（应用数学专业论文）三角空间上的hermite插值.pdf

摘要 函数插值与函数逼近有着密切的联系，插值多项式可看作实现函数逼近的一种重要 工具由于理论和实践的需要，代数多项式插值和三角多项式插值的研究在近几十年来 发展很快与代数多项式相比，三角多项式插值的研究要困难一些，研究方法也有众多 不同。三角h e r m i t e 插值问题的研究是近二十几年来比较活跃的研究课题，国内外许多 学者采用不同的方法研究三角h e r m i t e 插值，逐步丰富了三角插值理论。 从现有文献看，各个不同三角函数空间上的三角h e r m i t e 插值问题一直被人们忽略。 本文通过引入三角函数空间的概念，在综述前人所做的三角h e r m i t e 插值问题基础上， 讨论一般情况下实轴自由节点的l ，2 ，s l ，s 2 空间上的h c r m i t e 三角插值问题，以及当 n 个插值节点的所对应的重数都相等时，这种特殊情况下的n 1 ，n z ，- h ，q 1 ，q 2 空间l 二 的h e r m i t e 三角插值问题，并给出相应h e r m i t e 三角插值多项式 关键词：三角函数空间，三角h e r 血t e 插值，半三角h e r m i t e 插值，各个不同三角函 数空间上的三角h e r m i t e 插值 a b s t r a c t t h e r ea r es u b s t a n t i a lr e l a 土i o nb e t w e e nt h ei n t e r p o l a t i o na n da p p r o x i m a t i o no ff u n c t i o n s t h ei n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a li sr e g a r d e da st h ei m p o r t a n tt o o lo fa c h i e v i n ga p p r o x i m a t i o no ff u n c t i o n t h es t u d yo nt h ea l g e b r a i ci n t e r p o l a t i o na n dt h et r i g o n o m e t r i c i n t e r p o l a 土i o ni sr a p i d l yd e v e l o p e di nv i e wo fb o t ht h e o r e t i c a lr e a s o n sa n da p p n c a t i o n s ， c o m p a r i n gt ot t l ca l g e b r a i cp o l y n o m i a l ，t h et r i g o n o m e t r i cp 0 1 y n o m i a li n t e r p o l a t i o ns t u d y i n gi sm o r ed i m c u l t ，a n dt h em e t h o d sa r em o r ed i f r e r e t t 1 1 eh e r m i t et r i g o n o m e t r i c i n t e r p o l a t i o np r o b l e m sb e c a m ei n t e r e s t i n ga m df l o u r i s h8 u b j e c t si nt h el a s tt w e n t ) ty e a r s m a n ym a t h e m a t i c i a n sa r ew o r k i n go nt h e ma n do b t a i ne n o r m o u sa c h i e v e m e n t n o mt h ea b o v ep a p e r s ，t h ep r o b l e ma b o u th e r m i t et r i g o n o m e t r i ci n t e r p 0 1 a t i o no n d i 色r e n tt r i g o n o m e t r i cf l l n c t i o ns p a c e si sa l w a y si g n o r e d i nt h i sp a p e r ，t h r o u g hi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to ft r i g o n o m e t r i cf h n c t i o ns p a c e s ，w ed i s c u s st h ep r o b l e