（计算数学专业论文）信息数据的数学处理方法.pdf

2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 摘要 本文主要介绍了小波变换在处理冶金和金融两个不同领域的信息数据中的应 用，充分体现了小波作为一种新兴数学方法在处理信息数据方面的有效性和应用的 广泛性。 高阶亚正规溶液模型( s e l f s r e m ) 参数拟合问题是受国家自然基金赞助项目。 在热力学研究中，w a g n e r 的相互作用参数是迄今最流行的多元系活度计算方法但 只适用于稀金属熔液，对非稀熔液不能适用。而含未知参数的s e l f s r e m 模型则对 多元高合金熔液的活度计算方法普遍适用。然而，由于实验条件限制( 如仪器精度， 视觉误差等) 使得实测信息数据中不可避免地含有误差。因此，如何更好地拟台该 模型参数至今是这一领域的一个难题。从数学角度看，该问题可归结为一病态超定 方程组的求解。本文采用了利用离散小波变换及多分辨分析对实验数据进行去噪预 处理，雨用隐式迭代法进行求解的新思路，得到良好效果。计算实例表明使用去噪 后的数据拟合二元系模型时可减少迭代次数，提高计算精度；在拟台三元系模型时 可改善方程病态情况使计算结果符合实际问题的物理意义，若使用未经去噪的实验 数据直接进行拟合，则所得结果完全不符合物理意义。 然后介绍小波分析在股市数据分析中的应用。股市数据属于非平稳时间序列， 通常采用l i p s c h i t z 常数来表明它的奇异性。8 0 年代，m e n d e l b r o t 论证股票价格变化 是分形的。于是，近年来人们提出把股市时序数据看作一维时间分形信号，运用小 波来进行分析研究的新思路。文献 7 和 8 】提出采用离散小波和多分辨分析建立时序 模型并且对模型进行回归分析，但是所用的离散小波函数有缺点即无法兼顾光滑 性与收敛性双重要求。他们为了达到一定精度，选用光滑而无紧支撑的离散小波函 数来拟合，收敛速度慢，给计算实现带来困难。本文则采用高速取样定理来建立时 序模型，从而克服了用离散小波建模的缺点。文献 9 则把股票日收益率看作一维时 间信号，以高斯函数作为磨光核，使用连续小波变换消除偶然因素造成的股价突发 涨跌，从而可以从宏观上分析预测走势。从信号处理的角度来看，这种方法是典型 的去噪处理，效果的优劣取决于处理后信号的失真度。因为高斯函数无紧支撑，故 去噪后影响较大。本文使用了在第一章中构造的具有较好光滑性又在频域上具有紧 支撑的小波母函数作为滤波器，对时间信号进行滤波，效果更好，分形相似性更明 显，清晰体现了股市数据内在具有一定的周期变化规律。有利于作数据分析和预测。 关键字：离散小波变换，连续小波变换，多分辨分析，高速取样定理，隐式迭 代方法 2 0 0 3 年h 海大学硕士学位论文i i a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e t si np r o c e s s i n gt h ei n f o r m a t i o n d a t ao ft w od i f f e r e n tf i e l d s - m e t a l l u r g ya n df i n a n c e ，w h i c hs h o w st h a tw a v e l e t s ，a sa n e wa n dd e v e l o p i n gm a t h e m a t i c a lm e t h o d s ，i sv a l u a b l ei np r o c e s s i n gt h ei n f o r m a t i o n d a t a i nt h ef i r s tp l a c et h ep r o j e c to fs o l v i n gt h ec o e f f i c i e n t so ft h es e l f s r e mm o d e l s p o n s o r e db yt h en a t i o n a lf u n di si n t r o d u c e d i n 也ef i e l do ft h e r m o d y n a m i c ss e l f s r e mc a nb eu s e dw i d e l yf o rt h em o s tl i q u i da l l o y , w h i c hi sb e t t e rt h a nt h ep o p u l a r w a g n e rm e t h o d b u tt h em o d e lc o n t a i n sm a n yu n k n o w nc o e f f i c i e n t s m o r e o v e r , f o rt h e l i m i to fe x p e r i m e n t a lc o n d i t i o n ss u c ha st h ee n o ro fe q u