《定积分的几何应用》PPT课件.ppt

5-1-1,第六章定积分的应用,1微元法2定积分的几何应用3定积分的物理应用(不讲),5-1-2,6.1定积分的微元法,5-1-3,究竟哪些量可用定积分来计算呢.,首先讨论这个问题.,结合曲边梯形面积的计算,?,一、问题的提出,可知,用定积分计算的量,应具有如下,及定积分的定义,许多部分区间,(即把a,b分成,两个特点:,(1)所求量I即与a,b有关;,(2)I在a,b上具有可加性.,则I相应地分成许多部分量,而I等于所有部分量之和),5-1-4,按定义建立积分式有四步曲:,“分割、,有了N-L公式后,对应用问题来说关键就在于如何写出,方法,简化步骤,被积表达式.,得到,这个复杂的极限运算问题得,到了解决.,是所求量I的微分,于是,称,为量I的,微元或元素.,取近似、,求和、,取极限”,5-1-5,这种简化了的建立积分式的方法称为,元素法或微元法.,简化步骤,(1)在a,b上取一小区间x,x+x,求出x,x+x,上所求量I的近似值,(也就是它的微分)f(x)dx,即,If(x)dx,5-1-6,x,x+x,这个小区间上所,对应的小曲边梯形面积,面积元素,得,曲边梯形面积的积分式也可以用元素法,建立如下.,地等于长为f(x)、宽为dx的,小矩形面积,故有,近似,在a,b上取一小区间,5-1-7,6.2定积分的几何应用,平面图形的面积,旋转体的体积,已知平行截面面积的体积,平面曲线的弧长,小结思考题作业,5-1-8,一、平面图形的面积,回忆,的几何意义:,曲边梯形的面积.,启示,一般曲线围成区域的面积也可以,用定积分来计算.,定积分,下面曲线均假定是连续曲线.,5-1-9,求这两条曲线及直线x=a,x=b所围成,区域的面积A.,它对应的面积元素dA为,(1),即f(x)g(x),1.直角坐标系中图形的面积,在a,b上任取一小区间x,x+dx,设在a,b上,曲线y=f(x)位于曲线y=g(x)的上方,小区间,5-1-10,y=c,y=d所围成区域的面积A.,(2),求由曲线x=f(y),x=g(y)(f(y)g(y)和直线,的面积元素dA为,它对应,小区间,5-1-11,例,解,画草图,求两曲线交点的坐标以便确定积分限,解方程组:,交点,法一,选为积分变量,?,5-1-12,法二,选y为积分变量,是否可以选y为积分变量,5-1-13,分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别,(3),一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以,算出每块的面积再相加即可.,(2),(1),(1),(2),5-1-14,例,解,两曲线交点为,由于图形关于y轴对称,故,5-1-15,解,曲线的参数方程为,由对称性,作变量代换,例,其中,总面积等于4倍第一象限部分面积,不易积分.,求椭圆所围图形的面积.,5-1-16,面积元素,曲边扇形的面积,2.极坐标下平面图形的面积,由极坐标方程,给出的平面曲线,所围成的面积A.,和射线,曲边扇形,5-1-17,解,由对称性知总面积,=4倍第一象限部分面积,例,求双纽线,所围平面图形的面积.,5-1-18,解,利用对称性知,例求心形线r=a(1+cos)所围,平面图形的面积(a0),5-1-19,求r=1和双纽线r2=2cos2所围平面图形公共部分的面积,练习,解,利用对称性知,5-1-20,二、体积,1.旋转体的体积,圆柱,圆锥,圆台,旋转体,这直线叫做旋转轴,由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转,一周而成的立体,5-1-21,(1)如果旋转体是由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b,及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋,转体的体积为,旋转体的体积,采用元素法,取积分变量为x,为底的,小曲边梯形绕x轴旋转而,成的薄片的,体积元素,5-1-22,解,根据旋转体的体积公式,有,例,取积分变量为x,5-1-23,（2）如果旋转体是由连续曲线,及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转,一周而成的旋转体的体积为,直线,体积元素,5-1-24,解,两曲线的交点为,绕y轴旋转,例,5-1-25,解,例,求摆线,的一拱与y=0,所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的旋转体的体积.,绕x轴旋转的旋转体体积,变量代换,试问:绕y轴旋转一周所形成的旋转体体积如何计算,5-1-26,练习,解,两曲线的交点为,绕y轴旋转,5-1-27,2.平行截面面积为已知的立体的体积,上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积,如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体,的体积也可用定积分来计算.,那么,这个立体,表示过点x,且垂直于x轴的,截面面积,为x的已知连续函数.,采用元素法,体积元素,5-1-28,解,取坐标系如图,底圆方程,例,一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底,面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.,垂直于x轴的截面为直角三角形.,底,高,截面面积,立体体积,对称性,5-1-29,作一下垂直于y轴的截面是,截面长为2x,宽为ytan,矩形,截面面积,可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,或解,5-1-30,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,垂直于x轴的截面为等腰三角形,例,求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.,5-1-31,三、平面曲线的弧长,设A、B是曲线弧上,在弧上,插入分点,并依次连接相邻分点,得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小,弧段都缩向一点时,此折线的长,的极限,存在,则称此极限为曲线弧AB的弧长.,1.平面曲线弧长的概念,的两个端点,定理光滑曲线弧是可求长.,5-1-32,弧长元素,弧长,2.直角坐标情形,小切线段的长,以对应小切线段的长代替小线段的长,设曲线弧为,其中,有一阶连续导数.,取积分变量为x,任取小区间,5-1-33,解,所求弧长为,例,悬链线方程,计算介于,之间一段弧长度.,5-1-34,曲线弧为,弧长,3.参数方程情形,其中,具有连续导数.,5-1-35,解,星形线的参数方程为,对称性,第一象限部分的弧长,例,求星形线,的全长.,5-1-3