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文档简介

凸优化理论与应用,第一章凸集,1,仿射集(Affinesets),直线的表示：,线段的表示：,仿射集的定义：过集合C内任意两点的直线均在集合C内，则称集合C为仿射集。仿射集的例：直线、平面、超平面,2,仿射集,仿射包：包含集合C的最小的仿射集。,仿射维数：仿射包的维数。,相对内点（relativeinterior）：,3,相对内点,4,凸集(ConvexSets),凸集的定义：集合C内任意两点间的线段均在集合C内，则称集合C为凸集。,5,凸集,6,仿射集与凸集的联系,所以仿射集一定是凸集,7,凸集,8,9,凸集,凸包的定义：包含集合C的最小的凸集。,10,凸集,11,锥(Cones),锥的定义（nonnegativehomogeneous）,凸锥的定义：集合C既是凸集又是锥。,锥包的定义：集合C内点的所有锥组合。,12,锥,13,锥包,14,超平面和半空间,超平面(hyperplane)：,半空间(Halfspace)：,15,超平面,16,半空间,17,欧氏球和椭球,欧氏球(euclideanball):,椭球(ellipsoid):,18,椭圆球,19,范数球和范数锥,范数(norm)：,范数球(normball)：,范数锥(normcone)：,20,多面体(Polyhedra),多面体：,单纯形(simplex)：,21,22,半正定锥(Positivesemidefinitecone),n阶对称矩阵集：,n阶半正定矩阵集：,n阶正定矩阵集：,n阶半正定矩阵集为凸锥！,23,保持凸性的运算,集合交运算仿射变换透视函数(perspectivefunction),线性分式函数(linear-fractionalfunction),24,真锥(propercone),真锥的定义：锥满足如下条件,K具有内点,K内不含直线,25,广义不等式,真锥下的偏序关系：,例：逐项不等式矩阵不等式,广义不等式,严格广义不等式,26,广义不等式的性质,27,严格广义不等式的性质,28,最值和极值,最小元的定义：设，对，都有成立，则称为的最小元。,极小元的定义：设，对于，若，则成立，则称为的极小元。,29,分割超平面(separatinghyperplane),定理：设和为两不相交凸集，则存在超平面将和分离。即：,30,支撑超平面(supportinghyperplane),定义：设集合，为边界上的点。若存在，满足对任意，都有成立，则称超平面为集合在点处的支撑超平面。,定理：凸集边界上任意一点均存在支撑超平面。定理：若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一点存在支撑超平面，则该集合为凸集。,31,对偶锥(dualcone),对偶锥的定义：设为锥，则集合称为对偶锥。,对偶锥的性质：,真锥的对偶锥仍然是真锥！,32,对偶广义不等式,广义不等式与对偶等价性质,最小元的对偶特性：,33,对偶广义不等式,极小元的对偶特性,反过来不一定成立！,34,作业(1),P602.8P602.10P
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