i p m e n t s 、t h ee l t o ro fe y e s ，t h e e x p e r i m e n t a li n f o r m a t i o nd a t ac o n t a i ne r r o r si n e v i t a b l y s ot h ep r o j e c to fs o l v i n gt h e m o d e lc o e f f i c i e n tc a nb et r a n s f o r m e di n t oa p r o b l e mo fs o l v i n gt h el i n e a ri l l - p o s e d e q u a t i o n s h o wt o s o l v et h ei l l - p o s e de q u a t i o n sm o r ea c c u r a t e l yi ss t i l lad i f f i c u l t p r o b l e mi nt h i sf i e l d i nt h i st h e s i sd i s c r e t ew a v e l e t sa n dm r a a y ea d o p t e dt op r o c e s st h e e x p e r i m e n t a ld a t af i r s t l yi no r d e rt or e d u c et h en o i s eo fd a t a t h e nt h ei m p l i c i ti t e r a t i v e m e t h o di sa p p l i e dt os o l v et h ei l l p o s e de q u a t i o n s b ym e i t l l so ft h en e ww a yw eg e tt h e s a r i s f y i n gr e s u l t s t h ec o m p u t a t i o n a le x a m p l e ss h o wt h a tt h i sn e ww a yc a nr e d u c et h e c o m p u t a t i o n a lt i m e ，i m p r o v et h ea c c u r a c ya n dm a k et h er e s u l t ss a t i s f yt h ep h y s i e a l m e a n i n g ， t h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e t si na n a l y z i n gs t o c km a r k e td a t ai si n t r o d u c e di nt h e s e c o n dp l a c e s t o c kp r i c e sa r ec a l l e dn o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e s w ec a n u s eal i p s c h i t z e x p o n e n tt os h o wi t ss i n g u l a r i t y i n1 9 8 0 sm e n d a l b r o tp r o v e dt h a tt h ec h a n g eo fs t o c k p r i c ei sf r a c t a l s or e c e n t l yt h er e s e a r c h e r st a k es t o c kp r i c ea so n ed i m e n s i o nt i m es i g n a l a n da p p l yw a v e l e t si na n a l y z i n gt h es t o c kd a t a 7 】a n d 【8 】i n t r o d u c ean e ww a yt o a n a l y z et i m es e r i e s a tf i r s tt h e ye s t a b l i s ht i m es e r i e sm o d e lb yd i s c r e t ew a v e l e t t r a n s f o r ma n dm r a t h e nr e g r e s s i o ni su s e dt oa n a l y z et h ed a t ab u tt h ew a v e l e t s f u n c t i o nt h e ys e l e c t e di so fas h o r t c o m i n gt h a ti tc a n tc o n t a i nt w om e r i t so fs m o o t h q