m so fh e r m i t et “g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o no n 1 ，2 ，s l ，s 2 s p a c e sf o ra n yn u m b e ro fi n t e r p o l a t i o n p o i n t sw i t hd i b r e n tm u l t i p l i c i t i e 8 ，a sw e l la st h ep r o b l e m so fh e r m i t et r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o no nq l ，q 2 ，仰1 ，q 1 ，q 2s p a c e sw i t hu n i f o r mm u l i p l i c i t 矿w ea l s oc o n s t r u c t i v e c o r r e s p o n d i n gh e r m i t et r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o np o l y n o m i 以s ， k e y w o r d s ：t h ec o n c e p to ft r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns p a c e s ，t r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n p a r a t r i 9 0 n o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n t r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a - t i o no nd i n b r e n tt r i g o n o m e t r i cf u n c t i o ns p a c e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：叁蕴日期：趁堑：茎：乡 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：套弱 指导教师签名 学位论文作者签名：壁竺! 指导教师签名 乍 日期：坦煎：刍f 日期：也! ：! ) 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：矍盘皿2 垂啦 通讯地址 电话： 邮编： 引言 函数逼近是在离散的数据的基础上构造出具有一定插值性质的代数或三角多项式来 逼近所考虑的函数由于实践和理论的广泛需要，有关插值问题的研究在近二十几年发 展很陕，除了对经典的l a 帮a n g e 插值和h c r m i t e 插值得到一蝗新的结果外 1 0 ，还引入 了一些新的插值，例如b 酞l o 盛插值【1 i 】，i i e r 曲t e 样条小渡插值等f 2 5 】，代数多项式插 值的研究已取得相当丰富的成果。随着实践中周期问题研究的不断深入，三角插值成为 必不可少的工具。与代数多项式插值相比，三角多项式插值的研究要困难些，方法有 众多的不同。 就。瞎r g e 三角捕值而肓，当奇数个插值节点时，文献 已有经典的结果。对于 偶数个插值节点绝大多数文献所作出的三角插值基都是正蜊的，鄢在某一三角萄数空 间中找到一组插值基自从杜金元在文献【2 1 1 中引入三角多项式类的概念后，t 。a g r a n g c 三角插值多项式的研究才取得完整的结果，将三角精度提高到最大 定理o l 删播值节点为f l ，屯，如的l a 毋a n g e 三角插值基为： 当n 为奇数时 “t ) = 端c s c ；( 一 当n 为偶数时“砷= 甄看若装意等娄勰 其中i 。 喇。要曲b 妒啪肛 ；一j 烈一地。茎“” 对于任何口，记号 表示 p 三旧( m o d ) o m f o 】+ 1 即2 + q p 一1 o 设 碑，：妻描 k = 【甲h 则日( 。) 为解析函数从而： ( o ) = 吣r = o ，1 ，“： 俨一g 一弘2r 、 i 万蕊“ 定理o 2 | 1 6 1 给定2 ( p + 1 ) n 个复数船。 g = o ，1 ，2 ，p m 。o - l ，2 ，2 ”一1 ：窆妻删啄。一等) 舢 驯川z ) = 鹏( z 一詈) 。a m = 0 口= q 其中 。( z ) 由( o 3 ) 式给出 则在睨。空间中，存在唯一( p + 1 ) n 阶三角多项式耳，n ( ，) 满足插值插值条件 驯，) ( 警) = 幽) q = o ，1 j 2 1 。