（应用数学专业论文）非线性pde的对称、扰动和约化.pdf

浙江大学申请硕十学位论文 摘要 本文围绕非线性p d e 的对称、扰动和约化问题主要做了以下两方面的工作： 一、提出一种新的求解非线性扰动微分方程的方法，这种方法的关键在于选取合适的 l i e b 8 c k l u n d 对称( 高阶对称) 。对含有小参数扰动项的摄动问题，找出扰动方程与无扰动微 分方程的一阶近似变换关系，从而得到两方程解之间的变换式，通过变换武将无扰动方程 的解变为摄动方程的近似解。此方法将群参数和摄动参数等同起来，因此与现有的近似对 称求解扰动微分方程的方法不同。比李点对称技巧更灵活，所以可用于更多扰动微分方程 的求解； 二、提出非经典约化的相容性方法，简化了标准非经典约化过程。详细证明了对于任意 阶任意维数的微分方程或方程组，通过利用原始方程或方程组和不变曲面条件的相容性可 以导出非经典约化的决定方程，从而得到对称，给出了这种方法的详细步骤，根据这一结论， 在进行非经典约化时就可以简单的利用相容性求对称，避免了无穷小生成元延拓的繁琐计 算，大大地简化了计算步骤。 对于以上两个结论在本文都有例子进行说明。 关键词：l i e b i i c k l u n d 对称( 高阶对称) ：扰动的微分方程；近似解：扰动的k d v 方程； 非经典约化方法；相容性；不变曲面条件；决定方程；非线性波方程；b o u s s i n e s q 方程；非线 胜k l e i n g o r d 0 1 1 方程 第1 贞 浙汀人学申请硕l 学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s sm a i n l yt w oa s p e c t sa b o u ts y l n l u e t r ym e t h o dt os o l v en o n l i n e a rp d e sa n dp e r t u r b e dn o n l i n e a rp d e s ，a n dt h e yr e a da , sf o l l o w s ：f i r s t l yl i e b i c k l u n d s y m m e t r ym e t h o di sd e v e l o p e dt os o l v et h ep e r t u r b e dn o n l i n e a re v a l u a t i o ne q u a t i o na c e n t r a lo b j e c to ft h ea p p r o a c hi sa ni n t e g r a b l eu n p e r t u r b e de q u a t i o n ，w h i c hi sc o n s t r u c t e d b yd e f i n i n gap r o p e rl i e b f c k l u n dg r o u po ft r a n s f o r m a t i o n sa n da p p l y i n gi tt ol e a dt o t h ep e r t u r b e de q u a t i o n t h i sm e t h o di sag e n e r a l i z a t i o no fl i ep o i n ts y m m e t r yt e c h n i q u e w ec o n s i d e rt h ep e r t u r b e dk d ve q u a t i o na sa ni l l u s t r a t i o no ft h ea p p r o a c h n e wa p p r o x i m a t es o l u t i o n so ft h ep e r t u r b e dk d ve q u a t i o ns t e m m i n gf r o mt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h e u n p e r t u r b e de q u a t i o na l eo b t a i n e du s i n gt h el i e b t i c k l u n ds y m m e t r ym e t h o d t h e s ea p - p r o x i m a t es o l u t i o n so ft h ep e r t u r b e dk d ve q u a t i o na r et h es o l i t o n l i k es o l u t i o n s s e c o n d l y , w es h o wt h a tf o rs o m ec l a s so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha r b i t r a r yo r d e r t h ed e t e r m i n i