u a l i t ya n dc o n v e r g e n c e t h e ys e l e c t e dt h es m o o t ha n dn o n c o m p a c t l ys u p p o r t e d w a v e l e t sf u n c t i o nf o ra c c u r a c y , w h i c hm a d et h ec o n v e r g e n ts p e e ds l o w e ra n db r i n gm u c h d i f f i c u l t yt oc o m p u t e s ow ea d o p th i g h - s p e e ds a m p l i n gt h e o r e mt oo v e r c o m et h e s h o r t c o m i n g 9 】i n t r o d u c e sh o wt or e m o v et h eu p a n d d o w no fs t o c kd a t ac a u s e db y a c c i d e n t a lf a c t o r sb ym e a n so f c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r mf o rp r e d i c t i n gt h et r e n do f s t o c k 埘o e ，b u tt h ee f f e c ti sn e tv e r yg o o db e c a u s eg a u s sf u n c t i o na st h ep o l i s hc e l li s n t c o m p a c t l ys u p p o r t e d w et a k ean e wb a n d l i m i t e dm o t h e rw a v e l e tf u n c t i o nb u i l t i nt h e f i r s tc h a p t e ra st h ep o l i s hf u n c t i o nt of i l t e rt h es t o c km a r k e td a t at h ee f f e c tb e c o m e s b e t t e ra n dt h ef r a c t a lq u a l i t yb e c o m e sm o r eo b v i o u s ，w h i c hc l a r i f i e st h a ts t o c km a r k e t d a t aa r eo fi n n a t er e g u l a t i o n k e yw o r d s ：d i s c r e t ew a v e l e t s ，c o n t i n u o u s w a v e l e t s ，m u h i r e s o u t i o n a n a l y s i s ( m r a ) ，h i g h s p e e ds a m p l i n gt h e o r e m ，t h ei m p l i c i ti t e r a t i v em e t h o d 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 第一章小波变换及高速取样定理简介 1 1 小波变换的一些基本概念 小顿耍联作为8 0 年代后期才发展起米的新兴应用数学分支，应用领域十分厂泛。特 别是在处理信息数据方砸，它更是一个强有力的工具。本章主要介绍小波变换的一些基 本理论，以及在此基础上为课题研究需要所提出的新内容。 首先，引进小波母函数的定义及允许性条件。 定灿t 姒拈反趴满足肚譬如 1 ，b o 0 ，对小波母函数( f ) 作伸缩平移，形成函数族 孑。y ( 0 f 一月6 0 ) ，m ，h z 称为离散小波记为缈。( r ) ，珑，n z 。 定义1 _ 4 如果 矿。( f ) ，m ， z 为标准正交基，那么矿( r ) 称为正交小波母函数 y 。( ，) ，m ，h z ) 则称为正交小波基。 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 2 定。 般在实际计算中，我们常取= 2 ，b o = 1 ，称5 f ，。( f ) = 2 “2 y ( 2 “，- n ) 为二进 离散小波；称c ，h ) = 为，( f ) 三2 ( r ) 的离散小波变换。 对任意的平方可积函数( f ) ，都可以由厂( f ) = c o 。妒。( f ) 来无损反演。当矿o ) 为正交小波母函数时，c ，。即为c i ( 肌，n ) 。 定义1 5 设 ，z ) c l 2 ( r ) ，妒( f ) ，如果满足 ( 2 ) n 一= 妒 ，e z 。 