（应用数学专业论文）非线性时间序列理论的若干应用.pdf

j e 塞銮道盔堂亟堂焦监塞生塞擅要 中文摘要 摘要：非线性时间序列理论是非线性科学研究中十分活跃的一个新分支，现在已 被广泛应到各个学科领域。本文首先利用多重分形消除趋势方法对由代换产生的 f i b o n a e c i 序列进行研究，通过研究对应的小数序列，首次从理论上得出该序列具 有多重分形性质。其次，本文利用多重分形消除趋势方法研究了交通速度时间序 列。交通时间序列的多重分形性通常与交通流时闻序列的长相关性或概率密度函 数有关。本文应用多重分形消除趋势波动分析( m f d f a ) 方法分析了北京玉泉营 快速路的速度时间序列，发现速度时问序列存在一个时间标度值，其前后的信号 分别具有不同的相关指数。用m f df _ a 方法对原始序列和扰动序列进行分析比较， 发现交通时间序列的多重分形性主要是由交通流的相关性决定。该结论对利用多 重分形模型进行交通流数据的修复及交通流时间序列的预测具有一定的指导意 义。然后，本文基于传统线性插值理论，首次提出了利用非线性分形插值方法对 交通流数据进行修复，并在一定程度上提高了修复效果。最后，本文结合相空间 重构理论对短时交通流时间序列进行混沌预测，得到了较满意的预测效果，这克 服了传统统计分析方法抗干扰能力差、信息预测效率低的缺点，具有重要的现实 意义。 关键词：多重分形消除趋势分析( m f - d f a ) ；f i b o n a e c i 数列：交通时间序列；分形 插值；相空间重构；最大l y a p u n o v 指数 分类号：0 2 1 2 a b s t r a c t a b s t r a c r n o n l i n e a rt i m os e r i e si san e wb r a n c ho f n o n l i n e a rs e i c ea n dh a sb e e n u s e di nt h eo t h e rf i e l d so f s c i e n c em o l ea n dm o l ew i d e l y i nt h i sp a p e r , f i b o n a e e is e r i e s w h i c hi sg e n e r a t e db ys i g m as u b s t i t u t i o ni ss t u d i e db ym u l t i f r a e t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o n a n a l y s i s ( m f - d f a ) b ya n a l y z i n gt h ec o r r e s p o n d i n gd e c i m a lf i b o n a c e is e r i e s ，f o rt h e f i r s tt i m e , w es h o wt h a tt h em u l t i f r a e t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i sm e t h o dc a l l r e l i a b l yd e t e r m i n e t h em u l t i f r a e t a ls c a l i n gb e h a v i o ro ft h es e r i e s t h e n , w ea p p l y m u l t i f r a e t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o n a n a l y s i s m e t h o dt o s t u d yt r a f f i c t i m es e r i e s , m u l t i f r a e t a lb e h a v i o ri nt r a f f i ct i m es e r i e su s u a l l yc o n n e c t e dw i t hd i f f e r e n tl o n g - r a n g e ( t i m e - ) c o r r e l a t i o n so ft h es m a l la n dl a r g et l u e t u a t i o n so r ( a n d ) 1 1b r o a dp r o b a b i l i t y d e n s i t yf u n c t