n ge q u a t i o n sf o rt h en o n c l a s s i c a lr e d u c t i o nc a l lb eo b t a i n e db yr e q u i r i n gt h e c o m p a t i b i l i t yb e t w e e nt h eo r i g i n a le q u a t i o na n dt h ei n v a r i a n ts u r f a c ec o n d i t i o n t i l en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，t h eb o u s s i n e s qe q u a t i o na n dt h en o n l i n e a rk l e i n - g o r d o ne q u a t i o na l l s e r v ea se x a m p l e si l l u s t r a t i n gt h i sf a c t m o r e ，w es h o wt h a tf o rv e r yg e n e r a l ( 1 + 1 ) d i m e n s i o n u o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ha r b i t r a r yo r d e rt h ed e t e r m i n i n ge q u a t i o n sf o rt h e n o n c l a s s i c a lm e t h o dc a l lb ed e r i v e db yt h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e nt h eo r i g i n a le q u a t i o na n d t h ei n v a r i a n ts u r f a c ec o n d i t i o n t h e nw eg e n e r a l i z et h i sr e s u l tt ot h es y s t e mo ft h e ( m + 1 ) d i n m n s i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s ot h ed e t e r m i n i n ge q u a t i o n sf o rn o n c l a s s i c a lr e d u c t i o nm e t h o do ft h es y s t e mo ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c a nb ec o n s t r u c t e db ys i m p l y i m p o s i n gc o m p a t i b i l i t yb e t w e e nt h eo r i g i n a ls y s t e ma n dt h ei n v a r i a n ts u r f a c ec o n d i t i o n s ， i n s t e a do fc o m p u t i n gt h ec o e f f i c i e n t so ft h ee x t e n s i o no fi n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r ，w h i c ha r e v e r yc o m p l i c a t e df o rt h e ( m + 1 ) d i m e n s i o np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 第儿页 浙 【人学申请硕士学位论文 k e yw o r d s ：l i e b i c k l u n ds y m m e t r y ；p e r t u r b e de q u a t i o n ；a p p r o x i m a t es o l u t i o n p e r t u r b e dk d ve q u a t i o n ；n o n c l a s s i c a lr e d u c t i o nm e t h o d ；c o m p a t i b i l i t y ；t h ei n v a r i a n ts u r f a c ec o n d i t i o n ( s ) ；d e t e r m i n i n ge q u a t i o n s ；t h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；t h e b o u s s i n e s qe q u a t i o n ；t h en o n l i n e a rk l e i n - g o r d o ne q u a t i o n 浙江人学申请硕j 一学位论文 第一章引言 随着对客观世界认识的不断深入，在物理，化学，i 程，生物，医学，力学等领域涌现 出大量的非线性问题，在获取非线性模型精确解方面，李对称方法被广泛认为是最一般而 有效的方法之一。