u y i 在l 2 中稠密 ( 3 ) 厂( f ) f ( 2 t ) _ + 。 ( 4 ) 和0 一n ) ，h z 为f l , j r i e s z 基( 标准正交基) 称( 以，_ ，z 和妒( r ) 为一个多分辨分析m r a p ( f ) 称为m r a 的尺度函数。 令嘭为v j 在+ 。中的正交补子空间，满足“= _ o ，z 。若空间_ 由 妒甜( f ) = 2 7 ”妒( 27 t 一女) ，k z 生成，那么空间则由i e 交小波基 妒“( f ) = 2 7 坨v ( 2 ，一七) ，k z 生成。其中y ( f ) 为正交小波，可由尺度函数p ( f ) 和 二尺度方程妒( f ) = 只p ( 2 x 一七) ，g ( t ) = ( 一1 ) 只+ 。妒( 2 工+ 七) 推出。 只) 称为二 尺度序列。 因为+ 。= o ，j z ，则= 峨一zo 一zo o 崃一mo 一m ，所以 每个三2 ( 月) 中的函数厂都能够用个 ( n z ) 非常接近地逼近，厶可以分 解为 n = gq t 七gq 五七- 。斗gv m + q 一“，、j f i v l ，g3 w i 一l ，。纥。+ 只，屹。协名= 一m k = ，ot ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中口女和，t 为待定系数，m ，n 以及k 的个数的选取可由实际计算的精度要求而 由于信息数据处理需要现把以上内容推广到二维情况。 2 0 0 3 年l 海大学硕士学位论文 令厂( z 1 ，x 2 ) 表示一个二维函数，y ( x i ，x 2 ) 表示二维小波母函数，帆；6 ，也( x i ，x 2 ) 表 示y ( x 。，x ：) 的尺度伸缩与二维位移，则 a “，列5 击y ( 孚，学m 应的二帅溅换为 ( d ；6 ，6 ：) = 抄( 扎z ：) y ：b ( 扎z ：) a x ，d x ：。 同样我们取尺度a 为2 ，对l 2 函数空间作剖分，设v 2 为二维实空间，要求满足以f 条 件： ( i ) 吁c 吆； ( 2 ) 吆= 吁。町； ( 3 ) n 矿? = 徊) ，u 矿? 在l z 中稠密； ，e z，e z ( 4 ) f ( x 。，x ：) 吁jf ( 2 x 。，2 x 2 ) 吆 ( 5 ) i 殳f ( x 。，x ：) ? ，, l j f ( x 。一n i , z 2 一n 2 ) r ? ，n ，”2 z 。 再设二维空间哆可分离，它可以分解成两个一维空间的张量积： 哆= _ o ，尺度函数为妒( x ，x ：) = 妒( _ ) 妒( z ：) 。 在此条件下便可以把多分辨分析从一维摧广到二维，得 吆。( 一，z ：) = 吁。町= ( _ 固_ ) o ( o ) o ( 巧) o ( o ) 。 其中，_ o 巧的标准正交基为 妒卅( x ) 竹，t ：( z ：) ) ，o 的标准正交基为 妒 ；( z - ) 妒卅：( z z ) ) ，o 的标准正交基为 y 。( z 。) p 似：( j ：) ，o 的标 准正交基为 ( x 。) y ，女： ：) ) 。 1 3频谱有限小波母函数的构造 连续小波变换是滤波的有力工具。但是当滤波器无紧支撑时，例如高斯函数的一阶 倒数，会影响滤波的效果。为此，下面将构造一个新的小波母函数作滤波器不但有紧支 撑，而且具有多阶导数。 定义1 6 f 三2 ，如果，洄) = 0 ，当l 国i b 时，称厂( f ) 是一个b 一频谱有限函 数，其全体记为b b 。( f 是，的f o u r i e r 变换) 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 4 令步，( 功= i m 2 ，则( p = ( ，- 1 疵) ( 力 设l 为平移算子( f _ 1 是逆f o u r i e r 变换) ，则 f 一1 “驴( ) = 2 l 石。f 一。i t w 矿( 一 ) d c o = e i h t 妒；( f ) 再令驴( ) = f 矿。( d ) + t - h 驴，( ) h = 1 ，并做逆f o u r i e r 变换，便可得 ( f ) ：_ 了4c o s t ( s i n t - - c o s t ) ，是b 为2 的频谱有限函数。 瓜。t 定理1 2 矿( f ) ：1 4c o s t ( s i n _ _ l t - c o s ) 是连续可导函数。 证明：显然，当t 0 时y ( # ) 是初等函数，连续可导，所以只需证明y ( ) 在t = 0 时有定义即可。 首先对s i n ( t ) ，c o s ( t ) 作泰勒展开， s i n o ，= r 一；+ 鲁一一，c 。s o ，= 一丢+ 丢一一， 硼) = 掣 ( 壶一扣互1 一耖| 4 当f - 0 时，( f ) = - a 所以，函数( f ) 连续可导。 证毕 然后，我们对妒o ) 分别作一阶导数和二阶导数。 