（计算数学专业论文）三对角矩阵特征向量的精确计算.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本篇论文的目的是希望通过选择某个适当的，只用一步反迭代，来计算 对称三对角矩阵的相应于某个给定的近似特征值石的特征向量。通过仔细的分 析，我们证明了只要选择了适当的，简单反迭代( 一步反迭代) 能给出与给定的 近似特征值互同样高精度的特征向量；我们给出了一个确定逼近启。的屯的方 法，只要一些容易满足的条件，k 就等于屯；我们还证明了即使当这些条件 不满足时，采用虹也是恰当的。文章的最后给出的一些数值例子表明了简单反 迭代法的有效。 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eg o a lo ft h i st h e s i si st oc o m p u t et h ee i g e n v e c t o ro fs y m m e t r i c t r i d i a g o n a lm a t r i x tc o r r e s p o n d i n gt ot h eg i v e na p p r o x i m a t ee i g e n v a l u e _ j ，b yu s i n go n es t e po f i n v e r s ei t e r a t i o nf o rc e r t a i nc h o s e nr i g h tv e c t o r e i c a r e f u la n a l y s i sa r eg i v e nt o s h o wt h a tf o rs u i t a b l ec h o s e n k ，s a y k 。，t h es i m p l ei n v e r s ei t e r a t i o n ，o n es t e po f i n v e r s ei t e r a t i o n ，c a ng i v ea h i g h a c c u r a t e e i g e n v e c t o r t ot h e a c c u r a c y w h i c ht h e a p p r o x i m a t e e i g e n v a l u e za c h i e v e d w e g i v eae a s yw a y t od e t e r m i n ea na p p r o x i m a t e i n d e x k dt ok 。s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f t h a t k d 2 k 。a r eg i v e n ， w ea l s og i v ea ne s t i m a t et os h o wt h a t k ds t i l lw o r k sv e r yw e l le v e ni nt h e c a s ew h e nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r en o te x a c t l ys a t i s f i e d n u m e r i c a l e x a m p l e s s h o wt h a te f f i c i e n c yo f t h es i m p l ei n v e r s ei t e r a t i o na p p r o a c h 浙江大学硕士学位论文 本文使用符号说明 r ”：表示n 维实向量的集合。 r “”：表示r h 的实矩阵的集合。 表示对称的实n n 的矩阵的集合。 表示一个n n 的单位矩阵。 表示，的第，列。 表示一个不可约的对称三对角矩阵。 表示r 的所有特征值的集合，兄( r ) = ( 五， 2 ， 。) 。 表示7 1 的第，个特征值( 按递减顺序排列) 。 表示一个对角矩阵，其对角元分别为 ： 九。 表示矩阵己，的转置。 表示丁的所有规范化的特征向量组成的矩阵，且有t = u a u 7 u = ( “l ，“2 ，“。) 。= ( 甜“) 。a 表示 的一个近似值，且有l z 一 ，i m i n i 石一兄，i 。 