现在，这种方法得到了很大的发展并且成功应用于麻用科学中常常出现 的大多数的非线性方程1 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 。 所谓李群，是一种连续的变换群。李群在微分几何学、量子力学、常微分方程与偏微 分方程的研究中都扮演着非常重要的角色。李群是在1 8 7 4 年，挪威数学家s o p h u sl i e ( 1 8 4 2 1 8 9 9 ) 在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，从而引入了连 续群的概念，后来被称为李群。 将方程的一个解映射为另一解的连续群称为是该方程的对称。对称变换将保持方程形式 不变。李对称约化的基本步骤如下：由形式不变性出发，导出决定方程，求解决定方程得到群 变换中的无穷小量，通过无穷小量求出不变量，然后通过不变量对原方程进行相似约化，原方 程得到降阶或降维，求解约化方程得到原方程的精确解，如果约化方程不能马上求解，仍可利 用上述方法对其进行相似约化。李对称方法已广泛应用于物理，工程，力学等应用科学领域， 如水波方程b o u s s i n e s q 方程【3 5 ，4 1 ，4 2 ，b u r g e r s 方程f 4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 】，k d v 方程 4 8 】，k d v _ b u r g e r s 方程 5 2 ，k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i 5 】，又如光纤通讯中的非线性s c h r o d i n g e r 方 程 3 】以及流体力学中如非牛顿流体模型 1 7 】，一般的r a d i a lp o r o u s m e d i u m 方程【4o 】，湍 流模型f 1 1 1 等。 虽然用李变换群方法求解微分方程步骤简洁明了又有规则，但是计算过程中会出现大量 繁琐的代数运算和辅助计算，有时候用手算难以解决。为了求出实际模型更多的解，1 9 6 9 年 b 1 u n l a n 和c o l e 2 6 1 在寻找热方程的新解时扩展t l i e 的方法，称之为非经典约化方法。运 用非经典约化方法可以得到标准方法得小到的新解，如对于c a n h h i l l i a r d 方程 13 。经典方 法导出的决定方程都是线性的，而非经典方法导出的决定方程往往是高非线性的 2 5 1a 后来 o l v e r 和r o s e n a u 扩展了b l u m a n 和c o l e 的方法，证明可以尝试任意给定的无穷小变换群作 第1 页 新江大学申请硕十学似论史 用于给定的方程，一般情况下对特殊的群和特殊的方程，_ i 存在群不变解，所以要将已知偏 微分方程约化为常微分方程的等价条件是o | v e r 和r o s e n a u 提到的所谓的“边界条件”f 3 5 。 所有这些方法决定的李点变换都只依赖于自变量和因变量。n o t h e r 验证 广李方法中的变换 群可以依赖于白变量、因变量，以及因变量关于自变量的导数f 1 ，2 1 ，从而推广了l i e 的方法， 这种对称之为n o t h e r 对称【2 】。n o t h e r 对称将变换的维数从原来的2 维空间( z ，y ) 扩展到n 维 空间( z ，y ，y 7 ，( n - 2 ) ) 。l i e - b a c k l u n d 对称变换与n o t h e r y s t n 燃等价的对称变换1 2 】， 形式上l i e b 6 e k l u n d 对称变换群的自变量保持不变，因变量的变换依赖于自变量、因变量 以及因变量关于自变量的导数。l i e b f i e k l u n d 对称又称为高阶对称，一般对称。 李群理论的扩展除了变换群作用空间的维数的扩展以外，另外还出现了给原方程附加 一个新的约束条件，然后考虑耦合的方程组的对称。如条件对称，部分对称，势对称等。 基于李方法的相似约化思想，c l a r k s o n ，k r u s k a l 3 5 提出一种寻找偏微分方程相似约化 的方法并且得到了b o u s s i n e s q 方程的相似约化，这种方法称为直接方法。这种方法直接从 最一般的相似约化出发，不使用群理论，可以得到用标准李群方法得不到的解，但事实上通 过直接方法求出的解都可以通过非经典约化导出，也就是说，非经典约化方法比直接方法 更一般 2 8 。 