，则 p 。jb ， 钱伟民等( 2 0 0 5 ) 川在郑祖康等( 1 9 9 6 ) 刚和陈明华( 1 9 9 8 ) 【5 1 的基础上， 考虑了第1 类纵向污染数据回归模型，在不要求砰，霹均已知的情形下，而在 正= 石2 q 2 ( 毛为已知的正常数) 的假定下，给出了该类纵向污染数据线性模型 的估计方法，并研究了估计量的渐近性质。具体方法如下： 考虑下列纵向污染数据回归模型： 肋= x l o + 勺，f _ 1 , 2 ，玎，= 1 ，2 ，m f ( 1 2 3 ) 其中至少有一个2 ，j i i d ，码= o ，o e = 盯? ，o 斫 。o s 为p 维参数 向量，t 是固定设计点列。侈f j 受到另一串与之独立的随机变量 f j 的干扰。缸。 相互独立，且e t s = 0 , 0 e t ? = 暖 o o 由于受到纯 的干扰，可以观察的数据是 露- - 0 - v k + 嵋，o 1 ，) = o ( ( 1 0 9 n ) - 2 0 。g l 。g n ) - 4 i t = 1 ，2 ，p 。且存在常数q 1 ， 使得 q 万，对某个歹 2 ，捌q l r ，砷l r o o ，啦m ，i = i ，2 ，行。这里册是一 个给定的正整数，那么，由( 1 3 4 ) ( 1 3 6 ) 定义的估计量矿，砰，夕分别是n 砰， 的强相合估计。 1 3 污染数据半参数回归模型的研究 陈明华( 1 9 9 8 ) 嘲还将郑祖康等( 1 9 9 6 ) 脚中第1 类污染数据回归模型推广 l o 商 一 = 矿 第1 章综述 到半参数回归模型的情形，并建立了模型参数和回归函数的强相合估计。具体 方法如下： 考虑半参数回归模型： 咒= t + g “) + e ，f = 1 , 2 ，疗， ( 1 3 7 ) 其中五r ，胄，i = 1 , 2 ，栉是已知的设计点列，是一维未知参数，g ( r ) 是定 义在闭区间i 上的未知回归函数，k ) 满足矗，j - - 1 ，2 ，n i i d ，如= o ，e 砰= 砰 现) 受到另一串与之独立的随机变量序列以 的干扰，设乩，i = 1 ，2 , - - 7 疗 i i d e “= o ，e 衍= 口；( 已知) ，r o 仃； 我们仅能观察到 一= ( 1 一y h + 邛，1 s f 三0 s i ， 1 。 仃：1 一v 。 记日= ( 1 一v 妒，仅能得到污染数据( 1 3 8 ) 的污染系数y ，未知参数和未 知回归函数g ( ) 的估计分别为： 矿：查二监耍匿亟， ( l 3 9 ) o ：+ d ； 夕= 誊击= 学击， 4 。， 幺= i 1 万( f ) 一摩：。 = 击防咖0 弼，) ， n 4 - ， 第1 章综述 疋= 刍喜防一岛f ， 营二o ) = ( f ) ) ，? ，喜：。p ) = ( ，) ，z = y ：一宫：( f ) ，置= x i 一营：。( f ) ，霹= 寄， 守o ) ，1 i 疗 为一般的权函数。 陈明华( 1 9 9 8 ) 嘲在一定的条件下，i 正日y j y 上述估计是强相合的。 刘丽萍( 2 0 0 4 ) 嘲在t 为固定设计、为随机设计且假定砰，呸2 已知的情况 下，建立了一类污染数据半参数回归模型的参数、回归函数和污染系数的估计， 并在适当条件下证明了它们具有强相合性。以下介绍 9 中提出的估计方法和主 要结果。 考虑污染数据半参数回归模型 m ；f + g ( ) + 岛，i = 1 ，2 ，k ( 1 4 2 ) 其中为p 维待估向量，g ( ) r 未知，q ，e , i i de e l - - - 0 ，e e ；= o - , 2 ，轨) 与 他 相互独立，且 ，厶i i d& ) 为固定设计的p 维设计点列。 