一阶线性微分方程及其解法ppt课件.ppt

二、可分离变量的微分方程,则称方程（1）为可分离变量的微分方程.,解法,一阶微分方程的一般形式：,若方程（1）可以写成如下形式：,变量分离,两端积分,1,可以验证:(1.4)式为微分方程(1)的(隐式)通解.,注:若题目只需求通解，则不必讨论,2,例1,求微分方程,解,分离变量,两端积分,C,3,例2,求微分方程,解,分离变量,两端积分,C,注意到:当C=0时即y=0也是方程的解,4,应用:衰变问题:放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中铀含量M(t)随t的变化规律,解,变量分离,两端积分,即,又,故,故,衰变规律为,5,练习12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程,变量分离,两端积分,即,又,6,练习:12.2第3题,两边求导得:,变量分离,注意:这里隐藏一个初始条件,7,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,例6,变量代换是解方程的一种常用的手段,8,9,二、齐次方程,10,解法：,将其代入原式，得：,，即,这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；,然后，利用分离变量法求得,11,故,代入得：,12,进行分离变量整理，并两边积分，,故所求通解为：,这是关于变量u与x的可分离变量方程，,得：,书上还有一个例子，自己可以练习练习,13,求微分方程,，满足初始条件的特解,解：方程可化为：,它是齐次方程。令,代入整理后，有,分离变量，则有,两边积分，得,即,代入上式，于是所求方程的通解为,把初始条件,代入上式，求出,，故所求方程的特解为,14,解：这是一个齐次方程。先将方程变形为,15,代入得：,这是关于变量u与x的可分离变量方程，,分离变量，并两边积分，得：,故,所以，原方程通解为：,16,五、小结,本节主要内容是：,1齐次方程,或,17,判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：,一、一阶线性微分方程及其解法,例1,在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。,1.一阶线性微分方程的定义,（是）,（是）,18,2.一阶线性微分方程的一般式,3.一阶线性微分方程的分类,当时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程。,当时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程。,或,19,齐次线性方程的通解为：,1齐次线性方程：,求解法:,分离变量：,1.常数变易法,20,2非齐次线性方程：,作变换,可分离变量方程,21,积分得,一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:,2.常数变易公式,22,（2）一阶线性非齐次微分方程,常数变易法,1）一般式,2）解法,3）通解公式,齐次的通解,非齐次的特解,23,关于通解公式要注意：,只表示某一个函数,若时，绝对值符号可不写即特别注意：而是,24,例1、求微分方程,的通解.,解法1（常数变易法）原方程变形为:,对应的齐次方程为：,得通解为,设原方程的解为,从而,代入原方程得,25,化简得,两边积分，得,所以，原方程的通解,解法2（用公式法）,把它们代入公式得,26,解,例2,则通解为,27,解,练习,则通解为,原方程变形为,其中,28,解,(不)例4,通解：,29,因此方程满足初始条件的特解为,(讲)求以下方程在下的特解,原方程可化为：,原方程通解为：,或,30,求方程通解：,若化为：,则不是一阶线性的,而化为：,则是一阶线性的,再见书上习题,31,解,例9,32,(方法1),一阶非齐次线性方程,33,选择题考点（间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序）大题考点1、求极限2、隐函数求导（一个方程和方程组情形）3、抽象函数求导4、求极值5、直角坐标系下计算二重积分6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标）7、解齐次方程（令U=。，转化为U和X的方程）8、解一阶线性方程（用公式或常数变易法）9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性,34,解,两曲线的交点,面积元素,选为积分变量,例,画草图如右,35,36,注：，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定点P0时，都有f(P)A,求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则）,等价无穷小替换；,37,对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过换元后的一元函数照样可用,或用重要公式原式,38,无穷小的性质,39,设,确定,两边对x求偏导数：,再对上式对x求偏导数：（按商的求导公式）,对于一阶偏导数，还可用公式法,40,41,例1,讨论,(1)连续；(2)偏导数存在；(3)可微.,解,(1),=0=f(0,0),42,(2),43,(3),？,则,44,45,例2,46,证,令,则,同理,故函数在点(0,0)处连续;,47,下面证明：,可微.,令,则,注此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,而非必要条件.,48,例1.,求函数,解:第一步求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步判别.,在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动目录上页下页返回结束,49,在点(3,0)处,不是极值;,在点(3,2)处,为极大值.,在点(1,2)处,不是极值;,机动目录上页下页返回结束,50,重复是学习之母弗莱格,世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最珍贵，最容易被人忽视，而又最令人后悔的就是时间高尔基,谢谢大家对我的支持！祝大家考试取得好成绩！,51,因此方程满足初始条件的特解为,二、一阶线性微分方程的应用,1.分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。2.建立微分方程。3.确定方程类型,求其通解.4.代入初始条件求特解.,应用微分方程解决实际问题的步骤:,52,例5,解,设所求曲线方程为,从而,即,其中,则通解为,53,因此所求曲线方程为,54,设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比(比例系数，起跳时的速度为0，求下落的速度与