表示矩阵的特征值的隔离度( g a p ) ，即j = m i n 一五，i 。 j f 。 表示机器精度。 表示向量x ，y 所成的夹角( 9 0 。) 。 表示向量x 的第，个分量。 表示矩阵a 的值域。 洲n 印n 娴 妒 叭 叭 瓦 玉 “抛 枷 删 浙江大学硕士学位论文 第一章引言 第一节特征值问题的应用 矩阵特征值问题产生由来以久，对它的研究一直是数值线性代数的基本问 题之一。现在，数值线性代数的发展已达到相当高的水平。仅对求解矩阵特征 值问题而言，就出现了不少有效而可靠的算法。 目前，矩阵特征值问题在科学研究、工程技术等方面得到了日益广泛的应 用。物理学、力学、经济学、应用数学等科学技术领域的很多问题在数学上都 归结为求矩阵的特征值问题。例如，动力学系统和结构系统中的振动问题( 桥 梁的振动，机械的振动，地震引起的建筑物的振动等) 2 4 ，信息系统设计 2 9 1 ， 大规模数据分析 2 7 ，马尔可夫链( m a r k o vc h a i n s ) 中长远概率向量的求解 2 6 】 等，都涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。甚至在量子化学【1 7 】、气象学 2 5 】 中，特征值问题都有比较深入的应用。 很多有着工程应用背景的特征值问题不断提出，然后又不断地被解决。这 样一方面推动了工程技术向前发展，另一方面对数值计算这门学科本身也是一 个很大的促进，使得最近几十年来，这门学科有了迅速的发展。著名的d a v i d s o n 方法的提出者d a v i d s o n 就是一个化学家，他于1 9 7 5 年在原子化学的一本于0 物 上发表了一篇论文 3 0 1 ，提出了一种计算薛丁格算子的最低能量级及其相应波 函数的方法，它实质上也就是计算矩阵的最小或最大特征值及其相应特征向量， 这个算法在随后的几年甚至现在都是研究的一个热点。数学与其他学科的紧密 结合在这方面得到了完美的体现。 特征值问题一般包括两个方面：特征值的计算和特征向量的计算。下面我 们分别介绍它们的一些计算方法和理论。 第二节特征值计算的方法和理论 计算矩阵特征值的算法有很多，几乎都是近半个世纪发展起来的，而且精 浙江大学硕士学位论文 度都很高，数值稳定性也很好。经典的算法有： 乘幂法是计算矩阵的模最大特征值和相应特征向量的方法，出现得也最早； 而反乘幂法则相反，是计算矩阵的模最小特征值和相应的特征向量的方法，首 先由w i e l a n d t 在1 9 4 4 年首次提出，更深刻的分析是由w i l k i n s o n 3 9 ，v a r a h 1 9 等作出；1 9 5 7 年，b a u e r 把二者推广为子空间迭代法( 又称同时迭代法) ，r u t i s h a u s e r 2 0 1 等则进一步发展了对称矩阵的子空间迭代法；还有现在最为常用的q r 方法 3 4 1 1 6 】，它是建立在r u t i s h a u s e r 的l r 方法的基础之上的，最早由f r a n c i s 2 1j 提出，w i l k i n s o n 3 和p a r l e t t 2 2 作出了q r 方法的收敛性分析；为了加速上述 各种迭代的收敛，还采用了各种原点位移来进行迭代，或者对迭代进行各种变 形，或者二者结合进行迭代，如r a y l e i g h 商迭代法，从而使得上述方法更加有 效；w a t k i n s 在文 1 1 中还揭示了以上三种迭代法的实质和联系。此外还有计算 对称矩阵特征值的古典j a c o b i 方法及它的各种变形等。 1 9 5 0 年l a n c z o s 提出了著名的l a n c z o s 迭代 2 8 ，此迭代可用来计算k y l o v 子空间的一组正交基，也可以用来求解对称矩阵的特征值，特别是计算高阶稀 疏对称矩阵的部分特征值。但由于l a n c z o s 迭代所产生的向量很快失去正交性， 长期以来认为这种方法是不稳定的，因而很少用于实际计算。直到1 9 7 1 年p a i g e 在他的博士论文 2 3 i 1 1b ) 1 了正交性的消失常常伴随l a n c z o s 过程的收敛性，这 才使得l a n c z o s 方法广为使用。近几年又出现了预条件的l a n c z o s 方法以及其 他的一些l a n c z o s 算法的变形。