令j 】f ，( f ) 的一阶导数为 。) = d g 破( t ) = i 4 ( 丁s i n 2 t + 号竽一可3 s i n 2 t ) ， 同理可得f = 0 时，7 ( r ) = 0 。 令y ( f ) 的二阶导数为 妒砸，= 学= 昙c 竽一半一丁3 + 9 c o s 2 t + 竽， r 当t = 0 时，妒。o ) = 一 石。 显然，矿( r ) 满足二y ( f ) 出= 矿( o ) = o ，那么由定理1 1 可得，p ( f ) 、矿，( f ) 和 2 0 0 3 年上姆大学硕士学位论文 l c ，( f ) 都是小波母函数，而且频谱有限- 1 4高速取样定理 取样定理最早是由数学家s h a n n o n 建立的，这一定理在历史上特别在信息科学领域 作出过重大贡献。s h a n n o n 建立的定理如f ： 定理1 3 2 1s h a n n o n 取样定理设厂e l 2 且f i i b ，当h 疗6 时， 厂( f ) = f ( n h ) s ( t - n h ) ( 1 3 ) s i n ( n t 们 r 矿，o 其中s ( f ) = o 。记卢= 三一b 挥靠 则 o ) = f 月五) 五。一n h ) s ( t 一砌) ( 】5 ) 其中 如( y ) = 烈卢2 7 y 2 一卢2 鼍 i 多i i 二若 。( 1 6 ) 因为，f c 孑，所以推出如妒( 速降函数空间) 。即对于固定的l 当很大时， 口o n h ) 0 的速度很快。但是山的窗口宽度可能很大故级数部分和项数还是很 多，而且j 口不是初等函数，无疑增加了计算的复杂性。为此需要建立一个快速取样 定理，其基函数不仅收敛速度要快，而且应由初等函数构成，只有这样才能有效地处理 实际问题。 首先，要寻找满足以f 三个条件的函数( ) ，其中是任意一个正整数： 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 6 _ _ _ _ _ - _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ - - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 1 ) 中。) 是初等函数； ( 2 ) 巾。) 具有离散正交性； ( 3 ) 对任意的巾。伍) = o ( i x l 一”) ，x m 。 这样的函数中。似) 便是我们所要构造的取样定理的基函数。一般可以取n = 3 或4 因为在实际计算中3 或4 阶的收敛速度已经足够快了。 定理1 5 t 4 1 高速取样定理 设，上2 且厂eb b , 取 使得至h 一6 o 记卢= i l g 一6 ， 则f ( x ) = 薹m 州胁c 譬( 卜砌) 2 跏c 詈( x - n h ) 】 ( 1 7 ) e z 。” 其中s i n e ( t ) = ，- t 0 1 ，t = 0 证明：第一步，构造基函数。取【- 6 2 卢，一6 】上函数g g ) 满足 1 ) g ( 一b 一2 ) = g ( - 6 ) = 0 2 ) g ( - 6 ) = 1 ，g ( 一b - 2 f 1 ) = 0 3 ) g g ) 在 - 6 2 8 ，- b 上的图形关于点( 一b 一卢，1 ) 中心对称 然后取【- 6 2 8 ，一6 上的函数 “加 篡= 令 g g ) = 。f ，g 皿，x eb b 一，一b j 景5 卅 - b - 2 f l , - ，叫b - 冈 ( 1 8 ) 广l ! 塑i 兰占塑查兰堡主茎堡堕兰 ! _ _ _ _ _ 一一。 ，g ( 上) ，x 【一b 一2 , - b j 作函数v ( 工) = 1 ，) c 【- b ，b 】 。g ( - x ) ，工 6 ，b + 2 】 因为s u p p 夕互 - b ，b 】，现在以丁= 2 7 r h 为周期将夕作周期延拓a 五p ) = c m e “= q e 。( 这里n = 2 7 r t = h ) 巴= ；仁，k “d = 矿( _ 州 ) 夕0 ) = 五0 ) v 0 ) 记n = 一聊 于) = ，g ) 甲( k 哆“ g ) = 去二广o k “。如= 去莓厂似) 掣o k 州“曲 = 去莓份一) 吣埘) 下面求v ( x 1 函数的f o u r i e r 变换 ( 1 9 ) 巾 ) = _ ：。g ( 工) e f “出+ e 4 “出+ ：“9 9 ( - x ) e 。“出 = 聪壶g mz 卢k 。“出+ c 一方g + 。) 2 + 1 e - f “出+ p “出 + 肿一击g 一6 ) 2 渺“出+ e 4 万1 g - b - 2 f 1 ) 2 e - i “出 = a + b + c + d + e a = 击i _ - ：_ - ；a ( x + b + 2 f 1 ) 2 e “威 扣“g + b + 2 f 1 ) ! 瞄- b - p ，一2 盥g + 6 + 2 胁。