现受到另一串随机交量以 的干扰，可以观察到的随机变量为订，f 满足 订= 0 一l ，h + ，i = 1 , 2 ，竹， ( 1 4 3 ) 其中u ，i i d ，如= o ，研一- - u 2 2 ，i ，称为污染系数或污染比例，o v 1 。 现要基于留，一，i = 1 ，2 ，n ) 来估计，y 和函数g ( ) 。假设砰，司已知，在 此情形下构造，y 和函数g ( ) 的估计量。由( 1 4 2 ) 和( 1 4 3 ) 可得 一= ( 1 一，如f + ( 1 一y ) g ( ) + ( 1 一 ，k + ，i = 1 ，2 ，殇( 1 4 4 ) 记分= ( 1 一v ) a ，季“) = ( 1 一 ，k q ) ，z = ( 1 一y k + m ，i = l ，2 ，则有 一= # 万+ 季( ) + 茸，i = 1 ，2 ，万， ( 1 4 5 ) 这里鹾= o ，鹾2 = ( 1 一l ，) 2 砰+ ，2 呸2 。模型( 1 4 5 ) 为半参数回归模型。 第1 章综述 利用柴根象等( 1 9 9 5 ) 1 棚提出的二阶段估计方法可以建立万的二阶段估计 和g ( ) 的估计，其方法如下： 令口= 犀瓴) ，q = 季弛) 一口+ 茸，i - - 1 ，2 ，一，则模型( 1 4 5 ) 变换成为 试= 饯+ t 西+ s ：。i = 1 2 n ( 1 4 6 ) 这里毛，毛i i dg e e , = o ，o 口2 = 研= v a r 医“) 】+ ( 1 一l ，y 砰+ l ，2 吒2 o o 。引 入记号 以= “，毛y ，巧= 研，z y ，毛= “，毛，l 。= 掣) ，鼠= z 以， 以= 以爵1 e = ( 印) 。，以= l ：( 厶- w ) l ，= n - l p 。l 。， 其中l 为n 阶单位阵。 由最小二乘法得到口与方的最小二乘估计为： 幺= 簖1 【1 ：( l 一以) 巧】， ( 1 4 7 ) 露= 断1 弼l ：一簖e l 。幺。 ( 1 4 8 ) 相应地，用露代替( 1 4 5 ) 中的万，形式上有 或皇) 一0 露= 季( ) + 写，l s i g n 。 ( 1 4 9 ) 令瓴) = ，( t o ；f l ，厶) ，1 i 行为一列权函数，定义季瓴) 的估计为 龟( ，o ) ：窆；( f o ) 研一# 露) ，f o r - ， ( 1 5 0 ) l l l 再将茧代入( 1 4 5 ) 中，求解极值问题 研一# 万一童( ，) 】2 = m i n j 鲥 得到万的最终估计 ( 1 5 1 ) 第1 章综述 万= 科弼( 巧一芭叮) ) ， 其中或( d = ( 磊瓴) ，或( 0 ) ) t 。 ( 1 5 2 ) 钱伟民等( 1 9 9 9 ) 在 2 4 3 中建立了口= 瞒2 的估计。即基于二阶段估计，取 残差孝：，一方一赢( r f ) ，由此可以建立误差方差口：髓：的估计量 务= i 1 备n 岛2 = i 1 善n 啊一彩一量( f f ) ) 2 。 ( 1 5 3 ) 我们要求由于污染而引起的方差要小于系统部分引起的方差，即 争而v ，o _ v p ， l ( b 2 ) s 。u ，p1 p 刀1 1 。 c l 气。i 。) r ( “) c j 气。1 。) ，“r 1 设山为随机变量f 的密度函数几) 的支撑集。 p p 第1 章综述 代替条件( b 2 ) ，其中巍= 谬) i l ，且 ( i ) 0 i i i f f ( t o ) s u p f ( t o ) o o ，山为随机变量f 的支撑集， t 0 6 , o b “ ( i i ) g 在一上有界， 则当断1 啼。时，由( 1 5 2 ) 定义的万的估计量万是万的强相合估计，即 皂 户一轧s 。 ( 1 6 1 ) 定理1 9 在定理1 7 的条件下，且 ( i ) o 孵f ( t o ) - s u p f ( t o ) o o ，j o 为随机变量t 的支撑集， “o 槲 ( i i )g 在r 1 上有界， ( i i i ) 存在正定阵，使得 以酹1 专，当行_ c o 时， 则由( 1 5 2 ) 定义的万的估计量万是万的强相合估计，即 品 一乱s 。 ( 1 6 2 ) 定理1 1 0 ( i ) 在定理1 8 的条件下，由( 1 5 8 ) 定义的卢的估计量夕是的强相合 估计，即 夕哼8 5 。 ( 1 6 3 ) ( i i ) 在定理1 9 的条件下，由( 1 5 8 ) 定义的的估计量p 是卢的强相合 估计，即 p 寸卢乱s 。 ( 1 6 4 ) 定理1 ”在定理1 7 的条件下，由( 1 5 9 ) 定义的g ( f ) 的估计量营( f ) 是g ( f ) 的一致强相合估计，即 童( ，) g ( f ) 乱s 。 ( 1 6 5 ) 第1 章综述 1 4 纵向污染数据半参数回归模型的研究 钱伟民( 2 0 0 3 ) 嘲在陈明华( 1 9 9 8 ) 【5 1 的基础上，考虑了纵向污染数据半 参数回归模型，在不要求砰，一均已知的情形下，得到了纵向污染数据半参数 回归模型的参数和回归函数的估计，并得到了估计量的强相合性。 考虑半参数回归模型 助= 工? + g b ) + 白，i = 1 ，2 ，栉，= 1 ，2 ， ( 1 6 6 ) 其中g ( ) 是未知回归函数，是p 维待估向量，五为固定设计点列，乜，i = l ，2 ， n , j = l “2 ”， i i d ，嘞= o ，嘲= 砰，o 彳 0 0 ，以，i = 1 2 一，n , j = l ，2 ，加i d ， 且 与乜 相互独立。 受到一串与之独立的随机变量序列h 的干扰，我们能观察的数据为 e = 0 - v 溉+ i w i ，i = 1 2 ，甩，j = l ，2 ，l ( 1 6 7 ) 其中以，i = l ，2 “，n i id ，e w , = o ，聊一- - 。：2 ，0 0 - 2 2 0 0 ，且h ) 、j 和乜j 相互 独立。 称上述模型为一类纵向污染数据的半参数回归模型。受h u b e r ( 1 9 6 4 ) f l 】 中例子的启发，假设呸2 = 石2 q 2 ，其中毛是一个已知的正数。在上述假设下，用 柴根象等( 1 9 9 5 ) o4 】中提出的二阶段估计建立了模型参数肛l ，砰，z 和回归函 数g ) 的估计。并在一定条件下证明了上述估计量的强相合性。 本文考虑纵向数据的半参数回归模型 均= + g 也) + 勺，i = 1 ，2 ，肼，j = l ，2 ，珥， ( 1 6 8 ) 其中k ，t 5 ，) r r x 震是固定的设计点列，是p 维未知参数，g ( ) 是定义在闭区 间i 上的未知回归函数，i = 1 ，2 ，m ，j = l ，2 ，珥 相互独立同分布， = o ，o 嘲= 彳 o o ，砰未知。本文中我们假定朋可以充分大，而伽， 为有 界正数序列，即存在正整数肘，使得刀sm ，i = l ，2 ，m 。 1 7 第1 章综述 现受到一串与之独立的随机变量序列 w f 的干扰，我们能观察的数据为 正= o - v k + 嵋，i = 1 ，2 ，m ，j = l ，2 ，啊， ( 1 6 9 ) 其中h ，i = l ，2 ，m i i d 眺= 0 , 0 e w f e 一- - 。2 2 ，z 未知，p 未知，0 o ，i f f i l j 。1 ( f 强旷棚。 m t ，峰喜眠卜) 其圳表示欧式范数。 c 如，舭卜致贿。