（计算数学专业论文）最坏情况下的cvar分析及其在电力资产分配中的应用.pdf

摘要 投资组合优化问题是金融学中的重要课题之一，也是运筹学的重要研究问题，其目 的是在给定的收益水平下使投资风险最小化，或者在给定的风险下使投资者的收益最大 化本文基于最坏情况下的条件风险( w o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e - a t - r i s k ：w c v a a ) 指 标，建立了风险一利润的三个鲁棒组合优化模型，分析模型的特点和计算方法基于数学 模型和算法的研究成果考虑了在电力资产分配中风险和利润的优化相关问题其主要 内容如下： 第一章绪论部分介绍了模型构建和分析所需用到的最优化对偶理论以及风险分析 的研究概况，主要介绍了c v a r 的性质和计算方法，以及本文的主要工作 第二章主要介绍了w c v a r 的定义及其性质，常用的典型非完全信息分布类型( 混合 分布和离散分布) ，并介绍了在两种分布下的w c v a r 模型 第三章在离散界约束下建立了风险一利润鲁棒组合优化模型及其简化基于 w c v a r 模型具有复杂的i l l i n - m a x 多层优化结构，在随机变量服从离散界约束分布，损 失函数为线性函数的假设下，运用对偶理论将复杂的m i n - m a x 优化模型转化为简单的线 性规划，理论上证明了简化后的模型与原模型的同解性以电力市场中的电力资产分配 为例，进行数值模拟，模型计算结果显示所提出的模型能较真实的模拟发电商的商业行 为该研究为发电商的投资组合和风险管理提供了新的方法 第四章分析了在复合分布下风险一利润鲁棒组合优化模型，并将复杂的模型简化为 线性规划通过数值仿真探讨了在复合分布下w c v a r 对利润的影响和最坏情况下利润 与风险的关系，并画出效率前沿曲线仿真结果显示了新模型的有效性 第五章总结本文的研究工作和介绍下一步研究方向 关键词：条件风险( c v a r ) ；最坏情况下条件风险( w c v a r ) ；离散界约束分布；复合分布； 投资组合优化；电力资产分配 a bs t r a c t p o r t f o l i o st h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n t si ne c o n o m i c s i ta i m st oa t t a i n t h ep o r t f o l i o so ft h em a x i n l r mo ft h ei n v e s t m e n t sr e t u r n 丽t ht h eg i v e nv a l u eo ft h er i s ko f p o r t f o l i o so ro ft h em i n i l n u n lo fi n v e s t m e n t sr i s kw i mt h eg i v e nl e v e lo ft h ei n v e s t m e n t s r e r l r n b a s e do nt h ec o n c e p to ft h ew o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e - a t - r i s k ( w c v a r ) ，t h i sp a p e r p r e s e n t st h r e ep r o f i t - r i s kr o b u s tp o r t f o l i om o d e l s f u r t h e r m o r e ，t h ec h a r a c t e r i s t i ca n d c a l c u l a t i o nm e t h o do ft h i sn e wm o d e li si n v e s t i g a t e d n ep r i m a r yc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： i nt h ef i r s ts e c t i o n , w em a i n l yi n t r o d u c el a g r a n g i a nd u a l i t yt h e o r ya n ds o m ev e r y i m p o r t a n tt h e o r ya b o u tr i s km e a s u r e m e n ta n dm a n a g e m e