（概率论与数理统计专业论文）两阶段等效性检验研究.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o no f 始a r2 0 1 0 u n i v e r s i t yi d ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 5 0 2 2 r e s e a r c ho nt w o - - s t a g ee q u i v a l e n c et e s t d e p a r t m e n t m a j o r s c h o o lo ff i n a n c ea n ds t a t i s t i c s p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n a p p l i e d s t a t i s t i c s s u p e r v i s o r a u t h o r d a t e p r o f e s s o rp ux i a o l o n g z a n gw e i l i a n g a p r i l ，2 0 1 0 1 1 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文j 哆m i 缎名生1 哆构白乞砷反 ， 是在华东师范大学攻读顼生，博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 华东师范大学学位论文著作权使用声明 汤孑叮乒生豸袭文1 磁乞马宪铆乳 系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成煦硬左博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于c 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文宰， 于年月 日解密，解密后适用上述授权。 ( 妣不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名捆纽查友 纱，o 年厂月；d 日 枣“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 臧维良硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 汤银才教授华东师范大学 主席 汪荣明教授华东师范大学 王文胜教授华东师范大学 目录 摘要 a b s t r a c t ( 英文摘要) 目录 第一章两阶段检验简介 1 1 包含讨厌参数的固定样本量检验的缺陷 1 2 两阶段过程介绍 1 2 1 第一个过程的检验介绍 1 2 2 第二个过程的检验介绍 1 2 3 证明第二个过程检验的势优于第一个过程 第二章等效性检验介绍 第三章两阶段等效性检验 3 1 关于6 的两阶段等效性检验 3 1 1 方法一 3 1 2 方法二 3 1 3 两种方法的比较研究 3 2 关于导的两阶段等效性检验 第四章两阶段等效性检验的缺陷及改进 结论 致谢 2 5 2 7 3 0 沁 v 1 1 2 3 4 5 6 8 8 8 m 揭 加 插图目录 插图目录 孓1 晶分别取0 2 5 ，0 3 7 5 ，0 5 时势函数形状1 1 3 - 2 如固定时t t o 与的关系1 2 孓3 咖的变动对势函数的影响1 3 孓4 如的变化对势函数的影响2 3 孓5 固定时伽与的关系2 4 3 _ 6 伽的变动对势函数的影响2 4 表格目录 表格目录 3 - 1 试探样本列表1 0 3 - 2 品变动时c 及的变动情况1 1 孓3 如变动时两种方法的总样本量变动情况2 0 3 - 4 伽变动时拒绝域临界值变动情况2 2 3 - 5 6 l d 变动时总样本量变动情况2 3 中文摘要 摘要 本文主要研究s t e i n 的两阶段检验方法在等效性检验中的应用。 文章首先介绍了s t e i n 的两阶段过程的检验方法。s t e i n 通过两阶段抽样，给出了两 个不同的检验统计量，构造出了两个过程的两阶段检验，并证明了第二个过程在势方 面要优于第一个过程。由于本文的主要目的是为了解决等效性检验问题，通过使用两 阶段抽样，不仅为等效性检验提供了一种新的检验方法，并且可以很容易地计算出检 验所需的总样本量。此外，当试验成本主要受抽样阶段个数影响时，使用此方法较易 控制成本。 