，p - m = o ，1 ，2 ，鼽一1 斋 刎驻静等 1 9 8 3 年d e l v 0 8 引入了”周期和”反周期的概念，讨论了满足一定插值条件的插值 节点在f 0 ，”) 上的l a g r a n g e 三角插值，n l y o r 三角插值以及h e r m i t e 三角插值问题【1 7 d e l v o s 利用k r e s s 引入的三角母函数构造出”周期和”反周期的三角h e r m i t e 插值多 项式，不论插值节点的重数之和是奇数还是偶数，插值基总是唯一存在的比起节点在 ha + 2 ”) 上的三角h e r m i t e 插值问题，d e l v 0 8 讨论的问题要简单一些，主要不涉及半三 角多项式的许多性质尽管如此，d e l v o s 的思想方法仍有许多借鉴，将s a l z e r 和k s 的 理论推广到节点重数不相等的非等距节点的h e r 】n i t e 三角插值问题上但d e l v o s 没有给 出余项的误差估计，并且此时所求得”周期和”反周期h e r m i t e 三角插值多项式并不是 阶数最小的 1 9 7 9 年和1 9 8 3 年t 0 ml y c h e 与i i c h i m 分别利用三角插商和类似推导h e r m i t e 代数 多项式插值的方法讨论了h e r m i t e 三角插值问题，并且t 0 ml y c h e 给出了只有一个插值 节点的n e w t o n 型h e r m i t e 三角插值公式 1 8 】一口0 文献 15 _ 【2 0 均是在某些特殊情况1 ：构造出三角h e r m i t e 插值基那么最一般情况 下实轴自由节点的三角h e r m i t e 插值基又如何呢? 文献 2 2 - 24 对上述问题给予充分解 决，给出了实轴自由节点的三角h e r m i t e 插值基 1 9 9 7 年金国祥运用k r e s s 和d e l v o s 的思想方法，在最一般情况下讨论了实轴上自由 节点的h e r m i t e 三角插值问题【2 2 】。证明了当插值节点重数之和为奇数时，三角h e r m i t e 插值基唯一存在当插值节点重数之和为偶数时，三角h e r m i t e 插值基不唯一。但在三角 多项式”类”的概念的观点下，插值基才唯一并构造出两种情形下的插值基表达式， 同时文献 2 3 利用残数定理给出了h e r m i t e 三角插值余项的积分表达式，讨论了h e r m i t e 三角插值多项式的收敛性 2 0 0 4 年杜金元通过引入半三角多项式的概念，深入讨论了h e r m i t e 半三角插值问题 及h e r m i t e 三角插值问题，分别得到两种情况的插值基1 2 4 】利用h e r m i t e 半三角播值基 及h e r m i t e 三角插值基具体讨论了2 ”周期与2 ”反周期三角函数的h e r m i t e 插值问题 插值节点的重数之和为奇数( 或偶数) 时的2 ”反周期三角插值问题正好是对应插值节点 重数之和为偶数( 或奇数) 时的2 ”周期三角插值问题，推广了金国祥的结果 但文献 2 4 】中引理( 2 ，3 1 ) 所给出在三角母函数 。( f ) 其阶数不一定为丢( m + 1 ) ， 需要结合m s 的奇偶性具体分析当m s 为偶数时，其阶数为 ( m + 1 ) ；当m s 为奇数时，其阶数为；( m 一1 ) 我们在第二节中对这个问题进行修正，并在此基础上给出 修正的三角和半三角h e r m i t e 插值基同时文献 2 4 l 中引理( 2 2 5 ) 实质上把三角多项式 和半三角多项式在区间【o ，2 ”) 上的零点情况统一起来，但并未给出证明我们将在第二 节对这个引理进行证明 本文通过引入三角函数空间的概念，讨论一般情况下实轴自由节点的- ，z ，马，岛 空间中的h e r m i t e 三角插值问题，以及当n 个插值节点的所对应的重数都相等时，这种 特殊情况下的n l ，q 2 ，t 砚，w ，2 ，q t ，q 2 空间中的h e r m i t e 三角播值问题 注；在本文以下讨论中我们记 晰嘛) = 豢”儿乩 4 1三角函数空间 本节三角函数空间的概念以及各个三角函数空间不同基底的等价形式，是盛中平教 授首先提出的。 一个函数t ( t ) 称为2 7 r 周期的，如果t 0 + 2 7 r ) = t ( t ) 一个函数t ( t ) 称为2 7 r 反周期的，如果t o + 2 ”) = 一t ( t ) 利用文献f 1 3 中三角函数之间的关系，我们不难定义如下不同的三角函数空间： 定义1 1 ( 1 ) 2 ”周期三角函数空间1 1 = s p 口n 1 ，c o sp ，s i n 口，一，c o s n 口，s i n 礼口，) = s p 。