i o nf o rt h ev a l u e so ft h et i m es e r i e s m u l t i f r a e t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o n a n a l y s i s ( m r d f a ) i su s e dt os t u d yt h et r a f l i es p e e df l u c t u a t i o n s i ti sd e m o n s t r a t e dt h a t t h es p e e dt i m es e r i e s ，o b s e r v e do nt h eb e i j i n gy u q u a n y i n gh i g h w a y , h a sac l t o $ $ o v t 朗l t i m es c a l e0 。，w h e r et h es i g n a lh a sd i f f e r e n tc o r r e l a t i o ne x p o n e n t si nt i m es c a l e ss 以 a n ds 2 本文中对f i b o n a c 庙序列进行如下研究，构造序列，方法如下： 一( 1 ) = o 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 6 j e 塞銮通友堂硒堂位i 金玄班究i q n i 庄到鳇垒重盆厦性厦 毛= 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 毛= o 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 毛- - 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 ： 即第k 项以是由矿( 1 ) 的第k ( 包括) 个元素之后的部分作为小数部分，整数部分 取0 得到。本文中我们利用m a t l a b 编程，生成3 0 0 0 个数据，其中1 0 0 个点的图形 如图l 所示 o1 02 f l柏5 0加8 01 圈1 ：t 0 0 个数据点的f i b o n a c c i 序列变化图 2 3 2多重分形性的判断 图2 ：3 0 0 0 个数据点的累计离差图图3 ：2 0 0 个数据点的累计离差图 7 眦 呲 | 莹 懈 耋| 。 北塞銮道太堂亟堂盈i 金塞研容墅i 塾q g i 崖到殴垒重盆形性厦 图2 给出了累积离差y o ) 随i 变化的关系图。从图中可以看出，累计离差总体 上像一个开口向下的抛物线。图3 是图2 的一个局部放大图，它给出了第1 2 0 0 到 1 4 0 0 共2 0 0 个数据点处的累计离差，从图3 看出，在不同的位置处，序列y ( i ) 的 变化趋势不同，有时上升、有时下降，这些上升、下降趋势有的持续时间长，有 的持续时间短；有时幅度大，有时嘱度小。 - 一o f - 1 5 * 一q = - 1 0 一棚 * 硝 b q = - 3 口；1 _ - 一枷8 扣鲫5 _ 卜口蜘3 - 一口= 如 一a ：0 ， 母- f 0 3 网5 一栅8 pq = l 一一t p 3 一口= 5 + 一商 e _ 一萨o f 1 5 图4 ：( s ) s 与j 的双对数图 对累积离差序列，分段消除趋势( m f - d f a l ) 后，计算波动函数值，在双对数图 中分析只( j ) 与j 的关系( 如图4 ) ，其中从下往上g 的取值分别为 q = 一1 5 ，一1 0 ，一8 ，- 5 ，一3 ，l ，0 8 ，0 5 ，- o 3 ，o 1 ，0 1 ，0 3 ，0 5 ，o 8 ，l ，3 ，5 ，8 ，l o ，1 5 ，从图4 可以看出 f i b o n a c c i 序列的波动函数只与s 的双对数满足幂律关系。且当譬 o 时，波动函数f o ( j ) 起伏较小。 图5 ：h ( q ) 与q 的关系图 s 北塞变通去堂亟堂位论奎鲤宜i qn i 崖副数垒重盆髭芏e 厘 当拟合区间j 取值为5 0 1 5 0 0 内，是 长相关稳定随机过程【i 】，图l o ( c ) 给出了多重分形谱f ( u ) 与口关系图。图1 1 给 出了在标度区间s 内广义h i 璐t 指数 ( g ) 与g 的关系 北塞交适太堂亟堂焦途塞拯型窑通吐回庄到龅篮揠羞挂塑重盆理性 图1 3 ：原始序列( ) 和扰乱序列( ) 在标度区间s s ，和s s 。