上面提到的d a v i d s o n 方法也是基于k r y l o v 子 空间理论之上的，其变形算法应用较广的主要是j a c o b i d a v i d s o n 方法 3 l 】。这 些基于k r y l o v 子空间理论的算法的成功，引起了人们对k r y l o v 子空间在求解 矩阵特征值方面的兴趣，又出现了等其它一些基于k r y l o v 子空间理论的算法。 又由于对于任意的对称实矩阵，我们都可以利用g i v e n s 旋转或h o u s e h o l d e r 变换把矩阵相似约化为对称三对角矩阵，因此，又有许多专门针对对称三对角 矩阵特征值的计算方法，其中最为常用的还是要数对称q r 方法，二分法 3 4 1 1 6 1 3 。近二十年，随着并行技术的发展，许多高效的并行算法也随之产 生，主要有分而治之( d i v i d ea n dc o n q u e r ) 方法 1 0 和多分算法( m u l t i d i v i d e m e t h o d ) 7 等；最近还出现了一种称为d q d s 的算法【1 2 。 以上一系列计算矩阵特征值的算法得出的特征值精度都很高，一般而言， 误差不超过c 占俐i ( 见文【3 4 【6 】【1 3 ) ，其中c 是一个很小的数，t 是所求的矩 阵。 浙江大学硕士学位论文 下面的两个定理说明了对称矩阵的扰动对特征值和相应不变子空间的影 响： 定理1 ( w i e l a n d t h o f f m a l l ) 若a s r “”，a + e s r ，则有 h ( 4 + e )( 4 ) 】2 - o ，1 | 巨z | ：薹，则存在矩阵p 尺扣“” 满足 | l p | | ：掣 使得( q + q ，尸) ( + p 7 p ) “2 的列形成a + e 的不变子空f q 的一组正交基。 第三节特征向量的计算方法 然而，与特征值计算算法的丰富多彩相比，在已知比较精确的特征值的情 况下，求其相应的特征向量的算法却不多见。到目前为止，计算特征向量的算 法都是基于反迭代法的，本文也不例外。在计算特殊的不可约实对称三对角矩 阵 t = b ”一2a 6 ”一l b n ld 。 的相应于某个特征值丑( 已得到其近似z ) 的特征向量已有的方法中，主要有以下 几种： 1 、反迭代法。 浙江大学硕士学位论文 应该说，反迭代法是最为常用的也是最有效的计算特征向量的算法之一， 其基本过程为 3 1 1 4 ： ( r m ) x i “= y i y = x m 州x 。k 迭代的终止条件为l l ( 丁一射) x k + l 忆= s i l r l l 。但是，反迭代法有一个致命的缺陷， 即若迭代的初始向量y 。取得不妥，迭代就会收敛得很慢，甚至于根本不收敛。 在下面的第二章里还有详细的讨论。 2 ) 交替方法。 d e k k e r 于 5 中提出了一个交替方法。其过程为：取x ( 1 ) = 1 ，并用方程 ( 口，一a ) x ( 1 ) + 岛x ( 2 ) = 0 和 6 h x ( f 一1 ) + ( a ，一2 ) x ( i ) + b i x ( i + 1 ) = 0 ( i = 2 ，3 ，。一，h 1 ) 依次计算石( 2 ) ，x ( 3 ) ，只要ix ( r + 1 ) 吲x ( r ) i ，这过程就继续下去：若执行到某一 步有lx ( r + 1 ) ix ( r ) i ，则暂停计算x ( r + 2 ) ，并取x 。( 月) = 1 ，用方程 b q x ( 一1 ) + ( a 一 ) x ( ”) = 0 和 6 _ l z ( f 1 ) + ( 口。一z ) x ( f ) + 6 ；x ( f + 1 ) = 0 ( f = 胛一1 ，竹一2 ，一，3 ，2 ) 依次计算x 。( n - - 1 ) ，x ( n - 2 ) ，直到有h 0 - 1 ) i 一( j ) l 为止，此时再回到序列 x ( o ) 的暂停处，继续计算出x ( r + 2 ) ，x ( r + 3 ) ，直至某一步有 lx ( r + k ) 1 ix ( r + k 一1 ) l ，再回到序列矗( f ) ) 的暂停处，继续计算0 ( f ) ) ：如此 交替计算下去，就得到两个序列 x ( f ) 和( f ) ) ，不妨设这两个序列在m 处相 遇，则就可以得到未规范化的特征向量 x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，t t ，x ( ， ) ，“。