扎 l ，c o s p ，tr c o s “口， l ，c o s 护，t ，c o s “一1 一，) s i n 挣) = 印。n 1 18 i n 2 口，s i n 2 mp ，) ， l ，8 i n 2 日，s i n 2 m 口，) c o s 扫) u印。饥 s i n 臼，s i n 3 目，s i n 2 m 一1 日，) ， 8 j n 口，8 王1 1 3 口，s i n 2 m 一1 目，) c o s 臼) ( 2 ) 2 ”反周期半三角函数空间2 。：印。( 8 i 。宝。：，。i 。警，。警，。协半，。半，) 2 = s p o n t 8 1 n 弘c 0 8 i ，s l n 百c 0 8 下，8 m 二- _ 厂一c 0 8 - _ j _ l ， = s p 。n t s i n ：，c 。s ；，s ；n 31 ，c o s 3 ：，一，s ；n 2 n + 1 ；，c 。s 2 n + 1 ：， = s p 。n ( ，s t n 2 ；，- ，s ，n 2 ”；，- ) c 。s ；， ，c 。s 2 ；，- - ，c 。s 2 ”：，) s t n ；) 定义1 2 ( 1 ) 2 ”周期三角偶函数空间q ， n 1 = s p 。n l ，c o s 9 ，c o s 2 日，c o s n 口，一) = s p n 礼 l ，c o s 臼，c o s 2 口，c o s “日，) = s p 。7 。f l ，c o s 毋，s i n 2 口，s i n 2 8 e o s 打，一，s i n 2 m 护，s i n 2 m 毋c 0 8 毋，。) ( 2 ) 2 ”周期三角奇函数空间n 2 n 2 = s p o n s i n 日，s i n 2 日，一，s i n n p ，) = s p o n f s i n 口，s i n 口c o s 口，s i n 口c o s 2 口，1 ，s i n 日c o s “一1 咿，) = s p 。几 s j n 日，s i n 日c o s 日，s j n 3 目，s i 3p c 0 8 目，s i n 2 m 一1 日，s i 扩m 一1 口c o s 8 ，) 推论1 1l = n 1on 2 一个函数t ( 。) 称为一周期的，如果t ( 。+ ”) = t ( 。) 一个函数t ( 称为”反周期的，如果t 如+ ”) = 一t ( 。) 命题1 1 ( 1 ) ”周期三角偶函数空间w ，1 s p o n 1 ，c o s2 日，c o s4 d s p n n 1 ，c o s 28 ，c o s 4 日 s p o n 1 ，s i n 2 日，8 i n 4 日， ) ) )( 1 5 ) 5 u 御 却 n q 姐 n 冀以 ( 2 ) ”周期三角奇函数空间w ，2 印n 礼 s i n 2 日，s i n 4 臼，- ，s i n 2 n 日，- 8 p n s i n 日c o s 口，s i n 目c o s 3 日，s i n 口c o s 2 ”一1 臼，) s p 忆 s i n 口c o s 目，s i n 3 口c o s 口，8 i n 2 “一1o c o s 口，) 证明我们仅证明( 1 5 ) 对于任意p ( p ) ( 1 ) 不妨设p ( 9 ) 的阶数为2 n ，故可以表示为 卯) ：警+ 墨。加+ 墨6 埘。加 其中 。t 。；上。p ( 8 ) 。8 捌口，1 2 n 1r w 6 m = ；础) 8 i n 删2 n p ( 日) 为偶函数，贝06 k = o ，1 2 np 徊十) = p ( 口) ，则 ；上2 ”一( 。) c 。s e a 础 ；仁卯刊c o s 刊枷 ；柙删日 从而，当k 为奇数时，d = o 2 因此p ( 。) 。警+ 量0 。2 k c o s2 册命题得证 同样我们用上述命题证明方法可以给出”反周期偶函数和奇函数空间的基底 命题1 2 ( 1 ) ”反周期三角偶函数空间q l q 1 = s p o 礼 c o s 口，c o s3 日 = s p ， c o s 口，c o s 3 日 ，c o s ( 2 n + 1 ) 日，) ，c 0 8 2 “+ 1 日，) = s p 。n c o s 口，s i n 2 日c o s 口，8 i n 2 ”口c o s 日，) ( 2 ) ”反周期三角奇函数空间q 2 q 2 = 印n n s i n 日，s i n 3 臼，一，s i n ( 2 礼+ 1 ) 口，) = 印n 礼 s i n 臼，s i n 日c o s 2 臼，s i n 日c o s 2 “日，) = 印o n 8 i n 臼，s i n 3 口，s i n 2 “+ 1 口，) 从而我们可以定义w 周期和”反周期三角函数空间的基底 命题1 3 6 f 1 6 1 ( 1 7 ) f 1 8 ) ( 1 ) ”周期三角函数空间岛 s p n 礼 l ，c 。