侧 = 丽i 2 e - l o b * # ) + f 2 e 一“( x + + 2 叫：磊一盛“捌 2 0 0 3 年j ：海太学硕士学位论文 = 丽i 汐2 e _ i a ( b + p ) + ；2 , 8 螂们一砉扩似m 弓e i w ( b + 2 # ) 】 = l p 一“6 + 4 + c o ! a t i 2 0 9 一e “6 + 4 同理可求得 一万l 妙m + 万1 扩油“4珊3 卢2 。3 2 。 b - ( 去一南一毒+ 廿硼+ 毒六- i c o “8 。瞌一而一万+ 石尸“+ 万”一8 1 c = s i n ( c o b ) c o 。=h一古+高一净训w-(去一万i2i(o) e - f 肚一矿+ 万万一面厂”- i 石一万可厂” e = i1 万一丽i 一毒卜m 肿+ 嘉s m ( 6 + 2 却 q 。( c o ) = 寿跏( 6 甜胁) 一嘉 跏( 如) 瑚n ( b o o + 2 p c o ) 正 2 赢 鼢( b 0 9 + 胁) 一胁( b o o + p c o ) c o s ( c o ) = 嘉酬劂，一一，= 嘉成n 跏2 譬 将( 3 3 ) 式代入( 3 2 ) 式，即得 ，r ，、v ，r 。( s i n 2f l x ) s i n h x m 卜砂两 令巾，g，=蕾(sin 2 n , _ x ) s i n x _ x ，首先中，。，是一个初等函数，其次满足 q = 彩矽勺，最后验证它也满足离教正交牲。 定理1 6 函数o ；0 ) 满足离散止交性。 证明：即证，( m 一n ) = d 。 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 9 1 ) 当m = n 时，中，。) = ( s i n i 6 2 矿0 ) s i n o = 1 z ，当m ”时，令，”一一一n = 肋。则巾，。，= ! ! ! i 等= 。 同理我们还可以根据不同的计算霜要，对于任意自然数构造收敛阶为o ( h “) 的 基函数中。g ) ，从而可推导出不同的新的取样定理。 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 第二章小波变换在实验信息数据处理中的应用 无论在哪个科学领域，对实验信息数据的处理都是科学研究的基础。与其他问题的 研究一样，实验数据的研究首先要解决的是选择适当的数学处理方法。由于实验条件的 限制以及各种人为因素的影响，实验数据中不可避免地含有误差，所以对实验数据进行 去噪处理就显得尤为重要。而小波变换作为一种新兴数学工具，对数据的去噪处理非常 有效。本章将以钢铁冶金领域的多元高阶亚正规熔液模型的参数拟合问题为例，来充分 说明小波变换在处理信息数据方面的优势。 多元高阶亚正规熔体模型的参数拟合问题是一个典型的不适定的数学反问题，虽然 理论上，我们无法求得它的稳定解，但可以通过合适的数学方法对已知实验数据进行较 为精确的拟合计算。我们采用把小波变换与正则化方法相结合的新思路，对f e m n ，c m n 和f e c 三个二元系模型以及f e c m n 三元系模型进行了参数拟合。结果发现使用小 波变换预处理实验信息数据对提高计算精度，减少迭代次数效果明显，大大改善了单用 正则化方法解超定病态问题的计算复杂，误差大，解容易失真等缺点。 本章实验数据来自文献 5 。 2 1隐式迭代方法简介 由于本章的拟合问题最终可归结成为一个不适定的病态方程所以在最后求解时需 要采用正则化方法。下面将介绍本文在处理信息数据时采用的一种非常实用的正则化方 法隐式迭代方法 ”。 一般的线性不适定问题都可用一个算子方程 戤= y ( 2 1 ) 来表示。其中k 是一个从h i l b e r t 空间h l h 2 的线性算子。如果方程( 2 1 ) 没有常意 解，即k 病态，我们往往寻找其最小范数最小- 二乘解足+ y 来作它的广义解，其中尺+ 是 的m o o r e p e n r o s e 广义逆算子。由于方程的不适定性，广义解k + y 不依赖于右端y 。 对于这类问题，现在的理论基础和数值解法非常丰富。比较其他正则化方法，隐式 迭代法在实际计算中更为实用。它不但具有迭代方法便于数值计算的优点而且很好地 克服了显式迭代法的缺陷不需要预先估计解的光滑性质。 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 对于算子方程( 2 1 ) ，隐式迭代方法可用下面的格式去逼近其广义解 ( 世7 k + 口i ) x j + l = k7 b 十口- 工j ，0 口 0 使连续小波变换对于a 满足 i w y ( t ) s 世( 2 ) 4 ，或l o g ：哆厂( f ) f l o g ：k + c t ，其中w r y ( t ) 为信号厂( r ) 的 连续二进小波变换。 定义3 2 以少( f ) 作为小波母函数，令函数f ( t ) 的连续小波变换为 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 形( f ) = 2 - ：r ，o ) y 兰号与d u ，表示信号，( f ) 按尺度2 。