本文分别对检验参数为6 和要的情况进行了两阶段等效性检验研究，并引入t w o o n e - s i d e d 检验在保证等效性的同时，维持了两阶段检验的优良性质。 关键词：等效性检验，两阶段过程，样本量，势函数 a b s t r a c t t h ec o n t e n t so ft h i sa r t i c l ef o c u so nt h ea p p l i c a t i o no ft w o - s t a g et e s ti nt h ee q u i v a - l e n c et e s ta r e a t h ef i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e ss t e i n st w o - s t a g ep r o c e d u r e h ec o n s t r u c tt w ot e s t i n g p r o c e d u r eb yg i v i n gt w od i f f e r e n tt e s ts t a t i s t i c s ，a n dd e m o n s t r a t et h a tt h es e c o n dp r o c e - d u r ew i l lb eb e t t e rt h a nt h ef i r s tp r o c e d u r eo nt h e i rp o w e rf u n c t i o n b e c a u s et h em a i n p u r p o s eo ft h i sa r t i c l ei st od e a lw i t he q u i v a l e n c ep r o b l e m s ，a p p l y i n gt w o - s t a g ep r o c e d u r e i n t oe q u i v a l e n c et e s tn o to n l yp r o v i d eu san e wt e s t i n gm e t h o d ，b u ta l s oe a s yf o ru st og e t t h et o t a ls a m p l es i z ef o rt h et e s t b e s i d e s ，w h e nt h ec o s t so ft h ee x p e r i m e n tw i l lb eg r e a t l y a f f e c t e db yt h en u m b e ro ft e s ts t a g e s ，t w o - s t a g eo rm u l t i s t a g et e s tw i l lb ec o n v e n i e n tf o r u st oc o n t r o lt h ec o s t s t h i sa r t i c l ei n c o r p o r a t et w o - s t a g ee q u i v a l e n c et e s to n6a n d 軎，a n di n t r o d u c e dt w o o n e - s i d e dt e s tt om a i n t a i nt h ea d v a n t a g e so ft w o - s t a g ep r o c e d u r eo nt h ea s p e c to fp o w e r f u n c t i o n k e yw o r d s ：e q u i v a l e n c et e s t ，t w o - s t a g es a m p l i n g ，s a m p l es i z e ，p o w e rf u n c t i o n v 一 第一章两阶段检验简介 第一章两阶段检验简介 广义上讲，那些样本量不事先固定，而是根据试验中实际得到的观测值来确定的 抽样过程都可以称为序贯过程。也就是说，序贯过程的样本观测应该是在两个或两个 以上的抽样阶段中产生的。一般我们把抽样阶段个数固定的序贯过程成为多阶段过 程。在多阶段过程中，每个阶段的样本量并不要求事先确定，如两阶段过程将抽样分 为两个阶段进行，而每个阶段的样本量则根据实际需要来选取。 w a l d 提出序贯过程的目的是为了避免“过量抽样 ，在不断的抽样过程中，样本 包含的信息量逐渐增加，直到所抽取的样本能够使我们做出判断，便停止抽样。这样 一来，我们既得到了所需要的信息，又可以使得平均样本量达到最小。不论真实分布 是否包含讨厌参数，通过这种连续的抽样，都有一定几率可以提早做出判断从而中止 试验。 