（应用数学专业论文）奇异非线性椭圆方程边界值问题的正解.pdf

摘要 在此篇文章中，我们将研究奇异椭圆方程边界值问题 u + 目( 。) “。+ ( 。) “一p = 0 ，? n o ，o n 、 0 ，o a n 解的存在性和唯一性其中d ( 0 ：1 ) ，p o ，n 是r 中具有光滑边界 的区域。我们假设h ( z ) 0 ，zen 并且s u p p g c cs u p p h ，则方程存在 古典解，如果函数 ( 。) 在a n 附近满足一定的衰减性条件，则方程的 解唯一 对于这种方程，当a ( 0 ，1 ) 时，即当方程是“+ g ( 。) u 。= 0 型时， 被称为下线性方程，这种方程被很多作者研究过，其中h ( 。1 0 ，研 究的基本方法是上下解理论和极值原理等当卢 0 时，即当方程是 u + u - z = 0 型时，被称为奇异型方程，在 ( 。) 0 的条件下很多研究 人员在这方面作出了一些成果将以上两种情况混合起来称为混合型 方程，这种混合型方程的文章近些年来不太多在文献 1 3 中，作者 针对这种方程，其中g ( z ) o ， ( 茹) o ，。( 0 ，1 ) ，o 0 ，q i sab o u n d e d r e g i o ni nr ns m o o t hb o u n d a r y u n d e r as e to fs u i t a b l ea s s u m p 。 t i o n si n c l u d i n gt h a th ( x 1 0i nqa n ds u p p 9 一c cs u p p h ，l t 1 s d r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sac l a s s i c a ls o l u t i o nu a n di fh ( 2 7 ) s a t i s f i e s d e c a yp r o p e r t yo na q t h e n t h es o l u t i o nui su n i q u e i nt h i sp a p e r ，w es h o wt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v ec l a s s i c a l s o l u ” t i o no ft h i se q u a t i o n ，a n de s t a b l i s hac o m p a r i s o np r i n c i p l e t h e m e t h o dt h a tw es h a l lb eu s i n gh e a v i l yi n t h ep r o o fi st h es u b s u p e rs o l u t i o nt h e o r ya n di t e r a t i o np r o c e s s e s k e y w o r d s ：s u b s u p e rs o l u t i o n ，i t e r a t i o np r o c e s s ，c o m p a r i s o n p r i n c i p l e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 学位论文作者酶趋建班字嘲加；年日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞星盔堂有关保留、使用学位论文的 规定特授权垂整盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以 供查阅和借阅同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名五建劭 签字日期：如嗨月g 日 导师繇舭叼 签字日期，加，年f 月扩日 第一章介绍 第一章介绍 在这篇文章中我们将考虑如下形式的奇异椭圆方程 u + g ( 。) u “+ ( z ) “一p = o ， 。q ， “ 0 、。en ， “= 0 xe0 n ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 其中n 是r ( | v 2 ) ，中光滑边界的有界区域9 和h 是西上的0 - h s l d e r 连续函数( 其中日( 0 ，1 ) ) a 和卢是常数，并且。( 0 ，1 ) ，卢 o 1 1 在有解区域上的介绍 奇异椭圆方程t a u + ( 。) 一p = 0 ，。n ， 0 ，o q 、 = 0 x 0 n 起源于化学催化剂、粘滞流体的边界层理论和导体的热传导，其细节 可以参看 2 , 3 ，5 ，6 】 这类方程例如u + ( 。) “，= 0 ( 其中h ( x ) 0 ) 按其指数p 可以分 为三类； 当p l 时，称为超线性型方程这种方程的研究采用泛函分析 或其它方法可以参考文献 1 6 ，1 7 当0 p 0 ，q ( 0 ，1 ) ，0 芦 0 ， ( ) 0 ，x q ，s u p p g c cs u p p h ，则方程 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 至少有一个解“，且u c 2 , e ( n ) n e ? ( 丽) 定理2 ：假设定理1 中的条件满足，如果存在一个常数风 0 ，。