n t o nt h ef o u n d a t i o no ft h e d e f i n i t i o no fc v a rd e s c r i b e da n dt h em e t h o d so fa p p l y i n gc v a rd e c i s i o na lea n a l y s e d i n a d d i t i o n ，0 1 1 1 r e s e a r c hw o r k so f t h i sp a p e ra l ea l s ob r i e f l yi n t r o d u c e d i nt h es e c o n ds e c t i o n , w em a i n l yi n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fw c 、，r a r w ed i s c u s ss o m e v e r yi m p o r t a n tt h e o r ya b o u td i s t r i b u t i o nu n c e r t a i n t y ( s u c ha sm i x t u r ed i s t r i b u t i o nu n c e r t a i n t y a n dd i s c r e t ed i s t r i b u t i o n ) w ea n a l y s i sw c v a rm o d e lu n d e rt h em i x t u r ed i s t r i b u t i o n u n c e r t a i n t ya n dd i s c r e t ed i s t r i b u t i o n i nt h et h i r ds e c t i o n , u n d e rt h eb o xd i s c r e t ed i s t r i b u t i o no fr a n d o mv a r i a b l e s ，w ep r e s e n t t h r e ep r o f i t r i s kr o b u s tp o r t f o l i om o d e l s ，w h i c ha l ec o m p o s e do fm i n - m a x - t y p eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w i t ht h el i n e a rl o s sf u n c t i o n ，t h ep r o p o s e dm o d e l sa l ef a c i l i t a t e de q u i v a l e n t l y f u r t h e r m o r e , w er e d u c et h er e f o r m u l a t i o n st ol i n e a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m s 1 1 1 er e l a t i o n s h i p o fs o l u t i o n sb e t w e e nt h ep r o p o s e dm o d e l sa n dt h er e d u c e do n e si sp r o v e d ，w h i c hs h o w st h a t b ys o l v i n gt h er e d u c e dm o d e l s ，w ec a no b t a i nt h es o l u t i o n so ft h eo r i g i n a lp r o b l e m s a sa n e x a m p l ew i t hp o w e rm a r k e t s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o i l sa l ed o n et o t e s tt h em o d e l sa n dt h e a p p r o a c h i nt h ef o u r t hs e c t i o n , w ea n a l y s i st h r e ep r o f i t r i s kr o b u s tp o r t f o l i om o d e l su n d e rt h e c o m p o u dd i s