对于简单检验问题p = g ov sp = p 1 ，当真实分布为( p ，1 ) 时，给定两类错误概 率，序贯概率比检验的平均样本量将大大小于固定样本量的检验。在序贯抽样过程中， 每个阶段的样本量可以是1 ，也可以是一个很小的数，但是并不限制抽样阶段的数量。 很容易想象，如果试验成本主要受抽样阶段个数影响的话，这种序贯过程将不利于控 制成本。w 甜d 提出序贯概率比检验的同时，s t e i n 提出了一种只适用于总体包含讨 厌参数的序贯过程。这种序贯过程首先抽取一组用于估计讨厌参数的“试探样本” ( p i l o ts a m p l e ) ，然后根据讨厌参数的估计值来确定下一个抽样阶段的样本量，进而 便可得到与讨厌参数无关的，且满足我们需求的统计推断，如给定置信水平及区间长 度的区间估计，或同时控制两类错误的检验。这种序贯过程可以是两阶段或是多阶段 的，因此当试验成本主要受抽样阶段个数影响时，使用此方法较易控制成本。 1 1 包含讨厌参数的固定样本量检验的缺陷 l e h m a n n 1 1 证明了对于位置尺度参数分布族，当尺度参数未知时，在固定样本量 下，不存在固定长度的位置参数的区间估计。对于检验问题也有类似的结论。下面我 们证明在固定样本量时，我们无法得到同时控制两类错误的检验。首先证明：当尺度 参数足够大时，两个位置参数不同的分布相互收敛。特别的，我们假定x 1 一，x n 为来 自正态随机变量x 的样本，x 一( p ，盯2 ) ，一o 。 肛 + ，盯未知且0 盯 + 。则 样本的联合密度函数为： 矿吖( 竽，竽) 一n 巾一1 ( x - # 1 ) 一1 一 1 2 两阶段过程介绍 其中刃= ( x l ，x n ) ，1 之( 1 ，1 ) 。假设，( z ) 在任意z 舻上连续，那么对于任 意肛1 p 2 ，由，( z ) 的连续性知：对瞅，令t = o r 一1 ( 2 一p 1 1 ) 当仃o + o 。时有： s 即”仆- 1 ( z - - # 1 1 ) i - 七i 虻p 叫盯- 1 ( z 啪1 ) 耳如一 = = s u p l 。仃一n ，c t ，】：id k 七一。 仃一n ， t - - 盯一1c p l l - p 2 1 ) h 七c b 七l p a u - n f ( g ) - f ( m - 1 ( 小讹1 ) ) 】翠如七卜。 m 1 ， 对于简单的假设检验：h ：p = 肋v 8k ：p = p l ，假设可以找到检验函数咖( z ) 使得两 类错误分别控制在口，卢：【( z ) 】= q ，耳。 ( z ) 】= 1 一卢，0 0 ，囟】表示对z 向下取整。 再从总体中抽取一n o + 1 个样本z ，l o + 1 ，x n 。选择检验统计量： z n = a o 而+ 其中o o ，a n o + 1 ，口由以下方程组确定： 由于 k = n o + 1 a k x k 0 0 + 冬啪+ 1 钆= l 去镌+ 岛n ：伽+ ，0 2 = z s 3 扣知n 。n 2 = 扣+ 去+k = n o + 1 1 n ( 1 - 3 ) ( 1 4 ) 所以击0 3 + 冬伽+ 。n 2 可以取到( ，+ ) 上的任意值。从的计算公式可以看出z s 0 2 专，故方程组( 1 4 ) 有解。如果我们假定+ l = = a n ，则只需要给定s 0 的取值， 便可从方程组中解a o ，+ 1 ，o 的值。因此： e ( 1 n ) = 印e ( 而) + a k e ( x k ) = ( 0 0 + n f k = n o + li v a r ( i n ) = a 2 v a r ( 牙o ) + k = n o + 1 k = n o + 1 。：y n r c 。七，= ( 去。；+ 一3 7 o 七ip 2 p 。：) 拈哳2 盯2 掣 一 赴 1 2 两阶段过程介绍 因此检验统计量f 一n ( p ，z 盯2 s 0 2 ) ，这意味着给定s o 后有 z - ( i n - p ) s o 。n ( 0 ，1 ) 盯 又因为乎一妒( 伽) ，所以根据t 分布定义可得： z j 1 ( f 一p ) 一t ( 咖) 设检验日的拒绝域为_ f 后) ，则有 p h ( i n k ) = p ( z 一 ( f 一脚) z 一 ( 七一伽) ) = q 因此拒绝原假设当且仅当z 一( j 一p o ) 一亡( q ，v o ) ，其中t ( q ，咖) 是自由度为v 0 的t 分 布的下分位数。若要求在p = p o + e 处使势函数达到1 一p ，则只需取z 满 足p0 一名一e - t ( q ，) ) = 1 一卢。 