s2 口，s i n 2 8 ，c o s 4 臼，s i n 4 口，c o s2 n 日，s i n 2 n 臼- ) 印。扎 1 ，c o s 2 p ，c o s 疗s i n 日，c o s 4 挣，s i n 3 臼c o s 口，c o s 2 ”臼，s i n 2 “一1 口e o s 日，) s p o n l ，s i n 2 目，c o s 日s i n 日，8 i n 4 日，c o s 3 扫s i n 口，- - ，s i n 2 “口，c o s 2 ”一1 日s i n 目，- ，)( 1 9 ) ( 2 ) ”反周期三角函数空间岛 & = 5 p 礼 c o s 曰，s i n 口，c o s 3 臼，s i n 3 p ，一，c o s ( 2 n + 1 ) 口，s i n ( 2 礼十1 ) 臼，) = 8 p n f c o s 臼，8 i n 日，c o s 3 口，8 i n 3 口，c o s 2 “+ 1 日，s i n 2 ”十1 日，- ) = s p n n c o s 扫，s i n 日，s i n 2 口c o s 口，c o s 2 口s i n p ，8 i n 2 “挣c o s 口，c o s 2 “拧s i n 日 推论1 2毋= t n o j岛= q l o q 2 7 2不同三角函数空间上的三角h e r m i t e 插值问题 因为三角插值多项式和我们选定的三角函数空间密切相连，对于不同的三角函数空 间，为了保证三角h ”m i t e 插值多项式的存在性，插值节点组的选取有所不同本节我 们针对不同的三角函数空间，给出适定节点组的条件，讨论不同三角函数空间上的三角 h e r m i t e 插值问题 首先我们对文献 2 4 中的引理( 2 3 2 ) 所给出的三角母函数z 。， ( t ) 进行修正，使其 阶数为 ( a 1 ) ，并利用文献f 2 4 的思想和方法，给出了- 和2 空间中的三角( 半三 角) h e r m i t e 插值基。 记 n 丑：= = d o + ( o jc o s j t + b8 i n j ) l n o ，0 。，6 j 为常数，j = 1 ，。一，n ) 显然 设： 霹1 丑：( o ) = n 。s i n ( 礼t + q ) + 一1 ( t ) 2 k l h 0 l ，) ，o 墨n 7 r 其中a 。称为n 阶项的系数如果n o ，约定瑶= 霹( a ) 一 o ) 称： 十；：壹 0 。i 。o + ；) t + bc 。8 0 + ；) t ，。：+ 6 ：。 j = 0 。 为n + 阶半三角多项式 记 赡一薹蝌蚶+ 扣岫啪+ 却吣为撇川，n ) 显然 设 霸；2 s i n 【( n + i ) 抖a ) + l 一删孔一 距痧o n ” 其中凸：。称为礼+ 阶项的系数如果n o ，约定赡 。唿 ( a ) = o 命题2 1 p 4 】f h 玉( o ) ，则f 在【0 ，2 7 r ) 上至多有。个零点， 文献 2 4 给出了这个命题，但未给出其证明过程，下面我们具体证明命题( 2 1 ) 。 证明当a = 2 n 时，有三角多项式零点定理，命题显然成立。 下面考虑当= 2 n 一1 时：设 耶) = 塞i n 竿川叫c o s 竿一。 ：妻掣竽妇+ c 咖叫e 一3 学1 2 8 其中 一n 。一1 b m _ 1 。m - 1 b 一n m 一1 z 十d m 一1 o m 一1 z 十0 m l 。m 一12 r 一。一( m l ) 2 1 一 设e “= z 则 f 如) ：壹。一1 z 塾乒+ c 一( 。一1 ) z 掣 ，n = l ：z 一2 1 产p ( z ) 其中p ( z ) 是2 n 1 次通常多项式，由于p ( z ) 的最高次项系数c n 一1 和最低次项系数 c 一( 。一1 ) 均不为零。故p ) = o 在复数域内有且仅有2 n 一1 个根。设缸= 1 ，2 ，2 n 一1 为p ( z ) = o 的根。则f ( z ) 的零点就是方程 e ”= 玩= l ，2 ，2 n 一1 的根。由于玩中任意一个不为零，则在复数域内，在区域f r e z + 2 7 r 中，每一个 这类方程有且只有一个根。综上，f ( g ) 在复数域内，在区域r e z + 2 ”中，有且 仅有2 n 一1 个根。命题得证。 引理2 1 【2 4 设m ，s ，j 均为整数，且。墨s 茎m k 和旧t 一争罕薹1 考一。t 争t ， 其中。z ( m ) 为级数( 壶) ”“= 薹蚴( m ) h 2 ”的系数 c ， ：，m 高：毳：妾罢萋 ( 2 ) 。，。( o ) = 钆 证明我们仅证明( 1 ) ，( 2 ) 证明见文献【2 4 1 当m s = 2 n 时， k 。