（应用数学专业论文）摩擦市场中投资组合有效前沿的数学分析.pdf

四川大学硕士学位论文 y 9 9 4 9 6 8 摘要 摩擦市场中投资组合有效前沿的数学分析 应用数学专业金融数学方向 研究生吴萌指导教师黄南京教授 资本市场中对于投资、融资决策与风险管理问题的研究自投资组合理论建 立以来一直在迅速发展，并得到了广泛的应用1 9 5 2 年m a r k o w i t z 投资理论的产 生，奠定了投资组合理论的基础。由于m a r k o w i t z 的投资组合理论建立于离散时 间下的无摩擦市场，而在现实的资本市场中该条件得不到满足，因此在实际应 用中有很大的局限性。本文主要考虑了摩擦市场中投资组合的有效前沿，给出 了这一类扩展模型的解析解及资本市场摩擦因素对有效前沿的影响。 文中第一章，主要介绍了经典的m a r k o w i t z 投资组合模型并展示了投资组合 模型的应用背景和发展前景； 第二章，我们介绍了投资组合模型研究的进展情况，并给出了一些摩擦因 素对投资组合模型的改进以及对投资组合有效前沿的影响； 第三章，我们讨论了卖空和借贷利率不同的条件下，含资本结构因子和交 易成本的投资组合有效前沿的变化，并给出了投资组合扩展模型的解析解，最 后进行了总结。 关键词 投资组合，资本结构因子，交易成本，有效边界。不同借贷利率，卖空。 a b s t r a c t m a t h e m a t i c a la n a l y s i so ft h ep o r t f o l i of r o n t i e ri nf r i c t i o nm a r k e t m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：m e n gw us u p e r v i s o r ：n a n j i n gh u a n g i nt h ep a t h - b r e a k i n gw o r ko l lp o r t f o l i os e l e c t i o n , m a r k o w i t zd e v e l o p e dt h ec o a - c e p to fa ne f f i c i e n tp o r t f o l i oi nt e r m so ft h ee x p e c t e dr e t u r na n ds t a n d a r dd e v i a t i o no f r e t n r n f r o mt h i st i m e 。t h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c ho ni n v e s t m e n ta n dr i s km a n a g e m e n tg o ti n t oan e w e r a 1 1 他o r i g i n a lr e s u l to fm a r k o w i t z sw a s d e r i v e di nad i s c r e t e t i m e ，f r i c t i o a l e s sc a p i t a lm a r k e t h o w e v e r , i tm a yn o tb eav a l i dr e p r e s e n t a t i o no ft h e w o r k i n go ft h em a r k e t p l a c e t h e r e f o r e , w ec a n n o tu s et h i sr e s u l tt oh a n d l et h ec o n - c r e t ef i n a n c i a lp r o b l e m sd u et ot h el i m i t a t i o n so f t h i sr e s u l t t h ep u r p o s eo f t h i sp a p e r i st oc o n s i d e rac l a s so f m a r k o w i t zp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nm o d e lw i t hc o n