1 2 2 第二个过程的检验介绍 阶段一： 与第一个过程的检验类似，首先取伽个试探样本z 1 ，z n 。，并由此得到牙。与s 3 。 阶段二： 由 n = m a x ( n o ， z - 1 8 2 + 1 ) ( 1 - 5 ) 计算总样本量，其中z 0 ，i x 表示对z 向下取整。 从总体中继续抽取一n o + 1 个样本z 加+ 1 ，x n 。若 n o ，选择检验统计量 若n = n o 则选择统计量 孰：! ! 重! 丝竺出坐：娶n 韭 鲫2 万一2 了广 z n2x 0 容易看出，孟一( p ，需) 。因此对给定的s 3 有 掣撕) 4 第一章两阶段捡验简介 设检验日的拒绝域为 牙 七 ，则有 昂c 牙 动= p ( 掣 竺墼冬掣) = q 因此拒绝原假设当且仅当巫鱼8 0 出 一t ( a ，v o ) 。 1 2 3 证明第二个过程检验的势优于第一个过程 当假设k 成立时，有： p ( 蜘8 0 一t ，如，) = p ( 一”， = p 卜避掣 p o 一名一 一脚) 一t ( 乜，铷) ) = p ( z 一 ( f 一肋) 一亡( q ，咖) ) 这说明当备择假设成立时，若取z 使得第一个过程的检验的势等于1 一口，则对于同 样的z ，第二个过程检验的势将大于1 一口。 一5 一 第二章等效性检验介绍 等效性检验主要是针对反应分布间差异的参数p 进行的检验。例如，0 = p 1 一助， 其中p 1 ，p 2 ，分别为a ，b 两个总体的位置参数。当口的取值在某个口。附近时，认为两个总 体等效，检验问题即为： h ：0 0 0 e 1o r0 0 0 + e 2 1 8k ：0 0 一e 1 0 ) = 雪( 要) ，所 以： 三一外 _ + c 1 甘一( 三一e ) 孑i ) - i ( 三+ e ) 骨巧1 ( 1 一( ) 孑t i ) - - i ( 营廿1 ( 丢+ e ) 孑( 1 ) - i ( 壶+ e ) 其中垂为标准正态分布的分位数函数。因此，当e = o 1 时，圣一1 ( 互1 + e ) = 0 2 5 2 9 ； 当e = o 2 时，圣。1 ( ；+ e ) = 0 5 2 4 0 。 类似的，如果两总体的分布分别为x 一 1 ，0 - 2 ) ，y 一( p 2 ，0 0 2 ) ，则有： 三一圣( 喾) 扛一一( 三一e ) 警 一( 丢+ e ) 一一厢。1 ( 三+ e ) 学 恤以( 三+ e ) 所以在严格情形下，e = 0 3 5 7 7 ，宽松情形下= 0 7 4 1 1 。 7 第三章两阶段等效性检验 假定( 五，k ) ，i = 1 ，2 ，为独立的来自于总体a ，j e i 的样本，且五，m 是在相同试验 环境下获得。因此总体之间的差异可以用皿= 五一来度量。本文中假设现一 n ( 6 ，( 7 2 ) ，其中6 = e ( d i ) ，盯2 = v a r ( d i ) 均未知。 30 1 关于6 的两阶段等效性检验 3 1 1 方法一u 一 对于检验问题： h ：6 6 1o r6 如v 8k ：以 6 如 其中一 以 0 如 + o o 。 由前面章节，选取检验统i t 量g n ，则检验的拒绝域形式为【c 1 i n c 2 ) ，其 中c l ，c 2 由 b 1 ( c 1 i n c 2 ) = ( c l f c 2 ) = q ，- - 0 0 e l 0 c 2 + o 。 确定。 因验统计量2 一( 6 ，z 6 r 2 s 0 2 ) ，则有： b ，( c t l c 2 ) = b 。( z 一 c z 一 f z 一c 2 ) = 易。( z 一 ( c ，一6 - ) z 一 ( 1 一6 ) z 一；( c 2 一以) ) = b 。( z 一丢( c 一6 t ) t z 一；( c 2 6 t ) ) = q 其中t t ( ) 。同样，在如处有 如( c z z c 2 ) = ( z 一 ( c z 一如) t z - ( c 2 一如) ) = q 8 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) 第三章两阶段等效性检验 ( 2 ) 因为该检验的势函数： p ( c t i n c 2 ) = p ( z 一( c 1 一艿) 亡 z 一( c 2 6 ) ) = p ( z 一言( 半一0 仃；c 1 - - 20 2 t z - ；( 半一6 ) 玎；c 1 - - 2c 2 ) 关于i 学i 递减，故当6 = 铲时，势函数达到最大值。