和s j ，内，交通时间序列是一个很好的稳定时间序列；而 在时间标度区间j j ，时，) 和)弱依赖于，xh ( q r ( qq 交通时间序列具有单分形性；另一方面当j 屯时， ( g ) 和f ( g ) 强依赖于叮，交通 流速度时间序列表现出多重分形性质。通过比较原始时间序列和相应扰乱序列的 广义h u r s t 指数，我们发现由相关性产生的多重分形性要比由概率密度函数产生的 多重分形性更强。 1 4 韭塞銮煎太堂亟茎焦监室銮煎熬握酸韭线挂亟熊堡友法 4 交通数据的非线性预处理方法 交通模型输入数据的质量对于模型的有效性具有不可忽视的作用。实际道路 交通系统中采集到的动态交通数据不可避免的存在着故障( 如数据丢失) ，不能反 映真实的交通状况，因此对交通数据进行预处理以提高信息的准确性成为必然。 传统的交通数据预处理方法有移动平均法、指数平滑法和卡尔曼滤波法，但这些 方法都属于是线性处理方法，不能揭示交通流的复杂性和随机性，而标准的分形 可以和现实世界中的现象很好的结合起来。因此本章我们引入一种非线性数据预 处理方法分形插值方法。 4 1插值函数 分形插值函数可以看作是一种发展了的科学工具的工作语言。传统上，构造 插值函数时，由于函数类型的不同，有多项式插值方法、样条插值方法、三角插 值方法等。常用的多项式插值方法又囡功能不同，分为拉格朗日插值、牛顿插值 等。分形插值函数是美国数学家m e b a m s l o y 在1 9 8 6 年首先提出，这种函数图像 可以近似的描述那些欧氏函数不能很好地描述的物象，如山脉的轮廓，森林项部 起伏的曲线等；并且还提供了模拟经典几何在其面前也无能为力的实验数据的新 方法，如表明人体在一段时问内脉搏跳动强弱的向量。即在豪斯道夫度量下，分 形插值函数的图像能接近于这些数据，而且它的分形维数与这些数据的分形维数 在适当的尺度范围内是一致的。 分形插值函数可以像欧氏函数一样由“公式”简明扼要的表示，并且可以在 应用仿射i f s 定理及随机迭代算法和确定性算法快速的计算，但它不同于欧氏函 数，因为它可以具有非整数维数，这也是它的优越之处。 4 2分形插值原理 设 x ：吃，筇= l ，2 ，研是完备度量空间( x ，力上的( 双曲) 迭代函数系i f s ， 压缩比为c ，变换：，( x ) 寸，( z ) 由下式定义：矽( 丑) ；6 q ( 丑) v b f ( 柳， 则矿是( ，( x ) ，以) 上，压缩比为c 的映射，即( 形( 曰) 矿( c ) ) s c ( 曰，0 ， v b ，c e ，( x ) 且存在唯一的不动点( 不变集) a e ，( z ) ，满足彳= 矿( 彳) = 0 q 口) ， 牡i 并且对任意的v 曰f ( x ) ，_ 2 熙形“( 曰) j e 塞变通盔堂亟堂僮途塞銮通熬蟹鳆韭线性亟艟堡友洼 f ( 石) 是x 的非空紧子集空间，以是豪斯道夫距离，( ，( 工) ， 。) 是完备度量空 间i f s 的不动点a f ( x ) 称为这个i f s 的吸引子。i f s 的吸引子一般都是分形，称 为确定性分形，而有趣、奇特的分形又称为奇异吸引子。 称具有如下形式的点集为数据集 ( 五，乃) r 2 ：i = 0 , 1 ，2 ，2 v ，其中 x o 五 h ；相应于此数据集的插值函数是一个满足插值条件： “玉) = 乃，i = 0 , 1 ，2 ，的连续函数f ： x o ，h 卜争r 。点瓴，舅) 帮叫做插值点，我 们说函数厂插值于这些数据。 构造迭代函数系僻2q = l 2 ，i v ，使得这个迭代函数系的吸引子等于插值 函数厂( 力的图像。设迭代函数系似2q - - 1 ，2 ，) 中每个函数q 是仿射变换，表 示为哆：寸砰，满足q g = ( 三三) g ) + ( ，r = - ，2 ，并且满足如下条 件 以( 芰) = f ，y 缸l - i , q ( 曼) = ( i ；= t ，z ， 即对每个，应满足： q 而+ q 2 五一l 口+ 包= x l q 而+ d y o + 石= y “ c n + d y n + 五= y | 显然每个变换中应有一个自由参数，由于喀的特殊性，我们选自由变量为或， 称为垂直比例因子，解上面方程组得： 程。 以2 x i - - x i - i x n h q ；进一吐z 逊 1 n 一1 n5 n 一 巴；盘苎= ! ：墨苎 h 一而 z = 型嗵一吐型继 僻2 ，哆= l ，2 , - - - , ) 就是所求的迭代函数系。 