黝矾删= 妒1 ( 1 0 9 州 i 口，l 纠矾i、一j 上述假定是非常一般的，在一般的半参数回归模型研究中均有这些条件， 如见陈明华1 9 9 8 蚴和陈明华1 9 9 8 。 本文在上述假定下，研究了上述估计量夕，萨和誊( ) 的渐近性质。建立了参 数声，移的强相合性和回归函数季( ) 的强相合性。主要结果如下： 定理1 1 2 在a i a 3 的条件下，当月_ 0 0 时 p 一8 _ 0 定理1 1 3 在条件a 1 a 3 下，对v t i ，有 言o ) j 生一鼬l ( n - ，o o ) ( 1 8 6 ) ( 1 8 7 ) 定理1 1 4 若条件a l a 3 满足，且存在p 2 ，使得e h 。1 9 2 ，使得e h r ，一满足 琏2 , i = 1 , 2 ，m ，贝0 见一( 1 一y r 砰 ( 1 8 9 ) 定理1 1 6 在定理1 1 5 的条件下，且假定霹= 2 q 2 ，矗为已知正数，则 ( i ) 由( 1 8 2 ) 定义的估计量痧是l ，的强相合估计，即 庐 y乱s 。( 1 9 0 ) ( i i ) 由( 1 8 3 ) 定义的估计量拜是砰的强相合估计，即 第1 章综述 茸呻吠 ( 1 9 1 ) 定理1 1 7 在定理1 1 6 的条件下，由( 1 8 4 ) 定义的估计量夕是的强相 合估计，即 p 9 ( 1 9 2 ) 定理1 1 8 在定理1 1 6 的条件下，由( 1 8 5 ) 定义的估计量雪( ) 是g ( ) 的强 相合估计，即 雪t ) 专g e ) ( 1 9 3 ) 第2 章纵向污染数据半参数回归模型中的强相合估计 第2 章纵向污染数据半参数回归模型中的强相合估计 2 1 纵向污染数据半参数回归模型的估计 本文考虑纵向数据的半参数回归模型 乃= + g 也j + 勺，f = 1 , 2 ，m ，= 1 , 2 ，珥， ( 2 1 ) 其中k ，勺) r r 是固定的设计点列，是p 维未知参数，g ) 是定义在闭区 间i 上的未知回归函数，i - - 1 ，2 ，m ，_ ，- - 1 ，2 ，吩 相互独立同分布， = 0 , 0 e 司= 砰 c o ，砰未知。本文中我们假定埘可以充分大，而h 为有界 正数序列，即存在正整数m ，使得巩s m ，f = 1 , 2 ，m 。 现受到一串与之独立的随机变量序列h 的干扰，我们能观察的数据为 蛎= ( 1 一，耽+ 1 4 屹，f = 1 ，2 ，m ，- ，= 1 , 2 ，吩， ( 2 2 ) 其中，f = 1 , 2 ，m i i d ，z w , = 0 , 0 聊= 霹 ，呸2 未知，y 未知，o o ，为正定阵 a 2 ：g o 吃( ) 为闭区间i 上的连续函数。 a 3 ：( i ) 对f 卜一致地有匿兰( ，) 一1 l - 。 匿壹o i ：d ( 1 j l 。i t - 1li i - ij _ 1 ( i i ) v 万 o ，萋善( f 蝴铲， ，) = 。( 1 l ( i i i ) 羔妻o k 9 ：。 其中1 1 1 | 表示欧式范数。 t = lj - il i 厂 i 、 ( i v ) 对f ，一致地有。躐。，o ) = 0 l 万- - o o g 栉) - 1 l 鲥1 ，如i 7 ij 在给出本文定理之前，先给出几个引理。 引理2 1 咖若条件a 2 和a 3 ( i i ) 成立，则当r l 充分大时，有 。器。阢】- - 0 0 其中7 也) ：，也) 一艺艺阡。以) 厂“) ，( ) 可取为g ( ) 或魄o ，s = 1 , 2 ，p i - l i - i 证明 由于 星! 里銎塑翌鲞翌墅兰至翌型堕堡型! 塑堡塑笪! 妻笪 m a 。纠x 钿刚= 。m 叫a 础x 也) 一善喜也盹1 。m 州a ；x 崩陲善也x ，“) 一，( f 峨”训，一 + 。