s t r a i n t sr e p - r e s e n t i n gs o - c a l l e dd i f f e r e n tb o r r o w i n ga n dl e n d i n gi n t e r e s tr a t e s ，t r a n s a c t i o nc o s t sa n d f r i c t i o nf a c t o r s i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h ec l a s s i c a lp o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e la n ds h o wt h e b a c k g r o u n df o ra p p l i c a t i o na n dt h ef u t u r eo f p o r t f o l i os e l e c t i o n i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c en e wr e s u l t sa b o u tp o r t f o l i oa n dp r e s e n t8 0 i l l ec o n - s t r a i n t sw h i c hi n f l u e n c e t h ee i f i c i e n tf r o n t i e ra n de x t e n dt h em o d e l i nc h a p t e r3 ，w ep r e s e n ts o m ea n a l y t i cr e s u l t so fs o l u t i o n sf o rt h i sk i n do fe x - t e n d e dm o d e | sa n dd i s c l i s st h e i n f l u e n c eo fc o n s t r a i n t st ot h ee 衔c i e n tf r o n t i e r k e yw o r d s ：p o r t f o l i os e l e c t i o n ，c a p i t a ls t r u c t u r e ，t r a n s a c t i o nc o s t ，e f f i c i e n tf r o n t i e r , d i f f e r e n tb o r r o w i n ga n d l e n d i n gi n t e r e s tr a t e s ，s a l eo u t 一一 四川大学硕士学位论文 1 1 金融学简介 第一章引言 金融决策的核心问题是如何在不确定的环境下对资源进行分配和利用为 了解决这样一类问题，金融学应运而生。它是作为经济学的应用分支学科发展 起来的。 经济学研究的一个基本方法是考虑供给与需求的均衡分析，着眼点往往在 均衡的存在性和均衡的变化规律的研究上，而金融研究的核心内容之一就是对 金融市场中的某个“头寸”( 即指金融资产的持有或短缺) 进行估值和定价 金融学的发展经历了三个主要阶段，即定性描述阶段、定量分析阶段和工 程化阶段。金融数学的问世，标志着金融学开始摆脱纯粹描述性的研究和单凭 经验操作的状态，进入了定量分析的阶段，而金融工程的诞生，使金融学进入 了工程化和产品化的更高阶段。 1 2 投资组合理论的产生及其意义 为了分散风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用组合投资的方式， 即把一笔资金同时投资于若干种不同的证券或其他风险资产。这就需要利用适 当的模型来进行决策分析长期以来，投资者的决策更多的依赖于实践中总结 出来的格言警句以及在此基础上发展起来的投资计划，还没有上升到理论的高 度。m a r k o w i t z 【1 1 于t 9 5 2 年提出的投资组合理论被称为是金融学发展中的里程 碑。这个奠基性的工作对于金融学的发展所产生的影响是深远的，它使数量化 方法真正进入了投资领域投资组合理论就是主要研究怎样在未来结果不确定 的情况下对有限种资产进行投资以使得回报最大与风险最小 i 四川大学硕士学位论文 1 3 投资组合理论简介 设是第讲风险资产的收益率n e = 1 ，2 ，e 划和矿( 磊) 分别是 第n 种风险资产的期望收益率和方差。