所以，若想要在6 = 垆处使 得检验的势达到1 一口，即有： p o ( c 1 l c 2 ) 却( 1 狄i z 一c 2 - - 2c 1 ) “一p ( 3 - 3 ) _ 根据方程( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 便可得到z ，c l ，c 2 的值。根据z 的值及样本量公式 ( 1 3 ) ，便可得到总样本量。 对于上面的检验问题，将数据做适当的变换：在不等式两端同时减去d = 查也2 ，则 检验转化为 删巡学一d 学一：学一d 学 同样，将每个样本都减去d = 学得研= d i d 。检验问题便可转换为关于。对称的 检验问题，即： h ：5 一如o r6 南v 8k ：一如 6 如 此时，检验的拒绝域为 一c i n c ) ，其中c 由p 士南( 一c f c ) = q ，0 c + 。o 确 定，在一如处有： p - 面( - - c j n c ) = p - 6 ( 名一( 一c + 南) 名一( f + 南) z 一；( c + 南) ) = p ( z 一( 一c + 如) 亡 z 一 ( c + 南) ) = q ( 3 - 4 ) 同样，在晶处有： p 6 0 ( - c f c ) = p ( z 一( - - c - - 品) t z 一( c 一如) ) = q ( 3 - 5 ) 因为该检验的势函数p ( 一c f c ) = p ( z 一 ( 一c j ) t z 一 ( c 一6 ) ) 关于蚓递 减，故当6 = 0 时，势函数达到最大值。所以，若想要在6 = 0 处使得检验的势达 一9 一 3 1 关于6 的两阶段等效性检验 到1 一口，即有： 所以得到： p o ( - c l c ) = p ( 一名一；c t z 一；c ) = 1 一卢 z - 一c 1 = t ( 1 一 ( 3 - 6 ) 根据t 分布的对称性，可知( 3 - 4 ) 等价于( 3 - 5 ) ，因此，只需要联立方程( 3 - 4 ) ( 3 - 6 ) 便可得到z ，c 的值。根据z 的值及样本量公式( 1 3 ) 便可得到总样本量。 设b n ( 0 ，1 ) ，a = 0 0 5 ，声= 0 2 。下面我们就针对这种类型的检验进行模拟并展 开讨论。 1 晶变动时对结果的影响 根据常识我们知道，当品增加时，c 也随之增加。对两阶段等效性检验也不例外， 我们可以从公式上轻易得出这一点：由公式( 3 - 6 ) 可以看出c 的取值与z - 成反比例 变动，将( 3 - 6 ) 代入( 3 - 4 ) 得到： p - 南( 一亡( 1 - 鲁仃 如 川( 1 一鲁川仃j 如) = 口 从上式知品与z 一互1 也成反比例变动。因此可以得出：品与c 成正比例关系。 取伽= 1 0 ，产生1 0 个标准正态分布随机数，即生成1 0 个“试探样本”，如下 表所示：计算得出8 0 = 0 8 4 0 6 。 量墨：兰这堡搓奎到室 z 1z 2z 3z 4z 5z 6z 7z 8 x 9x 1 0 0 0 0 3 9 0 4 7 7 0 1 0 2 4 71 3 1 7 80 5 0 1 71 1 2 8 3 0 7 6 7 0 0 9 2 9 51 1 5 8 1 0 3 7 5 3 当品在区间( 0 2 5 ，0 5 ) 上变动时，拒绝域临界值c 的取值及计算所得的总样本 量如表( 3 - 2 ) 所示：从上表可以看出，随着如的增加，c 也在逐渐增加，但总样 本量在递减，并且递减的幅度逐渐变小。根据势函数的计算公式，我们画出在如分 别取0 2 5 ，o 3 7 5 ，0 5 时势函数形状图( 3 - 1 ) 所示：从图上可以看出，随着品的增加，势 函数的形状逐渐趋于扁平。 值得一提的是，当a = 0 0 5 ，卢= 0 1 时，拒绝域临界值c 的取值恰好是而的一半， 即c = 要，这是因为：若c = 每，根据 z 一一c 1 刮1 一孙) 1 0 第三章两阶段等效性检验 而 cn ( f o cn 0 2 50 1 0 7 71 1 70 3 80 1 6 3 75 1 o 2 60 1 1 2 11 0 80 3 90 1 6 8 04 8 0 2 70 1 1 6 31 0 00 4 00 1 7 2 44 6 0 2 80 1 2 0 79 30 4 1 0 1 7 6 6 4 4 o 2 9 0 1 2 4 9 8 7 0 4 20 1 8 1 04 2 0 3 00 1 2 9 38 10 4 30 1 8 5 14 0 o 3 10 1 3 3 67 6o 4 40 1 8 9 5 3 8 0 3 20 1 3 7 97 20 4 50 1 9 4 03 6 0 3 30 1 4 2 16 70 4 60 1 9 8 13 5 0 3 40 1 4 6 56 30 4 70 2 0 5 03 3 0 3 50 1 5 0 86 00 4 8 0 2 0 6 7 3 2 0 3 60 1 5 5 05 7 0 4 90 2 1 1 13 1 0 3 70 1 5 9 35 40 5 00 2 1 5 43 0 零零零；毒莓零莓霉零；g 嚣q o 暑，o 善答善g 答若暑早999 早早9 穹碍。