( ，l + 1 ) ，“( 卅+ 2 ) ，一，“( 以) ) 7 ， 其中c = x ( m ) x ( 棚) 。一般情况下，这样给出的特征向量是比较好的，但是当 这两个序列 x ( f ) ) 和( f ) 在相遇时是迅速下降的，则得出的特征向量是极不精 确的。如下面的例子。 例1 采用后面的构造算法构造出一个2 0 0 阶的对称三对角矩阵，使得这个 矩阵的特征对为 1 0 ，“) ，其中“的前1 9 8 个分量是从1 到l o 成等差递增形成的， 第1 9 9 个分量等于l o 一，最后一个分量为l 。令石= 1 0 + 1 0 “5 ，采用交替方法 计算出的特征向量的残量为3 7 2 ，而与l o 最靠近的特征值为 浙江大学硕士学位论文 9 9 9 9 5 7 5 4 9 3 6 6 3 4 9 4 ，可见特征值的隔离度相对来说不算小，由此可见交替方法 的不可靠。 3 1f e m a n d o 方法。 这种方法 1 2 】【3 2 主要是在已知的近似特征值精度较高的前提下，确定一 个k 来计算相应的特征向量。这在本文第四章有详细的叙述。 上面的各种基于反迭代的方法，在确定反迭代初始向量各有自己的方法， 但是，却没有自己的理论上的分析，完全是凭经验得出的，甚至在得出的特征 向量的精度方面，也没有一个理论上的估计。例如，绝对误差估计和各分量的 相对误差估计。 第四节本文的工作 在简述本文的工作之前，我们先提出一个比较所求近似特征向量的标准。 一般来说，以各个分量的相对误差或绝对误差来衡量是最好的，但是，准确的 特征向量我们是不知道的，类似的结论我们也没有发现，但我们有下面的定理。 定理3 设x r ”，- a l l x i ：= 1 ，r 躲，a a ( r ) ，t u = 勉，互是a 的一个 近似值，p = l ( x ，“) ，r ( x ) = t x 一2 x ，则 i 。i n 妒峰i i r ( _ x ) 1 1 2 。 证明：设x = 地c o s q ，+ w s i n p ，其中w l u l ，则 r ( x ) = t x 一2 x 5 ( 丁一五) ( “tc o s + w s i n o ) = ( 一 ) u 1c o s o + ( t a ) w s i n p l i t ( x ) i | ：2 = p ( z ) ，r ( x ) ) = 14 ，一石1 2c 。s 2 妒+ i l ( r y i ) w s i n 妒1 i ：2 护一射) w s i n 柑 5 2s i n2 口 由上即可得到结论。 证毕。 这个定理由 1 3 】 1 4 】中相应的定理稍加改变而成。因此，在比较计算的特 浙江大学硕士学位论文 征向量的精确度时，我们可用它们相应的残量来比较。同样的，我们对特征值 有：若同定理1 的条件，则存在某个 z ( r ) ，f 五一z 峰监粤照。 0 在本文中，我们主要研究了一般反迭代的一些性质，提出了一种特殊的反 迭代：简单反迭代，并对简单反迭代作了较深入的理论上的分析，由此得出了 一个确定简单反迭代的右边向量所需的k 值的算法，使得我们只要采取一步反 迭代，就能得到高精度的特征向量：数值效果表明，算法是很有效的。 本文的结构是这样安排的： 第二章通过对一般反迭代的分析，提出了一种我们称之为简单反迭代的特 殊反迭代方法，并从计算量，误差等角度仔细分析了简单反迭代： 第三章从理论上讨论了确定简单反迭代的右边向量所需的k 值的各种估 计； 第四章从算法的角度讨论了简单反迭代的右边向量所需的k 值的计算，并 提出了自己的算法及其改进； 第五章为数值试验，检验我们算法的效果； 第六章为总结和以后还需进步完成的工作。 另外，注意到我们要讨论的问题中的ia 一旯。i 占，即我们己知的近似特征 值与其它特征值有一定的距离，不能太小。对于几个很靠近的特征值所对应的 特征向量，我们只能求出它们相应的特征值子空间，然后再进行正交化，分别 得到相应的特征向量。对于这种情况，文 1 6 1 1 5 1 q b 采用子矩阵的方法避免了再 正交化，至少在理论上已经很好地解决了这个问题。 