乘法公式教学心得.doc

乘法公式教学心得 赖作基 （岑溪市安平中学广西岑溪543200） 【摘要】乘法公式是整式乘法的重要内容，准确、熟练的掌握乘法公式对于学好整式乘法乃至整式的其他运算都有着重要的意义那么怎样才能学好乘法公式呢？要学好这部分知识，应注意以下七个方面。 关键词乘法公式；注意事项 Theteachinginsightofthemultiplicationformula LaiZuoji 【Abstract】Themultiplicationformulaisthewholeimportancecontentsoftypemultiplication，aurate，well-trainedofcontrolmultiplicationformulaforlearnverywholetypemultiplicationistothewholetypeofotheroperationallhaveimportanceofmeaning.howsolearngoodmultiplicationformula?Wanttolearngoodthispartknowledge，shouldattentionthefollowing7. 【Keywords】Multiplicationformula；Regulation 乘法公式是整式的乘除一章的重要内容，也是今后学习数学的重要工具，要学好这部分知识，应注意以下七个方面。 一、注意掌握公式的几何意义 1平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2 如右图所示：四边形ABCD、EBFG分别是边长为a、b的正方形，由面积可得： a2-b2=a（a-b）+b（a-b） 即a2-b2=式（a+b）（a-b） 2完全平方公式：（a?b）2=a2?2ab+b2 如右图所示：大正方形面积为（a+b）2是两个小正方形的面积a2、b2之和，再加上两个长方形的面积2ab，即得（a+b）2=a2+2ab+b2。 如右图所示：把（a-b）2看作大正方形的面积a2减去两个阴影的长方形面积之和2ab，这样就多减去阴影重合部分的小正方形的面积b2，再把它补上。即（a-b）2=a2-2ab+b2 二、注意掌握公式的结构特点 掌握公式的结构特点是正确使用公式的前提。如平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的结构特点是：公式的左边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的右边是这两项的平方差，且是左边的相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方。掌握了这些特点，就能在各种情况下正确运用平方差公式进行计算了。 例1.计算： 分析：题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项4x2，另外一项-1/2与1/2互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可用平方差公式进行计算。是一个二项式的乘方，且这个二项式的两项的符号相同故符合（a+b）2=a2+2ab+b2的形式特点，因此可用完全平方公式进行计算。 解：原式 原式=（-2x）2+2（-2x）（-3y）+（-3y）2=4x2+12xy+9y2 【点拨】：此类问题要求我们除注意公式的结构特点外，还要注意式子中符号的改变所引起的变化。 三、注意公式中字母的广泛意义 乘法公式中的字母既可以代表任意的数，又可以代表代数式，只有注意到字母所表示的意义的广泛性，就能扩大乘法公式的应用范围。 例2.计算：（a+2b-3c）（a-2b+3c）（2x+y-3）2。 分析：本题是两个三项式相乘的形式，没有现成的乘法公式可直接运用，可这两个多项中的第一项的符号相同，后两项它们是符号相反，它符合平方差公式的特点形式，故我们可把后两项看作为一项（一个整体），便可用平方差公式进行计算。本题是三项式的完全平方，若把前两项（或后两项也可以）当作一项（一个整体），便可用二项式的完全平方公式计算。 四、注意合理使用乘法公式 有些题目可以使用不同的公式来解，要注意选择最佳解法。 例3、计算：（a-1）2（a+1）2（a2-a+1）2（a2+a+1）2 分析：此题若将四个因式都按完全平方公式展开再相乘，则运算相当繁琐，若先应用乘法的交换律和结合律再逆用积的乘方法则，然后利用立方和（差）公式来解，便可化繁为简。 解析：这道题项数较多，数值较大，各个括号逐一计算，比较麻烦，令人望而生畏 而逆用平方差公式，将各括号展开交错约分可使问题巧妙获解 五、注意创造条件使用公式 有些题目，不能直接套用公式，但是对原题目进行适当变形，使之具备公式的结构特点后，便可利用公式来解。 例6、计算：1002-99.9x100.1 解析：先算平方和积，再求差，比较麻烦，而将99.9x100.1变形为（100-0.1）（100+0.1），再运用平方差公式，则问题迅速获解 1002-99.9x100.1=1002-（100-0.1）（100+0.1）=1002-（1002-0.12）=0.01 例7、计算：（2x-3y-1）（-2x-3y+5） 分析：本题中的两个因式不符合乘法公式的特点，因而不能应用平方差公式来解。