序列的Z变换与傅里叶变换.ppt

第二章序列的Z变换与傅里叶变换,2,本章目录,序列的Z变换,序列的傅里叶变换,序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,Matlab实现,3,2.1引言,信号与系统的分析方法:时域分析变换域分析,连续时间信号与系统信号用时间t的函数表示系统用微分方程描述,离散时间信号与系统信号用序列表示系统用差分方程描述,4,时域与频域分析,傅里叶变换,时间域,频率域(复频域),拉普拉斯变换,推广,离散时间傅里叶变换,时间域,频率域(复频域),Z变换,推广,连续时间信号与系统,离散时间信号与系统,5,本章主要内容,序列的Z变换,Z变换的主要性质,序列的傅里叶变换,傅里叶变换的主要性质,6,2.2序列的Z变换,Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换求解差分方程,7,2.2.1Z变换及其收敛域的定义,序列的Z变换定义双边Z变换,单边Z变换,因果序列的Z变换:单边Z变换可以看成因果序列情况下的双边Z变换,8,Z平面与单位圆,变量z的极坐标形式,Z平面:Z变换定义式中z所在的复平面，z是一个连续复变量，具有实部和虚部,单位圆:在Z平面上|z|=1为半径的圆单位圆上的参数可表示为,9,例:求序列的Z变换,例2.1求序列的Z变换。,解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义,分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。,X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为,当|z|a时级数发散，当|z|a|时级数收敛。,10,Z变换的收敛域,根据级数理论，式(2.1)收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件，即,收敛域:对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。,根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域,收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域,11,2.2.2几种序列的Z变换及其收敛域,序列x(n)的性质决定了X(z)的收敛域，不同形式的序列其收敛域不同。,有限长序列：0|z|+或0|z|+右边序列：Rx-|z|+左边序列：0|z|Rx+双边序列：Rx-|z|Rx+,12,有限长序列,有限长序列只在有限区间n1nn2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零,Z变换,要求：在有限区间内级数的每一项都有界，则有限项的和有界，级数就收敛。,x(n)有界,开域,边界讨论：z=0及z=两点是否也收敛与n1、n2取值情况有关。,13,例：求有限长序列的Z变换,例2.2求序列的Z变换。,讨论：假设|a|是有限值，且|a|1。X(z)有一个z=a的极点，但也有一个z=a的零点，将零极点对消。收敛域为0|z|+。,解：根据Z变换的定义,14,右边序列,右边序列只在有限区间nn1内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零,Z变换,假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z1|上绝对收敛,15,右边序列（因果）的收敛域,假设：z是圆外任意一点，即|z|z1|,当n10时，序列为因果序列,显然，级数X(z)收敛。,讨论：级数X(z)中没有正幂项，|z|=+时级数收敛，因此收敛域包括点，即为Rx-|z|+,16,右边序列（非因果）的收敛域,当n10时，序列为非因果序列,显然，当z取有限值时，级数X1(z)的值有限，而级数X2(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx-为半径的圆的外部区域，即Rx-|z|+,17,左边序列,左边序列只在有限区间nn2内具有非零的有限值，在此区间外序列值都为零,Z变换,假设：级数(2.5)在某个圆|z|=|z2|上绝对收敛,18,左边序列（逆因果）的收敛域,假设：z是圆内任意一点，即|z|z2|,当n20时，序列为逆因果序列,显然，级数X(z)收敛。,讨论：级数X(z)中没有负幂项，|z|=0时级数收敛，因此收敛域包括0点，即为0|z|Rx+,19,左边序列（非逆因果）的收敛域,当n20时，序列为非因果序列,显然，当z取0外的有限值时，级数X2(z)的值有限，而级数X1(z)收敛。所以，级数X(z)的收敛域是以Rx+为半径的圆的内部区域，即0|z|Rx+,20,例：求左边序列的Z变换,例2.3求序列的Z变换。解：,讨论：当|az|1，即|z|1/|a|时，级数收敛。X(z)可用封闭形式表示X(z)有一个z=1/a的极点，但也有一个z=0的零点。,21,双边序列,双边序列指n从-到+都具有非零的有限值，可看成右边序列和左边序列的和,Z变换,讨论：X1(z)收敛域为0|z|Rx+；X2(z)收敛域为Rx-|z|+。双边序列Z变换的收敛域是公共部分。如果满足Rx-r,p,c=residuez(b,a);输入参数:b=b0，b1，bM为分子多项式的系数,a=a0，a1，aN为分母多项式的系数，这些多项式都按z的降幂排列输出参数:r是极点的留数，p是极点，c是无穷项多项式的系数项，仅当MN时存在。,63,例：计算逆Z变换,例2.19计算的逆Z变换。,解:有理分式X(z)分子和分母多项式都按z的降幂排列。,b=0,1;a=2,-3,1;%多项式的系数r,p,c=residuez(b,a);%求留数、极点和系数项disp(留数:);disp(r);%显示输出参数disp(极点:);disp(p);disp(系数项:);disp(c);,程序运行结果为留数:1-1极点:1.00000.5000系数项:,X(z)的部分分式形式为,逆Z变换为,64,2.5.2周期序列傅里叶级数的Matlab实现,DFS式(2.77)的矩阵形式,由周期序列的DFS定义，0nN-1，0kN-1，有,只需计算WN因子，由矩阵理论可计算式(2.99),65,例：计算周期序列离散傅里叶级数,例2.21计算以N=4为周期进行周期延拓，求周期序列的离散傅里叶级数。,解:,xn=0,1,2,3;N=4;%设定序列和周期n=0:1:N-1;k=0:1:N-1;%设定n和kWN=exp(-j*2*pi/N);%设定Wn因子nk=n*k;WN