静 o ooo ooo1 6 图3 - l 南分别取0 2 5 ，0 3 7 5 ，0 5 时势函数形状 一1 1 一 - - 0 2 s o 3 7 5 一琥s l 9 8 7 6 s 4 3 2 l o o o o o o o o o o p 3 1 关于6 的两阶段等效性检验 ( 即控制第二类错误概率为口) ，则有： p - e , ( - c z c ) = ( 一c z c ) - - - p ( z 一圭( 一c + 晶) t z 一 ( c + 南) ) =pz - ；c 亡 3 z 一吾c ) = 尸( t ( 1 一鲁，) t 3 t ( 1 一鲁，咖) ) = p ( t ( o 9 5 ，v o ) t 3 t ( o 9 5 ，伽) ) p ( t ( o 9 5 ，v o ) t ) = 0 0 5 2 咖变动时对结果的影响 当如= 0 5 ，若n o 在区间( 5 ，5 0 ) 上变动时，根据t 分布的性质我们知道分位 数( 1 一售，珈) 的取值逐渐递减至正态分布的分位数u ( o 9 ) 。拒绝域临界值c 基本维持 在0 2 1 左右，这表明它受n o 变化的影响不大。n o 与总样本量的关系如图( 3 - 2 ) 所示。 51 0 1 5 孙 巧3 5 伯 惦卯 图3 _ 2 如固定时绚与的关系 由于总样本量会受到8 0 的影响，当珊发生变化时，s o 的精度也随之变化，这 里我们为了消除随机性的影响，不论m 取值如何，均取s o 为总体标准差的真实值， 即8 0 = 1 。从上图可以看出，在一开始试验样本数量比较小时，总样本量随伽的 增大呈减少趋势，并且减少的幅度在逐渐降低。当试验样本达到一定数量后，本例中 从珊= 3 5 开始， z - 1 s 翻伽，由n 的计算公式我们知道，这意味着与n o 只相 差1 ，第二次抽样只需抽出1 个样本即可得到我们想要的检验结果。 从公式上看，若卢固定，势函数将受到t 分布自由度v o = 一1 及拒绝域临界 点c 的影响，但从上面的分析可以看出，的变化对t 分布分位数及c 的影响并不十 分明显，进而对势函数形状的作用也不明显，图( 3 - 3 ) 的模拟结果可以说明这一 点。 1 2 铝如惦：；珏如坫加5 第三章两阶段等效性检验 ， q 电啦卜 m 吨qmnh o_hnm 寸mm ma hooooaooo 口ooooooaa口a口oaoooooh 6 图3 - 3n o 的变动对势函数的影响 一n o = 5 n o = 2 0 一帕= 3 s 若选择检验统计量：孟：擎，则检验的拒绝域为 一。 孟 n ) ，其中o n + o o 。检验的势函数为： p ( 一。 牙 口) = p ( ( - am 占) s 。 亡 ( n 一6 ) s 。) 在6 = 士如处控制第一类错误概率为q ，则有： 尸而( 一n 翰 。) = p ( ( 一口- 6 0 ) s 0 亡 ( 口一面) s 。) = q 根据前面介绍我们知道，选择f 作为检验统计量时势函数为： p ( 一c 2 c ) = p ( z 一( 一c 一万) ) 名一( c 一6 ) ) 若选择合适的名使得局( 一c f c ) = p ( - z 一；c t z 一c ) = 1 一p ，则较难看出 在6 = o 处，p o ( 一。 牙 n ) = p ( 一 。s 。 t 1 一卢。 下面我们通过变换检验问题的形式来解决这个问题，得到第二个过程的等效性检 验的势将大于第一个过程等效性检验的势。 1 3 一 ，妇叮：宝帖昭蛆o 3 1 关于6 的两阶段等效性检验 3 1 2 方法二 1 等效性问题的转换 将等效性检验问题： h ：艿区d rj 如v 8k ：6 1 6 如 ( 孓7 ) 转换为两个单边的检验问题： h + ：6 如t ，sk + ：6 6 1 ( 3 - 9 ) 若同时拒绝( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ，即有6 1 6 如，意味着接受等效性假设，认为两总体等 效。设日+ ，日一的拒绝域分别为矿，r 一，则不等效的拒绝域为计nr 一【1 3 】。 