t r i b u t i o no fr a n d o mv a r i a b l e s 1 1 1 ep r o p o s e dm o d e l sa r er e d u c e dt ol i n e a l p r o g r a m m i n gp r o b l e m sa n dw ep r o v e dt h er e l a t i o n s h i po fs o l u t i o n sb e t w e e nt h ep r o p o s e d m o d e l sa n dt h er e d u c e do n e s b yu s i n gt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o na p p r o a c h ，w ea n a l y s i s r i s k - p r o f i ta n dg i v ee f f i c i e n tf r o n t i e ro f p o r t f o l i o i nt h ef i f t hs e c t i o n ，w es u m m a r i z eo u rw o r ki nt h i sp a p e ra n di n t r o d u c eo u rn e x tr e s e a r c h k e yw o r d s ：c o n d i t i o n a lv a l u e - a t - r i s k ( c v a r ) ；w o r s t - c a s ec o n d i t i o n a lv a l u e - a t - r i s k ( w c v a r ) ；b o xd i s c r e t ed i s t r i b u t i o n ；c o m p o u n dd i s t r i b u t i o n ；r o b u s t p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n ；g e n e r a t i o na s s e ta l l o c a t i o n h 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名参7 翻 日期：沙7 年t - - j 号玎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 协臃 聊签稚t 崎 e lg q ：砂歹年f 月垮日 日期：炉了年r 月l 厂日 1 1 最优化对偶理论 记约束优化问题 第一章绪论 r a i nl 嫡 s 1 q ( 功= o ，f 占， ( 1 1 ) c ：f ( 功0 ，f z ， 其可行集 q 全纠c ：f = o ，f 叠q o ，f 珥 ( 1 2 ) 对约束优化问题( 1 1 ) ，记由不等式约束组成的向量函数为g ( 力，由等式约 束组成的向量函数为日( 功对“r i z l ，1 ，r 阁，定义函数 l ( x ，甜，1 ，) = 厂( 功- g ( x ) r “一日( x ) r y 和函数 ， 秒( 甜，d = i n f 仁( 训，1 ，) 睢r 一 问题( 1 1 ) 的l a g r a n g e 对偶规划为： m a x o ( u ，d f u v 1 j j 甜r 粤, v e r 阁 1 3 约束优化问题( 1 1 ) 的w o l f e 对偶规划为： m ，a x 、l ( x ，“，v ) l 工一，y j s o v x l ( x ，u ，) = 0 ， 甜贮l ，y r l e l ， 其中，贮i 表示空间r 吲中的非负象限，如上两种对偶规划在某种意义上是 一致的对于l a g r a n g e 对偶，由于目标函数o ( u ，v ) 本身就是l a g r a n g e 函数关 于x 的极小值，所以有v x l ( x ，u ，1 ，) = o 将其代入到l a g r a n g e 对偶规划的约束 当中，便得到w o l f e 对偶 l a g r a n g e 对偶规划是一个极大极小问题 m a 。x m i n 。l ( x ，u ，1 ，) 鼙e 枷延 。 