n ， “ = 喜，。a n 3 1 定理1 的证明 3 1 1 首先寻找方程( r ) 的上下解 在定理1 中的条件满足的情况下，我们固定q 的- - + y p 子集q o 使得： s u p p g cq oc c z ni ( 。) o ) ，如果s u p p g 一d ； n oc c 。nl ( 。) + 9 ( 。) 0 ) ，如果s u p p g - = 0 ， 因而对于充分小的s 0 ，有 9 ( 。) s 。+ ( $ ) s 一4 l ，。面； 0 ，。n 蕊 进而我们可以固定一个常数g 。 0 使得 9 ( 。) e ? + ( 。) c i 9 g 1 ，z 蕊 令 e 2 _ m 锄警i g ( 。) 憎+ 搿g - 9 ，o nz i 2 所以我们可以得出下列结果： c l 墨9 ( 。) c ? + h ( x ) c 7 4 ，e 磊 我们选择一个函数，7 帮( n ) 使得0 q ( z ) 1 ，z n ，s u p p t c f l o ， 并且满足：如果s u p p 9 一= 0 则存在一些zen o 使得叩( 。) = 1 ；如果 s u p p g 一0 ，则对于所有z s u p p 9 一有q ( 。) = 1 第三章定理的证明 9 最后我们证明方程( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的解的存在性和其性质。由于 u 女( 。) ) k 。 是一个递减序列并且在丽上存在下界妒m 。，o 。( z ) ，所以序列的极限存在， 我们设为u ( z ) ，即t u ( 。) = 。旦u e ( 。) ，。孬 并且满足： 矽。( 。) 5 “( z ) k o ( 。) ，。丽 由于当。丽时妒。，。( 。) u k ( x ) ( 。) ，所以当g 是n 的紧子集时， 存在两个与g 相关的正常数e z ( g ) 和马( g ) 使得； e l ( g ) u k ( x ) 玩( g ) ，。g ，? n o 因而根据文献【1 2 】和【1 0 】中的方法及 8 的s c h a u d e r 理论，我们可以得 出“( z ) 是满足方程( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的解并且龆( 。) g 2 ，8 ( n ) 另外，对于任意x o a n 及任意5 0 只要? g o 就有 0 使得当d ( z ，知) 时，就有 l u n 。( 。) 一嘉i 0 令 ”，v c ( 甄) n c 2 ( q ) 且满足t 第三章定理的证明 ( a ) u + ，( 。，w ) o a v + ，( 。，u ) ，。en ( b ) 在n 中，u 0 并且在a n 上u ， ( c ) a v l 1 ( n ) 则在丽上w ” 证明；为了不失一般性，我们假设； n = 。eqi ，( z ，s ) 关于s 单调下降) q 令； n o = n n o ，( n o 是一个非空开集) 我们用反证法证明假设品0 ，其中 ，咒= 。nf ”( 。) 0 ，& c cn ，并且存在盯 o 使得o 0 因而n n o d ，若不然，由于，( 。，s ) 在。n n 。( 即。n 1 ) 上的假 设。根据最大值原理可得出矛盾 由j f ( z ，s ) ( 。n ) 的假设，很容易得出；存在e 。，如 0 及一个球 bc c ( 只n n 。) 使得： ”( 。) 一”( 。) s o ，。b ， ( 8 ) u ”( 掣一掣) 蛇 令m = m a x 1 ，i i , ”怯( n ) ) ，s = m i n 1 ，o 岳) g z 上r 的一个光滑函数 8 满足。( ) = 0 如果t i 1 ，目( ) = 1 如果t 1 ，口( t ) ( o ，1 ) 如果t ( ；，1 ) 并且对于te r ，目讹) o 下面我们定义一个函数口。( f ) ，其中e 0 、 以( t ) = 口( ；) ，f r 由引理中的条件( a ) 及以( z ) 0 可得，在n 上有： ( w a y - v a w 限( ”刊”枷( 掣一竽) 蹦。刊。n 第三章定理的证明 另一方面，根据w ，v 和口。的连续性及在洲2 上w v ，很答易得出存 在一个具有光滑边界的区域n + 满足3c c n + c & ，( 其中d = r n i n , ，- ，；) ) 而且满足，当z s o n + 时”( z ) 一w ( z ) ；于是有下式成立： 弘”一山地( ”叫蛇”( 掣一掣) 蹦州。 n n + 、 7 下面我们记 o ：( ) = 卜( s ) 如，t r ， b 则易得： o o e ( t ) 2 e ，t r ，并且o c ( ) = 0 ，如果 昙( 1 0 ) 因而： ( w a y v a w ) o 。( ”一w ) c l z d = 以( ”刊如 一( v v v w ) o 。( u w ) d z d 一 ( 口一w ) x t v ( v 一v w ) d x d 一r 幔( ”刊鬻如 + ( v w v ) 日。