随着李对称方法在偏微分方程的深入应用和快速发展，尤其是近几年来符号运算软件 的广泛运用，较好的解决了数学分析和处理中繁琐的代数运算问题，因此不论是群理论方 法，还是直接方法，在求解微分方程问题上都得到了更好的发展，求解微分方程的方法更 加多样化，得到了更多的新解，如椭圆i 粼 4 9 ，5 2 】，变量分离方法 9 ，1 0 ，4 6 齐次平衡 法 1 5 1 ，扩展的直接方法 3 9 ，4 3 。除了运用计算机辅助汁算外，简化群理论约化方法将更为 有效，本文第二章提出一种新的求非经典约化决定方程的途径，即相容性性方法，经论证， 这种方法与标准的非经典约化完全等价，但计算步骤简单较标准的非经典约化简单。 虽然群对称方法在求解微分方程时有各种各样的途径，如条件对称( 4 8 部分对称 3 8 ， 5 1 】，切触对称 1 4 】，李对称方法在差分方程的应用 3 0 ，3 1 】，群分类 1 6 ，1 7 ，1 8 ，4 0 ，但主要是 以下两个目的：一是寻找方程的精确解，考虑对称约化得到微分方程的若干类精确解 8 ，2 4 ， 2 9 ，3 2 3 3 ，3 4 ，3 6 ，3 9 1 ；符号软件的应用使得无论是直接方法还是群理论方法有了更快的发 第2 贞 浙江大学申请硕十学位论史 展。一是寻找方程之间的变换式，根据对称的定义，对称变换将方程的个解映射为另一个 解，冈此对称被用来由已知的解导出方程的新解。如非线性叠加【5 0 】 达布变换 9 1 ，b i c k l u n d 变换等f 3 7 ，4 4 1 。 由于非线性问题来源于与实际联系紧密的应用科学，所以它所包含的内容丰富而广泛， 非线性模型复杂而多样，随着对客观世界的进一步了解，对非线性问题进行数学分析是解 决实际问题的罩= 要手段。研究非线性问题的数学方法有很多，但由于非线性问题的复杂性 和似偶然性，没有哪一种数学方法是必然有效的。所以综合运用李对称方法和其他的数学 方法不失为一种解决非线性问题的有效途径，如文献 2 2 】对具有四阶摄动项的扰动的f i s h e r 方程先进行李对称约化然后再对约亿方程进行定性分析从而证明其波前解的存在。随着计 算机的应用和发展，各种计算软件的应用扩展了非线性问题研究的广度和深度。计算机软 件的应用弥补了李对称方法的不足，用李对称方法获取非线性偏微分方程精确解将更为有 效。而李对称中的不变量往往反映了许多实际模型中的守恒。 本文围绕非线性p d e 的对称、扰动和约化问题主要做了下面两方面的工作： 、提出一种新的求解非线性扰动微分方程的方法，这种方法的关键在于选取合适的 l i e b i c k l u n d 对称( 高阶对称) 。对含有小参数扰动项的摄动问题，找出扰动方程与无扰动 微分方程的一阶近似变换关系，从而得到两方程的解与解的变换式，由无扰动方程的解通 过变换式得到摄动方程的近似解。此方法将群参数和摄动参数等同起来，因此与现有的近 似对称求解扰动微分方程的方法不同。比李点对称技巧更灵活，可用于更多扰动微分方程 的求解； 二、提出非经典约化的相容性方法，简化了标准非经孰约化过程。详细证明了对于任意 阶任意维数的微分方程或方程组，通过利用原始方程或方程组和不变曲面条件的相容性可 以导出非经典约化的决定方程，从而得到对称，给出了这种方法的详细步骤，根据这一结论， 在进行非经典约化时就可以简单的利用相容性求对称，避免了无穷小生成元延拓的繁琐计 算，大大地简化了计算步骤。 第3 贝 浙江火学申请硕士学位论文 第二章l i e b i c k l u n d 对称在扰动的非线性偏微分方程的应用 在许多实际模型中，渐近分析往往会导出一个依赖于小参数e 的扰动的微分方程，对于 某些由实际问题建立的模型，它所导出的方程恰好是原有已知模型添加了小的扰动项，如 扰动的非线性波方程【1 9 】扰动的k d v 方程 2 l 】，扰动的b u r g e r s 方程【1 2 l ，扰动的f i s h e r g i - 程 2 2 1 等等。最近几年在求扰动方程的解方面有许多研究，求解扰动方程用到的办法也有各种 各样，摄动法是最常用的方法f 2 0 】，在文献【2 l 】中，用直接摄动方法来求五阶的扰动的k d v 方 程的解；在文献f 2 2 1 中用定性分析方法来证明具有四阶扰动项的f i s h e r 方程存在波前解；在文 献 2 3 】利用j a c o b i a ne l l i p t i c 函数方法得到扰动k d v 方程的精确解；而在文献【1 9 】中应用l i e 点对称技巧得到了扰动的非线性波方程的近似解，同时得到了非线性波方程和扰动的非线 性波方程的近似变换关系。注意到l i e 点对称技巧可以得到扰动方程和无扰动方程的变换关 系，也就得到两个方程解的变换关系，这样就将无扰动方程已求出的众多解做为种子解，通 过变换关系得到扰动方程的近似解。而同时注意到，l i e 点对称方法中生成元延拓作用于无 扰动方程时，所得项的最高阶导数的阶数不会大于无扰动方程的阶数 1 ，2 】。而l i e - b f i e k l u n d 变换中因变量的变换与其导数有关，由l i e b i e k l u n d 对称方法得到的扰动项可以更复杂， 阶数可以高于无扰动方程的阶数，这样就打破了l i e 点对称方法对摄动项阶数的限制，因 此应用l i e b i c k l u n d 对称方法可以改进李点对称方法。