但若将本题两个因式中的项分别进行拆项完形：将前一因式的“-1”拆成“-3+2”，将后一因式的“5”拆成“3+2”，便可用平方差公式来计算。 解：原式=（2-3y）+（2x-3）（2-3y）-（2x-3） =（2-3y）2-（2x-3）2 =9y2-12y-4x2+12x-5 六、注意乘法公式的逆用 不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，乘法公式的逆用常用的是因式分解，另外还有完全平方公式的逆用就是配方，它是把一个二次三项式写成积的形式，即a2?2ab+b2=（a?b）2，其中二次三项式a2?2ab+b2又叫完全平方式.由于平方式具有非负性，所以利用“配方法”，可以巧妙地解决许多非负数问题. 例8、计算：（2a-b+3c）2-（2a+b-3c）2 分析：本题为两个三项式的平方差，如果先去括号，再计算，则较繁.仔细观察可以发现两个多项式，若逆用公式，则有的项相消，则可简化计算. 解：（2a-b+3c）2-（2a+b-3c）2 （2a-b+3c）+（2a+b-3c）（2a-b+3c）-（2a+b-3c） 4a（-2b+6c） -8ab+2Aac 例9、设a、b、c、d为四边形的四边长且a4+b4+c4+d4=4abcd，试判别此四边形的形状。 解：a4+b4+c4+d4-4abcd=0 配方得：a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2+2c2d2-4abcd=0 即（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0 a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0a=b=c=d 以a、b、c、d为四边的四边形为菱形 【应用练习】： 1、若x、y为有理数，且满足x2+3y2-12y+12=0，求yx的值 2、已知a-b=-2，b-c=5，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值 3、试说明不论x、y为何值时，代数式x2+y2+4x-6y+14的值总是正数. 【应用解析】： 1、分析：欲求yx的值，须求出x、y的值由题知，把已知式子进行配方，再利用非负数的性质便可达到解题目的 解：x2+3y2-12y+12=0，x2+3（y2-4y+4）=0，x2+3（y-2）2=0， x20，（y-2）20 x2=0，（y-2）2=0即x=0，y=2 yx=20=1 2、分析：显然，本题若按一般方法，即先求出a、b、c的值，再代入多项式求值，将十分困难而我们发现，将求值式乘以2，则会出现完全平方式，其中也恰恰含有条件式因此，解决本题的关键是如何利用“配方法”将多项式进行变形，从而能够运用已知条件求解 3、分析：本题实质就是证明x2+y2+4x-6y+140.观察代数式不难发现，将14拆成4、9与1的和，则立即出现了两个完全平方式，然后再结合非负数的性质便可达到目的 解：x2+y2+4x-6y+14=x2+4x+4+y2-6y+9+1=（x+2）2+（y-3）2+1 （x+2）20，（y-3）20， （x+2）2+（y-3）2+10.即代数式x2+y2+4x-6y+14的值总是正数. 七、注意乘法公式的变形 根据题意，要善于对公式变形的应用，在解题中充分体现应用公式的思维灵活性和广泛性，常用的公式变形有： 完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2在使用时常作如下变形： 同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用。 例10、已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为，宽为b，则+b=20，b=75. 由公式（1），有：2+b2=（+b）2-2b=202-275=250. （答略） 【应用练习】： 1、已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积 2、若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和. 【应用解析】： 1、解设长方形长为，宽为b，则a-b=4，ab=12 由公式（2），有：（a+b）2=（a-b）2+4ab=42+4x12=64 2、证明设整数为x，则x=a2+b2（、b都是整数）. 由公式（3），有2x=2（a2+b2）=（a+b）2-（a-b）2得证 例11、已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积. 【应用练习】：已知a=x+1，b=x+2，c=x+3求a2+b2+c2-ab-bc-ac：的值. 解析：由公式（6）有： 例12、已知：a、b为自然数且a+b-40。 当a=b时，ab有最大值