由妒( f ) 磨光后的一阶导 数。 由定义3 1 可得不等式1 0 9 2 ( m a x l w ：( 0 1 ) l 0 9 2 k + a ，成立。我们只需求出不 同尺度值j 下的形，( r ) 的模极大值，代入上式，形成不等式组，然使用最小二乘法即 可求出a 和世。若a 为负，表明信号在奇异点比不连续更加奇异，从普通的走势图中 根本无法看出它的分形特征。因此，对日收益率时间信号作滤波处理消除它的奇异性， 是非常有意义的。 例3 ： 以例1 和例2 的数据为例，求出不同尺度值j 下的w ：f ( t ) 模极大值，见表3 - 1 。 j l2345 m a x w ：f ( t ) 1 0 0 2 4 50 0 1 6 3 0 0 1 1 4 0 0 0 5 1 o ，0 0 3 9 袭3 1 与之相对应的l i p s c h i t z 常数口= - 0 7 ，k = o 0 4 2 。 3 2 2 股市时序数据的滤波 文献 9 中采用高斯函数作为磨光核t 取其一阶导数妒( z ) = 一了舞e 。2 ”作为滤 波器对时序数据进行滤波t 即对f ( t ) 作连续二进小波变换。 例4 ： 以股票“6 0 0 2 3 8 海南椰岛”为例，取其自上市之日起4 5 0 天的日收益率数据为分 形信号f ( t ) 。图3 - 2 - l 为4 5 0 天的日收益率数据实图。取j 从1 到5 ，按5 个不同尺度， 以妒( f ) 为小波母函数，对f ( t ) 进行滤波。图3 - 2 - 2 至图3 2 6 反映了在不同尺度下滤波 所产生的不同效果。 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 2 3 图3 - 2 1 股票日收益率实图 图3 - 2 - 2 妒( f ) 为小波母函数，j = l 时日收益率分析图 图3 - 2 39 ( f ) 为小波母函数，j = 2 时日收益率分析图 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 图3 - 2 - 4 妒( f ) 为小波母函数，j ；3 时日收益率分析图 i vv 。u u j 图3 - 2 - 5p ( f ) 为小波母函数，j = 4 时日收益率分析图 a o2 。oi i i j i i 高前 一 图3 - 2 6 妒( f ) 为小波母函数，j = 5 时日收益率分析图 从以上各图看，虽然采用p ( f ) 为小波母函数对数据进行滤波也能消除噪音，在一 定程度上体现信号的分形特征；但是由于高斯函数没有紧支撑，所以无法控制被去除 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 的噪音部分的范围，从而会直接影响滤波的效果，造成失真度较大。 下面，我们将利用1 3 中构造的小波母函数矿( f ) 和妒”( f ) 作为滤波器对股票日收 益率信号厂( f ) 进行滤波。不仅如此，我们还可以函数与导数的关系对分形信号做进一 步的分析。 定义3 3 以y ”( f ) 作为小波母函数，令函数f ( t ) 的连续小波变换为 ( f ) = 2 一f 厂( “) 妒”( 兰手) 幽，表示信号，( f ) 按尺度2 。由妒( f ) 磨光后的二阶 导数。 现在，我们把小波函数( f ) 作为磨光核，首先以p ( f ) 作为滤波器，由定义3 2 对 信号厂( f ) 进行滤波。再以y ”( t ) 作为滤波器，由定义3 3 对信号f ( t ) 进行滤波。 例5 ： 以股票“6 0 0 2 3 8 海南椰岛”为例，取其自上市之日起4 5 0 天的日收益率数据为分 形信号f ( t ) n 取j 从l 到5 ，按5 个不同尺度分别用y o ) 和妒”( f ) 作滤波器，对，( f ) 进行滤波。当尺度变化时，紧支撑相应变化，由b 一频谱有限变为b ，一频谱有限( s 代 表尺度) 。而滤波的实质就是滤去超过最大频谱的高频噪音部分。 图3 2 7 至图3 2 1 6 反映了采用不同滤波器和不同尺度滤波所产生的不同效果。 槲 脚懈晰 删 图3 - 2 - 7y ( f ) 为滤波器，j = 1 时日收益率分析图 2 0 0 3 年上海大学预士学位论文 图3 - 2 8y ”( f ) 为滤波器，j = 1 时日收益率分析图 图3 - 2 - 9 ( r ) 为滤波器，j = 2 时日收益率分析图 图3 - 2 - 1 0y ”( f ) 为滤波器，j = 2 时日收益率分析图 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 图3 - 2 11y ( f ) 为滤波器，j = 3 时日收益率分析图 图3 - 2 1 2 妒( f ) 为滤波器，j = 3 时日收益率分析图 3 一 图3 - 2 1 3 矿( f ) 为滤波器，j - 4 时日收益率分析图 。