令f = 慨，而，磊) t ，用其表示v 种风 险资产的收益率向量，e = ( e v d ，e 融j ，e f 叫) r 表示种风险资产的期望收 益率向量，v = ( c 伽限，乃) ) 。表示协方差矩阵则我们可以得到，e = e i 司， v = o 叫( f ，f ) 同时，由于任一资产的收益率为随机变量，所以我们假定任一资产的收益 率是不能用其他资产收益率线性表出的在这种假设条件下，我们可知所有的 资产都是线性独立的，并且他们之间的协方差矩阵y 是非奇异的。因此，协方差 矩阵矿是正定矩阵。假设u = ( u l ，w 2 ，) t 是资产组合的权重向量，则投资组 台p 的收益率为= 。ec = 谚f ，期望收益率为e 晦】= 。e e i 列= 哆e ，方差为矿( ) = 盯2 ( 露f ) = ”( f ，f ) = o 伽( f ，f ) 唧= y 咋。同时 我们假设，是维元素全为l 的向量 m a r k o w i t z 提出，理性的投资者总是寻求这样的投资组合u ，它在给定期望 收益水平下使风险达到最小，即求解 或在给定风险水平条件下使期望收益达到最大，即求解 ( 1 3 1 ) m a x w t d r e ( 1 3 2 ) 鲋饼= 2 帏 由于上述两种模型实际上是等价的，因此我们只需要考虑规划( 1 3 1 ) 。 一2 一 _ e l = = 以以 ， k s 四川大学硕士学位论文 在规划( 1 3 i ) 中，我们固定期望收益率e r j 使得投资组合风险最小，由此 可以得到该规划的最优解 呻= c e 矿l e d - a v - * e + b - 矿a e 弓 y 一1 ， 其中a = e r v 一1 ，= p y 一1 e ，b = e r v 一1 e ，口= ，y 一1 ，。d = b c a 2 投资组合p 的方差为 c r 2 ( 弓) ；五c ( e 【磊】一否a ) 2 + 丢 这是在陋【习，一( f 学问中的双曲线，如图1 3 1 所示，其中心为( o ，番) ，渐近线 为e l e p = 参士g 盯( 磊) 。 图1 3 1 在( 口( f ) ，e 问) 空间中的资产组合有效前沿 一3 一 四川大学硕士学位论文 二章资本市场摩擦因素对投资组合模型的影响 2 1 摩擦市场简介 在上一章中，我们给出了m a r k o w i t z 的投资组合模型，但该结论是建立在无 摩擦市场等一些必要假设条件下成立的。所谓无摩擦市场( 或称为完全市场) 主 要是含有以下条件： ( 1 ) 证券都是无限可分的。 ( 2 ) 存在无风险利率，投资者可以用同一利率存款和借款。 ( 3 ) 投资者在证券交易中不必支付交易费用，也不交纳任何税款。 ( 4 ) 投资者投资期限相同，他们的证券持有期相同。 ( 5 ) 不允许买空卖空股票；等一些假设条件。 而实际的资本市场是一个含有众多限制条件的摩擦市场，因此a m a r k o w i t z 的 投资组合理论缺乏可操作性因此，我们建立摩擦市场中的投资组合模型是有 着重要的实际意义和应用背景的。 在投资组合理论建立的同时，m o d i g l i a n i 和m i l l e r 【2 】【3 】提出了公司财务理 论( 又称m m 定理) ，用来研究财务杠杆作用，企业价值问题，执导企业融 资尽管在m m 理论发展过程中，很少考虑融资对投资组合的影响，但在现实 的企业资金运动中，投资与融资是不可分割的两部分。投资者在进行投资决策 的过程中应考虑融资因素和资本结构变化。因此将投资组合、融资决策结合， 考虑资本结构变化对投资优化冉勺影响也是有着现实意义的。 2 2 摩擦因素对投资组合模型的影响 在经典的m a r k o w i t z 模型中，并没有考虑市场的摩擦因素，但在实际的金 融市场中，总是存在着交易费用、税收、存贷款利率不同、允许卖空、融 资投资等一系列摩擦因素，它们对投资者的决策行为有着直接的影响。实际 一4 一 i i 璺型奎堂耍主堂堡堕塞 上，在证券组合的管理与决策中，摩擦市场中的投资组合已经引起众多学者 的关注。