l e 水 关于极大极小问题，文献 2 6 1 q b 有比较详细的讨论 下面给出线性规划和严格凸二次规划问题的l a g r a n g e 对偶 ( 1 ) 线性规划问题 r a i nc r x s 2 a x = b ，( 1 4 ) x 0 其l a g r a n g e 函数为 上( x ，u ，1 ，) = c t x - - u r x v 7 ( 么x 一6 ) 关于x 求极小，得c a r l ，一u = 0 将其代入( 1 5 ) n n 秒( 彩，d = i n f 三( 训，v ) 睢r ) = v r b 因此如上线性规划问题的l a g r a n g e 对偶规划为 m a xv r b j j 么丁1 ，c ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 2 ) 严格凸二次规划问题， n f m - 兰x r g x + g r x ：z s 上k = 包，i ，( 1 7 ) s 上彳x = 勿，占，f 1 7 1 露x 龟，i z 记a 全( q ) z u ，b 全( 6 f ) z ，将其l a g r a n g e 函数关于x er 抖求极小得 x = g 一( a u g ) ( 1 8 ) 结合( 1 3 ) 并舍去常数项得到严格凸二次规划问题的l a g r a n g e 对偶规划： 麟一扭g - _ 咖怕州7 g - k 厂“ ( 1 9 ) s 0 u i o , i z 原始规划问题和对偶规划问题的目标函数值之间有如下关系 定理1 1 1 ( 弱对偶定理) 设，( ，v o ，) 分别是原始规划问题( 1 1 ) 和对偶问 n ( 1 3 ) 的可行解，则f ( x o ) o ( u o ，v o ) 。 推论1 1 1 i n f f ( x ) l g ( x ) o i - ( x ) = o ) s u p 0 ( ) 皓r l f l , vr p i ) 原始规划问题的目标函数值和对偶规划问题的目标函数值之间的差称为 对偶间隙一般情况下，更关心的是在什么条件下对偶间隙为零对于如下的 2 凸规划问题( 1 1 0 ) ，s l a t e r 条件可以满足对偶间隙为零 其中，目标函数厂：r 玎专j r 是凸函数，q ( x ) ，i 是线性函数，q ( 功，f 2 7 是凹 函数 定理1 1 2 ( 强对偶定理) 对凸规划问题( 1 1 0 ) ，设等式约束为h ( x ) = a r , - b = o ， 不等式约束为g ( x ) 0 又设存在一点x 使得g ( x ) o ，h c x ) = 0 ，并且矩阵么 行满秩，则 i n f 厂( x ) l g ( 功o ，日( x ) = o ) = ”s e u 趔po ( u , d ，e 嗣 以上定理、推论的详细证明见文献1 2 6 】 1 2 投资组合问题 1 2 1 投资组合的发展历史和概况 自从1 9 5 2 年美国经济学家、金融学家、1 9 9 0 年诺贝尔奖获得者马可维茨 ( m a r k o w i t z ) 发表证券组合投资( 见文献 2 ) 一文以来，风险管理和投资决 策等问题就得到世界各国经济学家和数学家的日益重视马可维茨在该文中第 一次从风险资产的收益率与风险之间的关系出发，用方差来描述风险，讨论了 不确定性经济系统中最优资产组合的问题 马可维茨均值一方差模型的核心思想是把资产组合的预期收益率作为投资 收益率，把资产组合收益率的方差作为投资风险对于一个给定的预期收益 率，一个投资者可以通过最小化资产组合的方差得到最小风险；或者对于一个 给定的投资者能容忍的风险水平，可以通过最大化资产组合的预期收益率来得 到最大收益率其数学模型为： m i n e r ：= 石r 趔 s z j7 r 甜， 五+ 恐+ ”+ k = l ， 其中，x = k ，x 2 ，】7 是投资组合中各个证券的权重向量，彳是各个证券之 间的协方差矩阵，0 - 2 和嘭= e ( 名) 是投资组合的预期方差和收益率，用来 3 占z 仉仉 = 一功力力 q q n 訇时 度量投资组合的风险，r = ( 墨，心，兄) 2 ，其中墨= 占( ，；) 是第f 个证券的预期 收益率o = l ，2 ，刀) “是预先规定的最低收益 该模型为现代证券投资理论奠定了基础但是，马可维茨的均值一方差模 型还存在某些缺陷：模型中没有投资者对风险好恶的指标，因而投资者无法根 据自己对风险的好恶程度来使自己的组合达到最优于是提出了 v a l u e a t r i s k ( v a r ) 风险分析 v a l u e a t r i s k ( v a r ) 称为风险值( 见文献 2 2 ，3 2 ) ，其含义是“处于风险中 的价值，指在市场正常波动下，某一金融资产或证券组合的最大可能损失 更为精确的讲就是：在一定的概率水平下( 置信度) ，某一金融资产或证券组合 在未来特定时间内的最大可能损失，用数学表达式可表示为 p r ( a g 0 代表e p 的风险偏好程度，取值越大说明越厌恶风险 将式( 1 3 2 ) 、( 1 3 3 ) 代入( 1 3 4 ) 可以得到 嗽动= 以一k 4 , z o = 羔矿+ 毪+ 纬一聊+ 钟一作一马( 1 3 5 ) ( r 一阳1 、r f i p 。