同样l i e - b f c k l u n d 对称方法得到的 l i e - b i c k l u n d 变换是扰动方程和无扰动方程的映射关系。通过这些近似解可以分析扰动项对 实际模型的影响。 2 1 l i e b 五c k l u n d 对称方法求解微分方程简介 考虑n 阶微分方程： a ox ，u ，“，u ，u ) 一0 ( 2 1 ) 其中z = z l ，z 2 ，唧) 为自变量，p 为正整数，u 是凶变量，”( k = 1 ，2 ，n ) 表示关 第4 页 浙江大学申请硕士学位论文 于z 的所有阶偏导数的集合。 l i e 点变换群j j 依赖于方程的自变量和幽变量，l i e b , i c k l u n d 对称扩展了l i e 点变换的 维数，变换中所有自变量保持不变，冈变量的变化f i 仅与自变量、冈变量有关，而n 还与冈 变量关于自变量的导数有关。方程( 2 1 ) 的l i e - b i c k l u n d 对称的形式为： z + = x u + = u + e l 叩( z ，“，u 【l 】，( 2 ，uc 。) ) + o “1 2 ) 这里m 是一整数，e ，是群参数。变换( 22 ) 的延拓变换为 ( 2 2 ) u = u 耐+ f 1 ，( z ，u ，u ( ”，u ( 2 ) ，“m ) ) + o ( e 1 2 ) ，i = 1 ，p “和2 “”，+ f 1 ( 。，“，“( 1 j ，“c 2 ) ，“( 。) ) 十o ( e 1 2 ) ， j = 1 ，p ( 23 ) 无穷小生成元为 无穷小生成元r 的女阶延拓为 r ： 昙 o u r ( 砷= ”瓦0 + ”。瓦0 i + + ，瓦0 ：+ 。z ，酝0 + + 啦卿瓦兰+ 变换( 2 2 ) 满足控制方程 r ( “) o = 0 ， 才可以使得方程( 21 ) 在变换作用下保持形式不变。 2 2 应m l i e b & c k l u n d 对称方法求解扰动的微分方程 我们将考虑依赖小参数e 的扰动的非线性偏微分方程( 取到一阶项) ( z ，u u ，u ( 咖，f ) ；e ) 三a o ( x ，“，“( 1 ) ，u t 2 ，u ( ) ) + e a l ( x ，u ，钍c 1 ) ，u ( ，u ) = 0 ( 2 5 ) 第5 页 浙江人学申请硕 学位论文 令f = 0 ，原扰动方程( 25 ) 就变为无扰动方程 a o ( x ，u ，u ，性( m ，札( ) = 0( 2 6 ) 利用l i e - b f i c k h m d 对称厅法求解扰动微分方程( 2 5 ) 的步骤如下： 1 考虑如下形式的l i e - b f i c k l u n d 变换 t + = z u + = u + e 1 叩( z ， ，u ，札2 ) ，札( 饥j ) + 0 0 1 2 ) 其中m 是。一个非负整数，6 1 是群参数，群变换( 2 7 ) 的无穷小生成元为： x = 咖，u ，”。，u 。一未 在这个变换中，无穷小”依赖于x ，u 以及“关于。的m 阶偏导数。 将无扰动的方程( 2 6 ) 写成用记号矿，u + 表示的形式，即 a o ( x + ，7 2 + ， 1 + ( 1 ) ，u 函，u & ) ) = 0 再将变换( 2 7 ) 作用于这个方程，方程( 2 9 ) 变为 厶o ( z ，u ，u ( 1 ) ，“，“】；e 1 ) = 0 其中k l 是正整数，k i k ，此方程写成无穷小的形式为： ( 2 7 ) ( 28 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) a o ( x + ，u 。，u j ) ，u + ( 2 ，u 氛) ) = o ( z u ，u i 】) 1 u ( 2 ) ， ) + e l x ( o ( 茁，u ，“c 1 ) ，u ，钍( k ) ) i 。= o + o ( e ) = 0 ，( 2 1 1 ) 这里x ( 。) 是无穷小生成元( 2 s ) nk 阶延拓，0 ( 4 ) 是e i 的同阶无穷4 、。 2 如果 x ( “) o ( ，u ，“ i ) ，钍 2 ) ，u ( 女) ) ix x o = 0 = 】( z ，“，u ( 1 ) ，“，u ( 女) ) ， ( 2 1 2 ) 在无穷小形式中e l l ，通常扰动参数e l ，这里取e 1 = ，方- n ( 2 1 1 ) 变为 o ( z t ，钍f 1 ) ，“，u f k ) + e 1 ( z ，u ，札( 1 1 ，”，u ( ”) 十0 ( e 2 ) = 0 ， ( 2 1 3 ) 第6 页 浙江人学申请硕 学位沦文 那么方程( 21 3 ) 是原始扰动方程( 25 ) 的近似。通过方程( 2 1 2 ) 可以得到关1 ： ”( z ，u ，? i 【。”，“f ) 的决定方程，解相应的超定方程组便得到l i e b i c k l u n d 变 换中的 。 如果 x 。