图1 4 以3 个点为例，给出了迭代1 次、2 次、3 次及最终吸引子的迭代生成过 1 6 扯塞交通盘堂亟坐焦监塞銮煎塑握数韭线e 耍处堡左鎏 图1 4 ：3 个点的吸引子迭代过程图 一般来说，分形插值函数的图像极其复杂，在任意局部领域中的无限震动性， 决定了分形插值函数处处不可导，也可以利用这种方法对自然晃中的许多现象进 行模拟，如海岸线、云的边界，山脉的轮廓等，从而构造出令人满意的效果。 由上面分析知，垂直比例因子西是个非常重要的参数，它决定了曲线的复杂 程度，通过它的不同取值可以控制曲线的震荡。但对于垂直比例因子z 的选取， 目前还没有成熟的算法。下图1 5 给出了垂直比例因子取0 、0 2 ，0 5 、0 7 时分形 插值吸引子图像，特别的，当垂直比例因子取0 时，分形插值变为传统的线性插 值。 图1 5 ：三个点的分形插值吸引子图 在本文中采用的交通流数据，我们通过编程验证的方法取垂直比例因子为o 2 1 7 北塞銮通太堂亟堂焦i 金奎銮通熬撂的韭缉鲑煎处理左法 4 3 分形插值在数据丢失方面的应用 本节我们采用三环0 3 0 5 4 监测器在2 0 0 6 8 1 68 ：0 1 到2 0 0 6 8 1 69 ：0 1 每两分钟 一个数据，共3 1 个数据进行，再每隔5 个数据取一个数据，共取其中7 个数据进 行分形插值，垂直比例因子破= o 2 ，得到分形插值数据与传统的线性插值进行比 较，最终得出分形插值误差要比传统线性插值误差要小一些。分形插值与传统线 性插值比较如图1 6 所示。 表l 图1 6 ：分形插值与传统线性插值比较图 分形插值( 迭代一次)线性插值 时间实际流量 插值数据相对误差( )插值数据 相对误差( ) 8 ：0 11 3 51 3 50 1 3 5 o 8 ：0 3 1 7 61 4 3 11 8 ，6 91 3 7 22 2 0 5 8 ：0 51 3 51 4 7 29 0 41 3 9 43 2 6 8 ：0 71 5 81 5 7 10 5 71 4 1 61 0 3 8 8 ：0 91 2 91 5 01 6 z 81 4 3 81 1 4 7 8 ：l l1 4 61 4 6o 1 4 6 0 8 ：1 31 6 51 4 1 0 41 4 5 21 4 3 41 3 0 9 8 ：1 51 3 11 3 7 6 85 1 01 4 0 87 4 8 8 ：1 71 2 0 1 3 2 1 0 0 01 3 8 2 1 5 1 7 8 ：1 9 1 5 81 3 3 ，1 2 1 5 7 51 3 5 6 1 4 1 8 8 ：2 11 3 31 3 3o 1 3 3 0 8 ：2 31 4 41 4 4 30 2 l1 3 8 43 8 9 8 ：2 51 4 71 5 1 63 1 31 4 3 82 1 8 8 ：2 71 5 61 6 4 75 5 81 4 9 24 3 6 1 8 拙塞銮通去望亟土堂焦论塞銮通熬握曲韭线丝亟处理友洼 8 ：2 91 3 1 1 6 0 82 2 7 51 5 4 6l & 0 2 8 ：3 11 6 01 01 6 0o 8 ：3 3 1 4 8 1 5 1 5 22 3 81 5 8 67 1 6 8 ：3 5 1 4 7 1 4 7 8 40 5 71 5 7 26 9 4 8 ：3 7 1 4 3 1 3 7 24 0 61 5 5 88 9 5 8 ：3 91 3 51 4 6 9 68 8 61 5 4 41 4 3 7 8 ：4 l1 5 3 1 5 301 5 30 8 ：4 31 3 8 1 4 5 2 55 2 51 4 8 27 3 9 8 ：4 51 5 61 3 9 51 0 5 8 1 4 3 48 0 8 8 ：4 71 4 51 3 0 8 5 9 7 61 3 8 64 4 1 8 ：4 91 3 91 3 0 75 9 7 1 3 3 83 7 4 8 ：5 11 2 91 2 9o1 2 9 o 8 ：5 31 4 61 3 2 79 ，1 1 1 2 6 81 3 1 5 8 ：5 51 5 01 3 2 41 1 7 3 1 2 4 61 6 9 3 8 ：5 7 1 3 9 1 3 7 9o 7 91 2 2 41 1 9 4 8 ：5 91 2 71 2 6 ，4 o 4 71 2 0 25 3 5 9 ：0 11 1 81 1 8o 1 1 8o 平均相对 6 1 7 7 5 5 误差( ) 从表中可以看出，传统线性插值平均相对误差为7 5 5 ，而分形插值的相对误 差为6 1 7 ，分形插值的方法的精度比传统线性插值有了一定提高。 4 4小结 本章运用分形插值思想对交通流数据进行修复。构造分形插值吸引子的方法， 兼顾了交通流时间序列的复杂性，时变性以及自相似性特点，同时克服了传统的 插值方法不能反映两相邻相关点之间局部特性的缺点，并得到了比传统的插值更 高的精度。