c = s t n m ；t 等砉蔷磐寄。2 2 t ；t 由文献 2 4 】中推论( 22 1 ) 可知： 此时 k ，m ( t ) 口；( m t l ) 当m s = 2 n 一1h 寸， k 舻“一筹篆若划c o t 争 由文献 2 4 中推论( 2 2 2 ) 可知： 此时 k ，m ( t ) 强m _ 1 ) 9 g l 理2 2 令 则； 引理2 3 【2 4 】令 k 一2 ( t ) s = 一2 ， 一4 7 b ( t ) s = a 一1 ， 一3 j 吼 ( t ) 日 - 1 ) l d 。， ( o ) = 吣 当a s 为偶数时； ( 2 2 1 当 一s 为奇数时， 、 0 ，1 ，- ，入一1 0 1 一1 n 1 n 1 酬2 飘咖b 扣啪，删2 ，堡，虹b 护啪 3 其中。“，( t ) 是当 则； 引理2 4 【2 q 令 则 证明 易知 综上 圳( 蒜) i - 。 目啦( ) = 审；，女。蹦，( t ) s = k = b 时( 2 2 ) 式确定的 p 删日孰- 1 ) i d 8 日，k ( o ) = 咖；b s = o ，1 ，h 一1 耳 ( t ) = ( t ) 口r ，e 0 0 ) 耳删日蚤h ) a2 善 ， n 【_ d 8 耳，k ( 勺) = 瓦，如，j = l ，2 ，一，n s = o ，1 ，一，如一1 日咄( t ) 日h 一1 )”( t ) 日虱 一 r ) 2 = 辛耳，k ( t ) 日a 1 ) d 8 耳，k ( 0 ) = o j = 1 ，2 ，n j r s = o ，1 ，一1 s d s 霉，( o ) = 谚d 5 一。，( 鼻) d 。口n ( o ) = 0 s = 碟一，( o ) i = 0 = 以 s ，k = 0 ，1 ，2 一，k 一1 d 5 耳。k ( 如) = 以，岛1 r j = 1 ，2 ，一，n s = o ，1 ，一，a j 一1 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 26 ) ，、i 注 ，一1 耳，女( t ) = ( t ) 一。为偶数 ，一1 曲；， 。， ，一2 ( 亡一“) + 。，( t )妒；，k k ， ，( 亡一o ) ( 27 ) o # 卜。为奇数 定理2 1o t 1 t 2 2 7 r 为n 个插值节点，节点t 1 ，t 2 ，。所对应的重数 分别是正整数h 乜，k ，给定a 2 喜个数 面砖扎留- 令 t ( t ) 其中耳女( t ) 由( 27 ) 式给出 ( a ) 如果a2 叠是偶数，则在。空间中，存在唯一阶最小半三角多项式t ( ) 日玉x q 满足插值条件 - d t ( “) = d ，k ( b ) 如果 = 登是奇数，则在1 空间中，存在唯一阶最小三角多项式t ( t ) 日 叫 满足插值条件 d 。t ( 0 ) = d ，、k 证明由引理( 24 ) 可知：t ( t ) 满足插值条件 d t ( 0 ) = 4 k 当a 为奇数时，t ( t ) 1 ； 当a 为偶数时，t ( t ) 2 下面证明准一性： 设当a 为奇数时，l 空间中另一个阶数；( a 一1 ) 三角多项式g ( t ) ( 当 为偶数时， 2 空间中另一个阶数s ( 一1 ) 半三角多项式g ( t ) ) 也满足插值条件 d 。g ( “) = d ， 构造函数 卵( t ) = t ( t ) 一g ( t ) 则 d 。q ( 0 ) = 0r = l ，2 ，n = 0 ，1 ，k 一1 由命题( 2 1 ) 可知：t ( t ) = g ( t ) 唯一性得证。 同样，我们运用文献 2 4 中考虑当 为偶数时三角h e r m i t e 插值问题和当 为奇数 时半三角h e r m i t e 插值问题的方法，结合引理( 2 2 ) 修正的三角母函数w s ，a ( t ) ，给出当 为偶数时1 空间的三角h e r m i t e 插值基和当入为奇数时2 空间的三角h e r m i t e 插值 基。 1 1 水耳矗 脚。嘲 定理2 2 o t l t 2 k 2 为个插值节点，节点九t 2 ，k 所对应的重数 分别是正整数札h ，h ，给定a 2 妻个数 屯t ) 譬- 留 令 nkl t ( t ) = 嘶琢( t ) r = l = 0 其中眨( t ) 是由 ，一2 t ，( t ) = n ，( t ) 一。为奇数 定义的公式 k 一2 妒；，k s ， ，一3 ( t o ) 十。，0 ) 曲；，k h ，k 1 ( 亡一o ) ( 2 8 ) 。一。