l 、p r f 使得效用最大的合同分配量满足 百ou=蒜9+等-1-0- 心小o 一= = 一仃+ ，i 一， = 1 1 8 qf 、) q l r f p 即得最佳合同购买量为 g + 一掣， 3 q lqp f g + ：1 q ( 1 一掣) 作盯， ( 1 3 7 ) 9 可以计算出来了下面来计算综合考虑风险后， 得的确定收益，此处采用，用下式计算： = 心一口 在给定的的置信度夕下能够获 ( 1 3 8 ) ( 3 ) 基于c v a r 的发电商长期电能优化分配模型 将发电商年度总发电量类比为总资产，将其在各类市场的发电收益看作投 资回报这样，就可用c v a r 风险理论和资产组合方法来解决发电总量的多市 场分配问题 显然，发电商希望确定分配方案，使平均总收益尽可能大，而风险尽可能 小，即多市场的总发电量分配是一个双目标优化问题依据多目标优化理论， 可将其中的一个目标( 如年度期望总收益) 约束在某一水平，求另一目标的最优 化( 如风险最小化) ，从而转化为单目标最优化问题，这时最优解为原问题的有 效解依照这一思路，我们以年度总期望收益作为约束条件之一，最小化c v a r 风险水平，建立了发电公司年度总发电量多市场分配的c v a r 投标组合优化模 型( 见文献 4 0 】) 令x = ( 毛，x 2 ，) x 为发电商的一种投标组合，其中分量毛表示发电 商的年度总电量在第i 个市场所占的比例，满足条件： 卫 五o ，1 3 f = 1 ，2 ，聊且而= l ， i = i 又设只为第f 个市场的收益率，则多元随机变量y 1 = ( y l ，y 2 ，蜘) 表示发电商 的组合收益率向量y 的均值向量和协方差矩阵分别为： = ( 一，鲍，鲰) 及= ( ) 胀 定义投标组合的收益函数为尺( 毛y ) ，则组合收益的均值e e ( x ，少) 】与方差 盯z 【尺( x ，y ) 】分别为： 8 r ( x ，少) 】= e ( r x ) = x r 及仃2 r ( x ，y ) 】= 仃2 ( ) = x te x 发电商组合投标损失函数厂( 五y ) = - r ( x ，少) 可以由下式给出： f ( x ，y ) = 一( x l y , 4 - 而奶+ ”- 4 - x u y ) = 一x 1y ( 1 3 9 ) 将公式( 1 3 9 ) 代入上节的c v a r 的计算公式( 1 2 2 ) ，可以得到疋( x ，a ) 的表达式 为： 1一+ 易( 郴) = 口+ 高上 - x r y 一口】p ( y ) d y ( 1 3 1 0 ) 取市场收益率y 的样本值y i , y 2 ，y g ，上式有估计式： 芦出，咖口+ 而1 藩q - x r y 七- c t 】+ ( 1 3 1 1 ) 设虚拟变量z t ( 女= l ，, - - - , g ) ，令气= 卜，y 七- - 6 t + , k = l ，2 ，q ，则：z 七0 且 1 0 - x 2 y 七- - 5 于是最小化c v a r 风险的发电商组合投标优化模型为： m i n ，岛力= 曲卜志纠 s j 玉o ，g = 1 ，2 ，。，忉，玉= 1 ， 更h 芝e ， z 七o ， z k 一f 矿一仪 综上所述，基于c v a r 的发电商组合投标模型可以描述为：寻求最优的投 标组合，使得在未来一定时期内( 通常为一年) ，在给定的概率置信水平下，在 保证年度期望收益约束下，使发电商可能遭受的发电平均超额损失c v a r 为最 1 4 本文的工作 基于最坏情况下的条件风险( w o r s t c a s e c o n d i t i o n a l v a l u e a t r i s k ：w c v a r ) 指标，本文建立了风险利润的三个鲁棒组合优化模型， 并设计其计算方法，主要工作如下： ( 1 ) 基于最坏情况下的条件风险，建立了风险利润的三个鲁棒组合优化模 型该模型具有复杂的r a i n m a x 多层优化结构在随机变量服从离散界约束分 布和损失函数为线性的条件下，运用对偶理论转化复杂的r a i n m a x 优化模型为 简单的线性规划问题，在理论上证明了简化后的模型和原模型的同解性 ( 2 ) 在随机变量服从离散界约束和复合分布下，建立了三个风险利润鲁棒 