( 一w ) d x 矗 + u ( 一w ) v w ( v v v w ) d x d = ”畦( ”一”) ( v 加一v v ) ( v ”一v w ) d 。 静 + 扣一”) 畦( ”一 ) v u ( v ”一v w ) d 。 第三章定理的证明 1 2 但是 f v ”v ( o 。( ”一w ) ) 如 。s ( ”一) 旦o n 兰d 。一z 。e ( 一t u ) u d za n 1 2 r ”坩( 掣一掣m 刊如 ”( 掣一掣) 蹦 = ”( 掣一掣) 州自( 8 ) ) 则产生矛盾此引理证毕 3 2 2 下面证明定理2 如果“是方程( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的解，则 妒m 。，。( 。) u ( z ) ，。n ， 其中妒。是定理1 的证明中的函数事实上，由于 一妒。，o 。= m i l q ( 。) ( 9 ( 。) g ? + ( 。) c | f 4 ) 我们有t 矽。l 1 ( n ) 又容易证明： 砂m 。，o 。+ g ( z ) 妒景。，o 。+ ( 。) 砂二7 。20 ，。n 由 出 ，小m 黔 黯如一2 一 一 0 ，使得l g ( x ) 妒m o ，s ( 0 ，显然有下 式成立： 0 j g ( z ) i s 。+ ( z ) s 一4 m o + ( 。) t 一9 ，口s 芝t 0 ，。n 令： n 。= z qid ( z ) 盯) n 。niu ( x ) 0 使得： 从而可得 厶。( i g ( 。) 妒+ ( 。) “邛) 如 j o 。( g o + c o 。( z ) ) 一9 d 。 m a m e a s ( q 。) + c ( d ( 。) ) 肛岛( c o d ( 。) ) 一9 d x j n m o m e a s ( q ) + g 吖f o 。( 荆) 一风如 m e a s ( n ) + 吁4 g m z 。( f o 。t - b oc f t ) 如 m o m e a s ( n ) + 伽( 篙) 一叩 正( ) i u 。+ ( 。) “一4 ) 如 = 正，( 妒+ ( 。) u 一9 ) 出+ 正、。( 妒蛳( z ) “一4 ) 如 sm + + 3 ” + 。 第三章定理的证明 1 4 其中 m “= i n a x ( 1 9 ( 。) 妒+ ( z ) “邓1m e a s ( f ) o n n d 、一、。 所以对于方程( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的解u 来说满足： a u l 1 ( n ) 如果“- 和“。是方程( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 的任意两个解，则我们有a ux l 1 ( n ) u 2 l 1 ( n ) 利用引理易得1 “2 同时“1 u 2 ，因而t 1 = “2 定理2 的证明完毕 参考文献 参考文献 1 h a m a n n ，e x i s t e n c e o fm u l t i p l es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s ，i n d i a n au n i v m a t h j 2 1 ( 1 9 7 2 ) ，9 2 5 9 3 5 2 d s c o h e na n dh b k e l l e r ，s o m ep o s i t i t i v ep r o b l e m ss u g g e s t e db y n o n l i n e a rh e a tg e n e r a t o r s ，j m a t h m e c h 1 6 ( 1 9 6 7 ) ，1 3 6 1 1 3 7 6 3 a c a l l e g a r ia n da n a s h m a n ，an o n l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r y v a t l l l ep r o b l e mi nt h et h e o r yo fp s e u d o p l a s t i cf l u i d s ，s i a mj a p p l m a t h 3 8 ( 1 9 8 0 ) 2 7 5 2 8 1 4 m g c r a n d a l l ，p h r a b i n o w i t za n dl t a r t a r ，o nad i r i c h l e tp r o b l e mw i t has i n g u l a rn o n l i e a r i t y ，c o m m p a r t i a ld i f f e i e n t i me q u a t i o n s 2 ( 1 9 7 7 ) ，1 9 3 2 2 2 5 j i d i a z ，j m m o r e la n dl o s w a l d ，a ne l l i p t i ce q u a t i o nw i t hs i n g u l a r n o n l i e a r i t y ，c o m m p a r t i a