为偶数 瑶= 笔躺黪蝌c s c ( t “) ；f 2 9 ) 【耳 ( t ) = t ， ( t ) 一d 3 r 一1 t ，k ( 0 ) 耳， ，一l ( t ) = o ，1 ，一，a ，一2 其中 f 【- 墨t d a 为奇数 咖21 吾j i l 量 二卅 为偶数 o n ， ( a ) 如果a = 量是偶数，则在1 空间中，在每一类日己( 。) ( a 任意固定) 中，存在唯 一阶最小的三角多项式t ( t ) ，满足插值条件 d o t ( 0 ) = d 。k ( b ) 如果a = 塞是奇数，则在：空间中，在每一类日( a ) ( 。任意固定) 中，存在唯 一阶最小半三角多项式t ( t ) ，满足插值条件 d 七t ( 0 ) = d ，k 证明见文献 2 4 定理( 2 32 ) 推论21o l 虹t - k 4 如土岛2 7 r 为n 个插值节点，节点o l ，t 2 ，k 所 对应的重数分别是正整数 l ，a 2 ，a 。，给定 = 个数 d ，k ) ：l j j = l 令 n ，一ln t 一1 t ( t ) = 霉，( t ) 耳，( t ) o s 泼2 。一2 。茹：4 。2 0 其中耳，( t ) 为2 。， t 2 2 。，【t 。 2 。n 个插值节点，节点陋1 】2 。，。，】2 。所对应的 重数分别是正整数a l ，a 2 、， 。时2 空间上的h e m i t e 半三角插值基 则t ( t ) 为满足插值条件 d t ( 0 ) = d ，kr = l ，2 ，- ，竹后= o ，1 ，- - ，入，一l 1 2 的阶最小的三角多项式， 下面我们具体给出仅有两个插值节点t 1 ，t 2 ，即n = 2 ，且节点的重数均为2 ，即 1 = 2 = 2 时，这种最特殊情形下的三角h e r m i t e 插值问题： 2 空间中的2 点；次半三角 h e t m i t e 插值基，l 空间中的2 点2 次三角h c n i t e 插值基 推论2 2 当仅有两个插值节点t 1 ，2 ，即n = 2 ，且节点的重数均为2 ，即a l = 2 = 2 令 t ( t ) = d 1o 噩o ( t ) + 也，o b o ( t ) + d 1 】噩1 ( t ) + d 2 ，1 死1 ( t ) 其中： 噩1 ( t ) = 码1 ( t ) = n o ( t ) = 蜀o ( t ) 一 亟唑簧嚣掣 坐譬舞器挚 蛐缈堕瞄觜筹蚴 c o t ( t 2 一t 1 ) c o s ( t t 2 ) s i n ( t t 2 ) b i n 2 ；0 一t 1 ) ( 2 一1 ) 则在1 中，存在2 点2 次三角多项式t ( t ) 满足插值条件 d t ( 0 ) = 出， r = 1 ，2 = 0 ，l 其中 证明定理( 2 2 ) 中令n = 2a l = a 2 = 2 即证 注；此推论中三角h ”m i t e 插值多项式不唯一 推论2 3 当仅有两个插值节点t l ，屯，即n = 2 且节点的重数均为2 ，即a 1 t ( t ) = d 1o n o ( t ) + d 2o 乃o ( f ) + d 11 n1 ( t ) 十d 2 1 乃1 ( t ) f 2 1 0 ) n 。( t ) = 等豢岩s i n ( t 呐) s i n 2 ( t 咄) + 赢c 。s ( 呐) s i n 2 ( t 咄) ； 噩。( t ) = 等糍岩s i n 2 ( t “) s i n ( t 咱) + 嘲c o s ( t 也) s i 2 ( t 呐) ； n t ( t ) 一型誊铲； 乃。( t ) = 型磐紫 ( 2 1 1 ) 则在2 空间中，存在唯一2 点2 次半三角多项式t ( t ) 满足插值条件 胪t ( 0 ) = d n kr = 1 ，2 = 0 ，l ， 证明定理( 2 1 ) 中令n = 2 1 = 2 = 2 即证 下面我们考虑当a ：量如为奇数s 1 空间中的三角h e r m i t e 插值问题和当入= 登 为偶数s 2 空间中的三角h e r m i t e 插值问题 引理2 5 设m ，s ，j 均为整数，且o s 墨m k 柏触”l t 竽喜1 器一2 t t 泣蛹 其中矗。z ( m ) 为级数( 盎) “+ 15 丕a 。r ( m ) $ 2 蚓 7 f 的系数 + 1 3 黼黼 堕尝f = | ； 则 慨摸象：舅鬈 ( 2 ) d 屯，。( o ) 一面，。 g l 理2 6 令 划驴激；三置篙。 则5 ，亩! x ( t ) 鼹。s = o ，1 【d2 觑， ( o ) = 也，。2 = o ，1 引理2 7 令 当 一s 为偶数时； f 21 3 1 当 一s 为奇数时 、 a l 一1 nn 厶。( t ) = 8 i n l ，o 一0 ) ，厶。，( t ) = s i n b ( 一弓) ( 2 1 4 ) j = 1j = 1 ，j r 鳆印8 ( 荔篙k “咖) = 篆豫幽一) 其中觑 ( t ) 是当 = 时( 2 1 3 ) 式确定的 则j 停，k ( ) h 五一l 【d 8 啡， ( o ) = 螃8 = o ，1 ，k 一1 引理2 8 令； 毒，k ( t ) = 厶。