、 v 八 川 代 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 2 8 图3 - 2 1 4 少4 ( f ) 为滤波器，j = 4 时日收益率分析图 图3 - 2 1 5 ( f ) 为滤波器，j = 5 时日收益率分析图 八 八八j v ! v u 1 0 02 0 0oa e , o蚰 图3 - 2 - 1 6v - ”( f ) 为滤波器，j = s 时日收益率分析图 现在我们把妒( f ) 滤波效果与y ( f ) 和。( f ) 滤波效果作比较。显然，用文献 9 】的方法 滤波后。图形的失真度大，而用我们构造的滤波器滤波后的图形效果好，分形相似性更 明显，清晰体现了股市数据内在具有一定的周期变化规律，有利于作数据的分析和预测， 2 0 0 3 年上海大学硬士学位论文 具有较高的参考价值。 此外，根据函数与导数的关系容易从以上各图看出，与w j ! f ( t ) 的极值点相对应的 是( f ) 的零点，即为f ( t ) 由w ( t ) 磨光去噪后的拐点，反映了目收益率信号突变部分 的位置。另外，还可以由w j f ( t ) 的正负来推断，( f ) 的上升或下降走势；由町( f ) 的正 负来推断，( f ) 上凸或下凸的形态从而来判断日收益率信号上涨或f 降的周期变化规律。 从以上各图不仅可以直观地看出备尺度下信号的奇异点还可看出在小尺度下滤波 后的厂( f ) 较多保留了原信号的尖锐变化成分：而在大尺度f 只保留了人尺度的突变，消 去了细小的突变( 高频部分) ，即消除了数据中偶然因素造成的涨跌。突出了主要因素和 宏观突变点。这是因为当尺度变大时，滤波器的紧支撑也相应变小，即它的最大频谱变 小，而滤波的实质就是滤去超过最大频谱的高频噪音部分。由图3 - 2 - 1 5 和图3 - 2 1 6 可清 晰地看出股票日收益率中包含分形信息，具有一定的自相似性和周期性。这些对宏观上 预测走势具有重要意义。 晟后需要说明的是，小波变换不单适用于对股市信息数据做分析研究，它对于分析研 究金融领域的其他非平稳时间序列数据同样有效。 2 0 0 3 年上海大学硕士学位论文 参考文献 f 】 错锦泰，小波分析导论，西安交通大学出版社，1 9 9 5 2 】j e 时aj ，t h es h a n n o ns a m p l i n gt h e o r e m ，p r o c 1 e e ，6 5 ( 1 9 7 7 ) ：1 5 6 5 1 5 9 6 【3 】n a t t e r e re ，e f f i c i e n te v a l u a t i o no fo v e r s a m p l e df u n c t i o n s ，j c o m p u t a p p l m a t h ， 1 4 ( 1 9 8 6 ) ：3 0 3 、r t 3 0 9 4 钱舒许梦杰，高速取样定理，计算数学和应用数学学报，v o j 16n o 1 ( 2 0 0 2 ) ： 6 7 7 i 5 张晓兵，四元系冶金熔体组元活度解析的高阶亚正规溶液模型及其在钢铁冶金过 程热力学预测中的应t 【f i | ， 博士论文】，上海大学，1 9 9 6 6 】h eg u o q i a n g ，l i ul i n g x i a n g ，ak i n do fi m p l i c i ti t e r a t i v em e t h o d sf o ri l l - p o s e do p e r a t o r e q u a t i o n s j c o m pm a t h ，1 7 ( 1 9 9 9 ) ：2 7 5 2 8 4 ( 7 】z u o h o n gp a na n dx i a o d iw a n g ，as t o c h a s t i cn o n l i n e a rr e g r e s s i o ne s t i m a t o r , c o m p u t a t i o n a le c o n o m i c s1 1 ( 1 9 9 8 ) ：8 9 1 0 2 8 r u s s e l ld a v i d s o n ，w a l t e rc l a b y sa n dj e a n - b a p t i s t e l e s o u r d ， w a v e l e ta n a l y s i so f c o m m o d i t yp r i c eb e h a v i o r , c o m p u t a t i o n a le c o n o m i c s11 ( 1 9 9 8 ) ： 1 0 3 1 2 8 9 1 向小东王青郭耀煌，子波变换及其在股市数据分析中的应用，西南交通大学学 报v 0 1 3 6n o1 ( 2 0 0 0 ：1 0 9 11 2 f e b 【1 0 钱舒许梦杰，小波变换在模型参数拟合中的应用，应飓数学与计算数学学报， 已录用 11 】钱舒，小波在股市数据分析中的应用( 己投稿) t 2 】 吉洪