分形插值方法对保证交通模型输入信息的准确性和可靠性方面具有一 定改进。此外，由于垂直比例因子西的选取目前还没有很成熟的方法，因此找到 更有效的计算垂直比例因子的算法后，利用分形插值方法进行数据修复的精度将 会大大提高，这将对提高交通模型的运行效果具有重要的实际意义。 韭塞奎通盍堂殛堂位i 金毫銮煎速的韭线性遑浊塑酒 5 交通流的非线性混沌预测 交通参数的短时预测研究在国际上一直很活跃，尽管人们对交通参数的短时 预测的研究一直非常关注，关于交通参数预测的模型和方法也很多，但是大多数 的模型和方法都是基于统计分析的线性的描述，抗干扰能力差、信息预测效率低。 实际的交通系统是一个复杂的、时变的、有着较强随机干扰的大系统，它的变化 规律并非线性，所以基于线性描述的方法不能准确地体现实际交通系统的变化特 性，预测的效果和精度有限。 为了更加准确地预测交通数据，本章我们主要利用相空间重构、l y a p u n o v 指 数的非线性预测方法来预测交通流数据。 5 1相空间重构预测方法 5 1 1相空间重构概述 近年来，混沌时间序列分析方法在很多科研和工程领域得到了广泛应用。相 空间重构是混沌时间序列分析的基础。 1 9 8 0 年p a c k a r d 等人提出了用时间序列重构相空间的两种方法；导数重构法 和坐标延迟重构法。从原理上讲，导数重构和坐标延迟重构都可以用来进行相空 间重构，但就实际应用而言，由于我们通常不知道混沌时间序列的任何先验信息， 而且从数值计算的角度看，数值微分是一个对误差很敏感的计算问题，因此混沌 时间序列的相空间重构普遍采用坐标延迟的相空间重构方法。坐标延迟的本质是 通过一维时间序列k ( f ) 的不同时间延迟来构造珊维矢量： 工( f ) = 工( f ) ，工o + f ) ，x ( i + ( i n 1 ) f ) 。 1 9 8 1 年t a k e n s 等提出嵌入定理：对于无限长、无噪声的d 维混沌吸引子的标 量时间序列k o ) ) ，总可以在拓扑不变的意义下找到一个册维的嵌入相空间，只 要维数辨2 2 d + 1 。t a k e n s 定理保证了我们可以从一维混沌时间按序列中重构一个 与原动力系统在拓扑意义下等价的相空间，混沌时间序列的判定、分析与预测是 在这个重构的相空间中进行的，因此相空间重构是混沌时间序列研究的关键。 1 9 8 5 年g r a s s b e r g e r 和p r o e a c , e i a 基于坐标延迟法，提出了关联积分的概念和 计算公式，该方法适合从实际时间序列来计算混沌吸引子的维数，被称为g p 算 法。g - p 算法是混沌时间序列研究中的一个重要突破，从此对混沌时间序列的研究 韭哀窑通塞堂亟主堂焦监塞窑通逾艘韭线世暹浊嚣剜 不仅仅局限于已知的混沌系统，而且也扩展到实测混沌时间序列，从而为混沌时 间序列的研究进入实际应用开辟了一条道路。 5 1 2重构参数的确定 在重构相空间中有两个关键参数：即嵌入维数m 和时间延迟f 】。它们的选 取目前主要有两种观点：一种是认为两者是互不相关的，即埘和f 的选取是独立进 行的。现有的时间延迟的方法一般基于以下准则：( 1 ) 序列相关法。让y ( ) 内元 素之间的相关性减弱，同时r ( t j 包含的原动力学系统不丢失。如自相关法、互信 息法、高阶相关法等；( 2 ) 相空间扩展法。重构相空间轨迹应从相空间的主对角 线( f 很小时) 尽可能的扩展，但不出现折叠，如填充因子法，摆动量法、平均位 移法、s v f 法等；( 3 ) 复自相关法和去偏复自相关法，它是一种介于流量类准则 之间的方法，具有很强的理论依据，其计算复杂度不大，对数据长度依赖性不强， 具有很强的抗噪能力。另一种是认为两者是相关的，即r a 和f 的选取是相互依赖的。 如时间窗口法、c c 方法可同时计算出时间延迟和时间窗口。下面介绍本文求嵌入 维数采用的c a o 方法和求时间延迟采用的平均位移法。 c a o 方法： 该方法是由c a ol i a n g y u e 提出的改进的虚假最近邻点法( f a l s en e a r e s t n e i g h b o r sf n n ) ，由此称为c a o 方法【2 ”，这种方法计算时只需要延迟时间一个参 数；能够有效区分随机信号和确定性信号，使用较小的数据量就可以求得嵌入维 数。 虚假最近邻点法的思想是这样的从几何的观点看，混沌时间序列是高维相 空间混沌运动的轨迹在一维空间上的投影，在这个投影的过程中，混沌运动的轨 迹会被扭曲。高维相空间中并不相邻的两点投影在一维空间轴