( t ) 自，o o ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 一e 礤tx = 势，= l 【d 8 于r ，女( o ) = 以，k 如，j = l ，2 ，n s = o ，1 ，一l 注： 露， ( t ) = 厶。，( t )声；，k ， ，一2 ( t 一亡r ) + 厶。，( t ) 壬；，k k ，k o o ) ( 21 7 ) 一。为偶数 卜a 为奇数 定理2 3o t 1 t 2 k 为n 个插值节点，节点t 1 ，t 2 ，k 所对应的重数分 别是正整数 。， 。，h ，给定 ：苎个数 d 啪) 警。留令 n ，一1 t ( t ) = 露，k ( t ) 其中露、( t ) 由( 2 1 7 ) 式给出 ( 。) 如果 ：量是奇数，则在s 。空间中，存在唯一最小阶三角多项式t ( t ) 职j t ，满 j = 1 足插值条件 d 。t ( “) = d ，k 1 4 ( b ) 如果a = 至是偶数，则在空间中，存在唯一最小阶三角多项式t ( t ) 磁：。，满 足插值条件 d 8 t ( “) = d m 证明由引理( 2 ，8 ) 可知：t ( t ) 满足插值条件 口t ( 0 ) = 露。 当 为奇数时，t ( ) s 1 ； 当a 为偶数时，t ( t ) 下面证明唯一性： 设当a 为奇数时，s 1 空间中另一个阶数茎 一l 三角多项式g ( t ) ( 当 为偶数时，空 间中另一个阶数茎a 一1 三角多项式g ( t ) ) 也满足插值条件 d 2 g ( 0 ) = 由k 构造函数 叼o ) = t ( 亡) 一g ( t ) 则 d q ( 0 ) = 0r = 1 ，2 ，n = o ，1 ，一1 由三角多项式零点定理和t ( t ) 的周期性可知：t ( t ) = g ( t ) 、唯一性得证。 推论2 4o t 1 t 2 “ 2 屯土如”为n 个插值节点，节点t l ，2 ，h 所对 应的重数分别是正整数a - ，a 2 ，h ，给定 = 萎如( a 为偶数) 个数 4 t ：1 岔； j = 1 令 n ，一1n r 一1 t ( t ) = 4 ，t r ，b ( t ) 一d ，耳，k ( t ) o 姜：。虹。 ，妄是。忙。 其中耳，e ( t ) 为。，一， 。n 个插值节点，节点p ， ，【c 2 一，1 。所对应的重数分 别是正整数 l ， 2 ，h 时空间上的h e r m i t e 三角插值基 则t ( t ) 为满足插值条件 d 2 t ( 0 ) = d ，、r = 1 ，2 ，一，n 南= 0 ，1 ，一1 的阶最小的三角多项式 我们在n l ，n 2 ，( w ，l ，w ，2 ，q l ，q 2 ) 空间中考虑三角h e r m j t e 擂值问题时，要求被插值三 角h e r m i t e 多项式不但具有周期性，还其有奇偶性，此时构造一般情况下的h e r m i t e 三角 插值基比较困难。下面我们利用待定系数法，仅考虑n 个插值节点的重数都相等时，这 种特殊情况下的n l ，n 2 ，w ，l ，w ，2 ，q 1 ，q 2 空间中的h n i t e 三角插值问题。 定理2 4o t 】 t 2 - k 3 时，对于某个固定斯可能存在的某种特定结构，使得 ( 2 2 0 ) 式中n 个线性方程组中其中一个或多个方程组系数阵的行列式为零。如果我们假 设于每个固定的。，都不存在这种特定结构，使得( 2 2 0 ) 式中n 个线性方程组中其中一 个或多个方程组系数阵的行列式为零，那么定理( 2 4 ) 中( 2 瑚) 式中n 个线性方程组每 一个方程组都有唯一解。 定理25o t 1 t 2 t 。 为n 个插值节点，节点t 1 ，t 2 ，k 所对应的重数 ) 、1 = 2 一= h = ，给定n 入个数 d ，k ) x 1 蔷 令 n 一1 t ( t ) = 8 i n t f j ( t ) 妒靠( t ) 玉，k r = 1 = o 其中2 j ( t ) 妒i ( t ) 由( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 给出面，k 为方程 一 l | n =r ! 窭 4 j l 丌 孚 + 酊 矗噬 。 的解则在n 2 空间中，存在唯一最小阶三角多项式t ( t ) 砜，满足插值条件 d t ( 0 ) = d r 。kr = 1 。2 ，r ，n 南= 0 ，1 ，r - ， 一1 证明我们所构造的三角多项式t ( t ) 为2 ”周期奇三角多项式，且满足插值条件 d 2 t ( 0 ) = d r r = 1 ，2 ，- ，n k = o ，