可以证明：若冗+ ，兄一，分别为( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 的水平为o e 的检验的拒绝域， n r + nr 一为( 孓7 ) 的水平为q 的检验的拒绝域。 证明：根据已知条件有： p 日+ ( 肘) q ，岛一( r 一) q 则： p 日+ ( 矿nr 一) p 日+ ( r + ) o l 昂一( 矿nr 一) p 日一( r 一) q 所以在h 下，即 6 陋6 1 ，占如) 上检验的势小于等于q ，e p r + nr 一为( 3 - 7 ) 的水 平为q 的检验的拒绝域。证毕。 为简单起见，我们选择对称情形的t w oo n e - s i d e d 检验： 日+ ：6 如钉sk + ：6 一如( 3 - 1 1 ) 下面就针对这种类型的两个单边假设检验问题展开两阶段检验的讨论。 - 1 4 第三章两阶段等效性检验 2 第一个过程的等效性检验 根据前面章节的介绍，对于s t e i n 第一个过程的等效性检验，构造统计量f 满 足z 一；( z 一6 ) 一t ( v o ) ，v o = n o 一1 。 对检验( 3 - 1 0 ) ，拒绝域形式为 l n c ) 。将第一类错误概率控制为q ，即 在南处，有： 所以： p 6 0 q c ) = p ( z 一( f 一品) 名一 ( c 一南) ) = po ( ) z 一( c 一南) ) = 口 拒绝域即为： 因此检验的势函数为： 名一；( c 一南) = t ( 口，) 耐= p ( f - 5 0 ) c 2 ) = p ( z 一 ( f + 如) z 一( c + 南) ) = 尸( 亡( 珈) 名一 ( c + 南) ) = a 所以： z - ( c + 5 0 ) = 一t ( q ，伽) 拒绝域即为： r f = z 一；( f + 晶) - t ( q ，伽) ) ( 3 - 1 3 ) 检验的势函数为p ( r f ) 。根据t 分布的对称性知，对于上面同样的名， 有p _ 而+ 。( 兄f ) = 1 一卢。 1 5 3 1 关于6 的两阶段等效性检验 因此，拒绝等效性当且仅当矿，r 一同时成立，即： 所以不等效性的拒绝域为： 检验的势函数为： r ：_ nr i - = i z n i 如+ z ；t ( q ，珈) ) p ( i z i 南+ 名 t ( q ，咖) ) = p ( z 一丢i f 一a + a l z 一面+ t ( q ，) ) = p o t + z 一钢 名一丢南+ t ( q ，伽) ) 从上式及分布性质知，该检验的势函数关于单调递减，所以当6 = 0 时，势 函数达到最大。现若要求在6 = 0 处，势函数值达到1 一卢，即要求有： 通过解方程可以得到： 进而根据样本量计算公式： 便可得到总样本量 误的等效性检验。 p ( i t l z 一；如+ ( q ，伽) ) = 1 一p z 屯砸一叫啪 = m a x ( n o + 1 ， z - 1 8 2 + 1 ) = m a x ( 伽+ 1 ， ( 丛三二学s 。) 2 + 1 ) c 孓1 4 ， n 。这样，我们通过两阶段抽样的方法便得到了在同时控制两类错 第二个过程的等效性检验 s t e i n 第二过程的等效性检验选取牙作为检验统计量，它俩- * t - 疋v 互1 ( 牙一6 ) s 。一 t ( 咖) 。 一1 6 d 咖缸鬟 k 第三章两阶段等效性检验 有： 对检验日+ ，拒绝域形式为 牙 c ) 。将第一类错误概率控制为q ，即在a o 处， 如( 轴 c ) = p ( ( 嘶- 6 0 ) s o ( c - 6 0 ) s 0 ) = p ( t ( c - 6 0 ) s 。) = q 所以： ( c - 6 0 ) s 。= t ( a ，蜘) 拒绝域即为： 财= p ( 吾( 牙- 6 0 ) s 。 一c ) ，同前面类似，要求在一南处 有： 所以： p - 6 0 ( x 一c ) = 尸( ( 牙+ 品) s 0 吾( c + 而) s 。) = p ( t ( v o ) ( c + 如) s o ) = 口 ( c + 而) 即= 一t ( q ，伽) 拒绝域即为： 豸= p ( 互1 + 南) s o 一亡( 口，v o ) ) ( 3 1 6 ) ， 检验的势函数为p ( r a - ) 。且对于上面同样的z ，有p _ 而+ 。( 何) = 1 一卢。 拒绝等效性当且仅当r + ，r 一同时成立，即： f 牙 一如一n 一t ( q ，u o ) s o 17 3 1 关于6 的两阶段等效性检验 所以不等效性的拒绝域为： 财n 豸= l 牙i 如+ 一 t ( q ，伽) s 。) 