组合优化模型，并将复杂的优化模型简化为容易计算的线性规划，并且在理论 上证明了简化后的模型和原模型的同解性 ( 3 ) 在随机变量服从离散界约束和复合分布两种情况下，以电力市场资产 分配为例，数值仿真分析了发电商在电力市场的投资行为基于最坏情况下风 险模型的建立具有鲁棒性，计算受参数变化的影响不大新模型能够在随机变 量为部分分布信息下估算出风险利润值，以指导市场的投资行为 本文的结构如下：第二章给出了w c v a r 的定义以及离散界约束和复合分 布的定义第三章讨论了在随机变量服从离散界约束下，对三个风险利润鲁 棒组合优化模型进行简化，并进行数值仿真，模拟发电商的投资行为第四章 讨论了在随机变量服从复合分布下，对三个风险利润鲁棒组合优化模型进行 简化，并进行数值仿真，模拟发电商的投资行为，并以数值仿真显示了模型 的有效性最后部分给出结论 第二章w c v a r 度量方法 c v a r 风险管理已有的研究均是建立在已知随机变量分布的情况下进行分 析的，而实际应用中存在随机变量分布部分信息已知的情况，如只知道随机变 量的分布属于某集合在该情况下如何建立风险一利润模型是研究者感兴趣的 问题之一非完全随机变量分布信息下的风险管理已有一些研究成果，一般是 建立最坏情况下的风险分析 2 1 非完全信息下的v a r 测量 均值一方差理论和v a r 风险分析都是基于概率论基础上的投资组合选择模 型，均值一方差理论和v a r 风险分析都是建立在随机变量分布已知的情况下， 而实际应用中存在随机变量分布部分信息已知的情况，如只知道变量的分布属 于某集合等情况金融市场中的不确定性更多地表现出模糊性特征下面介 绍最坏情况下的风险值( w o r s t c a s ev a r ) ，用w o r s t c a s ev a r 描述风险，v a r 风 险分析中假设收益率分布是正态分布的假定下面我们介绍基于w o r s t c a s e v a r 风险的投资组合模型 v a r 定义为： p r o b - r ( x ) 啪 口， ( 2 1 1 ) 其中，一，( x ) 为投资组合在持有期f 内的损失；1 一口为置信水平 此时的v a r 是投资组合在持有期& 内，置信水平为1 一口的最大可能损失 当一，( x ) 的分布为正态分布时，对于给定的均值和方差协方差矩阵r ，根据 文献 3 3 可得： v a r = 一矽一- ( 口) 厩一五r x = k ( a ) 历一互r x ，( 2 1 2 ) 其中尼( 口) = 卅一1 ( 叻为风险因子，钗，) 为标准正态分布函数 当收益分布不是正态分布时，假设收益分布的二阶矩存在，由c h e b y h e v 不等式求解p r o b 一r ( x ，) v a r 的上界( 见文献【3 】) 可以导出公式( 2 1 2 ) ，此 时后( 口) = - 1 x a ，事实上，经典的c h e b y h e v 不等式边界是不严格的，即上界 是不可达的它的严格形式为足( a ) = 一：百丽则 v a r = 一而二而一窆五托( 2 1 3 ) i = 1 对于给定的损失概率水平口( o ，1 和给定的投资组合xs x ，沙为容许的 分布函数集( y 中的分布函数的均值，方差协方差矩阵已知) 定义关于容许的 1 2 概率分布集缈的最坏情况下的风险值( w o r s t c a s ev a r ) 为： w c v a r ( x ) = l i l i nv a r s 7 s u p p r o b 一厂( x ) 眦) 口 2 圳 最坏情况下的风险值( w o r s t c a s ev a r ) 由( 2 1 3 ) 式给出所以基于条件下的 风险值( w o r s t - c a s ev a r ) 指标的投资组合模型为： m i nw c 一凇= 丽 刀 一确 i = 1 s 1 z x , = 1x o q = 1 , 2 , - - ，功 i = 1 v a r 风险计量方法存在着一些缺陷，同样导致了w o r s t c a s ev a r 的不足 结合c v a r 的特性将建立最坏情况下的条件风险分析( w o r s t c a s ec v a r ： w c v a r ) 2 2w c v a r 的定义及性质 z h u f u k u s h i m a 在研究报告中提出了非完全信息下最坏情况下的条件风险 ( w o r s t - c a s ec v a r ：w c v a r ) 概念，分析了w c v a r 的性质，证明了w c v a r 具有与 c v a r 相似的风险度量性质，并在特殊的混合分布和离散分布下讨论了w c v