ox ，u ，u ( 1 ) ，u ( 2 ) ，u ( k ) i a o = o = 0 ， 那么变换( 2 7 ) 就是方程( 2 9 ) 的l i e - b f i c k l u n d 对称。 3 解含有如下初始条件的l i e b i c k l u n d 方程得到群变换的整体变换 3 ： 警2 ( 一心们驴，u 挑警= 。棚( x * l u * i u 碱”叫1 4 ) u + l 。o = u ， ：。l 。：o = u z ， 求解含初始条件的l i e - b i i c k l u n d ) 5 - 程是困难的，目前它的一般解的形式只是给出了 幂级数序列的形式【3 对于方程( 21 4 ) 关于的相应的单参数变换群的幂级数形式为： u + = “+ e q + 簧x ( 叩) + 。_ 。+ 三( x 1 p _ 1 ( q ) + 。 ( 2 1 5 ) r zn 利用l i e 群逆变换的性质，变换( 2 1 5 ) 的逆变换的幂级数形式为； u u 一e 叼( z + ，u + ，矗) ，“乞) ，u _ ) ) + ；里x ( m 1 ( 。，。，。：。，。蔷，u 毛，) ) + + 警( 妒”) “( 啦+ ，u + ，u 扣孙叫k ，) ) + ( 2 1 6 ) 事实上，当将变换( 2 1 5 ) 作用于原方程时，“+ 的0 ( e 2 ) 项变为方程( 2 1 3 ) 的o ( e 2 ) 项，而且 在求群变换的整体变换时无论我们是否求出l i e b f i c k l u n d 的精确解，从无扰动方程( 2 9 ) 到 扰动5 - n ( 25 1 的变换过程一定是一个近似的过程，因为在方程( 2 1 3 ) 含有o ( e ；) 项因此 我们耿变换( 2 1 5 ) 的近似形式： u + = u + 研， ( 2 1 7 ) 对变换( 21 6 ) 也是一样的这个近似变换不仅将无扰动的方程变换为扰动的方程，同时， 通过这个变换可以将无扰动方程的精确或近似解变为扰动方程的近似解，这就是我们所 第7 页 浙江入学申请硕十学位论文 说的通过l i e - b 6 c k l u n d 对称求扰动方程的解。从上面阐述这种方法的过程中我们可以 看出无穷小”所依赖的变量选取的灵活性，主要是u 关于z 的导数的阶数的选取可以 很灵活，选取的阶数越高，得到的扰动项的阶数就越高，选取的变量越多，得到的扰动 项的组合就越复杂。 2 3求解扰动微分方程的例子 例1 考虑添加了摄动项的k d vz 程 2 0 的一种情况： u f + 6 u u z + m + c l u 3 珏z + ( c l c 2 ) 让：+ 3 c l u z “瓣+ c 2 u z z “m q 2 = 0 ， 这里c 1 ，c 2 是任意常数。是小参数。不妨取t = 0 2 ( e 1 ) ，那么方程( 2 1 8 ) 成为 “+ 6 u u z + u 脚+ c l “3 u z 十( c l c 2 ) u ：+ 3 c l 乱札z u 船+ c 2 u z z “珊 e = 0 如果e = 0 、就是k d v 方程： u t + 6 u u z + m = 0 根据本章第二节阐述的方法，首先将方程( 2 2 0 ) 写成变量矿，t + ，u + 的形式： a o ( x ，t + ，钍。，钍：。，u ，“：v 。+ ) = u i + 6 u + 钍：，+ 。= 0 考虑l i e - b i c k l u n d 变换( 这里直接将扰动参数f 做为群参数) ： z + = z t + = t u + = u + e 叼( z ，t ，t 正，t i # ) + 0 ( e 2 ) ； 无穷小生成元x 为 x 刮吼u ，u 。) 熹 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 22 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第8 贞 浙江大学申请硕+ 学位论文 变换群f 23 7 ) 的延拓为 札：，= 札。+ e d 。町( z ，u ，u 。) + o ( e 2 ) “= u t + e d t 即( z ，“，u 。) + d ( e 2 ) t 。= u 。+ e d 。叼扛，t ，“，t k ) + 0 ( e 2 ) “：，( 。) r ( k 一；) = 。( o t ( k ) + e d 。( ：) ( k 一。) q ( z ，t ，u ，u 。) + o ( f 2 ) 其中k 和i 是非负整数( = 0 ，k ) ，u x ( 。) t ( k 一 ) = 砖1 或“，全微分算子d 。，d c 分别为 x 的3 阶延拓为 砌铀池) = 塞讹宝讹。毫 啪= 裳怕裳地t 老 x c3 ) = q ( z ，t ，“，u 。) 盖+ 仇q ( z ，t ，”，“。) 盎+ 。c q ( z ，t ，u ，u 。) 去+ 。q ( z ，t ，u ，u 。) 石i 0 + 呦( 州，u ，”。) 毫悃北枷，“；瓦0 + 州州，”。) 老 + 献州，u ，“。) 