检验的势函数为： p ( 1 - + n l 如+ 一亡( 口，咖) s o ) = p ( 5 孟n - b + b i s o n 5 b 。8 。+ t ( a ，伽) ) = p ( p 5 。f n 5 b o 8 0 + t ( q 川) 该检验的势函数关于吲单调递减，所以当6 = 0 时，势函数达到最大。 4 两个过程的关系 据n z - 1 s 3 ，当等效性假设k 成立时，两阶段过程有如下的性质： p ( i t + n b s 。i n b o s o + t ( 啪，) = 尸( - n 5 b o s o - t ( 口，如) t + n 5 b s o n 5 b o s 。州a ，咖) ) = p ( 一( 如+ 6 ) 8 0 - t ( q ，铷) t 5 ( 南一6 8 0 + t ( 口，) ) p ( 一z 一言( 如+ 6 ) 一亡( 口，) 亡 名一吾( 品一6 ) + t ( q ，咖) ) 这说明，第二个过程的等效性检验的不犯二类错误的概率要高于第一个过程的等 效性检验。这样，如果取名使得第一种检验在备择假设的某一点上势达到1 一p ，那么 我们由此可以得到= m a x ( n o ， z - 1 8 0 2 】+ 1 ) ，计算统计量孟，选用第二个过程的等效 性检验我们可以它保证在这个点上的势要大于第一个过程等效性检验的势1 一p 。 例如，只需取：m a ) ( f 伽，if t ( 1 - 墨, v o 靠) - t ( a 一, v o ) s o ) i + 1 ) ，选择统计量牙，便可 以保证在6 = 0 处，第二个过程的等效性检验的最大势大于1 一p 。 3 1 3 两种方法的比较研究 下面将3 1 1 介绍的两阶段检验与3 1 2 部分t 拘t w o - o n es i d e d 等效性检验作对比。 假设二者均在4 - 如处将势函数控制在0 t ，在6 = 0 处将势函数控制在1 一卢。根 据3 1 1 的介绍，势函数有如下形式： p ( - c i n c ) = p ( 一t ( 1 一鲁，伽) 一z 一6 t ( 1 一鲁，珈) 一z 一 6 ) ( 3 - 1 7 ) 第三章两阶段等效性检验 其中z 由 p ( 一t ( 1 一鲁，咖) 一名一品 t t ( 1 一箬，伽) 一名一品) = a ( 3 - i s ) 确定，将其值记为z 1 。 第一个过程的t w o - o n es i d e d 等效性检验的势函数与( 3 - 1 7 ) 形式相同，也为： p ( i f i 南+ z t ( n ，v o ) ) = p ( i + z 一6 l z 一品+ ( q ，咖) ) = p ( 一t ( 1 一鲁，铷) 一z 一 d t t ( 1 一箬，) 一z 一 其中z 由 确定，将其值记为勿。 z 屯啦一鲁，小如，铷 从z 的计算公式可以看出，这两种检验z 的值仅存在微小的差别，例如， 当q = 0 0 5 ，卢= 0 2 时，将t w o - o n es i d e d 检验的代入( 3 - 1 8 ) ，得到： p - 2 t ( 1 一鲁，咖) + t ( q ，伽) ) t t ( q ，咖) ) = 。4 9 3 5 。5 明显。下面我们以实例来说明。继续使用3 1 1 中产生的1 0 个随机数，根据公 式：2 = m a x ( n o + l ，l ( t ( 1 - , v o 掣)s o ) i + 1 ) 计算得到结果如表( 3 - 3 ) 所示。从 上表可以看出，在这个例子中，除了个别南处有n 2 = 1 + 1 外，其余总样本量均相 基本相同的结果，但是它应用起来比铰方便，只需要简单的带入样本量计算公 式= m a x ( 伽，i ( t ( 1 - , v o s ) o - t ( a , v o ) 伽) l + 1 ) ，便可以算出第一类错误为a ，最大势不 小于口的第二次抽样所需的样本量。 1 9 3 2 关于要的两阶段等效性检验 6 0n ln 26 0n ln 2 o 2 51 1 71 1 70 3 85 15 1 0 2 61 0 81 0 90 3 94 84 9 o 2 71 0 01 0 10 4 04 64 6 0 2 89 39 40 4 14 44 4 0 2 98 78 70 4 24 24 2 0 3 08 18 20 4 34 04 0 0 3 17 67 70 4 43 83 8 0 3 27 27 20 4 53 63 7 0 3 36 76 80 4 63 53 5 0 3 46 36 40 4 73 33 4 0 3 56 0 6 0