ld i f f e i m t i me q u a t i o n s ，1 2 ( 1 9 8 7 ) ，1 3 3 3 1 3 4 4 6 w f u l k sa n dj s m a y b e e ，as i n g u l a rn o n l i e a re q u a t i o n ，o s a k am a t h j ，1 2 ( 1 9 6 0 ) ，1 - 1 9 7 s m g o m e s ，o nas i n g u l a rn o n l i n e e a - e l l i p t i cp r o b l e m ，s i a mj m a 曲 a n a l ，8 ( 1 9 8 4 ) ，6 5 5 6 6 5 8 d g i l b e r ga n dn s t r u d i n g e r ，e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f s e c o n do r d e r ，2 n de d ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 3 9 t k u s a n oa n da s w a n s o n ，e n t i r ep o s i t i v es o l u t i o no fs i n g u l a rs e m i l i n e a r 参考文献 e l l i p t i ce q u a t i o n s ，j a p a nj m a 拍，1 1 ，n 。1 ( i 9 8 5 ) 1 0 1 ac l a z e r ，a n d p j m c k e n n a m ，o na s i n g u l a rn o n l i n e a re l l i p t i c b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ，p l o c a m s ，1 1 1 ( 1 9 9 1 ) ，7 2 1 7 3 0 【l l 】j s e r r i n ，ar e m a r k o nt h ep r o c e e d i n g p a p e ro f a m a n n ，a r c h r a t m e & a n a l y s i s ，4 4 ( 1 9 7 2 ) ，1 8 2 1 8 6 【1 2 】c a s t a r t ，e x i s t e n c ea n da p p r o x i m a t i o no f s o l u t i o no fn o n l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s ，m a t h z ，1 4 r ( 1 9 7 6 ) ，5 3 6 2 1 3j s u ny i j i n ga n dw u s h a o p i n g ，i t e r a t i v es o l u t i o nf o ras i n g u l n o n l i n e a r e l l i p t i cp r o m b l e m ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，v 0 1 1 1 8 ，1 5 f e b 2 0 0 1 1 4 】j u n p i n gs h ia n d m i a o x i ny a o ，o nas i n g u l a rn o n l i n e a rs e m i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m ，p l o c r o y s o c e d i n b ，1 2 8 a ( 1 9 9 8 ) ，1 3 8 9 1 4 0 1 【1 5 m w i e g n e r ，ad e g e n e r a t ed i f f u s i o nw i t han o n l i e a rs o u r c et e r m ，n o n l i n e a ra n a l ，v 0 1 2 8 ，1 2 ( 1 9 9 7 ) ，1 9 7 7 1 9 8 5 1 6 h a s h i m o t o s a t o s h i ，s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t h s u p e r e i t i c a le x p o n e n t s i ( c h i b a ，1 9 9 9 ) ，1 1 6 1 2 0 ，g a k u t o i n t e n n a ts e t m a t h s c i a p p l ，1 3g a k k o t o s h o ，t o k y o ，2 0 0 0 1 7 】bg i d a s a n dj s p r u c k ，ap r i o rb o u n d sf o rp o s i t i v es o l u t i o n so f n o n l i n e a r e l l i p t i ce