a r 模型的化简 根据1 2 节定义的c v a r ，可以定义w c v a r y 为随机变量，并假设只知 道密度函数属于某个确定的集合p 中，例如：p ( ) p 定义2 1 对于固定的x e x ，关于p 的最坏情况条件风险( w o r s t c a s e c v a r ：w c v a r ) 定义为： w c v a r a x ) 全s u pc v a r p ( x ) ( 2 2 1 ) p ( ) p 文献【1 2 】中，z h o u 和f u k u s h i m a 证明了w c v a r 满足如下性质： ( 1 ) 次可加性：对随机变量x 和y ，p ( x + 】厂) p ( x ) + p ( 】，) ； ( 2 ) 正齐次性：名 o ，p ( 允r ) = 和( x ) ； ( 3 ) 单调性：若x y ，p ( x ) p ( y ) ； ( 4 ) 平移不变性：对于正常数m ，p ( x + m ) = p ( x ) + m 满足上面4 条性质的风险度量称为一致风险度量所以w c v a r 和c v a r 一样 是一致风险度量 2 3 典型的非完全信息分布类型 在本节中，我们介绍一些常用的分布函数 1 3 ( i ) 混合分布 定义2 2 p()昂垒圭五()：圭a=l，丑0,i=1,-,11i=1 i = l ， ( 2 & ) 定义2 2 p ( ) 昂垒 五( ) ：a = l ，丑 ， ( 2 3 1 ) lj 其中( ) 定义为第f 个概率的分布函数，为概率分布的个数 记： 全卜( 护枷：圭以- 1 ，丑 _ ，i - i a , - - - , i = 1) ， 亿3 国 全 见= ( ，五) ：以= 1 ，丑 ， ， ( 2 3 2 lj 定义： 弓伉口) 全口+ i l 胪【厂y ) 一口】+ p ( y ) 咖，f = 1 ， 定理2 1 对每个石，在混合分布昂下，w c w r p ( x ) 由下式给出： w c g a r p ( x ) = m i n m a x f j ( x , a ) ， ( 2 3 3 ) 芑j 、巴l 其中la i = ，2 ，m 对于给定的x z ，定义 “句全口+ 上1 - pl 叭而力一吖 喜五 咖 ，( 2 3 4 ) = 五巧“叻， 其中名a 那么 作为优化问题，( 2 3 5 ) 式的右边等价为 ( 2 3 5 ) 。船r 厂k 圻明) 一缘0 l ( 七= 1 z ，j s ) ； 眩+ 孝+ 舻善q 国o ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 6 ) 可以等价的转化为线形规划问题： m a x l ( h ) v + 办+ r l 兰甲( 碰，m ) s t x l 0 ，t = 1 ，( 江1 ，1 ) ， p 艿+ 厂+ = y x ，厂o ，0 ， ( 3 2 8 ) 口+ 南( 确饥上1 - f l ( 孝+ 堡r 国) 巧， e z + 孝+ 力= u ，孝0 ，c o 0 ， u 七f ( x ，y 【七】) 一口，u 七o ，( 后= l ，2 ，s ) 其中u = 似8 , y , a , a , u ，z ，舌砌 下面给出的定理3 1 可以证明( 3 2 8 ) 并1 1 ( 3 2 6 ) 同解，首先定义1 ，= ( x ，万，7 ，) 定理3 1 若u + = ( x ，艿+ ，厂，z + , 口，“+ ，z + ，孝，国。) 是( 3 2 8 ) 的解，那么当 p = 芹时，v = f ，矿，广，) 是( 3 2 6 ) 的解相反的，若当p = 擘时，矿= f ，罗，矿，) 是( 3 2 6 ) 的解，那么矽。= ( 舅。，彦+ ，少，一a , 厦，历+ ，三，孑，0 3 ) 是( 3 2 8 ) 的解，其中 ( 舀，行，孑。，面) 是 r a 硝i n 卜南c 枷+ 南c 班坩咄c 善水) n 2 的解，q ( x ) 的定义见( 3 2 7 ) 证明： 令u + = ( x ，万+ ，厂+ ，+ ，口，u + z ，孝+ ，) 是( 3 2 8 ) 的解，下面我们证明 矿= f ，莎，广，) 是( 3 2 6 ) 的解 首先，先证明可行性由7 ( “+ ) 的定义，有 2 1 厂 掌) 万誓+ 痧r 方 ( 3 2 1 0 ) u 为( 3 2 8 ) 的解，则 一 m 刺a x 卜南叫南c 机+ + 哿 妇+ 南( 矿) + + 南( 班坷缈k 巧 1 一声、 7 l 一夕“7 二 7 1 那么，可以得到 毗爨廿+ 南万一 b 2 ， 爨黟p + 南 。) _ 。 