毫+ 巩州州，“，u 。) 毫十d t 栅( 州，u ，百函0 ( 2 2 4 ) 变换( 2 3 7 ) 将k d v 方程( 22 1 ) 变为 即 a o ( x ，t ，u ，钍z ，札，钍z 。，；e ) = 0 厶ox ，t ，u ，u z ，u t ，；e ) = 札+ 6 u u z + u z z z + e x 3 ( “t + 6 u u z + u 船。) + o ( e 2 ) 令 儿t + 6 u u 。+ 札竹。+ e ( 6 “。叼+ 6 “d 。叩+ d 町+ d t 即) + d ( e 2 ) ( 2 2 5 ) 6 u z 卵+ 6 u d 卵+ d 一叩+ d f 叩= c l u 3 u z + ( c 1 一c 2 ) t l ：+ 3 c i u u z t 正t z 十c 2 u 埘仳珊 ( 2 2 6 ) 第9 页 浙江大学申请硕士学位论文 解方程( 2 2 6 ) 得 q ( 州，u ，“。) = 罟u 3 + 罢u ：+ ( a 。一6 a - ) u 。仙， 这里a l ，a 2 是任意常数。冈为q 不是线性依赖于u 。所以这个l i e - b 6 c k l u n d 对称小等 价于l i e 点对称【1 ，2 1 。 再根据本章第二节( 3 ) 的方法得到关于t 的近似的l b b i c k l u n d 变换： 完整形式如下 + = u + e ( 詈“3 + 害“：+ ( a 2 6 3 - ) 十a - ) ( 2 2 7 ) t + = t ， ( 2 2 8 ) u + = “+ e ( 罟u 3 + 詈u 。2 + ( a 2 - - 6 a i t ) u z + a 1 ) 将此变换代入方程( 22 1 ) ( 利用m a t h e m a t i c a 软件) 得 u 十6 u u 。+ 钍。+ e c 1 札3 i , 。+ ( c 1 一c 2 ) u ：+ 3 c 】“u # u 。+ c 2 u 。u 础 + o ( e 2 ) = 0( 22 9 ) l i e b f c k l u n d 变换( 2 2 8 ) 将k d v 方程( 2 2 1 ) 近似地变为扰动的k d v 方程( 2 1 9 ) 。同时这个 变换建立了k d v 方程的解与扰动k d v 方程( 21 8 ) 的解的变换关系。 根据( 2 1 6 ) 考虑变换( 2 2 8 ) 的近似逆变换： u = 矿一e ( 詈u + 3 + 百c 2 * 。2 + + ( a 2 6 a ，) u ：+ a 1 ) z ：z +( 2 3 0 ) t = t + 那么变换( 23 0 】可以将k d v 方程的精确解u 蝴- g ( 2 1 9 ) 的近似解u ( $ 1 用m a t h e m a t i c a ) 。而k d v 方程的精确解已求出很多 6 ，7 ，4 8 ，例如，k d v g 亨 程( 2 2 1 ) 的行波解： u + ( z ，) = 3 c s e c h 2 e 以( + 一c t + ) + 叭 ( 2 3 1 ) 第1 0 受 浙江人学申请硕十学位论文 这里c 和d 是任意常数。它们是单孤子解。根据( 2 3 0 ) ，扰动k d v 方程( 2 1 9 ) 的近似解为 n = 3 c s e c 2 ( ；以( zc t ) 删州呐一；c 3 c l s e c 1 6 ( ；以( z 刊) 删 i c 3 c 2 s e c 4 ( j 1 讵( z c t ) + 叭a n h 2 ( j 1 以( z c t ) + 6 ) 3 c ；( 6 一糊s e c 2 ( 互1 以( z c ) + 6 ) t a n h ( ；以( z c t ) + 6 ) ) ( 23 2 ) 占们是类单孤子解。再将e = 0 2 代入上式就得到原扰动方程f 2 1 8 ) 的近似解 u = 3 c s e c 2 ( ；以( z 州) 删+ a 2 ；c 3 c z 一矾互1 讵( z 刮) 删t a n h ( ；撕扣 ；c 3 c 1 s e e 以；仲刊删 哪删l 3 c i ( 6 一糊一职；撕( z 刊) 删 t a n h ( ；讵( z d ) + 6 ) ) ( 2 ) 与文献 2 0 中的解进行比较，两者是不同的。当o = 0 ，( 23 3 ) 式与( 2 3 1 ) 式一致。 当c 1 = 0 1 ；c 2 = 0 2 ；a 1 = 0 1 ；a 2 = 0 5 ；5 = 8 8 ；c = 1 ；e = o 时，解的图像为 图l ：k d v 方程的行波解 当c 1 = 0 1 ；c 2 = o 2 ；a 1 = 0 1 ；a 2 = 0 5 ；d = 8 8 ；c = l ；e = 一o m m i ，解的图像为 蔸1 1 页 浙江人学申请硕士学位论义 图4 ：扰动k d v 方程的解 现较大的 第1 2 贞 浙江大学申请硕十学位论文 当e = 一8 2 3 1 2 1 2 时，解的图像为： 02l0 20 0 0 图5 ：扰动k d v 方程的解 从上面几个图町以看出，对于取定的常数。l = 0 1 ；。