例如，a m o t t 和w a g n e r 【4 】研究发现，忽略交易费用会导致无效的组 合；y o s h i m o t o 【5 】的实验分析也证实了这一论断；w u 和r o n g 【6 】研究了一种静 态固定交易费用问题：c h e n 【7 】等人研究了资本结构因子对投资组合优化的影 响；最近，z h a n g ，w a n g , t 铂d e n g 【8 】等人将不同借贷利率纳入到投资组合模型 中 本章主要考虑静态交易成本，资本结构因子及借贷率不同对投资组合模型 及其有效前沿的影响。 2 2 1 交易成本对投资的影响 设只。是第。种证券在0 时刻的买入价格，只l 是第i 种证券在1 时刻的出售价 格。假设每笔交易，无论买入还是卖出都有交易额a 倍的交易成本( 含税) ，则 在0 时刻买入一单位证券i 需要资金只o + a 只o ，同时，在1 时刻卖出一单位证 券。可获得资金只1 一口只l 。因此，我们可以得出口的取值范围是( 0 ，1 ) 。事实上， 若o t l ，则出售一单位证券i 可获得的资金为只1 一。只ls0 ，对于任何一个投 资者都不会购买这种无利可图的金融资产。所以在0 时刻到l 时刻这段时间里， 考虑交易成本的收益率为 ! 墨! 二竺鱼) 二! 鱼竺鱼2 + o t 若记足= 警为第i 种证券根据市场价格所获得的收益率，则考虑交易成本的 收益率为 = 杀足一熹 该证券组合p 的期望收益率为 群= 而1 - - 0 1 1 若nr 咄一是= 杀酬一是 一5 一 四川大学硕士学位论文 相应的风险为 ( 开= ( 而1 - a ) 2 矿 2 2 2 资本结构因子对投资的影响 众所周知职业金融经纪人都希望能找到一种资产组合来实现公司价值的最 大化m o d i g l i a n i 和m i l l e r 已经证实了公司的价值是不受其资本结构影响的。因 此，我们可以利用财务杠杆机制来增加每股的净期望收益值当投资者全部以 自有资本投资时，投资收益率即为权益收益率而当投资者利用财务杠杆机制 投资时，设其资本结构因子( 负债率) 为z ，债务成本为r b ( r b 就是借贷利率) ，假 定足 n ( 这一假定是很自然的，否则将没有人购买证券) ，则利用了财务杠杆 机制的投资组合p 的收益为 或 其方差为 e p , i ( z ) = e 【昂】+ r 兰i ( e f 叫一n ) e p , i ( z ) = r 笔( e 婚l 一) ( 开( 垆南矿 2 2 3 考虑交易成本，受资本结构因子影响的投资组合 在资本市场中，当投资者通过融资开展投资组合活动时，若资本结构因子 为善，交易成本系数为o l ，则其投资组合的收益率和风险分别为 e 婚】( z ) = p ( z ) e 【列一 ( z ) 矿( 昂) ( z ) = 矿( z ) 盯2 ( 磊) 一6 一 四川大学硕士学位论文 其中p ( z ) = 面：；1 ，- - 西a 可，t ，( z ) = 可翻+ 芒；r ，由此，我们可以得到扩展模型 为： 俩( 。，互1 肛2 ( z ) ，( z ) ( ) ( 2 2 i ) 础j e 吲( 卫) 2d ( z ) w t ( x ) e u ( 卫) 【扩( z ) j = 1 由文献【9 】，我们得n t ( 2 2 1 ) 的解为 帅) = 型型描挲业v - l e + b m x ) _ - a ( 丽e 。p q 一( z ) + v ( x ) ) 一， 组合p 的方差为 m ，) ( 加i _ t 2 ( 。x ) c c e e ? 郴( x ) j + v ( x ) 一虿a ) 2 + 掣 并且任意两个资产组合p 和g 的协方差为 g 伽( 昂，磊) = 霹( z ) v 0 )( 2 2 3 ) = 吕( 墨虽铲一昙) ( 里芝铲一虿a ) + 虿1 d 、 p ( $ ) c 八 p ( z )g 7 c 由( 2 2 2 ) 及p ( 功， ( 功的定义我们可以知道投资组畲p 的m v p ( 最小方差资产组 合) 会随着a 和z 的取值不同而变化。从规划( 1 3 1 ) 和( 2 2 1 ) 的约束条件，我们可 以得到 由此可得 生掣；，( z ) 。：研叫 g ( z 、 、7 “( = 峰 一7 一 j 旨老p ( 。) 1 ，毒【o ，考】 【p ( z ) 1 ，z 【兰，l 】 同时，我们可知m v p 曲线的顶点( 2 挚，出竽) 会随着资本结构因子z 的变化而移 动，但该曲线的曲率保持不变，如图( 2 2 i ) 所示 一。 _ 雩卜、 _ r i 其表示在空间一( 磊，) ( 功一面同中，所有资产的投资组合的有效前沿是两条由 点( o ，r ，) 发出的射线，斜率分别为、巧和一归7 现在我们来具体讨论如下的情形。 倩忍氇j a ：当r ， r l 。则规划( 3 0 1 ) 中的函数r ) 己 不再是一个常值函数。由此我们可以将规划( 3 0 1 ) 分解为以下两个规划 m f 钆( 耐互1 p 2 ( z ) ，( z ) ( z ) ( 3 2 1 ) “ e 吲( z ) 2 p ( z ) ，( 写) e 一 ( 。) + ( 1 一w ：r ( x ) i ) r l 【1 一( z ) j 0 1 4 四川大学硕士学位论文 和 栅( 。) 矿1 2 ( z ) ，( z ) 儿( z )( 3 2 2 ) 础j e 吲( 功2 p ( z ) ，( 咖一u ( 功+ ( 1 一w t ( x ) i ) t b 【1 一，( z ) ， o ，则 e 睇1 ( 七) + ( 功- n = a 三屯一j ( 南一旷n ( c 。) ， ( 3 2 9 ) 由于j 的取值可以出现6 0 ，d = 0 两种情况，因此我们需要考虑下面三种 情形p 0 ) a n c ( 0 ) 首先，当6 = o 时，不等式( 3 2 6 ) 和方程( 3 2 7 ) 满足条件从( 3 2 9 ) 可知，a ： 墅诅菩盟二垒。将a 和6 = o 代入到式( 3 2 8 ) ，我们可以得到唯一解屿( z ) 为 c 咖( z ) = 皇旦丑尝；焉 二旦y 。1 ( p 扛) e - r d ) ( 3 2 - o ) 因此，投资组合p 的方差为 由于 c r 2 ( 洲z ) ：矿( z ) ( z ) o ) ：鲤世萼! 壁l 型 ( 3 2 11 ) 。 盯l 霹，= 塑譬铝字墨( 础) e - r t l j ：e e ，q i ( x 玎) i + i v ( x ) - 一n ( p ( z ) a n e ) p 2 ( 功也 、p 、山尸1 叫v 7 一1 6 一 少 。 ( m l , p 。 、u f z ( x )盯( ) ( 西 图3 2 1 当n d 竽时的资产组合前沿边界 侍臃三j c 若肛( z ) a n g = 0 ，贝l l r l = 学 ra ( 3 2 1 2 ) 对任意 的司石- 成立，由于 我们可得 巩= b 捌南+ c 南= b - 石a 2 = 争。 啊饥加 一攀 雨学 雨s 学 所有资产的投资组合有效前沿如图3 2 3 所示，它是由盯( ，) ( 。) 一司雨空间 中的两条渐进线组成的。任何在有效前沿的投资组合包括将全部资金投资于无 风险资产并持有一个风险资产的套利资产组合，即权重之和为零的一个资产组 合。 一1 8 一 四川大学硕士学位论文 o 时，不等式( 3 2 6 ) 成立。由方程( 3 2 7 ) ，可得嘻( z ) ，= l ，因 此( 3 2 5 ) 和( 3 2 7 ) 成立由式( 3 2 8 ) 可知 等价于 a ( 肛( 。) e r t i ) v 一1 i 一6 1 v 一1 i = 矿( z ) a ( z ) a n c ) 一6 c = , 2 ( 。)( 3 2 1 4 ) 利用g r a n t e r 法则，由式( 3 2 9 ) 和( 3 2 1 4 ) u - i 得a 和j 分别为 忙耋拦学坐继： 将a 和6 代入式( 3 2 8 ) ，可得 嘶) = 业鲤巡坐等铲盟二坐盟弛( 3 1 2 1 5 ) “l zj u 一1 9 一 + 掣( 3 z - 6 ) 0 ，我们可 ( 3 2 1 7 ) 下面我们用同样的方法来讨论下面的情形 情形3 2 2 a 若p ( 茹) a - - r t c 0 ，则n 孝薷耘呈：笋所 有资产的投资组合有效前沿如图3 2 4 所示，它是由盯( ，) ( z ) 一可砑空间中右 半支双曲线上点e l 的上方部分组成的该双曲线的中心为( o ，出掣) ，渐进线 为研习= 2 学4 - g 矿( 磊，) ( z ) 。它的经济学解释为任何在上方曲线的投资组 合包括卖空所有无风险资产，并将所得全部投资于风险资产组合 。 ：7 f m l , p ：一 掣“) ( 西 图3 2 4 当n 出时的资产组合前沿边界 倩脆2 2 夙若p o ) a n a 呜娑且百丽 0 ，贝w j r t 镩拶 e f p s n n s 丽等擀 所有资产的投资组合有效前沿如图3 2 6 所示，它是由口( ) ( z ) 一l 丽空间中 一2 l 一 0-rf lr-irri 四j t l ：k 学硕士学位论文 的一段曲线，一条线段和一条射线组成的。任何在射线n 一、，僵( 磊，) ( z ) 的投 资组合包含卖空资产组合q 并将所得投资于无风险资产。在点e j 和点( o ，n ) 2 - 间 线段上的投资组合包含在无借代的情形下，即投资风险资产又投资无风险资 产以( o ，2 学) 为中心，吾网= 2 学士、g 盯2 ( 咯，) ( z ) 为渐进线的双曲线右支 上，在点e l 的上方部分的投资组合表示卖空所有无风险资产，并将所得全部投 资于风险资产组合。 少 、一 、! 挚o i ) ( 西 图3 2 6 当n 出笋时的资产组合前沿边界 y i $ z z z b 若p 0 ) a - - r t c 2 学我们可得到投资组合p 的唯 一权重组合为 ii 可知y 一1 【( 1 7 雷f 弭p ( z ) 一a 矿扛) ) e - i - ( 口p 2 ( z ) 一a 肛( z ) 西网) 明 以加 毋e e p l 。p 篙 【硐等胖 f 啊，) ( z ) = 【 一2 2 一 硐 1 ( 3 2 2 0 ) 6 0 ( 3 2 2 1 ) 6 ( 1 一霹( z ) d = 0 ( 3 2 2 2 ) p h i ( 3 2 2 0 ) 和( 3 2 2 2 ) ，可得d = 0 求解方程( 3 2 1 8 ) 衢j ( z ) ；高( 础) e 一d 即蟛( z ) = i 茜( p ( 岔) e n ，) t v 一。将此式与方程( 3 2 1 9 ) 联立可得 e 怵。) + u ( z ) - - r b = ) t ( 卜俐r b i ，t v - ( 卜刖r b i ) r， r。j 四川大学硕士学位论文 根据式( 3 2 2 0 ) ，我们可以得到( 丽砑一n ) ( p ( z ) a n a 旷( z ) 可b a 因此 面丙似( 功a n q b 矿( 力一r b a # ( x ) y i 厝3 z 4 a 若p 扛) a r a c 0 ，贝l j r b 墨舞背 n因此， 盯( 洲z ) = e 孺 - f r b ：( 一 警 “炳 图3 2 9 当n 出乎时的资产 组合前沿边界 所有资产的投资组合有效前沿如图3 2 9 所示，它是由口( 知，) ( z ) 一e 婚】空间 中的一条射线组成的。该射线的起点为e 6 ，斜率为俪。任何在该射线7 b + v - 面b o ( 磊，) ( z ) 上的投资组合包含卖空无风险资产并将所得投资于资产组合e 6 。 倩，髟3 ：2 t 且若p ( z m 一c 簪竽且可习 璺慧3 i 三 兽妒 n因此 仃( 影) ( z ) = 一警 所有资产的投资组合有效前沿如图3 2 1 0 所示，它是由口( 磊) ( 刁一习网空 间中的一条射线组成的。该射线的起点为e 6 ，斜率为一 瓦任何在该射 线n 一霞( 昂) ( z ) 上的投资组合包含卖空无风险资产并将所得投资于资产组 合e 6 一2 6 四川大学硕士学位论文 待f d 3 2 4 c 如果p ( z ) a r a c = 0 ，贝l j r b = 出学因此n = r l ，这与我们 的条件矛盾，所以该情况不存在。 3 3 总结 现在我们来总结第二节的结果，即当r b 严格大于r l 时的有效前沿分析。 y 形z 3 a 当n 码碧嚣妒 l 差翼晶错 。( 弓j ) ( z ) ： 7 ；i ；i 二j 群9 1 2 ”扛4 一“g 【 霉嚣弱 所有资产的投资组合有效前沿如图3 3 1 所示，它是由盯( ) 0 ) 一e 【l 空 间中的一段闭曲线，一条线段和二条射线组成的任何在射线n 一 - h - - l a ( e ；) ( z ) 的投资组合包含卖空资产组合e i 并将所得投资于无风险资产； 任何在射线7 b + v - 瓦b o ( 磊) 扛) 的投资组合包含卖空无风险资产并将所得投资 于资产组合e 6 ：在点旬和点( 0 ，n ) 之间线段上的投资组合包含在无借代的情形 下，即投资风险资产又投资无风险资产以( o ，鲤掣) 为中心，点e i 和e 6 为端 点，王玎习= 2 皆4 - 吕a 2 ( 昂) ( z ) 为渐进线的封闭双曲线右支上的投资组合表 示卖空所有无风险资本，并将所得全部投资于风险资产组合。 