浙江大学硕士学位论文 第二章简单反迭代 第一节反迭代法 在第一章里，我们就简述了反迭代法，基本过程为 3 】【4 】 ( r z 1 ) x = y i 儿+ 。= x 。l l x 。忆 ( 1 ) ( 2 ) 迭代的终止条件为| l ( 丁一2 1 ) y 。忆= s i l r l l 。( 1 ) 式就是反迭代，( 2 ) 式是为了防止 在计算过程中产生上下溢。所以，在理论分析时，可以不考虑( 2 ) 式。 假设我们进行了m 步反迭代，得到规范化的向量x 。，再设以= z ( x ，u ) ， 则有 x 。= “，c o s o m + w ms i n o m ， 其中u , l w 。，且帆l i ：= 1 。 在某种程度上，用以来衡量x 。与u ，之间的误差比一般的用 l k 。一“川：= 2 s i n ( o ，2 ) 来衡量要更自然一些a 在这里，我们采用目。来衡量靠与 u 之间的误差。 我们再进行第m + 1 步反迭代，得到未规范化的向量 + ：( 丁一冠) 一1 z ，= ( 一一z 丑，c o s 0 。+ ( r z ) 一1 w 。s i n o 。 = ( ，一z 最tc 。s 目m + 尚l i ( r 一面) 1 h k s i n 臼m 很容易知道有( t y j ) - 1 w 。_ l u ，又设o m + i = z ( x 卅+ 1 ，“，) ，则 帆，坐1 二4 型- j t 丛ic o s 竺o , m 。a x l 2 j 一列s i n 0 , 3 = - = t 一 i 一a i o s 以 2 赢增氏 浙江大学硕士学位论文 4 - p ：瓦_ 二雨，由于l 石一丑k m ，i n y 一- | = 占，且l 石一 l 十分接近于零， 因此有p 1 ，而且，只要初始迭代向量不垂直于“，即目。= z ( u ，x 。) 9 0 。， t g o o 而1 0 - 1 5 ( 1 + 厢m 1 2 ( 1 + 肝) 即可。当n = 1 0 0 0 0 阶时，卢0 0 1 ，因此，1 0 。2 ( 1 + 4 1 一2 ) f l 2 x 1 0 “o ，这 是一个相当小的量。 浙江大学硕士学位论文 第三节无条件约束估计 由上一节我们已经知道，若我们要能准确地找出k 。来，如不考虑计算过 程中的误差，还必须满足条件： 脚，峄”万) 。 虽然上面说过这个条件是很容易满足的，但是我们还是要看看若没有这个约束 条件，我们得出的结果与实际结果的偏差。 同上面的分析一样，我们由( 丁一面) “= 可得出 铲磐”宇丝a “，j - 2 h 3 了 一叶 实际中我们确定的是屯，则有lx k a ( 幻) m a x ux ，( 川) ，而实际上所求特征向量 绝对值最大的分量的位置是t 。，所以我们有 i x t 。( 女。) i i 。b ( ) v - o 。 而v k ，有 州炉裟州帅主娑叭) 。一 | t 。一 即有 离一唼卷叫圳小雕惟离+ 嘻卷州 又容易知道 所以 萎糟渺卯喜( 卷陪， 萎 卷 2 ( 卜酊， i 1 ( 1 一“。2 ( k ) ) 2 d 。 浙江大学硕士学位论文 故 所以 离一扣讯呦小肚惜离+ 扣识砌 0 - iz ( 。) 卜l 。虬( 钆) l 鬻一扣姐炉c 离+ 扣讹纠 “? ( t 。) 一u2 ( k 。) 下f 犷 ( 2 一“? ( 七。) 一“；( 尼。) ) d 兰：! j ! 掣一丢( 2 一。? ( 七。) 一。? ( 女。) ) o l 一z l 占+ 利“h “州”。 “；( 七。) 一“? ( 。) s 掣( 2 一“2 ( k 。) 一“；( 。) ) 0 1 一：i ! 生掣( 2 一。? ( t 。) 一。? ( t 。) ) “? ( k 。) c 氟? ( 女。) 、 1 。 即有 ：! ! 生乓1 一梨( 2 一。? ( 七。) 一。? ( 女。) ) “? ( k 。) 而l ? ( 。) 、 “。 1 一! 娶二型。 抛? ( 。) 从而我们有 定理1 4 若不考虑计算过程中的舍入误差，则有 掣1 一掣。 “? ( 自一) 抛? ( e m 缸j 定理1 4 表明了若我们用k d 的估计代替k 。的估计，即使这二者不相等，也 有lu 1 ( k ) h “，( 七。) 1 。在后面的数值试验一章里，我们将用具体的数值例子来 说明。 