结合( 3 2 8 ) 中的约束条件，可以证明矿= ，莎，厂，) 是( 3 2 6 ) 的可行解 下面我们证明矿= ( f ，矿，广，) 是( 3 2 6 ) 的极小点运用反证法，假设存在点 矿= f ，萨，歹，万) 使得下面的式子成立： 、壬，( i ，尹，歹，卢。) 、壬，( z ，万，y ，) ( 3 2 1 2 ) 当q ( x ) = q ( _ ) 时，点_ 是( 3 2 9 ) 的解，定义( 矿，矿，尹，芗。，矿) ，结合- ，我 们可以得到( 3 2 8 ) 的可行点r y = ( 歹，万，歹，万。，矿，矿，尹，芗，矿) 则不等式 ( 3 2 1 2 ) 与u 是( 3 2 9 ) 的最优点矛盾因此，= p ，矿，广，) 是( 3 2 6 ) 的解 反过来，若当尸= 擘时，矿= + ，彦，矿，乃) 是( 3 2 6 ) 的解，( 厦+ ，厅，三。，手，历+ ) 是 ( 3 2 9 ) 的解，当o ( x ) = n c i ) 定义驴= ( 戈，彦+ ，尹。，乃，厅，厅+ ，三+ ，孑，a 5 ) 下面证 明d 为( 3 2 8 ) 的解 若0 + 不是( 3 2 8 ) 的解，那么存在扩。= ( 尹，万，广，万，矿，矿，_ ，芗，矿) 是( 3 2 8 ) 的解由本定理上半部分的证明中知道，矿= ( 亨，否，罗，乃) 是( 3 2 6 ) 的解，那么有 、王，( 尹，万+ ，歹，矿) 、王，( 戈，彦+ ，夕，口) 成立，这与矿是( 3 2 6 ) 的解矛盾 所以驴。是( 3 2 8 ) 的解证明完毕 运用和模型1 类似的方法，模型2 可以等价的变形为： m i n 加，卜南c 批+ 南c 张+ 蜊t 兰吣眦嘭纠 n 薯o ，窆蕾= 1 ，( 江1 ，一，1 ) ， 忽+ 孝+ 缈= “，孝o ，功0 ， ( 3 2 13 ) “七厂( 五m 七】) 一口，甜七o ，( 后= 1 , 2 ，s ) ， m 川a xf l ( y x ) r 刀o + r y + 翌7 ：击+ y + = 聊 砭 ( 3 2 1 3 ) 可以等价i t , 简为卜向的线形规划： 硝n i m 川卜南( 群卅南沈哼国， s j 而o ，z x j = l , ( i = l , ，以) ， 日+ 孝+ 国= “，善o ，力o ， ( 3 2 1 4 ) u k - f ( x , y t ) 一口，咋0 ， = l ，2 ， ( 聊r 矿+ - - 刁t y + 矿砭， e s + y + p = y x , y o o 定理3 2 若u = ，口， ，z ，f ，c o * ，矿，厂，) 是( 3 2 1 3 ) 篚j 解，那么当尸= 牟 时， ，= ( ? ，矿，7 ，f ，方) 是( 3 2 1 4 ) 的解相反的，若当尸= 牟，矿= 舅，茁，彳z ，孑，方) 是( 3 2 13 ) i 拘解，那么当x = x 一，扩= 口，劳，矿，萝，尹，方，护，矿，芦) 是( 3 2 1 4 ) 的解， 其中秽，矿，声) 是 m m a x ) l l ( y x ) t t o - - 一7 厂+ 翌7 舭舢厂+ 地，厂如， o ) ( 3 2 15 ) 的解 定理3 2 的证明过程类似与定理3 1 ，这里就不再详细的证明了 类似与模型1 的简化方法，模型3 可以简化为如下的形式： m u a 乱x ( r x ) tf 七- - n t y + 童心一 私南矿 + 南而h 望锄， p 2 1 6 其中u = 【x ，6 ，y ，口，u ，z ，f ，国) 3 3 基于w c v a r 的发电资产组合计算 电力市场受到多方面因素的影响呈现为信息的不完全性，例如季节、气候、 现货市场、远期合约市场等本节将运用w c v a r 风险一利润模型研究电力资产 的分配问题，以测试模型的可行性为简单起见，资产分配考虑现货市场和远 期合约市场的影响，随机变量y 表示在两个市场的年度利润，决策变量x 为两 个市场资产分配的比例随机变量离散分布运用m o n d e - c a r l o 方法取点 本节数值试验考虑标准的k t s 9 6 系统，数据来源于s u 论文【2 6 】市场样本 取点10 0 个计算环境为i n t e l ( r ) c e le r o n ( r ) mp r o c e s s o r1 6 0 g h z ，5 0 4 m b 的内存，m i c r o s o f tw i n d o w sx pp r o f e s s i o n a lo p e r a t i n gs y s t e m 3 3 1计算结果分析 根据简化模型( 3 2 8 ) 、( 3 2 13 ) 、( 3 2 16 ) 的计算结果见下图 (