一2 7 四川大学硕士学位论文 图3 3 i n n d 竽时不同$ 取值下的资产组合前沿边界 图3 3 2 出掣墨一r f 一氲掣墨 时的资产组合前沿边界 信形3 i 且当n 2 学 r b 时，我们可以分成以下两种情形讨论：岜年毕一 n 玩以 使得该点在第一、四象限内由此我们可以求得投资组合p 的权重向量为 矛面1 面y 一1 【( c 面丽( z ) 一a 矿扛) ) e + ( 上弛2 ) 一a p 0 ) 硐) 司 一 毋：嚣i u ( x ) a - r l c 【i e ，i ；r - 再v ；b y 一1 ( p ( 髫) e r b i ) ， 一2 8 一 型垃：业盟一eepj#(za-rlc t 可两 二 二u r ，j 可砑se e e i 四川大学硕士学位论文 其标准差为 盯( ) ( ) = 面f 习s 面f i s n n 面驴玎星蟹p 垒( x ) ! = a - 旦r 坐垃i c 等艏 等群 雨n n 吾f 习虽蟹i 。( 垒x ) k a - 垒r 业* c 四川大学硕士学位论文 所有资产的投资组合有效前沿如图3 3 3 所示，它是由盯( ，) ( z ) 一万雨空问 中的一段曲线，一条线段和一条射线组成的任何在射线r l 一、，佤盯( ) ( 。) 的 投资组合包含卖空资产组合e l 并将所得投资于无风险资产：在点e f 和点( 0 ，n ) 之 间线段上的投资组合包括在无借代的情形下，即投资风险资产又投资无风险资 产；以( o ，2 学) 为中心，可丽= 2 学4 - 、暑a 2 ( 弓) ( z ) 为渐进线的双曲线右支 上，在点唧的上方部分的投资组合表示卖空所有无风险资产，并将所得全部投 资于风险资产组合 一 掣盯( ) ( 莉 图3 3 3 当出笋一心一越笋时的资产组合前沿边界 待形3 3 c 当哗娑= n 0 ，因此我们应令胁 罢以使得该点在第一、四象限内。由此我们可以求得投资组合p 的权重向量为 喇- 瓿苎拳n e 刚e h 】 e 【叫e p 】 四川大学硕士学位论文 晰饥加 季 酾硐s 学 吲叫se 睁j 所有资产的投资组合有效前沿如图3 3 4 所示，它是由盯( ) 0 ) 一l 丽空 间中的一条线段和二条射线组成的。任何在射线盯( ) 扛) 一e l ? p 和点p 与 点( o ，8 笔竽) 之间线段上的的投资组合包括将全部资金投资于无风险资产并持 有一个风险资产的套利资产组合，即权重之和为零的一个资产组合；任何在 以p 点为端点，一俪为斜率的射线上的资产组合包括卖空所有无风险资产， 并将所得全部投资于风险资产组合e b 。 一 地盯晒 c c 图3 3 4 出笋= r l n 时不同z 取值下的资产组合前沿边界 倩脆王d 当嚆毕 玩以 一3 l 一 四川大学硕士学位论文 使得该点在第一、四象限内。由此我们可以求得投资组合p 的权重向量为 一 蕤：浆尝磊主需 其标准差为 仃( 磊) ( z ) = 研诌jse 吲r t r t 研】 e i 】s e 【f p 】 留 热冬s b 警盗i 心矾) ( 与 c 图3 3 5 出竽 n r b 时不同z 取值下的资产组合前沿边界 所有资产的投资组合有效前沿如图3 3 5 所示，它是由盯( 磊，) ( z ) 一雨i 空间 中的一条线段和二条射线组成的任何在射线r i + 、，伍知( 磊，) ( z ) 的投资组合包 含卖空资产组合e l 并将所得投资于无风险资产；在点尸和点( 0 ，n ) 之间线段上的 投资组合包括在无借代的情形下，即投资风险资产又投资无风险资产；任何在 以p 点为端点，一 巧为斜率的射线上的资产组合包括卖空所有无风险资产， 并将所得全部投资于风险资产组合e 。 一3 2 参考文献 【1 】h m m a r k o w i t z 。p o r f o l i os e l e c f i o n j 】，j o u r n a o f f i n a n c e 。7 ( 1 ) ，( 1 9 5 2 ) 。