2 = 02 ；a 1 = 0 1 ；a 2 = 0 5 ；6 = 8 8 ；c = 1 ，当e = 一8 9 ，即的绝对值较大时，扰动方程近似解的图像才由亮的类孤子变为 暗f l 勺类孤子。但如果选取不同的常数，即使在卜叫的绝对值较小时，扰动项对方程的影响也 会很大，如取c 一1 0 ，其它常数同上，当e = 一0 0 1 时，扰动方程近似解的图像为： 图6 ：扰动k d v 方程的解 图6 中波的振幅比图1 和图2 的振幅小了很多，说明此时扰动项的影响较大。 当f = 一0 6 3 2 4 5 5 8 2 6 6 5 时，扰动方程近似解的图像为： 第1 3 页 浙江大学申请硕士学位论文 程的解 程的解 图9 ：扰动k d v 方程的解 从上面图像看出对于取定的e ( 如f = 一o 0 1 ) ，常数c i ，c 2 ，a l ，a 2 ，6 ，c 取值的不同，导致 第1 4 贞 浙江大学申请硕十学位论文 扰动项对实际问题的影响大小也小同。利用k d v 方程的解还可以导出许多扰动k d v 方程的 解，这里就小举例 r 。 例2 可以找到变换将k d v 方程变为下面扰动的k d v 方程 2 0 ： u t + 6 u u z + u x x z + 1 5 c ? m z ( “2 + “z z ) = 0 ：( 2 3 4 ) 如果e = 0 ，卜- 式为k d v 方程： u t 十6 u u 。+ “。= 0( 23 5 ) 同样根据本章第二节阐述的方法，首先将方程( 2 2 0 ) 写成变量矿，t 4 ，“+ 的形式： a o ( z ，t + ，“+ ，u ：。，“；，u ：。+ ) = u + 6 u “：。+ u ：。，= 0 ( 2 3 6 ) 考虑l i e - b f i c k l u n d 变换( 这里直接将扰动参数e 做为群参数) ： t + = u + = u + e 叼( ，t ，u ，t 正# ) + o ( e 2 ) ( 2 3 7 ) x ( 3 ( u + 6 u u 。+ u m ) = 6 u 。r + 6 u d 。即+ d m 叩+ d t 叼= c 钍。( u 2 + u 。) ，( 2 a s ) 其中c 是迹系数，如果e = 0 ，得到的对称就是方程( 2 3 6 ) 1 拘l i e _ b 跳k l u n d 变换。 解方程( 2 3 8 ) 得 目( 州i ? - 1 1 t t x ) = 口( t ) “。+ ；u 2 ， 其中口( t ) 是关于t 的任意函数，根据( 2 1 5 ) ，考虑李级数的_ 次项，得近似变换为： “+ ：“+ 。( t ) u 。+ i c “2 ) e + l c 2 u 3 - 1 - ；c 。( ) u “。+ 百1c a ( ) a l t ：r - 4 - j 1 2 ( t ) u 。) e 2 ( 2 3 9 ) 第1 5 负 浙江大学申请硕十学位论文 代入( 23 6 ) ，得 蛳+ 6 u u 。+ “础+ c u 2 u 。+ 口1 ( ) “z + c u t “z z f + ； s c 2 ”3 “。+ c 2 u 。3 斗s c 2 u “。u 。 + 6 c u 2 盯( ) u 蛐十6 c a ( t ) u 。u 。+ 6 c o ( t ) 。+ 6 a ( t ) a ( ) 仳。+ 1 2 c 6 ( t ) u u ：+ 2 c a ( ) u “。 f 2 + 0 ( e 3 ) ( 2 4 0 ) 1 如果口( ) = c l ，c l 是非零常数。方程( 2 4 0 ) 变为： ”6 u u 。+ u + c u 2 u 。+ “x u x x ) e + ； 3 甜十c 2 “：十3 c 2 础。 + 6 c c l 2 。+ 6 c c l u 。u m + 6 c c l “：。+ 1 2 c c l u u ： e 2 + o ( e 3 )( 2 4 1 ) 此时变换f 2 3 9 ) 变为： “+ = “+ a l e x ：u 2 ) e + l c 2 u 3 + i l c c ，“u 。+ i l c c u u 。十互1 c ；u 。 e 2( 2 4 2 ) 根据( 2 1 6 ) 近似逆变换为： u = u 一 c ，u ：十；u 2 e + l c 2 t t 3 + ：c c ，u + u ：+ ；c c ”+ “；+ j l c ；u ：。) e 2 ( 2 4 3 ) 由于白变量，t 保持不变，所以这里，t 和矿，t + 不做区别。l i e b s c k l u n d 变换( 24 2 ) 将 k d v 方程( 23 6 ) 近似的变为扰动的k d v 方程( 2 3 4 ) 。那么，其逆变换( 2 4 3 ) 将k d v s t j - 程 的解“4x ，幻近似的变为扰动的k d v 方程的解u ( z ，) 。 2 在求出的一阶近似的基础上考虑二阶近似，得到在变换( 2 4 2 ) 作用下，k d v 方程( 2 3 6 ) 近似的变为含二次扰动项的k d v 方程 2 0 】 “。+ 6 u u ：+ u