例6 如前面几个例子所设，i a l zt _ - 1 0 - 1 5 万= 1 0 一，n = 1 0 0 0 0 ，i “，l 卜0 0 1 ， 则黯小器斗z 圳一，这是刊削懒。 浙江丈学硕士学位论文 所以即使没有限制条件： 巾掣( 1 + 万) ，我们得出的分 量也十分接近我们所需的绝对值最大的分量。注意到我们在第二章的分析，即 使没有找到绝对值最大的分量的位置也不要紧，只要找到的分量的绝对值接近 它，也几乎不影响我们用简单反迭代所求出的特征向量的精度。 推论1 5 若矩阵r 的阶数为h ，则 盟1 一型垄二型。 “；( 七。“) 石 浙江大学硕士学位论文 第四章k d 的计算 在上一章中，我们详细分析了和女一的关系，提出了用k 。来代替女。是 不影响我们用简单反迭代得出的特征向量的精度。因此，在这一章里，我们来 讨论如何计算k 。 第一节f e m a n d o 方法 1 9 9 5 年，k v f e m a n d o 在文【1 2 】中提出了一种计算近似特征向量的方 法。f e m a n d o 方法是基于一系列几乎齐次的线性方程组： ( 丁一 1 ) y = i z ( k ) e ，j j e l y k = 1 ，k = 1 , 2 ，一，胛。 f e m a n d o 方法选择一个使得达到m i n t 4 k ) i ) 的一个七值，并将相应的向量儿 作为近似的特征向量。 基于，一兄，的l d l r 分解，f e r n a n d o 给出了一系列的分析，以及计算( 女) 的算法。 我们假定，一i 有l d l r 分解： 丁一五，：l d f f 其中l 为单位下三角矩阵，d = d i a g ( d ，d ：，以) ；又设丁一2 1 的f f d l 分解为： r 一五： u 7 其中u 为单位上三角矩阵，f = d i a g ( f ， ，工) 。 首先我们有： 定理1 6 若( 七) ，y 。如上定义，则丁一2 1 一卢( ) 吼t 是奇异的， ，y 。 是 浙江大学硕士学位论文 t 一, u ( k ) e k e r 的一个准确的特征对。 证明是简单的，因为 ( 丁一五，) y 。= ( j i ) e k = u ( k ) e ( 口 t ) = ( ( 七) p e r ) y ， 所以有( 丁一2 i 一( ) e r ) y 。= 0 ，就可以得到上面的结论。 此定理表明，若( ) 小，则( 石，y ) 是丁的一个很好的近似特征对：根据对 称矩阵的特征值和特征向量的的摄动定理 3 4 【6 1 3 】【1 4 1 8 ，存在丁的某个特 征对( 五，x ) 使得很逼近( 旯，y ) 。 我们还有下面的可用于计算( ) 的关系式。 定理1 7 4 k ) = a 。一兄一贸一，d , 一，一酲l + ，( 3 1 ) ( ) = d k 一酲以+ l ( 3 2 ) ( t ) = 以一b k 2 _ 。d ( 3 3 ) ( 女) = 矾+ 五一( a 。一 ) ( 3 4 ) 证明： 利用t 一3 , 1 一( j ) 吼的奇异性，知其行列式为零a 在把它按第k 列展 开就可以得到第一个等式。其他三个等式都是第一个等式的变形。 进一步，我们有关于( ) 的递推式。 定理1 8 u ( k ) l + l = d i 4 k + 1 ) ，卢( 1 ) = 石，u ( n ) = 以。( 3 5 ) 证明：由c r a m e r 法则和e ：x ( 七) = 1 就可以得到上面的结论。 所以，若我们知道了丁一五，的l d f f 分解和f d l 分解，就可以利用( 3 1 ) ( 3 5 ) 式中任意一个计算出( 厅) 。在下面的算法中，为使计算量尽量少，我们采用( 3 5 ) 式来计算( _ j ) 。 算法2 1 计算丁一五，的l d e 分解，得出d = d i a g ( d l ，d 2 ，d n ) ； 2 计算丁一五，的r d l 分解，得出d = d i a g ( f , ， ，工) 3 令( 1 ) = ；或( n ) 2 d 。； 4 对k = 2 , 3 ，n 计算 ( + 1 ) = ( 七) 正+ 1 巩 或对k = n l ，n 一2 ，1 计算 ( 女) = ( 七+ 1 ) 反l + ； 5 比较数列 1 ( 七) ) ，使得达到呼n l ( 七) i ) 的七值。 求出了七的值，一般而言是再利用简单反迭代计算相应的y 。，就是所求的 特征