7 7 9 1 【2 】r a b r e a l e ya n ds c m y e r s ，p r i n c i p l e so fc o r p o r a t ef i n a n c e 6 me d i t i o n m t h em c g r a w - h i l lc o m p a n i e s , i n c 2 0 0 0 【3 】em o d i g l i a n ia n dm h m i l l e r , t h ec o s to fc a p i 叫c o r p o r a t i o nf i n a n c ea n dt h e t h e o r yo fi n v e s t m e n t , a m e r c a ne c o n o m i cr e v i e w 。稻( ，( 1 9 5 8 ) 。2 6 1 2 9 7 1 4 r - d a r n o t ta n dw h w a g n e r , t h em e a s u r e m e n ta n dc o n t r o lo fi r a d i n gc o s t s 。 f i n a n c i a l a n a l y s t s j o u r n a l ，4 6 ( 6 ) ，( 1 9 9 0 ) 。7 3 8 0 【5 】a y o s h i m o t o 。t h em e a n v a r i a n c ea p p r o a c ht op o r t f o l i oo p t i m i z a t i o ns u b j e c tt o t r a n s a c t i o nc o s t s ，j o p e n r e s s o c j a p a n ，3 9 ( 1 ) ，( 1 9 9 6 ) ，9 9 11 7 【6 】m d w u ，x m r o n ga n dj l i r e s e a r c hp o r t f o l i os e l e c t i o nw i t ht r a n s a c t i o n c o s t s ，j o u r n a lo f t i a n j i nu n i v e r s i t y ，3 5 ( 2 ) ，( 2 0 0 2 ) ，1 9 6 - 1 9 8 【7 】s c h e n ，x t d e n g ，s yw a n ga n dw g l i n i m p a c to ht h ee f f i c i e n tf r o n f i e ro f p o r t f o l i o o f v a r y i n g c a p i t a l s t r u c t u r e , c h i n e s e j o u r n a l o f m a n a g e m e n t s c i e n c e , 9 ( 1 ) ，( 2 0 0 1 ) ，6 - 11 【8 1s m z h a n g ，s yw a n ga n dx t d e n g p o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r yw i t hd i f f e r e n t i n t e r e s tr a t e sf o rb o r r o w i n ga n dl e n d i n g ，j o u r n a o fg l o b a lo p t i m i z a t i o n ，2 8 ( 2 0 0 4 ) ，6 7 9 5 【9 】m w u ，n j h u a n ga n dc w z h a o 。a ne x t e n d e dp o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e lw i t h t r a n s a c t i o nc o s t si nv a r y i n gc a p i t a ls t r n c t u r e ，j o u r n a lo fs i c h u a nu n i v e r s i t y , 4 2 ( 4 ) ( 2 0 0 5 ) 。6 3 9 6 4 1 一3 3 参考文献 【1 0 m w u 。n j h u a n ga n db s k 嗡p o r t f o l i os e l e c t i o nw i t h x a n