m 州a 句x 辄陲i n 善n i t 也抄也) 一，也峨铲小，) 1 引理2 2 若条件a 1 ，a 2 和a 3 ( i i ) ( i i i ) 成立，则 l i r a 以- 1 s = l - 证明 由条件a l 知阼一1 季的第0 ，v ) 元为 一芝窆= 力一t 艺窆瓴以) + 阮也) + 再，) = 一芝主氟+ 稚瓦也) + 稚讹) + 瓦以硫也) ) ；刀一- 艺窆if 一芝壹屯- 。y 一杰主以k = 刀4 艺i i 一艺屯- 。1 一艺k ki 目j = l l h l i = 1 八 k - 1 l s l + f 一兰羔也k 忙以) + f 一艺窆也k k 屯) + 瓦也硫也) j 、 k - ii = 1 ，、 柚i = 1 ，l ：一宝妻- i - n - 1 芝窆茏也) + n - l 窆窆瓦心)= 一艺茏也) + 艺瓦也) 一一羔窆f 窆窆以k1 一一芝艺f 艺窆也k1一一i k kl 一一艺i 艺也ki 一珂一- 妻窆瓦也f 芝妻也k 1 _ n - i 艺窆瓦如1 ，芝羔“k 1 + 一兰窆f 芝壹也k y 芝羔也- 抽 + 一芝窆瓦也箴也) 圭i , 1 - 1 艺+ 鼠 由条件a 1 知 第2 章纵向污染数据半参数回归模型中的强相合估计 玎一t i n 1 1 1 怿f 栉一兰艺稚1 2 ：d 玎。 h 栉。1 艺稚| - d 0 ) i w l1 - 1 “j - i 结合条件a 3 ( i i i ) 和引理2 1 ，易证得 色= o 故 l i m n - i 季= l i m 一m 艺n ：l ” ”百= 证明要用到b e r n s t e i n 的一个重要不等式： 引理2 3 设h ，鸬，以是独立随机变量，且存在绝对常数m 0 ，使得 k f 肼，对1 ，s 疗均成立。若= o ，那么对任给的占 o 及栉1 均有 礁辟件z e x p ( 一占2 嬉哳埘占 证明参见h o e f f d i n g 2 7 1 。 引理2 4 设( f = 1 ，2 , - - - , ，l ，j = l ，2 ，m ) 是正数，并设吼，是满足 上+ + 1 - l 1 1 愀，贝 q 喜( 喜簖广( 喜- 1 稚广 “l l j i 稚1 - l f - 1 证明见d s 密特利诺维奇( 1 9 8 7 ) 脚】。 f 面给出本文的主要结果。 定理2 1 在a i a 3 的条件下，当厅专时 品 9 9 啼0 i l s n 证明 万一万= 掌。1 艺毛兑一万 t - ij t i ：童一芝兰焉留万+ 季也) + 勺一季也) ) 一万 ：童一y 1 产z ，i 彩万+ 茸( r ，1 + 厶一茸仁，) ) 一万 一厶一，、 u 、，v 、， 拉ij - l ：j 一- 芝壹葛临也) 一季也) ) + 勺) i - 1j - l 记季一= 瓯) ，。，则万一万的第个分量为 第2 章纵向污染数据半参数回归模型中的强相合估计 庭一氲：圭k 艺窒氟皓如) 一季也) ) + 勺) 皇圭“，+ 厶，) ( 2 2 1 ) i 1 1 。m a x 硼鼢季t 犀喜鲥+ k i 陲姜旧m 叫 兰i j + 2 ， ( 2 2 2 ) 由( 2 4 ) 和( 2 6 ) 易知，犀也) ：芝兰既也语“) ，利用g ( ) 在闭区间i k = l f = l 上连续，因而一致连续且有界的性质，由a 3 ( i i ) 及( i ) 可得 。一m b a x 胁每也) 一蟛也】。；一m , l s j ；一兰k - i 兰i - 1 也埝也) 一季如瑰矿训，一 + 。；，；m 。，a 。；x ，；。1 茎善，。t ，) ( 季( f 。) 一季( 。啦。一，。；。) i o( 2 2 3 ) 由引理2 2 知 仇